Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel
Trường chuyển vị
Shimpi và Patel [127] đã đề xuất lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, trong đó chuyển vị ngang được phân chia thành hai phần: chuyển vị ngang do uốn và chuyển vị ngang do trượt Theo lý thuyết Shimpi-Patel, chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang của một điểm trên dầm được mô tả bằng công thức u(x,z,t) = u0(x,t) − zwb,x(x,t).
Trong lý thuyết biến dạng trượt Shimpi-Patel, chuyển vị dọc trục tại một điểm trên trục x được ký hiệu là u0(x,t), trong khi các chuyển vị ngang do uốn và do trượt được ký hiệu là w b(x,t) và w s(x,t) Lý thuyết này bao gồm ba biến: u0, w b và w s Số lượng biến trong lý thuyết Shimpi-Patel tương đương với số biến của FSDT và lý thuyết của Shi, nhưng không bao gồm góc quay của thiết diện ngang θ hoặc góc trượt ngang γ0.
Biến dạng và ứng suất
Phương trình (2.25) cho các thành phần biến dạng dọc trục và biến dạng trượt dưới dạng sau đây ε xx =u 0,x −zw b,xx −f(z)w s,xx γ xz =g(z)ws,x
Với giả thiết đàn hồi tuyến tính, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng vẫn có dạng như phương trình (2.17).
Năng lượng biến dạng đàn hồi
Sử dụng biểu thức cho biến dạng và mối quan hệ ứng suất-biến dạng, ta có thể diễn đạt năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm bằng một công thức cụ thể.
(σ xx ε xx +τ xz γ xz )dV
A11u 2 0,x −2A12u 0,x w b,xx +A22w 2 b,xx −2A us u 0,x w s,xx +2A bs w b,xx w s,xx +A ss w 2 s,xx +A sh w 2 s,x i dx
(2.28) trong đó V là thể tích của dầm;A 11 , A 12 , A 22 , A us ,A bs , A ss ,A sh là các độ cứng dầm, có dạng
Động năng
Động năng của dầm dựa trên trường chuyển vị (2.25) cho bởi
(2.30) trong đóI11, I12, I22, I us , I bs , I ss là các mô-men khối lượng của dầm, định nghĩa bởi
Độ cứng và mô-men khối lượng của dầm 2D-FGSW có thể được xác định dễ dàng theo lý thuyết Shimpi-Patel, nhờ vào kỹ thuật trình bày được mô tả trong Mục 2.4.
Lý thuyết tựa 3D
Trường chuyển vị
Chuyển vị ngang trong lý thuyết biến dạng trượt do Vo và đồng nghiệp đề nghị
Chuyển vị trong dầm được phân chia thành hai loại: chuyển vị do uốn và do trượt, với việc bổ sung thành phần chuyển vị ngang để phản ánh sự co, giãn của chiều dày dầm Hơn nữa, chuyển vị dọc trục cũng được cải tiến nhằm đảm bảo ứng suất trượt được triệt tiêu trên hai mặt của dầm Lý thuyết này xem xét ảnh hưởng của sự co giãn theo chiều dày dầm, mang lại cái nhìn sâu sắc hơn về hành vi của kết cấu.
[79] được gọi là lý thuyết tựa 3D (quasi-3D theory).
Chuyển vị tại một điểm của dầm trong lý thuyết tựa 3D này có dạng u(x,z,t) =u0(x,t)−zw b,x (x,t)− f1(z)w s,x (x,t) w(x,z,t) =w b (x,t) +w s (x,t) +g1(z)wz(x,t)
Trong lý thuyết của Shimpi và Patel, các đại lượng 0 (x,t), w b (x,t) và w s (x,t) được định nghĩa cụ thể, trong khi w z (x,t) đại diện cho chuyển vị ngang do sự co giãn theo chiều dày của dầm Hơn nữa, f1(z) và g1(z) là các đa thức, với f1(z) có dạng f1(z) = 4z^3.
Trường hợpg1(z) =0và f1(z) = f(z)thì lý thuyết tựa 3D trong [79] trở về lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel trong [127].
Biến dạng và ứng suất
Véc-tơ biến dạng trong lý thuyết tựa 3D bao gồm ba thành phần chính: biến dạng dọc trục (ε xx ), biến dạng theo phương ngang (ε zz ) và biến dạng trượt (γ xz ) Các thành phần này được xác định từ phương trình (2.32) với công thức cụ thể như sau: ε xx = u ,x = u 0,x − zw b,xx − f 1 (z)w s,xx, ε zz = w ,z = g 1 (z) ,z w z và γ xz = u ,z + w ,x = g 1 (z)(w s,x + w z,x ).
Các thành phần ứng suất liên hệ với trường biến dạng (2.34) trên cơ sở định luật Hooke có dạng
Trong đó, σ xx, σ zz và τ xz lần lượt là ứng suất pháp theo trục x, ứng suất pháp theo trục z và ứng suất trượt Các hệ số C11, C13, C55 được xác định theo công thức sau:
Mô-đun đàn hồi và hệ số Poisson trong phương trình (2.36) phụ thuộc vào tọa độ x và z Nếu không tính đến ảnh hưởng của sự co, giãn theo chiều dày dầm (ε zz =0), thì có thể xác định rằng C 11 = E f và C 13 = 0.
Năng lượng biến dạng đàn hồi
Với lý thuyết tựa 3D, biểu thức cho năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm có dạng
(σ xx ε xx +σ zz ε zz +τ xz γ xz )dAdx (2.37)
Thế các phương trình (2.34) và (2.35) vào phương trình (2.37), ta nhận được
(2.38) trong đóA 11 ,A 12 , A 22 ,A 34 ,A 44 , A 66 ,G 12 ,G 22 ,G 44 và D 11 ,D 22 , D 44 là các độ cứng của dầm, được định nghĩa như sau
Trong phương trình (2.36), các tham số DoE f, G f và ν f đều phụ thuộc vào tọa độ x và z Do đó, hệ số độ cứng của dầm trong phương trình (2.39) được biểu diễn dưới dạng hàm của x.
Động năng
Với trường chuyển vị (2.32), động năng(T)của dầm có dạng
(2.40) vớiI11, I12, I22, I34, I44, I66 là các mô-men khối lượng, định nghĩa như sau
Chú ý rằng, ở đâyρ f (x,z)phụ thuộc vào cảxvàz, do đó các thành phần mô-men khối lượng này là hàm của biếnx.
Trong luận án này, phần tử dầm được phát triển dựa trên lý thuyết biến dạng trượt Shimpi-Patel và lý thuyết tựa 3D cho mô hình dầm 2D-FGSW hai pha Do khó khăn trong việc xác định các hệ số độ cứng và mô-men khối lượng bằng phương pháp giải tích, các tích phân trong phương trình cho độ cứng và mô-men khối lượng sẽ được tính toán thông qua tích phân số.
Ảnh hưởng của nền đàn hồi
Nền đàn hồi có ảnh hưởng quan trọng đến dao động của dầm, do đó, việc nghiên cứu ảnh hưởng này là cần thiết Các mô hình nền đàn hồi có thể được phân loại từ mô hình đơn giản như Winkler cho đến các mô hình phi tuyến phức tạp Luận án này áp dụng mô hình nền Pasternak, trong đó bao gồm các lò xo của nền Winkler và lớp trượt, nhằm tính toán sự tương tác giữa các lò xo và mô tả ảnh hưởng của nền đàn hồi đối với dao động của dầm.
Nền đàn hồi ảnh hưởng đến độ cứng của hệ dầm-nền, làm thay đổi ma trận độ cứng của kết cấu Ma trận độ cứng do nền đàn hồi Pasternak tạo ra có thể được xác định từ biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi U F tích lũy khi nền bị biến dạng Theo lý thuyết tựa 3D được mô tả bởi phương trình (2.34), năng lượng đàn hồi tích lũy trong quá trình biến dạng của nền có một dạng cụ thể.
Chiều dài của phần nền đàn hồi dầm nằm trên được ký hiệu là L F, trong khi k w và k s lần lượt đại diện cho độ cứng của các lò xo Winkler và lớp trượt Cần lưu ý rằng phương trình (2.42) được xác định dựa trên chuyển vị ngang tại mặt giữa của dầm, tức là tại z=0.
Tải trọng di động
Tải trọng di động tác động lên dầm được mô phỏng bằng lực di động có vận tốc thay đổi và khối lượng di động với vận tốc không đổi Để đánh giá tải trọng di động lên dầm, có thể sử dụng thế năng của tải trọng làm tiêu chí.
Trường hợp dầm chịu tác động của lực F 0 , di động với vận tốc v=v(t), thế năng của lực di độngV cho bởi công thức sau
Trong phương trình (2.43), F 0 w 0 (x,t)δ(x−s(t))dx mô tả tác động của lực F 0 tại vị trí x trên dầm theo thời gian t Hàm delta Dirac δ(.) được sử dụng để xác định vị trí tác động của lực, trong đó x là khoảng cách từ đầu trái dầm đến vị trí lực Thời gian t được tính từ thời điểm lực F 0 xuất hiện tại đầu trái của dầm Hàm số s(t) = vt mô tả chuyển động của lực F 0, với v là vận tốc và có thể được tính bằng công thức s(t) = v0t + 1.
2at 2 (2.44) vớiv0 là vận tốc ban đầu của lựcF0vàalà gia tốc của lực, được giả định là không đổi trong luận án này.
Khi dầm chịu tác động của khối lượng di động, cần xem xét ảnh hưởng của lực quán tính do khối lượng này gây ra, dẫn đến sự biến dạng của dầm Thế năng của khối lượng di động được xác định theo các nghiên cứu trước đây [40,41].
Trong phương trình (2.45), gia tốc trọng trường được ký hiệu là g = 9.81 (m/s²) và vận tốc của khối lượng di động được giả thiết là không đổi Các lực quán tính theo phương ngang và phương dọc của khối lượng di động được biểu diễn bằng mw¨ và mu¨ 0 Lực Coriolis và lực li tâm được ký hiệu lần lượt là 2mvw˙ ,x và mv 2 w ,xx Hàm delta Dirac δ(.) được sử dụng như trong phương trình (2.43), với x là hoành độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí hiện tại của khối lượng.
Phương trình vi phân chuyển động
Phương trình vi phân chuyển động cho dầm được xây dựng dựa trên nguyên lý biến phân Hamilton, cho phép thu nhận các biểu thức năng lượng liên quan Nguyên lý này có thể được diễn đạt dưới dạng δ.
[T −(U +V)]dt =0 (2.46) với các ràng buộc tại thời điểmt1vàt2 cho chuyển vị và góc quayδu0(t1) =δu0(t2) 0,δw0(t1) =δw0(t2) =0
Biểu thức năng lượng cho các lý thuyết dầm khác nhau dẫn đến phương trình vi phân chuyển động khác nhau Ví dụ, phương trình chuyển động cho dao động tự do của dầm 2D-FGSW dựa trên lý thuyết biến dạng trượt Shi có thể được xác định bằng cách áp dụng nguyên lý Hamilton cho năng lượng biến dạng đàn hồi và thế năng, theo các phương trình (2.19) và (2.22).
Do độ cứng A i j và mô-men khối lượng I i j phụ thuộc vào tọa độ x, nên việc tìm nghiệm cho hệ phương trình vi phân (2.47)-(2.49) bằng phương pháp giải tích gặp khó khăn Mô hình PTHH được phát triển trong chương sau sẽ được áp dụng để giải quyết các hệ phương trình vi phân này.
Chương 2 trình bày hai mô hình dầm sandwich ba lớp, bao gồm dầm 2D-FGSW hai pha và dầm 2D-FGSW ba pha, với cơ tính thay đổi theo chiều cao và chiều dài dầm theo quy luật hàm số lũy thừa Mô hình toán học được xây dựng dựa trên bốn lý thuyết biến dạng trượt khác nhau: lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, lý thuyết bậc ba Shi, lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel và lý thuyết tựa 3D Chương cũng trình bày các biểu thức năng lượng biến dạng của nền đàn hồi Pasternak và thế năng của tải trọng di động Đặc biệt, chương này cung cấp các biểu thức cho hệ số độ cứng và mô-men khối lượng của dầm 2D-FGSW ba pha, từ đó cho phép xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng trong chương sau bằng phương pháp giải tích mà không cần tích phân số.
Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất là cơ sở để phát triển mô hình PTHH trong các bài báo 3 và 4 Mô hình dầm 2D-FGSW ba pha cùng các mô hình toán học dựa trên lý thuyết này được trình bày trong bài báo số 6 và 7 Ngoài ra, bài báo số 8 giới thiệu mô hình toán học sử dụng lý thuyết bậc ba Shi.
Mô hình áp dụng lý thuyết Shimpi-Patel được đề cập trong bài báo số 8 và 11, trong khi mô hình dựa trên lý thuyết tựa 3D được trình bày trong các bài báo số 2 và 10, cụ thể trong phần "Danh mục công trình liên quan tới luận án" trên trang 125.
Mô hình PTHH
Phần tử dầm FBKO
Mô hình phần tử dầm được xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT), trong đó các chuyển vị và góc quay được coi là các hàm độc lập Mặc dù việc sử dụng các hàm tuyến tính để nội suy các chuyển vị và góc quay là phổ biến, nhưng phương pháp này gặp phải vấn đề nghẽn trượt và tốc độ hội tụ chậm Để khắc phục hiện tượng nghẽn trượt, cần áp dụng các giải pháp đặc biệt như phép cầu phương bậc thấp, tuy nhiên, các giải pháp này không cải thiện đáng kể khả năng hội tụ Luận án này đề xuất sử dụng các đa thức Kosmatka để giải quyết những vấn đề nêu trên.
To interpolate the displacement field for the element using the First-Order Shear Deformation Theory (FSDT), the element developed in this section is designated as 'FBKO' (First-order shear deformation beam element using Kosmatka interpolation).
3.1.1 Chuyển vị nút và hàm nội suy Kosmatka
Kosmatka [134] đã phát triển phần tử dầm Timoshenko, trong đó các đa thức từ giải phương trình vi phân cân bằng thuần nhất được sử dụng làm hàm nội suy cho trường chuyển vị Kết quả cho thấy phần tử này không bị nghẽn màng và có sự hội tụ vượt trội so với phần tử sử dụng hàm nội suy tuyến tính Ý tưởng này đã được mở rộng bởi Chakraborty và cộng sự [135], Shahba và cộng sự [33] cho dầm FGM, và được áp dụng cho dầm 2D-FGSW trong nghiên cứu này.
Tại mỗi nút của phần tử dầm hai nút theo lý thuyết FSDT, có ba bậc tự do: chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang và góc quay Véc-tơ chuyển vị nút của phần tử, được ký hiệu là d e, bao gồm sáu thành phần, với d e = {d u d b} T, trong đó d u = {u1 u2} T và d b = {w1 θ1 w2 θ2} T.
Trong phương trình, d u và d b đại diện cho véc-tơ chuyển vị dọc trục và véc-tơ chuyển vị uốn Các thành phần chuyển vị tại nút i được ký hiệu lần lượt là u i, w i và θ i (i=1,2), tương ứng với chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang và góc quay Chỉ số 'T' trong phương trình (3.1) và các phương trình dưới đây biểu thị cho chuyển vị của véc-tơ hoặc ma trận.
Các chuyển vị và góc quay được nội suy từ các chuyển vị nút theo công thức u=N u d u , w=N w d b , θ =N θ d b (3.3) trong đó
N u ={N u1 N u2 }, N w ={N w1 N w2 N w3 N w4 }, N θ ={N θ 1 N θ 2 N θ 3 N θ 4 } (3.4) tương ứng là các ma trận các hàm nội suy chou0,w0 vàθ.
Các hàm tuyến tính được sử dụng chou0, trong khi, như đã nói ở trên, các hàm Kosmatka được dùng chow0 vàθ Cụ thể
Trong các phương trình (3.6) và (3.7),φ là tham số biến dạng trượt, được định nghĩa như sau φ = 12A22 l 2 ψA33
Độ cứng chống uốn (A22) và độ cứng chống trượt (A33) của dầm 2D-FGSW được xác định theo công thức trong Chương 2 Khi ảnh hưởng của biến dạng trượt không đáng kể (A33 ≈ ∞), tham số biến dạng trượt có thể bỏ qua (φ ≈ 0), dẫn đến việc các hàm dạng Kosmatka trở lại dạng Hermite quen thuộc Ngoài ra, các hàm nội suy cho góc quay chính được xác định bằng đạo hàm của các hàm dạng chuyển vị ngang Do đó, phần tử dầm sử dụng hàm nội suy Kosmatka có khả năng mô phỏng hiệu quả các dầm có độ mảnh lớn mà không gặp hiện tượng nghẽn màng.
Với các hàm nội suy (3.5)-(3.7), ta có thể viết năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm cho bởi phương trình (2.9) dưới dạng
Trong phương trình ∑ d T e k e (3.9), NE đại diện cho tổng số phần tử được sử dụng để rời rạc hóa dầm, trong khi k e là ma trận độ cứng của phần tử dầm Ma trận này có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận con, giúp dễ dàng trong việc tính toán và phân tích kết cấu.
k aa k ab k T ab k bb +k ss
Ma trận độ cứng k aa, k ab, k bb và k ss lần lượt đại diện cho các yếu tố ảnh hưởng đến biến dạng trong các tình huống khác nhau: kéo nén dọc trục, tương hỗ giữa biến dạng dọc trục và uốn, biến dạng do uốn, và tương hỗ giữa uốn và trượt Các ma trận này được biểu diễn dưới dạng k aa và Z l.
3.1.3 Ma trận khối lượng Động năng của dầm cho bởi công thức (2.11) cũng có thể viết dưới dạng
∑ d ˙ e T m e d ˙ e (3.12) trong đó m e là ma trận khối lượng phần tử và viết được dưới dạng ma trận con như sau: m e
Ma trận khối lượng phần tử trong (3.14) phản ánh các chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang, sự tương hỗ giữa chuyển vị dọc và sự quay của thiết diện ngang Những ma trận này được gọi là ma trận khối lượng phần tử nhất quán, vì chúng được tạo ra bằng cách sử dụng cùng một hàm dạng với trường chuyển vị.
Phần tử dầm TBSH
Mô hình phần tử thanh được xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shi Trong mô hình này, các ẩn số bao gồm chuyển vị u0, w0, góc trượt ngang γ0 và đạo hàm của chuyển vị ngang w0,x Để mô phỏng, hàm nội suy tuyến tính được áp dụng cho u0 và γ0, trong khi các đa thức Hermite được sử dụng cho w0 Phần tử này được ký hiệu là ‘TBSH’ (Phần tử thanh bậc ba dựa trên lý thuyết Shi).
3.2.1 Chuyển vị nút và nội suy
Khác với phần tử FBKO, phần tử TBSH có cấu trúc tại mỗi nút bao gồm bốn thành phần Cụ thể, véc-tơ chuyển vị tại nút e được biểu diễn dưới dạng d e = {u1, w1, wx1, γ1, u2, w2, wx2, γ2}^T, trong đó các giá trị i, w i, w xi và γ i (i=1,2) tương ứng với các giá trị của u0, w0, w0,x và γ0 tại nút.
Các chuyển vị u0(x,t), w0(x,t) và góc trượt ngang γ0(x,t) được nội suy từ chuyển vị nút như sau u0=Nd e, w0=Hd e, γ0=Nd e, (3.16)
Các ma trận hàm dạngNvàHtrong phương trình (3.16) có dạng như sau
Các hàm nội suy tuyến tínhN1vàN2 cho bởi phương trình (3.5), trong khi các đa thức HermiteH i , (i=1 4)có dạng dưới đây
3.2.2 Ma trận độ cứng Đưa các hàm nội suy nêu trên vào biểu thức năng lượng biến dạng của dầm, phương trình (2.19), ta có thể viết lại năng lượng biến dạng dưới dạng ma trận như phương trình (3.9) với véc-tơ độ cứng phần tửk e có kích thước(8×8)và có thể viết dưới dạng k e
Ma trận độ cứng phần tử k uu, k uw, và k γγ được hình thành từ các loại biến dạng khác nhau như biến dạng dọc trục, uốn, và biến dạng trượt, cũng như sự tác động tương hỗ giữa các biến dạng này Biểu thức cụ thể cho các ma trận độ cứng này là k uu = Z l 0.
Mô hình phần tử dầm FBKO và TBSH trong luận án này được phát triển cho mô hình dầm 2D-FGSW ba pha Các hệ số độ cứng Aij trong phương trình (3.20) có thể được xác định dưới dạng hiện, do đó các ma trận độ cứng trong phương trình này cũng có thể được nhận diện dưới dạng hiện.
Tương tự như năng lượng biến dạng đàn hồi, động năng của dầm có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận Ma trận khối lượng phần tử \( m_e \) cũng có thể được phân tách thành các ma trận con.
Biểu thức cụ thể cho các ma trận con trong phương trình trên như sau m uu Z l
Giống như ma trận độ cứng, với mô hình dầm 2D-FGSW ba pha các ma trận khối lượng trong phương trình (3.22) cũng có thể nhận được dưới dạng hiện.
Phần tử dầm TBSE
Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shimpi và Patel, được trình bày trong Mục 2.5, được áp dụng để phát triển phần tử dầm trong bài viết này Để nâng cao khả năng hội tụ, phần tử được xây dựng bằng cách sử dụng các hàm thứ bậc làm giàu cho các hàm nội suy Lagrange và Hermite thông thường.
3.3.1 Hàm nội suy Lagrange và Hermite
Theo lý thuyết biến dạng trượt bậc ba Shimpi-Patel, với các hàm u 0, w b và w s là các hàm độc lập, chúng ta có thể xây dựng phần tử dầm hai nút Véc-tơ chuyển vị của nút phần tử bao gồm mười thành phần, được biểu diễn dưới dạng d e = {d u d b d s} T Cụ thể, d u = {u01 u02} T, d b = {w b1 w b1,x w b2 w b2,x} T và d s = {ws1 w s1,x w s2 w s2,x} T.
Các véc-tơ chuyển vị dọc trục và ngang do uốn, trượt tại các nút phần tử được xác định qua công thức nội suy Chuyển vị bên trong phần tử được tính toán từ chuyển vị tại các nút, với các ma trận hàm nội suy được sử dụng để diễn đạt mối quan hệ này.
Các hàmN0, N1là các hàm tuyến tính, cho bởi phương trình (3.5), trong khi các hàm
H0, H1, H2, H3 là các đa thức Hermite (3.18) Để thuận tiện cho việc trình bày, các hàm tuyến tính và Hermite được ký hiệu lại như trong phương trình (3.26).
Sử dụng phép nội suy, năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm có thể được biểu diễn dưới dạng (3.9), trong đó ma trận độ cứng phần tử \( k_e \) có kích thước 10×10.
Các ma trận độ cứng k u 0 u 0 , k w b w b và k w s w s sinh ra từ biến dạng dọc trục, biến dạng uốn và biến dạng trượt và xác định được theo công thức k u 0 u 0 Z l
H T ,xx A ss H ,xx+H T ,x A sh H ,x dx
(3.28) trong khi các ma trận tương hỗk u 0 w b , k u 0 w s vàk w b w s có dạng k u 0 w b =−
Tương tự, ma trận khối lượng phần tử m e cũng có thể viết dưới dạng các ma trận con như sau m e
Phần tử dầm được phát triển bởi Vo và cộng sự trong nghiên cứu [64] nhằm phân tích dao động và mất ổn định của dầm 1D-FGSW.
3.3.2 Phần tử với nội suy làm giàu
3.3.2.1 Hàm làm giàu thứ bậc Để cải thiện tính hội tụ của phần tử dầm, phép nội suy (3.25) trên cơ sở các hàm nội suy Lagrange và Hermite được làm giàu trong luận án này bằng các hàm đa thức bậc cao Khi đó hàm nội suy (3.25) được thay thế bởi u 0 =Nd u +Nˆ 5 dˆ u w b =Hd b +Hˆ 7 dˆ b w s =Hd b +Hˆ 7 dˆ s
Nˆ 5 ={N2 N 3 N 5 }, Hˆ 7 ={H4 H 5 H 7 } (3.33) tương ứng là các ma trận của hàm nội suy bậc năm và bậc bảy, được thêm vào (3.25); dˆ u ,dˆ b ,dˆ s là các véc-tơ của các bậc tự do thêm vào với dạng sau dˆ u ={a1 a2 a3 a4} T dˆ b ={a b1 a b2 a b3 a b4 } T dˆ s ={a s1 a s2 a s3 a s4 } T
(3.34) trong đóa1 a4,a b 1 a b 4 vàa s1 a s4 là các bậc tự do được thêm vào.
Các hàm thứ bậc N p+1 (với p từ 1 đến 4) và H k+1 (với k từ 3 đến 6) trong phương trình (3.32) có thể được khởi tạo mà không cần thêm các nút, chỉ sử dụng các tham số không cần có ý nghĩa cơ học cụ thể Theo nghiên cứu của Solin, N p+1 và H k+1 được định nghĩa là các hàm thứ bậc (hierarchical functions).
Các đa thức Legendre chuẩn hóa \( L_p \) được định nghĩa với điều kiện \( \| L_p \|_{L^2(-1,1)} = 1 \) cho mọi \( p \geq 0 \) Các hàm này có tính trực giao và đối xứng, tạo ra các dạng thứ bậc đặc trưng.
Trong các phương trình trênξ =2x/l−1là tọa độ tự nhiên.
Với phép nội suy làm giàu cho bởi phương trình (3.32), véc-tơ các bậc tự do của phần tử có dạng d e
={d u dˆ u d b dˆ b d s dˆ s } T (3.38) trong đód u ,d b vàd s cho bởi phương trình (3.24) còndˆ u ,dˆ b vàdˆ s cho bởi (3.34).
Bằng cách áp dụng phép nội suy (3.32), chúng ta có thể chuyển đổi biểu thức năng lượng biến dạng của dầm (2.28) thành dạng ma trận (3.9) Trong đó, ma trận độ cứng phần tử k e được phân chia thành các ma trận con tương ứng.
k uu k u u ˆ k ub k u b ˆ k us k u s ˆ k T u u ˆ k u ˆ u ˆ k ub ˆ k u ˆ b ˆ k us ˆ k u ˆ s ˆ k T ub k T ub ˆ k bb k b b ˆ k bs k b s ˆ k T u b ˆ k T u ˆ b ˆ k T b b ˆ k ˆ b b ˆ k ˆ bs k ˆ b s ˆ k T us k T us ˆ k T bs k T bs ˆ k ss k sˆ s k T u s ˆ k T u ˆ s ˆ k T b s ˆ k T b ˆ s ˆ k T sˆ s k sˆ ˆ s
Các ma trận con trên đường chéo trong ma trận (3.39) có dạng k uu
(3.40) trong khi đó các ma trận con của độ cứng tương hỗ trong (3.39) có dạng k u u ˆ
3.3.2.3 Ma trận khối lượng Động năng của dầmT cho bởi phương trình (2.30) viết dưới dạng ma trận như sau
∑ d ˙ T m e d ˙ (3.42) trong đó m e là ma trận khối lượng phần tử, có thể phân tách thành các ma trận con như sau m e
m uu m u u ˆ m ub m u b ˆ m us m u s ˆ m T u u ˆ m u ˆ u ˆ m ub ˆ m u ˆ b ˆ m us ˆ m u ˆ s ˆ m T ub m T ub ˆ m bb m b b ˆ m bs m b s ˆ m T u b ˆ m T u ˆ b ˆ m T b b ˆ m ˆ b b ˆ m ˆ bs m ˆ b s ˆ m T us m T us ˆ m T bs m T bs ˆ m ss m s s ˆ m T u s ˆ m T u ˆ s ˆ m T b s ˆ m T b ˆ s ˆ m T s s ˆ m s ˆ s ˆ
Các ma trận con trên đường chéo của ma trận (3.43) có dạng như sau m uu
Các ma trận con ngoài đường chéo của ma trận khối lượng (3.43) có dạng m u u ˆ
Trong mô hình dầm 2D-FGSW hai pha, việc xây dựng dạng hiện cho các hệ số độ cứng A i j và mô-men I i j là không khả thi Do đó, phép cầu phương Gauss được áp dụng để tính toán các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng theo các phương trình (3.40)-(3.45) Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng việc sử dụng phép cầu phương Gauss với 6 điểm theo chiều cao và 6 điểm dọc theo chiều dài phần tử là đủ để đánh giá chính xác các ma trận này Phần tử dầm với các hàm nội suy làm giàu được ký hiệu là 'TBSE' (Third-order beam element based on Shimpi-Patel theory with enriched interpolation).
Phần tử dầm Q3DB
Mục này trình bày việc xây dựng phần tử dầm hai nút theo lý thuyết biến dạng trượt tựa 3D được đề cập trong Mục 2.6 Phần tử này được ký hiệu là ‘Q3DB’ (phần tử dầm quasi 3D).
Phần tử dầm trong lý thuyết tựa 3D không chỉ bao gồm các chuyển vị nút d u, d b, d s mà còn có thêm các chuyển vị theo trục z Do đó, véc-tơ chuyển vị cho phần tử d e có dạng d e 12×1.
Trong phương trình (3.46), các đại lượng d u, d b và d s được định nghĩa theo phương trình (3.24) Đồng thời, biến z được biểu diễn dưới dạng d z = {w z1, w z2}^T (3.47), trong đó w z1 và w z2 là các chuyển vị theo phương z tại các nút 1 và nút 2 của phần tử.
Sử dụng phép nội suy tuyến tính cho các biến u0 và wz, cùng với các hàm Hermite cho chuyển vị ngang do uốn wb và trượt ws, ta có thể diễn đạt như sau: u0 = Nd u, wz = Nd z, wb = Hd b, và ws = Hd s Trong đó, N = {N1, N2} với các hàm tuyến tính Ni (i=1,2) được xác định bởi phương trình (3.5), và H = {H1, H2, H3, H4} với các hàm Hermite Hi (i=1 4) được mô tả bởi (3.18).
Sử dụng phép nội suy, năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm trong phương trình (2.34) có thể được diễn đạt dưới dạng ma trận như (3.9) Ma trận độ cứng phần tử k e được xác định thông qua các ma trận con.
Trong phương trình, các ma trận con k u 0 u 0, k w b w b, k w s w s, và k w z w z đại diện cho ma trận độ cứng tương ứng với biến dạng dọc trục, biến dạng do uốn, biến dạng do trượt, và biến dạng do sự dãn dày Các ma trận này có cấu trúc như sau: k u 0 u 0, Z l, 0.
Các ma trận con \( k_{u0w_b}, k_{u0w_s}, k_{u0w_z}, k_{w_b w_s}, k_{w_b w_z}, k_{w_s w_z} \) trong (3.49) thể hiện mối quan hệ tương hỗ giữa các loại biến dạng như biến dạng dọc trục với uốn, trượt, và dãn dày Cụ thể, ma trận \( k_{u0w_b} \) được xác định với giá trị âm, phản ánh sự tương tác giữa biến dạng dọc trục và uốn.
Để phép nhân ma trận trong các phương trình (3.50) và (3.51) được thực hiện một cách tương thích, ma trận các hàm nội suy N và H được đề cập trong (3.48) cần phải được điều chỉnh bằng cách thêm các hệ số 0, nhằm đạt kích thước (12×1).
Với trường nội suy lựa chọn trong Mục 3.4.1 ta cũng có thể biểu diễn động năng (2.40) dưới dạng (3.12) với ma trận khối lượng phần tửm e có dạng m e 12×12
Phần tử Q3DB trong nghiên cứu này được áp dụng để phân tích dầm 2D-FGSW hai pha Để tính toán các tích phân trong các phương trình (3.50), (3.51) và (3.53), phương pháp cầu phương Gauss với 6 điểm theo chiều cao và chiều dài phần tử sẽ được sử dụng Mặc dù đã thử nghiệm với nhiều hơn 6 điểm Gauss, nhưng không có sự cải thiện đáng kể nào trong kết quả, vì vậy luận án này sẽ tuân thủ việc sử dụng 6 điểm Gauss.
Ma trận độ cứng của nền đàn hồi
Năng lượng biến dạng do nền đàn hồi U F cho bởi phương trình (2.42) có thể viết dưới dạng
Công thức ∑ d T e k F d e (3.54) thể hiện rằng NEF là số phần tử dùng để rời rạc chiều dài của phần nền mà dầm tựa lên Ma trận độ cứng của nền biến dạng k F có cấu trúc 12×12.
Các ma trận con trong phương trình trên có dạng sau đây k F w b w b =k F w s w s =k F w b w s Z l 0
Ma trận độ cứng của phần tử trên nền đàn hồi được tính bằng tổng hợp ma trận độ cứng của dầm và nền, tức là k e + k F Ngược lại, đối với các phần tử không nằm trên nền đàn hồi, ma trận độ cứng chỉ bao gồm đóng góp từ k e.
Ma trận và véc-tơ tải trọng di động
Dao động của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng di động là một bài toán quan trọng trong cơ học, có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong giao thông vận tải và thiết kế máy Sự thay đổi vị trí của tải trọng theo thời gian là nguồn duy nhất gây ra rung động của kết cấu, đòi hỏi các kỹ thuật phân tích đặc biệt Đối với dầm thuần nhất, nghiệm giải tích cho một số bài toán chịu tải trọng di động được trình bày dựa trên biến đổi Fourier và Laplace trong sách chuyên khảo của Frýba Gần đây, dao động của dầm FGM và FGSW chịu tải trọng di động đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả như Sáimsáek, Khalili và Esen Để phân tích dao động của kết cấu, ngoài ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của dầm, cần xác định véc-tơ lực nút và các ma trận sinh ra từ tải trọng di động Mục này sẽ thiết lập véc-tơ tải trọng nút phần tử và các ma trận liên quan khi khối lượng di động trên dầm biến dạng.
Trong trường hợp dầm chịu tải trọng là lực di động F0, việc áp dụng phép nội suy cho trường chuyển vị cho phép chúng ta biểu diễn thế năng của lực F0 thông qua phương trình (2.43).
Véc-tơ tải trọng nút phần tử f ex, được xác định theo lý thuyết dầm và hàm nội suy, có thể được biểu diễn bằng công thức ∑ d T e f ex (3.57) Đối với phần tử FBKO, các hàm nội suy Kosmatka được sử dụng như đã trình bày trong Mục 3.1, dẫn đến véc-tơ lực nút f ex có dạng f ex = { 0 F0N w1 |x e F0N w2 |x e 0 F0N w3 |x e F0N w4 |x e} T (3.58).
Trong phương trình, N wi | x e (i = 1 4) đại diện cho ma trận các hàm dạng cho chuyển vị ngang, được đánh giá tại hoành độ x e, tức là vị trí hiện tại của lực F0 tính từ nút trái của phần tử chịu lực Để xác định véc-tơ lực nút f ex, cần biết hoành độ x e, điều này có thể dễ dàng xác định khi biết vị trí hiện tại của lực di động so với nút trái của dầm.
Véc-tơ lực nút tổng thể cho toàn dầmFcó dạng như sau
F={0 0 0 0 0 0 f ex 0 0 0 0 0 0} T (3.59) tức là bằng 0 cho mọi phần tử ngoại trừ phần tử có lựcF0 tác động.
3.6.2 Phần tử khối lượng di động
Phần tử khối lượng di động được hình thành từ ảnh hưởng của lực quán tính, lực Coriolis và lực li tâm khi dầm chịu tác dụng của khối lượng di động m, dẫn đến một biểu thức thế năng phức tạp hơn Bằng cách sử dụng các hàm nội suy cho trường chuyển vị, chúng ta có thể diễn đạt thế năng theo phương trình (2.45) một cách rõ ràng hơn.
Phương trình (3.60) mô tả mối quan hệ giữa các ma trận khối lượng (m m), ma trận cản (c m) và ma trận độ cứng (k m) trong một hệ thống chịu tác động của lực quán tính, lực Coriolis và lực ly tâm khi khối lượng m chuyển động trên dầm Véc-tơ lực nút phần tử (f m) cũng được đưa vào phương trình này Cấu trúc cụ thể của các ma trận và véc-tơ phụ thuộc vào lý thuyết dầm và hàm nội suy được chọn Đối với lý thuyết dầm 3D và các hàm dạng tuyến tính cho chuyển vị dọc trục, cùng với hàm dạng Hermite cho chuyển vị ngang, các ma trận và véc-tơ trong phương trình (3.60) sẽ có dạng cụ thể là m m 12×12=m.
Kí hiệu [.] x e trong các phương trình (3.61)-(3.64) đại diện cho các ma trận hàm nội suy tại vị trí hiện tại của khối lượng m Ngoài phần tử chịu khối lượng di động, các ma trận phần tử m m, c m, k m và véc-tơ lực f m đều bằng 0 Véc-tơ tải trọng tổng thể cho toàn dầm có dạng tương tự như phương trình (3.59), nhưng véc-tơ lực nút phần tử f ex được thay thế cho véc-tơ f m trong phương trình (3.64).
Phương trình chuyển động rời rạc
Bằng cách sử dụng các biểu thức của ma trận độ cứng và ma trận khối lượng phần tử, chúng ta có thể kết hợp chúng để tạo ra ma trận độ cứng và ma trận khối lượng tổng thể cho dầm Khi không xem xét ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGSW có thể được diễn đạt bằng ngôn ngữ PTHH.
Phương trình (3.65) mô tả mối quan hệ giữa các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc của nút trong toàn bộ dầm, được biểu diễn bởi D, D˙ và D¨ Trong đó, M, M m, C m, K, K m là các ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng tương ứng, còn F là véc-tơ lực nút Các véc-tơ và ma trận này được xây dựng thông qua việc kết hợp các véc-tơ và ma trận phần tử, tạo thành một hệ thống thống nhất cho việc phân tích cấu trúc.
Dấu tổng trong các phương trình (3.66) và (3.67) thể hiện việc kết hợp các véc-tơ và ma trận phần tử thành véc-tơ và ma trận tổng thể trong phân tích PTHH Cần lưu ý rằng đối với dầm chịu lực di động, các ma trận M_m, C_m và K_m sẽ bằng 0.
Trong trường hợp dao động tự do, các ma trận M m, C m, K m và vế phải của phương trình (3.65) được gán bằng 0, dẫn đến việc nhận được phương trình dao động tự do của dầm.
Khi giả thiết về kết cấu dao động điều hòa được áp dụng mà không có lực ngoại tác, phương trình (3.68) sẽ dẫn đến bài toán giá trị riêng của định thức theo tần số ω.
Phương trình K−ω 2 MD¯ 0 (3.69) mô tả mối quan hệ giữa tần số tuần hoàn ω và biên độ dao động D¯ Nghiệm của phương trình này cho phép xác định các tần số dao động riêng và các mốt dao động tương ứng của dầm.
Phương pháp Newmark
Để giải phương trình chuyển động (3.65), ngoài việc xác định các điều kiện biên tại hai đầu dầm, cần phải biết điều kiện ban đầu, bao gồm chuyển vị D và vận tốc D˙ tại thời điểm t = 0 Một trong những điều kiện phổ biến là kết cấu ở trạng thái dừng tại thời điểm ban đầu.
Có nhiều phương pháp để giải phương trình chuyển động (3.65), trong đó phương pháp tích phân trực tiếp Newmark được nhiều nhà khoa học ưa chuộng Phương pháp này thường được kết hợp với phương pháp PTHH để tính toán đáp ứng động lực học của kết cấu.
Trong phương pháp Newmark, tổng thời gian dao động của kết cấu được chia thành các bước thời gian nhỏ ∆t Phương trình chuyển động của kết cấu với ma trận khối lượng M¯, ma trận cản C¯ và ma trận độ cứng K¯ được thiết lập cho thời điểm (n+1)∆t.
Chuyển vị và vận tốc tại thời điểm mới (n+1)∆t được tính từ các giá trị đã biết tại thời điểm trước đó, như (n−1)∆t Hai thuật toán tích phân trực tiếp, bao gồm thuật toán hiện và thuật toán ẩn, có sự khác biệt về tính ổn định của lời giải số Phương pháp gia tốc trung bình, một thuật toán ẩn với sự ổn định không điều kiện của lời giải số, được áp dụng trong luận án này.
Chuyển vị, vận tốc tại thời điểm mới(n+1)∆t trong phương pháp gia tốc trung bình có thể nhận được từ khai triển Taylor tại vị trín∆t như sau
Phương trình (3.72) cho vận tốc và gia tốc tại thời điểm(n+1)∆t dưới dạng
Kết hợp phương trình (3.73) với phương trình chuyển động (3.71) ta được phương trình để xác định chuyển vị nút tại thời điểm mới(n+1)∆t dưới dạng
(3.76) Quy trình tính toán số theo phương pháp gia tốc trung bình trình bày trên như sau
1 Thiết lập các ma trận M¯ ,C¯,K¯ của dầm.
2 Gán điều kiện ban đầun=0:D 0 0,D˙ 0 0.
3 Gia tốc tại thời điểm ban đầu nhận được từ phương trình chuyển động
4 Cho n=1, thiết lập ma trận độ cứngK eff theo phương trình (3.75), vec-tơ lực
5 Giải phương trình (3.74) để nhận đượcD n+ 1
6 Cập nhập vận tốc và gia tốc theo phương trình (3.73).
7 Xuất kết quả và chuyển sang bước thời gian mới(n+1)∆t và quay lại bước 4.
Sơ đồ khối tính toán đáp ứng động lực học của dầm sandwich 2D-FGM trên nền đàn hồi chịu tác động của khối lượng di động được thực hiện qua phương pháp gia tốc trung bình với phần tử dầm Q3DB, như minh họa trong Hình 3.1 Các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ tổng thể được xác định bằng hàm nội suy Lagrange và Hermite để nội suy trường chuyển vị Trong đó, "nST EP" là tổng số bước trong thuật toán Newmark Các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm mới (n+1)∆t được ký hiệu là D n+1, D˙ n+1, D¨ n+1, trong khi tại thời điểm cũ (n) là D 0, D˙ 0, D¨ 0 Ở đầu vòng lặp, các véc-tơ mới được gán thành các véc-tơ cũ thông qua các lệnh: D 0 =D n+1, D˙ 0 =D˙ n+1, D¨ 0 =D¨ n+1.
Chương 3 xây dựng bốn mô hình phần tử dầm hai nút, bao gồm FBKO, TBSH, TBSE và Q3DB, dựa trên các lý thuyết biến dạng trượt từ Chương 2, với sự lựa chọn hợp lý các hàm nội suy Đặc biệt, phần tử TBSE được cải tiến bằng cách làm giàu các hàm nội suy Lagrange và Hermite với các hàm bậc cao nhằm tăng cường sự hội tụ Chương này cũng thiết lập các ma trận độ cứng, khối lượng, cản và véc-tơ lực nút từ khối lượng chuyển động trên cấu hình biến dạng của dầm Hơn nữa, thuật toán tích phân trực tiếp Newmark được trình bày, kết hợp với phương pháp PTHH để tính toán đáp ứng động lực học của dầm.
Mô hình phần tử FBKO được giới thiệu trong các bài báo số 3 và 6, trong khi mô hình phần tử TBSH được trình bày trong bài báo số 5, 1 và 9 Mô hình phần tử TBSE xuất hiện trong bài báo số 8, và mô hình phần tử Q3DB được đề cập trong Mục.
“Danh mục công trình liên quan tới luận án”, trang125.
Hình 3.1.Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm sandwich 2D-FGSW chịu khối lượngmdi động sử dụng phần tử dầm Q3DB
Kết quả số và thảo luận
Mở đầu
Trong luận án, một chương trình tính toán số được phát triển bằng ngôn ngữ Matlab, sử dụng bốn mô hình phần tử dầm và thuật toán số từ chương 3, nhằm tính toán các đặc trưng dao động của dầm.
Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark, mặc dù có ưu điểm là gia tốc trung bình ổn định không điều kiện, nhưng vẫn cần lựa chọn bước thời gian ∆t phù hợp để đảm bảo tính chính xác của giải pháp số Dựa trên các kết quả phân tích số trước đây [97,99], luận án đã quyết định chọn bước thời gian ∆t cụ thể như sau.
Trong quá trình tải trọng trên dầm, tổng thời gian cần thiết được ký hiệu là ∆T Mặc dù có thể chọn bước thời gian thô hơn với dầm thuần nhất (chẳng hạn ∆t = ∆T/100), việc sử dụng bước thời gian nhỏ hơn sẽ tạo ra các đường cong kết quả mịn hơn Tỉ số độ dày của các lớp dầm được ký hiệu bằng ba chữ số tự nhiên trong ngoặc đơn, ví dụ như (1-2-1), thể hiện tỉ số giữa độ dày của lớp đáy, lớp lõi và lớp trên (h1 : h2 : h3) = (1 : 2 : 1).
Các đặc trưng dao động sau đây được quan tâm nghiên cứu trong chương này:
• Tần số dao động riêng và các mốt dao động (Natural frequencies and mode shapes)
• Độ võng động tại giữa dầm (Dynamic mid-span deflection)
• Hệ số động lực học (Dynamic magnification factor)
• Sự phân bố ứng suất theo chiều cao dầm (Thickness distribution of stresses)
Dao động tự do
Mục này phân tích dao động tự do của các mô hình dầm 2D-FGSW hai pha và ba pha Dầm có chiều dài L và tiết diện ngang hình chữ nhật với chiều rộng b và chiều cao h Các tính chất hiệu dụng của dầm ba pha được đánh giá thông qua mô hình Voigt, trong khi mô hình Voigt và Mori-Tanaka được áp dụng để đánh giá các tính chất của dầm hai pha.
4.2.1 Dao động tự do của dầm ba pha
Mục này nghiên cứu dao động tự do của dầm 2D-FGSW ba pha với các điều kiện biên khác nhau Dầm ba pha được giả định là dầm lõi mềm, bao gồm nhôm (Al - M1), zirconia (ZrO2 - M2) và ô-xit nhôm (Al2O3 - M3), với các tính chất vật liệu cụ thể.
Hình 4.1 thể hiện sự phân bố chiều cao và chiều dài dầm của mô-đun đàn hồi hiệu dụng E_f và mật độ khối hiệu dụng ρ_f của dầm ba pha lõi mềm Mô-đun đàn hồi và mật độ khối đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất cơ học của dầm.
Mô hình Voigt được sử dụng để tính toán mô-đun đàn hồi (E f) và mật độ khối (ρ f) của dầm Hình 4.1a và 4.1c minh họa mô-đun đàn hồi và mật độ khối hiệu dụng của dầm khi x = n và z = 0.5, trong khi Hình 4.1b và 4.1c thể hiện kết quả cho trường hợp x = n và z = 3.
Điều kiện biên của dầm bao gồm tựa giản đơn (SS), ngàm hai đầu (CC) và công-xôn (CF) được nghiên cứu kỹ lưỡng Độ mảnh của dầm được xác định qua tỉ số chiều dài và chiều cao (L/h) Kết quả trong phần này được lấy từ phần tử dầm TBSH với độ mảnh L/h Để thuận tiện cho thảo luận, ta định nghĩa tham số tần số dao động của dầm là z/h x/L.
Hình 4.1.Phân bố của mô đun-đàn hồiE f và mật độ khốiρ f của dầm ba pha (1-1-1) lõi mềm. sau à i = ω i L 2 h rρ M1
E M1 (4.2) vớiω i là tần số dao động riêng thứicủa dầm.
4.2.1.1 Kiểm chứng phần tử TBSH
Trước khi tiến hành phân tích dao động của dầm, cần kiểm chứng tính chính xác và sự hội tụ của phần tử TBSH Do chưa có kết quả công bố về dao động của dầm 2D-FGSW ba pha, việc kiểm chứng được thực hiện trên dầm 1D-FGSW, coi đây là trường hợp riêng của dầm 2D-FGSW ba pha Theo phương trình (2.2), V² = 0 khi n x = 0, điều này cho thấy dầm 2D-FGSW ba pha sẽ trở về dầm 1D-FGSW với cơ tính biến đổi ngang, được tạo ra từ hai vật liệu M1 và M3 Do đó, tần số của dầm 1D-FGSW có thể được xác định từ chương trình tính toán cho dầm 2D-FGSW ba pha bằng cách gán n x = 0.
Bảng 4.1 trình bày giá trị tần số dao động cơ bản của dầm 1D-FGSW tựa giản đơn với L/h= 20, được thu thập từ phần tử TBSH trong luận án Để so sánh, các giá trị tương ứng từ nghiên cứu của Vo và cộng sự trong tài liệu [64], sử dụng lý thuyết Reddy-Bickford, cũng được đưa ra Kết quả cho thấy tần số dao động cơ bản của dầm trong luận án phù hợp với tài liệu [64], bất kể tham số vật liệu z và tỷ số độ dày lớp Bảng 4.1 cũng chỉ ra sai số giữa hai kết quả, với sai số lớn nhất là 0.9705% cho trường hợp n z =2 và dầm bất đối xứng (2-2-1), trong khi sai số nhỏ nhất là 0.0635% cho dầm thuần nhất với n z =0 Sai số được tính theo công thức cụ thể.
Sự hội tụ của phần tử dầm TBSH được trình bày trong Bảng 4.2, cho thấy các giá trị tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGSW với các phương pháp rời rạc khác nhau Kết quả này được tính toán dựa trên nhiều giá trị của các tham số vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp Như thể hiện trong Bảng 4.2, dầm 1D-FGSW (tương ứng với x = 0) chỉ cần một số lượng phần tử nhất định để đạt được sự hội tụ.
Trong nghiên cứu này, để đạt được sự hội tụ tốt hơn, dầm 2D-FGSW cần tới 24 phần tử, trong khi dầm 14 phần tử chỉ hội tụ nhanh chóng Sự thay đổi tính chất vật liệu theo chiều dài dầm đã làm chậm đáng kể quá trình hội tụ của phần tử TBSH Do đó, lưới 24 phần tử TBSH có độ dài bằng nhau sẽ được áp dụng trong tính toán tần số dao động riêng của dầm 2D-FGSW ba pha.
4.2.1.2 Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu Để đánh giá ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới dao động tự do của dầm 2D-FGSW ba pha, luận án tiến hành tính toán tần số dao động riêng của dầm với các giá trị khác nhau của hai tham số vật liệu n x vàn z Các Bảng 4.3, Bảng 4.4 và Bảng 4.5tương ứng liệt kê các giá trị của tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGSW ba pha với các điều kiện biên SS, CC và CF với các giá trị khác nhau của các tham số vật liệu và tỷ số độ dày các lớp của dầm Các nhận xét sau đây có thể rút ra từ các Bảng 4.3-4.5:
• Tham số tần sốà1tỷ lệ thuận với tham số vật liệun z nhưng tỷ lệ nghịch với tham
Bảng 4.1.So sỏnh tham số tần sốà1 của dầm 1D-FGSW tựa giản đơn(L/h ). n z Nguồn (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)
LA 5.5266 5.6392 5.5347 5.6545 5.5134 5.5483 4.6889 Error(%) 0.0651 0.1064 0.4951 0.1344 0.8470 0.1658 0.1514 Chú thích: TL † : Tài liệu, LA ‡ : Luận án số n x , bất kể tỷ số độ dày giữa các lớp của dầm và điều kiện biên Ảnh hưởng của các tham số vật liệun x vàn z tới tần số dao động của dầm có thể được giải thích bởi sự thay đổi tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần khi các tham số này thay đổi Như ta thấy từ phương trình (2.2), khi tăng n z dẫn tới tỷ phần thể tích của Al2O3 và ZrO2 tăng lên Bởi vì mô-đun đàn hồi của Al thấp hơn nhiều so với mô-đun đàn hồi của Al2O3 và ZrO2, mô-đun đàn hồi hiệu dụng của dầm sẽ tăng lên khi tăngn z Kết quả là độ cứng A i j của dầm tăng lên Mặc dù mô-men khối lượng I i j cũng tăng lên khi n z tăng nhưng sự tăng của I i j ít hơn
Bảng 4.2.Sự hội tụ của phần tử TBSH trong đỏnh giỏ tham số tần sốà1 của dầm SS ba pha.
Dầm n x n z NE NE NE NE NE NE" NE$
Sự tăng trưởng của tham số tần số à1 có liên quan đến sự gia tăng của tham số n z, điều này giúp giải thích sự biến đổi của à1 Ngoài ra, ảnh hưởng của tham số n x đối với tham số tần số à1 cũng có thể được lý giải theo cách tương tự.
Tỷ số độ dày giữa các lớp ảnh hưởng đáng kể đến tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGSW ba pha Cụ thể, dầm có lớp lõi dày hơn sẽ có tần số dao động cơ bản thấp hơn, bất kể các tham số vật liệu và điều kiện biên Qua khảo sát các bảng 4.3-4.5, có thể nhận thấy sự thay đổi của tần số khi thay đổi tỷ số độ dày giữa các lớp của dầm đối xứng và không đối xứng là khác nhau.
Sự thay đổi tính chất vật liệu theo chiều dài dầm có ảnh hưởng quan trọng đến tần số dao động cơ bản của dầm, như được thể hiện qua các kết quả trong Bảng 4.3-4.5.
Việc lựa chọn hợp lý các giá trị tham số n_x và n_z trong mô hình 2D-FGSW ba pha cho phép đạt được tần số dao động mong muốn của dầm Hình 4.2, Hình 4.3 và Hình 4.4 minh họa sự ảnh hưởng của phân bố vật liệu đến các tần số dao động riêng cao hơn của dầm 2D-FGSW ba pha dưới ba điều kiện biên khác nhau: SS, CC và CF Các hình ảnh được tính toán với độ mảnh của dầm là L/h và tỷ số độ dày giữa các lớp là (2-1-2) Kết quả cho thấy rằng tần số dao động riêng a_i (i=1 4) tăng khi n_z tăng và giảm khi n_x tăng, bất kể tỷ số độ dày giữa các lớp và điều kiện biên của dầm.
Hình 4.2.Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới bốn tham số tần số đầu tiên của dầm SS ba pha.
Dao động cưỡng bức
Mục này tập trung vào nghiên cứu dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGSW dưới tác động của tải trọng di động Cụ thể, nghiên cứu sẽ xem xét hai bài toán: (1) Dao động của dầm 2D-FGSW ba pha chịu lực di động với vận tốc thay đổi, sử dụng phần tử FBKO; (2) Dao động của dầm 2D-FGSW hai pha một phần trên nền đàn hồi Pasternak chịu khối lượng di động, với sự hỗ trợ của phần tử Q3DB Bài toán thứ hai còn xem xét mô hình dầm và nền đàn hồi cùng với tải trọng tác động.
Độ mảnh ảnh hưởng đến tham số tần số à1 của dầm 2D-FGSW hai pha, với sự khác biệt giữa dầm SS và dầm CC Trong trường hợp lực di động, quán tính của tải trọng cùng với các lực Coriolis và ly tâm được xem nhẹ, mặc dù chúng có tác động lớn đến ứng xử động lực học của dầm Hầu hết các kết cấu dầm chịu tải trọng di động có biên tựa giản đơn, vì vậy nghiên cứu này chỉ tập trung vào dầm 2D-FGSW tựa giản đơn.
4.3.1 Dầm ba pha chịu lực di động
Hình4.17minh họa dầm 2D-FGSW ba pha tựa giản đơn chịu tác động của lực
Dầm ba pha trong bài viết này được giả định là dầm lõi cứng, được cấu tạo từ các vật liệu nhôm ôxit (Al2O3 - M1), thép không gỉ (SUS304 - M2) và nhôm (Al - M3), với các đặc tính riêng biệt Khác với dầm ba pha trong Mục 4.2.1, dầm này di chuyển từ trái sang phải, mang lại hiệu suất tối ưu trong ứng dụng kỹ thuật.
Hình 4.18 minh họa sự phân bố chiều cao và chiều dài của dầm ba pha (1-1-1) lõi cứng, thể hiện mô-đun đàn hồi hiệu dụng E f và mật độ khối hiệu dụng ρ f Các giá trị mô-đun E f và mật độ khối ρ f được tính toán dựa trên mô hình Voigt theo công thức (2.3).
Hình 4.17.Dầm ba pha lõi cứng tựa giản đơn chịu lực di động.
Hình 4.18.Phân bố của mô-đun đàn hồiE f và mật độ khốiρ f của dầm ba pha (1-1-1) lõi cứng.
Phân tích dựa trên giả định rằng lực F0 luôn tiếp xúc với dầm trong suốt quá trình chuyển động Vận tốc v của lực F0 được coi là không đồng nhất, tức là v = v(t), trong khi gia tốc a của lực được giả định là không đổi Dưới giả thiết này, hàm s(t) có thể được xác định.
- hàm mô tả chuyển động của lựcF 0 (vị trí hiện tại của lực tính từ đầu trái của dầm) - được tính theo công thức s(t) =v0t+at 2
Trong phân tích dầm bằng phần tử FBKO, vận tốc của lực F0 tại nút trái được mô tả bởi phương trình (4.7) Tại mỗi thời điểm trong thuật toán Newmark, hàm s(t) xác định chuyển động của lực F0, từ đó véc-tơ tải trọng nút phần tử theo phương trình (3.58) cũng được xác định hoàn toàn Với véc-tơ tải trọng nút ex đã xác định, đáp ứng động lực học của dầm có thể được tính toán dựa trên thuật toán Newmark được trình bày trong Mục 3.8.
Phân tích dầm với các tham số hình học b = 0.5 và h = 1 được thực hiện, với giả định tỷ lệ giữa chiều dài và chiều cao dầm là L/h Để thuận tiện cho việc thảo luận về kết quả số, hệ số động lực học D d (Dynamic Magnification Factor) được đưa vào định nghĩa.
(4.8) trong đów st =L 3 F0/48E M2 I là độ võng tĩnh của dầm thép thuần nhất tựa giản đơn chịu tải trọngF0 đặt tại giữa dầm.
Hình 4.19 So sánh độ võng động tại giữa dầm sandwich 1D-FGM với L/h= 10, n z =0.5, vPm/s.
4.3.1.1 Kiểm chứng phần tử FBKO
Mục này kiểm chứng khả năng của phần tử trong phân tích động lực học của dầm 2D-FGSW ba pha Hình 4.19 minh họa các đường cong độ võng tại giữa dầm theo thời gian dưới tác động của lực di động với vận tốc không đổi vP m/s, được thu thập từ phần tử FBKO trong luận án Kết quả từ nghiên cứu của Songsuwan và cộng sự [90] cũng được so sánh trên hình Như thể hiện trong Hình 4.19, kết quả thu được từ luận án cho thấy sự tương đồng cao với các kết quả đã công bố, bất kể tỷ số độ dày giữa các lớp Các đường cong trong hình được tạo ra cho dầm 1D-FGSW với lõi cứng làm từ nhôm (Al) và nhôm oxit (Al2O3), trong đó w st là độ võng tĩnh của dầm nhôm Sự hội tụ của phần tử FBKO trong tính toán đáp ứng động lực học của dầm ba pha tương tự như trong đánh giá tần số dao động riêng.
4.3.1.2 Lực di động với vận tốc không đổi
Kết quả phân tích động lực học của dầm 2D-FGSW ba pha chịu lực di động F0 với giả thiết vận tốc lực không đổi được trình bày trong mục này Hình 4.20 thể hiện mối quan hệ giữa độ võng không thứ nguyên tại giữa dầm và giá trị thời gian không thứ nguyên, cho thấy ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tỷ số độ dày giữa các lớp, cũng như vận tốc của lực di động Một số nhận xét từ Hình 4.20 có thể được tóm tắt như sau:
Đường cong biểu thị mối quan hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của dầm 2D-FGSW ba pha, chịu ảnh hưởng bởi vận tốc lực di động, các tham số vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp của dầm.
Khi xác định giá trị cụ thể cho tham số vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp, dầm sẽ thực hiện ít chu trình dao động hơn khi vận tốc của lực di động tăng lên.
Đối với mỗi giá trị vận tốc lực di động, độ võng lớn nhất tại giữa dầm với n x = n z = 3 cao hơn đáng kể so với giá trị tương ứng của dầm với n x = n z = 0.5 Thời điểm đạt độ võng lớn nhất cũng thay đổi khi các tham số vật liệu của dầm được điều chỉnh Đặc biệt, độ võng lớn nhất tại giữa dầm giảm khi dầm có lõi lớn hơn Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp có thể lý giải bởi sự thay đổi độ cứng của dầm, tương tự như trường hợp dao động tự do đã được trình bày trước đó.
Hình 4.20 thể hiện mối quan hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của dầm ba pha dưới các vận tốc khác nhau của lực di động Cụ thể, các trường hợp được phân tích bao gồm: (a) Dầm (4-1-4) với n x = n z = 0.5; (b) Dầm (2-2-1) cũng với n x = n z = 0.5; (c) Dầm (4-1-4) với n x = n z = 3; và (d) Dầm (2-2-1) với n x = n z = 3.
Hình 4.21.Mối liên hệ giữa hệ sốD d với tham số vật liệun z của dầm (2-2-1) ba pha.
Mối liên hệ giữa hệ số động lực học \(D_d\) và vận tốc lực di động của dầm ba pha được thể hiện rõ qua các hình ảnh minh họa Hệ số động lực học \(D_d\) tỷ lệ thuận với tham số vật liệu theo chiều cao \(n_z\) nhưng tỷ lệ nghịch với tham số theo chiều dài \(n_x\), bất kể giá trị của vận tốc lực di động Ảnh hưởng của tham số \(n_z\) tới \(D_d\) đặc biệt rõ rệt khi \(n_z \leq 5\) Hình 4.22 và Hình 4.23 cho thấy sự phụ thuộc của \(D_d\) vào vận tốc của lực di động và các tham số vật liệu \(n_x\) và \(n_z\) Đặc biệt, dạng đường cong \(D_d - v\) của dầm 2D-FGSW ba pha có hình dạng tương tự như dầm thuần nhất dưới tác động của lực di động Với vận tốc nhỏ, \(D_d\) trải qua một khoảng tăng giảm liên tục trước khi đạt giá trị cực trị, điều này được giải thích bởi số chu trình dao động của dầm Trái lại, tham số vật liệu theo chiều dài \(n_x\) có ảnh hưởng ngược lại với \(n_z\), khiến \(D_d\) nhỏ hơn khi \(dầm\) có \(n_x\) lớn hơn, bất kể vận tốc lực di động.
Hình 4.23 thể hiện mối liên hệ giữa hệ số động lực học D d với các tham số vật liệu n x và n z của dầm 2D-FGSW ba pha, cho thấy sự khác biệt giữa dầm đối xứng (2-1-2) và dầm không đối xứng (2-2-1) trong trường hợp vPm/s Kết quả này gợi ý rằng việc thiết kế dầm 2D-FGSW ba pha với D d nhỏ nhất có thể đạt được bằng cách lựa chọn hợp lý các giá trị của n x và n z, tức là tỷ lệ thể tích của các vật liệu thành phần Hình 4.24 minh họa ảnh hưởng của độ mảnh tới đáp ứng động lực học của dầm, với đường cong biểu diễn mối quan hệ giữa D d và vận tốc lực di động cho các tỷ số L/h khác nhau (5, 10, 15 và 20) Kết quả cho thấy độ mảnh dầm ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử động lực học, không chỉ làm thay đổi giá trị cực đại của D d mà còn cả vận tốc tại đó D d đạt giá trị cực đại.
4.3.1.3 Lực di động với vận tốc thay đổi Ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc, tức là sự tăng và giảm tốc của lực di động
