đề cập cụ thể hơn ở chương sau) và ta đã biết rằng bài toán giải hệ phương trình tuyến tính là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa những thay đổi nhỏ của dữ kiện, có thể dẫn đến những thay đổi lớn của nghiệm, thậm chí làm cho hệ trở nên vô nghiệm [1] hay tổng quát hơn là bài toán tìm véc tơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 của toán tử tuyến tính A với kAk = 1.
1.5.2. Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạkhông giãn không giãn
Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động cổ điển đã biết như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern.
• Phương pháp lặp Mann
Năm 1953, Mann W. R. [62] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp
xn+1 =αnxn + (1−αn)T(xn), x1 ∈ C, n ≥ 1, (1.37) và gọi là dãy lặp Mann chuẩn tắc. Ông đã chứng minh rằng, nếu dãy{αn}
được chọn sao choP∞
n=1αn(1−αn) = ∞thì dãy {xn} sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T, ở đây T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của không gian HilbertH vào chính nó. Tuy nhiên, trong trường hợp H là một không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.37) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh.
Nhận xét 1.6 Trong trường hợp αn = α ∈ (0,1) với mọi n thì phương pháp lặp Mann (1.37) trở thành phương pháp lặp Kranoselskii [56].
Reich S. [73] đã mở rộng kết quả của Mann cho trường hợpT : C −→ C
từ một tập con khác rỗng, lồi, đóng của một không gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Fréchet và ông cũng đã chứng minh được rằng nếu dãy
{αn} được chọn sao cho P∞n=1αn(1−αn) =∞ thì dãy {xn} sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T,
Nakajo K. và Takahashi W. [68] đã đề xuất một cải tiến của phương pháp lặp (1.37) cho trường hợp T là một ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert dạng x0 ∈ C, yn = αnxn+ (1−αn)T(xn), Cn = {z ∈ C : kyn−zk ≤ kxn−zk}, Qn = {z ∈ C : hxn−z, x0 −xni ≥ 0}, xn+1 = PCn∩Qn(x0), (1.38)
trong đó PK là phép chiếu mêtric từ H lên một tập con lồi đóng K
của H. Họ đã chứng minh được rằng nếu dãy {αn} thỏa mãn điều kiện
{αn} ⊆[0, a] ⊂ [0,1) thì dãy lặp {xn} xác định bởi (1.38) hội tụ mạnh về
PF ix(T)(x0).
Năm 2011, các tác giả Buong Ng. và Lang Ng. D. [25] đã thay các tập hợp lồi, đóngCn và Qn bởi các nửa không gian. Cụ thể hơn, họ đã đề xuất phương pháp lặp sau: x0 ∈ H zn = αnPC(xn) + (1−αn)PCT PC(xn), yn =βnx0 + (1−βn)PCT zn, Hn ={z ∈ H : kyn−zk2 ≤ kxn −zk2 +βn(kx0k2 + 2hxn −x0, zi)}, Wn = {z ∈H :hxn−z, x0 −xni ≥ 0}, xn+1 = PHn∩Wn(x0), n ≥ 0. (1.39)
Sự hội hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} xác định bởi (1.39) được cho bởi định lí dưới đây:
Định lí 1.9 [25] ChoC là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert H và T : C −→H là một ánh xạ không giãn với F ix(T) 6= ∅. Giả sử {αn} và {βn} là các dãy số trong [0,1] thỏa mãn αn −→ 1 và βn −→0.
Khi đó, các dãy {xn},{yn} và {zn} xác định bởi (1.39) hội tụ mạnh về u0 = PF ix(T)(x0), khi n −→ ∞.
Năm 2005, Kim và Xu [53] đã mở rộng phương pháp lặp Mann (1.37) trên không gian Banach dạng
x0 ∈C, yn =αnxn + (1−αn)T(xn), xn+1 = βnu+ (1−βn)T(yn), n ≥ 0. (1.40)
Định lí 1.10 [53] Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Banach trơn đều E và cho T : C −→C là một ánh xạ không giãn với F ix(T)6= ∅. Với u∈ C và các dãy số {αn}, {βn} ⊂(0,1) thỏa mãn
i) αn −→ 0, βn −→ 0, ii) P∞ n=0αn = ∞, P∞ n=0βn = ∞, iii) P∞ n=0|αn −αn+1|< ∞, P∞ n=0|βn−βn+1|< ∞.
Khi đó, dãy lặp {xn} xác định bởi (1.40) hội tụ mạnh về một điểm bất động của T.
• Phương pháp lặp Ishikawa
Phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa S. [45] vào năm 1974. Với phương pháp lặp này thì dãy lặp {xn} được xác định bởi
x1 ∈ C, yn = βnxn+ (1−βn)T(xn), xn+1 =αnxn+ (1−αn)T(yn), n ≥ 1, (1.41)
trong đó {αn} và {βn} là các dãy số thực trong đoạn [0,1].
Chú ý 1.18 Trong trường hợp βn = 1, ∀n thì phương pháp lặp Ishikawa (1.41) trở thành phương pháp lặp Mann (1.37). Tuy nhiên, Mutangadura S. A. và Chidume C. E. [67] đã xây dựng một ví dụ cho trường hợp T là một ánh xạ Lipschitz giả co thì dãy lặp Ishikawa hội tụ về một điểm bất động của T nhưng dãy lặp Mann lại không hội tụ.
Sự hội tụ yếu của dãy lặp Ishikawa về một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Banach đã được nghiên cứu và chứng minh bởi Tan K. K. và Xu H. K. [83].
Định lí 1.11 [83] Cho E là một không gian Banach lồi đều thỏa mãn điều kiện của Opial hoặc có chuẩn khả vi Fréchet, C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng của E. Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn,
{αn}, {βn} là các dãy số trong đoạn [0,1] sao cho P∞
n=1αn(1 − αn) =
∞, P∞
n=1βn(1 − βn) < ∞ và lim supn→∞βn < 1. Khi đó, dãy {xn} xác định bởi (1.41) hội tụ yếu về một điểm bất động của T.
Chú ý 1.19 Không gian Banach E được gọi là thỏa mãn điều kiện của Opial nếu với bất kì dãy {xn} trong E hội tụ yếu về x ∈ E thì
lim infn→∞kxn−xk < lim infn→∞kxn−yk, ∀y ∈ E, y 6= x.
Năm 2005, Shahzad N. [79] đã cải tiến phương pháp lặp Ishikawa cho trường hợp C là một tập con lồi đóng co rút không giãn của không gian Banach E dạng
xn+1 = P((1−αn)xn+αnT P((1−βn)xn +βnT(xn))), n ≥ 1, (1.42) trong đó x1 ∈ C và{αn}, {βn} là các dãy số thực trong đoạn [ε,1−ε], ε ∈
(0,1). N. Shahzad đã chỉ ra rằng nếu không gian đối ngẫu E∗ của không gian Banach E có tính chất Kadec-Klee thì {xn} xác định bởi (1.42) hội tụ yếu về một phần tử x∗ ∈ F ix(T). Hơn nữa, nếu ánh xạ không giãn T
thỏa mãn điều kiện
kx−T xk ≥f(d(x, F ix(T))), ∀x ∈C, (1.43)
trong đó f : [0,∞) −→ [0,∞) thỏa mãn f(0) = 0 và f(r) > 0 với mọi
r >0, thì dãy lặp (1.42) hội tụ mạnh về một phần tử x∗ ∈ F ix(T).
Năm 2006, Plubtieng S. và Ungchittrakool K. [70] đã mở rộng phương pháp lặp (1.42) cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn. Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng và co rút không giãn của không gian Banach lồi đều E và T1, T2, ..., TN : K −→ E là các ánh xạ không giãn. Xác định dãy {xn} bởi x1 ∈K và
x1n = P(α1nT1xn+βn1xn+γn1u1n), x2n = P(α2nT2x1n+βn2xn+γn2u2n),
...
xn+1 = xNn =P(αNn TNxNn +βnNxn+γnNuNn ),
(1.44)
với n ≥ 1, trong đó P là một co rút không giãn từE lên K; {α1n},{α2n}, ...,
{αNn }, {βn1}, {βn2}, ..., {βnN}, {γn1}, {γn2}, ..., {γnN} là các dãy số trong đoạn
[0,1] thỏa mãn αin +βni + γni = 1 với mọi i = 1,2, ..., N và mọi n ≥ 1 và
{u1n}, {u2n}, ..., {uNn } là các dãy bị chặn trong K.
Một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn T1, T2, ..., TN : K −→ E với
F =∩N
i=1F ix(Ti) được gọi là thỏa mãn điều kiện (B) nếu tồn tại một hàm không giảm f : [0,∞) −→ [0,∞) thỏa mãn f(0) = 0 và f(r) > 0 với mọi
r >0 sao cho
max
1≤i≤N{kx−Tixk} ≥ f(d(x, F)), ∀x ∈K.
Định lí 1.12 [70] Cho E là một không gian Banach lồi đều và K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút của E. Cho T1, T2, ..., TN : K −→ E là các ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện(B). Nếu{xn}là dãy xác định bởi
(1.44) với P∞
n=1γni < ∞ và {αin} ⊂ [ε,1−ε] với mọi i = 1,2, ..., N và ε∈
(0,1) thì {xn} hội tụ mạnh về một điểm bất động chung của T1, T2, ..., TN.
• Phương pháp lặp Halpern
Cuối cùng, trong mục này chúng tôi đề cập đến phương pháp lặp của Halpern B. [42] được đề xuất năm 1967 dạng
xn+1 = αnu+ (1−αn)T(xn), n ≥ 0, (1.45) trong đó u, x0 ∈ C, {αn} ⊂ (0,1) và T là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C. Ông đã chứng minh nếu
αn = n−α, α ∈ (0,1) thì dãy {xn} xác định bởi (1.45) sẽ hội tụ về một điểm bất động của T.
Năm 1977, Lions P. L. [60] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {xn}
thỏa mãn các điều kiện sau: (C1) lim n→∞αn = 0, (C2) ∞ X n=1 αn = +∞, (C3) lim n→∞ |αn+1−αn| α2n+1 = 0.
Tuy nhiên, với các kết quả của Halpern và Lions thì dãy chính tắc αn = 1
n+ 1 lại bị loại trừ. Năm 1992, Wittmann R. [91] đã mở rộng kết quả của
Halpern và giải quyết được vấn đề trên. Ông đã chỉ ra rằng nếu dãy số
{αn} thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và điều kiện
(C4)
∞
X
n=1
|αn+1−αn| < ∞,
thì dãy lặp {xn} xác định bởi (1.45) hội tụ mạnh về một điểm bất động của T. Sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.45) về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach cũng đã được nghiên cứu và chứng minh (xem [32], [53], [75], [82]). Reich S. [75] đã chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.45) khi dãy số {αn} thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và điều kiện
(C5) {αn} là một dãy giảm.
Năm 2002, Xu H. K. [89] đã thu được định lí về sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.45) nếu dãy {αn} thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và điều kiện
(C6) lim n→∞ αn−αn+1 αn+1 = 0.
Tuy nhiên, liệu rằng dãy số {αn} thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2)
có là điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.45) về điểm bất động của ánh xạ không giãn T hay không? Đây vẫn còn là một câu hỏi mở.
Một phần của câu hỏi này đã được giải quyết một cách độc lập bởi các tác giả Chidume C. E. và Chidume C. O. [32] và Suzuki T. [82]. Họ đã xác định dãy lặp {xn} bởi
trong đó δ ∈ (0,1) và thu được sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.46) khi dãy số {αn} thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2).
Năm 2008, Hu L.-G. [44] đã mở rộng kết quả của Halpern và của Mann dạng
xn+1 =αnu+βnxn+γnT(xn), n ≥ 0, (1.47) trong đó {αn}, {βn} và {γn} là các dãy số nằm trong khoảng (0,1). Ta thấy rằng nếuβn = 0 với mọi n thì dãy lặp (1.47) trở thành dãy lặp (1.45) và nếu αn = 0 với mọi n thì dãy lặp (1.47) trở thành dãy lặp (1.37). Kết quả của Hu L.-G. được cho bởi định lí sau:
Định lí 1.13 [44] Cho C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng của không gian Banach E với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn với F ix(T) 6=∅. Giả sử {zt} hội tụ mạnh về một điểm bất động z của T, trong đó {zt} là phần tử duy nhất của C thỏa mãn zt = tu+ (1−t)T(zt), t ∈(0,1). Giả sử {αn}, {βn} và {γn} là các dãy số nằm trong khoảng (0,1) thỏa mãn các điều kiện
(C1) lim n→∞αn = 0, (C2) ∞ X n=1 αn = +∞.
Khi đó, với x0 ∈ C, dãy {xn} xác định bởi (1.47) hội tụ mạnh về một điểm bất động của T.
Năm 1996, Bauschke H. H. [16] đã mở rộng kết quả của Wittmann R. cho bài toán xác định một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Định lí 1.14 [16] Cho H là một không gian Hilbert và cho C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng của H. Cho {T1, ..., Tr} là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn từ C vào C với F = ∩ri=1F ix(Ti) 6= ∅ và
F = F ix(TrTr−1...T1) =F ix(T1Tr...T2) =... = F ix(Tr−1...T1Tr). Cho {λn} là một dãy số thực trong đoạn [0,1) thỏa mãn các điều kiện
lim n→∞λn = 0, ∞ X n=0 λn =∞, ∞ X n=0 |λn+1−λn|< ∞.
Nếu y, x0 ∈ C, dãy {xn} xác định bởi
xn+1 = λny + (1−λn)Tn+1xn, n≥ 0, (1.48)
trong đó Tn = Tn(modr), thì {xn} hội tụ mạnh về PFu, ở đây PF là phép chiếu mêtric từ H lên F.
Năm 2003, O’ Hara J. G., Pillay P. và Xu H. K. [69] đã thay điều kiện
P∞
n=0|λn+1 −λn| < ∞ bởi điều kiện limn→∞ λn
λn+r = 1 và cũng thu được
sự hội tụ mạnh của dãy lặp về một điểm bất động chung của T1, ..., Tr.
Định lí 1.15 [69] Cho H là một không gian Hilbert và cho C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng của H. Cho {T1, ..., Tr} là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn từ C vào C với F = ∩r
i=1F ix(Ti) 6= ∅ và
F = F ix(TrTr−1...T1) =F ix(T1Tr...T2) =... = F ix(Tr−1...T1Tr). Cho {λn} là một dãy số thực trong đoạn [0,1) thỏa mãn các điều kiện
lim n→∞λn = 0, ∞ X n=0 λn =∞, lim n→∞ λn λn+r = 1. Nếu y, x0 ∈ C, dãy {xn} xác định bởi
xn+1 = λny + (1−λn)Tn+1xn, n≥ 0, (1.49)
trong đó Tn = Tn(modr), thì {xn} hội tụ mạnh về PFu, ở đây PF là phép chiếu mêtric từ H lên F.
Năm 2005, Jung J. S. [46] đã mở rộng kết quả của O’ Hara J. G. [69] trong không gian Banach. Ông đã chứng minh định lí sau:
Định lí 1.16 [46] Cho E là một không gian Banach trơn đều với ánh xạ đối ngẫu j : E −→ E∗ liên tục yếu theo dãy và cho C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng của E. Cho T1, ..., TN là các ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với F = ∩N
i=1F ix(Ti)6= ∅ và
F = F ix(TrTr−1...T1) =F ix(T1Tr...T2) =... = F ix(Tr−1...T1Tr). Cho {λn} là một dãy số thực trong đoạn [0,1) thỏa mãn các điều kiện
lim n→∞λn = 0, ∞ X n=0 λn =∞, lim n→∞ λn λn+r = 1.
Nếu y, x0 ∈ C, dãy {xn} xác định bởi
xn+1 = λny + (1−λn)Tn+1xn, n≥ 0, (1.50)
trong đó Tn =Tn(modr), thì {xn} hội tụ mạnh về QFu, ở đây QF là một co rút không giãn theo tia từ C lên F.
Năm 2007, các tác giả Chang S.-S., Yao J. C., Kim J. K. và Yang L. [30] đã mở rộng các kết quả của Bauschke [16] và O’ Hara [69] để giải quyết bài toán (1.36), họ đã đề xuất phương pháp lặp
xn+1 = P(αn+1f(xn) + (1−αn+1)Tn+1xn), n ≥ 0, (1.51) trong đó x0 ∈ E, f : C −→C là một ánh xạ co cho trước, Tn = Tn(modN)
và P là một co rút không giãn theo tia từ E lên C.
Định lí 1.17 [30] Cho E là không gian Banach phản xạ với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E∗. Cho K là một tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của E với P là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên K. Cho f : K −→ K là một ánh xạ co với hằng số co là β ∈ (0,1) và Ti : E −→ E, i = 1,2, ..., N là các ánh xạ không giãn thỏa mãn các điều kiện sau:
i) ∩N
i=1(F ix(Ti)∩K) 6=∅;
ii) ∩N
i=1F ix(Ti) = F ix(TNTN−1...T1) = ... = F ix(TN−1...T1TN) = F(S), với S = TNTN−1...T1;
iii) ánh xạ S : K −→E thỏa mãn điều kiện inward yếu;
Với x0 ∈ K bất kì, {xn} là dãy được xác định bởi (1.51). Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
a) lim n→∞αn = 0, ∞ P n=0 αn = ∞; b) ∞ P n=0 | αn+1 −αn |<∞ hoặc lim n→∞ αn αn+1 = 1, thì dãy {xn} hội tụ mạnh tới một điểm p ∈ ∩N
i=1(F ix(Ti)∩K), đó cũng là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
Chú ý 1.20 Trong trường hợp E là một không gian Hilbert và T1, ..., TN
là các ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng C của E vào chính nó và
f : C −→ C thỏa mãn f(x) = u, ∀x ∈ C thì dãy lặp (1.51) chính là các kết quả của Bauschke H. H. [16] và O’ Hara J. G. [69].
Chú ý 1.21 Cho K là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian