Quỹ tích là đường thẳng trên mặt phẳng phức

VI. MẶT PHẲNG PHỨC – GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC …

6.3. Quỹ tích là đường thẳng trên mặt phẳng phức

 Phương trình đường thẳng tổng quát: ax by c  0

 Khi b = 0 thì có dạng: x = hằng số, là đường thẳng đứng song song với trục tung Oy.

 Khi a = 0 thì có dạng: y = hằng số, là đường thẳng nằm ngang song song với trục Ox.

 Về cách tìm quỹ tích tổng quát thì ta gọi: z x iyz  x iy z;| | x2y2 rồi thay vào hệ thức đã cho và biến đổi rồi suy ra quỹ tích điểm.

Bài toán 6.3.1. Tìm quỹ tích điểm biểu diễn bởi phương trình: |z – 2i + 3| = |z + i + 1| (1)

 Giải:

 Gọi z = x + iy; trong đó x, y R . Thay vào (1) ta được:

 |x iy 2i3 | | x iy i   1| | (x3)i y( 2) | | ( x1)i y( 1) |

  (x3)2(y2)2  (x1)2(y1)2 (x3)2(y2)2 (x1)2(y1)2

 4x6y11 0 . Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (1) là đường thẳng : 4x6y11 0 .

 Ghi nhớ: Nếu là định tính..thì khi điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình dạng:

1 2

1 2

1 2

| | | |

| | | |

| | | |

z z z z

z z z z

z z z z

  



   



   



thì quỹ tích sẽ là một đường thẳng.

 Trên đây chỉ là dấu hiệu nhận biết phương trình đường thẳng cơ bản, còn rất nhiều dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phức.

Ví dụ 6.3.2. Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các phương trình:

1. |z2i5 | | z 3i4 |. 2. 2 |z   i 1| | 2z 5i3 |. 3. |z i | |z1|

Bài toán 6.3.3. Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z2i5 | | z 4i3 |? A.đường thẳng: x + 2y – 3 = 0. B.đường thẳng 2x – y + 4 = 0.

C.đường thẳng: 4x + y – 11 = 0. D.đường thẳng: 4x + y + 1 = 0.

 Giải:

 Nếu chúng ta cứ làm bình thường thì có khi sẽ rất lâu. Vì vậy, đôi khi ta chỉ cần thử một mẹo nhỏ sẽ làm việc xử lí bài toán có tốc độ hơn, như trình bày ở dưới đây:

 Chúng ta để ý rằng: |z 4i3 | | z 4i3 | | z 3 4 | |i  z(3 4 ) | i

 Vậy phương trình đã cho  |z  ( 5 2 ) | |i  z(3 4 ) | i |zz1| | zz2|; trong đó: z1 = -5 + 2i và z2 = 3 + 4i.

 Ta nhận thấy |zz1| là khoảng cách từ điểm z tới điểm z1 và |zz2| là khoảng cách từ điểm z tới điểm z2. Như vậy, tập hợp điểm biểu diễn z chính là tập hợp điểm cách đều z1 và z2. Đây chính là đường trung trực của đoạn z1z2. Cho nên trung điểm của z1 và z2 phải nằm trên đường thẳng trung trực của z1z2 (đường thẳng này cũng là đường biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho).

 Như vậy: để kiểm tra xem liệu đường thẳng nào đó có phải đường thẳng quỹ tích cần tìm không, ta chỉ việc thử xem trung điểm của z1z2 có thuộc nó không là được.

 Xét lại bài toán này có: |z  ( 5 2 ) | |i  z(3 4 ) | i |zz1| | zz2|

 Trung điểm là: 1 2 5 2 3 4

1 3 ( 1;3)

2 2

M

z z i i

z      i

       . Ta dùng điểm này thử vào 4 đáp án và nhận thấy chỉ có đáp án D thỏa mãn. Vậy chọn đáp án đúng là D.

 Hình vẽ minh họa cho phương trình đường thẳng  biểu diễn bởi: |z – z1| = |z – z2|:

Bài toán 6.3.4. Cho đường thẳng (d): |z – 1 + 2i| = |z – 3|. Tìm trên đường thẳng (∆) điểm M biểu diễn bởi số phức z1 sao cho: M gần O nhất hoặc tương đương với câu hỏi: |z1| nhỏ nhất?

 Giải:

 Phương trình đã cho biểu diễn đường thẳng 

 Gọi z = x + iy, ta suy ra: |(x – 1) + i(y + 2)| = |(x – 3) + iy|  (x – 1)2 + (y + 2)2 = (x – 3)2 + y2

  4x + 4y – 4 = 0  x + y – 1 = 0 (∆)

 Một điểm gần O nhất (tương đương với số phức biểu diễn nó có mô đun nhỏ nhất). Một điểm xa O nhất (tương đương với số phức biểu diễn nó có mô đun lớn nhất).

O x y

z1

z2

1 2

2 z z



 Bài toán này yêu cầu tìm điểm M trên đường thẳng ∆ và gần O nhất  điểm M là hình chiếu vuông góc của O lên ∆.

 Ta đi tìm hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng ∆ như sau:

 Gọi M nằm trên ∆ có tọa độ M(m;1 – m) suy ra: OM( ;1m m)

. VTCP của đường thẳng ∆ là (1; 1)

u  



 Ta có: 1 1 1

. 0 1. 1(1 ) 0 ( ; )

2 2 2

OM u    m m  m M

 Vậy số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho và có mô đun nhỏ nhất được biểu diễn bởi điểm M, tức là: 1

2 2 z  i .

Bài toán 6.3.5. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 1 + i| = |z – 2| và đồng thời |z – 3i + 4| nhỏ nhất. Hỏi khi đó mô đun của số phức z bằng bao nhiêu?

 Giải:

 Số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 1 + i| = |z – 2| là đường thẳng ∆ được tìm bằng cách:

 Gọi z = x + iy rồi thay vào biểu thức trên ta được:

 |x + iy – 1 + i| = |x + iy – 2|  |(x–1) + i(y+1)| = |(x–2) + iy|  (x – 1)2 + (y+1)2 = (x–2)2 + y2

  2x + 2y – 2 = 0  x + y – 1 = 0 (∆).

 Giá trị của biểu thức: P = |z – 3i + 4| = |z – (– 4 + 3i)| = |z – zM|

 Gọi M là điểm biểu diễn số phức zM = – 4 + 3i, khi đó biểu thức P chı́nh là khoảng cách từ điểm M đến một điểm chạy trên đường thẳng ∆. Giá trị nhỏ nhất của P ứng với khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆, khi đó điểm H nằm trên ∆ sẽ là hình chiếu vuông góc của M lên ∆.

 Như vậy, giá trị nhỏ nhất của P là Pmin = |zH – zM| = MH = d(M,∆) =

2 2

| 4 3 1|

2

1 1

  





. O x

y

 M

 Tọa độ điểm H = (a;b) = (a;1 – a) {Vì H nằm trên đường thẳng ∆}

 Véc tơ: MH(a4; a 2)

; VTCP của ∆ là: u (1; 1)

 .

 Suy ra: MH u.  1(a4) 1(  a 2)0a  3 H  ( 3; 4)

 

. Suy ra số phức zH = - 3 + 4i

 Vậy suy ra |zH| = 5.

Ví dụ 6.3.6. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 3 + i| = |z + 1 – 5i|. Tìm số phức |z| có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đã cho?

Ví dụ 6.3.7. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 5 + 2i| = |z + 3 – 2i| đồng thời làm cho biểu thức P = |z – 3i|

nhỏ nhất. Tìm số phức z thỏa mãn các điều kiện đã cho?

Ví dụ 6.3.8. Cho số phức z thỏa mãn: |z + 2 – i| = |iz + 3 + 2i| đồng thời làm cho biểu thức P = |2z – 6i + 2| nhỏ nhất. Tìm số phức |z| thỏa mãn các điều kiện đã cho?

Ví dụ 6.3.9. Cho số phức z thỏa mãn: |z2i3 | | z 4i1| đồng thời làm cho biểu thức P = |(1 +i)z – 4| nhỏ nhất. Tìm số phức z thỏa mãn các điều kiện đã cho?

Bài toán 6.3.10. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 2 + i| = |z + 2 + 3i| và đồng thời P = |z – 1| + |z – 2i|

nhỏ nhất. Hỏi khi đó mô đun của số phức z bằng bao nhiêu?

 Giải:

 Số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 1 + i| = |z – 2| là đường thẳng ∆:

 |z – 2 + i| = |z + 2 + 3i|  (x – 2)2 + (y + 1)2 = (x + 2)2 + (y + 3)2  2x + y + 2 = 0 (∆)

 Gọi A là điểm biểu diễn zA = 1 ; B là điểm biểu diễn zB = 2i ; M là điểm bất kì nằm trên đường thẳng ∆. Khi đó biểu thức: P = |z – zA| + |z – zB| = MA + MB.

 Ycbt tương đương với việc tìm điểm M nằm trên đường thẳng ∆ để P = MA + MB nhỏ nhất.

Đây là một bài cực trị hình học quen thuộc.

M = z1 = -4 + 3i = (-4;3)

 H = zH = ?

 Nếu hai điểm A và B khác phía với ∆ thì: điểm M = (AB giao với ∆). Giá trị nhỏ nhất của P khi đó: Pmin = AB = |zA – zB|.

 Nếu hai điểm A và B cùng phía so với ∆ thì lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆. Rồi suy ra điểm: M = (A’B giao với ∆). Giá trị nhỏ nhất của P chính là: Pmin = A’B = |zA’ – zB|

Bài toán 6.3.11. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 1 – 2i| = |z + 1 + 2i| và đồng thời P = |z – 2| – |z – i| lớn nhất. Hỏi khi đó mô đun của số phức z bằng bao nhiêu?

 Giải:

 Số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 1 – 2i| = |z + 1 + 2i| là đường thẳng ∆:

  (x – 1)2 + (y – 2)2 = (x + 1)2 + (y + 2)2  x + 2y = 0 (∆)

 Gọi A là điểm biểu diễn zA = 2 ; B là điểm biểu diễn zB = i ; M là điểm bất kì nằm trên đường thẳng ∆. Khi đó biểu thức: P = |z – zA| – |z – zB| = MA – MB.

 Ycbt tương đương với việc tìm điểm M nằm trên đường thẳng ∆ để P = MA – MB lớn nhất.

Đây là một bài cực trị hình học quen thuộc.

 Nếu hai điểm A và B cùng phía với ∆ thì M = AB giao với ∆. Từ đây suy ra M. Giá trị lớn nhất của P khi đó: Pmax = AB = |zA – zB|.

 M = zM

B = zB

A = zA

 M = zM

A’ = zA’

A = zA

B = zB

 M = zM

B = zB

A = zA

A’ = zA’

 M = zM

B = zB A = zA

 Nếu hai điểm A và B khác phía so với ∆ thì lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆. Rồi suy ra điểm M = A’B giao với ∆. Giá trị lớn nhất của P chính là: Pmax = A’B = |zA’ – zB|

 Ghi nhớ: Khi mà chúng ta không cả hiểu được cách làm bài toán: Tìm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho (MA + MB) min {hoặc (MA – MB) max} thì phải hiểu rằng kiến thức nâng cao của chúng ta hổng từ phần Oxy của hình học lớp 10. Chứ không phải phần số phức này khó quá. Hãy tiến bộ mà nhận ra lỗi và trả đúng về với nguyên nhân.

Ví dụ 6.3.12. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 3i + 1| = |z – 3 + i|. Hãy tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:

1. Biểu thức P = |z – 2| + |z – 3i| nhỏ nhất.

2. Biểu thức P = |z – 2i| - |iz – 4i + 1| lớn nhất.

3. Biểu thức P = |z + 2| + |z – i| nhỏ nhất.

4. Biểu thức P = |z – i| – |z – 5| lớn nhất.

Bài toán 6.3.13. Cho số phức z thỏa mãn phương trình: |z 3 2 | |i  z 5 2 | 8i  . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P = |z – 1 + 4i| ?

 Giải:

 Gọi điểm M = z = x + iy; điểm A = zA = 3 – 2i ; điểm B = zB = - 5 – 2i ; điểm C = zC = 1 – 4i.

 Khi đó biểu thức giả thiết trở thành: MA + MB = 8.

 Ta lại có AB = |zA – zB| = |3 – 2i + 5 + 2i| = 8.

 Suy ra: AB = MA + MB. Suy ra: M nằm trong đoạn thẳng AB, hay nói cách khác phương trình đã cho biểu diễn đoạn thẳng AB.

 P = MC là khoảng cách từ điểm M nằm trong đoạn AB đến điểm C.

 Bài toán tı́m khoảng cách lớn nhất và khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm C tới một đoạn thẳng AB được giải tổng quát tối ưu như sau:

 Tính độ dài hai cạnh: CA = |1 – 4i – 3 + 2i| = 2 2. CB = |1 – 4i + 5 + 2i| = 2 10

 Suy ra khoảng cách lớn nhất là CB = 2 10. Xác định góc BAC. Ta có: 1 cos  2 > 0.

A

B

C 2 10

2 2 8

 H

 Vì góc α nhọn nên ta suy ra khoảng cách nhỏ nhất là: CH = 1

.sin 2 2. 2

2

CA    .

 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là: Pmax = CB = 2 10 khi z = zA.

 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là: Pmin = CH = 2 khi z = zH .

 Ghi nhớ: Khi góc α = 900 thì CA = CH = Pmin. Khi góc α tù, tức là: cosα < 0 thı̀ khoảng cách nhỏ nhất của P là: Pmin = CA, khi z = zA.

Ví dụ 6.3.14. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 5 + i| + |z + 3 – 7i| = 8 2. Biểu thức P = |z – 3i + 2|. Hãy xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ?

Ví dụ 6.3.15. Cho số phức z thỏa mãn: |z – 1+ 3i| + |z + 5 – 5i| = 10. Biểu thức P = |z – 2i + 4|. Hãy xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ?

A

B

C Min

 tù Max