Xét hệ autonom
¨
x= f(x,x˙),
trong đó f là một hàm phi tuyến, và f có dạng
f(x,x˙) =−h(x,x˙)−g(x), khi đó phương trình vi phân, trở thành
¨
x+h(x,x˙) +g(x) =0 (2.47)
và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là ˙ x=y ˙ y=−h(x,y)−g(x). (2.48)
Với mục đích giải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng có một điểm cân bằng duy nhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc, nếu cần thiết, bằng cách đổi hệ tọa độ). Do đó
và nghiệm duy nhất của h(x,0) +g(x) = 0 là x=0. Chúng tôi tiếp tục giả định rằng
g(0) =0, (2.49)
khi đó
h(0,0) =0. (2.50)
Trong những trường hợp này, bằng cách viết phương trình (2.47) dưới dạng
¨
x+g(x) =−h(x,x˙), (2.51) chúng ta có thể coi hệ là mô hình hóa của một hạt đơn vị trên lò xo chuyển động tự do được điều khiển bởi phương trìnhx¨+g(x) =0(một hệ bảo toàn), nhưng bị tác động bởi một ngoại lực−h(x,x˙)đóng vai trò là nguồn cung cấp hoặc hấp thụ năng lượng. Nếug(x) là một lực phục hồi (phương trình (2.28) vớig(x) thay cho f(x)), thì chúng ta mong đợi một xu hướng dao động điều khiển bởi ngoại lực −h(x,x˙). Trong cả hai trường hợp tự do và cưỡng bức, trạng thái cân bằng xảy ra khix=x˙=0.
Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi
V(x) =
Z
g(x)dx, (2.52a)
và động năng của hạt bởi
T = 1
2x˙
2. (2.52b)
Năng lượng toàn phầnε cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là:
ε =T +V = 1
2x˙ 2+
Z
g(x)dx, (2.53)
do đó có quy tắc biến đổi năng lượng
dε
dt =x˙x¨+g(x)x˙. Khi đó, từ (2.47) ta có
dε
trong mặt phẳng pha. Biểu thức này đại diện cho tốc độ bên ngoài của nguồn cung cấp năng lượng sinh bởi−h(x,x˙) hay đại diện cho ngoại lực.
Giả sử rằng, trong một miền liên thôngR của mặt phẳng pha chứa điểm cân bằng(0,0),dε/dt là âm:
dε
dt =−yh(x,y)<0 (2.55) (ngoại trừ trêny=0, nơi mà nó rõ ràng là bằng không). Hãy xét đường cong pha bất kì sau một điểm nằm trong R tại mọi thời điểm. Khi đó, ε liên tục giảm dọc theo đường cong pha đó. Ảnh hưởng củahtương tự như giảm tốc hoặc điện trở; năng lượng liên tục bị rút khỏi hệ, và điều này dẫn tới việc giảm biên độ cho đến khi hết năng lượng ban đầu. Chúng ta nên mong đợi các đường cong pha tiếp cận với điểm cân bằng.
Nếu
dε
dt =−yh(x,y)>0 (2.56) trongR (vớiy6=0), thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy, và biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn còn trong miềnR. Ở đây hcó tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng lượng vào hệ cho các trạng thái nằm trongR.
Bài tập 2.1. Khảo sát sự ảnh hưởng của giảm tốc qua phương trình:
¨
x+|x˙|x˙+x=0.
Dao động tự do được xác định bởix¨+x=0, và ngoại lực được cho bởi
−h(x,x˙) =− |x˙|x˙. Vì vậy, theo(2.55), tốc độ thay đổi của năng lượng
dε
dt =− |x˙|x˙2 =− |y|y2 <0
ở khắp mọi nơi (trừ trường hợpy=0). Có sự mất năng lượng dọc theo mọi đường cong pha khi nó nằm trong mặt phẳng pha. Do đó, chúng tôi mong
đợi từ bất kì trạng thái ban đầu nào thì đường cong pha tương ứng đều tiến tới trạng thái cân bằng vì hệ thống luôn tự ngừng.
Một hệ có thể có cả hai đặc tính, năng lượng được bổ sung vào trong một khu vực và hút ra trong một khu vực khác của mặt phẳng pha. Trên ranh giới chung của hai khu vực này (giả định làh(x,y)liên tục)có thể tạo thành một đường cong pha, và nếu năng lượng ε là không đổi dọc theo nó. Điều này được minh họa trong ví dụ sau.
Ví dụ 2.8. Khảo sát sự ảnh hưởng của năng lượng bổ sung và giảm tốc qua phương trình ¨ x+ (x2+x˙2−1)x˙+x=0. Đặtx˙=y; khi đó h(x,y) = (x2+x˙2−1)x˙, và từ (2.54), có dε dt =−yh(x,y) =−(x2+y2−1)y2. Do đó năng lượng trong hệ hạt-lò xo có tính chất:
dε
dt >0 dọc theo các đường trong miềnx
2+y2 <1;
dε
dt <0 dọc theo các đường trong miềnx
2+y2 >1.
Các miền có liên quan được biểu thị trong Hình 2.19. Ta có thể kiểm tra rằng
x=cost thỏa mãn phương trình vi phân đã nêu ở trên. Vì vậyx˙=y=−sint
và do đó ranh giới giữa hai miền là đường tròn x2+y2 =1, nó là một đường cong pha. Dọc theo nó
T +V = 1 2x˙ 2+1 2x 2 = 1 2(x 2+y2) = 1 2
không đổi nên nó là một đường cong với năng lượngε không đổi, được gọi là một mức năng lượng .
về nó từ bên trong và bên ngoài, và điểm cân bằng (không ổn định) tại gốc. Tất cả các đường cong pha đều tiếp cận đường tròn. Vì vậy hệ di chuyển hướng tới một trạng thái của dao động ổn định, bất kể điều kiện ban đầu (khác không) nào.
Đường tròn trong Hình 2.19 là một đường cong cô lập kín: ’cô lập’
được hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó. Một đường cong cô lập kín được gọi là mộtchu trình giới hạn, khi
tồn tại, nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến. Các chu trình giới hạn trong Hình 2.19 là mộtchu trình giới hạn ổn định, vì nếu hệ
được nhiễu từ trạng thái dao động trên chu trình giới hạn thì nó sẽ sang một đường cong pha mới.
Hình 2.19: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định x2+y2 =1
sinh bởi hệ x¨+ (x2+x˙2−1)x˙+x=0.
Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn. Một ví dụ quan trọng về một chu trình giới hạn ổn định là đồng hồ quả lắc (xem Mục 2.6(iii)). Năng lượng được lưu trữ trong quả lắc luôn bù lại năng lượng trung bình bị thất thoát của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung đưa. Sự cân
bằng được tự động thiết lập giữa tỉ lệ năng lượng cung cấp và năng lượng mất mát do ma sát trong trường hợp có chu trình giới hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu đột ngột bất kì .
Phương trình có dạng
¨
x= f(x),
là hệ bảo toàn đã xét ở Mục 2.3, không thể dẫn tới một chu trình giới hạn. Chúng tôi kết thúc mục này bằng cách minh họa một số phương pháp tiếp cận đối với phương trình có dạng
¨
x+h(x,x˙) +g(x) =0, (2.57)
mà không liên quan đến bất kì mô hình cơ học hoặc năng lượng nào.
(i) Tọa độ cực
Chúng ta sẽ nhắc lại Ví dụ 2.8 bằng cách sử dụng tọa độ cực. Khi đó, lược đồ pha được thể hiện rõ ràng hơn cùng với các phương trình liên quan. Gọi
r,θ là tọa độ cực, trong đó x=rcosθ,y=rsinθ, ta có:
r2 =x2+y2, tanθ = y
x. Đạo hàm các phương trình này theo biến thời gian t,
2rr˙=2xx˙+2yy˙, θ˙secθ2 = xy˙−xy˙ x2 . Từ đó, ta có ˙ r= xx˙+yy˙ r , ˙ θ = xy˙−xy˙ r2 . (2.58)
Tiếp theo, chúng ta sẽ thay
x=rcosθ, x˙=y=rsinθ
vày˙(nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực.
¨
x+ (x2+x˙2−1)x˙+x=0
trên mặt phẳng pha, trong tọa độ cực r,θ. Chúng ta có x=rcosθ và x˙=
y=rsinθ, và
˙
y=−(x2+x˙2−1)x˙−x=−(r2−1)rsinθ −rcosθ. Bằng cách thay các hàm này vào(2.58)chúng ta có được
˙ r =−r(r2−1)sinθ2, ˙ θ =−1−(r2−1)sinθ cosθ. Một nghiệm riêng là r=1, θ =−t
tương ứng với chu trình giới hạn,x=cost,y=−sint đã quan sát thấy trong 2.8. Ngoài ra (trừ khisinθ =0; có nghĩa là, ngoại trừ trên trục x)
˙
r >0 khi 0<r <1 ˙
r <0 khi r >1,
nên các đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn r =1 từ cả hai phía. Phương trình xác địnhθ˙ cũng cho thấy một chuyển động xoắn ốc theo chiều kim đồng hồ ổn định cho các điểm biểu diễn, xung quanh chu trình giới hạn.
(ii) Đường cong trắc địa
Chúng tôi sẽ giới thiệu các đường cong trắc địa thông qua một ví dụ.
Ví dụ 2.10. Nghiên cứu xu hướng của các đường cong pha đối với phương trình vi phân
¨
x+|x˙|x˙+x3 =0.
Hệ này chỉ có một điểm cân bằng, tại (0,0). Viết phương trình dưới dạng
¨
˙
xx¨+x3x˙=− |x˙|x˙2.
Theo các biến mặt phẳng phax,yphương trình này trở thành
ydy dt +x
3dx
dt =− |y|y2.
Xét một đường cong pha đi qua một điểm tùy ý A vào thời điểm tA, và đến một điểmB tại thời điểmtB >tA. Bằng cách tích phân phương trình trên từ
tA tớitB chúng ta có được [1 2y 2+1 4x 4]tB t=tA =−RtB tA |y|y2dt. Do vế bên phải là âm khắp mọi nơi nên
(1 2y 2+1 4x 4)t=t B >(1 2y 2+1 4x 4)t=t A
dọc theo đường cong pha. Do đó, các giá trị của biểu thức trong ngoặc vuông, 1
2y 2+ 1
4x
4, liên tục giảm dần theo đường cong pha. Nhưng họ các đường cong pha
1 2y
2+1
4x
4 = hằng số
là một họ hình bầu dục quanh gốc khi hàm số giảm. Các đường cong pha cắt các hình bầu dục, có hướng vào phía trong, do đó, tất cả các đường cong pha di chuyển hướng về gốc Hình 2.20. Trong mô hình cơ học, các hình bầu dục là các đường cong, năng lượng không đổi.
Họ các đường cong kín đó, có thể được sử dụng để vạch các đường cong pha đến một phạm vi nhất định, được gọi là đường cong trắc địa.
Các đường năng lượng không đổi, hoặc các đường mức năng lượng, là một trường hợp đặc biệt của đường cong trắc địa.
(iii) Phương trình chuyển động trong hệ tọa độ tổng quát
Giả sử ta có một hệ cơ học bảo toàn, có thể là trong một, hai, hoặc ba chiều, và có thể có các yếu tố rắn như các hạt, nhưng cấu hình của chúng hoàn toàn
Hình 2.20: Lược đồ pha chox˙=y,y˙=− |y|y−x3: các đường nét đứt là các đường mức.
được xác định bởi giá trị của một biến x. Biến không nhất thiết là độ dịch chuyển, có thể chẳng hạn là một góc, hoặc thậm chí một thành phần trong các yếu tố hình thành nên một phần của hệ. Nó được gọi là tọa độ tổng quát.
Nói chung, động năng và thế năngT vàV sẽ có dạng:
T = p(x)x˙2+q(x), V =V(x),
ở đó p(x) >0. Phương trình chuyển động có thể được dẫn ra bằng cách sử
dụng phương trình Lagrange. d dt( ∂T ∂x˙)−∂T ∂x =−∂V ∂x.
ThếT vàV ở trên chúng ta có được phương trình của chuyển động theox: 2p(x)x¨+p0(x)x˙2+ (V.(
x)−q0(x)) =0. (2.59) Phương trình này không có dạng x¨ = f(x) như trong Mục 2.3. Để rút gọn phương trình này ta xét
u=
Z
Khi đó u˙= p1/2(x)x˙ và u¨= 1
2p
−1/2(x)p0(x)x˙2+p1/2(x)x¨. Sau khi có đượcx˙vàx¨từ các phương trình và thế vào (2.59) ta có:
¨
u+g(u) =0,
ở đó g(u) = 1
2p
−1/2(x)(V0(x)−q0(x)). Đây là hệ bảo toàn đã thảo luận tại Mục 2.3.