2.1.1 Tính chất của đa giác lưỡng tâm
Trước hết, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa hệ thức Fuss của n-giác lưỡng tâm và hệ thức Fuss của 2n-giác lưỡng tâm thông qua định lý sau.
Định lý 2.1.1. ([10]) Cho A1. . . An là một n-đa giác lưỡng tâm bất kỳ.
Gọi R0 là bán kính đường tròn ngoại tiếp của A1. . . An, r0 là bán kính đường tròn nội tiếp, d0 là khoảnh cách tâm giữa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Khi đó, tồn tại R2, d2, r2 sao cho
R22 +d22 −r22 = R20 +d20 −r02 (2.1)
R2d2 = R0d0, (2.2)
R22 −d22 = 2R0r2. (2.3) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ phương trình, ta có thể kiểm chứng được rằng hệ phương trình trên có hai nghiệm dươngR2`, d2`, r2`, ` = 1,2
của R2, d2, r2 là
R221 = R0
R0 +r0 + q
(R0 +r0)2 −d20
R222 = R0
R0 −r0 + q
(R0 −r0)2 −d20
(2.4)
d221 = R0
R0 +r0 − q
(R0 +r0)2 −d20
d222 = R0
R0 −r0 −q(R0 −r0)2 −d20
(2.5)
r212 = (R0 +r0)2 −d20
r222 = (R0 −r0)2 −d20. (2.6) Ngoài ra, ta dễ dàng kiểm tra được rằng
R212 d221 = R222d222 = R20d20, R221−d221 = 2R0r21, R222−d222 = 2R0r22. (2.7) Bằng cách tính toán trực tiếp, từ (2.1)-(2.3) ta có
R0 = R22 −d22 2r2
, d0 = 2R2r2d2
R22 −d22, (2.8)
r20 = −(R22 +d22 −r22) +
R22 −d22 2r2
2 +
2R2r2d2
R22 −d22 2
:= ϕ(R2, d2, r2).
(2.9) Ngoài ra, thay R0, d0, r0 trong (2.1), (2.2) và (2.3) tương ứng bằng R21, d21, r21. Khi đó R2, d2, r2 của hệ mới được chuyển thành
R2211 = R21
R21 +r21 + q
(R21+ r21)2 −d221
, R2212 = R21
R21 −r21+ q
(R21 −r21)2 −d221
, d2211 = R21
R21+ r21 − q
(R21 +r21)2 −d221
, d2212 = R21
R21−r21 − q
(R21−r21)2 −d221
, r2112 = (R21+ r21)2 −d221,
r2122 = (R21−r21)2 −d221.
Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét R21, d21, r21 và R211, d211, r211.
Trong [10], Radi´c và Trinajsti´c đã đề xuất giả thiết sau.
Giả thiết 2.1.2. ([10]) GọiFn(R0, d0, r0) = 0 là hệ thức Fuss của n-giác lưỡng tâm, trong đó một đường tròn nằm trong đường tròn còn lại. Khi đó sử dụng (2.8)-(2.9), ta thu được hệ thức Fuss F2n(R2, d2, r2) = 0 của 2n-giác lưỡng tâm bằng
Fn
R22 −d22 2r2
; 2R2r2d2
R22 −d22;ϕ(R2, d2, r2)
= 0.
Ngược lại, từ hệ thức FussF2n(R2, d2, r2) = 0 ta có thể thu đượcFn(R0, d0, r0) = 0 thông qua các công thức (2.4)-(2.6).
2.1.2 Mối quan hệ giữa n-giác lưỡng tâm và 2n-giác lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp
Trong [10], các tác giả chỉ ra rằng kết quả của Định lý 2.1.1 vẫn đúng khi một đường tròn không nằm hoàn toàn trong đường tròn khác, tức là, khi thay đường tròn nội tiếp bằng đường tròn bàng tiếp. Theo [10] ta có bốn kết quả đã biết sau liên quan tới n-giác lưỡng tâm.
(i) Nếu R0, d0, r0 là các độ dài (thực chất là các số dương) thỏa mãn d20 −R20 = 2r0R0, d0 + r0 > R0, d0 +R0 > r0, (2.10) thì tồn tại tam giác A0B0C0 sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của 4A0B0C0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của 4A0B0C0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
(ii) Nếu R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn
d20 −R20 = 2d0r0, d0 +r0 > R0, d0 +R0 > r0, (2.11)
thì tồn tại lục giác A0B0C0D0E0F0 lưỡng tâm sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0E0F0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0E0F0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
(iii) Nếu R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn
R0 = d0, 2R0 > r0, (2.12) thì tồn tại tứ giác A0B0C0D0 lưỡng tâm sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
(iv) Nếu R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn
R40−2d20R20−4d0r02R0+d40 = 0, d0+r0 > R0, d0+R0 > r0 (2.13) thì tồn tại bát giác A0B0C0D0E0F0G0H0 lưỡng tâm sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0E0F0G0H0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0E0F0G0H0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
Bây giờ ta có thể công thức hóa kết quả chính của mục này thông qua một số định lí và ví dụ sau.
Định lý 2.1.3. ([10]) Cho R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn
d0 +R0 > r0 hoặc d0 +r0 > R0. (2.14) Khi đó ta có các bất đẳng thức tương ứng sau
d21 +R21 > r21 hoặc d21 +r21 > R21. (2.15) Chứng minh. Do các hệ thức (2.4)-(2.6) và đẳng thức sau được rút ra từ (2.7),
R21d21 = R0d0, (2.16)
R0 +d0 > r0 ⇒ (R0 +d0)2 > r20
⇔R02 + 2R0d0 +d20 > r20
⇔2R0(R0 + r0) + 2R0d0 > R20 + 2R0r0 + r02 −d2
⇔d221 + 2d21R21 +R221 > r212
⇔d21 +R21 > ±r21
⇔d21 +R21 > r21 (Vì r21 > 0 là bán kính (2.17) đường tròn bàng tiếp của đa giác.).
Tiếp theo, giả sử d0+r0 > R0, một lần nữa sử dụng (2.4)-(2.6), (2.16) và tính chất của đường tròn bàng tiếp, ta được
d0 + r0 > R0 hay rn > R0 −d0 ⇒ r02 > (R0 −d0)2
⇔R20 + 2R0r0 +r02 −d20 > 2R0(R0 +r0)−2R0d0
⇔r221 > 2R0(R0 +r0)−2R0d0
⇔r221 > R221+d221 −2R21d21
⇒d21+ r21 > ±R21
⇒d21+ r21 > R21 (Vì R21 > 0 là bán kính (2.18) đường tròn ngoại tiếp của đa giác).
Định lý 2.1.4. ([10]) Cho R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn (2.10), tức là
d20 −R20 = 2r0R0, d0 +r0 > R0, d0 +R0 > r0. Khi đó, tồn tại lục giác A0B0C0D0E0F0 lưỡng tâm sao cho
R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0E0F0, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0E0F0, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn.
Chứng minh. Theo (2.11), ta phải chứng minh
R221 −d221 = 2d21r21. (2.19)
Áp dụng (2.4)-(2.6) ta có
d20 −R20 = 2r0R0
⇔ r02 = (R0 +r0)2 −d20
⇒ R0 = R0 +r0 − q
(R0 +r0)2 −d20
⇔ R20 = d221
⇔ R20[(R0 + r0)2 −d20] = d221r221
⇔ 2R0
q
(R0 +r0)2 −d20] = ±2d21r21
⇒ R221−d221 = 2d21r21. (2.20) Định lý 2.1.5. Nếu R0, d0, r0 là các độ dài thỏa mãn (2.12), tức là
R0 = d0, r0 < 2R0.
Khi đó, tồn tại bát giác A0B0C0D0E0F0G0H0 lưỡng tâm sao cho R21 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A0B0C0D0E0F0G0H0, r21 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A0B0C0D0E0F0G0H0, d21 = khoảng cách tâm của hai đường tròn,
trong đó để tính R21, r21, và d21 ta sử dụng công thức (2.4), (2.5), (2.6) và R0 = d0, r0 < 2R0.
Chứng minh. Theo (2.13), ta cần phải chứng minh
R214 −2d221R221−4d21r212 R21+ d421 = 0. (2.21) Ta có
R421+d421 = 4R20(R0 + r0)2 = 2R20d20,
−2d221R221 = −2R02d20,
−4d21R21r212 = −4R0d0[(R0 +r0)2 −d20];
vì d0 = R0 nên ta suy ra (2.21).
bất kỳ sao cho tồn tại một n-giác lưỡng tâm A1. . . An trong đó R0 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của A1. . . An, r0 = bán kính đường tròn bàng tiếp của A1. . . An, d0 = khoảng cách tâm của hai đường tròn,
và d0 +r0 > R0 và d0 +R0 < r0. Khi đó, tồn tại một 2n-giác lưỡng tâm B1. . . B2n sao cho
R21 = bán kính đường tròn ngoại tiếp của B1. . . B2n, r21 = bán kính đường tròn bàng tiếp của B1. . . B2n, d21 = khoảng cách tâm của hai đường tròn;
để có R21, d21, r21 tương ứng ta dùng (2.4)-(2.6).
Với n = 3 và n = 4 thì Giả thiết 2.1.2 được dễ dàng suy ra từ các Định lý 2.1.3, 2.1.4 và 2.1.5.