ccc NỘI DUNG ĐỀ ccc Câu 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây:
a. √
3x+√
12x=√ 27.
b. x2 +x−20 = 0.
c.
(2x+ 3y= 7 x−y= 1 . Lời giải.
a. √
3x+√
12x=√
27⇔(√ 3 +√
12)x=√
27⇔x=
√27
√3 + 2√
3 = 3√ 3 3√
3 = 1.
b. x2 +x−20 = 0.
Ta có ∆ = 12−4.1.(−20) = 81>0.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
"
x= 4 x=−5. c.
(2x+ 3y= 7 x−y= 1
⇔
(2x+ 3y= 7 3x−3y= 3
⇔
(5x= 10 x−y= 1
⇔
(x= 2 y= 1 .
Câu 2. Cho hàm số y=−x2 có đồ thị là parabol(P).
a. Vẽ đồ thị(P) của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) :y =−2x+ 1 bằng phép tính.
Lời giải.
a. Vẽ đồ thị(P) của hàm số đã cho.
Ta có, bảng giá trị:
x y=−x2
−2 −1 0 1 2
-4 -1 0 -1 -4
Đồ thị hàm số:
x y
−1
−1
−2 1
−4
2
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) :y =−2x+ 1 bằng phép tính.
Ta có, phương trình hoành độ giao điểm: −x2 =−2x+ 1 ⇔x2 −2x+ 1 = 0⇔x= 1.
Vậy tọa độ giao điểm của (P) với (d)là điểm M(1;−1).
Câu 3. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2+ (4m+ 1)x+ 2m−8 = 0 (m là tham số).
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi tham số m.
b. Tìmm để hai nghiệm x1;x2 của phương trình đã cho thỏa mãn điểu kiện |x1−x2|= 17.
Lời giải.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi tham số m.
Ta có: ∆ = (4m+ 1)2−4(2m−8) = 16m2+ 33>0,∀m ∈R.
Do đó, phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b. Tìmm để hai nghiệm x1;x2 của phương trình đã cho thỏa mãn điểu kiện |x1−x2|= 17.
Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệtx1, x2, nên theo định lý Vi-et ta có: x1+x2 =
−4m−1 và x1x2 = 2m−8. (1) Từ giả thiết |x1−x2|= 17⇔x21+x22−2x1x2 = 172 ⇔(x1+x2)2−4x1x2 = 172.
Thay (1) vào ta được: (−4m−1)2 −4(2m−8) = 172 ⇔m2 = 16 ⇔
"
m= 4 m=−4.
Câu 4. Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kínhAB. Kẻ tiếp tuyếnAxvới nửa đường tròn đó (Ax nằm cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ABchứa nửa đường tròn). Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đường tròn tại D. Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E. Kẻ EH vuông góc với Ax tại H.
a. Chứng minh tứ giácAHEC nội tiếp.
b. Chứng minh ABD’ =DBC.’ c. Chứng minh tam giác ABE cân.
d. Tia BD cắt AC và Ax lần lượt tạiF và K. Chứng minh AKEF là hình thoi.
Lời giải.
a. Chứng minh tứ giácAHCE nội tiếp.
Xét tứ giácAHEC, ta có:AHE’ = 90◦ (do EH ⊥Ax tại H).
Lại có ACE’ = 90◦ (kề bù với góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra: AHE’ +ACE’ = 180◦.
Mà H, C là hai đỉnh đối nhau nên tứ giác AHCE nội tiếp.
A H
D K
B C E
x
F
b. Chứng minh ABD’ =DBC.’
Ta có: ABD’ =’DAx (cùng chắn cung AD)˜ (1)
DBC’ =DAC’ (cùng chắn cung DC)˜ (2)
Từ (1), (2) và ’DAx=DAC, suy ra’ ABD’ =DBC.’ c. Chứng minh tam giác ABE cân.
EAB’ +EAx‘ = 90◦ và AEB’+DBC’ = 90◦
Mà ’DAx=EAC’ =DBC’ nên EAB’ =AEB. Vậy tam giác’ ABE cân tạiB.
d. Tia BD cắt AC và Ax lận lượt tạiF và K. Chứng minh AKEF là hình thoi.
Tam giác AKF cóAD là phân giác, là đường cao nên∆AKF cân tại A.
Suy ra AD là trung tuyến. Do đó: D là trung điểm củaF K. (3) Tam giác ABE cân tại B và cóBD là đường cao nên D là trung điểm củaAE. (4) Từ (3) và (4) suy ra AKEF là hình bình hành.
Mặt khác, AD là phân giác của góc A nên AKEF là hình thoi.
Câu 5.
Ngọn Hải đăng Kê gà ở tỉnh Bình Thuận là ngọn tháp thắp đèn gần bờ biển dùng để định hướng cho tàu thuyền giao thông trong khu vực vào ban đêm. Đây là ngọn hải đăng được xem là cổ xưa và cao nhất Việt Nam, chiều cao của ngọn đèn so với mặt nước biển là 65m. Hỏi:
a. Một người quan sát đứng tại vị trí đèn của Hải đăng nhìn xa tối đa bao nhiêu km trên biển?
b. Cách bao xa thì một người quan sát đứng ở trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát đứng ở trên tàu có độ cao 5 m so với mặt nước biển?
(Cho biết bán kính Trái Đất gần bằng 6400 km và điều kiện quan sát trên biển là không bị hạn chế)
Lời giải.
a. Một người quan sát đứng tại vị trí đèn của Hải đăng nhìn xa tối đa bao nhiêu km trên biển?
Giả sử chiều cao của ngọn Hải đăng là AM và điểm xa nhất nhất mà người đứng trên ngọn Hải đăng quan sát được là điểm T, trên mặt biển. Khi đó ta có:
∆M T Av∆M BT (g-g).
Suy ra: M T2 =M A.M B
⇒ M T = √
M A.M B = p
65.(65 + 2.6400000) ≈ 29 km.
Vậy một người quan sát đứng tại vị trí đèn của Hải đăng nhìn xa tối đa khoảng 29km.
O
M T
N
A
B
b. Cách bao xa thì một người quan sát đứng ở trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát đứng ở trên tàu có độ cao 5 m so với mặt nước biển?
Tương tự ta cũng có: N T =p
5(5 + 2.6400000)≈8 km.
Suy ra: M N ≈29 + 8 = 37 km.
Vậy cách một khoảng 37 km thì một người quan sát đứng ở trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này.
——— HẾT ———