2. Phương pháp tính tích phân
2.2 Phương pháp tích phân từng phần
b
Z
a
u dv = uv ba −
b
Z
a
v du.
B. CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP
p Dạng 2.4. Tích phân cơ bản và tính chất tính phân Dùng định nghĩa tích phân và các tính chất để giải bài toán.
Ví dụ 1
d Tính các tích phân sau Tính
3
Z
1
(3x2− 4x + 5) dx.
a) Tính
1
Z
0
dx (1 + x)3. b)
| Lời giải.
a)
3
Z
1
(3x2− 4x + 5) dx = x3− 2x2+ 5x
3
1
= 24 − 4 = 20.
b)
1
Z
0
dx (1 + x)3 =
1
Z
0
(1 + x)−3dx = − (1 + x)−2 2
1
0
= − 1 8 + 1
2 = 3 8 .
Ví dụ 2
d Tìm số thực m thỏa mãn
m
Z
−1
ex+1dx = e2− 1.
a)
m
Z
0
(2x + 5) dx = 6.
b)
| Lời giải.
a)
m
Z
−1
ex+1dx = ex+1
m
−1
= em+1− 1.
Theo đề bài ta suy ra
e2− 1 = em+1− 1 ⇔ m = 1.
Vậy m = 1.
b)
Zm
0
(2x + 5) dx = x2+ 5x
m
0
= m2+ 5m.
Theo đề bài ta suy ra
m2+ 5m = 6 ⇔ m = 1 hoặc m = −6.
Vậy m = 1 hoặc m = −6.
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
π
Z2
π 3
sin x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
b)
π
Z3
π 4
dx cos2x .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Bài 2. Tính các tính phân a)
−5
Z
−2
√ dx
1 − 3x .
| Lời giải.
. . . . . . . .
b)
7
Z
2
√ 4 dx
x + 1 + √ x − 1 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 3. Tính các tích phân sau a) Tính
3
Z
−2
(4x3− 3x2+ 10) dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Tính
4
Z
1
(x2+ 3 √
x) dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
c) Tính
2
Z
0
x(x + 1)2dx =
| Lời giải.
. . . .
. . . .
d) Tính
4
Z
2
Å x + 1
x ã
dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
e) Tính
3
Z
1
Å 3 x − 1
x2 ã
dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
f) Tính
1
Z
0
e3xdx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
g) Tính
2018Z
0
7xdx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
h) Tính
6
Z
0
dx x + 6 =
| Lời giải.
. . . . . . . .
i) Tính
3
Z
1
dx 1 − 3x =
| Lời giải.
. . . . . . . .
j) Tính
2
Z
1
dx (4x − 1)2 =
| Lời giải.
. . . . . . . .
k) Tính
4
Z
1
4
(1 − 2x)2 dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
Bài 4. Tìm các số thực m thỏa mãn a)
Z5
2
m2(5 − x3) dx = −549.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b)
2
Z
m
(3 − 2x)4dx = 122 5 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c)
m
Z
0
(3x2− 12x + 11) dx = 6.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d)
2
Z
1
m2+ (4 − 4m)x + 4x3 dx =
4
Z
2
2x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 5. Tính các tính phân sau a) Tính
2π
Z3
π 3
cos Å
3x − 2π 3
ã dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
b) Tính
π
Z4
π 6
tan2x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
. . . .
c) Tính
π
Z3
π 4
cot2x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
d) Tính
π
Z4
0
sin 5x sin x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
e) Tính
π
Z6
0
sin 4x cos x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
f) Tính
π
Z4
0
sin 6x cos 2x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
g) Tính
π
Z6
0
cos 3x cos x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
h) Tính
π
Z6
0
cos 6x cos 2x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
i) Tính
π
Z4
0
sin4x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 6. a) Biết
a
Z
0
sin x cos x dx = 1
4 . Tìm a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Có bao nhiêu số nguyên m ∈ (0; 2018) thỏa
m
Z
0
cos 2x dx = 0?
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Biết
π
Z4
0
sin 5x dx = a + b
√ 2
2 với a, b ∈ Q . Tính giá trị P = ab + b − a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Biết
π
Z4
π 6
1 − sin3x sin2x dx =
√ a + √ b − c
2 với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị P = a2+ b2+ abc.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Biết
π
Z4
0
dx
cos2x sin2x = a + b √
3 với a, b ∈ Q . Tính giá trị P = ab − a + b.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Biết
π
Z4
0
sin 3x sin 2x dx = a + b √ 2
10 với a, b ∈ Z . Tính a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 7. Tính các tích phân sau a) Tính
1
Z
0
√3
5 + 3x dx =
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Tính
5
Z
3
4x dx
√ 5x + 1 − √
3x + 1 =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Tính
5
Z
1
5x dx
√ 8x + 1 + √
3x + 1 =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Tính
6
Z
1
dx (x + 3) √
x − x √
x + 3 =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Tính
Z3
2
dx (x + 2) √
x + 1 + (x + 1) √
x + 2 =
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 8. a) Biết
2
Z
1
√ 2x − 1 dx =
√ a − 1
b với a, b là số nguyên dương. Tính a − b3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
b) Biết
Z3
1
√ 8 − 2x dx =
√ a − √ b
3 với a, b là số nguyên dương. Tính P = ab + a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
c) Biết
3
Z
2
√3
3x − 5 dx = √3 a − 1
b với a, b là các số nguyên. Tính P = ab + a − b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
d) Biết
Z6
2
√ 2 dx
2x − 1 = √ a − √
b với a, b là các số nguyên dương. Tính P = ab + a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
e) Biết
2
Z
1
dx (x + 1) √
x + x √
x + 1 = √ a − √
b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 2.5. Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ Phương pháp giải:
Chú ý nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp.
a)
Z 1
ax + b dx = 1
a ln |ax + b| + C, với a 6= 0.
b)
Z 1
(ax + b)ndx = 1
a ã −1
(n − 1)(ax + b)n−1 + C, với a 6= 0, n ∈ N , n ≥ 2.
c)
Z 1
(x + a)(x + b) dx = 1 b − a ln
x + a x + b
+ C, với a 6= b.
Ví dụ 1
d Tính các tích phân sau Tính
1
Z
0
x
(x + 1)2 dx.
a)
1
Z
0
x
(x + 2)3 dx.
b)
| Lời giải.
a) Ta có
1
Z
0
x
(x + 1)2 dx =
1
Z
0
x + 1 − 1 (x + 1)2 dx =
1
Z
0
ù 1
x + 1 − 1 (x + 1)2
ò dx =
ù
ln |x + 1| + 1 x + 1
ò
1
0
= ln 2− 1 2 .
b) Ta có
Z1
0
x
(x + 2)3 dx =
Z1
0
x + 2 − 2 (x + 2)3 dx =
Z1
0
ù 1
x + 2 − 2 (x + 2)3
ò dx =
ù
ln |x + 2| + 1 (x + 2)2
ò
1
0
= ln 3 2 − 5
36 . Ví dụ 2
d Tính các tích phân sau a) Biết
2
Z
1
dx 3x − 1 = 1
a ln b với b > 0. Tính S = a2+ b.
b) Biết
2
Z
0
x2
x + 1 dx = a + ln b với a, b ∈ Q . Tính S = 2a + b + 2b.
| Lời giải.
a) Ta có
2
Z
1
dx 3x − 1 = 1
3
2
Z
1
d(3x − 1) 3x − 1 = 1
3 ln |3x − 1||21 = 1
3 (ln 5 − ln 2) = 1 3 ln 5
2 . Suy ra a = 3, b = 5
2 . Do đó S = 1 9 + 5
2 = 47 18 . b) Ta có
Z2
0
x2
x + 1 dx =
Z2
0
Å
x − 1 + 1 x + 1
ã dx =
ù x2
2 − x + ln |x + 1|
ò
2
0
= ln 3 = 0 + ln 3.
Suy ra a = 0, b = 3 nờn S = 2 ã 0 + 3 + 23 = 11.
Bài 1. Tính các tích phân sau
a) Biết
Z1
0
2x + 3
2 − x dx = a ln 2 + b với a, b ∈ Q . Tính P = a + 2b + 2a− 2b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Biết
1
Z
0
2x − 1
x + 1 dx = a + b ln 2 với a, b ∈ Q . Tính P = ab − a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 2. Tính các tích phân sau a) Tính
Z1
0
3x − 1
x2+ 6x + 9 dx = 3 ln a b − 5
6 với a, b ∈ Z+ và a
b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = 2a+ 2b− ab.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Biết
1
Z
0
Å 1
x + 1 − 1 x + 2
ã
dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z . Tính S = a + b − ab2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 3. Tính các tích phân sau a) Biết
Z1
0
x3
x + 2 dx = a
3 + b ln 3 + c ln 2, với a, b, c ∈ Q . Tính S = 2a + 4b2+ 3c3.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Biết
0
Z
−1
3x2+ 5x − 1
x − 2 dx = a ln 2
3 + b với a, b ∈ Q . Tính giá trị của S = a + 4b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Biết
5
Z
3
dx
x2− x = a ln 5 + b ln 3 + c ln 2 với a, b, c ∈ Q . Tính S = −2a + b + 3c2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Tính
5
Z
1
3
x2+ 3x dx = a ln 5 + b ln 2 với a, b ∈ Z . Tính S = a + b − ab.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Biết
2
Z
1
x
(x + 1)(2x + 1) dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c ∈ Q . Tính S = a + b + c.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Biết
1
Z
0
dx
x2− 5x + 6 = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z . Tính S = a + b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g) Tính
3
Z
2
dx
−2x2+ 3x − 1 = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c ∈ Z . Tính S = 2a + b2 + 2c.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h) Tính
1
Z
0
5 − 2x
x2+ 3x + 2 dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z . Tính S = 2a− 3ab.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i) Tính
2
Z
0
x − 1
x2+ 4x + 3 dx = a ln 5 + b ln 3 với a, b ∈ Q . Tính S = ab + 3a− a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j) Biết
2
Z
1
1
x2(x + 1) dx = 1
2 + ln a
b với a, b ∈ Z+ và a
b là phân số tối giản. Tính S = a + 2b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 2.6. Tính chất của tích phân
a)
b
Z
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx,
b
Z
a
f(x) dx = −
a
Z
b
f (x) dx.
b)
b
Z
a
f (x) dx = f (x)|ba= f(b) − f (a),
b
Z
a
f00(x) dx = f0(x)|ba= f(b) − f (a),.. . .
Ví dụ 1
d Tính các tích phân sau:
a) Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn
10
Z
0
f(x) dx = 7 và
6
Z
2
f (x) dx = 3.
Tính
Z2
0
f(x) dx +
Z10
6
f (x) dx.
b) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
b
Z
a
f (x) dx = 2 và
b
Z
c
f (x) dx = 3 với a < b < c. Tính
Zc
a
f(x) dx
c) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn
3
Z
1
f (x) dx = 2017 và
3
Z
4
f (x) dx = 2018.
Tính
Z4
1
f(x) dx.
| Lời giải.
a) Ta có
7 =
10
Z
0
f (x) dx =
2
Z
0
f (x) dx +
6
Z
2
f(x) dx +
10
Z
6
f (x) dx.
Hay là
7 =
10
Z
0
f(x) dx =
2
Z
0
f (x) dx + 3 +
10
Z
6
f (x) dx ⇒ P =
2
Z
0
f (x) dx +
10
Z
6
f(x) dx = 7 − 3 = 4.
b) Ta có
c
Z
a
f(x) dx =
b
Z
a
f (x) dx +
c
Z
b
f(x) dx =
b
Z
a
f (x) dx −
b
Z
c
f(x) dx = 2 − 3 = −1.
c) Ta có
4
Z
1
f (x) dx =
3
Z
1
f(x) dx +
4
Z
3
f (x) dx =
3
Z
1
f(x) dx −
3
Z
4
f(x) dx = 2017 − 2018 = −1.
Ví dụ 2
d Tính các tích phân sau:
a) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn
Z5
2
f(x) dx = 3 và
Z7
5
f (x) dx = 9. Tính
7
Z
2
f(x) dx.
b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn
6
Z
0
f(x) dx = 4 và
6
Z
2
f (t) dt = −3. Tính
2
Z
0
[f(v) − 3] dv.
| Lời giải.
a) Ta có
Z7
2
f (x) dx =
Z5
2
f (x) dx +
Z7
5
f (x) dx = 3 + 9 = 12.
b) Ta có
2
Z
0
f (v) dv =
6
Z
0
f (v ) dv −
6
Z
2
f (v ) dv =
6
Z
0
f(x) dx −
6
Z
2
f(x) dx = 4 − (−3) = 7.
Hay là
2
Z
0
f(v) dv = 7 ⇒
2
Z
0
[f (v) − 3] dv =
2
Z
0
f(v) dv −
2
Z
0
3 dv = 7 − 3v |20 = 1.
Ví dụ 3
d Tính các tích phân sau:
a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f0(1) = 1 và f (2) = 2. Tính
2
Z
1
f0(x) dx.
b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 4], f (1) = 1 và
4
Z
1
f0(x) dx = 2. Tính f (4).
c) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 3], f (3) = 5 và
Z3
1
f0(x) dx = 6. Tính f (1).
| Lời giải.
a) Ta có
2
Z
1
f0(x) dx = f (x)|21 = f (2) − f (1) = 2 − 1 = 1.
b) Ta có 2 =
4
Z
1
f0(x) dx = f(x)|41 = f(4) − f(1) = f (4) − 1 ⇒ f(4) = 3.
c) Ta có 6 =
3
Z
1
f0(x) dx = f(x)|31 = f(3) − f(1) = 5 − f (1) ⇒ f(1) = −1.
Bài 1. Bài toán sử dụng tính chất
Zb
a
f(x) dx =
Zc
a
f (x) dx+
Zb
c
f (x) dx,
Zb
a
f (x) dx = −
Za
b
f (x) dx a) Cho
Z4
2
f (x) dx = 10 và
Z4
2
g(x) dx = 5. Tính tích phân
Z4
2
[3f (x) − 5g(x)] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho
5
Z
−1
f(x) dx = 5,
5
Z
4
f(t) dt = −2 và
4
Z
−1
g(u) du = 1
3 . Tính I =
4
Z
−1
[f(x) + g(x)] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
c) Cho
π
Z4
0
f (x) dx = a. Tính tích phân I =
π
Z4
0
f(x) cos2x − 5
cos2x dx theo a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho
π
Z2
0
f (x) dx = 5. Tính tích phân I =
π
Z2
0
[f(x) + 2 sin x] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 2. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f (x) dx = f (x)|ba= f (b) − f (a),
b
Z
a
f00(x) dx = f0(x)|ba = f(b) − f (a),.. . .
a) Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [1; 3], f0(1) = 1 và f0(3) = m.
Tìm m để
3
Z
1
f00(x) dx = 5.
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Biết f (1) = 12, f0(x) là hàm số liên tục trên [1; 4] và
4
Z
1
f0(x) dx = 17. Tính f(4).
| Lời giải.
. . . . . . . .
Bài 3. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f (x) dx+
b
Z
c
f (x) dx,
b
Z
a
f (x) dx = −
a
Z
b
f (x) dx a) Cho
Z2
−1
f(x) dx = 5 và
Z2
−1
g(x) dx = −2. Tính tích phân I =
Z2
−1
[x + 2f (x) − 3g(x)] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
b) Cho
4
Z
−1
f(x) dx = 10 và
6
Z
4
f(x) dx = 2. Tính tích phân I =
−1
Z
6
f (x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho
Z6
3
f (x) dx = 7. Tính tích phân I =
Z6
3
[x2− f(x)] dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho
2
Z
0
f (x) dx = 1 và
2
Z
0
[ex− f (x)] dx = ea− b. Tìm a, b.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 4. Bài toán sử dụng tính chất
b
Z
a
f (x) dx = f (x)|ba= f (b) − f (a),
b
Z
a
f00(x) dx = f0(x)|ba = f(b) − f (a),.. . .
a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [−3; 5], f(−3) = 1 và f(5) = 9. Tính
5
Z
−3
4f0(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 3 trên [−3; 2], f00(−3) = 4 và f00(2) = 6. Tính giá trị của tích phân
2
Z
−3
f000(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Bài 5. Tính các tích phân sau bằng phương pháp biến đổi hàm ẩn:
a) Cho f(x) liên tục trên R và
1
Z
0
f(x) dx = 2017. Tính
π 4
Z
0
f (sin 2x) cos 2x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho
4
Z
0
f (x) dx = 16. Tính
2
Z
0
f (2x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho f(x) thỏa mãn
2017
Z
0
f (x) dx = 1. Tính
1
Z
0
f(2017x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho
4
Z
0
f (x) dx = 2. Tính
1
Z
0
f (4x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Biết
3
Z
1
f (3x − 1) dx = 20. Tính
8
Z
2
f (x) dx.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
f) Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa mãn
2
Z
1
f0(x) dx = 10 và
2
Z
1
f0(x) f(x) dx = ln 2. Biết rằng hàm số f (x) > 0, ∀x ∈ [1; 2]. Tính f (2).
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 6. Tính các tích phân bằng phương pháp đổi biến hàm ẩn:
a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1; 2], f (2) = 2 và f(4) = 2018. Tính I =
2
Z
1
f0(2x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có
π
Z2
0
f(x) dx = 4. Tính I =
π
Z4
0
[f (2x) − sin x] dx.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho tích phân
2
Z
1
f (x) dx = a. Hãy tính tích phân I =
1
Z
0
xf
x2+ 1
dx theo a.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho f (x) liên tục trên R thỏa
Z9
1
f ( √
√ x)
x dx = 4 và
π
Z2
0
f (sin x) ã cos x dx = 2. Tớnh tớch phân I =
3
Z
0
f (x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có
π
Z4
0
f(tan x) dx = 4 và
1
Z
0
x2f (x)
x2+ 1 dx = 2. Tính tích phân I =
Z1
0
f (x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Cho f(x) là hàm liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0; a] ta có f (x) > 0 và f (x) ã f(a − x) = 1. Tớnh I =
a
Z
0
dx 1 + f(x) .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 7. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần của hàm ẩn:
a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa f (1) = 0, f (2) = 2 và
2
Z
1
f (x) dx = 1. Tính I =
2
Z
1
xf0(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho hàm số f (x) có nguyên hàm là F (x) trên [1; 2], F (2) = 1 và
2
Z
1
F (x) dx = 5. Tính I =
2
Z
1
(x − 1)f (x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(2) = 16,
Z2
0
f (x) dx = 4. Tính I =
Z1
0
xf0(2x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn
2
Z
0
f (x) dx = 3 và f (2) = 2.
Tính tích phân I =
Z4
0
f0 √ x
dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thỏa
2
Z
1
f0(x) ln [f (x)] dx = 1 và f (1) = 1, f(2) > 1. Tính f(2).
| Lời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa
1
Z
0
(x + 1)f0(x)dx = 10 và 2f (1) − f (0) = 2. Tính tích phân I =
Z1
0
f (x)dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g) Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn các điều kiện
Z1
0
x2f00(x)dx = 12 và 2f(1) − f0(1) = −2. tính tích phân I =
Z1
0
f (x)dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
h) Cho hàm số f (x) thỏa mãn
3
Z
0
xef(x)f0(x)dx = 8 và f (3) = ln 3. Tính I =
3
Z
0
ef(x)dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i) Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 4,
1
Z
0
xf(x) dx = 223
10 . Tính tích phân I =
Z1
0
x2f0(x)dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j) Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 0,
1
Z
0
x2f(x) dx = 1
3 . Tính tích phân I =
Z1
0
x3f0(x)dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
k) Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 3] thỏa mãn f(3) = 2,
Z3
0
x3f(x) dx = 5461
120 . Tính tích phân I =
3
Z
0
x4f0(x)dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l) Cho hàm số f (x) thỏa mãn
b
Z
a
xf00(x)dx = 4, f0(a) = −2, f0(b) = 3 với a, b là các số thực dương và f (a) = f (b). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4a2
3b + 1 + 9b2 2a + 3 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 8. a) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa f(1) = 0,
1
Z
0
[f0(x)]2 dx = 7 và
1
Z
0
x2f (x) dx = 1 3 . Tính
1
Z
0
f(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa f(1) = 4,
Z1
0
[f0(x)]2 dx = 36 và
1
Z
0
xf (x) dx = 1
5 . Tính tích phân
1
Z
0
f (x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1,
1
Z
0
[f0(x)]2 dx = 9 và
1
Z
0
x3f (x) dx = 1
2 . Tích phân
1
Z
0
f (x) dx bằng
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn
f (1) = 1,
1
Z
0
[f0(x)]2dx = 9 5 và
1
Z
0
f √ x
dx = 2 5 .
Tính tích phân I =
1
Z
0
f(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn
f (0) = 1,
1
Z
0
[f0(x)]2dx = 1 30 ,
1
Z
0
(2x − 1)f(x)dx = − 1
30 . Tính
1
Z
0
f (x)dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 9. Cho hàm số f(x) liên tục và lẻ trên đoạn [−a; a]. Chứng minh rằng I =
a
Z
−a
f(x) dx = 0.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) Cho f(x) là hàm số lẻ thỏa mãn
0
Z
−2
f (x) dx = 2. Tính tích phân I =
2
Z
0
f(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Tính tích phân I =
2017
Z
−2017
x2019√
x4+ 2018 dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Tính tích phân I =
π
Z4
−π4
sin x √
1 + x2018dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
d) Biết
π
Z4
−π4
sin x
√ 1 + x2+ x dx = π √ b − √
a
4 với a, b là các số nguyên dương. Tính T = ab.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 10. Cho hàm số y = f (x) liên tục và chẵn trên đoạn [−a; a]. Chứng minh rằng
a
Z
−a
f (x) dx = 2
0
Z
−a
f (x) dx = 2
a
Z
0
f (x) dx (1) và
a
Z
−a
f(x)
1 + bx dx = 1 2
a
Z
−a
f (x) dx =
a
Z
0
f (x) dx (2)
Chứng minh
1. Ta đi chứng minh công thức (1) :
Za
−a
f (x) dx = 2
Z0
−a
f (x) dx = 2
Za
0
f (x) dx.
Ta có I =
a
Z
−a
f (x) dx =
0
Z
−a
f (x) dx +
a
Z
0
f(x) dx = A + B.
Xét A =
0
Z
−a
f(x) dx. Đặt x = −t ⇒ dx = − dt. Đổi cận
x = −a ⇒ t = a.
x = 0 ⇒ t = 0.
Do f (x) là hàm chẵn và liên tục trên [−a; a] nên f (−x) = f (x) ⇒ f (−t) = f (t) . Khi đó : A = −
0
Z
a
f(−t) dt =
a
Z
0
f(−t) dt =
a
Z
0
f (−x) dx =
a
Z
0
f (x) dx = B.
Suy ra A = B = 1
2 I nên I =
a
Z
−a
f (x) dx = 2
0
Z
−a
f (x) dx = 2
a
Z
0
f (x) dx.
2. Ta đi chứng minh công thức (2) :
a
Z
−a
f (x)
1 + bx dx = 1 2
a
Z
−a
f (x) dx =
a
Z
0
f(x) dx với 0 < b 6= 1 và a ∈ R+.
Đặt x = −t ⇒ dx = − dt. Đổi cận
x = −a ⇒ t = a x = 0 ⇒ t = 0.
Ta có
I = −
−a
Z
a
f (−t) 1 + b−tdt =
a
Z
−a
f (t) 1 + 1 bt
dt =
a
Z
−a
btã f (t) 1 + bt dt =
a
Z
−a
bxã f (x) 1 + bx dx.
Cộng hai vế cho I ⇒ 2I =
a
Z
−a
bxã f (x) 1 + bx dx +
a
Z
−a
f (x) 1 + bxdx =
a
Z
−a
(bx+ 1) f (x) 1 + bx dx =
a
Z
−a
f (x) dx.
Suy ra I = 1 2
a
Z
−a
f (x) dx =
0
Z
−a
f(x) dx =
a
Z
0
f (x) dx.
a) Cho hàm số f (x) là hàm chắn và liên tục trên R , thỏa mãn I =
a
Z
0
f (x) d = 6.
i) Tính A =
Z0
−3
f(x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii) Tính B =
Z1
−1
f(3x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii) Tính C =
π
Z2
−π
2
cos x ã f(3 sin x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho f (x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên đoạn [−6; 6]. Biết rằng
2
Z
−1
f(x) dx = 8 và
3
Z
1
f (−2x) dx = 3. Tính tích phân
6
Z
−1
f(x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [−1; 1] thỏa mãn
1
Z
−1
f (x) dx = 4. Tính tích phân
1
Z
−1
f (x) 2x+ 1 dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
d) Tính tích phân
3
Z
−3
x2018 ex+ 1 dx.
| Lời giải.
. . . . . . . .
e) Tính tích
1
Z
−1
1
(2018x+ 1) (x2− 4) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Tính I =
π
Z4
−π4
cos x 2017x+ 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
g) Tính tích phân
π 4
Z
−π4
sin6x + cos6x 6x+ 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Bài 11. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng a) Nếu
Zb
a
f (x) dx = k thì
Zb
a
f (a + b − x) dx = k.
b) Nếu f (a + b − x) = −f (x) thì
Zb
a
f (x) dx = 0.
c) Nếu f (a + b − x) = f (x) thì
b
Z
a
xf (x) dx = a + b 2
b
Z
a
f(x) dx
Chứng minh
a) Nếu
b
Z
a
f (x) dx = k thì
b
Z
a
f (a + b − x) dx = k.
Đặt t = a + b − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a.
Suy ra
b
Z
a
f (a + b − x) dx = −
a
Z
b
f (t) dt =
b
Z
a
f (x) dx = k.
b) Nếu f (a + b − x) = −f (x) thì
Zb
a
f (x) dx = 0.
Đặt t = a + b − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a.
Suy ra
Zb
a
f(a + b − x) dx = −
Za
b
f (t) dt =
Zb
a
f (x) dx. Mà f (a + b − x) = −f (x) nên ta có
Zb
a
f (a + b − x) dx = −
Zb
a
f (x) dx =
Zb
a
f (x) dx ⇒
Zb
a
f (x) dx = 0.
c) Nếu f (a + b − x) = f (x) thì
Zb
a
xf (x) dx = a + b 2
Zb
a
f(x) dx.
Đặt t = a + b − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận: x = a ⇒ t = b và x = b ⇒ t = a.
Khi đó
Zb
a
xf(x) dx = −
Za
b
(a + b − t) f (a + b − t) dt =
Zb
a
(a + b − t) f (a + b − t) dt
=
b
Z
a
(a + b − x) f(a + b − x) dxf(a+b−x)=f= (x)(a + b)
b
Z
a
f(x) dx −
b
Z
a
xf (x) dx Suy ra 2
b
Z
a
xf (x) dx = (a + b)
b
Z
a
f(x) dx ⇒
b
Z
a
xf (x) dx = a + b 2
b
Z
a
f(x) dx.
a) Cho tích phân
2018Z
1
f (x) dx = 5 trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [1; 2018]. Tính tích phân I =
2018
Z
1
f (2019 − x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho tích phân
2
Z
−1
f (x) dx = 10 trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [−1; 2]. Tính tích phân I =
2
Z
−1
f (1 − x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thỏa mãn
b
Z
a
f (x) = 7 dx. Tính
b
Z
a
f (a + b − x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) Biết
π
Z4
0
ln (1 + tan x) dx = a
b ln c với a
b là phân số tối giản và c > 0. Tính a + 9b − c.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) Biết
π
Z
0
x ã sin6x dx = a ã π6
c với a, b, c ∈ R . Tìm phần nguyên của a + 2π + 10b − c.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Biết
π
Z
0
xf (sin x) dx = 2π. Tính tích phân I =
π
Z
0
f(sin x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
g) Biết
Zπ
0
f (sin x) dx = 2
3 . Tính tích phân I =
Zπ
0
xf(sin x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
h) Chứng minh rằng
π
Z2
0
sinnx dx
sinnx + cosnx = π
4 với n ∈ R+
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i) Tính tích phân
Zπ
0
x dx sin x + 1 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 12. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn : mf (−x) + nf (x) = g(x) thì
Za
−a
f (x) dx = 1 m + n
Za
−a
g(x) dx.
c Hệ quả 2.1. Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thì
1)
π−α
Z
α
x ã f (sin x) dx = π 2
π−α
Z
α
f (sin x) dx
2)
2π−α
Z
α
x ã f(cos x) dx = π
2π−α
Z
α
f (cos x) dx
a) Cho f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (−x) + 2017f (x) = cos x. Tính tích phân I =
π
Z2
−π
2
f(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Cho hàm f (x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f(x) + 5f (−x) = 1
4 + x2. Tính tích phân
2
Z
−2
f(x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
c) Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn f (x) + f (−x) = √
2 + 2 cos 2x, ∀x ∈ R . Tính tích phân I =
3π
Z2
−3π
2
f(x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 13. Cho tích phân
a+TZ
a
f(x) dx = k với f(x) là hàm xác định, liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì tích phân
ZT
0
f(x) dx =
a+TZ
a
f (x) dx = k.
Chứng minh Ta có I =
a+T
Z
a
f (x) dx =
0
Z
a
f(x) dx +
T
Z
0
f (x) dx +
a+T
Z
T
f(x) dx.
Xét tích phân J =
a+TZ
a
f (x) dx. Đặt t = x − T .
Đổi cận
x = T ⇒ t = 0 x = a + T ⇒ t = a.
Khi đó: J =
a+T
Z
T
f(x) dx =
a
Z
0
f (t + T ) dt =
a
Z
0
f(t) dt =
a
Z
0
f (x) dx
⇒
a+TZ
a
f (x) dx =
Z0
a
f(x) dx +
ZT
0
f (x) dx +
Za
0
f(x) dx =
ZT
0
f (x) dx = k Chú ý
Hàm số f(x) có chu kỳ T thì f(x + T ) = f(x) với T là số nguyên dương nhỏ nhất
a) Cho tích phân I =
a+πZ
a
f(x) dx = 2018, với f(x) là hàm xác định, liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ π. Tính tích phân I =
Zπ
0
f(x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . .
b) Tính tích phân I =
5π
Z4
π
sin 2x dx cos4x + sin4x
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Tính tích phân I =
2017π
Z
0
√ 1 − cos 2x dx
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 2.7. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
b
Z
a
| f (x) | dx
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của tích phân
b
Z
a
| f (x) | dx =
c
Z
a
| f (x) | dx +
b
Z
c
| f(x) | dx đến đây ta có 2 cách để phá dấu giá trị tuyệt đối
• Cách 1. Xét dấu biểu thức f (x) để khử dấu trị tuyệt đối.
• Cách 2. Giải phương trình f (x) = 0 trên (a; b). Giả sử trên khoảng (a; b) phương trình có nghiệm a < x1 < x2 < . . . < xn < b. Do hàm số f (x) không đổi dấu trên mỗi khoảng (xi; xi+1) nên ta có
b
Z
a
| f (x) | dx =
x1
Z
a
| f(x) | dx +
x2
Z
x1
| f (x) | dx + . . . +
b
Z
xn
| f(x) | dx
=
x1
Z
a
f(x) dx
+
x2
Z
x1
f (x) dx
+ . . . +
Zb
xn
f(x) dx
Ví dụ 1
d Tính các tích phân sau:
a) Tính tích phân I =
2
Z
0
|1 − x| dx.
b) Tính tích phân I =
2
Z
0
| x2− x | dx.
| Lời giải.
a) Cách 1. Ta có 1 − x = 0 ⇔ x = 1 Và 1 − x ≥ 0, ∀x ∈ (0; 1)
Do đó I =
1
Z
0
(1 − x) dx +
2
Z
1
(x − 1) dx = Å
x − x2 2
ã
1
0
+ Å x2
2 − x ã
2
1
= 1.
Cách 2. phương trình 1 − x = 0 ⇔ x = 1 ∈ (0; 2), nên ta có
I =
2
Z
0
|1 − x| dx =
1
Z
0
|1 − x| dx +
2
Z
1
|1 − x| dx =
1
Z
0
(1 − x) dx
+
2
Z
1
(1 − x) dx
=
1 − 1 2
+ 1 2 − 1
= 1
b) Ta có x2− x = 0 ⇔
x = 0 x = 1.
Do đó
I =
2
Z
0
| x2− x | dx =
1
Z
0
| x2− x | dx +
2
Z
1
| x2− x | dx
=
1
Z
0
(x2− x) dx
+
2
Z
1
(x2− x) dx
= 1 6 + 5
6 = 1
Bài 1.
a) Tính tích phân I =
2
Z
0
|x2− x| dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Tính tích phân
3
Z
0
x2− 2x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
c) Tính tích phân
4
Z
0
x2+ 4x − 5 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
d) Tính tích phân I =
3
Z
0
√
x3− 2x2+ x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
e) Tính tích phân I =
π
Z
0
cos x
√ sin x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) Tính tích phân I =
2π
Z
0
√ 1 − cos 2x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
g) Tính tích phân I =
π
Z3
π 6
p tan2x + cot2x − 2 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h) Tính tích phân I =
1
Z
−1
2x− 2−x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i) Tính tích phân I =
2
Z
−2
2x − |x + 1|
dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 2.8. Phương pháp đổi biến số
Zb
a
[f (x)] u0(x) dx = F [u(x)]
b
a
= F [u(b)] − F [u(a)] . a) Biến đổi để chọn phép đặt t = u(x) ⇒ dt = u0(x)dx.
b) Đổi cận
x = b ⇒ t = u(b) x = a ⇒ t = u(a)
.
c) Đưa về dạng I =
u(b)
Z
u(a)
f (t) dt đơn giản hơn và dễ tính toán.
Dạng: I =
Z
f(ax + b)nx dx I1 =
Z
f (ax + b)nx dx −→ Đặt t = ax + b ⇒ dt = adx.
I2 =
Z Å xn xn+1+ 1
ãm
dx −→ Đặt t = xn+1+ 1 ⇒ dt = (n + 1)xndx.
I3 =
Z
f (ax2+ b)nxdx −→ Đặt t = ax2+ b ⇒ dt = 2axdx.
Ví dụ 1
d Tính tích phân I =
1
Z
0
x(1 − x)19dx.
| Lời giải.
Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒ dx = −dt.
Đổi cận:
x = 0 ⇒ t = 1 x = 1 ⇒ t = 0 .
Khi đó I = −
0
Z
1
(1 − t)t19dt =
1
Z
0
t19− t20 dt =
Å t20 20 − t21
21 ã
1
0
= 1 20 − 1
21 = 1
420 .
Ví dụ 2
d Tính tích phân I =
1
Z
0
x3 1 + x2 dx.
| Lời giải.
Đặt t = 1 + x2 ⇒ x2 = t − 1 ⇒ 2xdx = dt ⇒ xdx = 1 2 dt.
Đổi cận
x = 0 ⇒ t = 1 x = 1 ⇒ t = 2 .
Khi đó I =
1
Z
0
x2
1 + x2x dx = 1 2
2
Z
1
t − 1
t dt = 1 2
2
Z
1
Å 1 − 1
t ã
dt = 1
2 (t − ln |t|)
2
1
= 1 2 − 1
2 ln 2.
Ví dụ 3
d Tính tích phân I =
1
Z
0
(7x − 1)99 (2x + 1)101dx.
| Lời giải.
Ta có I =
1
Z
0
Å 7x − 1 2x + 1
ã99
ã 1
(2x + 1)2 dx.
Đặt t = 7x − 1
2x + 1 ⇒ dt = 9
(2x + 1)2dx ⇒ 1
(2x + 1)2dx = 1 9 dt.
Đổi cận
x = 0 ⇒ t = −1 x = 1 ⇒ t = 2
.
Khi đó I = 1 9
2
Z
−1
t99dt = 1 9 ã t100
100
2
−1
= 2100− 1
900 .
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a) I =
Z2
1
x(1 − x)50dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
b) I =
1
Z
0
x 1 + x24
dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a) I =
1
Z
0
x5 x2+ 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
1
Z
0
x3
(1 + x2)3 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 3. Tính I =
Z3
2
x2017 (x − 1)2019 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a) I =
Z1
0
x5 1 − x36
dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
1
Z
0
(1 + 3x) 1 + 2x + 3x210
dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 5. Tính các tích phân sau:
a) I =
1
Z
0
2
x 1 − x25
dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
Z0
−1
x2(x + 1)15dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) I =
Z1
0
x2 1 + x3n
dx, (∀n ∈ N∗)
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) I =
1
Z
0
x 1 − x2n
dx, (∀n ∈ N∗)
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 6. Tính các tích phân sau:
a) I =
1
Z
0
4x3 (x4+ 2)3 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
1
Z
0
x
(x2+ 1)3 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 7. Tính các tích phân sau:
a) I =
2
Z
1
(x + 2)2017 x2019 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 8. Tính I =
2
Z
1
x2001
(1 + x2)1002dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng: I =
b
Z
a
pn
f (x)f0(x) dx −→ Đặt t = pn
f (x) ⇒ tn= f(x) ⇒ ntn−1dt = f0(x)dx.
Ví dụ 4
d Tính tích phân I =
9
Z
1
x √3
1 − x dx.
| Lời giải.
Đặt t = √3
1 − x ⇒ t3 = 1 − x ⇒
x = 1 − t3 dx = −3t2dt.
Đổi cận
x = 1 ⇒ t = 0 x = 9 ⇒ t = −2.
Khi đó I = −
−2
Z
0
(1 − t3) ã t ã 3t2dt = 3
0
Z
−2
t3− t6
dt = 3 Å t4
4 − t7 7
ã
0
−2
= − 468
7 .
Bài 9. Tính các tích phân sau:
a) I =
Z1
−1
2x + 1
√ x2+ x + 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
Z1
0
x √
1 − x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 10. Tính các tích phân sau:
a) I =
Z3
0
√ x
x + 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
1
Z
0
x √
2 − x2dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) I =
3
Z
1
x √3
x2− 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) I =
√ 7
Z
0
x √3
1 + x2dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) I =
Z0
−1
(x − 1)2√
x + 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) I =
Z1
0
x3√
1 + x2dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g) I =
√ 3
Z
0
x5√
1 + x2dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h) I =
√ 7
Z
0
x3
√3
x2+ 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i) I =
Z1
0
x15√
1 + 3x8dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 11. Tính các tích phân sau:
a) I =
2√ 3
Z
√ 5
1 x √
x2+ 4 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
Z4
√7
1 x √
x2+ 9 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) I =
Z2
1
1 x √
x3+ 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
d) I =
5
Z
1
1 x √
3x + 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 12. Tính I =
Z6
1
√ x + 3 + 1 x + 2 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 13. Tính tích phân a) I =
6
Z
0
√ 2
4x + 1 + 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
4
Z
0
4x − 1
√ 2x + 1 + 2 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) I =
4
Z
1
1 x(1 + √
x) dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) I =
2
Z
0
√ 2 + √ x 1 + √
2x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) I =
4
Z
1
e4
√x+1
√ x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) I =
Z1
0
(x − 1)3√
2x − x2dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g) I =
2
Z
1
x x + √
x2 − 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
h) I =
√ 5
Z
0
x3 x + √
x2 + 4 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i) I =
1
Z
0
x3 x2+ √
x4+ 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
Dạng: Đổi biến biểu thức chứa ln, ex hoặc lượng giác trong dấu căn
Phương pháp giải: Đặt t là căn thức chứa lôgarit hoặc căn thức chứa mũ hoặc căn thức chứa lượng giác.
Ví dụ 5
d Tính tích phân I =
e
Z
1
ln x x √
1 + ln x dx
| Lời giải.
Đặt t = √
1 + ln x ⇒ t2 = 1 + ln x ⇒
ln x = t2− 1 2t dt = dx
x . Đổi cận:
x = 1 ⇒ t = 1 x = e ⇒ t = √
2 .
I =
√ 2
Z
1
(t2− 1) ã 2t
t dt = 2
√ 2
Z
1
t2− 1
dt = 2 Å t3
3 − t ã
√ 2
1
= 2 Ç 2 √
2 3 − √
2 − 1 3 + 1
ồ
= 2 2 − √ 2
3 =
4 − 2 √ 2
3 .
Ví dụ 6
d Tính tích phân I =
e3
Z
1
ln2x x √
ln x + 1 dx
| Lời giải.
Đặt t = √
ln x + 1 ⇒ t2 = ln x + 1 ⇒
ln x = t2− 1 2t dt = dx
x . Đổi cận:
x = 1 ⇒ t = 1 x = e3 ⇒ t = 2
.
I =
2
Z
1
(t2 − 1)2ã 2t
t dt = 2
2
Z
1
t4− 2t2+ 1
dt = 2 Å t5
5 − 2 t3 3 + t
ã
2
1
= 76
15 .
Ví dụ 7
d Tính tích phân I =
Z2
0
cos x √
3 sin x + 1 dx
| Lời giải.
Đặt t = √
3 sin x + 1 ⇒ t2 = 3 sin x + 1 ⇒ 2t dt = 3 cos x dx.
Đổi cận:
x = 0 ⇒ t = 1 x = π
2 ⇒ t = 2 .
I =
2
Z
1
t ã 2
3 t dt = 2 3
Å t3 3
ã
2
1
= 2 3
Å 8 3 − 1
3 ã
= 14
9 .
Ví dụ 8
d Tính tích phân I =
ln 2
Z
0
e2x
√ ex+ 1 dx
| Lời giải.
Đặt t = √
ex+ 1 ⇒ t2 = ex+ 1 ⇒
ex = t2− 1 2t dt = exdx.
Đổi cận:
x = 0 ⇒ t = √ 2 x = ln 2 ⇒ t = √
3 .
I =
√3
Z
√ 2
(t2 − 1) ã 2t
t dt = 2
√3
Z
√ 2
t2− 1
dt = 2 Å t3
3 − t ã
√3
√2
= 2
Ç 3 √ 3 3 − √
3 − 2 √ 2 3 + √
2 ồ
= 2 √ 2
3 .
Bài 14. Tính tích phân a) I =
Ze
1
ln x √
1 + 3 ln x
x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
Zln 2
0
ex√
5 − exdx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) I =
π
Z2
0
sin x √
1 + cos x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) I =
π
Z2
0
sin 2x + sin x
√ 1 + 3 cos x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 15. Tính tích phân a) I =
e√ e
Z
1
3 − 2 ln x x √
1 + 2 ln x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
e
Z
1
ln3x x p
1 + 3 ln2x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) I =
e
Z
1
ln x p3
2 + ln2x
x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) I =
e
Z
1
1 x √3
1 + ln x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) I =
ln 6
Z
0
√ 1
ex+ 3 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) I =
ln 5
Z
ln 2
e2x
√ ex− 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g) I =
√3
Z
0
ex
ằ
(ex+ 1)3 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h) I =
Z1
0
5x2 (5x− 9) √
6 − 51−xdx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i) I =
π
Z2
0
sin 2x
√ cos2x + 4 sin2x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j) I =
π
Z2
0
sin x cos x
√ 4 cos2x + 9 sin2x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k) I =
π
Z2
0
cos x 2 + √
3 sin x + 1 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l) I = π
Z4
0
√ 2 + 3 tan x 1 + cos 2x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m) I =
π
Z2
0
sin x cos x
√
b2cos2x + c2sin2x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng: Đổi biến biểu thức chứa hàm ln không nằm trong căn
I =
Zb
a
f(ln x) 1 x dx . Phương pháp giải:
t = ln x ⇒ dt = 1 x dx t = m + n ln x ⇒ dt = n
x dx.
Ví dụ 9
d Tính tích phân I =
e
Z
1
ln x x dx
| Lời giải.
Đặt t = ln x ⇒ dt = 1 x dx.
Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0.
Khi đó I =
1
Z
0
t dt = t2 2
1
0
= 1
2 .
Ví dụ 10
d Tính tích phân I =
e
Z
1
1 + ln2x x dx
| Lời giải.
Đặt t = ln x ⇒ dt = 1 x dx.
Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0.
Khi đó I =
1
Z
0
1 + t2 dt =
Å t + t3
3 ã
1
0
= 1 + 1 3 = 4
3 .
Bài 16. Tính các tích phân a) I =
e
Z
1
ln2x x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
e
Z
1
1 + ln x x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) I =
e
Z
1
1 + 2 ln x x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) I =
e
Z
1
1 + ln4x x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) I =
e
Z
1
ln x
x(2 + ln x)2 dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) I =
Ze
1
ln x − 2 x ln x + x dx
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 17. Tính các tích phân a) I =
e
Z
1
ln2x
x(1 + 2 ln x) dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) I =
e
Z
1
ln x + 1 x ln x + 1 dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) I =
e
Z
1
1 + ln x 2 + x ln x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) I =
e2
Z
e
1
x ln x ã ln ex dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e) I =
Ze
1
2x + ln x + 1
x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f) I =
2
Z
1
1 + x ln x x2 dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g) I =
Ze
1
√ 4 + ln x x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h) I =
Ze
1
√ 1 + 3 ln x
x dx.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 18. Tính các tích phân a) I =
Ze
1
ln x p
1 + ln2x
x dx.