2.2.1. Khoảng cách, góc 1) Đại cương
® Định nghĩa 1 Ta gọi mọi cap (&,:), trong đó & 1a một mặt phẳng
afin thực, và ‹ là một tích vô hướng trên phương £; của £„ là mặt phẳng afin Euclide.
Ta thường ký hiệu £, thay cho (#,.).
Hệ quy chiếu trực chuẩn (thuận), viết tắt là hệ q.c.t.c.(t.) của & là mọi bộ ba (2; 7,7 ) trong đó Ở e #;. và (7,7) là một c.s.t.c.t. của &.
Nếu £; được định hướng, ta cũng nói là được định hướng, hướng của một hệ quy chiéu Descartes (0 ; 7,7) cla & chinh là hướng của cơ sở
(i,j) cha &.
Cho một mặt phẳng Euclide (định hướng) @ ; mặt phẳng vectơ Euclide Ey có ít
nhất một c.=.tc. (L) #= (7,7). Với mỗi điểm Ó thuộc &, énh xa F: (8? &
(x, 9) é ể4xẽ +y j
là một song ánh afin và ánh xạ tuyến tính liên kết F bao toàn tích vô hướng.
Trong thực hành, ta có thể thay (#,, .) bởi :ã2 được trang bị tích vô hướng thông thường.
¢ Định nghĩa 2 V6i M, M’ & e,, khoảng cách giữa M và M', ký hiệu là 4(M, Aƒ) hoặc MA, là số thực: 48'=ll MM'II.
Nếu, trong một hệ q.c.t.c., c6 M(x, y) và M(x, y), thi:
MM'= ((x' - xP + (y'- yf). 1
Mệnh để sau đây là hiển nhiên.
+ | Mệnh để Với mọi số thực ứ và với mọi điểm A, B, C thuộc @ : 1) a(B, A) = đ(A, B)
2)đA,B)=0<>A=bB
3) d(A, C) < d(A, B) + d(B,C) (bất đẳng thức tam giác) 4) £(A +C, B + C) = đ(A, B)
5) 4(aA, ứB) = lai đ(A, B).
+ Định nghĩa 3 Cho D, é' là hai đường thẳng afin của #&, ủ (tương
ứng : #') là một vectơ chỉ phương. của 2 (tương ứng : Ð). Góc giữa D
và Ð', ký hiệu là (Ð,Ð) (hoặc ⁄⁄ (Ð, D2, là số thực được xác định
modulo # béi : (D,D) = (i) [x].
2.2 Hình học Euclide phẳng
Sự tương đẳng modulo z xuất phỏt từ chỗ ta cú thể thay thế ù (hoặc `) bởi dối của nó.
Nếu A, B,C, D là bốn điểm thuộc @; sao cho 4 # 8 và C # D, ta ký hiệu Z (AB, CD) thay cho Z ( (AB), (CD)) dé đơn giản cách viết.
>
Cho A, B,C_ là ba điểm thuộc ứ; sao cho A z 8 và 8 z C, ta ký hiệu Á8C (hoặc
ABC) Ia tri tuyết đối của độ do trong [-x ;z ] của ⁄(BA,BỂ } ; như thể ;
ABC e [0; z].
¢ Định nghĩa 4 Cho đ, Z là hai nửa đường thing afin có cùng gốc 4, (tương ứng : `) là véctơ chỉ phương định hướng z (tương ứng : đ).
Góc giữa đ và #. ký hiệu là (ý, ở) (hoặc ⁄ (2, đ)), là số thực xác
dinh modulo 2 7 bởi : ` (4#) = (a, a’) (22). an <>
¢ Định nghĩa 5 Hai đường thẳng afin Ð, Ð' của £, được gọi là trực
giao, và ký hiệu là é / D“, khi và chỉ khi ệ.LP”', nghĩa là : (0, Ð)= 5 [x]. oF
+ Binh nghia 6 Cho 2 là một đường thẳng và ' là inột phương
đường thẳng sao cho ệ#é'. Một phộp chiếu (lờn 2, song song với
`), một phép đối xứng (qua D, song song với Ð'), một phép co afin (truc D , phuong D') được gọi là trực giao khi và chỉ khi Ồ.LP".
2) Các phép tính trong một. hệ quy chiếu trực chuẩn (thuận)
Cho Ê; là một mặt phẳng afin Euclide (được định hướng ), €=(ỉ:Ă,j) là một
q.c.t.c.(thuận) của £;. Các điểm của £, được xác định bởi tọa độ của chúng trong và các đường thẳng afin của £; cũng được xác định bởi các phương trình Descartes (PTD) cia ching trong R.
1) Vectơ trực giao với một đường thắng Mệnh để sau đây là hiển nhiên.
ô| Mệnh để Với mọi (a, b, c) thuộc R? sao cho (a, b) # (0,0), @ (a,b) 1a
một vectơ trực giao với _Ð | ax +by + c=0.
2) Hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng
Cho Ð | ax+ by + e = 0 là một đường thẳng afin và Mạ (xạ yo) là một điểm thuộc £;.
Ta ký hiệu HỢX, Y) là hình chiếu vuông góc của Mạ trên 7. Ta có :
Hed
MọẹH LD
Chuong 2 Hinh hoc Euclide trong mat phẳng và không gian ba chiều
> : My _b xg —abyg -ac
2 2
từ đó suy ra tọa độ của H : ath
= abxg +a’ yo -be
yr.————®—
2 2
a+b
3) Khoảng cách điểm - đường thang
ôĂMệnh để Choé|zx+by+ce =0, Mẹ Q6, y2). Khi đú:
byy +e
d(M,, Dy = 186C |, 2 2
Xa +pP
Chứng mình :
Với các ký hiệu trên dây :
(d(M,D)) = MuHÊ= (X- xjÊ+ Œ - yo)?
_(-alaxy+by +o) ,ÍT—b@xs+bss+~e) ẽ
~ 2 2 + 2 2
a+b a +b
_ (4x + Đya +e) a +b 22
Ta cũng có thể thu được kết quả này mà không cần tính cdc toa d6 cha H.
4) Phương trình chuẩn của đường thẳng trên £;
Cho D]ax + by + c=0 là một đường thẳng của £,.
Vì đ*+ Đ?= 0, nên D cũng có một PTD là :
a b c
—=——+†+—_——)+_——
forse? da +” - fa? 40?
2 2
—Z—— | +|——P— | =t, nờn tổn tại ỉ< R (duy nhất modulo 2m)
2 2 2
và +b a+b
Vì rằng sao cho
=cosở và a+b
2.2 Hinh hoc Euclide phing 65
Với ký hiệu p = „ thì Ð sẽ có PTD :
va? +h?
xcos@ + ysin@ = p gọi là phương trình dạng chuẩn của Ð.
Vỡ ủ(cos ỉ sin ỉ) trực giao với D nờn -ù. cũng vậy, do đú é cú đỳng hai phương trình đạng chuẩn :
xcosỉ+ yinỉ=p, xcos(ỉ+ #)+ ysin(ỉ+ 3) =-7.
Ta cũng có thể coi hai phương trình dạng chuẩn ấy chỉ là một.
Ta ký hiệu /X.Y) là hình chiếu vuông
gúc của điểm ể trờn é; tổn tại 4 ằ sao cho OH = Ãd, từ đó :
X=Âcos0,Y= 2sinỉ.
Vì H € D, tacé Acos’@ + Asin’@ = p, vay
A=p.
Như vậy, khi ký hiệu OH 1a d6 do dai sé của OH trờn trục ((ỉH), ủ) (nếu 0 # é),
thì ta cĩ : Ĩ#f =p, hoặc : Ọ.đ=p.
5) Tọa độ cực
Ta nhắc lại rằng = (ỉ; 7,7 ) là một hệ q.c.t.c.t. của 6.
Cho M € & - (ỉ}, (x,y) là tọa độ của
M trong &. ,
2 : 5 e
Điểm M cé thé duge dinh vi boi góc Z1
= %
(ẽ,OM), xỏc định modulo 2n, được ký hiệu là ỉ và được gọi là gúc cực của Ä, và số thực (dương) OXM, được
ký hiệu là ứ (hoặc r) và được gọi là
bán kính cực của M.
Ta cũng cú thể định vị M bởi ỉ+ z và - ỉ.
Một điểm M (# ể) như vậy cú hai tọa độ cực : [ỉ, ứ ] và [ỉ+ œx,- ứ], trong đú ỉvà ỉ+ r được xỏc định modulo 2m. `
2 2 ứ=íx ty
cosÐ=————,sin8=_-==——
2 2 2 2
yx ty yx ty
Ta cú : [Em và y=ứsinỉ
66 Chuong2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều
Một số thuật ngữ
1) Cho hai đường thẳng Ð và 7“ đồng quy
2
3
4)
tai diém A, tập hợp céc diém cia &
cách đều Ð và 72“ tức là :
{Me &; ; d(M.D) = d(M, D’}}
là hợp của hai đường thẳng 4,7, được
gọi là các đường phân giác của Ð và
ÐĐ“.Tacó; ALA’.
Một tam giác ABC của £, được gọi là :
ôœ cõn khi và chỉ khi hai cạnh của nú cú cựng độ dài
ô_ vuụng khi và chỉ khi một trong cỏc gúc của nú vuụng (= = ) g cỏc gi BF
ô - đều khi và chỉ khi ba cạnh của nú cú cựng độ dài.
Đường trung trực của một cặp điểm (hoặc đoạn thẳng) (A, B) hoac AB (A #B) là đường thẳng Ð = (Me 6, ¡ MA = MB| ; đó cũng là đường vuông góc với AB
tại trung điểm của nó.
Trong một tam giác A8C (không bẹt, tức
là: 4, B, C không thẳng hàng), ta định
nghĩa các đường thẳng sau :
* - Các trung tuyến là những đường nối mỗi đỉnh với trung điểm cạnh đối điện, và các đường thẳng này đồng quy tại trọng tâm G của ABC
Các đường trung trực (của 8C, CA, AB), đồng quy tại một điểm, thường
được ký hiệu là Ó, là tâm của đường
tròn ngoại tiếp ABC (tie BR: OA = OB = OC).
Các đường cao đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện, đồng quy tại một điểm, thường được ký hiệu là #, được gọi là trực tâm của ABC.
Các đường phân giác (rong và ngoài, đồng quy tại các điểm | (tam đường tròn nội tiếp), 7, J;, J„ (các tâm các đường tròn bàng tiếp).
Cc
Ny, M
A P B
C¢
Mt
A P B
ẹ
A B
2.2 Hình học Euciide phẳng 67
5) Tùy theo ngữ cảnh một đa giác là :
â Mot tập hợp hữu hạn điểm A;,..., Ả„ (thường : ứ > 3), từng đụi phõn biệt, được gọi là các đỉnh của đa giác A,4;...4„(các điểm thường được sắp)
© hợp của các đoạn thẳng A¿4; Az4;,....A„ ,4„ 4„4¡, được gọi là các cạnh của đa giác.
ôbộ phận của mặt phẳng "được giới hạn" bởi cỏc đoạn thẳng trờn đõy, theo
một thứ tự nào đó.
Tùy theo số lượng đỉnh, một đa giác được gọi là : tam giác (3), tứ giác (4), ngũ giác (5), lục giác (6), thất giác (7), bát giác (8)....
6)
ô Mot hỡnh thoi là một tứ giỏc A8Cé
(với các đỉnh từng cặp phân biệt, sao cho. A c
AB = BC = CD = DA), hoặc thỏa mãn điều kiện tương đương là :
(AB ) ff (CD), (BC) ff (AD), B
(AC) 1 (BD).
® Một hình chữ nhật là một tứ giác
ABCD (với các đỉnh từng cặp phân biệt)
Sao cho :
(AB) /f (CD), (AD) // (BC), (AB) 4 (BC),
hoặc thỏa mãn điều kiện tương đương, là: (AB) #/ (CD), (AD) // (BC),
AC = BD.
ô_ Một hỡnh yuộng ABCD là một hỡnh chữ nhat sao cho AB = BC.
2.2.2 Các phép đẳng cự afin của mặt phẳng
®© Định nghĩa 1 Phép đẳng cự afin của £, là mọi ánh xạ afin ƒ :
& — 6 bảo toàn khoảng cách, tức là sao cho :
VA,Beứ, d((A),ƒ(Œ) = d(A,B).
68 Chương 2 Hinh hoc Euclide trong mat phẳng và không gian ba chiều
+ | Mệnh để4 Choƒ: 6 -> #@ là một ỏnh xạ aủn. Để ƒ là một phộp đẳng cự alin, cần và đủ là ƒ là một phép đẳng cự vectơ của £;.
Chứng mình :
1) Nếu ƒ là một phép đẳng cy afin của £,, thì, với mọi # thuộc £;, do tổn tại (A, Be 2 sao cho Á= „nên ta có :
UI FCG = FAB) =U FAD FCB) I= dC fA), fB)) =d(A, B) =H AB ISIE,
(xem Tập 5, 10, 3, 1, Mệnh để 1), vậy. ƒ là một phép đẳng cự vectơ của &, .
2) Ngược lại, nếu f 1a mot phép dang cu vecto cha & „ thì với mọi (A, 8)
thuộc #; : đŒ(4),ƒ(8)=l ƒ(4J7089 I=ll ƒCAB) II=lL A8 I=d(A,8),
vậy ƒ là một phép đẳng cự của £; "
e | Mệnh để - Định nghĩa 2 Tập hợp các phép đẳng cự afin của £, là một nhúm đối với ứ„ gọi là nhúm cỏc phộp. đẳng cự afin của Ê..
Chitng minh :
“Ta sẽ chứng tỏ rằng tập hợp các phép đẳng cự afin cua 1a mét nhém con cua
nhém afin GAff (&).
1) Giả sử ƒ là một phộp đẳng cự afọn của Ê;. Vỡ ƒ là một phộp dẳng cự vectơ của
£¿ (xem 1.4.1, Mệnh để 3) nên ƒ là song ánh. Như vy : ƒ e GAff (&).
2) Rõ ràng là Id,. là một phép đẳng cự afin của #;.
3) Giả sử/, ạ là những phép đẳng cự afin của £;. Khi đó g o ƒ có tính afin và, với mọi (4, 8) thuộc a :
đ((go f(A).(œs (8))=4((A),/0))=d(A,B).
Vay ứ oƒ là một phộp đẳng cự afin của Ê;.
4) Nếu ƒ là một phép đẳng cự afin của £,, thì ƒ là song ánh, f có tính afin (xem 1.4.1, Mệnh để 3, 2)) và, với mọi (A, B) thuộc a :
dự" ' (A), f° (BY) = df (AD, AFB) = 4d A, BD, a vay f°" Ta một phép đẳng cự afin của £;.
ô Định nghĩa2 Choƒ là một phộp đẳng cự của Ê,.
1) Ta nói rằng ƒ là một phép đẳng cự afin thuận (hoặc : phép dời hình) khi và chỉ khi đet (Ÿ ) = 1.
2) Ta núi rằng ƒ là một phộp đẳng cự aủn nghịch (hoặc : phộp phản dời hình) khi và chỉ khi đet (Ÿ ) = -I.
ằ | Mệnh để 3 Tập hợp cỏc phộp dời hỡnh của # là một nhúm con của
nhóm các phép dang cu afin cila &.
2.2 Hình học Euclide phẳng 68
Chứng mình :
1) 1d, là một phép dời hình.
2) Nếu ƒ, ứ là những phộp dời hỡnh, thỡ ứ o ƒ là một phộp đẳng cự affin và :
det(gof) = det(8o ƒ) = đet(§) de) = 1.1 = 1,
vậy ứ o ƒ là một phộp đời bỡnh. `