X yi xn 6 n.
2.2. Bài toán bù tuyến tính suy rộng
Có rất nhiều kết quả liên quan đến bài toán bù tuyến tính trong các không gian hữu hạn chiều cũng như trong không gian vô hạn chiều (xem
[6] , [3] và những tài liệu trích dẫn trong đó).
Bài toán bù tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều được phát biểu như sau: Tìm vectơ Z Ễ R " sao cho
(Mz + q , x ) > 0 Vx € 1", ( M z + q , z ) = 0,
trong đó M là ma trận vuông cấp N X N , Q G Kn,
với M™ = { X — ( X I , X2, • • •, XN) G Kn I X Ị > 0 V* = 1 , 2 , . . . , N } .
Khái quát khái niệm trên trong không gian Hilbert:
Định nghĩa 2.2.1. Cho H là một không gian Hilbert, K là một nón lồi trong H. Bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert là: Tìm X G K sao cho
(Tx + q , k } ' ^ 0 (Vfc € K ) v à ( T x + q , x ) = 0, trong đó T là một toán tử tuyến tính trên H và q là một phần tử của H.
Bài toán trên được gọi là bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không gian Hilbert và được kí hiệu GLCP(T, K , Q).
Định nghĩa 2.2.2. Bài toán GLCP(T, K, q) được gọi là chấp nhận được nếu tồn tại X G K sao cho Tx + q G K*, trong đó
K* = {x £ H : (x, k) > 0 VA; G K}.
Nếu X G K sao cho Tx + q € K* thì ta nói X là chấp nhận được đối với (cho) bài toán GLCP(T, K , q ) .
Định nghĩa 2.2.3. Ta nói bài toán GLCP(T, K , q ) giải được nếu tồn tại X chấp nhận cho bài toán GLCP(T, K , q ) v à ( T x + q , x ) = 0.
Ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bù tuyến tính suy rộng. Chúng ta chỉ ra, dưới điều kiện thích hợp, một bài toán bù tuyến tính suy rộng (định nghĩa trên một nón lồi đóng tổng quát trong một không gian Hilbert thực) sẽ giải được bất cứ khi nào toán tử là đồng dương cộng trên nón đó. Chúng ta cũng chỉ ra rằng trong số tất cả các nón lồi đóng trong một không gian Hilbert thực hữu hạn chiều, chỉ có các nón đa diện với tính chất lồi đóng mà mọi toán tử là đồng dương cộng trên nó, cho phép bài toán bù tuyến tính suy rộng giải được.
Định nghĩa 2.2.4. C h o q i , q2 € H , Ợ2 ®qi chính là ký hiệu toán tử tuyến tính trên H định nghĩa bởi:
{ q2® q i ) { x ) = ( qux ) q2.
2.2.1. Sự tồn tại nghiệm
Định lý 2.2.1. ([6], tr. 331) Cho K là một đa diện và T là một toán tử đồng dương cộng trên K. Nếu bài toán bù tuyến tính suy rộng GLCP(T, K , q ) chấp nhận được thì nó có nghiệm.
C H Ứ N G M I N H . Nếu dimH < oo thì, bằng cách sử dụng phép biến đổi bảo toàn tích hướng, ta có thể giả sử H = RN với một N nào đó và sử dụng tích vô hướng thông thường trên RN. Vì K là một nón đa diện, tồn tại số nguyên dương M
và ánh xạ tuyến tính B : RM —>■ RN sao cho B ( R ™ ) = K . Dễ dàng thấy rằng
T = B * T B là một toán tử đồng dương cộng trên R Ỵ . Vì bài toán bù tuyến tính suy rộng GLCP(T, K, Q) chấp nhận được, tồn tại X0 £ K sao cho
{ T XỮ + Q , K ) ^0 với \ / K G K .
Với phần tử íò € R ™ bất kì thỏa mãn B Ổ Ô Q = XỮ ta có
( T X Q + B*q: X^ = ( B * ( T x0 + ợ), x ) = ( ( T x0 + ợ), B x ) ^ 0
với mọi X e R ™ . Như vậy, GLCP( T, R ™ , B * Q ) chấp nhận được. Theo Định lý Lemke [16], tồn tại X € R ™ sao cho
(ĩx + B*q,x^ ^0 {x E R™) và (ĩx + B*q, xỳ = 0. (2.8)
Rút gọn (2.8) ta được
( T ( B x ) + q , B x ) ^ 0 ( x G R ™ ) và (T ( B x ) + q , B x ) = 0
và ta thấy rằng B X là nghiệm của GLCP(T, K , Q ) .
Trong trường hợp tổng quát, giả sử X là một không gian hữu hạn chiều của H
chứa K . Kí hiệu P là phép chiếu vuông góc từ H lên X và đặt s = P T. Khi đó, s :
X — ¥ X là toán tử đồng dương cộng trên K và
( S x0 + P q , k ) = ( T x0 + q , k ) ^ 0 VA; € K .
Như vậy,bài toán GLCP(5, K , P Q ) chấp nhận được trên X .Theo như trường hợp hữu hạn chiều đã xét ở trên, tồn tại X £ K sao cho
{ S X + P Q , K ) ^ 0 VA; e K và ( S X + P Q , X ) = 0. (2.9) Vì { S X + P Q , K } = { T X + Q , K ) với mọi K G K , (2.9) chứng tỏ rằng X là một nghiệm của GLCP(T, K , Q ) .
□
Định lý 2.2.2. ([6], tr. 332) Giả sử rằng ỉ) T là một toán tử đồng dương cộng trên K, ũ ) Á n h MI4 (T x , x) l à n ử a l i ê n t ụ c d ư ớ i y ế u t r ê n K ,
in) К là nón mỏng,
I V ) { К G К : Т К € Ä"*, (ТА:, К ) = О V À < Q , К > = о} = {О}.
Khi đó, nếu GLCP(T, K , q ) chấp nhận được thì tập nghiệm của GLCP(T, К, q) khác rỗng và compact yếu.
C H Ứ N G M I N H . Trước tiên chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm. Lấy XỮ là chấp nhận được đối với GLCP(T, K , Q). Ta có thể giả sử rằng X0 Ф 0 và К Ф
0; trái lại, 0 là một nghiệm của bài toán. Khi đó, theo (iii), tập { X G К I ||ж|| = 1} khác rỗng và khả li. Kí hiệu { £0, £ I , £2. . . } là tập con trù mật của { X & К I ||x|| = 1} với £0 = Жо/Н^оН và kí hiệu KN là nón lồi đóng sinh bởi {£oj £ij £2j • • • J £ n } - Ta có mỗi Kn là nón đa diện chứa X0. V Ì KN С К , theo (i) T là đồng dương cộng trên KN với mỗi N = 1,2, 3,...
Bây giờ ta cố định N . Vì XỮ là chấp nhận được đối với GLCP(T, KN, Q), theo định lý 2.2.1 tồn tại XN £ KN sao cho
( T xn + q , k ) ^ 0 ( k G Kn) và { T xn + q , xn) = 0. (2.10)
Ta khẳng định rằng, dãy {Xn} bị chặn khi N — > 00. Thật vậy, nếu {жга} không bị chặn thì, không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng ||жп|| — ¥ 00. Khi đó, từ (2.10) ta có
( Tun + qn, un) = 0 (n = 1,2,3...) (2.11)
với UN := жп/||жп|| và QN д/||жп|| — > 0. Vì { U G К I ||w|| ^ 1} là tập lồi đóng, bị chặn trong không gian Hilbert ta có {UN} (hoặc một dãy con của nó) hội tụ yếu đến một phần tử D £ K . Theo (ii) và (2.11), ta nhận được ( T D , D ) ^0 và theo (i) suy ra
T d = — T * d (2.12)
Bây giờ, từ (2.10) và theo (i), suy ra { Q , X N } = (-T XN, Xn) ^ 0. (2.13) К = lim KN với KN € Kn, từ (2.10) ta có (T D, А:) ^ 0 với mọi К G K , nghĩa là T ả € К * . Vì GLCP(T, К, ợ) chấp nhận được, ta suy ra ( T x0 + q , d ) ^ 0. Từ đó và sử dụng (2.12) và (2.14) ta có ( q , d ) ^ - (T x0, d ) = - (x0,T*d) = ( xữ, T d ) ^ 0.
Từ (2.13) ta nhận được (ợ, D ) = 0. Như vậy,
D € { ĩ ẽ i í Ị Тж e X*, (Тж, ж) = 0, ( Q , X ) = 0} .
Theo (iv) điều này suy ra D = 0, nghĩa là 0 € [bao đóng yếu của {ж € К : \ \ x \ \ =
1}].
Điều này mâu thuẫn với (iii). Như vậy, dãy {XN} (hoặc một dãy con của nó) bị chặn . Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử
rằng { XN} hội tụ yếu đến phần tử Щ € К . Bây giờ (2.10), theo (ii), cho ta
Hơn thế, sử dụng cách viết К = lim KN với KN € Kn, (2.10) chỉ ra ( T Xõ + Q , K ) ^ 0 với tùy ý К £ К .
Vì vậy , Щ là một nghiệm của bài toán GLCP(T, K , Q) .
Cuối cùng, bằng cách lập luận tương tự ta chỉ ra tập nghiệm của bài toán GLCP( T, K , Q ) bị chặn: giả sử nó không bị chặn, bằng cách tương tự như đã thực hiện, ta có thể xây dựng một phần tử D € К thoả mãn (2.12); (2.13); (2.14) và, theo (iii), sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Vì tập nghiệm của GLCP
( T, K , Q ) đóng yếu trong К ta suy ra nó là
tập compact yếu. □
Nhận xét về những giả thiết của định lí (2.2.2):
1) Điều kiện (i) và (ii) thỏa mãn khi T đơn điệu trên H .
2) Tính chấp nhận được của GLCP(T, K , Q) tương đương với
Q ẽ [ K * — T ( K ) ] . Khi có (i), Q G int
[ К * — Т ( К ) ] suy ra (iv) thỏa mãn (xem [2], mệnh đề 2.3).
3) Nếu I N T ( K * ) khác rỗng thì Q E int [ K *
— T ( K ) \ khi và chỉ khi ( T X + Q ) £
int(x*) với X & К nào đó (so sánh với [2], p. 349]).
4) Nếu К là compact địa phương theo chuẩn thì điều kiện (iii) thỏa mãn . Theo nhận xét (1) và (2) thì định lí (2.2.2) đã khái quát được kết quả sau của Borwein [2] : Nếu T đơn điệu trên К compact địa phương theo chuẩn và
K * — T ( K) = H thì tập nghiệm của bài toán GLCP(T, К, Q) khác rỗng và bị chặn với Q
bất kì (so sánh với [2], p. 353 và hệ quả 2.1). 5) Không có các điều kiện (iii) và (iv) các kết
quả trên có thể sai.
6) Khi T là tự liên hợp, điều kiện (iv) (khi có (i)) trở thành
К n KerT П {g}± = {0}.
7) Khi dim H < O O các điều kiện (ii) và (iii) là luôn luôn đúng.
Định lý 2.2.3. ([6], tr 333) Cho dim H < oo và giả sử T , к, q thỏa mãn:
i) T là một tự liên hợp , ii) T đồng dương cộng trên к, iii) (T + q 0 q ) { K ) là đóng .
Nếu GLCP(T, K , q ) chấp nhận được thì nó có nghiệm.
C H Ứ N G M I N H . Đặt M := KerT П {ợ}1. Nếu M = {0} thì theo định lí (2.2.2) ta có ngay kết luận (xem nhận xét (6) và (7)), vậy ta giả sử rằng M Ф {0}. Kí hiệu P là phép chiếu trực giao từ H lên M1 = R A N T +
S PA N {ợ}. Vì
(Tx + q , k ) = ( T P x + q , P k ) ( x , k € K ) ,
ta nhận thấy sự tồn tại nghiệm của GLCP(T,
К, Q ) tương đương với sự tồn tại nghiệm của GLCP( T, P ( K ) , Q ) . Theo iii) tập
К + Ker(T + q 0 q ) = к + KerT í ì q1 = к + KerP
là đóng , do vậy P ( K) đóng. Từ ii) dễ thấy T
là đồng dương cộng trên P ( K) và cuối cùng ta có
P ( K) П KerT П Q1 с R A N P П KerP = {0}. Như vậy, tất cả các điều kiện của định lí ( 2.2.2) đều thỏa mãn cho bài toán GLCP(T,
P { K ) , Q) và do đó nó có nghiệm. Điều này suy ra bài toán GLCP(T, К, Q ) có nghiệm. □
2.2.2. Tính ổn định Định lý 2.2.4. ([6], tr. 335) Nếu dim H < oo và giả sửT là một đồng
dương cộng trên к thì các phát biểu sau là
tương đương:
(a) Tập hợp nghiệm của GLCP(T, K , q ) là khác rỗng và compact. (b) {x £ К : T X E K * , ( T X , X ) = 0, {q, x ) ^ 0} = {0}. (c) q e int{K* (d) GLCP(T,K,q) chấp nhận được và {x £ К : Tx £ К*, (Tx, X) = 0, (q, x) = 0} = {0} . C H Ứ N G M I N H , (a) (Ö): Giả sử tập hợp nghiệm của GLCP( T, K , Q ) là
khác rỗng và compact. Theo Mangasrian ([10]) ta phải chỉ ra (ò) thỏa mãn. Giả sử tồn tại X G К sao cho
T X G К*, ( Т Х , Х ) = 0 và (Q , X ) ^ 0. Cho X0 là một nghiệm của bài toán GLCP(T, К , q). Thì với bất kì t ^ 0 có một xữ + t x G К và T ( xữ + t x ) + q £ K * . Hơn nữa ( T ( x0 + t x ) + q , X Q + t x ) = = { T x0 + q , xQ) + ( T x0 + q , t x ) + ( T { t x ) , x 0 + t x ) = 0 + t ( q , x ) + t (æ0, T * X ) + t (ж0, T x ) + t2 ( Т х , х ) ^ о VÌ (Q , X ) ^ 0, T * X + T X = 0 và (T X, X) = 0. Vì T ( XỮ + T X) + Q £ K * ta có (T (XQ + T X) + Q , XỮ + £Ẽ) ^ 0. Do vậy (T (x0 + T X) + ợ, ж0 + íãf) = 0, Khi đó
X0+ T X là nghiệm của GLCP(T, К, ợ) với mọi T ^ 0. Bằng tính bị chặn của tập nghiệm chúng ta có X = 0. Vậy ( a ) = > ( 6 ) .
(ồ) =>• (с): Giả sử (b) không suy ra (c). Dù Q Ệ (К* — T ( K)) hoặc Q € Д
(К* — T ( K ) ) . Trong cả hai trường hợp đều 3 { QN} sao cho Q N Ị ( K * — T ( K ) ) và QN — ¥ Q ( N oo). Khi thay đổi n thì tồn tại với ||£n|| = 1 và a € R sao cho (дпЛп) < « < <£n, k*)- <£n, Tk) (k e К-,k* e K ' ) . Vì K * — T ( K) là nón ta đặt а = 0 thì (qn,a < 0 < k*) - <&, Tfc) (* € К \ k * ç . K ' ) . Đặt K = 0 ta có (£„, &*) ^ 0; K * € K * ta chỉ ra G X. Lại đặt K * = 0 ta có 0 ^ — ( £N, T K ) và do đó (T£n, £n) ^ 0 nên (T£n, £n) = 0 và (ợn,£n) ^ 0. Vì ||£n|| = 1 với (n = 1,2,3, ....) ta có thể cho rằng £n (hoặc một dãy ) hội tụ đến
phần tử £ Khi đó ||£ỊỊ = 1, £ € K , T £ €
K *: (T£, £) = 0 mâu thuẫn với điều giả sử . Vậy (ò) =>■ (c). (c) =>■ (d): Giả sử (c) đúng, rõ ràng GLCP ( T, K , Q ) chấp nhận được . Giả sử có £ Ф 0 sao cho £ € K , T £ e К * , (T£,£) = 0 và (ợ,£) = 0. Với bất kì Z & K * - T ( K) thì z = k * — T k ( k * <E K * ; k € if) ta có ( ^ z ) = ( ệĩk * ) - ( ^ T k ) = { Ệ , k ' ) + { - T ' Ệ , k ) ^ 0 + 0 (£ <E -t*£ = T £ e K * ) > 0 = ( q , 0 -
Điều này cho thấy siêu phẳng { X £ H { X , £ } = 0} tách q từ K * — T ( K ) . Vì Q e int (if* - T ( K)) ta có ^ = 0.
Vậy (c) (D).
(d) =>■ (a) đúng theo định lí (2.2.2). □ Nhật xét về định lí 2.2.4 :
i) Khi H = RN và K = MỊ sự tương đương giữa (a) và (c) trùng với kết quả của Mangasrian trong [10].
ii) Giả sử rằng K * có phần trong khác rỗng và T
là đồng dương cộng trên K . Giả thiết rẳng tồn tại một X e K sao cho T X + Q e
I N T K * . Borwein ([2]) đã chỉ ra rằng bài toán GLCP ( T, K , Q ) có tập nghiệm compact, có thể rỗng. Vì T X + Q e I N T K * suy ra Q € I N T [ K * — T ( K ) ] , định lý 2.2.4 về bản chất đã chỉ ra rằng GLCP( T, K , Q ) có tập nghiệm khác rỗng. iii) Với không gian hữu hạn chiều tính compact
của tập nghiệm tương đương với tính bị chặn, bởi vì tập nghiệm của bài toán GLCP(T, K,
Q) luôn đóng.
iv) Trong [12] chứng minh kết quả nhiễu đối với các toán tử đơn điệu xác định trên các không gian phản xạ.
C H Ú Ý 4. Trong trường hợp hữu hạn chiều, tính compact của tập nghiệm tương đương với tính bị chặn và đóng. Vì vậy, tập nghiệm của GLCP(T, K , Q) luôn luôn đóng.
Khi xét trên Mn ta có định lý sau:
Định lý 2.2.5. (Định lý 2.1 của [7]) Cho A là một hình nón lồi đóng khác rỗng trong một ma trận M G Knxn là đồng dương cộng khác rỗng trên A, một véc tơ p e Mn. Thì các điều sau là tương đương:
(a) Tập nghiệm của G L C P ( M , p: A) là khác rỗng và bị chặn.
(b) p € m£((0+A)* — M A ) .
(c)Tồn tại £ > 0 sao cho với mọi M' e Mnxn và p' £ Mn với max {\\M’ — MII , IIp1 — ĩ>||} < £, tập nghiệm của GLCP(M',p', A) khác rỗng.
Dưới đây chúng ta trình bày một đặc trưng của nón đa diện trong các không gian hữu hạn chiều.
Định lý 2.2.6. ([6], tr. 337) Với dỉmH < oo các mệnh đề sau là tương đương:
i) Tồn tại một toán tử s : H —>• H sao cho S ( K ) không đóng.
ii) Tồn tại một phép chiếu trực giao p : H —> H sao cho P ( K ) là không đóng.
ỈU) Tồn tại toán tử p : H -ỳ- H là đồng dương cộng trên K và q E H sao cho GLCP(T,K,q) là chấp nhận nhưng không có nghiệm.
iv) K không phải là đa diện.
V) Tồn tại toán tử chiếu p : H —>■ H với dim( R a n P ) = 2 m à P { K ) là không đóng.
C H Ứ N G M I N H , Ỉ) = > гг): Giả sử Ỉ) đúng. Vì H / K E R S đẳng cấu với Ran S (vì
D I M H < oo) và П : H — ¥ H / K E R S là ánh xạ thương nên tập К + K E R S không đóng trong H . Kí hiệu P là phép chiếu trực giao từ H lên (K E R S)-L. Vì K E R P =
K E R S nên К + K E R P không đóng. Vì vậy P ( K) không đóng trong H . Ta có гг).
гг) A I ) : Giả sử P là phép chiếu lên H
sao cho P ( K) không đóng trong H . Kí hiệu
И là điểm giới hạn của P ( K) mà không thuộc P { K ) . Đặt Q = — И và kí hiệu I là toán tử đồng nhất trên H . Ta chỉ T Ã P ( K Ỵ — P ( K) = H . Kí hiệu L là nón lồi đóng (không nhất thiết là P ( K ) ): Giả sử phản chứng rằng L * — L Ỷ H - Lấy X E H mà
X Ệ L * — L khi đó theo định lý tách ([9]) tồn tại А Ф 0, A G H và a Ẽ R sao cho
( a , x ) < a < ( a , w ) — ( a , v ) V G L , w G L * . (2.15) Vì L * — L là một nón ta có thể lấy А = 0. Đặt W = 0 trong (2.15) ta nhận được 0 < ~ { A , V ) ( V G L) suy ra — A G L * .
Cho W = — A , V = 0 và nhắc lại rằng ta đã lấy А = 0, (2.15) cho
0 < ( A, — A )
suy ra А = 0, mâu thuẫn với А Ф 0. Như vậy
P ( K * ) — P ( K) = я do đó bài toán GLCP(/,
P ( K ) , Q) chấp nhận được. Giả sử rằng GLCP(/, P { K ) , Q)
CÓ nghiệm. Khi đó tồn tạo P e P ( K ) sao cho ( p + q , v ) > 0; với V & P ( K ) và ( p + q , p ) = 0. Với q = — u , ta có với bất k ỳ V £ P{K)'- IIV - w||2 = ||t! - p\\2 + \\p - u\\2 + 2{v — p , p — u ) > IIp — w||2, bởi vì ( v — p , p — ù ) = { v, p — ù ) — ( p , p — u ) > 0.
Vì U thuộc bao đóng của tập
[ P ( K ) ] \ P ( K ) , điều này không thể xảy ra, do đó GLCPỰ , P ( K ) , Q ) không thể có nghiệm. Vì Q € R A N P và P là một phép chiếu, bài toán GLCPỰ , P ( K ) , Q ) chấp
nhận được (tương ứng có nghiệm) tương đương bái toán GLCP ( P, K , Q ) chấp nhận được (tương ứng có nghiệm). Như vậy ta thấy rằng bài toán GLCP( P, K , Q ) chấp nhận được nhưng không có nghiệm. Cuối cùng, P đồng dương cộng trên K vì các phép chiếu luôn là đơn điệu
H I ) =>- I V ) : Suy ra từ định lý 2.2.1.
i v ) = > V ) : Theo kết quả của [11].
v ) I ) : Hiển nhiên. □
Tiếp theo chúng ta trình bày một số ví dụ minh họa cho ứng dụng của định lý 2.2.2:
V Í D Ụ 2.2.1. Ví dụ này chỉ ra rằng nếu thiếu điều kiện (iii) trong định lý 2.2.2 thì GLCP( T, P ( K ) , Q ) không giải được. Cho
oo
= ( x i , x2,...) : xn £ x ị < o o >
n= 1 ,
với tích vô hướng cho trước
00
( x , y ) = У' xnyn.
71= 1
Cho Ỉ2 là hình nón dương trong L2 (tức là, mọi XN > 0 với X = ( X I , X2, ■ ■ ■ ) £ L T С К ) .
Đặt V = a(l, Ị, Ị,...), và И = /3(7, ... ) trong đó a, /3, 7 được chọn sao
cho A , S S > 0 , ||w|| = ||г;|| = 1 và (U , V ) =
0.
Chúng ta định nghĩa một toán tử chiếu p : l2
—,► Ỉ 2 bằng p : X — > ( X , u ) u + ( X , V } V.
Vì P một phép chiếu, P đơn điệu trên L2
và do đó đồng dương cộng trên Ỉ2 . Hơn nữa, từ tính liên tục của P suy ra tính nửa liên tục dưới yếu của ánh xạ X - Ỳ -
{ P X , X ) . Nếu
K E R P , thì (X , V ) = 0 nên một vài
thành phần của X phải âm. Điều này chỉ ra Ỉ2 П K E R P = {0}.