1. Một tiếp tuyến chung của hai đờng trũn tiếp xỳc với (O) và(O’) lần lợt tại C và D. Gọi H và K theo thứ tự là giao điểm của AB với OO’ và CD. Chứng minh rằng:
a. AK là trung tuyến của tam giỏc ACD.
b. B là trọng tõm của tam giỏc ACD khi và chỉ khi ( ')2 2
3
' R R
OO= +
OO= +
Cho tam giỏc nhọn ABC. Gọi D là trung diểm của cạnh BC, M là điểm tuỳ ý trờn cạnh AB (khụng trựng với cỏc đỉnh A va B). Gọi H là giao điểm của cỏc đoạn thẳng AD và CM. Chứng minh rằng nếu tứ giỏc BMHD nội tiếp đợc trong một đờng trũn thỡ cú bất đẳng thức
ACBC < 2⋅ . BC < 2⋅ .
ĐỀ SỐ 48
bài 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trỡnh x2+x-1=0. Chứng minh rằng phơng trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu. Gọi x1 là nghiệm õm của phơng trỡnh. Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức:
11 1 8 1 10x 13 x x P= + + + Bài 2.(2 điểm) Cho biểu thức: P= x 5−x+(3−x) 2+x
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 ≤ x ≤ 3.
Bài 3.(2 điểm)
1. Chứng minh rằng khụng tồn tại cỏc số nguyờn a, b, c sao cho: a2+b2+c2=2007
2. Chứng minh rằng khụng tồn tại cỏc số hữu tỷ x, y, z sao cho: x2+y2+z2+x+3y+5z+7=0
Bài 4.(2,5 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Vẽ đờng cao AH. Gọi (O) là vũng trũn ngoại tiếp tam giỏc AHC. Trờn cung nhỏ AH của vũng trũn (O) lấy điểm M bất kỳ khỏc A. Trờn tiếp tuyến tại M của vũng trũn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD=BE=BA. Đờng thẳng BM cắt vũng trũn (O) tại điểm thứ hai là N. 1. Chứng minh rằng tứ giỏc BDNE nội tiếp một vũng trũn.
2. Chứng minh vũng trũn ngoại tiếp tứ giỏc BDNE và vũng trũn (O) tiếp xỳc với nhau.
Bài 5.(2 điểm)
Cú n điểm, trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất kỳ nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng đợc tụ một màu xanh, đỏ hoặc vàng. Biết rằng: cú ớt nhất một đoạn màu xanh, một đoạn màu đỏ, và một đoạn màu vàng; khụng cú điểm nào mà cỏc đoạnthẳng xuất phỏt từ đú cú đủ cả ba màu và khụng cú tam giỏc nào tạo bởi cỏc đoạn thẳng đó nối cú ba cạnh cựng màu.