B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
6. Kí hiệu khoa học của một số
Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng α.10n , 1≤ <10, n ∈ ℤ (Quy ước n 1n
10 10
) dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Lời giải
Ta có độ dài gần đúng của cầu là a = 996 với độ chính xác d = 0,5 Vì sai số tuyệt đối a ≤ d = 0,5 nên sai số tương đối
a a
d d 0,5
0,05%
a a a 996
� �
Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0,05%.
Lời giải Ta có δa = a a a a
a
�
a) Với a = 123456, δa = 0,2% ta có sai số tuyệt đối là
a= 123456.0,2% = 146,912
b) Với a = 1,24358, δa = 0,5% ta có sai số tuyệt đối là
a= 1,24358.0,5% = 0,0062179.
Lời giải
a) Ta có 0,001 < 0,002 < 0,01 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm
Do đó ta phải quy tròn số a = 2,235 đến hàng phần trăm suy ra a ≈ 2,24 .
b) Ta có 100 < 101 < 1000 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng nghìn
Do đó ta phải quy tròn số a = 23748023 đến hàng nghìn suy ra a ≈ 23748000.
DẠNG TOÁN 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG. VIẾT SỐ QUY TRÒN
Ví dụ 1: Độ dài của cái bến thủy hai (Nghệ An) người ta đo được là 996m ± 0,5m . Sai số tương đối tối đa tỏng phép đo là bao nhiêu.
Ví dụ 2: Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số gần đúng a,b biết sai số tương đối của chúng.
a) a = 123456, δa = 0,2% b) a = 1,24358, δa = 0,5%
Ví dụ 3: Làm tròn các số sau với độ chính xác cho trước.
a) a = 2,235 với độ chính xác d = 0,002 b) a = 23748023 với độ chính xác d = 101
Lời giải
a) Ta có 8 2,8284 ... do đó giá trị gần đúng của 8đến hàng phần trăm là 2,83
Ta có 8 2, 3 8 2,83� 8�2,83�2,8284 0,00 � 16 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2,83 không vượt quá 0,0016.
Giá trị gần đúng của 8 đến hàng phần nghìn là 2,828 Ta có 82,828 2 8�2,828�2,8284 2,828 0,00 � 4
Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2,828 không vượt quá 0,004 . b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có 320154= 25450,71966...
Do đó giá trị gần đúng của 320154 đến hàng chục là 25450
Ta có 320154 25450 320154 25450 25450,72 25450 0,72� Giá trị gần đúng của 320154 đến hàng trăm là 25500 .
Ta có 320154 25500 25500 320154 �25500 25500,71 49,29
2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.41. Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của mỗi số sau, chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn :
a) 3 ; b) 2.
Hướng dẫn giải
a) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có 3 = 1,732050808... Do đó: Giá trị gần đúng của 3chính xác đến hàng phần nghìn là 1,732.
b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của 2 là 9,8696044... Do đó : Giá trị gần đúng của 2 chính xác đến hàng phần trăm là 9,87. Giá trị gần đúng của 2 chính xác đến hàng phần nghìn là 9,870.
Bài 1.42: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây:
a) a = 17658 ± 16 ; b) a = 15,318 ± 0,056 . Hướng dẫn giải
Ví dụ 4: a) Hãy viết giá trị gần đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn biết 8 2,8284 ... Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp.
b) Hãy viết giạ trị gần đúng của320154 chính xác đến hàng chục và hàng trăm biết 320154 = 25450,71.... Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp.
a) Vì 10 < 16 < 100 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng trăm. Nên ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là 17700 (hay viết a ≈ 17700 ).
b) Ta có 0,01 < 0,056 < 0,01 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần chục. Do đó phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục. Vậy số quy tròn là 15,3 (hay viết a ≈ 15,3 ).
Bài 1.43: Cho số 7
x 2. Cho các giá trị gần đúng của x là :0,28 ; 0,29 ; 0,286 . Hãy xác định sai số tuyệt đối trong trường hợp và cho biết giá trị gần đúng nào là tốt nhất.
Hướng dẫn giải
Ta có các sai số tuyệt đối là:
a 2 1 b 2 3 c 2 1
0,28 ; 0,29 ; 0,286
7 175 7 700 7 3500
Vì c b a nên c = 0,286 là số gần đúng tốt nhất.
Bài 1.44: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m ± 0,5m và chiều dài y= 63m ± 0,5m .
Chứng minh rằng chu vi P của miếng đất là P = 212m ± 2m . Hướng dẫn giải
Giả sử x = 43 + u, y = 63 + v.
Ta có P = 2x + 2y = 2(43+63) + 2u + 2v = 212 + 2(u+v).
Theo giả thiết 0,5 ≤ u ≤ 0,5 và 0,5 ≤ v ≤ 0,5 nên 2 ≤ 2(u+v) ≤ 2.
Do đó P = 212m ± 2m.
1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Lời giải a) Vì 100
2 = 50 < 100 < 1000
2 = 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số hàng nghìn (số 4) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1,2,3,4 .
Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103 . b) Ta có a a a a. a 1%.1,346
a 2 0,013462
�
Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0,013462 nên ta có thể xem độ chính xác là d = 0,013462.
Ta có 0,01
2 = 0,005 < 0,013462 <0,1
2 = 0,05 nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không là số chắc, còn chữ số hàng phần chục (số 3) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là 1 và 3 .
Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3.
Lời giải a) Ta có 10
2 = 5 < 12 < 100
2 = 50 nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chắc do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 4673.102 .
b) Ta có 0,01
2 = 0,005 < 0,006 < 0,1
2 = 0,05 nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chắc do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 2,5 .
DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN CỦA CHỮ SỐ GẦN
ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ
Ví dụ 1: Tìm số chắc và viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết
a) Số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với độ chính xác d = 100 người.
b) a = 1,3462 sai số tương đối của a bằng 1%.
Ví dụ 2: Viết các số sau dưới dạng chuẩn
a) a = 467346 ± 12 b) b = 2.4653245 ± 0.006
Ví dụ 3: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s.
Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học
Lời giải
Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây
Vậy một năm có 24.365.60.60 = 31536000 giây.
Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được 31536000.300 = 9,4608.109 km.
2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.45: Số dân của một tỉnh là A = 1034258 ± 300 (người). Hãy tìm các chữ số chắc và
viết A dưới dạng chuẩn.
Hướng dẫn giải Ta có : 100
2 = 50 < 300 < 500 = 1000
2 nên các chữ số 8(hàng đơn vị), 5(hàng chục) và 2(hàng trăm) đều là các chữ số không chắc.
Các chữ số còn lại 1, 0, 3, 4 là chữ số chắc.
Do đó cách viết chuẩn của số A là A ≈ 1034.103 (người).
Bài 1.46: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo a = 192,55 m , với sai số tương đối không vượt quá 0,2%. Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a.
Hướng dẫn giải Ta có sai số tuyệt đối của số đo chiều dài con dốc là :
a
a a.� 182,55.0,2% 0.3851�
= a. ≤ 182,55.0,2% = 0.3851
Vì 0.05 < a < 0,5 . Do đó chữ số chắc của d là 1, 9, 2.
Vậy cách viết chuẩn của a là 193m (quy tròn đến hàng đơn vị).
Bài 1.47: Cho 3,141592 < < 3,141593. Hãy viết giá trị gần đúng của số dưới dạng chuẩn và đánh giá sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này trong mỗi trường hợp sau :
a) Giá trị gần đúng của có 5 chữ số chắc;
b) Giá trị gần đúng của có 6 chữ số chắc;
c) Giá trị gần đúng của có 3 chữ số chắc.
Hướng dẫn giải
a) Vì có 5 chữ số chắc nên số gần đúng của được viết dưới dạng chuẩn là 3,1416 (hay �3,1416).
Sai số tuyệt đối của số gần đúng là 3,1416 �0,000008. Vì có 6 chữ số chắc nên �3,14159và sai số tuyệt đối của số gần đúng này là
3,14159 0,000003.
�
Vì có 3 chữ số chắc nên �3,14và 3,14 �0,001593. ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1.48: Cho Oxy, lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng:
P: “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy”.
Q: “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy”,
Hướng dẫn giải
P ⇒ Q: “Nếu điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy thì M cách đều hai cạnh Ox, Oy”: đúng.
Q ⇒ P: “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy thì M nằm trên phân giác của góc Oxy”: đúng.
P � Q: ”Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy nếu và chỉ nếu (khi và chỉ khi) điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy” : đúng.
Hay : P �Q : “Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy là M cách đều hai cạnh Ox, Oy” : đúng.
Bài 1.49: Cho định lí: “Cho số tự nhiên n. Nếu n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Định lí này được viết dưới dạng P ⇒ Q.
a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q.
b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”.
c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”.
d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo.
Hướng dẫn giải
a) P : “n là số tự nhiên và n5 chia hết cho 5”, Q: “n chia hết cho 5”.
b) Với n là số tự nhiên, n chia hết cho 5 là điều kiện cần để n5 chia hết cho 5; hoặc phát biểu cách khác: Với n là số tự nhiên, điều kiện cần để n5 chia hết cho 5 là n chia hết cho 5.
c) Với n là số tự nhiên, n5 chia hết cho 5 là điều kiện đủ để n chia hết cho 5.
d) Định lí đảo : “Cho số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 5 thì n5 chia hết cho 5”.
Thật vậy, nếu n = 5k thì n5 = 55.k5 : Số này chia hết cho 5.
Điều kiện cần và đủ để n chia hết cho 5 là n5 chia hết cho 5.
Bài 1.50: Cho tập X = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}.
a) Hãy tìm tất cả các tập con của X có chưa phần tử 1, 3, 5, 7.
b) Có bao nhiêu tập con của X chưa đúng 2 phần tử ? Hướng dẫn giải
a) Các tập con của X chứa có các phần tử 1, 3, 5, 7 được thành lập bằng cách thêm vào tập {1 ; 3 ; 5 ; 7} các phần tử còn lại của tập X.
b) Do đó tất cả các tập con của X có chứa các phần tử 1, 3, 5, 7 là:
{1 ; 3 ; 5 ; 7}, {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 2}, {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 4}, {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 6}, { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 2 ; 4 }, { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 2 ; 6 }, { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 4 ; 6 } và X.
c) Giả sử tập cần tìm là { a ; b } với a ≠ b.
Vì X có 7 phần tử nên có 7 cách chọn phần tử a. Sau khi chọn a thì X còn 6 phần tử, do đó với mỗi cách chọn a, ta có 6 cách chọn phần từ b, như vậy có 7.6= 42 cặp (a ; b) theo cách chọn này.
Nhưng với cách chọn trên thì với hai phần tử bất kì a, b ta đã chọn lặp lại hai lần, đó là hai cặp (a ; b) và (b ; a), nhưng chỉ có duy nhất tập {a ; b}.
Do đó, có42
2 = 21 tập con của X chứa đúng hai phần tử.
Bài 1.51: Xét tính đúng sai của mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó.
a) x��: 4x2 1 0 ; b) x� , x�� 23;
c) n��*:2n 3 là một số nguyên tố; d) n��:x2 4x 5 0 ; e) n��:x4 x2 2x 2 �0
Hướng dẫn giải a) Giải phương trình: 4x2 1 0
x 21
� � ��. Vậy mệnh đề đã cho đúng.
Mệnh đề phủ định x��: x4 2 1 � 0
b) Ta có x2 3�x�3 . Vì � ��3 nên mệnh đề đã cho sai.
Mệnh đề phủ định x��,x2� 3
c) Với n = 5 thì 2n + 3 = 35, số này chia hết cho 5 (không nguyên tố). Do đó mệnh đề đã cho sai.
Mệnh đề phủ định “n��*: 2n + 3 không phải là một số nguyên tố”
d) Mệnh đề đúng vì x2 + 4x + 5 = (x+2)2 + 1 >0, x��
Mệnh đề phủ địnhx��, x2 + 4x + 5 ≤ 0
e) x4 – x2 + 2x + 2 = (x2 – 1)2 + (x + 1)2 nên mệnh đề đã cho đúng.
Mệnh đề phủ định x��, x4 – x2 + 2x + 2 < 0
Bài 1.52: Xét định lí : “Nếu x là số thực âm thì 1
x x� 2 ”.
a) Viết định lí trên dưới dạng kí hiệu.
b) Định lí trên có định lí đảo không? Giải thích.
c) Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiên đủ” để phát biểu định lí trên.
Hướng dẫn giải a) x��, x<0 ⇒ 1
x x� 2 b) Mệnh đề đảo là x��, 1
x x� 2 ⇒ x < 0 Ta có x x2 2x 1 x 12
x x
1 2 x
do đó 1
x x� 2 ⇒ x < 0 là mệnh đề đúng
Vậy định lí trên có định lí đảo.
Bài 1.53: Chứng minh bằng phản chứng định lí sau:
Chứng minh rằng với n��, ta có: n: lẻ � 3n + 1: chẵn Hướng dẫn giải
Thuận: Cho n : lẻ, thì n = 2k +1 (k��)
3n 1 3 2k 1 1 6k 4 2 3k 2 , v�i 3k 2
� ��
⇒ 3n + 1: chẵn
Đảo: cho 3n + 1 : chẵn, ta chứng minh n: lẻ Dừng phương pháp phản chứng:
Giả sử n: chẵn, tức là n = 2k (k ℕ)
⇒ 3n + 1 = 6k + 1 ⇒ 3n + 1: lẻ: trái với giả thiết. Vậy 3n + 1: lẻ.
Từ hai phần thuận và đảo ta được: n: lẻ �3n + 1 : chẵn Bài 1.54: Cho các tập hợp:
A x��1 x 6� ,
4 2
B x��1 3x x 3x 2 0 , �C 0;1;2;3;4;5;6
a) Viết các tập hợp A, B dưới dạng liệt kê các phần tử, tập C dưới dạng chỉ rõ tính đặc trưng của phần tử.
b) Tìm A∩B, A∪B, A\B, CB A� A B� . c) Chứng minh rằng A ∩ (B ∪ C) = A.
Hướng dẫn giải a) A= {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} , 1
B 1; ;1 3
� �
� �
� vì
4 2
x 1 1
( 3x x)( 3x 2 0 x 2 )
13
�
��
� � �
��
� �
C x �x 6
b) A∩B = { 1;1} A∪B = 1
1;0; ;1;2;3;4;5 3
� �
� �
� , A\B = 0;2;3;4;5 ,
CB A� A B� = {0;1/3;2;3;4;5}
c) B∪C = { 1;0;1/3;1;2;3;4;5;6}, A∩(B∪C) = { 1;0;1;2;3;4;5} = A
Bài 1.55: Tìm quan hệ bao hàm hay bằng nhau giữa các tập hợp sau đây:
a) A x��x 2 ; Bx��x2x x 2 2 0
b) A x��4x2 9 0 ; Bx��x24x 0
c) A x��1 x 4 ; Bx��x2 9 0
Hướng dẫn giải a) Ta có: A x��x 2 ⇒ A = {0;1}. (1)
2 2
B x�� x x x 2 0
2 2 22
x x 0 x 0 x 1 x x x 2 0
x 2 x 2 0
� � �
���� � �� � ��
B 0 ; 1 x 0
1 2
x
�
��
�
Từ (1) và (2) cho: A = B.
b) Ta có: 2 3
2 A
4x � 9 0 �x� � �� ������(3)
x2 4x 0� x 0�x � � 4�B 0; 4 .����4 { } � Từ (3) và (4) cho: A�B.
c) Ta có: A x��1 x 4 ⇒ A = {2 ; 3}.
2
B x��x 9 0 ⇒ B = { 3 ; 3}.
Ta thấy: 2 A� mà 2 B� nên A ⊄ B; 3 B� mà 3 A� nên B A� Bài 1.56: Cho A = {0; 2; 4; 6}, B = {4; 5; 6}.
a) Hãy xác định tất cả các tập con khác rỗng X,Y của A biết rằng X �Y và (A� �B) X;
b) Hãy xác định tất cả các tập P biết rằng (A B� � � �) P (A B). Hướng dẫn giải
a) Ta có (A�B) = {4 ; 6} ⊂ X.
Do đó các tập X,Y thỏa mãn yêu cầu là: X= {4 ; 6} và Y= {0 ; 2}, X={4 ; 6 ; 0}
và Y={2}, X = {4 ; 6 ; 2} và Y = {0}.
b) Ta có A B={0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 5}, do đó tập P thỏa mãn điều kiện A B)⊂P⊂( A B) là :
{4 ; 6}, {4 ; 6 ; 0}, {4 ; 6 ; 2}, {4 ; 6 ; 5}, {4 ; 6 ; 0 ; 2}, {4 ; 6 ; 2 ;5}, {4 ; 6 ; 5 ; 0} và {4 ; 6 ; 0 ; 2 ; 5}.
Bài 1.57: Cho ba tập hợp:
A � � � �� γx � 3 x 1 ;B x � 1 x 5 ;C x �x 2
Xác định tập hợp sau đây và viết kết quả dưới dạng khoảng, đoạn hay nửa khoảng: (A�B), (A�B), B \ A �C
a) Chứng minh rằng: C A B� � C A� � C B� . Hướng dẫn giải a) Ta có : A B 3 ; 1� �1 ; 5 1 ; 1
A B 3 ; 1� �1 ; 5 3 ; 5 ;B \ A 1 ; 5 \ 3 ; 1 1 ; 5
C γ � � ��x �x 2 ; 2 2; ; B \ A C 2;5 . b) Ta có : C A B� � C�3;5 �; 3 � 5;� .���1
�������
C A C 3;1 ; 3 1; ;C B C 1;5 ; 1 5;
C A C B ; 3 5; . ��2
� � � � � �
� � � �
� � � �
� �
(1) và (2) cho: C A B� � C A� � C B� . Bài 1.58: Cho hai tập hợp A, B bất kì.
Chứng minh rằng: A�B A � �B� A B . Hướng dẫn giải
Thuận: A B A B�� � , ta chứng minh: A = B x,x A x A B
� � � � (vì A� �A�B) ⇒ x A B� � (vì A B A B�� � ) ⇒ x B� ( vì A� �B B) Như thế: x,x A� � �x B, nên A ⊂ B (a)
x,x B x A B
� � � � (vì B A� �B) ⇒ x A B� � (vì A B A B�� � ) ⇒ x A� ( vì A� �B A) Như thế: x,x B� � �x A, nên B ⊂ A (b) Từ (a) và (b) cho A = B
Đảo: Cho A = B, ta chứng minh : A B A B�� �