Theo cách tiếp cận mới, từ định lý về sự tồn tại điểm cực tiểu của một tập trong không gian tích, Chr.Tammer và C.Zălinescu đã mở rộng Định lý 2.2.8 như sau:
Định lý 3.3.1. [12]Giả sử rằng(X,d)là một không gian mêtric đầy đủ,Y là một không gian véctơ tôpô thực vàK⊂Y là một nón lồi thật sự. ChoF:X×X ⇒Y
thỏa mãn các điều kiện (F1)−(F3) và ánh xạ Γ :X ⇒Y sao cho z∗ (trong (F3)) là bị chặn dưới trên Γ(X). Nếu {x∈X|Γ(u)⊂Γ(x) +F(x,u) +K} là đóng ∀u ∈X, khi đó với mỗi x0 ∈domΓtồn tại x∈X sao choΓ(x0)⊂Γ(x) +
F(x,x0) +K và Γ(x)⊂Γ(x) +F(x,x) +K kéo theox=x. Chứng minh. Ta xét một quan hệ. trênX xác định bởi
x0 .x nếuΓ(x)⊂Γ(x0) +F(x0,x) +K. Theo giả thiết, ta có S(x) =nx0 ∈X
x0 .x
o
là đóng với mọi x∈X. Chú ý rằng, vớix∈X\domΓta có S(x) =X , còn với x∈domΓta cóS(x)⊂domΓ.
Hiển nhiên .có tính phản xạ. Lấyx0 .x vàx00 .x0 . Khi đó, ta có
Γ(x)⊂Γ(x0) +F(x0,x) +K và Γ(x0)⊂Γ(x00) +F(x00,x0) +K.
Sử dụng (F2) ta có
Γ(x)⊂Γ(x00) +F(x00,x0) +K+F(x0,x) +K ⊂Γ(x00) +F(x00,x) +K,
nghĩa là,x00 .x . Vậy. có tính bắc cầu. Xét
ϕ :X →R,ϕ(x) =infz∗(Γ(x)),
với quy ước inf/0= +∞. Dễ thấyϕ(x)>m=inf z∗(Γ(X))>−∞. Hơn nữa, nếu x0 .x∈domΓthì
z∗(Γ(x))⊂z∗(Γ(x0)) +z∗(F(x0,x)) +z∗(K); do đó,ϕ(x)>ϕ(x0) +infz∗(F(x0,x))>ϕ(x0).
Cố định x0 ∈domΓ . Ta chứng minh rằng tồn tại x ∈X sao cho x ∈S(x0)
vàS(x) ={x} . Do(X,d)là không gian mêtric đầy đủ vàS(x) là đóng với mọi x ∈X, ta có thể giả sử rằng domΓ= X (nếu không ta thay X bằng S(x0)). Ta
phải chứng minh rằngd(xn,xn+1)→0 nếu (xn)n>1 ⊂X là dãy giảm theo .. Giả sử d(xn,xn+1) không tiến tới 0. Khi đó, tồn tại δ > 0 và một dãy giảm
(np)p>1⊂N∗ sao chod(xn,xn+1)>δ,∀p>1 . Theo chứng minh ở trên, ta có
ϕ(xn)>ϕ(xn+1) +infz∗(F(xn+1,xn)), do đó,ϕ(xn+1)>ϕ(xnp+1) + np ∑ l=n1 infz∗(F(xl+1,xl))>m+p.η(δ)vớiη(δ)>0 ở (F3). Cho p→∞ ta có điều mâu thuẫn. Vậyd(xn,xn+1)→0.
Áp dụng [[11], Định lý 2.2] ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 3.3.2. Lấy Y là một không gian lồi địa phương tách, K ⊂Y là một nón nhọn, lồi, đóng thật sự và F(x,x0) ={ d(x,x0}k0 với k0 ∈ K\{0} , ta có thể suy ra Định lý 2.2.8. Ở đây, ta giả sử rằng Γ(X) là K− bị chặn, Γ(X) +K là đóng với mọi x∈X và Γ là đóng theo tập mức. Dễ thấyz∗ bị chặn dưới trên ImΓnên để áp dụng Định lý 3.3.1ta phải có S(u) là đóng với mọiu∈X ; điều này được chứng minh trong Bổ đề2.2.10.
Nếu ta giả sử rằng Γ(x0) 6⊂ Γ(x) +k0+K,∀x ∈ X, thì x được chứng minh ở định lý trên thỏa mãn d(x,x0) < 1. Thật vậy, giả sử ngược lại, vì Γ(x0) ⊂
Γ(x) +d(x,x0)k0+K vàd(x,x0)k0+K⊂k0+K, ta có điều mâu thuẫn Γ(x0)⊂
Γ(x) +k0+K. Thayk0 bởiεk0 vàd bởiλ−1d vớiε,λ >0ta được sự phát biểu chính xác của Định lý2.2.8.
Trong trường hợp Y chỉ là một không gian véctơ tôpô ta có dạng sau của Định lý3.3.1 với các điều kiện tương tự trong định lý 3.2.10.
Định lý 3.3.3. Giả sử rằng (X,d) là một không gian mêtric đầy đủ, Y là một không gian véctơ thực vàK ⊂Y là một nón lồi đóng thật sự. ChoH ⊂K là một tập khác rỗng bị chặn cs−đầy đủ với 0∈/ cl(H+K) và Γ:X ⇒Y. Nếu {x ∈
chặn thì với mỗix0∈domΓtồn tạix∈X sao choΓ(x0)⊂Γ(x) +d(x,x0)H+K
vàΓ(x)⊂Γ(x) +d(x,x)H+K kéo theox=x.
Chứng minh. LấyB⊂Y là tập bị chặn sao choΓ(X)⊂B+K.
XétF(x,x0):=d(x,x0)H vớix,x0 ∈X. Ta cóF thỏa mãn các điều kiện (F1) và (F2), và do đó quan hệ . xác định trong chứng minh của Định lý 3.3.1 có tình phản xạ và bắc cầu; hơn nữa, theo giả thiết, S(x):= {x0 ∈ X
x0 .x} là đóng với mọi x ∈X. Như chứng minh của Định lý 3.3.1 ta có thể giả sử rằng X =domΓ và đó là điều kiện đủ để cód(xn,xn+1)→0 dẫn đến (xn)n>1 ⊂X là dãy giảm theo.. Trong trường hợp ngược lại tồn tạiδ >0 và(np)p>1⊂N∗ là dãy tăng sao chod(xnp,xnp+1)>δ,∀p>1.
Cố định y1 ∈ Γ(x1), bằng quy nạp ta có dãy (yn)n>0 ⊂Y,(hn)n>0 ⊂ H và
(kn)n>0 ⊂K sao cho yn = yn+1+d(xn,xn+1)hn+kn,∀n > 1. Sử dụng tính lồi của H, và H ⊂K,Γ(X)⊂B+K với p ∈N ta có h0p ∈H,bp ∈Bvà k0p,k00p ∈K sao cho y1=ynp+1+ np ∑ l=1 d(xl,xl+1)hl+ p ∑ l=0 kl=bp+δ(hn1+...+hnp)+k0p=bp+pδh0p+k00p.
Suy ra(pδ)−1(y0−bp)∈H+K,∀p>1. Do(bn)là bị chặn nên ta có điều mâu thuẫn với giả thiết0∈cl(H+K). Ta có điều phải chứng minh.