Trong tiểu mục này chúng ta nghiên cứu mối liên hệ giữa tính đặt chỉnh của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và của bài toán bao hàm thức. Chúng ta ký hiệu → và * tương ứng hội tụ mạnh và hội tụ yếu. ChoA: H →2H là ánh xạ đa trị. Bài toán bao hàm thức liên kết vớiA được định nghĩa bởi
IP(A): tìm x∈H sao cho 0∈A(x). Chúng ta cần một số định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.2.1. Dãy{xn} ⊆Hđược gọi là dãy xấp xỉ đối với IP(A) nếu d(0, A(xn))→ 0, hoặc tương đương, tồn tại yn ∈A(xn) sao cho kynk →0khi n → ∞.
Định nghĩa 2.2.2. Ta nói rằng IP(A) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) nếu nó có nghiêm duy nhất và mọi dãy xấp xỉ hội tụ mạnh (hội tụ yếu) tới nghiệm duy nhất của IP(A). IP(A) được gọi là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát nếu tập nghiệm S của IP(A)khác rỗng và mọi dãy xấp xỉ có dãy con hội tụ mạnh (tương ứng yếu) tới điểm nào đó thuộc S.
Các định lý sau thiết lập mối liên hệ giữa tính đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và tính đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) của bài toán bao hàm thức.
Định lý 2.2.1. ChoF: H →H là liên tục theo tia, đơn điệu và ϕ: H →R∪ {+∞}là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới. Nếu MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu, thì IP(F +∂ϕ)
Chứng minh Giả sử MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu. Khi đó MVI(F, ϕ) có nghiệm duy nhất x∗. Theo Bổ đề 2.1.1, x∗ cũng là nghiệm duy nhất của IP(F +∂ϕ). Cho {xn} là dãy xấp xỉ đối với IP(F +∂ϕ. Khi đó tồn tại yn∈F(xn) +∂ϕ(xn) sao cho kynk →0. Với mọi y∈H, n∈N, ta suy ra
ϕ(y)−ϕ(xn)≥ hyn−F(xn), y−xni. (2.6) Nếu{xn} không bị chặn, không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử kxnk → ∞. Đặt tn = kx 1
n−x∗k, zn = x∗ +tn(xn +x∗). Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử tn∈[0,1]và zn * z(z 6=x∗). Với y∈H bất kỳ, ta có
hF(y), z−yi
= hF(y), z−zni+hF(y), zn−x∗i+hF(y), x∗−yi = hF(y), z−zni+tnhF(y), xn−x∗i+hF(y), x∗−yi
= hF(y), z−zni+tnhF(y), xn−yi+ (1−tn)hF(y), x∗−yi. (2.7) VìF đơn điệu
hF(y), x∗−yi ≤ hF(x∗), x∗−yivàhF(y), xn−yi ≤ hF(xn), xn−yi. (2.8) Hơn nữa, với mọiy ∈H,ta có
F(x∗), x∗−yi+ϕ(x∗−ϕ(y)≤0. (2.9) dox∗ là nghiệm duy nhất của M V I(F, ϕ). Doϕ lồi, từ (2.6) và (2.9) ta có
hF(y), z−yi
≤ hF(y), z−zni+tnϕ(y)−tnϕ(xn) +tnhyn, xn−yi+ (1−tn)[ϕ(y)−ϕ(x∗)] = hF(y), z−zni+ϕ(y)−[tnϕ(xn) + (1−tn)ϕ(x∗)] + hyn, xn−yi
kxn−x∗k ≤ hF(y), z−zni+ϕ(y)−ϕ(zn) + hyn, xn−yi
Do vậy, với mọiy∈H,
hF(y), z−yi ≤ lim inf n→∞ hF(y), z−zni+ϕ(y)−ϕ(zn) + hyn, xn−yi kxn−x∗k ≤ ϕ(y)−ϕ(z).
Điều này kết hợp với Bổ đề 2.1.2 ta suy ra z là nghiệm MVI(F, ϕ), mâu thuẫn do MVI(F, ϕ) có nghiệm duy nhất x∗. Vậy {xn}bị chặn.
Cho {xnk} là dãy con bất kỳ của {xn} sao cho xnk * x∗ khi k → ∞. Từ (2.6) ta suy ra với mọiy∈H, n ∈N,
hF(y), xnk −yi+ϕ(xnk)−ϕ(y)≤ hynk, xnk−yi. VìF đơn điệu, ϕ lồi và lsc, đồng thời kynk →0, ta có,∀y∈H,
hF(y),x¯−yi+ϕ(¯x)−ϕ(y) ≤ lim inf
k→∞ {hF(xnk), xnk−yi+ϕ(xnk)−ϕ(y)} ≤ lim inf
k→∞ hynk, xnk −yi= 0.
Theo Bổ đề 2.1.2 ta có x¯ là nghiệm MVI(F, ϕ). Chúng ta có x¯ =x∗ vì MVI(F, ϕ) có nghiệm duy nhất là x∗. Vậy xn hội tụ yếu đến x∗ và do đó IP(F +∂ϕ) là đặt chỉnh
yếu.
Định lý 2.2.2. Cho F: H → H là liên tục đều, đơn điệu và ϕ: H → R∪ {+∞} là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới. Nếu IP(F +∂ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu), thì MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu).
Chứng minh Cho{xn}là dãy xấp xỉ đối với MVI(F, ϕ), thì tồn tạin>0với →0 sao cho với mọiy∈H, n∈N,
Định nghĩaϕ˜n: H →R∪ {+∞} →R như sau, với mọiy ∈H, ˜
ϕn(y) =ϕ(y) +hF(xn), y−xni.
Ta có ϕ˜n là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới và0∈∂nϕ(x˜ n)với mọi n∈N. Theo định lý Brφndste - Rockaffellar [9], tồn tại xn˜ ∈H và
x∗n∈∂ϕ˜n(¯xn) =∂ϕ(¯xn) +F(xn). sao cho kxn−x¯nk ≤√n, kx∗nk ≤√n. Ta suy ra x∗n ∈F(¯xn)−F(xn)∈(F +∂ϕ)(¯xn). Do F liên tục đều, kx∗ n+F(¯xn)−F(xn)k ≤ kx∗ nk+kF(¯xn)−F(xn)k →0. Do đó{¯xn} là dãy xấp xỉ đối với IP(F, ∂ϕ).
Cho x∗ là nghiệm duy nhất của MVI(F, ϕ). Theo Bổ đề 2.1.1, x∗ cũng là nghiệm duy nhất của IP(F, ∂ϕ).
Nếu IP(F, ∂ϕ) là đặt chỉnh mạnh, thì x¯∗n→x∗. Ta suy ra kxn−x∗k ≤ kxn−x¯nk+k¯xn−x∗k →0. Do đó MVI(F, ϕ)là đặt chỉnh mạnh.
Nếu IP(F, ∂ϕ) là đặt chỉnh yếu, thìx¯n* x∗. Với bất kỳ f ∈H, ta có |hf, xn−x∗i| ≤ |hf, xn−x¯ni|+|hf,x¯n−x∗i|
Vậy MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh yếu. Đối với đặt chỉnh tổng quát, chúng ta có các kết quả tương tự sau.
Định lý 2.2.3. Cho F: H → H là liên tục theo tia, đơn điệu và ϕ: H →R∪ {+∞}
là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới. Nếu MVI(F, ϕ) là 1-đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát, thì IP(F +∂ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát.
Chứng minh Cho{xn}là dãy xấp xỉ đối với IP(F, ∂ϕ), thì tồn tạiyn∈F(xn)+∂ϕ(xn) sao cho kynk →0. Với mọi y∈H, n ∈N,ta suy ra
ϕ(y)−ϕ(xn)≥ hyn−F(xn), y−xni. và do đó với mọi y∈H, n∈N, hF(xn), xn−yi+ϕ(xn)−ϕ(y) ≤ hyn, xn−yi ≤ 1 2kxn−yk2+ 1 2kynk2.
Kết hợp điều trên với kynk → 0 ta suy ra {xn} là 1-xấp xỉ đối với MVI(F, ϕ). Vì MVI(F, ϕ) là 1-đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát, do đó xn hội tụ mạnh (tương ứng yếu) tới nghiệmx∗ nào đó. Theo Bổ đề 2.1.1,x∗ là nghiệm của IP(F, ∂ϕ). Do vậy IP(F +∂ϕ)là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát.
Định lý 2.2.4. Cho F: H → H là liên tục đều, đơn điệu và ϕ: H → R∪ {+∞} là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới. Nếu IP(F +∂ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát, thì MVI(F, ϕ) là đặt chỉnh mạnh (tương ứng yếu) tổng quát.