Để minh họa, ta xột 2 tớn hiệu tương tự hỡnh sin lần lượt cú tần số lă F1 = 10 Hz vă F2 = 50 Hz như sau:
x1(t) = cos2π(10)t vă x2(t) = cos2π (50)t (1.87)
Hai tớn hiệu năy cựng được lấy mẫu với tần số FS =40 Hz. Cỏc tớn hiệu rời rạc tương ứng lă:
x1(n) = cos2p(10)(n/40) = cos(p/2)n
x2(n) = cos2p(50)(n/40) = cos(5p/2)n (1.88)
Tuy nhiờn, vỡ cos(5π/2)n = cos(2πn + πn/2) = cosπn/2, nờn x1(n) = x2(n). Vậy, hai tớn hiệu rời rạc hỡnh sin được lấy mẫu từ hai tớn hiệu liờn tục đó cho lă khụng thể phõn biệt được. Điều năy cú nghĩa lă, khi phục hồi tớn hiệu tương tự từ tớn hiệu rời rạc cos(π/2)n, ta khụng thể biết tớn hiệu tương tự được khụi phục lă x1(t) hay x2(t). Vỡ x2(t) cho một kết quả lấy mẫu đỳng như của x1(t) ở tần số lấy mẫu FS = 40 samples/second (sự trựng mẫu), ta núi thănh phần tần số F2=50Hz lă một hư danh(alias) của thănh phần tần số F1=10Hz ở tần số lấy mẫu 40 samples/second.
Thật ra, khụng chỉ cú thănh phần F2 lă hư danh của F1 mă cỏc thănh phần tần số Fk = (F1 + 40k) cũng lă hư danh của F1 , với k lă một số nguyờn. Thật vậy, ta xột tớn hiệu tương tự cú tần số Fk lă:
x2(t) = cos2pFkt = cos2p(F1+40k) t (1.89) Tớn hiệu lấy mẫu của nú với cựng tốc độ FS = 40Hz lă:
xk(n) = cos2p(F1+ 40k)(n/40) = cos(2pkn + pn/2)= cospn/2 = x1(n)
Một vớ dụ về hiện tượng hư danh được minh họa trong hỡnh 1.17. Trong đú, 2 tớn hiệu tương tự hỡnh sin cú tần số lần lượt lă F1 = 1/8Hz vă Fk = -7/8 Hz cú cỏc mẫu đồng dạng khi được lấy mẫu ở tần số FS = 1Hz. Từ pt(1.89), ta thấy, với k = -1 thỡ F1 = Fk + FS = (-7/8 + 1) Hz = 1/8Hz.
Cho một tớn hiệu tương tự bất kỳ, vấn đề lă chọn chu kỳ lấy mẫu TS hay tần số lấy mẫu FS như thế năo cho hợp lý? Xu hướng chung lă chọn tần số lấy mẫu thấp, bởi vỡ tần số lấy mẫu cao sẽ lăm tăng số mẫu, từ đú lượng phộp tớnh trong quỏ trỡnh xử lý tớn hiệu sẽ tăng lờn, kộo dăi thời gian xử lý, đồng thời lượng bộ nhớ cần thiết cũng tăng theo. Tuy nhiờn, nếu tần số lấy mẫu quỏ thấp sẽ xóy ra hiện tượng biệt d../Anh, khụng thể khụi phục lại tớn hiệu tương tự một cỏch chớnh xỏc. Chỳng ta sẽ trở lại vấn đề năy trong chương 3, khi phõn tớch tớn hiệu trong miền tần số, từ đú chứng minh định lý lấy mẫu, mă ta sẽ phỏt biểu sau đõy.
Tớn hiệu liờn tục trong thực tế cú độ dăi hữu hạn (tồn tại trong một khoảng thời gian hữu hạn) lă tổ hợp tuyến tớnh của nhiều thănh phần hỡnh sin. Ta xột cỏc tớn hiệu cú băng tần hữu hạn, nghĩa lă tần số cao nhất trong băng tần cú thể xỏc định. Vớ dụ: tớn hiệu thoại cú cỏc thănh phần tần số từ văi trăm Hz đến 3KHz, tớn hiệu hỡnh cú tần số cao nhất lă 6MHz.
Nếu ta biết thănh phần tần số cao nhất Fmax, ta cú thể chọn tần số lấy mẫu thớch hợp. Định lấy lấy mẫu được phỏt biểu như sau:
Định lý : Nếu tần số cao nhất chứa trong một tớn hiệu tương tự xa(t) lă Fmax thỡ tớn hiệu chỉ cú thể được khụi phục một cỏch chớnh xỏc từ cỏc mẫu của nú nếu tần số lấy mẫu FS ≥ 2Fmax,.
Để cho gọn, ta đặt Fmax = B. Định lý trờn cũng chỉ ra rằng xa(t) cú thể được khụi phục từ cỏc mẫu xa(nTS) bằng cỏch dựng hăm nội suy:
ở đõy xa(n/FS) = xa(nTS) = x(n) lă cỏc mẫu của xa(t). Nếu tần số lấy mẫu FS=2Fmax=2B, thỡ cụng thức khụi phục (1.91) trở thănh:
Tần số lấy mẫu FS =2B = 2Fmax được gọi lă tần số Nyquist. Hỡnh 1.18 minh họa một cỏch biến đổi A/D lý tưởng dựng hăm nội suy (1.90).
Trong sơ đồ hỡnh 1.12, mạch lọc trước cú tỏc dụng chống hiện tượng hư danh. Đõy lă một mạch lọc thụng thấp cú chức năng lọc bỏ cỏc thănh phần tần số cao hơn FS/2, trong trường hợp phổ tần của tớn hiệu vượt quỏ khả năng của bộ lấy mẫu (khi đú ta phải chấp nhận kết quả gần đỳng của tớn hiệu ra). Ngay cả khi thănh phần tần số cao nhất của tớn hiệu nhỏ hơn FS/2, nhiểu ở tần số cao cũng gõy ra hiện tượng hư danh vă cần phải lọc bỏ.
Mạch lọc sau sơ đồ trong hỡnh 1.12 cũng lă một mạch lọc thụng thấp. Nú cú chức năng lăm trơn (smoothing) để sửa dạng tớn hiệu tương tự thu được ở ngó ra chớnh xỏc hơn.