NỘI DUNG
Thực trạng của vấn đề
Hình học không gian trong chương trình toán học phổ thông đóng vai trò quan trọng, không chỉ cung cấp kiến thức và kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinh những phẩm chất cần thiết như cẩn thận, chính xác và kỷ luật Đồng thời, nó phát triển tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ và tư duy sáng tạo, giúp học sinh nâng cao năng lực giải quyết vấn đề.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh lớp 12 thường e ngại môn Hình học không gian vì một số lý do chính Thứ nhất, kiến thức cơ bản về Hình học không gian được học ở lớp 11, nhưng nhiều học sinh không chú ý và không nắm vững kiến thức này, dẫn đến việc mất gốc khi lên lớp 12 Thứ hai, để học tốt môn Hình học, học sinh cần có tư duy nhạy bén và khả năng tưởng tượng phong phú, nhưng hiện nay nhiều em lại thiếu kiên nhẫn trong việc tìm kiếm phương pháp giải cho những bài toán khó Cuối cùng, một số giáo viên cũng có tư tưởng tiêu cực khi dạy môn này, cho rằng học sinh yếu kém nên không đầu tư vào việc giảng dạy, từ đó làm cho học sinh càng gặp khó khăn hơn trong việc tiếp cận kiến thức Hình học không gian.
Kết quả bài kiểm tra phần hình học không gian của các em trước khi thực hiện đề tài này không đạt yêu cầu cao do nhiều lý do.
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu
Cơ sở lí luận và thực tiễn
2.2.1 Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo (NLGQVĐ&ST) của học sinh là khả năng sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ để phân tích và đề xuất biện pháp cho các tình huống học tập và thực tiễn Điều này bao gồm việc lựa chọn giải pháp, thực hiện giải quyết vấn đề khi không có quy trình hay thủ tục sẵn có, đồng thời đánh giá và điều chỉnh giải pháp để linh hoạt áp dụng trong các hoàn cảnh và nhiệm vụ mới.
Cấu trúc NLGQVĐ&ST của học sinh bao gồm sáu thành tố quan trọng: nhận diện ý tưởng mới, phát hiện và làm rõ vấn đề, hình thành và triển khai ý tưởng mới, đề xuất và lựa chọn giải pháp, thực hiện và đánh giá giải pháp GQVĐ, cùng với tư duy độc lập Mỗi thành tố này phản ánh các hành vi cá nhân trong cả làm việc nhóm và làm việc độc lập trong quá trình giải quyết vấn đề.
- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học.
- Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.
- Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề đặt ra.
- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự.
2.2.2 Một số định nghĩa, định lý và tính chất liên quan
1 Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện, hay còn gọi là đa diện, được định nghĩa là hình được tạo thành từ một số hữu hạn các đa giác, với hai tính chất chính Thứ nhất, hai đa giác phân biệt chỉ có thể có điểm chung hoặc không, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung Thứ hai, mỗi cạnh của bất kỳ đa giác nào cũng phải là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác trong hình đa diện được gọi là một mặt, và các đỉnh cùng cạnh của những đa giác này lần lượt được xác định là các đỉnh và cạnh của hình đa diện.
2 Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài, trong khi điểm thuộc khối đa diện nhưng không nằm trong hình đa diện đó được gọi là điểm trong Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, còn tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
3 Phân chia và lắp ghép khối đa diện
Nếu một khối đa diện có thể được chia thành hai khối đa diện khác mà không có điểm chung, thì ta có thể lắp ghép hai khối đa diện này để tạo thành khối đa diện ban đầu.
4 Thể tích khối chóp và khối lăng trụ a) Thể tích khối chóp:
+ : Độ dài chiều cao khối chóp. b) Thể tích khối lăng trụ:
+ : Chiều cao của khối chóp.
Giải pháp cụ thể
Để giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện, học sinh cần hình thành quy trình tựa thuật toán, bao gồm ba bước chính: xác định hình dạng khối đa diện, áp dụng công thức tính thể tích phù hợp và thực hiện các phép tính cần thiết để đưa ra kết quả chính xác.
Bước 1: Xây dựng công thức tính
Trong bước này, chúng ta cần xác định đáy và đường cao của khối đa diện để từ đó thiết lập công thức tính thể tích của khối đa diện đó.
Bước 2: Tính các yếu tố thành phần trong công thức trên
Từ giả thiết ta đi tính đường cao và diện tích đáy của khối đa diện trên
Bước 3: Lắp các yếu tố đã tính được vào công thức và cho kết quả Để giúp cũng cố quy trình trên ta thực hiện ví dụ sau:
VÍ DỤ 1 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm Biết và Tính theo thể tích của khối chóp ?
Để tính thể tích của khối chóp, trước tiên cần xác định chiều cao của khối chóp đó Từ chiều cao đã chọn, ta có thể suy ra công thức tính thể tích một cách chính xác.
Khối chóp lại có đáy là hình chữ nhật và nên dễ dàng tính được diện tích đáy.
Để tính thể tích của khối chóp, trước tiên cần xác định độ dài đường cao Dựa vào kiến thức cơ bản trong hình học phẳng, việc tính toán độ dài đường cao của hình chóp trở nên đơn giản và dễ dàng.
Từ những phân tích trên ta suy ra lời giải như sau:
Xét tam giác ABC vuông tại B có:
Xét tam giác SOA vuông tại O có:
Thể tích của hình chóp là:
VÍ DỤ 2 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và có
Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Tính theo thể tích của khối chóp
Trong bài toán này, khối chóp chưa xác định rõ đường cao và đáy Để có thể áp dụng công thức tính toán, việc đầu tiên là xác định đường cao của khối chóp.
Giả thiết rằng mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng khác Theo định lý, nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của chúng sẽ cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Từ đó chỉ cần trong tam giác đều ta kẻ đường cao thì suy ra
Để hoàn thành yêu cầu bài toán thì nhiệm vụ còn lại là tính và
, mà việc này thì không còn khó khăn nữa.
Từ những phân tích trên ta suy ra lời giải như sau:
Gọi là trung điểm của cạnh Do đều nên
Hơn nữa (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC) nên Do đó là chiều cao của khối chóp suy ra
Do tam giác SAB đều cạnh a nên
Vậy thể tích khối chóp là:
VÍ DỤ 3 Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , ,
Tính theo thể tích của khối chóp ?
Trong bài toán này, khối chóp không được xác định rõ ràng đường cao và đáy Do đó, để có thể áp dụng công thức tính toán, trước tiên chúng ta cần xác định đường cao của khối chóp.
Theo định lý “Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau”, ta có thể suy ra rằng hình chiếu vuông góc của một đường lên mặt phẳng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Do đó, vấn đề cần giải quyết là xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tam giác ABD cân tại A có thể trở thành tam giác đều, dẫn đến việc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi xác định được đường cao của hình chóp, việc tính toán các yếu tố trở nên đơn giản hơn, từ đó giúp giải quyết bài toán hiệu quả.
Xét tam giác ABD cân tại A có nên tam giác ABD đều, suy ra tức là Vậy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng được xác định bởi các tam giác vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể được suy ra từ các yếu tố này.
Do đó trùng với suy ra
Như vậy hình chóp có đáy là hình thoi và chiều cao
Vậy thể tích khối chóp là:
Để tính thể tích của hình chóp có cạnh bên tạo với đáy một góc α và β, trong đó đáy là tứ giác với hai đường chéo vuông góc, ta cần xác định công thức thể tích khối chóp Thể tích V của khối chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * S * h, trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của hình chóp Việc xác định diện tích đáy tứ giác và chiều cao từ đỉnh xuống đáy sẽ giúp chúng ta tính toán thể tích một cách chính xác.
Trong bài toán này khối chóp chưa cho rõ đâu là đường cao, đâu là đáy
Vậy để xác lập được công thức tính thì ta phải xác định được đường cao của khối chóp này.
Khi kẻ một đường vuông góc từ đỉnh hình chóp xuống mặt đáy, ta thu được hình chiếu vuông góc, từ đó xác định được góc giữa Áp dụng giả thiết, ta có thể tính toán các yếu tố liên quan Việc xác định đường cao của hình chóp giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và dẫn đến lời giải cho bài toán.
Dựng Ta có: AH là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABCD).
Suy ra góc giữa và đáy là
Vậy thể tích khối chóp là
VÍ DỤ 5 Tính theo thể tích khối chóp biết , ,
Trong bài toán này khối chóp đã xác định được đường cao là
Vì vậy ta xác lập được công thức tính thể tích của khối chóp này.
Để tính thể tích khối chóp, trước tiên cần xác định đường cao của nó Chúng ta có thể sử dụng giả thiết về góc giữa hai mặt phẳng để hỗ trợ trong quá trình tính toán Khi dựng được góc giữa hai mặt phẳng, việc tính toán sẽ trở nên đơn giản hơn Từ đó, chúng ta có thể giải bài toán một cách hiệu quả.
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên
Xét tam giác ABC có:
Xét tam giác SAH vuông tại A có:
VÍ DỤ 6 Cho khối chóp có đáy là hình thoi tâm , ,
, , mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy góc Tính theo thể tích khối chóp ?
Trong bài toán này, khối chóp được xác định với đường cao rõ ràng, do đó chúng ta chọn đáy của khối chóp để tính toán Từ đó, chúng ta có thể thiết lập công thức tính thể tích cho khối chóp này.
Để tính thể tích của khối chóp có đáy là hình thoi, trước tiên ta cần xác định diện tích đáy Tiếp theo, việc tính đường cao của khối chóp là cần thiết, và do mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy có góc, ta sẽ sử dụng giả thiết này để tính độ dài đường cao Khi dựng được góc, việc tính độ dài đường cao sẽ trở nên đơn giản hơn, từ đó giúp giải bài toán một cách hiệu quả.
Ta có là hình thoi tâm cạnh a, nên các tam giác đều cạnh a
Gọi là đường cao của tam giác , ta có
Gọi H là hình chiếu của O lên CD
VÍ DỤ 7 Cho lăng trụ với các cạnh đáy là
Diện tích hình bình hành bằng và mặt bên vuông góc với mặt đáy Tính theo thể tích lăng trụ ?
