Khi phân tích các loại tín hiệu ta thấy có loại phổ của nó gồm hữu hạn các thành phần tần số (ví dụ tín hiệu điều biên AM) hoặc có các loại phổ là vô số các thành phần tần số nh−ng năng l−ợng chủ yếu vẫn tập trung trong một dải tần số hạn hẹp (ví dụ tín hiệu điều tần FM).
Một trong những công việc quan trọng trong quá trình xử lý tín hiệu trong các máy điện tử là lọc lấy tần số hữu ích, loại bỏ các tần số có hại. Chức năng đó
đ−ợc thực hiện bởi các mạch lọc điện hay đơn giản gọi là các mạch lọc.
1.6.1. Khung cộng hưởng đơn .
Một mạch lọc đơn giản nhất là một khung cộng hưởng đơn gồm một điện cảm L, một điện dung C và một điện trở R nh− hình 1.12a.
Vì các mạch lọc phức tạp hơn thường được xây dựng từ mạch đơn giản này nên ta xét quá trình vật lý diễn ra ở đó.
Trong hầu hết các tr−ờng hợp một điện trở R th−ờng không mắc vào mạch mà là điện trở tổn hao trong mạch bao gồm điện trở tổn hao của cuộn cảm L, của chất điện môi trong tụ C và của các dây nối.
21 Đầu tiên ta xét khung cộng h−ởng LC lý t−ởng không tổn hao (R=0 ) hình 1.12b. Giả sử trước khi đóng khoá K năng lượng được nạp cho tụ C (ở dạng điện tr−ờng ) bởi điện áp UCmax , tức là năng l−ợng điện tr−ờng tích trong tụ C là WE =
2
2
Umax
C
Khi khoá K bật về vị trí 1 thì tụ C bắt đầu phóng điện sang điện cảm L, điện cảm L nạp điện năng d−ới dạng từ tr−ờng bằng dòng điện iL tăng dần. Dòng đạt giá trị cực đại Ilmaxđúng vào lúc tụ C vừa phóng hết, nghĩa là toàn bộ
năng l−ợng tụ C đ−ợc chuyển sang điện cảm L. Năng l−ợng từ tr−ờng của điện cảm lúc này là cực đại có giá trị :
WL = 2
2
Imax
L
Tiếp tới là điện cảm phóng điện bằng dòng iL giảm dần cho đến khi tụ C có
điện áp Ucmax nh−ng có dấu ng−ợc với dấu khởi đầu. Quá trình phóng nạp qua lại giữa tụ điện và điện cảm diễn ra theo một quy trình xác định,đặc tr−ng bởi ph−ơng trình vi phân sau :
0 dt u
u hay d
LC 0 u dt
u d
c 2 r
c 2 c
2 c
2 + = + ω = (1.22)
(1.22) là phương trình của dao động điều hoà .Nghiệm của nó có dạng :
uC (t) = U Cmcos 2πfr t (1.23)
T−ơng tự ta tìm đ−ợc quy luật biến thiên của dòng điện:
iL(t) = Ilmsin2πfr t (1.24) UCm, ILm là biên độ của điện
áp uc(t) và dòng điện iC(t)=iL(t).
Đồ thị biểu diễn độ biến thiên của
điện áp (1.23) và dòng điện (1.24) trên hình 1.13
Tần số fr trong (1.23)và (1.24) là tần số cộng h−ởng của khung dao động LC. Nghịch đảo của fr là chu kỳ T của dao động, đó là thời gian từ lúc bắt đầu phóng cho đến lúc nạp lại giá trị ban đầu của điện dung hoặc điện cảm. Nh− vậy chu kỳ T hoặc tần số fr (ωr=2πfr) có quan hệ đơn trị với L và C. Trị số của nó có thể đ−ợc xác định từ trị số bằng nhau của modun trở kháng của điện dung và điện cảm, tức là :
C ω L 1 ω
r
r = nên ωr= 1
LC [rad/s] ; fr = 1
2π LC [1/s=hz] (1.25) L
C E
R L
1 2
C
Hình 1.12 .a)Khung cộng h−ởng có tổn hao b)Khung cộng h−ởng lý t−ởng
uC(t) iC(t)
Hình 1.13.Điện áp và dòng diện hình sin
t uc ic
Sự biến thiên của các trở kháng XL= ωLvà XC = 1
ω C có dạng nh− ở hình 1.14 . XP k = XL - 1
ΧC là thành phần phản kháng của khung cộng h−ởng. Khi tần số nhỏ hơn tần số cộng h−ởng ωr mạch mang tính dung kháng, khi lớn hơn tần số cộng h−ởng mạch
mang tính cảm kháng. Với khung cộng hưởng ngoài các thông số ωr, fr, T còn đặc tr−ng bởi các thông số quan trọng sau đây:
- Trở kháng sóng ρ bằng tỷ số của điện áp trên C và dòng điện qua L,tìm từ trị số bằng nhau của năng l−ợng cực đại đ−ợc nạp trên L và C :
WM=L = 2 I2Lm
WE=C 2 U 2Cm
C
= L
ρ (1.26)
Tr−ờng hợp vừa xét trên là tr−ờng hợp mạch điện không có tổn hao (r = 0), các dao động kéo dài vô tận. Trong mạch thực có điện trở tổn hao r , các dao động sẽ tắt dần và tắt càng nhanh khi trị số của r càng lớn.
Đối với các khung cộng h−ởng có điện trở tổn hao r ≠0,ng−ời ta đ−a ra khái niệm hệ sốphẩm chất Q:
Q = r
ρ (1.27)
Có thể chứng minh rằng lúc này dòng điện trong mạch sẽ biến thiên theo quy luật hình sin tắt dần :
iL(t) = ILm .
T t Q
π e
−
sin2πfr t (1.28) Quan hệ (1.28) có đồ thị thời gian trên hình 1.15 .
Tû sè τk π
QT = trong (1.28) gọi là hằng số thời gian của khung cộng h−ởng. τk
đ−ợc xác định bằng khoảng thời gian mà biên độ của dòng điện giảm đi e lần so với giá trị cực đại ( dòng giảm đến trị số 0,37ILm ) .Thực tế khi r khác 0 thì tần số của dao động là ω’r khác với ωr:
XL
XC
ωr ω
0
Hình1.14.Trở kháng của L và C Xpk
23
2 r
2 r
2 r
2 2
r
r 2
1 r C
4L 1 r L LC
2 1 r L
2
r ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− ρ ω
=
− ω
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛ ω
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛ ω
= ω'
Tuy nhiên có thể lấy gần đúng ω‘r ≈ ωr.
Nếu trị số của r khá lớn thì trong khung sẽ không phát sinh dao động tắt dần mà dao động sẽ tắt ngấm ngay lập tức. Trường hợp này ứng với ωr ≤ r
2L , tức là Q
≤ 0,5.
Thường sử dụng khung dao động có hệ số phẩm chất Q nằm trong khoảng:
10 ÷ 20 < Q < 200 ÷ 300
Đôi khi người ta sử dụng khái niệm hệ số tổn hao d=1/Q để đánh giá chất l−ợng của khung cộng h−ởng.
Chế độ xét trên là chế độ dao động tự do trong mạch RLC nối tiếp. Trong thực tế thường sử dụng chế độ dao động cưỡng bức: khung dao động được nuôi bởi nguồn suất điện động hình sin, có tần số xấp xỉ tần số cộng hưởng ωr của khung dao động
(hình 1.16). Nếu nguồn mắc nối tiếp với L và C thì khung cộng h−ởng gọi là nối tiếp. Lúc này biên độ của dòng điện sẽ là:
( ) ( ) 2 C ω L 1 2 ω r
= U ω Z ω U
Im ngm ngm
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
= (1.29). .
Khi ω = ωr th× Im(ωr) = r Ungm
; biên độ điện áp trên điện cảm và điện dung là:
UmL(ωr) = Im(ωr).ωr L = Ungm.Q; UmC(ωr) = Im .
C ω
1
r
= Ung m.Q Nh− vậy khi ω = ωr, biên độ điện áp trên L và C bằng nhau và gấp Q lần biên độ điện áp đặt vào mạch, ta nói rằng mạch ở trạng thái cộng hưởng.
Dòng điện trong mạch tần số ω có biên độ phụ thuộc vào tần số nh− sau:
iL(t)
t Hình 1.15 dòng điện iL(t) tắt dần
C
ung(t) L
r
H×nh 1.16Khung céng h−ởng nối tiếp
( ) ( ) 2
2 2r 2
2 r 2
m m
ω 1 ω Q 1
1
c ω L 1 ω r
r ω
I ω I
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
+
=
= ( )( ) 2
2 r 2 r
ω ω ω ω Q ω
1
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ − + +
(1.30)
Khi sử dụng khung cộng hưởng để lọc tín hiệu ta thường xét tần số lân cận tần số cộng hưởng nghĩa là ω + ωL ≈ 2ωr; ω - ωr = ∆ω - độ lệch tần số tuyệt đối.
Lúc đó (1.30) có dạng :
( )
( ) 2
r R 2
m m
ω ω Q 2
1
1 ω
I ω I
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛ ∆
= (1.30)’
Quan hệ (1.30)’ cho ta đặc tính biên độ tần số hay đặc tính chọn lọc của khung cộng h−ởng. (hình 1.17) .
Tính chất chọn lọc, tức là khả năng làm yếu tín hiệu có tần số lệch khỏi tần số cộng hưởng, được đặc trưng bởi dải thông và hệ số chữ nhật.
Dải thông 2∆ωd là dải tần số ứng với mức giảm 2lần của đặc tính chọn lọc so với giá trị cực đại. ( Hình 1.17) : 2∆ωd = ∆ω0,7= ω1- ω-1.
Theo định nghĩa thì từ (1.30) ta có:
7 2 0 1 1 2
1
2 7 2 0
, Q
R ,
=
=
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ω
ω + ∆
Từ đó ta có:
2∆ωd = ∆ω0,7= Q ω r
(1.31) Khi hệ số phẩm chất Q thay đổi thì
giải thông thay đổi tỷ lệ nghịch với Q.
Tương tự người ta xác định dải 0,1 tức là dải tần số ứng với mức giảm 10 lần, ký hiệu là ∆ω0,1 .Hệ số chữ nhật KCN =
∆
∆ ω ω
0 1 0 7 , ,
đánh giá mức độ giống hình chữ nhật của đặc tính chọn lọc. Lý tưởng KCN
= 1, còn đối với các khung cộng hưởng thì KCN > 1. KCN càng tiến tới 1 thì độ chọn lọc càng cao.
0,707 2
1 = 1
∆ω0,7 ωr
Hình 1.17 Đặc tính chọn lọc của khung cộng h−ởng
25 Ngoài đặc tính biên độ tần số đã xét ta còn quan tâm đến đặc tính pha tần số; Đó là góc lệch pha của dòng điện so với điện áp nguồn tại tần số đang xét:
ϕz(ω)= arc tg ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
−
ω ω ω arctgQ ω r
C ω L 1 ω
r r
(1.32) Khi tần số đang xét ở lân cận tần số cộng h−ởng thì
ϕz(ω) ≈ arc tg(2Q.
ωr
∆ω) (1.33)
Khung cộng h−ởng song song. Khi nguồn, điện cảm, điện dung mắc song song ta có khung cộng hưởng song song. Xét mạch thông dụng hình 1.18.ở chế độ dao
động c−ỡng bức với nguồn dòng i(t) có thể chỉ ra rằng điện áp trên khung cộng hưởng được đặc trưng bởi tổng trở Z(jω) của mạch với:
2 2 2
1 1
) ( r Q
Z
ωr
ω + ∆
=ρ (1.34)
Khi ω = ωr, ∆ω = 0 mạch ở trạng thái cộng h−ởng⏐Z⏐= Q.ρ, tức là cũng giống nh− khung cộng h−ởng nối tiếp khi cộng h−ởng tổng trở là thuần trở.
Nhưng khác với khung cộng hưởng nối tiếp, ở đó khi cộng hưởng tổng trở có trị số bằng r nhỏ , ở khung cộng h−ởng song song, trở kháng cộng h−ởng rất lớn, nếu r =0 thì nó bằng ∞.
Điện áp trên khung cộng h−ởng : I ng m⏐Z⏐ ; điện áp khi cộng h−ởng là I ngm(ωr). ⏐Z(ωr)⏐. Tương tự như ở khung cộng hưởng nối tiếp, ở đây đặc tính
biên độ tần số là:
( ) ( ) ( ) 2
2 2 1
1
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ω
ω + ∆
ω = ω
ω
r R
R ngm
ngm
Q z
I
z
I
(1.35)
Như vậy đặc tính của mạch cộng hưởng song song cũng t−ơng tự nh− mạch cộng h−ởng nối tiếp ta
đã xét. Dải thông 2∆ωd là dải tần số ứng với mức
giảm 2lần của đặc tính chọn lọc so với giá trị cực đại. ( Hình 1.17) 2∆ωd
= ∆ω0,7= ω1- ω-1.
1.6.2.Khung cộng h−ởng ghép
Để cải thiện đặc tính chọn lọc của khung cộng hưởng-đạt được hệ số phẩm chất tốt hơn ,khi lọc tín hiệu người ta ghép hai khung cộng hửơng đơn với nhau qua hỗ cảm hoặc điện dung. Th−ờng sử dụng mạch ghép qua hỗ cảm(biến áp), ghép điện dung ngoài hoặc điện dung trong t−ơng ứng nh− hình 1.19a,b,c.
H×nh 1.18 Khung céng h−ởng song song
r L C
Trong các mạch ghép đặc tính tần số của mạch không phụ thuộc vào dạng ghép mà chỉ phụ thuộc vào đại l−ợng ghép ( hệ số ghép ). Vì vậy ta xét hai khung cộng h−ởng nối tiếp ghép qua hỗ cảm ( biến áp ) nh− ở hình 1.20
Dưới tác động của nguồn suất điện động E(ω) ở khung dao động thứ nhất sẽ có dòng I1 ,dòng này gây nên từ thông móc vòng sang cuộn L2, tạo nên suất điện
động hỗ cảm:
E12 = - jωM I1 = - Xgh I1. ở đây Xgh = jωM - trở kháng hỗ cảm .
M = k L1.L2 , k là hằng số biểu hiện mức độ ghép giữa hai cuộn cảm.
Suất điện động E12 gây nên dòng I2 ;dòng này lại tạo nên từ thông móc vòng sang cuôn L1 , ở L1 lại suất hiện suất điện động hỗ cảm E21. Nh− vậy ở mỗi cuộn cảm suất hiện một thành phần tổng trở t−ơng hỗ ZTH :
ZTH 21 = -
2 2
2 12
1 1
2
1 21
Z X I Z
I I I
gh gh
gh Χ Ε =
− Χ =
−
Ε• = ⋅ •
•
•
•
• (1.36)
T−ơng tự
ZTH 12 =
1 2
z Χ gh
(1.37)
ZTH 21 và ZTH12 có thành phần thuần trở và thành phần ảo:
ZTH 21 = rTH 21+jXTH 21= 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 . 2 .
x r j x x
r
r gh
gh
+
− Χ +
Χ
Thường C1= C2 = C ; L1 = L2 = L ; r1 = r2 = r ; lúc đó M = k.L → k = M L ; X1 = X2 = X ; r <<⏐X⏐; X = ± Xgh
M Cgh
L1 L2
Cgh
a) b) c)
Hình 1.19 Các khung dao động song song ghép a)qua hỗ cảm b,c)qua điện dung
0
27
Đẳng thức cuối cùng có dạng : ωL - 1
ω c= ± Mω Tõ ®©y ta cã :
2
2 , 1 r
ω ω
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ = 1 ± k
(1.38) ở đây k= M
L ; ωr= LC
1 ; ω1,2 =
k
r
± ω 1
Ta cũng chuẩn hóa dòng I2m(ω) theo I2m(ωr) ta có :
( ) ( ) ( 2 2)2 2
2 2
ξ 4 ξ
η 1
η 1 ω
ω
+
− +
= +
gh gh m
m
r I
I (1.39)
ở đây : ηgh= kQ – gọi là nhân tố ghép.
ξ- độ lệch tần số tổng quát : ξ=
f r
Q . f 2 ∆ ∆f - độ lệch tần số tuyệt đối.
Nếu coi Q là không đổi và khảo sát hàm đặc tính biên độ tần số (1.39) ta sẽ dựng đ−ợc hệ đặc tính hình 1.21. Với ηgh thay đổi thì đặc tính biên độ tần số từ chỗ giống như của khung cộng hưởng đơn (ηgh< 1 ) đến chỗ có dạng ba cực trị(ηgh > 1- một cực tiểu, hai cực đại).
Khi ηgh = 1 ( gọi là ghép tới hạn ) thì tính của đ−ờng cong là bằng phẳng hơn cả.
Thường hiệu chỉnh ghép để đạt ηgh lớn hơn 1 một chút hoặc bằng 1.
Khi so sánh với khung cộng hưởng đơn có cùng dải thông ng−ời ta thấy rằng hệ số chữ nhật của khung cộng hưởng đơn là 9,95 th× khung céng h−ởng ghép là 3,15. Rõ ràng khung cộng h−ởng ghép có tính chọn lọc tốt hơn.
3. Mạch lọc tập trung;
Để tăng độ chọn lọc hơn nữa của mạch người ta thường ghép nhiều khung cộng hưởng qua điện dung như hình (1.22) để tạo thành mạch lọc gọi là mạch lọc tập trung. Mạch lọc nh− vậy có đặc tính biên độ tần số gần giống nh− một hình chữ
nhËt.
Hình 1.20 Hai khung cộng h−ởng ghép hỗ cảm
kQ=1
kQ<1 kQ<1
Hình 1.21 Đặc tính tần số của mạch giao động ghép R C
L
. C R L . M
28
Các mạch lọc loại này có khung cộng h−ởng đ−ợc chế tạo từ vật liệu áp điện (vật liệu có hiệu ứng áp điện ) .Có thể sử dụng đến 10 ữ 15 khung cộng hưởng đơn để tạo mạch lọc tập
chung. Chúng đ−ợc chế tạo sẵn thành một loại linh kiện dễ dàng phối hợp với các mạch khác.
Các vật liệu áp
điện gồm hai loại: loại gốm áp điện và thạch anh ( tinh thể áp điện) Ta xét một thanh thạch anh đ−ợc cắt nh− ở hình 1.23a. Thạch anh là một loại vật liệu có nhiều đặc tính vật lý quý giá như độ ổn định nhiệt cao, ít chịu ảnh hưởng của độ ẩm , tác động hoá học, đặc biệt nó có hiệu ứng áp điện: dưới tác dụng của điện trường thạch anh sẽ dao động cơ học, ngược lại khi dao động cơ học nó sinh ra các điện tích biến thiên. Trong kỹ thuật điện tử thạch anh đ−ợc sử dụng nh− một khung cộng h−ởng với tần số cộng h−ởng phụ thuộc vào kích th−ớc và cách cắt tinh thể thạch anh. Hình 1.23c là ký hiệu của thạch anh trong sơ đồ mạch
điện,hình 1.2bb - sơ đồ tương đương, trong đó rq, Lq , Cq - các thông số điện, phụ thuộc vào kích cỡ và cách cắt khối thạch anh, CP - điện dung giá đỡ.
Theo sơ đồ tương đương hình 1.22b thì thạch anh có hai tần số cộng hưởng
đ−ợc xác định từ biểu thức tổng trở phức:
Z = ZP // Zq=ZPZq/(ZP+Zq) (1.40) ZP =
CP
jω
1 Zq = rq +jωLq +
Cq
jω
1 (1.41) Thay vào biểu thức (1.37), bỏ qua rq nhỏ trong Zq sẽ đ−ợc
Z ( p q q p q)
q q
C C L C
C
C
j L 2
2 1
ω
− + ω
−
≈ ω (1.42)
Từ (6.36) xác định hai tần số cộng hưởng nối tiếp fq và song song fP:
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
+
= +
=
=
Cp fq Cq Cq Cp Lq CpCq f
C f L
p
q q q
1 π
2
1 π 2
1
(1.43) Hình 1.22 Mạch lọc tập chung
+ + + + + + + + - - - - - - - - a)
C0 Lq rq
c
H×nh1.23
a)Hiệu ứng áp điện của thạch anh b)Sơ đồ tươngđương của thạch anh
29
Q =
q q q
r L π f
2 (1.44) Ví dụ ta xét thạch anh 4Mhz với các tham số Lq = 0,22H, Cq = 0,0072 pF ;rq = 23Ω , CP = 10,3 pF.Xác định các tần số theo (6.37) sẽ đ−ợc fq = 3998918Hz = 3,998918MHz.fp = 4000315Hz= 4,000315MHz . Khoảng cách giữa hai tần số là ∆f =fP - fq = 1397Hz
Nh− vậy trong khoảng tần số rất hẹp thạch anh t−ơng đ−ơng với một điện cảm.
Hệ số phẩm chất Q=. 240400 23
22 . 0 10 . . 4
2π 6 =
Cùc lín!
Sự phụ thuộc của thành phần phản kháng của trở kháng vào tần số trình bày trên h×nh 1.24
Các loại gốm áp điện có hệ số phẩm chất nhỏ hơn thạch anh.
Cũng giống nh− các mạch lọc tập trung, ng−ời ta ghép các khung cộng h−ởng chế tạo từ thạch anh hoặc gốm áp điện thành các mạch cộng h−ởng ghép. Ghép ở
đây có thể thực hiện qua tụ (gọi là ghép
điện) hoặc qua một bản cực điện môi (gọi là ghép cơ). Khi ghép điện thì năng l−ợng
điện đ−ợc truyền từ khung cộng h−ởng này sang khung cộng h−ởng kia d−ới dạng các dao động điện, còn khi ghép cơ - dưới dạng các dao động cơ.
Ngày nay ng−ời ta còn sử dụng các mạch lọc SAW - mạch lọc sử dụng hiệu ứng sóng
âm bề mặt. Nguyên lý làm việc của nó dựa trên hiện t−ợng truyền sóng âm theo bề mặt của vật liệu áp điện và hiện t−ợng lan truyền của sự biến dạng đàn hồi.
Để kích thích các dao động biến dạng đàn hồi, trên bề mặt của vật liệu
áp điện người ta tạo ra các điện cực dạng đặc biệt để kích vào chúng những dao
động điện. Khi đã đi đ−ợc một đoạn nào đó, năng l−ợng của sóng âm bề mặt
đ−ợc biến đổi thành các dao động điện nhờ các cực điện đặc biệt. ở đây quá
trình biến đổi sóng âm thanh thành dao động điện và ng−ợc lại phụ thuộc vào
đặc tính của vật liệu áp điện, vào cấu tạo và vị trí tương đối của các điện cực. Ưu
điểm của các mạch lọc SAW là độ dẫn cao, các tham số ổn định và kích thước gọn nhẹ. Mạch lọc loại này có thể làm việc ở giải tần số 10 ữ 100 Mhz hoặc cao hơn với tỷ số của giải thông trên tần số trung tâm từ 0,01 đến 100%
Khi sử dụng các mạch lọc tập trung cần đảm bảo phối hợp trở kháng cả đầu vào lẫn đầu ra. Nếu không đảm bảo phối hợp trở kháng thì đặc tính biên độ tần số sẽ bị méo ( méo biên độ ), đặc biệt là ở ngoài giải thông .
X
fq fp f
Hình 1.24.Đặc tính phản kháng của thạch anh
1.6.3Mạch lọc RC.
Nếu sử dụng các mạch lọc LC ở tần số thấp thì trị số các điện cảm sẽ lớn, kích th−ớc các cuộn cảm lớn, mạch sẽ cồng kềnh. ở tần số thấp nên sử dụng các mạch lọc RC. Xét một khâu thông thấp RC nh− ở hình 1.25a.Hàm truyền đạt phức của mạch lọc thông thấp này là:
( ) = + ωτ
ω
= + + ω
= ω
= ω
Κ j R C j
C R j
C j U
. . j U
m m
vao ra
T 1
1 1
1 1
1
(1.45)
Trong đó τ = RC - hằng số thời gian của mạch,Uvm và Ur m biên độ phức của điện áp vào và ra của mạch.
( ) ( )
2 T 2
T
1 j 1
τ ω
= + ω Κ
= ω
Κ (1.46)
Đồ thị (1.46) là đặc tính biên độ tần số của mạch ,biểu diễn bằng đường liền nét trên hình (1.25b). Tại tần số ω = 0, thì K(ω) = 1, tại tần số cắt ωt.. trị số của K(ω) = 1
2 hay ωt.τ =1. Nh− vậy tần số cắt ωt xác định theo trị số của τ:
RC 2
f 1 RC
1
t
t = = π
ω ; (1.47)
Dải tần số từ 0ữft gọi là dải thông của mạch lọc thông thấp. Dải tần số ft
ữ∞ gọi là dải chắn. Nếu ta đổi chỗ RC trên hình 1.25a ta đ−ợc mạch lọc thông cao. Lúc đó:
( )
RC j
1 1 j 1
K C
+ ω
=
• ω
⋅
(1.48) R 1
0,707 2
1 =
uv C ur
0 ωt ωC ω a) b)
Hình1.25 a)đốt lọc thông thấp RC; b)Đặc tính biên độ tần số của mạch
31
( ) ( )
2 2 2 C C
C R 1 1
j 1 K
+ ω
= ω Κ
=
• ω
(1.49)
Đặc tính biên độ tần số của mạch lọc thông cao theo (1.49) đ−ợc trình bày bằng đường nét đứt trên hình (1.25b). Khi tần số cực lớn : ω →∞ thì KC(ω) = 1, khi ω = 0 thì KC(ω) = 0. Tần số cắt đ−ợc xác định khi KC(ωC) = 1
2 hay
1 1
ωCRC = hay
ω
π
C
C
R C
f R C
=
=
1 1 2
(1.50)
Dải thông là dải t fCữ∞ , dải chắn là dải 0 ữ fC.
Tính chọn lọc của các mạch lọc vừa xét trên phụ thuộc vào độ dốc của đặc tính biên độ tần số. Để tăng độ dốc ta mắc liên tầng nhiều đốt lọc cùng loại, tuy nhiên khi đó tổn hao trong dải thông cũng sẽ tăng. Ta cũng có thể thành lập các mạch RC có khả năng chọn lọc tín hiệu theo tần số nh− một khung cộng h−ởng LC .
Xét mạch trên hình 1.26a.
Đặc tính biên độ tần số của mạch có dạng:
( ) ( )
2
RC RC 1
9 j 1
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− ω ω + ω
Κ
= ω
Κ (1.51)
Tại tần số ω0 khi ω0RC - 1
ω0RC = 0 tức là ω0 = 1
RC th× K(ω0) = 1
3 và đó là giá
trị cực đại.
K(ω)
a) b) ω0 ω
R1 C1 .
R2 C2 Ura Uv
Hình1.26 Mạch lọc dải thông a)sơ đồ nguyên lý b)đặc tính biên độ tần số