Môđun Noether – vành Noether

M Ở ĐẦU

1.7. Môđun Noether – vành Noether

1.7.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)

Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt :

1 2

i i

C C

≠ ≠

⊂ ⊂

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆Ci2 ⊆ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho

n n 1 n 2

i i i

C =C + =C + =

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại.

1.7.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)

Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

1 2

i i

C C

≠ ≠

⊃ ⊃

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(i) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇Ci2 ⊇ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho

n n 1 n 2

i i i

C =C + =C + =

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu.

1.7.3 Môđun Noether

Định nghĩa: Cho vành R và M là R – môđun trái (hoặc R – môđun phải). Ta nói M là Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC)

Tính chất: Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.

1.7.4 Vành Noether – vành Artin

Vành Noether:

Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng.

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại. Vành Artin:

Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng.

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu. Định lý:

Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải

1.8. Giới hạn trực tiếp 1.8.1. Định nghĩa

Cho { }Aα ,α∈I là một họ các R-môđun với I là một tập định hướng. Với mỗi (α β, )thuộc I, α ≤ β, gαβ là R-đồng cấu từ Aα vào Aβ.

Giả sử gαβ thỏa mãn điều kiện:

i. Với mỗi α∈I, gαα là đồng cấu đồng nhất ii. Nếu có α ≤ β ≤ γ thì gαγ =g gβγ αβ.

1.8.2. Định nghĩa

Cho {A gα, αβ} là một hệ trực tiếp của R-môđun trên I. Giới hạn trực tiếp là limAα và một họ các đồng cấu nhúng (vα:Aα →limAα α∈) I thỏa:

i. v gβ αβ =vα khi α < β.

ii. Với mỗi R-môđun M và với mọi đồng cấu ψα:Aα →M thỏa mãn

g

β αβ α

ψ = ψ với α < β, tồn tại duy nhất đồng cấu θ: limAα →M sao cho

vα α

Chương 2. BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ

2.1. MỞ RỘNG CỐT YẾU VÀ BAO NỘI XẠ

2.1.1. Định nghĩa

Một R môđun phải E⊇MR được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu mỗi môđun con khác không của E đều có giao không tầm thường với M.

Mở rộng cốt yếu E⊇M được gọi là tối đại nếu không có mở rộng thật sự nào của E là mở rộng cốt yếu của M.

Nếu E ⊇M là mở rộng cốt yếu thì ta cũng có thể nói M là môđun con cốt yếu (lớn) của E và viết M ⊆e E .

Kí hiệu môđun con lớn là đối ngẫu của môđun con nhỏ. Một môđun con

S⊆E gọi là nhỏ ( viết là S ⊆s E) nếu bất kì môđun con N ⊆E , S+N=E suy ra N=E.

Chú ý :

1) M ⊆e E nếu với mọi a≠0 thuộc E tồn tại r∈R sao cho ar≠0 và

ar∈M Điều này cần thiết cho việc chứng minh. Nó cung cấp cho ta một cách thuận tiện để kiểm tra M ⊆e E.Ở đây ta kiểm tra tính cốt yếu bằng tiêu chuẩn này.

2)Tính bắc cầu : Nếu M ⊆e E và E⊆e E' thì M ⊆e E'.Tính bắc cầu rất cần thiết trong việc chứng minh tính cốt yếu.

Khái niệm mở rộng cốt yếu dẫn đến một khái niệm mới của tính nội xạ.

2.1.2. Bổ đề

Một môđun MR là nội xạ nếu và chỉ nếu nó không có mở rộng cốt yếu nào.

Chứng minh:

E⊃M và E≠M theo 1.6.4 ta có E=M⊕N với môđun con N ≠0 nào đó. Do 0

N∩M = nên E⊇M không là mở rộng cốt yếu. Ngược lại, giả sử rằng M không có mở rộng cốt yếu và nhúng M vào một môđun nội xạ IR. Theo bổ đề Zorn tồn tại một môđun con S ⊆I tối đại với giả thiết rằng S∩M =0. Do đó, xét môđun thương I S/ , bất kì môđun con khác 0 S S'/ trở thành ảnh của môđun M không tầm thường, cho nên im M( )⊆e I S/ . Theo giả thiết ta có

( ) /

im M =I S. Điều này nghĩa là I =M ⊕S cho nên M là môđun nội xạ (theo 1.6.2).

2.1.3. Bổ đề

Bất kì một môđun MR nào cũng có mở rộng cốt yếu tối đại

Chứng minh:

Xét môđun nội xạ I ⊇M và xét họ bất kì các mở rộng cốt yếu của M trong I mà sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm. Theo chú ý (1) của định nghĩa 2.1.1 thì ta dễ dàng thấy rằng hợp của họ trên cũng cốt yếu trên M. Theo bổ đề Zorn, ta có thể tìm được một môđun con E tối đại với M ⊆e E⊆I . Chúng ta có E là mở rộng cốt yếu tối đại của M. Thật vậy, nếu điều này sai, ta có thể tìm được E⊂E' sao cho M ⊆e E' ( Chú ý E’ chỉ là R môđun và nó có thể không nằm trong I ). Do tính nội xạ của I thì E⊆I có thể mở rộng đến xạ

: '

g E →I. Dễ dàng thấy rằng (ker )g ∩M =0 do đó M ⊆e E' và từ đó kerg=0.Chúng ta có thể biết E’ thông qua g(E’) . Nhưng M ⊆e E' mâu thuẫn với tính tối đại của E.

Bây giờ chúng ta sẽ đến với các kết quả của Eckmann- ..

Sch o pf và Bayer.

2.1.4. Định lý

Với mỗi môđun M ⊆ I thì các điều sau tương đương 1)I là mở rộng cốt yếu tối đại trên M

3)I là môđun nội xạ tối tiểu trên M

Chứng minh:

(1)⇒(2) Theo tính chất bắc cầu trong chú ý (2) của định nghĩa 2.1.1 , từ (1) cho ta I không có mở rộng cốt yếu nào. Do đó, I là nội xạ theo bổ đề 2.1.2

(2)⇒(3) Đặt I’ là môđun nội xạ sao cho M ⊆ ⊆I' I. Theo 1.6.4 I = ⊕I' N

với mọi môđun con N ⊆I. Từ N∩M =0 ta có N=0 cho nên I’=I (do M ⊆e I).

(3)⇒(1) Giả sử I nội xạ tối tiểu trên M. Theo phần chứng minh của bổ đề 2.1.3 cho ta một môđun con E⊆I mà là cốt yếu tối đại trên M. Sử dụng

(1)⇒(2) ta thấy rằng E là nội xạ và do đó E=I.

2.1.5. Định nghĩa

Nếu môđun M thỏa một trong ba mệnh đề tương đương của định lý 2.1.4 thì chúng ta nói rằng I là bao nội xạ của M. Như vậy theo bổ đề 2.1.3 thì bất kì môđun nào cũng có bao nội xạ.

2.1.6. Hệ quả

Bất kì hai bao nội xạ I,I’ của M đều đẳng cấu với nhau trên M.Điều đó có nghĩa là tồn tại một đẳng cấu g I: →I' là đồng cấu đồng nhất trên M.Tuy nhiên, đẳng cấu này là không duy nhất.

Chứng minh:

Do tính nội xạ của I, ta có thể tìm thấy xạ g I: '→I mở rộng đến xạ bao hàm M →I . Theo phần chứng minh của bổ đề 2.1.3 ta có kerg =0 từ đó

'

e

M ⊆ I . Do đó g I( ') là môđun con nội xạ của I chứa M.Bây giờ do (2.1.4)(3) cho ta g I( ')=I và do đó g I: '→I là đồng cấu cần tìm.

Kể từ đây ta viết E(M) là bao nội xạ của M.

2.1.7. Hệ quả

1)Nếu I là môđun nội xạ mà chứa M thì I chứa trong nó một bản sao của E(M).

ra E(M)=E(N).

Bao nội xạ của M là môđun nội xạ I mà có đồng cấu M →I mà ảnh của nó là “lớn”. Bao xạ ảnh của M là môđun xạ ảnh P mà có toàn cấu P→M mà hạt nhân của nó là “nhỏ” .Chúng ta đã thấy được rằng bao nội xạ của môđun thì luôn tồn tại. Tuy nhiên chúng ta thấy rằng bao xạ ảnh của môđun chỉ tồn tại trên một lớp vành đặc biệt.

Thông qua khái niệm về bao nội xạ của môđun, chúng ta đã biết được bao nội xạ của môđun là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu. Bao nội xạ đóng vai trò quan trọng trong đại số hiện đại. Nó có nhiều ứng dụng trong nghành đại số nói chung và đặc biệt trong đại số giao hoán nói riêng. Để thấy rõ hơn về bao nội xạ của môđun cũng như biết được một cách chính xác bao nội xạ của môđun có hình ảnh cụ thể như thế nào trong từng lớp vành cụ thể, chúng ta sẽ đi nghiên cứu sâu hơn về bao nội xạ thông qua một số ví dụ cụ thể. Trong từng trường hợp cụ thể ta sẽ đi tính xem bao nội xạ của môđun trên lớp vành ấy là gì. Qua đó chúng ta sẽ thấy được những hình ảnh cụ thể về bao nội xạ của môđun. Sau đây là một số ví dụ về bao nội xạ của môđun.

2.2. Những ví dụ cụ thể về bao nội xạ của Môđun

2.2.1. Ví dụ

Cho môđun M ⊆ =I E M( ) và cho N là môđun bất kì sao cho N ⊆e M

hoặc M ⊆N ⊆I. Khi đó E N( )=E M( ) .(Điều này suy ra từ hệ quả (2.1.7) (2)). Ví dụ 1 cho ta thấy nếu như M ⊆E M( ) thì nếu có môđun N nào là môđun cốt yếu của M thì bao nội xạ của nó chính chính là bao nội xạ của M.

2.2.2. Ví dụ

Cho R là một miền nguyên giao hoán với trường các thương K.Theo 1.6.9 ta thấy rằng KR là nội xạ và bằng cách kiểm tra chú ý (1) của (2.1.1), ta thấy rằng R⊆e K . Từ đó E(R) = Kvà có thể xem như là một môđun tự do

không xoắn MR. Từ đó với bất kì tập con nhân S =R\ {0}, ta có

1

R

M ⊗ K =S M− ⊇M ,và dễ dàng thấy được đó là mở rộng cốt yếu. Bây giờ,

R

M ⊗ K là K- không gian vectơ và cũng theo 1.6.9 thì nó là nội xạ như là R môđun. Từ điều này và những gì chúng ta có ở trên ta có thể suy ra được rằng

1

( ) R

E M =M⊗ K =S M−

Qua ví dụ này ta thấy được rằng nếu R là miền nguyên giao hoán với trường các thương K thì ta có E(R) = K và 1

( ) R

E M =M ⊗ K =S M− .

2.2.3. Ví dụ

Mệnh đề (*): Một Z môđun là nội xạ nếu và chỉ nếu nó chia được. Bất

kì Z môđun nào cũng đều được nhúng vào một Z môđun nội xạ.

Trong trường hợp R=Z, E(M) được biết như là “bao nội xạ chia được” của nhóm aben M. Đặt Cn là nhóm cyclic cấp n, với số nguyên tố p đặt Cp∞

hợp của các nhóm dây chuyền tăng

2 3 ...

p p p

C ⊂C ⊂C ⊂

Từ đó Cp∞ là p chia được và do đó nó chia được ( nó đẳng cấu với p thành phần nguyên sơ của  / ). Theo mệnh đề (*) Cp∞là Z- nội xạ và theo chú ý (1) của (2.1.1) Cp∞ là cốt yếu trên các Cpi(i≥1) . Do đó E C( pi)=Cp∞ với mọi i≥1.

Qua ví dụ này ta thấy được E C( pi)=Cp∞ với mọi i≥1. Như vậy ta có thể tính được bao nội xạ của tất cả các nhóm cyclic cấp i

p với i≥1 và bao nội xạ của chúng đều là Cp∞. Qua đó ta thấy được Cp∞ là một hình ảnh khá đẹp về bao nội xạ của các nhóm cyclic.

2.2.4. Ví dụ

Cũng nói về các nhóm cyclic ta sẽ tìm tìm hiểu về bao nội xạ của tổng trực tiếp của các nhóm cyclic cấp p.

Trên bất kì vành R, nếu Mj ⊆Ej với mọi j∈J thì ⊕Mj ⊆ ⊕e Ej nếu và chỉ nếu Mj ⊆e Ejvới mọi j. Chiều ngược là hiển nhiên. Chiều thuận ta chỉ kiểm tra trong trường hợp tổng trực tiếp hữu hạn.(theo chú ý 1 của 2.1.1).Đặt

{1, 2,.. }

J = n và sử dụng tính bắc cầu ta chỉ cần kiểm tra rằng :

1 2 ... n e 1 2 ... n

M ⊕E ⊕ ⊕E ⊆ E ⊕E ⊕ ⊕E khi đó M1⊆e E1

Trường hợp này được kiểm tra dễ dàng bằng cách sử dụng lại (theo chú ý 1 của 2.1.1). Bây giờ giả sử rằng tất cả các Ej là nội xạ. Nếu J < ∞ thì theo 1.6.2 ⊕j J∈ Ej cũng là nội xạ cho nên ta có : ( j) ( j)

j J j J

E M E M

∈ ∈

⊕ = ⊕ (J < ∞) Đặc biệt R= thì tất cả các Ej đều là nhóm aben chia được. ⊕j J∈ Ej

cũng chia được với mỗi tập con J. Do đó ( j) ( j)

j J j J

E M E M

∈ ∈

⊕ = ⊕ đã trở thành Z- môđun mà không cần bất cứ giả thiết nào trên J. Đặc biệt nếu ta lấy J là tập tất cả các số nguyên tố và Mp =Cp với mỗi p∈J thì điều này cho ta

2 3 5 2 3 5

( ...) ...

E C ⊕C ⊕C ⊕ =C∞ ⊕C∞ ⊕C∞ ⊕