Tập hợp
Bài tập 1.1 Cho dãy tập hợp A 1 , A 2 , , A n , Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại dãy tập hợp B1, B2, , Bn, , sao cho:
(a) CácB i từng đôi một rời nhau;
Bài tập 1.2 Chứng minh rằng các hệ thức sau đây tương đương nếu A và B là tập hợp con của Ω:
Bài tập 1.3 Khẳng định cho rằng nếu A, B, C là tập hợp con của tập hợp Ωsao cho
A⊂B∪C và B ⊂A∪C, thì B =∅, có đúng không?
Bài tập 1.4 Chứng minh rằng nếu A, B, C là các tập hợp con của tập hợpΩ, sao cho
A∩B ⊂C và A∪C ⊂B, thì A∩C =∅ Bài tập 1.5 Tìm biểu thức đơn giản của các biểu thức sau:
Giải tích tổ hợp
Bài tập 1.6 Hệ thức nào trong các hệ thức sau đây đúng
Bài tập 1.7 Chứng minh rằng:
Bài tập 1.9 Một lô hàng có 50 sản phẩm.
(a) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên cùng lúc 5 sản phẩm để kiểm tra?
(b) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên lần lượt 5 sản phẩm?
Bài tập 1.10 Trong một hệ thống điện thoại nội bộ 3 số
(a) có bao nhiêu máy có các chữ số khác nhau?
(b) Có bao nhiêu máy có số 9 ở cuối còn các chữ số còn lại đều khác nhau?
Bài tập 1.11 Một lớp học có 40 học sinh gồm 20 nam và 20 nữ Có bao nhiêu cách chia để trong mỗi nửa lớp có 10 nam sinh và 10 nữ sinh?
Bài tập 1.12 Nếu một người có 6 đôi vớ khác nhau và 4 đôi giày khác nhau Có bao nhiêu cách kết hợp giữa vớ và giày?
Bài tập 1.13 Năm người A, B, C, D, E sẽ phát biểu trong một hội nghị Có bao nhiêu cách sắp xếp để:
(b) Người A phát biểu xong thì đến lượt B.
Bài tập 1.14 Có 6 học sinh được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên một bàn dài. Tìm số cách xếp
(b) 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A, B ngồi cạnh nhau.
(c) 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A, B không ngồi cạnh nhau.
Bài tập 1.15 Một lớp có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp:
1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp?
Bài tập 1.16 Một hộp có 8 bi đỏ, 6 bi trắng, 4 bi vàng Người ta chọn ra 6 bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
(a) Không yêu cầu gì thêm.
(b) Phải có 2 bi đỏ, 2 bi trắng, 2 bi vàng.
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người cần phân công nhiệm vụ trong ngày Cụ thể, cần cử 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người tại địa điểm B và 4 người sẽ trực tại đồn Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cách phân công các thành viên trong số 9 người này cho các vị trí khác nhau?
Trong bài tập 1.18, một tổ sản xuất gồm 12 người, trong đó có 4 nữ, cần được chia thành 4 nhóm đều nhau, mỗi nhóm phải có 1 nữ Để tìm số cách phân chia này, ta cần xác định cách sắp xếp các thành viên sao cho điều kiện trên được đảm bảo.
Bài tập 1.19 Xếp 12 hành khách lên 4 toa tàu Tìm số cách sắp xếp:
(a) Mỗi toa có 3 hành khách.
Trong một toa tàu, có 6 hành khách trong toa đầu tiên, 4 hành khách trong toa thứ hai, và hai toa còn lại mỗi toa chỉ có 1 hành khách Để chứng minh điều này, giả sử m, n, r là các số nguyên dương.
C m 0 C n−m r +C m 1 C n−m r−1 +ã ã ã+C m r C n−m 0 =C n r Bài tập 1.21 Chứng minh rằng
Bài tập 1.22 Cho m, n, r là các số nguyên dương Chứng minh rằng
Bài tập 1.23 Chứng minh rằng
+ã ã ã+ (C n n ) 2 =C 2n n Bài tập 1.24 Chứng minh rằng n
Biến cố và xác suất
Biến cố
Bài tập 2.1 Khi nào thì có các đẳng thức sau:
Hai sự kiện A và A+B có xung khắc không?
Tàu thủy hoạt động tốt, ký hiệu D, khi và chỉ khi bánh lái A hoạt động tốt, ít nhất một nồi hơi B_i (i = 1, 2, 3, 4) hoạt động tốt và ít nhất một tuốc bin C_j (j = 1, 2) hoạt động tốt Do đó, sự kiện D có thể được biểu diễn dưới dạng: D = A ∧ (B_1 ∨ B_2 ∨ B_3 ∨ B_4) ∧ (C_1 ∨ C_2).
Bài tập 2.3 Có 4 sinh viên làm bài thi Kí hiệuB i (i= 1, ,4)là biến cố sinh viên thứilàm bài thi đạt yêu cầu Hãy biểu diễn các biến cố sau đây:
(a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu.
(b) Có đúng ba sinh viên đạt yêu cầu.
(c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu.
(d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu.
Bài tập 2.4 Xét phép thử: Gieo một xúc xắc 2 lần Mô tả không gian biến cố sơ cấp ứng với phép thử trên?
Xác suất cổ điển
Gọi A: “Tổng số nốt chia hết cho 3”, B: “Trị tuyệt đối của hiệu số nốt là số chẵn” Biểu diễn
Bài tập 2.5 Cho A, B là hai biến cố ngẫu nhiên đã biết Tìm biến cố X từ hệ thức:
Trong phép thử 2.6, chúng ta thực hiện việc bắn không hạn chế vào một bia cho đến khi trúng lần đầu tiên thì dừng lại Không gian biến cố sơ cấp của phép thử này bao gồm tất cả các khả năng bắn trượt cho đến khi có một lần trúng Hệ đầy đủ các biến cố có thể được chỉ ra là: không trúng bia trong n lần bắn đầu tiên và trúng bia ở lần bắn thứ n+1.
Khi gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, ta định nghĩa biến cố A_i xảy ra khi số nốt trên mặt con xúc xắc thứ nhất là i (với i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) và biến cố B_k xảy ra khi số nốt trên mặt con xúc xắc thứ hai là k (với k = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
(a) Hãy mô tả các biến cốA 6 B 6 , A 3 B 5
(b) Viết bằng kí hiệu các biến cố:
• A: “hiệu giữa số nốt ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai có trị số tuyệt đối bằng ba”.
• B: “số nốt ở mặt trên hai con xúc xắc bằng nhau”.
(c) Hãy chỉ ra một nhóm đầy đủ các biến cố.
Bài tập 2.8 Một nhóm n người xếp ngẫu nhiên thành một hàng dài.
(a) Tìm xác suất để 2 người định trước đứng cạnh nhau.
(b) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau 2 người.
(c) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau r người (0< r < n−2).
(d) Xét trường hợp khi họ xếp thành một vòng tròn.
Bài tập 2.9 Thang máy của một tòa nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng một với 3 người khách. Tính xác suất để:
(a) Tất cả cùng ra ở tầng bốn.
(b) Tất cả cùng ra ở một tầng.
(c) Mỗi người ra một tầng khác nhau.
Xác suất hình học
Trong bài tập 2.10, chúng ta có n quả cầu được phân ngẫu nhiên vào n hộp, với mỗi hộp có khả năng chứa nhiều quả cầu Mục tiêu là tìm xác suất để mỗi hộp chứa ít nhất một quả cầu khi các hộp và quả cầu được phân biệt.
Trong bài tập 2.11, ta có một lô hàng chứa n sản phẩm, trong đó có m sản phẩm xấu Khi lấy ngẫu nhiên k sản phẩm từ lô hàng này, mục tiêu là tìm xác suất để có đúng s sản phẩm xấu trong số các sản phẩm đã lấy (với điều kiện s < k).
Bài tập 2.12 Ta gieo liên tiếp 4 lần một đồng tiền cân đối đồng chất Tìm xác suất của các biến cố:
(c) C: “Có ít nhất một mặt sấp”.
Bài tập 2.13 Mười hai sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào ba hộp Tìm xác suất để hộp thứ nhất có chứa ba sản phẩm.
Khi gieo hai con xúc xắc đồng chất cân đối liên tiếp, xác suất để xuất hiện ít nhất một lần hai mặt trên cùng có 6 nốt là một bài toán thú vị trong xác suất Để tính xác suất này, trước tiên cần xác định xác suất không có mặt nào là 6 nốt trong cả hai lần gieo Sau đó, từ xác suất này, ta có thể tính được xác suất ít nhất một lần xuất hiện hai mặt 6 nốt.
Bài tập 2.15 yêu cầu tính xác suất để ba đoạn của một thanh sắt dài l, được bẻ thành ba khúc ngẫu nhiên, có thể tạo thành một tam giác Để ba đoạn thỏa mãn điều kiện tạo thành tam giác, cần áp dụng định lý tam giác, tức là tổng độ dài của hai đoạn phải lớn hơn đoạn còn lại Từ đó, ta có thể xác định được xác suất cho trường hợp này.
Bài toán Butffon nghiên cứu xác suất cây kim dài 2l (với l < a) cắt một đường thẳng trong hệ thống các đường thẳng song song cách đều nhau 2a trên mặt phẳng Mục tiêu là tính toán xác suất này khi cây kim được gieo ngẫu nhiên.
Bài tập 2.17 Trên đường tròn bán kínhR có một điểm Acố định, chọn ngẫu nhiên một điểm
B Tìm xác suất để cung AB không quá R.
Trên đoạn thẳng OA, chúng ta gieo ngẫu nhiên hai điểm B và C với tọa độ OB = x và OC = y (với y ≥ x) Mục tiêu là tìm xác suất để độ dài đoạn BC nhỏ hơn độ dài đoạn OB.
Các công thức tính xác suất cơ bản
Hệ thống bao gồm 3 bộ phận độc lập và chỉ hoạt động khi có ít nhất 2 bộ phận còn hoạt động Với độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95, ta cần tính toán độ tin cậy tổng thể của hệ thống.
2.4 Các công thức tính xác suất cơ bản 8
Bài tập 2.20 Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen.
(a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra Tính xác suất nhận được bi đen.
(b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
(c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, trong khi tỷ lệ mắc bệnh huyết áp là 12%, và tỷ lệ người mắc cả hai bệnh là 7% Khi chọn ngẫu nhiên một người trong vùng, chúng ta cần tính xác suất để người đó mắc bệnh tim hoặc huyết áp.
(a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.
(b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp.
(c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp.
(d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.
(e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.
Bài tập 2.23 yêu cầu tính xác suất gọi đúng một số điện thoại 6 chữ số khi quên số cuối cùng và chọn ngẫu nhiên Cần xác định xác suất gọi đúng trong không quá 3 lần thử Nếu biết số cuối cùng là số lẻ, xác suất này sẽ thay đổi và cần được tính toán cụ thể.
(a) ChoA, B là hai biến cố độc lập Chứng minh rằng A, B;A, B và A, B đều là các cặp biến cố độc lập.
Cho A1, A2, , An là n biến cố độc lập Ta cần chứng minh rằng A1, A2, , An cũng là n biến cố độc lập Từ đó, suy ra rằng nếu xét n biến cố B1, B2, , Bn với B_i = A_i hoặc B_i = A_i, thì B1, B2, , Bn cũng là n biến cố độc lập.
Trong một đợt xổ số với N vé, trong đó có M vé trúng thưởng, một người mua r vé (với r < N - M) Tính xác suất để người đó sở hữu ít nhất một vé trúng thưởng.
Trong bài tập 2.26, một người sở hữu 3 con gà mái và 2 con gà trống trong cùng một lồng Khi có người đến mua, người bán sẽ chọn ngẫu nhiên một con gà để bán, và người mua sẽ đồng ý mua con gà đó.
(a) Tìm xác suất để người đó mua được con gà mái.
Người thứ hai đến mua, người bán lại bắt ngẫu nhiên ra một con.
2.4 Các công thức tính xác suất cơ bản 9
(b) Tìm xác suất người thứ hai mua được gà trống, biết rằng người thứ nhất mua được gà mái.
(c) Xác suất trên bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứ nhất là gà trống hay gà mái?
Trong bài tập này, có n sinh viên, mỗi người đều có một chiếc áo mưa giống hệt nhau Khi trời mưa, họ đến lớp và treo áo lên mắc áo Khi ra về, vì vội vàng, mỗi sinh viên chỉ lấy ngẫu nhiên một chiếc áo Câu hỏi đặt ra là tính xác suất có ít nhất một sinh viên chọn đúng chiếc áo của mình.
Trong bài tập 2.28, một người viết n lá thư và cho vào n phong bì đã được ghi sẵn địa chỉ Mục tiêu là xác định xác suất để có ít nhất một lá thư được cho vào đúng phong bì của nó.
Bài tập 2.29 Ba xạ thủ, mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi người là 0.6; 0.7; 0.8 Tìm xác suất
(a) chỉ có người thứ hai bắn trúng.
(b) có đúng một người bắn trúng.
(c) có ít nhất một người bắn trúng.
(d) cả ba người đều bắn trúng.
(e) có đúng hai người bắn trúng.
(f) có ít nhất hai người bắn trúng.
(g) có không quá hai người bắn trúng.
Bài tập 2.30 Cho hai biến cố xung khắc A và B, sao cho P(A)6= 0, P(B)6= 0.
Chứng minh rằng A và B phụ thuộc nhau.
Trong bài tập 2.31, có ba con ngựa a, b, c tham gia một cuộc đua Kết quả của cuộc đua được xác định dựa trên thứ tự về đích: nếu b về trước, sau đó là a và cuối cùng là c Từ đó, ta có thể xác định tất cả các khả năng xuất hiện của các con ngựa trong cuộc đua này.
Ω ={abc, acb, bac, bca, cab, cba}.
Giả sử rằng P[{abc}] =P[{acb}] = 1/18và bốn khả năng còn lại đều có xác suất xảy ra là2/9. Hơn nữa, ta định nghĩa các biến cố
A="a đến đích trước b" và B ="a đến đích trước c"
(a) Hai biến cốA và B có tạo thành một hệ đầy đủ của Ω?
(b) Hai biến cốA và B có độc lập nhau?
Bài tập 2.32 Có tồn tại hai biến cố xung khắc và độc lập không?
2.4 Các công thức tính xác suất cơ bản 10
Bài tập 2.33 Một máy tính điện tử gồm có n bộ phận Xác suất hỏng trong khoảng thời gian
Xác suất để máy tính ngừng hoạt động trong khoảng thời gian T được tính dựa trên việc mỗi bộ phận thứ k có thể hỏng với xác suất pk (k = 1, 2, , n) Nếu bất kỳ bộ phận nào trong số này bị hỏng, máy tính sẽ ngừng làm việc Do đó, việc xác định xác suất hỏng hóc của từng bộ phận là rất quan trọng để dự đoán khả năng ngừng hoạt động của máy tính.
Bài tập 2.34 Chứng minh rằng nếu
P(A|B)> P(A), thì P(B|A)> P(B) Bài tập 2.35 Giả sử P(AB) = 1/4, P(A|B) = 1/8và P(B) = 1/2 TínhP(A).
Trong bài tập 2.36, chúng ta cần tính xác suất để có được cả 3 mặt ngửa sau khi đã biết rằng ít nhất một mặt ngửa xuất hiện trong 3 lần tung đồng xu độc lập.
Khi tung một con xúc sắc hai lần độc lập, giả sử lần đầu tiên ra được số nốt chẵn Để tính xác suất tổng số nốt của hai lần tung bằng 4, ta cần xem xét các trường hợp có thể xảy ra Tổng số nốt từ hai lần tung có thể là 4 nếu lần đầu ra 2 và lần sau ra 2, hoặc lần đầu ra 4 và lần sau ra 0 Do đó, xác suất này phụ thuộc vào các kết quả khả thi của lần tung thứ hai, trong khi lần đầu tiên đã được xác định là số nốt chẵn.
Bài tập 2.38 Giả sử P(A) =P(B) = 1/4 và P(A|B) =P(B) TínhP(AB).
Trong bài tập 2.39, chúng ta cần tính xác suất để bắn đến viên đạn thứ 6 mới trúng mục tiêu lần đầu tiên Xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0.2 và các lần bắn là độc lập Điều này có nghĩa là xác suất không trúng mục tiêu trong 5 viên đầu tiên là 0.8, và viên thứ 6 phải trúng.
Bài tập 2.40 Giả sử các biến cố A 1 , , A n độc lập có xác suất tương ứng P(A k ) = p k (k 1, , n) Tìm xác suất sao cho:
(a) không một biến cố nào trong các biến cố đó xuất hiện.
(b) có ít nhất một biến cố trong các biến cố đó xuất hiện.
Từ đó suy ra công thức khai triển tích n
Khi chọn mua một chiếc xe hơi mới, có ba tiêu chí phổ biến cần xem xét: hộp số tự động (A), động cơ V6 (B) và điều hòa nhiệt độ (C) Dựa trên dữ liệu bán hàng trước đây, xác suất cho từng tiêu chí lần lượt là P(A) = 0.7, P(B) = 0.75 và P(C) = 0.80 Ngoài ra, xác suất kết hợp cho hộp số tự động và động cơ V6 là P(A+B) = 0.80, trong khi xác suất cho hộp số tự động và điều hòa nhiệt độ là P(A+C) = 0.85.
P(B+C) = 0.90và P(A+B+C) = 0.95, vớiP(A)là xác suất người mua bất kì chọn tiêu chí
A, v.v Tính xác suất của các biến cố sau:
(a) người mua chọn ít nhất một trong 3 tiêu chí.
(b) người mua không chọn tiêu chí nào trong 3 tiêu chí trên.
(c) người mua chỉ chọn tiêu chí điều hòa nhiệt độ.
(d) người mua chọn chính xác một trong 3 tiêu chí.
Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes
2.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes
Bài tập 2.42 Giả sử P(B|A 1 ) = 1/2, P(B|A 2 ) = 1/4 với A 1 và A 2 là hai biến cố đồng khả năng và tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố Tính P(A 1 |B).
Bài tập 2.43 Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng Có 10 người lần lượt rút thăm Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người.
Bài tập 2.44 Có hai hộp đựng bi Hộp 1 đựng 20 bi trong đó có 5 bi đỏ và 15 bi trắng Hộp
Trong bài toán xác suất này, có hai hộp chứa tổng cộng 15 bi, bao gồm 6 bi đỏ và 9 bi trắng Khi một bi được lấy từ hộp 1 và cho vào hộp 2, sau đó trộn đều và rút ra một bi, ta cần tính xác suất nhận được bi đỏ và bi trắng Việc xác định xác suất này sẽ giúp hiểu rõ hơn về phân bố màu sắc của các bi sau khi thực hiện thao tác trên.
Trong một khu vực dân cư, tỷ lệ người hút thuốc lá là 30% trong tổng số 100 người Trong số những người hút thuốc, có 60% mắc viêm họng, trong khi tỷ lệ này ở người không hút thuốc là 30% Khi khám ngẫu nhiên một người và phát hiện người đó bị viêm họng, điều này cho thấy mối liên hệ giữa việc hút thuốc và nguy cơ mắc bệnh viêm họng trong cộng đồng.
(a) Tìm xác suất để người đó hút thuốc lá.
(b) Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc lá là bao nhiêu.
Trong bài tập 2.46, một trung tâm chẩn đoán sử dụng phép kiểm định T để xác định bệnh Xác suất một người đến trung tâm có bệnh là 0.8, trong khi xác suất người khám có bệnh khi kết quả kiểm định dương tính là 0.9 Đồng thời, xác suất người khám không có bệnh khi kết quả kiểm định âm tính là 0.5 Cần tính toán các xác suất liên quan đến phép kiểm định này.
(a) phép kiểm định là dương tính.
(b) phép kiểm định cho kết quả đúng.
Một cặp trẻ sinh đôi có thể là sinh đôi thật, khi được hình thành từ cùng một trứng, hoặc sinh đôi giả, khi được hình thành từ hai trứng khác nhau Sinh đôi thật luôn có cùng giới tính, trong khi sinh đôi giả có xác suất 50% cho mỗi giới tính Thống kê cho thấy, trong số các cặp sinh đôi, 34% là trai, 30% là gái và 36% có giới tính khác nhau.
(a) Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.
(b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.
Trong bài tập 2.48, có tổng cộng 10 hộp bi, bao gồm 4 hộp loại I, 3 hộp loại II và 3 hộp loại III Hộp loại I chứa 3 bi trắng và 5 bi đỏ, trong khi hộp loại II có 4 bi trắng và 6 bi đỏ Hộp loại III bao gồm 2 bi trắng và 2 bi đỏ.
(a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy hú họa 1 bi Tìm xác suất để được bi đỏ.
(b) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy 1 bi thì được bi trắng Tìm xác suất để bi lấy ra thuộc loại II.
2.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 12
Bài tập 2.49 Có hai lô sản phẩm, lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II.
Trong lô thứ hai, có 16 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II Khi lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ mỗi lô, ta sẽ có hai sản phẩm Từ hai sản phẩm này, một sản phẩm sẽ được chọn ngẫu nhiên Để tính xác suất sản phẩm được chọn sau cùng là sản phẩm loại I, cần xem xét các khả năng có thể xảy ra từ việc chọn sản phẩm.
Bài tập 2.50 yêu cầu tính xác suất để một con gà được bắt ra từ lô thứ nhất là gà trống, khi lô thứ nhất có 15 con (bao gồm 3 gà trống) và lô thứ hai có 20 con (bao gồm 4 gà trống) Sau khi một con gà từ lô thứ hai nhảy sang lô thứ nhất, tổng số gà trong lô thứ nhất sẽ là 16 con Số gà trống trong lô thứ nhất sẽ thay đổi tùy thuộc vào việc con gà nhảy sang là gà trống hay gà mái, từ đó xác định xác suất cho con gà được bắt ra là gà trống.
Trong bài tập 2.51, có ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết với tỷ lệ sản xuất khác nhau: máy I chiếm 25%, máy II chiếm 30%, và máy III chiếm 45% tổng sản lượng Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là 0.1%, 0.2%, và 0.4% Câu hỏi đặt ra là xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho, sản phẩm đó là hàng đạt chất lượng.
(a) được chi tiết phế phẩm.
(b) chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất.
Giả sử có ba máy M1, M2, và M3 sản xuất lần lượt 500, 1000 và 1500 linh kiện mỗi ngày, với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 5%, 6% và 7% Cuối ngày, một linh kiện được chọn ngẫu nhiên và phát hiện là phế phẩm Cần tính xác suất linh kiện này được sản xuất bởi máy M3.
Ba khẩu pháo cùng nhắm vào một mục tiêu với xác suất trúng đích lần lượt là 0.4, 0.7 và 0.8 Xác suất tiêu diệt mục tiêu khi bị trúng một phát đạn là 30%, hai phát đạn là 70%, và ba phát đạn đảm bảo tiêu diệt mục tiêu Mỗi khẩu pháo sẽ bắn một phát.
(a) Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt.
(b) Biết rằng mục tiêu đã bị tiêu diệt Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó.
Bài tập 2.54 Hộp I có 10 linh kiện trong đó có 3 bị hỏng Hộp II có 15 linh kiện trong đó có
4 bị hỏng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một linh kiện.
(a) Tính xác suất để cả 2 linh kiện lấy ra đều hỏng.
Để tính xác suất linh kiện được lấy ra từ hộp III bị hỏng, trước tiên cần xác định số linh kiện còn lại trong 2 hộp ban đầu và số linh kiện được chuyển vào hộp III Sau đó, từ hộp III, lấy ngẫu nhiên một linh kiện và tính xác suất linh kiện đó bị hỏng dựa trên tỷ lệ linh kiện hỏng trong tổng số linh kiện có trong hộp.
(c) Biết linh kiện lấy ra từ hộp III là hỏng Tính xác suất để 2 linh kiện lấy ra từ hộp I và II lúc ban đầu là hỏng.
Bài tập 2.55 đề cập đến ba cửa hàng I, II và III cùng bán sản phẩm Y, trong đó thị phần của cửa hàng I và III bằng nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II Tỉ lệ sản phẩm loại A tại các cửa hàng lần lượt là 70% ở cửa hàng I, 75% ở cửa hàng II và 50% ở cửa hàng III Một khách hàng sẽ chọn ngẫu nhiên một trong ba cửa hàng để thực hiện việc mua sắm.
2.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 13
(a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loạiA.
(b) Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất.
Bài tập 2.56 Cho ε là một phép thử ngẫu nhiên với 3 biến cố sơ cấp có thể xảy ra làA,B và
C Giả sử ta tiến hành ε vô hạn lần và độc lập nhau Tính theoP(A), P(B)xác suất biến cố A xuất hiện trước B.
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
Bài tập 3.1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi bảng sau:
(a) Tìm hàm phân phối xác suấtF(x).
. (c) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênY =X 2
Bài tập 3.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất cho bởi f(x) = 2x+ 1
25 , x= 0,1,2,3,4 (a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
Bài tập 3.3 Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau
P 0.5 0.2 0.3 (a) Tính độ lệch chuẩn củaX.
(c) Tìm hàm phân phối củaX.
(d) Ta định nghĩa Y =X 2 +X+ 1 Lập bảng phân phối xác suất của Y.
Bài tập 3.4 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x)như sau f(x)
(a) Xác định giá trị của k đểf(x)là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X Vớik vừa tìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.
(b) Tìm hàm phân phốiF(x) của biến ngẫu nhiênX.
(c) Tìm hàm phân phốiG(y) của biến ngẫu nhiên Y =X 3
Bài tập 3.5 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x)
(b) Tìm giá trị củaa sao cho P(X ≤a) = 0,1.
(c) Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y =√
Bài tập 3.7 Cho f X (x) r2 π −x 2 với − r2 π ≤x≤ r2 π Tính P(X 1 với clà một hằng số dương Tìm
Bài tập 3.10 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x)
0 nơi khác Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên sau:
Bài tập 3.11 Tính phương sai của √
Bài tập 3.12 Tính phân vị mức 25% (tức là giá trị x0.25 sao cho P(X < x0.25) = 0.25) của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ sau: f X (x)
1 nếu x≥4 là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục X.
(a) Tính hàm mật độ của X.
(b) Tìm phân vị mức 75% của X (tức là tìm x 0.75 sao cho P(X < x 0.75 ) = 0.75).
(ii) Tính phương sai củaY.
Bài tập 3.14 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x)
(a) Xác định hàm phân phối xác suất F(x) của biến ngẫu nhiên X.
(b) TínhE(X), Var(X) và trung vị của biến ngẫu nhiênX.
X, xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiênY.
Bài tập 3.15 Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ f(x)
(d) Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi.
Bài tập 3.16 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x)
(b) Tìm hàm phân phối xác suấtF(x).
Bài tập 3.17 Có hai thùng thuốc A và B, trong đó:
- thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt
- thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt.
Trong bài toán này, chúng ta sẽ phân tích hai trường hợp lấy mẫu từ các thùng Đầu tiên, khi lấy ra một lọ từ mỗi thùng, ký hiệu X là số lọ hỏng trong hai lọ được lấy ra Mục tiêu là tìm hàm mật độ xác suất của X Tiếp theo, trong trường hợp thứ hai, chúng ta lấy ra ba lọ từ thùng B và ký hiệu Y là số lọ hỏng trong ba lọ này Chúng ta cũng cần xác định hàm mật độ xác suất của Y.
Trong bài tập 3.18, có một thùng chứa 10 lọ thuốc, trong đó có 1 lọ bị hỏng Quá trình kiểm tra từng lọ diễn ra cho đến khi phát hiện được lọ hỏng, và ký hiệu X đại diện cho số lần kiểm tra Cần xác định hàm mật độ của X và tính toán kỳ vọng cùng phương sai của nó.
Bài tập 3.19 Một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau: f X (x)
(b) Tìm hàm phân phối xác suấtF X (x).
(d) Tìm độ lệch chuẩn củaX.
Bài tập 3.20 Gọi X là tuổi thọ của con người Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ của X là f(x)
(b) Tính kì vọng và phương sai của X.
(c) Tính xác suất của một người có tuổi thọ ≥ 60
(d) Tính xác suất của một người có tuổi thọ ≥ 60, biết rằng người đó hiện nay đã 50 tuổi.
Bài tập 3.21 đề cập đến một thiết bị có ba bộ phận hoạt động độc lập, với xác suất hỏng trong khoảng thời gian t lần lượt là 0.2, 0.3 và 0.25 Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là số lượng bộ phận bị hỏng trong thời gian t.
(a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
(b) Viết biểu thức hàm phân phối của X.
Phân phối Bernoulli, nhị thức
Trong bài tập 4.1, có tổng cộng 8000 sản phẩm, trong đó có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Khi lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm mà không hoàn lại, chúng ta cần tính xác suất để trong số 10 sản phẩm này có 2 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn.
Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, xác suất xảy ra phản ứng trung bình là 1 trên 1000 trường hợp Nếu tiêm loại huyết thanh này cho 2000 người, ta cần tính xác suất để có ít nhất một trường hợp phản ứng xảy ra.
(a) có 3 trường hợp phản ứng,
(b) có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng,
(c) có nhiều hơn 3 trường hợp phản ứng.
Bài tập 4.3 Giả sử tỷ lệ sinh con trai và con gái là bằng nhau và bằng 1
2 Một gia đình có 4 người con Tính xác suất để 4 đứa con đó gồm
Bài tập 4.4 Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm là 7%.
(a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm Tính xác suất để i) có đúng một phế phẩm. ii) có ít nhất một phế phẩm.
4.1 Phân phối Bernoulli, nhị thức 24 iii) có nhiều nhất một phế phẩm.
(b) Hỏi phải quan sát ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm ≥0.9
Tỷ lệ mắc một loại bệnh bẩm sinh trong dân số là p = 0.01, và bệnh này yêu cầu sự chăm sóc đặc biệt ngay khi trẻ mới sinh Trong một tuần, một nhà bảo sinh thường tiếp nhận khoảng 20 ca sinh Tính xác suất để có một số trẻ sơ sinh mắc bệnh này trong số ca sinh đó.
(a) không có trường hợp nào cần chăm sóc đặc biệt,
(b) có đúng một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt,
(c) có nhiều hơn một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt.
Tính bằng quy luật nhị thức rồi dùng quy luật Poisson để so sánh kết quả khi ta xấp xỉ phân phối nhị thức B(n;p) bằng phân phối Poisson P(np).
Trong một cuộc bầu cử, tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A là 60% Để khảo sát, 20 cử tri được chọn ngẫu nhiên và ký hiệu X đại diện cho số người bỏ phiếu cho A trong số 20 cử tri này.
(a) Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn và Mod củaX.
Bài tập 4.7 Giả sử tỷ lệ dân cư mắc bệnh A trong vùng là 10% Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm
(a) Viết công thức tính xác suất để trong nhóm có nhiều nhất 50 người mắc bệnh A.
(b) Tính xấp xỉ xác suất đó bằng phân phối chuẩn.
Trong bài tập 4.8, một máy sản xuất sản phẩm loại A với xác suất 0.485 Cần tính xác suất có ít nhất 95 sản phẩm loại A trong tổng số 200 sản phẩm do máy này sản xuất.
Dựa vào số liệu lịch sử, ước tính rằng 85% sản phẩm từ một máy sản xuất là thứ phẩm Nếu máy này sản xuất 20 sản phẩm mỗi giờ, xác suất để có 8 hoặc 9 thứ phẩm trong 30 phút được tính toán như thế nào?
Xác suất trúng số khi mua một vé số là 1% Để đạt được ít nhất 95% hy vọng trúng số ít nhất một lần, cần mua vé số liên tiếp trong tối thiểu 14 tuần.
4.1 Phân phối Bernoulli, nhị thức 25
Trong trò chơi "bầu cua", có ba con xúc sắc với sáu mặt hình: bầu, cua, hưu, nai, tôm và gà Trò chơi diễn ra giữa hai người, một người chơi và một người làm cái Người chơi chỉ đặt cược vào một ô trong mỗi ván Sau nhiều ván chơi, người nào sẽ thắng? Nếu người chơi đặt 1000 đồng mỗi ván, họ sẽ nhận 5000 đồng khi thắng và mất 1000 đồng khi thua Vậy trung bình mỗi ván, người thắng sẽ nhận được bao nhiêu tiền?
Bài tập 4.12 Có ba lọ giống nhau: hai lọ loại I, mỗi lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen; một lọ loại
Trong trò chơi này, có tổng cộng 4 bi trắng và 6 bi đen Mỗi ván, người chơi sẽ ngẫu nhiên chọn một lọ và rút ra hai bi Nếu người chơi rút được hai bi trắng, họ sẽ thắng; nếu không, họ sẽ thua.
(a) Người A chơi trò chơi này, tính xác suất người A thắng ở mỗi ván.
(b) Giả sử người A chơi 10 ván, tính số ván trung bình người chơi thắng được và số ván người
(c) Người A phải chơi ít nhất bao nhiêu ván để xác suất thắng ít nhất một ván không dưới 0,99.
Bài tập 4.13 Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
(a) Giả sử X ∼ B(1, 1 5 ), Y ∼ B(2, 1 5 ) Lập bảng phân phối xác suất của X+Y và kiểm tra rằng X+Y ∼B(3, 1 5 )
(b) Giả sử X ∼ B(1, 1 2 ), Y ∼ B(2, 1 5 ) Tìm phân bố xác suất của X +Y Chứng minh rằng
X+Y không có phân bố nhị thức.
Bài tập 4.14 trình bày tình huống hai cầu thủ ném bóng vào rổ, trong đó cầu thủ thứ nhất thực hiện hai lần ném với xác suất trúng rổ là 0.6 cho mỗi lần, và cầu thủ thứ hai ném một lần với xác suất trúng rổ là 0.7 Gọi X là tổng số lần trúng rổ của cả hai cầu thủ Để lập bảng phân phối xác suất của X, cần lưu ý rằng kết quả của các lần ném rổ là độc lập với nhau.
Bưu điện sử dụng máy tự động để đọc địa chỉ trên bì thư, giúp phân loại nhanh chóng từng khu vực gửi đi Máy có khả năng xử lý 5000 bì thư mỗi phút, với tỷ lệ đọc sai địa chỉ chỉ là 0,04%, tương đương với việc thực hiện 5000 phép thử độc lập.
(a) Tính số bì thư trung bình mỗi phút máy đọc sai.
(b) Tính số bì thư tin chắc nhất trong mỗi phút máy đọc sai.
(c) Tính xác suất để trong một phút máy đọc sai ít nhất 3 bì thư.
Bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi với 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng sẽ được cộng 4 điểm, trong khi câu trả lời sai sẽ bị trừ 2 điểm Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên đáp án cho từng câu hỏi.
Phân phối Poisson
(a) Tính xác suất để học sinh này được 4 điểm.
(b) Tính xác suất để học sinh này bị điểm âm.
(c) Gọi X là số câu trả lời đúng, tính E(X) và V ar(X).
(d) Tính số câu sinh viên này có khả năng trả lời đúng lớn nhất.
Trong bài tập 4.17, quy trình sản xuất yêu cầu kiểm tra chất lượng bằng cách rút ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ tổng số 25 sản phẩm trong một hộp Quy trình được coi là đạt yêu cầu nếu số lượng sản phẩm bị loại không vượt quá một.
Xác suất để quá trình sản xuất đạt yêu cầu ít nhất 7 lần trong một ngày làm việc 8 giờ, khi tất cả các hộp được kiểm tra đều chứa chính xác hai thứ phẩm, là một yếu tố quan trọng cần xem xét Việc tính toán xác suất này giúp đánh giá hiệu quả sản xuất và đảm bảo chất lượng sản phẩm.
(b) Sử dụng phân phối Poisson để xấp xỉ xác suất được tính trong câu (a).
Xác suất mẫu 10 sản phẩm không chứa thứ phẩm được tính dựa trên kết quả kiểm tra chất lượng cuối cùng cho thấy quá trình sản xuất đạt yêu cầu.
Trong bài tập 4.18, một trung tâm bưu điện nhận trung bình 3 cuộc điện thoại mỗi phút, và chúng ta cần tính xác suất nhận được 1, 2, và 3 cuộc gọi trong 1 phút, dựa trên phân phối Poisson Xác suất này được tính bằng công thức Poisson, trong đó λ (lambda) là số cuộc gọi trung bình, cụ thể là 3 Với λ = 3, ta có thể áp dụng công thức để tìm xác suất cho từng trường hợp cụ thể.
Bài tập 4.20 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, X ∼P(λ 1 ), Y ∼P(λ 2 )
Một cửa hàng cho thuê xe ôtô phát hiện rằng số lượng khách hàng đến thuê xe vào ngày thứ bảy cuối tuần, ký hiệu là X, tuân theo phân phối Poisson với tham số λ = 2 Cửa hàng hiện có 4 chiếc ôtô để phục vụ khách hàng.
(a) Tìm xác suất không phải tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê.
(b) Tìm xác suất tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê.
(c) Tìm xác suất cửa hàng không đáp ứng được yêu cầu.
(d) Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê.
(e) Cửa hàng cần có ít nhất bao nhiêu ôtô để xác suất không đáp ứng được nhu cầu thuê bé hơn 2%
Tổng đài bưu điện có tốc độ nhận 2 cuộc gọi mỗi phút, với các cuộc gọi đến xảy ra ngẫu nhiên và độc lập Để xác định xác suất cho một số lượng cuộc gọi nhất định trong khoảng thời gian cụ thể, cần áp dụng các phương pháp thống kê phù hợp.
(a) có đúng 5 cuộc điện thoại trong 2 phút,
(b) không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây,
(c) có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây.
Cuộc gọi đến tổng đài tuân theo phân phối Poisson với mức λ mỗi phút Theo kinh nghiệm, xác suất nhận được một cuộc gọi trong một phút gấp ba lần xác suất không nhận được cuộc gọi nào trong cùng khoảng thời gian đó.
(a) Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong mỗi phút Tính xác suất P(2≤X ≤4).
(b) Ta xét 100 khoảng thời gian một phút liên tiếp và gọi U là số khoảng thời gian một phút không nhận được cuộc gọi điện nào Tính P(U ≤1).
Bài tập 4.24 Tại một điểm bán vé máy bay, trung bình trong 10 phút có 4 người đến mua vé Tính xác suất để:
(a) Trong 10 phút có 7 người đến mua vé.
(b) Trong 10 phút có không quá 3 người đến mua vé.
Trong bài tập 4.25, khách hàng đến quầy thu ngân theo phân phối Poisson với trung bình 5 người mỗi phút Để tính xác suất xuất hiện ít nhất 10 khách hàng trong một khoảng thời gian nhất định, chúng ta cần áp dụng công thức xác suất của phân phối Poisson.
Khách hàng đến quầy thu ngân theo phân phối Poisson với tham số λ = 1 trong mỗi khoảng 2 phút Để tính xác suất thời gian chờ đợi cho đến khi khách hàng tiếp theo xuất hiện (sau khách hàng trước) nhỏ hơn 10 phút, ta cần áp dụng các công thức liên quan đến phân phối Poisson và thời gian chờ.
Trong bài tập 4.27, số lượng nho khô trong một cái bánh quy tuân theo phân phối Poisson với tham số λ Để xác định giá trị λ, mục tiêu là đạt được xác suất 0.925 cho việc có nhiều nhất hai bánh quy trong một hộp 20 bánh không chứa nho khô.
Trạm cho thuê xe Taxi có 3 chiếc xe và phải nộp thuế 8 USD cho mỗi xe hàng ngày, bất kể xe có được thuê hay không Giá cho thuê mỗi chiếc xe là 20 USD Số lượng xe được yêu cầu cho thuê trong một ngày được mô tả bằng phân phối Poisson với trung bình λ = 2.8.
Phân phối chuẩn
(a) Tính số tiền trung bình trạm thu được trong một ngày.
(b) Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe.
(c) Theo bạn, trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?
Bài tập 4.29 Ta có 10 máy sản xuất (độc lập nhau), mỗi máy sản xuất ra 2% thứ phẩm (không đạt chuẩn).
(a) Trung bình có bao nhiêu sản phẩm được sản xuất bởi máy đầu tiên trước khi nó tạo ra thứ phẩm đầu tiên?
(b) Ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ mỗi máy sản xuất Hỏi xác suất nhiều nhất hai thứ phẩm trong 10 sản phẩm này là bao nhiêu?
(c) Làm lại câu (b) bằng cách sử dụng xấp xỉ Poisson.
Để xác định số lượng sản phẩm tối thiểu cần lấy ra từ máy đầu tiên nhằm đạt được xác suất ít nhất một sản phẩm không đạt yêu cầu với xác suất không nhỏ hơn 1/2, ta cần xem xét rằng các sản phẩm được sản xuất là độc lập với nhau.
Kết quả bài kiểm tra chỉ số thông minh (IQ) của học sinh trường tiểu học cho thấy điểm IQ phân phối chuẩn với trung bình là 100 và độ lệch chuẩn là 15 Tỉ lệ học sinh có điểm IQ dưới 91 hoặc trên 130 là một yếu tố quan trọng cần xem xét trong việc đánh giá năng lực học tập của các em.
Bài tập 4.31 Giả sử chiều dài X (đơn vị tính m) của một nơi đỗ xe bất kì tuân theo phân phối chuẩn N(à,0.01à 2 ).
Một người đàn ông sở hữu một chiếc xe hơi cao cấp dài hơn 15% so với chiều dài trung bình của một chỗ đậu xe Điều này đặt ra câu hỏi về tỷ lệ chỗ đậu xe có thể sử dụng cho chiếc xe này.
(b) Giả sử rằng à = 4 Hỏi chiều dài của xe là bao nhiờu nếu ta muốn chủ của nú cú thể sử dụng 90% chỗ đậu xe?
Bài tập 4.32 đề cập đến việc sản xuất chi tiết máy bằng máy tiện tự động, với đường kính có phân phối chuẩn, trung bình là 50 mm và độ lệch chuẩn là 0.05 mm Để được coi là đạt yêu cầu, đường kính của chi tiết máy không được sai lệch quá 0.1 mm.
(a) Tính tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu.
(b) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm đạt yêu cầu.
Trọng lượng X (tính bằng gam) của một loại trái cây có phân phối chuẩn N(μ, σ²), trong đó μ = 500 gam và σ² = 16 gam² Trái cây thu hoạch được phân loại theo trọng lượng như sau:
Tính tỷ lệ mỗi loại.
Một công ty kinh doanh mặt hàng A đang xem xét áp dụng một trong hai phương án kinh doanh Lợi nhuận thu được từ phương án thứ nhất được ký hiệu là X1, trong khi lợi nhuận từ phương án thứ hai được ký hiệu là X2 Cả X1 và X2 đều được tính theo đơn vị triệu đồng mỗi tháng.
Công ty đang xem xét hai sản phẩm, X1 và X2, với phân phối lợi nhuận lần lượt là N(140, 2500) và N(200, 3600) Để đảm bảo sự tồn tại và phát triển, lợi nhuận từ mặt hàng A cần đạt tối thiểu 80 triệu đồng mỗi tháng Do đó, công ty cần lựa chọn phương án kinh doanh phù hợp cho mặt hàng A nhằm đảm bảo đạt được mục tiêu lợi nhuận này.
Nghiên cứu về chiều cao của người trưởng thành cho thấy rằng chiều cao này tuân theo quy luật phân bố chuẩn, với giá trị trung bình đạt 175 cm và độ lệch tiêu chuẩn nhất định.
(a) tỷ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180 cm.
(b) tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm.
(c) tìm h 0 , nếu biết rằng 33% người trưởng thành có tầm vóc dưới mức h 0
(d) giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung bình của nó.
Tuổi thọ X (tính bằng năm) của thiết bị được xem xét, với xác suất ước lượng từ kinh nghiệm trước đây cho thấy rằng thiết bị này có khả năng hoạt động tốt sau 9 năm là 0.1.
(a) Ta đưa ra mô hình sau cho hàm mật độ của X fX(x) = a
(x+ 1) b với x≥0 trong đó a >0 và b >1 Tìm hai hằng sốa, b.
(b) Nếu ta đưa ra một phõn phối chuẩn với trung bỡnh à= 7 cho X, thỡ giỏ trị tham số σ là bao nhiêu?
(c) Ta xét 10 thiết bị loại này một cách độc lập Tính xác suất 8 hoặc 9 thiết bị loại này có tuổi đời hoạt động ít hơn 9 năm.
Entropy H của một biến ngẫu nhiên liên tục X được định nghĩa là H = E[−lnfX(X)], trong đó fX là hàm mật độ xác suất của X và ln là logarit tự nhiên Để tính entropy của biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình 0 và phương sai σ² = 2, ta áp dụng công thức trên để xác định giá trị entropy tương ứng.
Bài tập 5.1 Số liệu về chiều cao của các sinh viên nữ (Đơn vị: inch) trong một lớp học như sau:
(a) Tính chiều cao trung bình và độ lệch tiêu chuẩn.
(b) Trung vị của chiều cao sinh viên lớp này là bao nhiêu?
Bài tập 5.2 Cho bộ dữ liệu sau:
Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch tiêu chuẩn.
Bài tập 5.3 Cho bộ dữ liệu sau:
Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch tiêu chuẩn.
Bài tập 5.4 Xét biểu thức y=Pn i=1(x i −a) 2 Với a nào thìy đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài tập 5.5 Xét yi =a+bxi, i= 1, , n và a, blà các hằng số khác 0 Hãy tìm mối liên hệ giữa x và y, sx và sy.
Giả sử chúng ta có một mẫu cỡ n với các giá trị quan trắc x1, x2, , xn và đã tính được trung bình mẫu xn và phương sai mẫu s²n Khi thêm một giá trị quan trắc mới xn+1, ta sẽ tính lại trung bình mẫu và phương sai mẫu cho mẫu có (n + 1) quan trắc, ký hiệu là xn+1 và s²n+1 tương ứng.
Bài tập 5.7 Từ bảng các số ngẫu nhiên người ta lấy ra 150 số Các số đó được phân thành
Xác định trung bình mẫu và phương sai mẫu.
Bài tập 5.8 Khảo sát thu nhập của công nhân ở một công ty, cho bởi bảng sau (đơn vị ngàn đồng).
Xác định thu nhập trung bình, độ lệch chuẩn.
Bài tập 5.9 Đo lượng huyết tương của 8 người mạnh khoẻ, ta có
2,863,372,752,623,503,253,123,15 Hãy xác định các đặc trưng mẫu.
Bài tập 5.10 Quan sát thời gian cần thiết để sản xuất một chi tiết máy, ta thu được số liệu cho bảng sau:
Khoảng thời gian (phút) Số lần quan sát
Tính trung bình mẫu x, phương sai mẫu s 2
Bài tập 5.11 Đo độ dài của một loại trục xe, ta có kết quả
Hãy tính độ dài trung bình và phương sai mẫu.
Chương 6 Ước lượng tham số thống kê
Ước lượng trung bình tổng thể
Bài tập 6.1 Trên tập mẫu gồm 100 số liệu, người ta tính được x = 0.1 s = 0.014 Xác định khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình thật.
Bài tập 6.2 yêu cầu ước lượng mức lương trung bình của 36 công nhân trong xí nghiệp, với lương trung bình hiện tại là 380 ngàn đồng/tháng và độ lệch chuẩn σ = 14 ngàn đồng Sử dụng độ tin cậy 95%, ta có thể xác định khoảng tin cậy cho mức lương trung bình của toàn bộ công nhân trong xí nghiệp.
Bài tập 6.3 Đo sức bền chịu lực của một loại ống thí nghiệm, người ta thu được bộ số liệu sau
Dựa trên kinh nghiệm nghề nghiệp, sức bền của loại ống này được phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 300 Để xác định khoảng tin cậy 90% cho sức bền trung bình, chúng ta cần áp dụng các phương pháp thống kê phù hợp nhằm đưa ra ước lượng chính xác.
Bài tập 6.4 Sản lượng mỗi ngày của một phân xưởng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn. Kết quả thống kê của 9 ngày cho ta:
27,26,21,28,25,30,26,23,26 Hãy xác định các khoảng tin cậy 95% cho sản lượng trung bình.
Bài tập 6.5 Quan sát chiều cao X (cm) của một số người, ta ghi nhận x (cm) 140-145 145-150 150-155 155-160 160-165 165-170
6.1 Ước lượng trung bình tổng thể 35
(b) Ước lượngà ở độ tin cậy 0.95
Bài tập 6.6 Điểm trung bình môn toán của 100 thí sinh dự thi vào trường A là 5 với độ lệch chuẩn là 2.5.
(a) Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95%.
(b) Với sai số ước lượng điểm trung bình ở câu a) là 0.25 điểm, hãy xác định độ tin cậy.
Bài tập 6.7 Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn
Trong một thử nghiệm ngẫu nhiên với 100 bóng đèn, kết quả cho thấy tuổi thọ trung bình của mỗi bóng là 1000 giờ Để ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn sản xuất tại xí nghiệp A với độ tin cậy 95%, cần áp dụng các phương pháp thống kê phù hợp nhằm xác định khoảng tin cậy cho giá trị này.
(b) Với dung sai của ước lượng tuổi thọ trung bình là 15 giờ, hãy xác định độ tin cậy.
(c) Để dung sai của ước lượng tuổi thọ trung bình không quá 25 giờ với độ tin cậy là 95% thì cần phải thử nghiệm ít nhất bao nhiêu bóng.
Khối lượng các bao bột mì tại cửa hàng lương thực tuân theo phân phối chuẩn Sau khi kiểm tra 20 bao, khối lượng trung bình mỗi bao là 48kg, với phương sai mẫu là s² = (0.5 kg)².
(a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khối lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng.
(b) Với dung sai của ước lượng ở câu a) là 0.284 kg, hãy xác định độ tin cậy.
(c) Để dung sai của ước lượng ở câu a) không quá 160 g với độ tin cậy là 95%, cần phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu bao?
Trong bài tập 6.9, chúng ta tiến hành đo đường kính của một chi tiết máy được sản xuất bởi máy tiện tự động Các số liệu ghi nhận được bao gồm các giá trị đường kính x là 12.00, 12.05, 12.10, 12.15, 12.20, 12.25, 12.30, 12.35 và 12.40 mm, với số lượng trường hợp tương ứng n là 2, 3, 7, 9, 10, 8, 6, 5, 3 Số liệu này giúp phân tích sự phân bố và độ chính xác của đường kính chi tiết máy.
(a) Tính trung bình mẫu x và độ lệch chuẩns của mẫu.
(b) Ước lượng đường kớnh trung bỡnhà ở độ tin cậy 0.95.
Ước lượng tỉ lệ tổng thể
(c) Nếu muốn sai số ước lượng không quáε = 0.02 mmở độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít nhất mấy trường hợp.
Bài tập 6.10 Người ta đo ion N a+trên một số người và ghi nhận lại được kết quả như sau
(a) Tính trung bình mẫu x và phương sai mẫu s 2
(b) Ước lượng trung bỡnh àcủa tổng thể ở độ tin cậy 0.95.
(c) Nếu muốn sai số ước lượng trung bình không quá ε = 1 với độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát mẫu gồm ít nhất mấy người?
Bài tập 6.11 yêu cầu quan sát tuổi thọ (giờ) của các bóng đèn do xí nghiệp A sản xuất, với dữ liệu ghi nhận như sau: tuổi thọ x được ghi nhận là 1000, 1100, 1200, 1300, 1400, 1500, 1600, 1700, 1800 giờ, tương ứng với số trường hợp n là 10, 14, 16, 17, 18, 16, 16, 12, 9.
(a) Tính trung bình mẫu x và độ lệch chuẩn mẫus.
(b) Ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn ở độ tin cậy 0.95.
(c) Nếu muốn sai số ước lượng không quáε= 30 giờ với độ tin cậy 0.99 thì phải quan sát mẫu gồm ít nhất mấy bóng đèn?
Chiều dài của sản phẩm xuất khẩu được mô hình hóa bằng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với giá trị trung bình (μ) là 100 mm và phương sai (σ²) là 4² mm² Để kiểm tra 25 sản phẩm ngẫu nhiên, cần xác định khả năng chiều dài trung bình của các sản phẩm này nằm trong khoảng từ 98 mm đến 101 mm.
6.2 Ước lượng tỉ lệ tổng thể
Trước bầu cử, một cuộc khảo sát ngẫu nhiên với 2000 cử tri cho thấy 1380 người ủng hộ ứng cử viên K Với độ tin cậy 95%, ứng cử viên này tối thiểu nhận được khoảng 69% phiếu bầu.
Để chứng minh hiệu quả của một loại thuốc giảm tỷ lệ tử vong từ 0.01 xuống dưới 0.005 với độ tin cậy 0.95, cần thử nghiệm trên một mẫu đủ lớn Số lượng người tham gia thử nghiệm tối thiểu phải được tính toán dựa trên các yếu tố thống kê để đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy của kết quả.
Tổng hợp
Để ước lượng xác suất mắc bệnh gan với độ tin cậy 90% và sai số không vượt quá 2%, cần xác định số lượng người cần khám Theo thông tin đã cho, tỷ lệ mắc bệnh gan thực nghiệm là 0,9 Việc tính toán số người cần khảo sát sẽ giúp đảm bảo độ chính xác trong việc đánh giá tình trạng bệnh gan trong cộng đồng.
Trong một nghiên cứu với 100 người, có 20 người được xác định mắc bệnh sốt xuất huyết Để ước lượng tỷ lệ mắc bệnh này với độ tin cậy 97%, ta cần tính toán dựa trên số liệu đã thu thập Nếu mục tiêu là đạt được sai số ước lượng không quá 3% với độ tin cậy 95%, cần xác định số lượng người tham gia quan sát tối thiểu để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
Bài tập 6.17 Một loại thuốc mới đem điều trị cho 50 người bị bệnh B, kết quả có 40 người khỏi bệnh.
(a) Ước lượng tỷ lệ khỏi bệnhp nếu dùng thuốc đó điều trị với độ tin cậy 0.95 và 0.99.
(b) Nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.02 ở độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít nhất mấy trường hợp?
Bài tập 6.18 Ta muốn ước lượng tỷ lệ viên thuốc bị sức mẻ p trong một lô thuốc lớn.
(a) Nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.01 với độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít nhất mấy viên?
(b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 18 viên bị sứt mẻ Hãy ước lượng p ở độ tin cậy 0.95.
(c) Khi đó, nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.01 với độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít nhất mấy viên?
Để ước lượng số cá trong ao với độ tin cậy 95%, người ta đã bắt 2000 con cá, đánh dấu và thả lại Sau đó, khi bắt thêm 500 con, phát hiện có 20 con cá được đánh dấu Từ tỷ lệ cá đánh dấu trong lần bắt thứ hai, có thể áp dụng phương pháp thống kê để ước tính tổng số cá trong hồ.
Để dự đoán số lượng chim thường nghỉ tại vườn, chủ vườn đã bắt 89 con chim và đeo khoen cho chúng Sau một thời gian, ông bắt ngẫu nhiên 120 con chim và phát hiện có 7 con có đeo khoen Dựa vào số liệu này, có thể áp dụng phương pháp thống kê để ước lượng tổng số chim trong vườn với độ tin cậy 99%.
Bài tập 6.21 Cân thử 100 quả cam, ta có bộ số liệu sau:
(a) Hãy ước lượng khối lượng trung bình các quả cam ở độ tin cậy 95%.
(b) Cam có khối lượng dưới 34 g được coi là cam loại 2 Tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ loại
Bài tập 6.22 Đem cân một số trái cây vừa thu hoạch, ta được kết quả sau:
(a) Tỡm khoảng ước lượng của trọng lượng trung bỡnh à của trỏi cõy với độ tin cậy 0.95 và 0.99.
(b) Nếu muốn sai số ước lượng không quá ε = 2 gam ở độ tin cậy 99% thì phải quan sát ít nhất bao nhiêu trái?
Trái cây có khối lượng từ 230 gam trở lên được phân loại là loại A Để ước lượng tỷ lệ của trái cây loại A với độ tin cậy 0.95 và 0.99, cần xác định khoảng ước lượng chính xác Nếu yêu cầu sai số ước lượng không vượt quá 0.04 với độ tin cậy 0.99, số lượng trường hợp cần quan sát tối thiểu sẽ được tính toán để đảm bảo độ chính xác.
Kiểm định giả thuyết thống kê
So sánh kì vọng với một số cho trước
Giám đốc một xí nghiệp thông báo rằng lương trung bình của công nhân là 380 ngàn đồng/tháng Tuy nhiên, khi chọn ngẫu nhiên 36 công nhân, lương trung bình ghi nhận chỉ là 350 ngàn đồng/tháng với độ lệch chuẩn là 40 Để xác định tính tin cậy của báo cáo này, cần kiểm tra với mức ý nghĩa α= 5%.
Trong thập niên 80, trọng lượng trung bình của thanh niên là 48 kg Hiện nay, để xác định lại trọng lượng này, một nghiên cứu đã được thực hiện với việc chọn ngẫu nhiên 100 thanh niên để đo trọng lượng trung bình của họ.
50 kg và phương sai mẫu s 2 = (10 kg) 2 Thử xem trọng lượng thanh niên hiện nay phải chăng có thay đổi, với mức có ý nghĩa là 1%?
Một cửa hàng thực phẩm ghi nhận rằng trung bình mỗi khách hàng chi tiêu 25.000 đồng cho thực phẩm trong một ngày Khi khảo sát ngẫu nhiên 15 khách hàng, cửa hàng phát hiện rằng trung bình mỗi khách hàng chỉ mua 24.000 đồng, với phương sai mẫu là 2.000 đồng.
Với mức ý nghĩa 5%, chúng ta tiến hành kiểm định để xác định xem sức mua của khách hàng có thực sự giảm sút hay không, với giả định rằng sức mua này tuân theo phân phối chuẩn.
Theo nghiên cứu, lượng huyết sắc tố trung bình của người Việt Nam là 138,3 g/l Tuy nhiên, khi khám 80 công nhân làm việc tại nhà máy tiếp xúc với hóa chất, kết quả cho thấy huyết sắc tố trung bình của nhóm này chỉ đạt 120 g/l với độ lệch chuẩn là 15 g/l.
Kết quả nghiên cứu cho thấy lượng huyết sắc tố trung bình của công nhân nhà máy hóa chất này thấp hơn mức trung bình chung Kết luận được đưa ra với mức ý nghĩa α = 0.05.
Bài tập 7.5 Trong điều kiện chăn nuôi bình thường, lượng sữa trung bình của 1 con bò là
Trong một nghiên cứu về sản lượng sữa bò, có nghi ngờ rằng điều kiện chăn nuôi kém đã dẫn đến sự giảm sút lượng sữa từ 14 kg/ngày xuống mức trung bình 12.5 kg/ngày Để kiểm tra giả thuyết này, một cuộc điều tra ngẫu nhiên đã được thực hiện trên 25 con bò, với độ lệch chuẩn s = 2.5 Sử dụng mức ý nghĩa α = 0.05, kết quả cho thấy có đủ bằng chứng để bác bỏ giả thuyết rằng lượng sữa bò vẫn duy trì ở mức 14 kg/ngày, xác nhận nghi ngờ về sự suy giảm sản lượng sữa do điều kiện chăn nuôi không đảm bảo.
7.1 So sánh kì vọng với một số cho trước 40
Tiền lương trung bình của công nhân trước đây là 400 ngàn đồng/tháng Sau khi khảo sát 100 công nhân, kết quả cho thấy tiền lương hiện tại là 404.8 ngàn đồng/tháng với độ lệch chuẩn là 20 ngàn đồng/tháng Mức ý nghĩa α được thiết lập là 1%.
(a) Nếu lập giả thiết 2 phía và giả thiết 1 phía thì kết quả kiểm định như thế nào?
(b) Giống câu a, vớix= 406 ngàn đ/tháng và s= 20 ngàn đ/tháng.
Bài tập 7.7 đề cập đến một máy đóng gói sản phẩm có khối lượng 1 kg Do nghi ngờ máy hoạt động không bình thường, một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 sản phẩm đã được chọn để kiểm tra.
Với mức ý nghĩa 0.05, hãy kết luận về nghi ngờ trên.
Trọng lượng trung bình khi xuất chuồng tại trại chăn nuôi trước đây là 3.3 kg/con Năm nay, trại đã áp dụng một loại thức ăn mới và tiến hành cân thử 15 con khi xuất chuồng để thu thập dữ liệu.
Giả thiết trọng lượng gà là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn.
(a) Với mức ý nghĩaα = 0.05 Hãy cho kết luận về tác dụng của loại thức ăn này?
(b) Nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là 3.5 kg/con thì có chấp nhận được không? (α = 0.05).
Bài tập 7.9 Đo cholesterol (đơn vị mg%) cho một nhóm người, ta ghi nhận lại được
Cho rằng độ cholesterol tuân theo phân phối chuẩn.
(a) Tính trung bình mẫu x và phương sai mẫu s 2
(b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình cholesterol trong dân số ở độ tin cậy 0.95.
(c) Cú tài liệu cho biết lượng cholesterol trung bỡnh là à 0 = 175 mg% Giỏ trị này cú phự hợp với mẫu quan sát không? (kết luận với α = 0.05).
7.1 So sánh kì vọng với một số cho trước 41
Bài tập 7.10 Quan sát số hoa hồng bán ra trong một ngày của một cửa hàng bán hoa sau một thời gian, người ta ghi được số liệu sau:
Giả thiết rằng số hoa bán ra trong ngày có phân phối chuẩn.
(a) Tìm trung bình mẫux, phương sai mẫu s 2
Ông chủ cửa hàng đã tính toán và nhận thấy rằng nếu trung bình mỗi ngày không bán được 15 đoá hoa, thì việc đóng cửa cửa hàng sẽ là lựa chọn tốt hơn Dựa trên số liệu thống kê, cần xem xét liệu ông có nên tiếp tục kinh doanh hay không với mức ý nghĩa α = 0.05.
Giả sử rằng những ngày bán được từ 13 đến 17 đoá hồng được coi là "bình thường", chúng ta cần ước lượng tỉ lệ của những ngày bình thường tại cửa hàng với độ tin cậy 90% Việc này sẽ giúp xác định khả năng xảy ra của các ngày bán hàng trong khoảng này, từ đó hỗ trợ cho việc lập kế hoạch kinh doanh hiệu quả hơn.
Một xí nghiệp sản xuất thép đã cải tiến quy trình sản xuất và kiểm tra 36 sản phẩm, với số khuyết tật trung bình ở mỗi sản phẩm là 3 Kết quả cho thấy sự tiến bộ trong chất lượng sản phẩm sau khi áp dụng phương pháp mới.
Số khuyết tật trên sản phẩm 0 1 2 3 4 5 6
Số sản phẩm tương ứng 7 4 5 7 6 6 1
Giả sử số khuyết tật của các sản phẩm có phân phối chuẩn.
(a) Hãy ước lượng số khuyết tật trung bình ở mỗi sản phẩm sau khi cải tiến, với độ tin cậy 90%.
(b) Hãy cho kết luận về hiệu quả của việc cải tiến sản xuất ở mức ý nghĩa 0.05.
Khi đánh giá tác dụng của chế độ ăn bồi dưỡng dựa trên số hồng cầu của 20 người trước và sau khi ăn, kết quả cho thấy sự thay đổi rõ rệt Số liệu trước khi ăn bồi dưỡng là: 32, 40, 38, 42, 41, 35, 36, 47, 50, 30 và sau khi ăn là: 40, 45, 42, 50, 52, 43, 48, 45, 55, 34 Với mức ý nghĩa α = 0.05, có thể kết luận rằng chế độ ăn bồi dưỡng này có tác dụng tích cực trong việc tăng cường số lượng hồng cầu.
