của đại số Lie toàn phương
2.2 Đối đồng điều của đại số Lie toàn phương
Cho V một không gian vectơ trên trường số phức C, dim(V) = n hữu hạn và trên V được trang bị một dạng song tuyến tính đối xứng, khơng suy biến B (người ta còn gọi(V, B) là một khơng gian vectơ tồn phương n− chiều). Ký hiệuΛ(V∗) là đại số Grassmann chứa các dạng đa tuyến tính phản xứng trên V∗ với tích ngồi
∧.Với mỗiX ∈ V,ta nhắc lại khái niệm đạo hàm lX củaΛ(V∗)(xem [3]) như sau:
lX(Ω)(Y1, . . . , Yk) = Ω(X, Y1, . . . , Yk),
∀Ω ∈ Λk+1(V∗), X, Y1, . . . , Yk ∈ V(k ≥ 0).
Năm 2007, trong một cơng trình của mình, hai nhà toán học G. Pinczon và R. Ushirobira đã giới thiệu khái niệm tích super - Poisson trên khơng gianΛ(V∗) được xác định như sau: {Ω,Ω0} = (−1)k+1 n X j=1 lXj(Ω)∧lXj(Ω0),∀Ω ∈ Λk(V∗),∀Ω0 ∈ Λ(V∗) ở đây{Xj}n
j=1 là một cơ sở trực chuẩn của V.
Từ định nghĩa tích super - Poisson ở trên, ta có kết quả (xem [8]): Nếu α ∈ V∗
thì:
{α,Ω} = lφ−1(α)(Ω),∀Ω ∈ Λ(V∗)
và nếu α0 ∈ V∗ thì {α, α0} = B(φ−1(α), φ−1(α0). Chú ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trực chuẩn củaV.
Với Ω ∈ Λk(V∗), định nghĩa ánh xạ adP(Ω) : Λ(V∗) −→ Λ(V∗), xác định bởi:
adP(Ω)(Ω0 = {Ω,Ω0}, ∀Ω ∈ Λ(V∗).
Khi đóadP(Ω)là một super - đạo hàm có bậc k −2 của đại sốΛ(V∗), tức là:
adP(Ω)({Ω0,Ω00}) ={adP(Ω)(Ω0)Ω00}+ (−1)kk
0
{Ω, adP(Ω)(Ω0)}
với mọi Ω0 ∈ Λk0(V∗),Ω00 ∈ Λ(V∗). Điều này chứng tỏ Λ(V∗) là một đại số phân bậc với tích super - Poisson.
2.2.1. Mệnh đề. (xem [8]) Cho (G, B) là một đại số Lie toàn phương. Định nghĩa 3− dạng tuyến tínhI trên G như sau:
I : G ì G ì G −→ C
(x, y, z) 7−→I(x, y, z) = B([x, y], z).
Khi đó ta có:
i) I là3− dạng phản xứng trênG.
ii) Tích super - Poisson {I, I}= 0.
Ngược lại, giả sử G là khơng gian vectơ tồn phương hữu hạn chiều được trang bị dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biếnB và I là một 3−dạng phản xứng trên G thỏa mãn {I, I} = 0. Ta định nghĩa tích trên G như sau:
[x, y] = φ−1(lx∧y(I)), ∀x, y ∈ G.
Khi đó tích này thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi. Trong trường hợp này G trở thành một đại số Lie toàn phương với3− dạng liên kết I.
3−dạng I trong Mệnh đề 2.2.1 ở trên được gọi là3−dạng liên kết với G.
Từ các kết quả trên, để nghiên cứu các cấu trúc đại số Lie tồn phương trên một khơng gian vectơ hữu hạn chiều ta có thể tiếp cận theo hướng tìm hiểu các tính chất của 3− dạng liên kết với chúng. Một trong các cách tiếp cận đó là cách tiếp cận 3− dạngI dựa trên sự khả phân (xem [8]).
2.2.2. Mệnh đề. (xem [8]) Có một đẳng cấu giữa Z2(G,C) = {Ω | {I,Ω} = 0} và Dera(G, B) cảm sinh đẳng cấu giữa lG(I) = {lX(I) | X ∈ G} và ad(G). Do đóH2(G,C) ∼= Der
a(G, B)/ad(G).
Từ kết quả của Mệnh đề 2.2.2, ta thấy với đại số Lie tồn trương G,khi đó chiều của H2(G,C) có thể suy ra được từ việc mơ tả các đạo hàm phản xứng của G. Sau đây chúng tơi sẽ trình bày một số ví dụ về việc tìm chiều củaH2(G,C) đối với một đại số Lie cụ thể.
Ví dụ 1. Xét đại số Lie kim cươngG = G4 = {X, P, Q, Z} với tích Lie được xác định bởi
[X, P] = P,[X, Q] = −Q và [P, Q] = Z.
Đây là một đại số Lie tồn phương với dạng song tuyến tính đối xứng bất biến được cho bởi: B(X, Z) = B(P, Q) = 1,các trường hợp khác bằng 0. GọiD là một đạo hàm phản xứng của G. Khi đó ta có thể tính tốn trực tiếp được ma trận của D đối với cơ sở đã cho có dạng như sau: D =
0 0 0 0 b a 0 0 c 0 −a 0 0 −c −b 0 , với a, b, c ∈ C.
Dễ dàng thấy được rằng D = ad(aX−bP +cQ)và do đó D là một đạo hàm trong củaG. Từ đó ta có đối với đại số Lie kim cương G4 thì H2(G4,C) = {0}.
Trong các chứng minh ở trên ta đã xét cho đại số Lie toàn phươngsl2(C) và đại số kim cươngG4.Bây giờ ta xét cho đại sốG5 vàG6.Ví dụ sau đây sẽ tính chiều của
H2(G,C) cho hai đại số trên.
Ví dụ 2. Đại số LieG5 và G6 được xác định như sau:
• G5 = span{X1, X2, T, Z1, Z2} với tích Lie được xác định bởi: [X1, X2] = T,[X1, T] = −Z2 và [X2, T] = Z1.
Dạng song tuyến tính B được xác định: B(Xi, Zi) = B(T, T) = 1,1 ≤ i ≤ 2, các trường hợp khác bằng 0.
• G6 = span{X1, X2, X3, Z1, Z2, Z3}với tích Lie được xác định bởi: [X1, X2] = Z3,[X2, X3] = Z1 và [X3, X1] = Z2.
Dạng song tuyến tínhB được xác định: B(Xi, Zi) = 1,1 ≤i ≤ 3,các trường hợp khác bằng0.
Đối với đại số Lie G = G5, ta gọi D là một đạo hàm phản xứng của G. Khi đó ta có thể tính tốn trực tiếp được rằng ma trận của D đối với cơ sở đã cho như sau:
D = −m −p 0 0 0 −n m 0 0 0 −b −c 0 0 0 0 −a b m n a 0 c p −m , với m, n, p, a, b, c ∈ C.
Ma trận của các dạo hàm trong ad(X1) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 , ad(X2) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 và ad(T) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 .
Bây giờ ta so sánh các đạo hàm trong {ad(X1), ad(X2), ad(T)} ta thấy các đạo hàm trong được đại diện bởi các tham số a, b, c, trong khi đó các đạo hàm ngồi được đại diện bởi các tham số m, n, p. Điều này chứng tỏ dim(H2(G5,C)) = 3.
Hồn tồn tương tự ta tính được dim(H2(G6,C)) = 6.
Trong các chứng minh trước ta đã mơ tả được nhóm đối đơng điều H2(G,C) của các đại số Lie sl2(C) và đại số kim cương G4, đó là những đối đồng điều tầm thương và trong Ví dụ 2 ở trên, ta cũng đã tính được số chiều của dim(H2(G,C)) đối với hai đại số Lie G5 và G6 là dim(H2(G5,C)) = 3, dim(H2(G6,C)) = 6. Phần cuối của luận văn, chúng tôi áp dụng kết quả trong [7] để mơ ta nhóm đối đồng điềuH2(G,C) cho hai đại số Lie G5 và G6.
• Đối với đại sốG = G5, từ định nghĩa của dạng song tuyến tính B, ta có thể tính được3−dạng I liên kết là I = X1∗∧ X2∗∧T∗. Vì:
B2(G,C) = {ω ∈ Λ2(G∗) | ω((X, Y) =f(X, Y), f ∈ G∗} = {lX(I) | X ∈ G},
nên ta tính đượcB2(G,C) = span{X∗
1 ∧X2∗, X1∗∧ T∗, X2∗ ∧T∗}. Trong khi đó,
Z2(G,C) = {ω ∈ Λ2((G∗) | {I, ω} = {0}.
Bây giờ áp dụng công thức super - Poisson trong [8], ta có
{I, X∗ 1 ∧X2∗} = {X∗ 1 ∧X2∗ ∧T∗, X1∗ ∧X2∗}= B(Z1, Z1)X2∗∧ T∗∧X2∗ − B(Z1, Z2)X2∗∧T∗ ∧X1∗ −B(Z2, Z1)X1∗ ∧T∗ ∧X2∗ + B(Z2, Z3)X1∗∧T∗ ∧X1∗ +B(T, Z1)X1∗ ∧X2∗∧X2∗ − B(T, Z2)X1∗∧X2∗ ∧X1∗ = 0.
Do đóX1∗ ∧X2∗ ∈ Z2(G,C). Tính tốn một cách tương tự ta thu được
Z2(G,C) = span{X1∗∧X2∗, X1∗∧T∗, X2∗∧T∗, Z1∗∧X2∗, Z2∗∧X1∗, Z1∗∧X1∗−Z2∗∧X2∗}.
So sánh B2(G,C) và Z2(G,C) ta suy ra
H2(G,C) =span{[X1∗ ∧X2∗],[Z2∗∧X1∗],[Z1∗ ∧X1∗−Z2∗∧X2∗]} và hiển nhiêndim(H2(G,C)) = 3.
• Đối với đại sốG = G6, lập luận tương tự ở trên, ta tính được3−dạngI liên kết làI = X1∗∧X2∗ ∧X3∗.Từ đó ta cũng tính được
B2(G,C) = {lX(I) | X ∈ G} = span{X∗
1 ∧X2∗, X2∗ ∧X3∗, X3∗ ∧X1∗}.
Dựa vào công thức super - Poisson trong [8] và tính tốn một cách tương tự ta thu được Z2(G,C) = span{lX(I), Xi∗∧Zj6=i∗ , Z1∗∧X1∗−Z2∗∧X2∗, Z1∗∧X1∗−Z3∗∧X3∗}. ở đây1 ≤i, j ≤ 3. Điều này chứng tỏ H2(G,C) =span{[X1∗ ∧Zi6=j∗],[Z1∗∧X1∗−Z2∗ ∧X2∗],[Z1∗∧ X1∗−Z3∗∧X3∗]} với1 ≤ i, j ≤ 3và dim(H2(G,C)) = 6.
Kết luận
Luận văn có mục đích tìm tịi, nghiên cứu một số tính chất của đại số Lie tồn phương. Tiếp đó dựa vào các kết quả của G. Pinczon and R. Ushirobira, năm 2007 (xem [8]) và Dương Minh Thành, năm 2013 (xem [3]) để trình bày cách mơ tả nhóm đối đồng điều H2(G,C) và tính tốn số chiều của nó trên các ví dụ cụ thể cho một số lớp đại số Lie. Cụ thể luận văn đã nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Trình bày lại một số khái niệm và kết quả về đại số Lie, đại số Lie tồn phương, một số tính chất cơ bản của đại số Lie tồn phương. Khái niện biểu diễn phụ hợp và đối phụ hợp, tích nửa trực tiếp của một đại số Lie bởi biểu diễn đối phụ hợp (Định lý 1.3.3.2, Định lý 1.3.3.3). Xác định tích nửa trực tiếp cho đại số Lie giải được 2− chiều và 3− chiều (Ví dụ 1,Ví dụ 2, trong 1.3)
2. Trình bày một số khái miệm, tính chất (Định lý 2.1.3.1, Định lý 2.1.3.2) và ví dụ cơ bản về đối đồng điều H2(G,C) của đại số Lie G. Các đại số Lie làm ví dụ chủ yếu chúng tôi chọn ở chiều thấp và quen thuộc, mục đích giúp cho người đọc đẽ tiếp cận, cụ thể như đại sốG = sl2(C),G = N4(C)là đại số Lie filifrom 4−chiều,
G = span{X, Y}là đại số Lie giải được 2− chiều,... Các kết quả đó được thể hiện trong luận văn qua Ví dụ 4 đến Ví dụ 9 của 2.1.
3. Trình bày cách mơ tả nhóm đối đơng điều H2(G,C) và tính số chiều của nó đối với các đại số Lie tồn phươngG bằng cách mơ tả khơng gian các đạo hàm phản xứng và mơ tả tốn tử đối bờ δ của các đại số Lie tồn phương. Cụ thể chúng tơi trình bày hai phương pháp này trên các ví dụ cho đại số Lie kim cươngG4,G5 vàG6
(Ví dụ 1, Ví dụ 2 của 2.2).