2.2 Các phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm
2.2.2 Phương pháp phân tích Adomian
Phương pháp phân tích Adomian được dùng để giải phương trình vi-tích phân Fredholm, và chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp này một cách cụ thể thông qua việc giải phương trình vi-tích phân Fredholm cấp hai có dạng
u00(x) = f(x) + Z b
a
K(x, t)u(t)dt, u(0) = a0, u0(0) = a1 (2.26)
Khi đó ta lấy tích phân hai lần cả hai vế của (2.26) cận từ 0 tới x
u(x) = a0 +a1x+L−1(f(x)) +L−1( Z b
a
K(x, t)u(t)dt) (2.27) Trong đó điều kiện ban đầuu(0) = a0 và u0(0) = a1 được sử dụng, và L−1 là toán tử tích phân lấy lên hai lần. Phương pháp phân tích Adomian sử dụng chuỗi phân tích
u(x) =
∞
X
n=0
un(x) (2.28)
thay vào cả hai vế của (2.27) ta có P∞
n=0un(x) = a0+a1x+L−1(f(x))+L−1(Rx
0 K(x, t)P∞
n=0un(t)dt)hay là
u0(x) +u1(x) +u2(x) +u3(x) +ã ã ã = a0 +a1x+ L−1(f(x)) +L−1(
Z x 0
K(x, t)u0(t)dt) +L−1( Z x
0
K(x, t)u1(t)dt) +L−1(
Z x 0
K(x, t)u2(t)dt) +ã ã ã (2.29) Ta xác định các bộ phận thành phần u0(x), u1(x), u2(x), u3(x), ... của nghiệm u(x) bằng cách sử dụng công thức truy hồi
u0(x) = a0 +a1x+L−1(f(x)) uk+1(x) = L−1(
Z b a
K(x, t)uk(t)dt), k ≥ 0
trong đó u0(x) được định nghĩa là toàn bộ số hạng không bao gồm phần trong dấu tích phân của (2.29), ui(x), i ≥ 0 là các hàm của chuỗi hàm
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên
(2.28), và nghiệm u(x) của (2.26) biểu diễn được dưới dạng chuỗi. Sử dụng (2.28) chuỗi thu được hội tụ đến nghiệm chính xác của phương trình. Để sử dụng tốt phương pháp phân tích Adomian chúng ta kết hợp với phương pháp được tóm tắt sau
Phương pháp phân tích
Phương pháp phân tích Adomian biến đổi nghiệm dạng chuỗi vô hạn u(x)
u(x) =
∞
X
n=0
un(x) vào hai vế của phương trình tích phân Fredholm
u(x) = f(x) +λ Z b
a
K(x, t)u(t)dt Ta có công thức truy toán
u0(x) = f(x) uk+1(x) = λ
Z b
a
K(x, t)uk(t)dt, k ≥0
(2.30)
từ (2.30) ta có thể dễ dàng tính toán và xác định các bộ phận thành phần cấu thành của u(x)
Đối với nhiều trường hợp, hàm f(x) có thể là tổng của hai hàm bộ phận cụ thể là f1(x) và f2(x). Nói cách khác, ta có thể biểu diễn
f(x) = f1(x) +f2(x) (2.31) theo (2.31) khi đưa tập hợp vào dẫn tới sự thay đổi trong quá trình hình thành các phép truy toán (2.30). Khi đó ta sử dụng phương pháp đồng
nhất hóa thành phần u0(x) bằng một bộ phận của f(x) như là f1(x) hoặc f2(x). Bộ phận khác của f(x) bằng thành phần u1(x) và sử dụng phép truy hồi
u0(x) = f1(x) u1(x) = f2(x) +λ
Z b a
K(x, t)u0(t)dt uk+1(x) = λ
Z b a
K(x, t)uk(t)dt, k ≥ 1,
(2.32)
Hiện tượng số hạng nhiễu âm
Nếu như số hạng nhiễu âm xuất hiện giữa các bộ phận thành phần cấu thành của u(x) thì nghiệm chính xác chỉ có thể nhận được bằng cách xét duy nhất hai bộ phận thành phần đầu tiên là u0(x) và u1(x)
Số hạng nhiễu âm được định nghĩa như là số hạng đồng nhất với dấu đối có thể xuất hiện giữa các thành phần bộ phận cấu thành của nghiệm u(x). Chúng ta quan sát sự xuất hiện của số hạng nhiễu âm trong bộ phận thành phần cấu thành với dấu đối thì bằng cách giản ước số hạng này chúng ta sẽ thu được nghiệm chính xác.
Ví dụ 2.2.5. Dùng phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình vi-tích phân Fredholm sau
u0(x) = 8x3 + 2 + Z 1
0
u(t)dt, u(0) = 1 (2.33) Ta lấy tích phân hai vế của phương trình (2.33) cận từ 0 tới x
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên
u(x)−u(0) = 2x+ 2x4 +x Z 1
0
u(t)dt Sử dụng điều kiện ban đầu ta có
u(x) = 1 + 2x4 + 2x+x Z 1
0
u(t)dt (2.34)
Giả sử
u(x) =
∞
X
n=0
un(x) ta thế vào hai bên của (2.34)
∞
X
n=0
un(x) = 1 + 2x4 + 2x+x Z 1
0
∞
X
n=0
un(t)dt
Các hàm uj(x), j ≥ 0 của u(x) có thể xác định bằng cách sử dụng phép truy toán
u0(x) = 1 + 2x4 + 2x; uk+1(x) = x Z 1
0
uk(t)dt, k ≥0 Khi đó ta xác định được lần lượt các giá trị
u0(x) = 1 + 2x4 + 2x, u1(x) = x Z 1
0
u0(t)dt= 12x 5 u2(x) = x
Z 1 0
u1(t)dt= 6x
5 , u3(x) = x Z 1
0
u2(t)dt= 3x 5 ...
Nghiệm được tính dưới dạng chuỗi
u(x) = 1 + 2x+ 2x4+ x(12 5 + 6
5 + 3
5 + ã ã ã) Khi đó nghiệm chính xác
u(x) = 1 + 2x+ 2x4.
Ví dụ 2.2.6. Dùng phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình vi-tích phân Fredholm sau
u00(x) = −1−sinx+ Z π2
0
tu(t)dt, u(0) = 0, u0(0) = 1 (2.35) Lấy tích phân hai lần hai vế của phương trình (2.35) cận từ 0 tới x
u(x)−u(0)−xu0(0) = −x− x2
2 +sinx+ x2 2
Z π2
0
tu(t)dt sử dụng điều kiện ban đầu
u(x) = −x2
2 +sinx+ x2 2
Z π2
0
tu(t)dt (2.36) Gỉa sử có
u(x) =
∞
X
n=0
un(x) thế vào hai vế (2.36) ta được
∞
X
n=0
un(x) = −x2
2 +sinx+ x2 2
Z π2
0
t
∞
X
n=0
u(t)dt
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên
sử dụng phép truy toán u0(x) = −x2
2 +sinx, uk+1(x) = x2 2
Z π2
0
tuk(t)dt, k ≥ 0 Khi đó ta thu được
u0(x) = −x2
2 +sinx, u1(x) = x2
2 + π4 256 Số hạng nhiễu âm ±x2
2 xuất hiện giữa u0(x) và u1(x) Giản ước số hạng nhiễu âm cho nghiệm chính xác
u(x) = sinx.
của phương trình vi-tích phân
Ví dụ 2.2.7. Dùng phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình vi-tích phân Fredholm
u000(x) = 2e−1 −e−x+ Z 1
−1
tu(t), u(0) = u0(0) = 1, u00(0) = −1 (2.37) Lấy tích phân hai vế của phương trình (2.37) ba lần với cận từ 0 tới x, và sử dụng điều kiện ban đầu chúng ta có
u(x) = e−x + x3 3e + x3
3!
Z 1
−1
tu(t)dt (2.38)
Giả sử
u(x) =
∞
X
n=0
un(x)
Thế vào cả hai vế của (2.38) ta được
∞
X
n=0
un(x) = e−x+ x3 3e + x3
3!
Z 1
−1
t
∞
X
n=0
un(t)dt Chúng ta có công thức truy hồi
u0(x) = e−x+ x3
3e, uk+1 = x3 3!
Z 1
−1
tuk(t), k ≥ 0 Từ đây , ta xác định lần lượt các giá trị
u0(x) = e−x+ x3 3e u1(x) = 1
3!x3 Z 1
−1
tu0(t)dt = −1 3!x32
e u2(x) = 1
3!x3 Z 1
−1
tu1(t)dt = −1 3!x3 2
15e u3(x) = 1
3!x3 Z 1
−1
tu2(t)dt= −1
3!x3 2 225e ...
Nghiệm trong dạng chuỗi được xác định như sau u(x) = e−x+ x3
3e − 1 3!x3(2
e + 2
15e + 2
225e + ã ã ã) Cấp số nhân vô hạn có a1 = 1,r = 1
15. Tổng của cấp số nhân vô hạn được xác định bởi
S = 1
1− 1 15
= 15 14
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên
Sử dụng kết quả cho nghiệm chính xác
u(x) = e−x.
Ví dụ 2.2.8. Sử dụng phương pháp Adomian để giải phương trình vi- tích phân Fredholm sau
u(4)(x) = −2x+sinx+cosx+ Z π2
−π2
xtu(t)dt,
u(0) = u0(0) = 1, u00(0) = u000(0) = −1 (2.39) Tích phân hai vế phương trình (2.39) bốn lần từ 0 tới x và sử dụng điều kiện ban đầu chúng ta tìm được
u(x) = sinx+ cosx− x5
60 + x5 120
Z π2
−π 2
tu(t)dt (2.40) Thay thế giả định chuỗi như trên, chúng ta sử dụng công thức truy toán thu được
u0(x) = sinx+ cosx− x5
60, u1(x) = x5
60 − x5
120. π7 26880 ...
Giản ước số hạng nhiễu âm x5
60 từu0(x)cho nghiệm chính xác của phương trình
u(x) = sinx+cosx.