BƠM LÊN PHÂN BỐ NĂNG LƯỢNG BƠM
2.2. Ảnh hưởng của độ trễ thời gian của các xung bơm lên phân bố năng lượng bơm trong hoạt chất laser
2.2.1. Biểu thức tổng năng lượng bơm
Chùm tia Gauss của laser bán dẫn có thể được mô tả thông qua biên độ phức U(x,z,t,dt) phân bố trên mặt phẳng (x,z) như sau [4..6]:
2 2 2
0 0 2
( , , , ) exp exp ( ) exp 2
( ) ( ) 2 ( )
W x x t dt
U x z t dt A jkz jk j z
W z W z R z ξ
τ
+
= − − − + − ÷ (2.1) với các tham số:
2 1/ 2
( ) 0 1 z
W z W
b
= + ÷ (2.2) là bán kính mặt thắt tại toạ độ z trên hướng lan truyền, b kW= 02 là tham số đồng tiêu với k là số sóng của laser bán dẫn;
2
( ) 1 b
R z z
z
= + ÷ (2.3) là bán kính cong của mặt sóng;
2 / 1
0
π
= λb
W (2.4)
là mặt thắt chùm tia tại thấu kính;
( )
( ) tanz 1 z b/
ξ = − (2.5)
là pha ban đầu.
Chùm tia laser đi qua hoạt chất được xem như truyền qua một thấu kính có tiêu cự :
1
0
= − n
f r (2.6) Khi truyền qua hoạt chất biên độ phức của chùm tia thay đổi với hệ số:
f jkx exp 2
2
(2.7) Hơn nữa pha của nó cũng sẽ thay đổi về dạng sau [5,6]:
2 ( ) 2 2
2 ( ) 2 2 '( ) ( )
x x x
kz k z k kz k z
R z ξ f R z ξ
+ − − = + − (2.8)
trong đó:
1 1 1
'( ) ( )
R z = R z − f (2.9)
Thay (2.3), (2.8) và (2.9) vào (2.1) ta nhận được biểu thức mô tả biên độ phức của chùm tia trong hoạt chất như sau:
2 2 2
0
0 2
( , , , ) exp exp ( ) exp 2
( ) ( ) 2 '( )
in in
in in
W x x t dt
U x z t dt A jkz jk j z
W z W z R z ξ
τ
+
= − − − + − ÷ (2.10) với bin là tham số đồng tiêu trong hoạt chất, Win0 là bán kính mặt thắt chùm tia bơm và Win là bán kính tiết diện ngang của chùm tia trong hoạt chất. Các tham số này được tính như sau:
2 1/ 2 2
0 0 0
0
0 0 0 0
; ; 1 ;
; ; .
/( 1) ( 1)
1
in in in in
in
t
t
W MW b M b W W z
b
M b r
M t M
z r n z n r
t
= = = + ÷
= + = − − = − −
(2.11)
Để cho năng lượng của chùm tia bơm hội tụ tại tâm của thanh hoạt chất, tức là vị trí mặt thắt chùm tia trong hoạt chất phải trùng với tâm thanh hoạt chất tại toạ độ đó, nghĩa là biểu thức sau phải thỏa mãn:
0 0
z =z +r (2.12)
Sử dụng (2.4), (2.11) và (2.12) ta tìm được bán kính mặt thắt chùm tia bơm trong hoạt chất như sau:
( 0 )
0
0 0
0
0 0 0
1 1
1
in
W r
z n r
W W
z r n π λ
= − −
+ − − ÷
(2.13)
Như vậy, bán kính mặt thắt chùm tia bơm trong thanh hoạt chất phụ thuộc vào vị trí của laser bơm (z0), bán kính thanh hoạt chất laser (r0), phụ thuộc vào chiết suất hoạt chất (n), phụ thuộc bước sóng (λ) và bán kính mặt thắt ban đầu của chùm tia bơm (W0).
Thay (2.12) vào (2.11) ta tìm được quan hệ giữa r0 và y0 như sau:
2 0 0
0 0
1 1
r r
r M z
n n
= − − ÷+ − . (2.14) Đây chính là điều kiện cần thoả mãn của vị trí ban đầu y0 sao cho vị trí mặt thắt chùm tia bơm sau khi vào hoạt chất sẽ trùng với tâm của hoạt chất.
Từ (2.10), để tính được phân bố năng lượng (hay công suất bơm) của chùm tia bơm trên tiết diện ngang của hoạt chất, chúng ta tính cường độ chùm bơm trong hoạt chất như sau:
2 2 2
0 0 2
( , , , ) exp 2 exp 4
( ) ( )
in in
in in
W x t dt
I x z t dt I
W z W z τ
+
= − − ÷ (2.15) và ở chùm bơm phía đối diện:
2 2 2
0 0 2
( , , , ) exp 2 exp 4
( ) ( )
in in
in in
W x t dt
I x z t dt I
W z W z τ
−
= − − ÷ (2.16) Biểu thức (2.15) và (2.16) cho ta thấy phân bố năng lượng của một chùm tia bơm trên tiết diện ngang của hoạt chất. Khi thoả mãn điều kiện (2.13), tức là mặt thắt của Win0 trong (2.15, 2.16) nằm tại toạ độ (0,0) thì cường độ của chúng cũng đối xứng qua gốc toạ độ, tức là:
( , , , ) ( , , , )
in in
I x z t dt =I − −x z t dt (2.17)
Để cho đơn giản trong tính toán và thiết kế, chúng ta giả thiết rằng các thanh laser được lắp đối xứng quanh tâm hoạt chất, tức là đối xứng qua gốc toạ độ (x=0,z=0) và bốn thanh laser bơm có các tính chất như nhau. Điều giả thiết này có nghĩa là:
) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , ,
(x z t dt I x z t dt I x z t dt I x z t dt
Iin = − = − = − − (2.18)
Hơn nữa, như chúng ta biết, sự hấp thụ photon trong khi bơm là quá trình thống kê, nghĩa là số lượng tâm hoạt bị kích thích phụ thuộc vào số lượng photon (mật độ photon) tương tác và hệ số hấp thụ. Do đó, phân bố tâm hoạt bị kích thích lên mức trên trong tiết diện ngang của hoạt chất phụ thuộc vào phân bố số photon kích thích trong tiết diện đó. Từ lập luận trên, sử dụng (2.17) và (2.18) chúng ta có thể rút ra, đối với trường hợp bơm bằng hai thanh laser bán dẫn thì phân bố tổng năng lượng trong hoạt chất sẽ là:
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
twoside in in
I x z t dt =I x z t dt +I x z t dt− (2.19) và với trường hợp bơm bằng bốn thanh laser bán dẫn là:
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
fourside twoside twoside
I x z t dt =I x z t dt +I z x t dt (2.20) Trong (2.19) và (2.20) ta hiểu rằng, năng lượng bơm tại vị trí (x,z) trong hoạt chất bằng hai lần năng lượng bơm tại vị trí đó của một laser đối với trường hợp bơm hai bên và bằng bốn lần đối với trường hợp bơm bốn bên đối xứng.
Vấn đề quan trọng đặt ra là, phân bố năng lượng của hai thanh hay bốn thanh trong hoạt chất có đều hay không trong vùng mode cơ bản và chúng phụ thuộc như thế nào vào các tham số đầu vào của laser. Nội dung tiếp theo chúng tôi sẽ khảo sát cho những trường hợp này, kết quả được trình bày và thảo luận dưới đây.
2.2.2. Phân bố năng lượng bơm trong trường hợp các xung bơm hợp pha Giả thiết chùm tia bơm của một laser bán dẫn bước sóng λ=860nm,
1ps
τ = có bán kính mặt thắt W0 =1mm. Hoạt chất laser rắn có bán kính
0 6
r = mm và chiết suất n=1.78 [10]. Trong điều kiện hợp pha (các xung bơm
hoạt động đồng thời: dt = 0), sử dụng (2.15), (2.16), (2.19) và (2.20), bằng phần mềm Maple khảo sát phân bố năng lượng bơm trên tiết diện ngang của thanh hoạt chất cho trường hợp bơm ngang hai bên và bơm ngang bốn bên, kết quả tương ứng được trình bày trên hình 2.4.
(a) (b)
Hình 2.4. Phân bố năng lượng bơm ngang hai bên (a, màu đỏ) và bốn bên (b, màu xanh)
Từ kết quả mô phỏng ta thấy rằng năng lượng bơm phân bố đối xứng qua tâm thanh hoạt chất. Giá trị cường độ tại tâm thanh hoạt chất gần bằng giá trị cường độ đỉnh của chùm tia vào nhân với số thanh bơm. Dạng phân bố thay đổi phụ thuộc vào số thanh laser bán dẫn bơm. Tuy nhiên, phân bố này không đều trên toàn bộ mặt phẳng của tiết diện.
Khi nghiên cứu ảnh hưởng của vị trí bơm đến độ lớn của bán kính vùng chồng lấn năng lượng trong hoạt chất, chúng ta thấy bán kính này phụ thuộc vào vị trí của thanh bơm. Điều này được thể hiện trên hình 2.5 cho phân bố năng lượng của bốn thanh bơm trên tiết diện ngang của hoạt chất ở những vị
Năng lượng bơm E(x,z)/E0 (×10) Năng lượng bơm E(x,z)/E 0 (×10)
Năng lượng bơm E(x,z)/E 0 (×10)
trí bơm khác nhau: 5mm, 10mm và 15mm.
Từ hình 2.5, ở những vị trí bơm khác nhau thì bán kính mặt thắt chồng lấn khác nhau. Trong khi tính toán, chúng tôi chuẩn hoá bán kính vùng chồng lấn theo bán kính mặt thắt của chùm tia vào. Do đó, bán kính mặt thắt vùng chồng lấn sẽ thay đổi theo bán kính mặt thắt của chùm tia vào.
Hình 2.5. Phân bố năng lượng bơm ngang bốn bên ở vị trí bơm 5mm (màu đỏ), 10mm (màu xanh) và 15mm (màu vàng)
Cũng từ kết quả mô phỏng hình 2.5, rõ ràng khi các bơm đặt càng gần thanh laser thì phân bố năng lượng bơm trong thanh càng đều hơn. Trong những trường hợp đã khảo sát, chúng ta thấy rằng khi khoảng cách bơm là 5mm thì phân bố năng lượng là đều nhất trên mặt phẳng tiết diện của hoạt chất. Tuy nhiên, điều này có thể dẫn đến sụt giảm hiệu suất bơm do bán kính vùng chồng lấn năng lượng bơm lớn hơn bán kính tiết diện thanh hoạt chất.
2.2.3. Phân bố năng lượng bơm trong trường hợp các xung bơm lệch pha 2.2.3.1. So sánh phân bố năng lượng bơm khi bơm hợp pha và lệch pha
Sử dụng giá trị các tham số như trên, chúng tôi khảo sát phân bố năng lượng bơm trong không gian cho trường hợp bơm ngang bốn bên lệch pha, qua đó so sánh với trường hợp các xung bơm hợp pha. Trong khi khảo sát, để đơn giản trong quá trình tính toán chúng tôi giả thiết hai xung bơm đối diện
Năng lượng bơm[E(x,z)/E0] (× 10)
cùng pha, kết quả tương ứng được trình bày trên hình 2.6 và 2.7.
(a) (b)
Hình 2.6. Phân bố năng lượng bơm cho trường hợp bơm ngang bốn bên hợp pha (a) và lệch pha với dt=0,5τ(b).
Từ hình vẽ ta thấy, trong trường hợp các xung bơm hợp pha, phân bố năng lượng bơm trong thanh có dạng Gauss, mặc dù phân bố là không đều trên mặt phẳng tiết diện của thanh hoạt chất (hình 2.6a). Tuy nhiên, khi các xung bơm lệch pha, giá trị năng lượng đỉnh giảm đi và có xu hướng tách thành hai đỉnh, giá trị cực đại và khoảng cách giữa hai đỉnh phụ thuộc vào độ lệch pha giữa các xung bơm (hình 2.6b). Sở dĩ có hiện tượng này là do các xung bơm lệch pha, dẫn đến vùng chồng lấn năng lượng bơm trong thanh hoạt chất không còn tập trung như trong trường hợp các xung bơm hợp pha.
Để trực quan chúng tôi biểu diễn các đường cong phân bố năng lượng bơm trong thanh hoạt chất trên cùng một hệ tọa độ, kết quả như hình 2.7.
z
z
z z
Năng lượng bơm[E(x,z)/E0] Năng lượng bơm[E(x,z)/E0]
Hình 2.7. Phân bố năng lượng bơm cho trường hợp bơm ngang bốn bên hợp pha (màu xanh), lệch pha với dt=0,5τ(màu đỏ).
Từ hình 2.7 cho chúng ta thấy rõ hơn về sự tách đỉnh và sụt giảm giá trị năng lượng cực đại so với trường hợp các xung bơm hợp pha.
2.2.3.2. Phân bố năng lượng bơm với độ lệch pha khác nhau
Để thấy sự phụ thuộc của phân bố năng lượng bơm vào độ lệch pha giữa các xung bơm, chúng tôi đã khảo sát phân bố năng lượng bơm với các độ lệch pha
0,3τ, 0, 4τ và 0,5τ . Kết quả khảo sát tương ứng được trình bày trên hình 2.8.
Từ hình 2.8, khi độ lệch pha nhỏ (dt=0,3τ), so sánh với trường hợp các xung bơm hợp pha ta thấy phân bố năng lượng có dạng Gauss. Tức là độ lệch pha trong trường hợp này ảnh không đáng kể đến quá trình phân bố năng lượng trong hoạt chất. Tuy nhiên, với những độ lệch pha lớn hơn thì phân bố năng lượng có sự thay đổi đáng kể. Như đã trình bày ở trên, ta thấy độ lệch pha càng lớn thì giá trị năng lượng cực đại càng giảm, đồng thời sự tách đỉnh càng rõ rệt hơn (hình 2.8b cho trường hợp dt=0, 4τ và 2.8c cho dt=0,5τ).
Để trực quan hóa, chúng tôi biễu diễn các đường cong phân bố năng lượng bơm trong thanh hoạt chất với các độ lệch pha khác nhau trên cùng một đồ thị như hình 2.9. Rõ ràng độ lệch pha có ảnh hưởng đáng kể đến sự phân bố cũng như giá trị năng lượng bơm cực đại trong hoạt chất.
z E(x,z)/E
0
(a) (b) (c) Hình 2.8. Phân bố năng lượng bơm với độ lệch pha khác nhau:
( ) :a dt =0,3 ;( ) :τ b dt=0, 4 ;( ) :τ c dt=0,5τ.
Hình 2.9. Ảnh hưởng của độ lệch pha lên phân bố năng lượng bơm:
0,3
dt = τ(màu vàng),dt=0,5τ (màu đỏ) và dt=0, 4τ (màu xanh).