( 4 1 1 9 - 4 1 3 1 )
4 1 1 9
(a) Trình bày nguyên lý hoạt động co bản của m áy xycloơon, syncroxy- clotron và syncrotron. Điểm khác biệt chính giữa chúng là gi? Giới hạn năng lượng cực dại m à mỗi loại có th ể tạo ra là bao nhiêu?
(b) Trình bày nguyên lý hoạt dộng cơ bản của m ột m áy gia tốc thẳng giống như ỏ SLAC. Ưu điểm và khuyết diểm của m áy gia tốc th ẳn g so vói máy gia tốc tròn là gì?
(c) Tại sao trong những năm gần dây ngưòi ta lại chế tạo các máy gia tốc chùm hạt va chạm (colliding-beam accelerator) (“vành chứa giao nhau”-
“Intersecting storage ring”)? Điểm m ạnh và điểm yếu của nó so vối các máy gia tốc có bia dứng yên truyền thống?
(Columbia) Lời giải:
(a) về cd bản m ột máy xyclotron gồm hai hộp kim loại rỗng bán nguyệt - chữ D - được phân cách theo m ép th ẳn g của chúng bằng m ột khe hẹp. Một nguồn ion ỏ tâm của khe sẽ phun các h ạt diện tích Z e vào m ộ t ơ o n g các chữ D. Các hộp hình chữ D dược d ặ t vuông góc với m ột từ trườ ng đều, từ trường này sẽ giữ cho các hạt chuyển động th eo quỹ đ ạo tròn có bán kính r
m v ? „ „
—— = Z e v B . r
Các hạt dược gia tốc m ỗi khi di qua khe hẹp nhò m ột điện trường tần số vô tuyến đ ặ t vào khe hẹp đó với tần số góc UJT = = Wp, chính là tần số góc trong chuyên dộng tròn của hạt. Do W p không phụ thuộc vào b án kính quỹ dạo r, nên các hạt luôn đi h ết m ột vòng trong thòi gian như nhau và bay tói khe hẹp vào đú n g thời điểm tại pha thích hợp đ ể dược gia tốc.
Năng lượng tạo ra bởi xyclotron có m ột giới h ạn trên do sự tăn g tưong dối tính của khối lượng di kèm với sự tăn g n ăng lượng, diều này làm cho các hạt đến khe hẹp ngày càng chậm hơn, và cuối cùng không còn cộng hưởng với diện trường nữa và do đó không còn dược gia tốc.
Phương pháp thực nghiệm và các chủ đề đa dạng 675 Trong syncroxyclotron giới hạn năng lượng cực dại này được vượt qua bằng cách cho thay dổi tần số của trưòng tần số vô tuyến, giảm dần tần số cùa nó theo sự giảm tần số của wv do sự thay dổi khối lưọng tưong dối rinh.
\ ề nguyên tắc năng lượng do syncroxyclotron tao ra có th ể tăng lên vô hạn, nhưng cần phải có nam châm vói khối lượng tỉ lệ vói lũy thừa bậc ba của năng lượng cực đại dể từ trường nó tạo ra bao trùm toàn bộ diện tích quỹ dạo. Do vậy trọng lượng và giá thành nam châm trong thực tế lại giới hạn năng lượng cực dại có th ể tạo ra.
Trong syncrotron, các hạt dược giữ trong m ột quỹ dạo gần tròn với bán kính cố định tính giữa các cực của m ột nam châm hình khuyên. Nam châm này có từ trường tăng theo sự thay đổi dộng lượng cùa hạt. Trường gia tốc dược cung cấp bỏi m ột hoặc nhiều m áy rf tại các diêm trên vành từ, tần số rf tăng từng bước theo sự tăng vận tốc của hạt. Năng lượng cực đại ỏ dây bị giới hạn bỏi sự m ất m át do bức xạ của các hạt do sự gia tốc hướng tâm phát ra các bức xạ điện từ với tốc độ tỉ lệ vói lũy thừa bậc 4 của năng lượng.
So sánh 3 loại m áy gia tốc, ta nhận thấy rằng đối vối xyclotron thì dộ lón từ trưòng và tần số trường RF là không dổi. Đối với syncroxyclotron, độ lón của từ truòng không dổi trong khi tần số của trưòng RF thay dổi đồng bộ với năng lượng h ạt và quỹ dạo của hạt vẫn là hình xoắn ốc. Đối vói syncroơon, cả dộ lón của từ trưòng và tần số trường RF đều thay dổi dể giữ cho các hạt chuyển dộng trong m ột quỹ đạo cố dịnh.
(b) Trong m ột m áy gia tốc thẳng như là SLAC, các hạt m ang diện chuyển động trên m ột đư òng thẳng dọc theo trục của m ột ống hình trụ có vai trò như là một ống dẫn sóng, nó có m ột trưòng điện từ RF biến thiên vói thành phần điện trường dọc theo trục có vai trò gia tốc hạt. So với máy gia tốc hình tròn, máy gia tốc thẳng có rất nhiều lợi thế. Khi hạt chuyển dộng theo dường thẳng có thể dễ dàng được bắn ra mà không cần phải trích ngang. Thêm vào dó, do không có sự gia tốc hướng tâm nên m ất m át do bức xạ có th ể bỏ qua. Nó đặc biệt thích họp đ ể gia tốc electron đạt đến năng lượng rất cao. Một ưu điểm khác cùa nó là sự linh hoạt khi xây dựng. Độ dài m áy gia tốc có th ể từ ng bước kéo dài thêm . Điểm yếu của nó là chiều dài rất lớn và giá thanh cao hơn so với máy gia tốc tròn cho cùng m ột năng lượng.
(c) Trong va chạm của một h ạt khối lượng m và năng lượng E vói m ột hạt đứng yên có cùng khối lượng thì năng lượng hiệu dụng trong tương tác này là V 2 m E , trong khi dó va chạm trực diện giữa hai chùm hạt năng lượng E sẽ có năng lượng hiệu dụng là 2E. Như vậy rõ ràng là năng lượng E càng cao thì phần năng lượng toàn phần sẵn có cho tương tác ỏ trường họp đầu càng thấp.
676 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tủ, hạt nhân vò hạt cơ bản Do sự khó khăn và tốn kém trong việc tăng năng lượng của hạt dưọc gia tốc nên nhiều m áy va chạm chùm h ạt dã dược chế tạo trong n hữ ng năm gần dây.
Ttiy nhiên, do cường độ chùm h ạt và m ật độ hạt th ấp n ên hiệu suất tuơng tác của máy va chạm hạt nhỏ hơn nhiều so vối m áy có bia cố định.
4 1 2 0
(a) Mô tả ngắn gọn m áy xyclotron và syncrotron, nêu bật sự khác nhau giữa chúng. Giải thích tại sao không th ể sử dụng:
(b) Các máy xyclotron dê tăng tốc m ột proton đến năng lượng 2 GeV?
(c) Các máy syncrotron đ ể gia tốc electron đến 30 GeV?
(Columbia) Lời giải:
(a) Trong m ột m áy xyclotron, m ột h ạt m ang điện dược giữ ỏ quỹ dạo gần tròn bỏi m ột từ trường đều và dược gia tốc bởi m ột điện trường âm tần chuyển pha mỗi khi h ạt đi qua khe giữa hai diện cực hình chữ D. Tuy nhiên, do khối lượng của nó tăng năng lưọng tăng, nên bán kính xyclotron của hạt là r = J g
tăng, và tần số xycloơon là w = ^ sẽ giảm. Do vậy pha giữa chuyển dộng tròn của hạt và điện trường sẽ luôn thay dổi. Trong m ột m áy syncrotron từ trưòng sẽ không giữ nguyên m à thay đổi theo năng lượng của h ạ t dể giữ cho nó chuyển động theo m ột quỹ dạo cố định. H ạt dược gia tốc bằng điện trường cộng hưởng tần số cao ỏ m ột hoặc nhiều vị trí trên quỹ dạo, tầ n sô liên tục tăng theo năng lượng của h ạt (th am khảo Bài tậ p 4 1 1 9 (a )).
(b) Trong xyclotron, khi năng lượng của h ạ t tăng, bán kính quỹ dạo của nó cũng tăng và pha gia tốc h ạ t sẽ thay dổi liên tục. Khi dộng n ăng của hạt gần bằng năng lượng nghỉ, sự sai khác pha tổng cộng có th ể rất lón, và cuối cùng hạt sẽ rơi vào vùng giảm tốc cùa điện trưòng khi nó di qua khe giữa hai điện cực hình chữ D. Do vậy năng lượng của h ạ t không th ể tăn g cao hơn nữa.
Khối lượng nghỉ của proton cõ ~ 1 GeV Đê’ gia tốc nó tới 2 GeV vói xycloưon, ta phải thực hiện được điều dó trưỏc khi nó rơi vào vùng giảm tốc. Trong thực tế diện thế đòi hỏi sẽ là quá lớn.
(c) Trong syncroưon sự lệch pha không xảy ra, do dó h ạ t có th ể dưọc gia tốc tỏi năng lượng cao hơn rất nhiều. T\jy nhiên ỏ năng lượng cao, do gia tốc hư ớng tâm lỏn nên h ạ t sẽ p h át ra các bức xạ điện từ, bức xạ syncroơon, và m ất năng lượng, làm cho sau m ỗi vòng năng lượng tăn g lên là âm . Năng lượng càng lỏn và khối iượng nghỉ của h ạ t càng nhỏ thì bức xạ sy ncroơ on càng
Phương pháp thực nghiệm và các chủ dề đa dạng 677 mạnh. Rõ rằng là khi sự m ất m át năng lượng do bức xạ synchrotron bằng năng lượng lấy từ diện trường gia tốc trong m ột khoảng thòi gian thì không th ể tăng tốc thêm nữa. Do khối lượng nghỉ của electron chỉ là 0,511 MeV d ể gia tốc nó tới 30 G eỵ ta cần tăng bán kính của máy gia tốc, hoặc tăng hiệu diện thế, hoặc cả hai đến giá trị rất lỏn, diều dó trong thực tế là rất khó và tốn kém. v í dụ, một thiết bị hạt va chạm e+ e~ 45 GeV hiện có tại CERN có chu vi là 27 km.
4121
Bán kính của m áy gia tốc 500 GeV đặt tại Batavia là 102, 103, 104, 105 m.
( Columbia) Lời giải:
Trong m ột từ trường có cảm ứng B, đưòng kính quỹ dạo của m ột proton là
_ m7/?c _ m-yậc2
e B eBc
Vối một proton năng lượng 500 G eỵ 0 K 1, m-yc2 = 500 GeV Do đó, nếu trong trường hợp tổng qu át B ~ 1 T thì ta có
500 X 109X 1,6 X 10“ 19 5 3
1,6 X 10-1 9 X 1 X 3 X 108 - 3 m ' Do vậy câu trả lòi là 103 m.
4 1 2 2
Trong m ột máy syncrotron proton hiện đại (m áy gia tốc hạt), m ột từ trường B được sử dụng để giữ các hạt trên m ột quỹ đạo cân bằng (bán kính R). Sự ổn định của proton gần quỹ dạo cân bằng được đảm bảo bằng từ trường không đồng nhất, không phụ thuộc và 6, và có thê dược tham số hóa theo biểu thức
Trong dó 2 là tọa dộ vuông góc với m ặt phẳng của quỹ dạo cân bằng (theo hướng thẳng đứng) với z = 0 trên quỹ đạo cân bằng, Bo là m ột trưòng không đổi đê giữ các h ạ t ư ê n quỹ đạo cân bằng bán kính R, T là vị trí thực tế của hạt theo phương bán kính (p = r - R là sự dịch chuyển theo phương ngang ra
678 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tứ, hạt nhăn và hạt cơ bản khỏi quỹ đạo cân bằng), và n là m ột hằng số. H ãy rú t ra tầ n số của dao động betatron thẳng đứng và dao động b e ta ư o n ngang với m ột giá trị cùa n. vói giá trị nào của n thì hạt diễn ra quá trình dao dộng b ền quanh quỹ dạo cân bằng trong cả phương thẳng dứng và phương ngang?
(Columbia) Lời giải:
Dùng hệ trục tọa dộ trụ ( r , 8 ,z) , ta có th ể viết phương trình chuyển động của hạt
d , . „ „
— (m v) = eE + ev X B dt
thành
d ( d r \ ( dd \ 2 d.6 dz
— 771— — m r — = eE r + e B zr—----eBa — ,
d t \ d t ) \ d t j dt dt
1d ( o d 6 \ dz dr
r d i { m r d t ) = e E e + e B r d t - e B ỉ d t ' d, ( d z \ n dz „ d ớ
dĩ \ c t t ) = 6 + e d i ~ Ẽ d ĩ
Trên quỹ đạo của hạt, diện trường bằng không và từ trường không phụ thuộc vào 6, cụ thể là
Eq = Et = E z = Bị = 0.
Số phương trình th ứ n h ất và thứ ba ỏ trên đưọc rú t gọn lại như sau
Trên quỹ dạo cân bằng, r = R và phưong trình (1) trỏ th àn h
m* © =~eBoR( í ) '
hay
dd e B 0
l i ~ ~ at m ~ ~ u)° >
u>0 là vận tốc góc của chuyển động tròn của h ạt, nó chính là tầ n số góc.
Phương pháp thực nghiệm và các chủ đề đa dạng 679 Quỹ đạo thực thăng giáng xung quanh quỹ dạo cân bằng, ỏ gần quỹ đạo cân bằng, ta viết r = R + p, ư ong đó p là lượng vô cùng nhỏ bậc nhất, giống như z, và chỉ giữ lại các đại lượng nhỏ bậc nhất, ta có
Do
Xét thành phần 6 ta có
ô B o
M
V XB = 0, dBr _ d B z
dz dr
Từ đó kết hợp vói
Br(p, z) * Br(p, 0) + ( ^ ) 2=o * = 0 + [ ^ Ệ ) z=ữ ■
( n B z \ nBo
~ \ ~ ) , = 0 Z = ~ R Z ' từ B = B z = Bo với p = 0 ta có
Đê’ xét dao dộng q u an h R , cho r = R + p. Bằng cách biểu diễn gần đúng B z và B r và giữ lại n hữ ng dại lượng nhỏ bậc m ột, phương trình (1) và (2) rút gọn trỏ thành
d*p _ 2/1 \
d 2z 2
^ = - < n z .
Do đó nếu n < 1, ta sẽ có dao dộng bền theo phương bán kính vỏi tần số n— - v /l - neBo
uip — V I - nu>0 = ---.
m
Nếu n > 0, ta có dao dộng bền theo phương thẳng đứng với tần số
w , = s f r u>0 = .
680 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản Do chỉ khi thỏa m ãn diều kiện 0 < n < 1 thì h ạ t sẽ có d ao động bền quanh quỹ đạo cân bằng th eo cả phưong thẳng dứng và phương ngang.
4 1 2 3
Một m áy gia tốc hiện đại tạo ra hai chùm proton chuyển dộng quay tròn ngược chiều va chạm trực diện vối nhau. Mỗi chùm đ ều có các proton năng lượng 30 GeV
(a) Năng lượng va chạm toàn phần trong hệ quy chiếu khối tâm là bao nhiêu?
(b) Máy gia tốc proton truyền thống phải cần n ăn g lượng bao nhiêu dể khi proton bắn vào bia hydro cố định cũng cho năng lưọng khối tâm n h u trên?
(c) Neu tốc độ va chạm proton-proton trong m áy gia tốc mới là lũV s, uóc tính độ chân không cần thiết trong hệ sao cho tốc dộ va chạm giữa proton với các phân tử khí còn lại có cùng bậc về dộ lớn trong ống dài 5 m. Lấy chu vi m áy gia tốc là 1000 m, ơp.khị = lO-2 5 cm 2, và diện tích của chùm hạt là 1 m m 2.
(Columbia)
Lời giải:
(a) Hệ quy chiếu khối tâm dược định nghĩa là hệ quy chiếu m à trong đó động lượng toàn p hần của các hạt bằng 0. Do vậy đối vói các chùm hạt va chạm , hệ khối tâm đồng n h ất vói hệ quy chiếu p hòng thí nghiệm . Từ dó năng lượng toàn p hân của va chạm trong hệ khối tâm là 2Ep = 2 X 30 = 60 GeV
(b) Nếu sử dụng m áy gia tốc truyền thống và m ột bia cố đ ịn h thì ta có bình phương khối lượng bất biến là
s = (Ep + rripÝ - p ị
= E l - p ị + 2E pm v + n iị
= 2E pm p + 2rríị . Trong hệ quy chiếu khối tâm ta có
s = (60)2 = 3600 GeV2 . Do s không dổi qua phép biến đổi Lorentz n ên ta có
2 Ej,mp + 2 m ị = 3600,
s
Phương pháp thuc nghiêm và các chủ đề đa dạng 681
Hay năng lượng cần có của chùm proton lả 1800 - 0 ,9382
0,938 = 1918 GeV,
(c) Gọi n, s là m ật độ proton ư ê n diện tích tiết diện của mỗi chùm hạt, L là chu vi cùa quỹ đạo của chùm hạt, l là chiều dài của ống chứa khí còn dư với mật độ p. Số va chạm trong m ột dơn vị thòi gian trong m áy chùm h ạ t va chạm là
r = — = { n sL)2Cơpp „2 27-
A t ~ ị ỉ \ ~ L pp •
Số va cham trên một dơn vị thòi gian trong ống khí là N ' _ NpNaƠỊ
T At'
_ N pNaơpa rN ( psiN A \ cơpa
trong đó A là khối lưọng phân tử của chất khí và Na là số Avogadro.
Nấu ré = r, ta có
A L ơpp p = i r T _ r
Na l ơ pa Do T = 104 s_1, nên ta có
- n.
( 10'
n = -TT— 104
ị s t L c ơ p p ) \ 1 0- 4X 105X 3 X 1010X 3 X 10“ 26
= 1,8 X 109 cm- 3,
Trong đó lấy ơ p p = 30 m b = 3 X l ( r 2fi cm 2. Do vậy ta thu được 29 /ỊOOgN f 3 x l 0 - ^ x l H 6,02 X 1023 V 5 10“ 25
= 5 ,3 X 10-12 g cm- 3 , Áp suất p của không khí còn dư trong ống là
5.3 X 10-1 2 p 1.3 X 10-3 “ T ’
,8 X 10y
682
V
Bài tập & lời giải Vật lý nguyên củ, hạt nhân và hạt cơ bản Do vậy mức độ chân không là p = 4 X 10 9 atm .
4 1 2 4
Giả sử bạn có th ể tạo ra m ột chùm proton năng lượng E ư o n g phòng thi nghiệm (với E ằ m pc2) và cú th ể chế tạo m ột m ỏy cú m ột chựm bắn vào bia cố dịnh hoặc chia chùm h ạt thành hai phần (năng lượng E) d ể tạo ra máy chùm hạt va chạm.
(a) Hãy so sánh các đặc điểm của hai cách chế tạo trên th eo các m ặt sau:
(1) năng lượng ngưỡng cho việc sinh hạt, (2) tốc độ sự kiện,
(3) phân bố góc của các hạt được tạo ra và ảnh hường của nó tối việc thiết kế dầu dò.
(b) Xét hạt z ° { M e 2 K5 90 GeV) sinh ra trong va chạm p + p tại ngưỡng.
Năng lượng cần thiết trong từng loại m áy là bao nhiêu?
(c) Với chùm h ạt năng lưọng E, năng lượng cực dại cùa m ột m eson 7T dược sinh ra trong mỗi loại máy là bao nhiêu?
(CUSPEA ) Lời giải:
(a) (i) Khối lượng bất biến bình phuơng là như n h au trước và sau phản ứng
s = ~ ( p i + P2Ỹ = - ( P Í + p'2 + p) 2 ,
Trong đó P i , P 2là dộng lượng 4 chiều ban đầu của hai proton, p'j, p'2 là dộng lượng bốn chiều cuối cùng của chúng, và p là động lượng 4 chiều cùa hạt mới khối lữỢng nghỉ M .
Khi dó vối m ột proton ban đầu dứng yên, PJ = ( P i, Ep), P2 = (0. m p ) và do vậy
s = ( E i + 77ip)2 -
= [ É ị — P j ) + r r í ị + 2 E \ m v
= 2r r í ị + 2 E i m p .
Phương pháp thực nghiệm và các chủ đề đa dạng 683 Tại ngưõng, trạng thái cuối cùng có
p\ - p'ĩ — (0>m p)> p = (0, M ) và như vậy s' = (2mp + M )2 .
Đê’ phản ứng xảy ra ta cần
s > s' , hay
E1 > m p + 2M + —M 2—— . 2m p
Đối vói trưòng hợp chùm hạt va chạm ta có Pi = (p c, E c), P2 = ( - p c, E c) và khối lượng bất biến bình phương là
S " = (2Ecf - ( P c - P c ) 2 = 4E l.
Diều kiện S " > S ' cho ta
Ec > Tlĩp + y .M
Đờ’ ý rằng El ằ E c nếu M ằ m v. Do vậy mỏy va chạm chựm hạt cú thể tạo ra cùng m ột hạt mới với năng lượng proton ỏ năng lượng thấp hơn rất nhiều.
(ii) Do bia cố định cho ta rất nhiều proton bia tồn tại trong hạt nhân của nó, do vậy tốc dộ sự kiện xảy ra trong máy có bia cố định lớn hơn nhiều so với máy chùm hạt va chạm .
(iii) Với m áy có bia cố dịnh, hầu hết các hạt cuối đều chuẩn trực theo chiều tiến của chùm h ạt trong phòng thí nghiệm . Việc phát hiện các hạt mới sẽ phải đối m ặt với phân bố h ạ t có tính định hướng hình học cao và có thê gặp khó khăn trong việc phân biệt chúng với nền của chùm hạt tới.
Vói m áy chùm h ạ t va chạm , các hạt được sinh ra có sự phân bố dồng dều hơn trong phòng thí nghiệm do động lượng toàn phần trong hệ va chạm bằng 0. Trong trường hợp này các đầu dò sẽ phải bao trùm toàn bộ góc khối 47T.
(b) Sử dụng công thức trong câu (a) (i) vói 77ip = 0.94 G eỵ M = 90 GeY ta có năng lượng ngưỡng cho máy có bia cố dịnh là
El = m v + 2 M + — - = 0,94 + 2 X 90 + — -7- - = 4489 G eV .
y 2m v 2 X 0,94
684 Bài tập & lời giải Vật lý nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bàn Và cho m áy va chạm chùm h ạt là
M 90
Ec = m p + —• = 0,94 + — = 45,94 G eV . (c) Trường hợp m áy va chạm chùm hạt
Gọi P ), P2 là dộng lượng của proton ỏ trạng thái cuối, và p n là dộng lượng của pion sinh ra. Bảo toàn năng lượng dòi hỏi
2 E = ^ m ị + p ] + ^ m ị + p ị + y j m ị + p ị . Bảo toàn động lượng đòi hỏi
P i + P 2 + P t t = 0 ,
hay
p ị = P Ĩ'+ v \ + 2P1P2 cos a .
Điều này có nghĩa là d ể p „ đ ạt cực đại, góc ữ giữa P i , p2 phải bằng 0 ,
do ^ s in a . Như th ế tại giá trị cực đại pn, hạt ỏ trạn g thái cuối phải chuyển dộng trên cùng m ột phương. Ta có
P 2 = — ( P l + P * ) -
Phương trình năng lượng trỏ thành
2 E = \Jm ị + (Ptt + P i) 2 + y / m ị + p ị + m ị + Pị . Lấy dạo hàm ta dược
0 _ (Pn + p i ) d ( p n + Pi) pndpi, P\dp\
\ J m ị + (pn + Pi)2 V m ị + PỈ ^Ịrríị + pf Cho dpn/dp-1 = 0, ta tìm được
Pì = (Pn + P i )
\Jm ỉ + P Ĩ \ ] m ì + (p* + P l) 2 Do vậy
p 7r = 2pi , P2 = Pl ■