CƠ SỞ CỦA MỘT KHÔNG GIAN VECTO – TỌA ĐỘ
Định nghĩa cơ sở của một không gian vectơ
Trong không gian vectơ V, họ vectơ B = {e1, e2, , en} được coi là một cơ sở của V nếu các vectơ trong B độc lập tuyến tính và mọi vectơ trong V có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong B.
- Nếu xem U là một họ vectơ trong V thì một cơ sở của U chính là một họ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của V
Nếu không gian V có một hệ sinh hữu hạn, thì V được gọi là không gian hữu hạn sinh Điều này dẫn đến kết luận rằng mọi không gian vectơ hữu hạn sinh đều sở hữu một cơ sở hữu hạn.
Không gian vectơ có thể không hữu hạn sinh, ví dụ như không gian vectơ V của các đa thức một biến với hệ số thực Trong trường hợp này, V được xem là một R-không gian vectơ không hữu hạn sinh.
Định nghĩa số chiều của một không gian vectơ
Mỗi cơ sở của một không gian vectơ hữu hạn sinh V đều có số phần tử hữu hạn và bằng nhau, được gọi là số chiều của V, ký hiệu là dim V (hoặc dimV K) Khi dim V = n, không gian vectơ được gọi là không gian vectơ n chiều.
Nếu tập hợp vectơ \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) là một cơ sở của không gian vectơ \(V\), thì mọi vectơ trong \(V\) có thể được khai triển một cách duy nhất theo các vectơ này Ngược lại, nếu mọi vectơ trong \(V\) đều có thể được khai triển một cách duy nhất theo tập hợp vectơ \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\), thì \(( e_1, e_2, \ldots, e_n )\) cũng sẽ là một cơ sở của \(V\).
Trong không gian vectơ n chiều, mọi họ n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở
Tính chất cơ bản của không gian vectơ hữu hạn chiều, dimV n= Khi đó:
(a) Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính
(b) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V
(c) Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V
(d) Mọi hệ độc lập tuyến tính, có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n k− vectơ để được cơ sở của V
Để chứng minh một hệ n vectơ là cơ sở của không gian V với dimV = n, ta chỉ cần xác minh rằng hệ đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc là hệ sinh.
Toạ độ của vectơ đối với một cơ sở
Trong không gian vectơ n chiều V với cơ sở ε = {e₁, e₂, , eₙ}, mỗi vectơ x ∈ V có thể được khai triển duy nhất dưới dạng x = x₁e₁ + x₂e₂ + + xₙeₙ Bộ số (x₁, x₂, , xₙ) được gọi là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở ε Ký hiệu tọa độ được sử dụng để biểu thị thông tin này.
( ) ( x = x x 1, , ,2 x n ) có thể viết dưới dạng cột:
Công thức đổi tọa độ
Trong không gian vectơ V cho các cơ sở Xét vectơ x V , tọa độ đổi của x đối với cơ sở = e e 1, , ,2 e n là: ( ) ( x = x x 1, , ,2 x n ), tọa độ của x đối với cơ sở
Ta hãy tìm biểu thức liện hệ giữa các tọa độ
(1) gọi là công thức đổi tọa độ (dổi cơ sở).
Bài tập minh hoạ
Trong R 3 cho cở sở chính tắc:
(1) Lập công thức đổi tọa độ từ sang U
(2) Cho v = ( 1,2,3 ) 3 , tìm tọa độ của v đối với cơ sở U
Công thức đổi tọa độ từ qua U:
KHÔNG GIAN AFIN VÀ M-PHẲNG
Không gian afin
1.1.1 Định nghĩa về không gian afin
Cho là một không gian rỗng, trong đó các phần tử là tập hợp các điểm, tạo thành một không gian vectơ trên trường ( = , ) Ánh xạ từ biến cặp điểm (A, B) thành vectơ (A, B), được ký hiệu là AB.
Bộ ba ( , , ) được gọi là một không gian afin nếu hai tiên đề sau được thoả mãn:
❑ A1: Với mọi vectơ u và với mọi điểm A , tồn tại duy nhất một điểm B, B sao cho: AB u=
❑ A2: Với mọi điểm A,B,C , ta có hệ thức: AB BC AC+ = (hệ thức Chasles)
Nếu là một không gian vectơ n chiều, kí hiệu: n thì ta gọi là không gian afin n chiều, kí hiệu n
Không gian vectơ được xem là không gian vectơ liên kết với không gian afin, và đôi khi được gọi là không gian vectơ nền của không gian afin để thuận tiện trong việc sử dụng.
Trong trường hợp đó, ta dùng kí hiệu: thay cho
Ví dụ 1: Gọi 3 là các không gian Euclide 3 chiều
Gọi 3 là không gian vectơ Euclide thông thường 3 chiều Ánh xạ biến một cặp điểm A,B 3 thành vectơ AB Tức là:
Ta chứng minh ánh xạ thoả tiên đề A1, A2
Giải Đối với tiên đề A 1 , ta có:
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: AB u= (với u 3 )
Thoả tiên đề A1 Đối với tiên đề A 2 , ta có:
Lấy tuỳ ý điểm A,B,C,D 3 , với AB BC, ,CD AD, 3 ta có:
+ + + + = + AB BC CD AB BC CD AC CD AD (theo hệ thức Chasles)
Ví dụ 2: Gọi là không gian vectơ trên trường ( = , ) Xét ánh xạ :
Ta kiểm tra hai tiên đề A1 và A2:
* u , a , ta đặt b a u= + Ta thấy b được hoàn toàn xác định và duy nhất Bên cạnh đó, ( ) a,b = − = b a u Do đó ta có điều này thoả với tiên đề A1
Vậy điều này thoả với tiên đề A2
Do đó không gian vectơ là một không gian afin liên kết với chính nó
1.1.3 Một số tính chất của không gian afin
Trong không gian afin , ta có một số tính chất sau:
+ Tính ch ấ t 1: Với mọi điểm A , ta đều có AA=0 Nói cách khác, vectơ có gốc trùng với ngọn là vectơ 0
+ Tính ch ấ t 2: Nếu AB=0 thì A B
Trong hình học, các tính chất của đoạn thẳng rất quan trọng Tính chất 3 chỉ ra rằng với mọi điểm A và B, ta có AB = -BA Tính chất 4 khẳng định rằng với mọi điểm A, B, C và D, nếu AB = CD thì AC = BD Cuối cùng, tính chất 5 cho biết với mọi điểm A, B và C, ta có AB + CB = CA.
1.1.4 Độc lập và phụ thuộc của hệ điểm
1.1.4.1 Hệ điểm độc lập Định nghĩa : Trong không gian afin n , một hệ m + 1 điểm
A A A 0 , , , , 1 2 A m được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ vectơ A A A A 0 1 , 0 2 , , A A 0 m là độc lập tuyến tính
- Ta qui ước một hệ gồm một điểm là một hệ điểm độc lập
- Trong định nghĩa trên, điểm A 0 không đóng một vai trò gì đặc biệt Nghĩa là nếu hệ vectơ (1) độc lập tuyến tính thì hệ vectơ
Trong không gian n chiều, một tập hợp các điểm A_A(i) với i từ 0 đến m là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu không có điểm nào trong tập hợp có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các điểm còn lại Định lý này khẳng định rằng trong không gian n chiều luôn tồn tại một hệ m điểm độc lập với 1 ≤ m ≤ n Ngược lại, bất kỳ hệ điểm nào gồm hơn n + 1 điểm sẽ không độc lập.
1.1.4.2 Phương pháp để xác định hệ điểm độc lập hay phụ thuộc
Trong không gian afin n , một hệ m + 1 điểm A A A 0 , , , , 1 2 A m được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ vectơ A A A A 0 1 , 0 2 , , A A 0 m là độc lập tuyến tính Lập ma trận
A gồm các dòng (cột) là các vectơ Khi đó:
+ A A A A 0 1 , 0 2 , , A A 0 m là độc lập tuyến tính r A( )=m
+ A A A A 0 1 , 0 2 , , A A 0 m là phụ thuộc tuyến tính r A( )m
Ví d ụ : Trong không gian afin 3 với mục tiêu đã chọn cho các điểm:
Chứng minh rằng các hệ điểm A ,A ,A ,A 0 1 2 3 và A A A A 0 , , ,1 2 3 đều độc lập
Vậy hệ điểm A A A A 0, , ,1 2 3 độc lập
Vậy hệ điểm A A A A 0 , , ,1 2 3 phụ thuộc
1.1.5 Mục tiêu afin và công thức đổi mục tiêu
1.1.5.1 Mục tiêu afin và tọa độ i) M ụ c tiêu afin là gì?
Cho không gian afin n chiều n liên kết với không gian vectơ n Gọi
= là một cơ sở của n và O là một điểm của n Khi đó, tập hợp {O;
Mục tiêu afin của n, ký hiệu là {O; e1, e2, , en}, bao gồm điểm gốc O và các vectơ cơ sở e_i Tọa độ của điểm trong mục tiêu afin được xác định dựa trên các vectơ cơ sở này.
Trong không gian afin n chiều n cho mục tiêu {O; e , e ,… 1 2 , e n } Với mỗi điểm X
Gọi (x , x , …, x 1 2 n ) là tọa độ của OX đối với cơ sở
Khi đó ta nói (x , x , …, x 1 2 n ) là tọa độ của điểm X đối với mục tiêu {O; } và kí hiệu X (x , x , …, x 1 2 n )
Như vậy, X có tọa độ (x , x , …, x 1 2 n ) khi và chỉ khi
• Tọa độ của vectơ đối với cơ sở của mục tiêu afin)
Nghĩa là vectơ XYcó tọa độ đối với cơ sở là
Như vậy, “tọa độ của vectơ bằng tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ của điểm gốc”
Ví dụ: Trong mặt phẳng afin 2 cho mục tiêu {A; B, C} và điểm M thỏa
+ MB 2MC 0 Tìm tọa độ của điểm M đối với mục tiêu đã chọn
Các vectơ cơ sở cho mục tiêu đã chọn là AB và AC Để xác định tọa độ điểm M trong mục tiêu này, cần biểu diễn vectơ AM dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở Điều này có nghĩa là tìm tọa độ điểm M tương ứng với bộ số (x; y) thỏa mãn yêu cầu.
1.1.5.2 Công thức đổi mục tiêu
Trong không gian afin n cho hai mục tiêu {O; } (I) và {O'; } (II) trong đó:
và ={ e ' , e ' ,… 1 2 , e ' } n là các cơ sở trong n
Với mỗi điểm X trong n , gọi (x , x , …, x 1 2 n ) và (x , x , …, x ' 1 ' 2 ' n ) lần lượt là tọa độ của X đối với các mục tiêu (I) và (II)
Ma trận các hệ số chuyển vị A được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ sang Tọa độ của điểm O' đối với mục tiêu (I) được ký hiệu là (a1, a2, , an).
OX x e Do đó suy ra:
Biểu thức trên gọi là công thức đổi mục tiêu afin, có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
Để chuyển đổi mục tiêu từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (II), cần xác định ma trận đổi cơ sở A và vector a Trong đại số tuyến tính, có thể thiết lập ma trận đổi cơ sở giữa hai cơ sở bất kỳ trong cùng một không gian vectơ, trong trường hợp này, ma trận đổi cơ sở A là yếu tố quan trọng.
Chuyển từ cơ sở của mục tiêu (I) sang cơ sở của mục tiêu (II) là một quá trình quan trọng, trong đó ma trận cột tọa độ a của gốc mục tiêu (II) được xác định dựa trên mục tiêu (I).
1.1.5.3 Bài tập viết công thức đổi tọa độ giữa hai mục tiêu afin
Trong 3 cho các điểm có tọa độ đối với mục tiêu afin {O; e , e , e 1 2 3 } (I):
(1) Chứng minh {A 0 ; A A 0 1 , A A 0 2 , A A 0 3 } là mục tiêu afin của 3 (mục tiêu (II))
(2) Viết công thức đổi tọa độ từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (II)
Để chứng minh rằng {A 0 ; A A 0 1 , A A 0 2 , A A 0 3 } là một mục tiêu afin trong không gian 3 chiều, chúng ta cần chỉ ra rằng hệ vectơ {A A 0 1 , A A 0 2 , A A 0 3 } là một cơ sở của không gian này, tức là các vectơ trong hệ phải độc lập tuyến tính.
(2) Giả thiết đã cho tọa độ gốc mục tiêu (II) A 0 đối với mục tiêu (I) là (1, 1, 1) Do đó,
a Ta cần biểu diễn tuyến tính mỗi vectơ trong hệ (*) qua các vectơ cơ sở trong mục tiêu (I) để tìm ma trận A đã nói trên
det nên các vectơ {A A 0 1 , A A 0 2 , A A 0 3 } độc lập tuyến tính
Do đó, {A 0 ; A A 0 1 , A A 0 2 , A A 0 3 } là một mục tiêu afin của 3
Ma trận chuyển từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (II):
Công thức đổi mục tiêu: x = A x + a
Các vấn đề liên quan đến m-phẳng và vị trí tương đối
Trong n cho một điểm A và trong không gian vectơ n (liên kết với không gian afin n ) cho một không gian vectơ con m chiều m
Gọi α là tập hợp các điểm M n sao cho AM m
Ta nói α là một m-phẳng đi qua A và có phương m
• Để thuận tiện, ta thường kí hiệu phương m của cái phẳng α là α
• Một 0-phẳng là một điểm; một 1-phẳng là một đường thẳng; một 2-phẳng là một mặt phẳng; một ( n - 1 )-phẳng được gọi là một siêu phẳng
M-phẳng được định nghĩa là một không gian afin m chiều, trong đó điểm A không có vai trò đặc biệt so với các điểm khác.
Hệ điểm độc lập và m-phẳng có mối liên quan chặt chẽ theo định lý 1, cho rằng qua (m+1) điểm độc lập, luôn tồn tại một m-phẳng Định lý 2 chỉ ra rằng một hệ (m+1) điểm được coi là độc lập khi và chỉ khi chúng không nằm trên cùng một (m-1)-phẳng nào, với điều kiện m ≥ 1.
• Một hệ ba điểm độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng nằm trên một đường thẳng nào, nghĩa là ba điểm đó không thẳng hàng
• Một hệ hai điểm là độc lập khi và chỉ khi chúng không trùng nhau
• Ta sẽ kí hiệu một cái phẳng bằng các chữ cái α, β, γ, và phương của chúng được kí hiệu: α, β, γ , Khi cần nhấn mạnh về số chiều, ta kí hiệu:
n , m , , p Đị nh lý 3: Cho α là một m-phẳng và A là một điểm không nằm trên α Khi đó, tồn tại duy nhất một (m+1)-phẳng chứa A và α
1.2.2.1 Phương pháp viết phương trình của một cái m-phẳng
Trong không gian 𝔸 𝑛 với mục tiêu {O;𝜖} và 𝜖 = {e₁, e₂, , eₙ}, giả sử 𝔸 𝑛 là một m-phẳng đi qua điểm A và có phương là 𝕍 𝑚 Chọn m vectơ độc lập tuyến tính a₁, a₂, , aₘ trong 𝕍 𝑚 Tọa độ của vectơ aⱼ với cơ sở 𝜖 được biểu diễn là (a₁, a₂, , aⱼ) với j = (1, 2, , m) và tọa độ của điểm được xác định dựa trên các vectơ này.
= n j ji i i a a e Khi đó điểm X với toạ độ (x ,x , ,x 1 2 m ) khi và chỉ khi AX 𝕍 𝑚 nghĩa là:
Hệ phương trình trên gọi là phương trình tham số của m - phẳng
A là ma trận chuyển vị của ma trận các toạ độ của vectơ a j (j=1,2,3,…m) Ta kiểm tra được A có hạng bằng m
= + m i i ji j j x a a t Phân tích ra ta có:
Hệ (I) là một hệ Cramer theo các ẩn số t j j = ( 1, 2, m ) Giải phương trình này ra ta tính được t j
Thay các 𝑡 𝑗 tìm được vào hệ (II) khai triển và thu gọn ta được một hệ phương trình tuyến tính có dạng:
n ij j + = i j b x b , i=1,2,…,n-m (Với B là một ma trận cấp n-m)
Một hệ phương trình tuyến tính có dạng B là ma trận cấp n-m xác định một m-phẳng Phương trình này được gọi là phương trình tổng quát của một m-phẳng.
K ế t lu ậ n: Khi vi ết phương trình m phẳ ng ta có th ể vi ết dướ i hai d ạ ng là phương trình tham số ho ặc phương trình tổ ng quát
1.2.2.2 Bài tập viết phương trình m-phẳng
Bài 1: Trong 𝔸 4 viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của phẳng có số chiều bé nhất:
(1) Đi qua điểm A(1,2,1,1) và có phương chứa hai vector a = (0,1,2,0),
(1) Phẳng có phương là a b, Do a b , độc lập nên phẳng có số chiều 2 và 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ là cặp vectơ chỉ phương của phẳng
Khi đó phẳng trên đi qua A và có "vectơ chỉ phương" là 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ nên phương trình tham số của phẳng là:
Viết phương trình tổng quát:
Phương trình tham số có 2 ẩn mà ta đang xét trong 𝔸 4 nên phương trình tổng quát gồm 2 phương trình tuyến tính là:
Hệ gồm hai vectơ BC (0;1; 1; 3 , − − ) và BD (0;1;3;3) là độc lập tuyến tính, do đó chúng là vectơ chỉ phương của m-phẳng M-phẳng này đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương là BC và BD.
Từ phương trình 𝑥 3 , 𝑥 4 ta được 1 3 4 1 2 3 1 3 3 4 1
Thay vào 2 phương trình đầu ta được phương trình tổng quát của phẳng đi qua (BCD) là:
Bài 2: Trong không gian 𝔸 4 viết phương trình tham số của mặt phẳng có phương trình tổng quát là
Giải hệ trên bằng ma trận:
Nghiệm tổng quát của hệ là 4 3 2 2 3 1 4 6
Khi đó vectơ riêng sinh bởi hệ nghiệm trên là:
A −2 thuộc m-phẳng trên Từ đó ta viết được phương trình tham số của phẳng là:
1.2.3 Vị trí tương đối của 2 cái phẳng : Định nghĩa 1:
Cho hai cái phẳng m và p ( m p )lần lượt có phương là m và p :
• Trong trường hợp m p thì ta nói cái phẳng m nằm trên cái phẳng p Khi đó, nếu m= p thì m trùng với p
1 Nếu m p = thì ta nói m và p cắt nhau
2 Nếu m p thì ta nói m song song với p và ký hiệu là m p Ta cũng nói m và p là song song với nhau
3 Nếu m và p không cắt nhau và không song song thì ta nói m và p chéo nhau Định lý 4.1 Hai cái phẳng và cắt nhau khi và chỉ khi với mọi điểm A và với mọi điểm B ta có AB +
Hệ quả: Nếu song song với phẳng thì chúng không cắt nhau
Phương pháp xác định vị trí tương đối của hai cái phẳng:
Để tìm giao điểm giữa hai mặt phẳng, bạn có thể thay thế tọa độ của phương trình tham số của m-phẳng 𝔸 𝑚 vào phương trình của p-phẳng 𝔸 𝑝 Ngoài ra, bạn cũng có thể giải hệ phương trình 2𝑛 − 𝑚 − 𝑝 từ hai phương trình tổng quát của m-phẳng 𝔸 𝑚 và p-phẳng 𝔸 𝑝 đã cho.
- Nếu không có nghiệm, thì kiểm tra xem hệ hai cơ sở của không gian vector 𝕍 𝑚 và 𝕍 𝑝 có độc lập hay phụ thuộc tuyến tính hay không:
+ Nếu độc lập tuyến tính thì hai cái phẳng chéo nhau
+ Nếu không độc lập tuyến tính thì hai cái phẳng song song
- Nếu có nghiệm thì hai cái phẳng cắt nhau
- Còn nếu vô số nghiệm thì 𝔸 𝑚 ⊂ 𝔸 𝑞
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng nếu hai cái phẳng p và q song song với r thì phẳng giao p q (nếu có) là cái phẳng song song với r
Giải p song song với r nghĩa là p r = và p r q song song với r nghĩa là q r = và q r
Ta biết rằng phẳng giao p q có phương là p q
Vậy phẳng giao p q nếu có là cái phẳng song song với r vì
Ví dụ 2: Trong 𝔸 4 xét vị trí tương đối của hai cái phẳng P và Qcho bởi phương trình của chúng sau đây:
Ta tìm nghiệm của hệ phương trình gồm các phương trình của hai cái phẳng P và Q sau đây:
Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn này ta được nghiệm là: ( x x x x 1 , , , 2 3 4 ) = ( 1,2,0,0 ) Do đó hai cái phẳng P và Qcắt nhau
Ví dụ 3: Trong không gian afin 𝔸 4 , với mục tiêu afin đã chọn, hãy xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ABvà CD cho biết:
Ta nhận thấy hai đường thẳng ABvà CD không cùng phương vì:
Bây giờ ta lập phương trình tham số của hai đường thẳng ABvà CD :
19 Đường thẳng ABcó phương trình tham số là:
Đường thẳng CD có phương trình tham số là:
Tọa độ giao điểm của ABvà CD nếu có sẽ thỏa mãn hệ phương trình sau:
= − t Thay giá trị này của t vào ( ) 3 ta tính được 1
3. u= Thay giá trị này của t và uvào ( ) 1 và ( ) 4 ta thấy hai vế không bằng nhau Vậy hai đường thẳng
Đường thẳng AB và CD không có điểm chung và không cùng phương, điều này có nghĩa là chúng độc lập tuyến tính Vì vậy, AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.
Ta nhận thấy hai đường thẳng ABvà CD không cùng phương vì :
Bây giờ ta lập phương trình tham số của hai đường thẳng ABvà CD : Đường t thẳng ABcó phương trình tham số là :
20 Đường thẳng CD có phương trình tham số là :
Tọa độ giao điểm của ABvà CD nếu có sẽ thỏa mãn hệ phương trình sau :
Từ ( ) 1 và ( ) 2 , giải hệ phương trình ta được :
= 3 u vào ( ) ( ) 3 , 4 thì ta thấy vế phải bằng vế trái Suy ra 2tham số tvà usẽ thỏa mãn hệ phương trình AB CD
= 3 t vào phương trình đường thẳng ABsẽ tìm được giao điểm của ABvà CD là
I Vậy hai đường thẳng ABvà CD cắt nhau tại điểm I ( 1,1,1,1 )
1.2.4 Tổng và giao của hai cái phẳng và định lý về số chiều của phẳng tổng Định nghĩa: Cho hai cái phẳng và , có phương và
1) Giao của hai cái phẳng:
2) Tổng của hai cái phẳng và là một cái phẳng (có số chiều) bé nhất chứa và được kí hiệu là + Định lý: Giao của hai cái phẳng và hoặc là một tập hợp rỗng hoặc là một cái phẳng có phương Định lý: Trong không gian Afin n cho hai cái phẳng và lần lượt có phương và
1) Nếu và cắt nhau: dim( + ) dim= +dim −dim( ).
2) Nếu và không cắt nhau: dim( + ) = dim + dim − dim( ) 1 +
Trong không gian affine n với ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng, hai vectơ AB và AC sẽ phụ thuộc tuyến tính Điều này có nghĩa là tồn tại một số thực λ sao cho vectơ AB có thể biểu diễn dưới dạng tích của λ với vectơ AC.
Ta gọi λ là tỉ số đơn ba điểm thẳng hàng lấy theo thứ tự đó và ký hiệu là :
Vậy A B C, , phân biệt thẳng hàng ta có:
( ABC ) = tương đương với AB =AC Trong trường hợp trong A B C, , có 2 điểm trùng nhau ta được:
Nh ậ n xét: Nếu k = ( ABC ) thì điểm A là tâm tỉ cự của hệ B C , gắn với họ hệ số 1;− k Khi k = − 1 thì ta có A là trung điểm của BC
Tính ch ấ t: Trong n cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng Ta có:
Trong mặt phẳng afin 2 với các điểm A, B, C, điểm M được xác định là trung điểm của đoạn thẳng BC nếu tỉ lệ (MBC) = -1 Để tìm tọa độ của điểm M, cần dựa vào các tọa độ đã cho của các điểm A, B, C trong mục tiêu đã chọn.
Trong mặt phẳng afin 2 cho mục tiêu A B C , , thì khi đó
A B C M là trung điểm của BC nếu ( MBC ) = − 1 do đó MB = − MC hay Từ điều trên thay toạ độ B, C vào ta được 1 1 ,
Bài tập tổng hợp chương 1:
Trong 4 với mục tiêu O A A A A; ,1 2, ,3 4 cho các điểm B 1 (1;0;0;0), (0,2,0,0)B 2 ,
(1) Viết phương trình của đường thẳng A M 1 và mặt phẳng ( A A A 2 3 4 ) Xét vị trí tương đối của hai cái phẳng này
(2) Viết phương trình của siêu phẳng đi qua các điểm B B B B 1 , , , 2 3 4
(3) Trên ta lấy một điểm N n n n n ( 1; ; ;2 2 4 ), trên các trục toạ độ OA i ta lấy điểm
M i có thành phần thứ i của toạ độ bằng n i i ( =1,2,3,4) Chứng minh rằng
= không phụ thuộc vị trí điểm N
(1) Ta có: A M 1 =(0;2;3;4) ĐiểmX =( x x x x 1; ; ;2 3 4 )A M 1 có phương V 1 =(0, 2;3;4), đi qua A 1 (1,0,0,0), nên ta có phương trình tham số của đường thẳng A M 1 :
Cái phẳng ( A A A 2 3 4 ) có phương V 2 ={(0; 1,1,0);(0; 1;0;1)}− − và đi qua A 2 (0;1;0;0) Điểm X =( x x x x 1; ; ,2 3 4 ) ( A A A 2 3 4 ), phương trình tham số của mặt phẳng ( A A A 2 3 4 ):
Ta có hệ V 1V 2 =(0,2;3;4);(0; 1,1,0);(0; 1;0;1)− − Xét ma trận với các dòng là các vectơ trong hệ trên:
Do đó hệ trên độc lập tuyến tính
Vậy 2 cái phẳng chéo nhau
Ta có cái phẳng ( ) =( B B B B 1 2 3 4 ) đi qua B 1 (1,0,0,0) có phương
Điểm x=( x x x x 1, ; ;2 3 4 )( ) , phương trình tham số của ( ) =( B B B B 1 2 3 4 ):
T OM B OM B OM B OM B OM B
Mặt khác ta có: OB 1 =(1,0;0;0); OM 1 =( n 1;0;0;0)=n 1(1,0,0;0) hay OM 1 =n OB 1 1
Do N n n n n( , , , ) 1 3 3, 4 thuộc , thay tọa độ N vào (1), ta có: 1 2 3 4 1 0
Vậy T không phụ thuộc vị trí điểm N
ÁNH XẠ AFIN
Định nghĩ ánh xạ afin và một số tính chất
2.1.1 Định nghĩa ánh xạ afin
Cho hai không gian afin và lần lượt liên kết với các không gian vecto và
Ánh xạ :f → được gọi là ánh xạ afin nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính
sao cho với mọi cặp điểm M N, ta có M N ' ' = ( ) MN , trong đó
Ánh xạ tuyến tính được xem là ánh xạ tuyến tính liên kết với ánh xạ afin f, và đồng thời cũng được coi là nền tảng của ánh xạ afin f.
2.1.2 Các tính chất quan trọng của ánh xạ afin i) Mỗi ánh xạ afin f : → chỉ có một ánh xạ tuyến tính liên kết duy nhất
Mỗi ánh xạ tuyến tính từ không gian vector đến không gian vector đều tồn tại một ánh xạ afin duy nhất, ký hiệu là f, sao cho f(I) = I’ với I thuộc không gian và I’ thuộc không gian Ánh xạ f này liên kết với ánh xạ tuyến tính .
26 iii) Cho n + 1 điểm độc lập A A 0 , , , 1 A n trong không gian afin nchiều n và cho
Trong không gian afin, với n điểm tùy ý A và A' (A0, A1, , An), tồn tại một ánh xạ afin duy nhất f: n → A' sao cho f(Ai) = A'i (với i = 0, 1, 2, , n) Nếu α là một mặt phẳng trong và có phương là α, thì f(α) cũng sẽ là một mặt phẳng trong.
Biểu thức toạ độ afin
2.2.1 Phương pháp để viết một biểu thức phép biến đổi afin f:
Cho phép biến đổi afin f : n → n của không gian afin n và : n → n là phép biến đổi tuyến tính liên kết với f
Trước tiên ta cần có một cơ sở mục tiêu Chọn trong n mục tiêu O ; với
Để thiết lập phương trình cho phép biến đổi afin f, cần xác định mối liên hệ giữa tọa độ (x1, x2, , xn) của điểm X thuộc không gian n và tọa độ (x'1, x'2, , x'n) của điểm f(X) tương ứng với một mục tiêu đã chọn.
cũng là một mục tiêu của n Trong đó O =( o o' , ' , , ' 1 2 o 3 ) và
' = ' , ' , , ' , = 1,2, , i i i i n e e e e i n đối với mục tiêu ban đầu
Ta có biểu thức chuyển đổi mục tiêu từ O , sang O , ' là:
Gọi A là ma trận chuyển đổi từ O , sang O , ' Khi đó A có dạng:
Ta gọi X = f X ( ), theo định nghĩa của f ta có ( ) OX = O X ' ' , với
Vậy điểm X' có tọa độ đối với mục tiêu O , ' là ( x x 1 , , , 2 x n )
Từ ( ) 1 ta rút ra được kết quả:
Do đó ta có được:
, khi đó ta thu được công thức của phép biến đổi afin f :
' = + x A x a (2) Với , x x là ma trận cột tọa độ của , X Xtrong mục tiêu ban đầu
Từ đây ta có phép biến đổi tuyến tính : n → n (liên kết với phép afin f ) có phương trình:
= x A x (3) Với x x, ' là ma trận cột của x và ( ) x đối với cơ sở đã chọn ban đầu
Thông thường, ta chọn O , , với e i =(0,0, ,1, ,0 ), số 1 nằm ở vị trí thứ i , 1,2, ,
Vậy để tìm được phương trình của phép biến đổi afin f , ta cần tìm các yếu tố sau:
Thứ nhất, ma trận chuyển đổi mục tiêu A giữa hai cơ sở từ O , sang O , '
Thứ hai, tìm tọa độ của O = f O ( ) đối với mục tiêu đã chọn
Sau đó gắn các ma trận tương ứng vào phương trình (2)
Chú ý rằng trong một số bài toán, yêu cầu về việc viết phép biến đổi affine f có thể khác với mục tiêu thông thường Trước khi thực hiện điều này, cần xác định mối liên hệ giữa phương trình của phép biến đổi affine đối với hai mục tiêu khác nhau.
Giả sử đối với mục tiêu afin O , phép afin f : n → n có phường trình:
= + x Ax a (*) Còn đối với mục tiêu afin E , phép afin f : n → n có phường trình:
Cả ma trận A và A' đều biểu diễn phép biến đổi tuyến tính liên quan đến phép affine f đối với cơ sở {ϕ, ψ} Từ đó, chúng ta có thể xác định mối liên hệ giữa A và A'.
A C A C Trong đó C là ma trận chuyển đổi cơ sở từ O , sang E ,
Trong (**), a ' là ma trận cột của E = f E ( ) đối với mục tiêu E , Áp dụng công thức đổi mục tiêu x C x= +m E , trong đó x m, E là ma trận cột tọa độ của điểm
E E trong mục tiêu O , và x ' là ma trận tọa độ cột của điểm E' trong mục tiêu
Trên thực tế ta có thể dễ dàng tìm được phương trình của phép biến đổi afin : n → n f bằng cách giải n + 1 hệ phương trình tuyến tính n + 1 phương trình n + 1
29 ẩn Giả sử trong mục tiêu afin đã chọn, phép afin f biến hệ điểm O O 0 ; i thành
Trong không gian afin n ta gọi phương trình tổng quát của phép biến đổi afin f có dạng là:
Chúng ta lần lượt thay thế các tọa độ của các điểm O O i , ' i = f O ( ) i , i = 0,1, , n vào hệ phương trình (***), từ đó tạo ra n + 1 hệ phương trình Hệ phương trình này bao gồm n phương trình với các ẩn a, b, k, , k = 1, 2, , n + 1 Bằng cách giải n + 1 hệ phương trình này, chúng ta sẽ xác định được phương trình của phép biến đổi afin f Đối với các không gian afin quen thuộc trong hai chiều và ba chiều, các phép biến đổi afin f có phương trình tương ứng như sau:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng afin 2 cho phép afin f biến đổi các điểm như sau:
Viết phương trình phép afin đối với mục tiêu đã chọn và đối với mục tiêu A B C , ,
Trong bài tập này, nếu đề không đề cập gì đến mục tiêu thì ta có thể chọn trong 2 mục tiêu thông thường là O ; với = e e 1 , 2 ={(1,0);(0,1)}
Phương trình phép afin với mục tiêu thông thường:
Như đã nêu trên, ta có hai phương pháp làm:
Phương pháp 1: Đầu tiên ta sẽ đi tìm ma trận chuyển đổi mục tiêu từ O , sang O , ' :
Gọi : 2 → 2 là phép biến đổi tuyến tính liên kết với f , ta có:
Ta tìm được ma trận chuyển đổi mục tiêu từ O , sang O , ' : = − 0 2 − − 1 1
Đối với cơ sở đã chọn, tọa độ của điểm O' được ký hiệu là (oo', 12) Để xác định ma trận a, ta cần ma trận cột tọa độ của điểm O', thực hiện bằng cách thay tọa độ điểm AA' vào phương trình phép biến đổi afin f.
Vậy phương trình phép biến đổi afin trong mục tiêu đã chọn là:
Gọi phương trình của phép biến đổi afin f có dạng:
Giải 3 hệ phương trình trên ta tìm được kết quả sau đây:
Vậy phương trình phép biến đổi afin trong mục tiêu đã chọn là:
Bây giờ ta viết phương trình phép afin với mục tiêu {𝐴, 𝐵, 𝐶}
Để xác định rõ mục tiêu lựa chọn, chúng ta cần xác định ma trận C, là ma trận chuyển cơ sở từ tập hợp {\(O, \epsilon\)} sang tập hợp {𝐴, 𝐵, 𝐶}.
Suy ra ma trận chuyển đổi cơ sở C là:
C = − − Như hướng dẫn chuyển đổi mục tiêu ở phần trên ta sẽ đi tìm ma trận A':
Phương trình biến đổi afin f trong cơ sở A B C được biểu diễn dưới dạng x ' = A x + a ', trong đó a ' là ma trận cột tọa độ của điểm A' = f(A) trong cơ sở này Để tìm ra a ', ta áp dụng phép biến đổi mục tiêu afin.
Phương trình đổi mục tiêu afin từ mục tiêu O , sang mục tiêu A B C , , là:
Công thức chuyển đổi tọa độ điểm A từ cơ sở O, sang cơ sở A, B, C được biểu diễn dưới dạng x = C x c, trong đó C là ma trận chuyển cơ sở và c là ma trận cột tọa độ của điểm A đối với cơ sở gốc Khi thay tọa độ của điểm A vào phương trình, ta có thể tính toán vị trí của điểm A trong hệ tọa độ mới.
Vậy phương trình biến đổi afin f đối với cở sở A A A A 0 , , , 1 2 3 :
Ví dụ 2: Trong không gian afin 3 cho một tứ diện ABCD Lập phương trình phép biến đổi afin f đối với mục tiêu A B C D , , , sao cho:
Do A B C D , , , là cơ sở nên ta có tọa độ của các điểm như sau:
A B C D Đầu tiên ta sẽ tìm ma trận chuyển đổi cơ sở từ A B C D , , , sang cơ sở B A C D , , ,
Do đó ma trận A chuyển đổi cơ là:
Phương trình biến đổi afin f có dạng:
Ta có: f A ( ) = = B ( 1,0,0 ) đối với cơ sở A B C D , , , Do đó ta được phương trình biến đổi afin f trong mục tiêu A B C D , , , là:
Điểm kép và phương bất biến
Giả sử :f → là một phép biến đổi afin của Một điểm Mcủa sẽ gọi là điểm kép của f nếu f M ( ) = M
2.3.2 Phương bất biến: Định nghĩa: Một phép biến đổi f mà có một đường thẳng α sao cho mọi đường thẳng song song với α (cùng vecto chỉ phương với α) đều biến thành chính nó thì α gọi là phương bất biến của phép afin f
Bài 1: Trong không gian afin 3 với mục tiêu đã chọn cho các điểm:
Tìm các điểm kép và phương bất biến của f
Gọi M x x x ( 1, ,2 3 )là điểm kép của f Suy ra là Mnghiệm của hệ phương trình sau:
Vậy phép afin f có một điểm kép là 8 1 3
Gọi u=( u u u 1; ;2 3 )là phương bất biến Khi đó: f u ( ) = k u , k
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên có nghiệm khác nghiệm tầm thường, tức là:
+ + + Phương trình trên có một nghiệm thực k = −1 và hai nghiệm phức Trong không gian afin thực, ta chỉ lấy nghiệm thực k = −1
Bài tập tổng hợp chương 2:
Trong 3 với mục tiêu đã chọn, cho các điểm sau:
(1) Chứng minh rằng hệ điểm A A A A 0, , ,1 2 3 và A A A A' , ' , ' , '0 1 2 3 đều độc lập
(2) Viết phương trình của phép biến đổi afin f : 3 → 3 sao cho ( ) i = ' , i =0,1,2,3 f A A i đối với mục tiêu đã chọn
Tìm các điểm kép và phương bất biến của hàm f, trong đó phương bất biến của phép affine là một vectơ v Vectơ này đảm bảo rằng qua phép affine, mọi đường thẳng l có vectơ chỉ phương v sẽ biến thành đường thẳng cùng phương với nó.
(4) Viết phương trình của phép biến đổi afin f đối với mục tiêu A A A A 0, , ,1 2 3
Trong bài tập này, nếu đề không đề cập gì đến mục tiêu thì ta có thể chọn trong 3 mục tiêu thông thường là O ; với = e e e 1 , , 2 3 ={(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}
(1) Để chứng minh hệ điểm độc lập ta đã có cách chứng minh ở học phần 1.1.4
Xét định thức của ma trận Dlà ma trận có các dòng là tọa độ của 3 vecto trên
Do đó hệ điểm A A A A 0, , ,1 2 3 là độc lập
Chứng minh tương tự với hệ điểm còn lại
(2) Như phương pháp làm đã nêu ở trên, ta có hai cách để làm bài tập này
36 Đầu tiên ta sẽ đi tìm ma trận chuyển đổi mục tiêu từ O , sang O , ' :
Gọi : 3 → 3 là phép biến đổi tuyến tính liên kết với f , ta có:
Đối với cơ sở đã chọn, tọa độ của điểm O' được ký hiệu là (o1, o2, o3) Để xác định ma trận a, ta sử dụng ma trận cột tọa độ của điểm O' Việc này được thực hiện bằng cách thay tọa độ điểm A (A0, 0, 0) vào phương trình của phép biến đổi afin f.
Vậy phương trình phép biến đổi afin f :
Ta gọi phương trình biến đổi afin f có dạng:
Giải 4 hệ phương trình trên ta tìm được kết quả sau đây:
Vậy phương trình phép biến đổi afin f :
(3) Gọi M x x x ( 1, ,2 3 )là điểm kép của f Suy ra là Mnghiệm của hệ phương trình sau:
Vậy phép afin f có một điểm kép là 8 1 3
Gọi u = ( u u u 1 ; ; 2 3 )là phương bất biến Khi đó: f u ( ) = k u , k
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên có nghiệm khác nghiệm tầm thường, tức là:
− − + Phương trình trên có ba nghiệm thực k = − 1 vàk = 1 22
− − , chọn u 1 = → = 1 u (1,4, − 22 1) − Vậy phương bất biến của phép biến đổi f gồm 3 họ vectơ như trên
(4) “Điểm đến” của câu này là ta sẽ tìm phương trình biến đổi afin f đối với cở sở
Để xác định rõ mục tiêu chọn, chúng ta cần tìm ma trận C, là ma trận chuyển cơ sở từ tập hợp O , sang tập hợp A A A A 0 , , , 1 2 3 .
Suy ra ma trận chuyển đổi cơ sở C là:
Như hướng dẫn chuyển đổi mục tiêu ở phần trên ta sẽ đi tìm ma trận A':
Phương trình phép biến đổi afin f trong cơ sở A0, A1, A2, A3 được biểu diễn dưới dạng x' = A x + a', trong đó a' là ma trận cột tọa độ của điểm A'0 = f(A0) trong không gian mục tiêu A0, A1, A2, A3 Để tìm ra a', ta sử dụng phép biến đổi mục tiêu afin.
Phương trình đổi mục tiêu afin từ mục tiêu O , sang mục tiêu A A A A 0 , , , 1 2 3 là:
Trong công thức trên, C đại diện cho ma trận chuyển cơ sở từ tập hợp O, sang tập hợp A0, A1, A2, A3 Đồng thời, c là ma trận cột tọa độ của điểm A0 liên quan đến mục tiêu O, Khi thay thế tọa độ của điểm A'0 vào phương trình, chúng ta sẽ nhận được kết quả mong muốn.
Vậy phương trình biến đổi afin f đối với cở sở A A A A 0 , , , 1 2 3 :
