𝐽 ∈ 𝒳 được gọi là tối tiểu trong 𝒳 nếu 𝐽′ ∈ 𝒳 ⇒ 𝐽′ ≮ 𝐽.
𝐽 ∈ 𝒳 được gọi là tối tiểu tuyệt đối trong 𝒳 nếu 𝐽′ ∈ 𝒳 ⇒ 𝐽 ≤ 𝐽′.
Nửa nhóm 𝑆 được gọi là thoả mãn điều kiện 𝑀𝐽 nếu mỗi tập không rỗng các 𝒥 − lớp của 𝑆 chứa ít nhất một phần tử tối tiểu.
𝑆 thoả mãn 𝑀𝐽 khi và chỉ khi mỗi chuỗi giảm thực sự các iđêan chính của 𝑆 là hữu hạn. (Tức 𝑀𝐽 tương đương với điều kiện ngắt đoạn các chuỗi giảm đối với các iđêan chính).
Nguyễn Thị Thu 35 K31G – SP Toán Với mỗi 𝒥 –lớp 𝐽 của 𝑆 ta kí hiệu 𝐼(𝐽) = 𝑆1𝐽𝑆1 \𝐽. Ta biết rằng 𝑆1𝐽𝑆1 chính là iđêan của 𝑆 sinh bởi 𝐽. Hơn nữa ta cũng có 𝐼(𝐽) là iđêan của 𝑆 và do đó là iđêan của 𝑆1𝐽𝑆1.
Đặt 𝑄 𝐽 = 𝑆𝐼 𝐽 1𝐽 𝑆1 và xét đồng cấu tự nhiên 𝑝 từ 𝑆1𝐽𝑆1 lên 𝑄 𝐽 : 𝑥 ⟼ 𝑥 𝑥 = 𝑥 nếu x∈ J
𝑧 nếu x∉ J (hay x∈J trong đó z là phần tử không của Q(J) (2.4.1) Ta có kết quả sau:
𝑄(𝐽) là nửa nhóm với phép nhân không hoặc là 0 −đơn (đơn trong trường hợp 𝐽 là hạt nhân của 𝑆). Ta nói 𝐽 là 0 −đơn nếu 𝑄(𝐽) là 0 −đơn hoặc đơn).
Ta mở rộng đồng cấu tự nhiên 𝑥 ⟼ 𝑥 từ 𝑆1𝐽𝑆1 lên 𝑄(𝐽) tới đồng cấu từ ệ 𝑆1𝐽𝑆1 lên ệ[𝑄 𝐽 ] như sau:
Nếu 𝑥 = 𝑛𝑖=1ỏ𝑖𝑥𝑖 ∈ệ 𝑆1𝐽𝑆1 ,ỏ𝑖 ∈ ệ, 𝑥𝑖 ∈ 𝑆1𝐽𝑆1 thì 𝑥 = 𝑛𝑖 ỏ𝑖𝑥 𝑖. Với à là biểu diễn bậc 𝑛 của 𝑆 trên ệ, thế thì Ã(𝑆) được chứa trong đại số (ệ)𝑛.
𝑇 ⊆ 𝑆, Ã 𝑇 được gọi là không gian con của (ệ)𝑛 “căng” bởi Ã(𝑇).
Ta có: Ã 𝑇 = Ã ệ 𝑇 , và [Ã 𝑇 ] là đại số con của (ệ)𝑛. Bổ đề 2.4.1
Giả sử Ã là biểu diễn bất khả qui của 𝑆 bậc n trên trường ệ, 𝑇 ⊆ 𝑆, Ã 𝑇 là đại số con bất khả qui của (ệ)𝑛.
Thế thì ∃ 𝑒 ∈ ệ 𝑇 : Ã 𝑒 = 𝐼𝑛. Chứng minh:
Theo định lí 2.1.17, suy ra [Ã 𝑇 ] là một đại số đơn. Như vậy,
∃ 𝐸 ∈ [Ã 𝑇 ], 𝐸 là đơn vị. ∀∆1, ∆2∈ Ã 𝑇 , ta có:
∆1𝐸 = 𝐸∆1= ∆1, 𝐸 ≠ 0.
Suy ra 𝐸 không suy biến.
Nguyễn Thị Thu 36 K31G – SP Toán Mặt khác 𝐼𝑛 là phần tử luỹ đẳng không suy biến duy nhất của (ệ)𝑛. Suy ra 𝐼𝑛 = 𝐸. Vì 𝐸 ∈ Ã 𝑇 ⇒ 𝐸 = 𝑖∈𝐼 ỏ𝑖Ã(𝑥𝑖) ,𝐼 là tập hữu hạn.
Đặt 𝑒 = 𝑖∈𝐼 ỏ𝑖𝑥𝑖 ⇒ 𝑒 ∈ệ 𝑇 và Ã 𝑒 = 𝐼𝑛. ∎ Định nghĩa 2.4.2
à là biểu diên bậc 𝑛 của 𝑆 trên trường ệ.
Kí hiệu Ã−1 0 = 𝑠 ∈ 𝑆: Ã 𝑠 = 0 được gọi là iđêan triệt tiêu của Ã.
à được gọi là biểu diễn chính nếu tập tất cả các 𝒥 –lớp của 𝑆 không thuộc Ã−1 0 chứa một phần tử tối tiểu tuyệt đối 𝐽. Khi đó 𝐽 là duy nhất và được gọi là đỉnh của Ã.
Suy ra là biểu diễn chính với đỉnh 𝐽 ⇔ Ã 𝑠 ≠ 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 𝑠 ∈ 𝑆: 𝐽𝑠 ≱ 𝐽 thì Ã 𝑠 = 0 . Cho 𝐽 là một 𝒥 –lớp của 𝑆, Ã là một biểu diễn bậc 𝑛 của 𝑆 trên ệ sao cho:
à 𝑦 = 0 ∀ 𝑦 ∈ 𝐼(𝐽).
Khi đó ta định nghĩa một biểu diễn Ã′ của 𝑄(𝐽) như sau:
Ã′ 𝑥 = Ã 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑆1𝐽𝑆1 (2.4.2), với 𝑥 ⟼ 𝑥 là đẳng cấu tự nhiên xác định bởi (2.4.1).
Và gọi là biểu diễn của 𝑄(𝐽) cảm sinh bởi à , à khi đó được gọi là cái mở rộng của Ã′ tới 𝑆.
à được gọi là cái mở rộng chính của Ã′ nếu à là biểu diễn chính của 𝑆 với đỉnh 𝐽.
Nếu coi à là biểu diễn của ệ 𝑆 thì Ã′ x = à x , ∀x ∈ệ[S1JS1] (2.4.3) xác định biểu diễn của ệ(𝑄 𝐽 ].
Định lí 2.4.3
Cho 𝑆 là nửa nhóm, ệ là trường.
Nguyễn Thị Thu 37 K31G – SP Toán A, Giả sử Ã là biểu diễn chính bất khả qui bậc n của 𝑆 trên ệ với đỉnh 𝐽.
Thế thì 𝐽 là 0 −đơn và biểu diễn Ã′ của thương chính 𝑄(𝐽) cảm sinh bởi à cũng bất khả qui và khác không . Khi đó ∃𝑒 ∈ ệ 𝐽 sao cho 𝑒 = 𝐼𝑛 .
Với mỗi 𝑒 như vậy à 𝑠 = Ã′ 𝑠𝑒 , ∀ 𝑠 ∈ 𝑆 (2.4.4), với 𝑥 ⟼ 𝑥 là đồng cấu tự nhiên từ ệ 𝑆1𝐽𝑆1 lên ệ[𝑄 𝐽 ].
B, Giả sử 𝐽 là một 𝒥–lớp 0 −đơn của 𝑆 và Ã′ là biểu diễn bất khả qui khác không của 𝑄(𝐽) bậc 𝑛 trên trường ệ sao cho Ã′ z = 0 , 𝑧 là phần tử không của 𝑄(𝐽). Thế thì ∃𝑒 ∈ ệ 𝐽 sao cho Ã′ 𝑒 = 𝐼𝑛. Với mỗi 𝑒 như vậy phương trình (2.4.4) giúp ta xác định một mở rộng chính bất khả qui à của Ã′.
C, Hai biểu diễn chính bất khả qui của 𝑆 là tương đương khi và chỉ khi i, Chúng có chung đỉnh 𝐽 .Và
ii, Chúng cảm sinh các biểu diễn tương đương trong 𝑄(𝐽).
D, Nếu 𝑆 thoả mãn 𝑀𝐽 thì mỗi biểu diễn bất khả qui khác không của 𝑆 trên ệ là biểu diễn chính.
Chứng minh:
A, Do à 𝐽 = [Ã(𝑆1𝐽𝑆1)] rõ ràng à 𝐽 là một iđêan không triệt tiêu của à 𝑆 . Theo giả thiết suy ra à 𝑆 là một đại số bất khả qui của (ệ)𝑛. Theo định lí 2.1.17 suy ra à 𝑆 là đại số đơn. Suy ra à 𝐽 = à 𝑆 .
Ta viết 𝑄 ≔ 𝑄(𝐽) theo (2.4.2) Ã′ 𝑄 = Ã 𝐽 , suy ra Ã′ là bất khả qui và khác không.
Suy ra Ã′ 𝑄 là đại số đơn nên 𝑄 là 0 −đơn hoặc đơn, theo định nghĩa suy ra 𝐽 là 0 −đơn.
Nguyễn Thị Thu 38 K31G – SP Toán Theo bổ đề 2.4.2 bằng việc thay 𝐽 bởi 𝑇. Như vậy ∃𝑒 ∈ ệ 𝐽 sao cho:
à 𝑒 = 𝐼𝑛.
Với mỗi 𝑒 như vậy và ∀ 𝑠 ∈ 𝑆 , ta có 𝑠𝑒 ∈ ệ 𝑆1𝐽𝑆1 . Vì vậy theo phương trình (2.4.3)
à 𝑠𝑒 = à 𝑠 . Ã′ 𝑒 = Ã′ 𝑠𝑒 = à 𝑠 . 𝐼𝑛 = à 𝑠 ⇒ à 𝑠 = Ã′ 𝑠𝑒 , ∀ 𝑠 ∈ 𝑆.
B, Giả sử ta có các giả thiết của ý B. Thì Ã′ 𝐽 là một đại số bất khả qui các ma trận. Theo bổ đề 2.4.2 , ∃ 𝑒 ∈ ệ 𝐽 : Ã′ 𝑒 = 𝐼𝑛.
Ta biết rằng 𝑒 = 𝑒.
Giờ ta chứng minh với mỗi 𝑒 như vậy phương trình (2.4.4) giúp ta xác định một biểu diễn của 𝑆.
Ta có ∀𝑠 ∈ 𝑆, Ã′ 𝑠𝑒 = Ã′ 𝑒𝑠𝑒 = Ã′ 𝑒𝑠 .
Thật vậy: Ã′ 𝑠𝑒 = 𝐼𝑛. Ã′ 𝑠𝑒 = Ã′ 𝑒 . Ã′ 𝑠𝑒 = Ã′ 𝑒𝑠𝑒 . Tương tự Ã′ 𝑒𝑠 = Ã′ 𝑒𝑠𝑒 .
(Chú ý! 𝑠. 𝑒 ≠ 𝑠 . 𝑒 ). Vì s chỉ xác định khi 𝑠 ∈ 𝑆1𝐽𝑆1).
Ta có ∀ s, t ∈ S ta có Ã 𝑠 . Ã 𝑡 = Ã′ 𝑠𝑒 . Ã′(𝑡𝑒 )
= Ã′ es . Ã′ et = Ã′ este = Ã′ 𝑠𝑡𝑒 = Ã 𝑠𝑡 .
Với 𝑥 ∈ 𝑆1𝐽𝑆1, Ã 𝑥 = Ã′ 𝑥𝑒 = Ã′ 𝑥 . Ã′ 𝑒 = Ã′ 𝑥
Như vậy à cảm sinh ra Ã′ và à 𝑆 = Ã′(𝑄) tức à là bất khả qui.
Ta cần chứng minh à là biểu diễn chính qui với đỉnh 𝐽 Dễ thấy Ã(𝐽) ≠ 0, vậy ta chỉ cần phải chứng minh Nếu 𝑠 ∈ 𝑆: 𝐽𝑠 ≱ 𝐽 ⇒ 𝐽 𝑠 = 0
Nếu 𝑥 ∈ 𝐽, thì 𝐽𝑠𝑥 ≤ 𝐽𝑥 rõ ràng 𝐽𝑠𝑥 < 𝐽𝑥
Vì nếu 𝐽𝑠𝑥 = 𝐽𝑥 thì 𝐽𝑠 ≥ 𝐽𝑠𝑥 = 𝐽�= 𝐽 (Mâu thuẫn với giả thiết) Suy ra 𝑠𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 .
Nguyễn Thị Thu 39 K31G – SP Toán Theo phương trình (2.4.4) Ã 𝑠𝑥 = Ã′ 𝑠𝑥𝑒 = Ã′ 𝑧 ( 𝑧 = 𝑠𝑥𝑒 ) Vì Ã′ 𝑧 = 0 ⇒ Ã 𝑠𝑥 = 0
Ta có 𝑒 = 𝑖∈𝐼 ỏ𝑖𝑥𝑖 𝑥𝑖 ∈ 𝐽𝑖,ỏ𝑖 ∈ ệ.
⇒ Ã 𝑠 = Ã 𝑠𝑒 = 𝑖∈𝐼ỏ𝑖Ã(𝑠𝑥𝑖)
C, Giả sử Ã1, Ã2 là 2 biểu diễn bất khả qui chính của 𝑆 trên ệ là tương đương.
Suy ra tồn tại ma trận 𝐶 không suy biến trên ệ sao cho:
Ã1 𝑠 = 𝐶. Ã2 𝑠 . 𝐶−1 ∀𝑠 ∈ 𝑆
Dễ thấy Ã1−1(0) = Ã2−1(0) ⇒ Ã1 , Ã2 cùng chung đỉnh 𝐽.
Với 𝑥 ∈ 𝑆1𝐽𝑆1 Ã1′ 𝑥 = Ã1 𝑥 = 𝐶. Ã2 𝑥 . 𝐶−1 = 𝐶. Ã2′ (𝑥 ). 𝐶−1 Suy ra Ã1′ , Ã2′ cũng tương đương .
Ngược lại giả sử Ã1, Ã2 có chung đỉnh 𝐽, và Ã1′ , Ã2′ cũng tương đương.
Suy ra tồn tại ma trận 𝐶 không suy biến sao cho:
Ã1′ 𝑥 = 𝐶. Ã2′ 𝑥 . 𝐶−1, ∀ 𝑥 ∈ 𝑄(𝐽).
Theo A, ∃𝑒 ∈ ệ[𝑆] sao cho Ã2′ 𝑒 = 𝐼𝑛 , ∀ 𝑠 ∈ 𝑆, Ã2(𝑠) = Ã2′ (𝑠𝑒 ), thế thì Ã1′ 𝑒 = 𝐶Ã2′ 𝑒 𝐶−1 = 𝐼𝑛
⇒ Ã1 𝑠 = Ã1′ 𝑠𝑒 = 𝐶. Ã2′ 𝑥 . 𝐶−1 = 𝐶. Ã2 𝑥 . 𝐶−1 Suy ra Ã1, Ã2 tương đương.
D, Giả sử 𝑆 thoả mãn 𝑀𝐽, Ã là biểu diễn bất khả qui khác không bậc 𝑛 trên ệ.
Vì Ã ≠ 0 nên tập các 𝒥 –lớp không thuộc Ã1−1(0) là khác rỗng. Theo 𝑀𝐽 tập đó chứa một phần tử tối tiểu 𝐽.
Nếu 𝑦 ∈ 𝐼 𝐽 , 𝐽𝑦 < 𝐽 ⇒ Ã 𝑦 = 0.
Do vậy à 𝐽 = [à 𝑆1𝐽𝑆1 ] tức à 𝐽 là iđêan không triệt tiêu của à 𝑆 .
Vì Ã 𝑆 là bất khả qui, suy ra nó là đại số đơn.
Nguyễn Thị Thu 40 K31G – SP Toán Suy ra à 𝐽 = à 𝑆 . Theo bổ đề 2.4.2 ∃ 𝑒 ∈ ệ 𝐽 : Ã′ 𝑒 = 𝐼𝑛
⇒ Ã 𝑠 = Ã 𝑠 . 𝐼𝑛 ∀𝑠 ∈ 𝑆.
Với 𝑠 ∈ 𝑆, 𝐽𝑠 ≱ 𝐽 thì Ã 𝑠 = 0. ∎ Hệ quả 2.4.4
Giả sử ệ là trường, 𝑆 là nửa nhóm hữu hạn sao cho ệ 𝑆 là nửa đơn.
Giả sử 𝐽𝑖 𝑖 = 1, 𝑛 là các 𝒥 −lớp của 𝑆 và 𝑄𝑖 = 𝐽𝑖 ∪ 𝑧𝑖 là các thương chính của 𝑆 ứng với 𝐽.
Thế thì đại số co rút ệ0[𝑄𝑖] là nửa đơn, tồn tại 𝑒𝑖 là đơn vị của ệ[𝐽𝑖].
Giả sử Ã𝑖ọ′ ,ọ = 1, 𝑐 là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không 𝑖 tương đương của 𝑄𝑖 trên ệ, triệt tiêu tại 𝑧𝑖 𝑖 = 1, 𝑛 .
Ta định nghĩa: Ã𝑖ọ 𝑠 = Ã𝑖ọ′ 𝑠𝑒 , ∀𝑠 ∈ 𝑆 (2.4.5). 𝑖
Với 𝑥 ⟶ 𝑥 là đồng cấu tự nhiên từ ệ[𝑆1𝐽𝑖𝑆1] lên ệ[𝑄𝑖].
Thế thì Ã𝑖ọ,ọ = 1, 𝑐 , 𝑖 = 1, 𝑛𝑖 là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của 𝑆 trên ệ.
Chứng minh:
Theo bổ đề 2.2.4 và định lí 2.2.5 ta có ệ0 𝑄𝑖 là nửa đơn. Theo định lí 2.4.3 suy ra ∃ 𝑒𝑖 ∈ ệ[𝐽𝑖] là đơn vị.
Phần còn lại của định lí suy ra trực tiếp từ ý (C) của định lí 2.4.3. ∎ Bổ đề 2.4.5
Giả sử 𝐽 là một 𝒥 −lớp 0 −đơn của một nửa nhóm 𝑆. Giả sử Ã là một biểu diễn của 𝑆 bậc 𝑚 trên ệ và với mỗi 𝑠 ∈ 𝑆, giả sử Ã 𝑠 = (ó𝑖𝑗(𝑠)) (𝑖, 𝑗 = 1 … 𝑚).
Nếu ó𝑖𝑗 𝑥 = 0 ∀𝑖, 𝑗: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐽 thì Ã 𝑥 = 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐽.
Chứng minh:
Nguyễn Thị Thu 41 K31G – SP Toán Giả sử 𝑥 ∈ 𝐽. Thế thì ∃ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐽 sao cho 𝑎𝑥𝑏 = 𝑥. Do đó 𝑎𝑚𝑥𝑏𝑚 = 𝑥.
Nhưng Ã(𝑎)𝑚 = Ã(𝑏)𝑚 = 0, vì theo giả thiết Ã(𝑎), Ã(𝑏) là các ma trận tam giác với 0 trên đường chéo chính.
Do đó Ã 𝑥 = Ã 𝑎 𝑚Ã 𝑥 Ã 𝑏 𝑚 = 0. ∎ Định lí 2.4.6
Giả sử 𝑆 là một nửa nhóm nửa đơn thoả mãn điều kiện 𝑀𝐽 và giả sử ệ là một trường. Nếu mỗi biểu diễn của mỗi thương chính của 𝑆 là hoàn toàn khả qui, thì mỗi biểu diễn của 𝑆 trên ệ là hoàn toàn khả qui.
Chứng minh:
Giả sử Ã là một biểu diễn của 𝑆 trên ệ có dạng sau:
à 𝑠 =
Ã1(𝑠) 0 … 0 Ã21 𝑠 Ã2 𝑠 … 0
⋮ … ⋮ Ã𝑛1 𝑠 Ã𝑛2(𝑠) … Ã𝑛(𝑠)
, (𝑠 ∈ 𝑆).
Trong đó các biểu diễn Ã𝑖 (𝑖 = 1, 𝑛 ) là các bộ phận bất khả qui của Ã.
Rõ ràng khi à là biểu diễn không thì định lí trên hiển nhiên đúng. Vì vậy ta có thể giả thiết à khác không.
Ta chứng minh định lí bằng phương pháp qui nạp theo 𝑛 = 𝑁(Ã) số bộ phận bất khả qui của Ã.
Với 𝑛 = 1, định lí hiển nhiên đúng.
Với 𝑛 > 1, ta giả sử rằng mỗi biểu diễn Ã′ của 𝑆 với 𝑁 Ã′ < 𝑛 đều là hoàn toàn khả qui.
Với mỗi 𝑠 ∈ 𝑆, thì 𝑠 sẽ thuộc một 𝒥 −lớp nào đó của 𝑆. Mỗi 𝒥 −lớp của 𝑆 là 0 −đơn theo giả thiết 𝑆 là nửa đơn.
Nếu Ã𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, 𝑛 thì theo bổ đề 2.4.5 suy ra à là biểu diễn không (trái với giả thiết).
Vì vậy ∃Ã𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1, 𝑛 .
Nguyễn Thị Thu 42 K31G – SP Toán Mỗi Ã𝑖 khác không là biểu diễn chính theo điều kiện M𝐽và theo định lí 2.4.3(D).
Giả sử 𝐽𝑖 là đỉnh của Ã𝑖, 𝐽𝑘 là phần tử tối tiểu trong tập các 𝐽𝑖 đó. Nói cách khác, Ã𝑘 khác không và nếu Ã𝑗 cũng khác không thì 𝐽𝑗 ≮ 𝐽𝑘.
Nếu 𝑥 ∈ 𝑆 sao cho 𝐽𝑥 < 𝐽𝑘thì rõ ràng 𝐽𝑥 ≱ 𝐽𝑖 với mỗi 𝑖 mà Ã𝑖 khác không. Do đó Ã𝑖 𝑥 = 0 với mỗi 𝑖 như vậy, và do dó ∀𝑖 = 1, 𝑛 thì Ã𝑖 𝑥 = 0.
Theo bổ đề 2.4.5 suy ra à 𝑥 = 0.
Giả sử 𝑄𝑘 = 𝐽𝑘 ∪ 𝑧𝑘, (𝑄𝑘 = 𝐽𝑘 đối với hạt nhân của 𝑆) là thương chính của 𝑆 liên kết với 𝐽𝑘. Vì, như ta đã chứng tỏ, Ã 𝑥 = 0 với 𝑥 ∈ 𝐼(𝐽𝑘), từ đó suy ra Ã′ 𝑥 = Ã(𝑥) với ∀𝑥 ∈ 𝑆1𝐽𝑘�냌𝑉1 là một biểu diễn Ã′ của 𝑄𝑘 , trong đó 𝑥 ⟼ 𝑥 là đồng cấu tự nhiên từ 𝑆1𝐽𝑘𝑆1 lên 𝑄𝑘.
Hơn nữa, Ã′ khác không vì Ã𝑘 khác không trên 𝐽𝑘, và Ã′ chứa biểu diễn Ã′𝑘 của 𝑄𝑘 cảm sinh bởi Ã𝑘. Theo giả thiết Ã′ là hoàn toàn khả qui và theo định lí 2.4.3(A), Ã′𝑘 là bất khả qui. Do đó ∃𝐶 là hằng ma trận không suy biến sao cho:
𝐶Ã′ 𝑥 𝐶−1 = Ã′𝑘(𝑥 ) 0
0 Ä′(𝑥 ) (∀𝑥 ∈ 𝑄𝑘), Trong đó Ä′ là một biểu diễn nào đó của 𝑄𝑘.
Nếu ta định nghĩa Ä bởi:
Ä 𝑥 = Ä′(𝑥 ) (với ∀𝑥 ∈ 𝑆1𝐽𝑘𝑆1 ), thì Ä là một biểu diễn của 𝑆1𝐽𝑘𝑆1 triệt tiêu trên 𝐼(𝐽𝑘). Hơn nữa,
𝐶Ã 𝑥 𝐶−1 = Ã𝑘(𝑥) 0
0 Ä(𝑥) ( với ∀𝑥 ∈ 𝑆1𝐽𝑘𝑆1 ).
Giả sử ta phân tích 𝐶Ã(𝑠)𝐶−1 bằng cách tương tự:
𝐶Ã 𝑠 𝐶−1 = Ã11∗ (𝑠) Ã12∗ (𝑠)
Ã21∗ (𝑠) Ã22∗ (𝑠) (∀𝑠 ∈ 𝑆), trong đó Ã11∗ (𝑠) cùng bậc với Ã𝑘 𝑥 .
Nguyễn Thị Thu 43 K31G – SP Toán Giả sử 𝑠 ∈ 𝑆, và 𝑥 ∈ 𝐽𝑘. Thế thì 𝑠𝑥 ∈ 𝑆1𝐽𝑘𝑆1, và từ
𝐶Ã 𝑠𝑥 𝐶−1 = 𝐶Ã 𝑠 𝐶−1. 𝐶Ã(𝑥)𝐶−1. Ta có Ã𝑘(𝑠𝑥) 0
0 Ä(𝑠𝑥) = Ã11∗ (𝑠) Ã12∗ (𝑠)
Ã21∗ (𝑠) Ã22∗ (𝑠) Ã𝑘(𝑥) 0 0 Ä(𝑥) . Do đó Ã21∗ 𝑠 Ã𝑘 𝑥 = 0 với mỗi 𝑠 ∈ 𝑆 và 𝑥 ∈ 𝐽𝑘. Theo định lí 2.4.3(B), ∃𝑒 ∈ ệ 𝐽𝑘 : Ã𝑘 𝑒 = 𝐼. Vì 𝑒 là một tổ hợp tuyến tính các phần tử 𝑥 ∈ 𝐽𝑘nên từ đó suy ra
Ã21∗ 𝑠 = Ã21∗ 𝑠 𝐼 = Ã21∗ 𝑠 Ã𝑘 𝑒 = 0 (𝑠 ∈ 𝑆).
Tương tự, bằng cách xét 𝑥𝑠 thay cho 𝑠𝑥 ta có thể chứng tỏ được rằng Ã12∗ 𝑠 = 0. Như vậy à phân tích thành hai biểu diễn Ã11∗ và Ã22∗ . Vì cả hai biểu diễn này có bậc nhỏ hơn bậc của Ã, nên đều có số bộ phận bất khả qui ít hơn 𝑁 à .
Theo qui nạp ta có điều phải chứng minh. ∎