PHẦN NỘI DUNG
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.1.1 Khái niệm về tư duy
Tư duy là một quá trình tâm lý cao cấp, phản ánh nhận thức lý tính về thế giới xung quanh, vượt qua cảm giác và tri giác Nó cho phép con người hiểu rõ hơn về bản chất và mối liên hệ quy luật của sự vật, hiện tượng trong thực tế Theo từ điển Triết học, tư duy là sản phẩm tối cao của bộ não, thể hiện qua các khái niệm, phán đoán và lý luận Tư duy không chỉ xuất hiện trong hoạt động sản xuất mà còn gắn liền với ngôn ngữ, giúp phản ánh thực tại một cách gián tiếp và phát hiện các mối liên hệ hợp quy luật Những quá trình như trừu tượng hóa, phân tích tổng hợp và đề xuất giả thuyết là những biểu hiện tiêu biểu của tư duy, và kết quả cuối cùng luôn là một ý nghĩ cụ thể.
Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau:
Tư duy chỉ xuất hiện khi con người đối mặt với những tình huống có vấn đề, nơi mà các mục tiêu mới phát sinh và phương pháp cũ không còn hiệu quả Để kích thích tư duy, cá nhân cần nhận thức đầy đủ về hoàn cảnh vấn đề, chuyển đổi nó thành nhiệm vụ tư duy của chính mình Điều này bao gồm việc xác định những gì đã biết, những gì chưa biết và nhu cầu tìm kiếm thông tin mới.
Tư duy có tính gián tiếp, phản ánh sự vật và hiện tượng qua ngôn ngữ Nó được biểu hiện thông qua từ ngữ, trong đó các quy luật, quy tắc, sự kiện và mối liên hệ được khái quát Hơn nữa, những phát minh và kết quả tư duy của người khác, cùng với kinh nghiệm cá nhân, là công cụ hữu ích giúp con người hiểu biết về các hiện tượng trong thực tế mà không thể nhận thức trực tiếp.
Tư duy có khả năng trừu tượng hóa và khái quát hóa, cho phép con người tách biệt những thuộc tính cụ thể của sự vật hiện tượng để giữ lại những đặc điểm bản chất chung Nhờ vào khả năng này, con người có thể nhóm các sự vật và hiện tượng khác nhau dựa trên những thuộc tính chung, từ đó hình thành những khái niệm và phạm trù mới Điều này không chỉ giúp con người hiểu biết sâu sắc hơn về thế giới xung quanh mà còn mở ra khả năng nhìn nhận và dự đoán tương lai.
Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ, trong đó tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ như một phương tiện biểu đạt Tư duy không thể tồn tại độc lập mà không có ngôn ngữ, và ngôn ngữ cũng không thể phát triển nếu thiếu tư duy Mặc dù tư duy và ngôn ngữ thống nhất nhưng không đồng nhất, chúng không thể tách rời nhau.
Tư duy và nhận thức cảm tính có mối quan hệ hai chiều chặt chẽ; tư duy dựa trên tài liệu từ nhận thức cảm tính và kết quả của tư duy được kiểm tra qua thực tiễn Ngược lại, tư duy cũng ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính Điều này cho thấy tư duy là sản phẩm của sự phát triển lịch sử - xã hội và mang bản chất xã hội.
1.1.3 Các thao tác của tư duy a Các giai đoạn hoạt động của tư duy
Mỗi hành động tư duy đại diện cho quá trình giải quyết một nhiệm vụ, phát sinh từ nhận thức hoặc hoạt động thực tiễn của con người Tư duy được coi là một hoạt động trí tuệ bao gồm nhiều giai đoạn khác nhau.
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra. b Các thao tác tư duy
Các giai đoạn của tư duy chỉ thể hiện bề ngoài và cấu trúc bên ngoài của quá trình tư duy Tuy nhiên, bên trong quá trình này diễn ra các thao tác trí tuệ và quy luật tư duy, phản ánh những hoạt động tư duy sâu sắc hơn Những thao tác này đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành nội dung tư duy.
+ Phân tích và tổng hợp.
Phân tích là quá trình tách một hệ thống thành các phần riêng lẻ, trong khi tổng hợp là liên kết những phần đó thành một hệ thống hoàn chỉnh Mặc dù phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau, chúng lại bổ sung cho nhau trong một quá trình thống nhất.
+ So sánh và tương tự.
So sánh là quá trình nhận thức để xác định sự tương đồng hoặc khác biệt giữa các sự vật và hiện tượng, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự đồng nhất hay không đồng nhất, cũng như mối quan hệ về mức độ bằng nhau hay không bằng nhau giữa chúng.
Sự phát hiện bằng trí óc cho phép nhận diện sự giống nhau giữa các đối tượng, từ đó dự đoán các sự kiện liên quan dựa trên những thông tin đã biết về đối tượng này.
Trừu tượng hóa là quá trình tách biệt những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, với sự phân biệt này mang tính tương đối và phụ thuộc vào mục đích của hành động.
+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa.
Khái quát hóa là quá trình chuyển đổi từ một tập hợp đối tượng cụ thể sang một tập hợp lớn hơn, nhấn mạnh những đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp ban đầu, trong khi trừu tượng hóa là điều kiện cần thiết cho khái quát hóa Ngược lại, đặc biệt hóa là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng lớn sang một tập hợp nhỏ hơn nằm trong tập hợp đó Hai khái niệm khái quát hóa và đặc biệt hóa thể hiện hai khía cạnh đối lập nhưng thống nhất trong quá trình tư duy.
1.1.4 Các loại hình tư duy
Trong quá trình học, học sinh không chỉ tiếp thu kiến thức mà còn phát triển kỹ năng tư duy, giúp họ nhận thức nhanh chóng và chính xác về đối tượng cần lĩnh hội, mục đích đạt được và con đường tối ưu để thực hiện điều đó Kỹ năng tư duy cho phép người học áp dụng kiến thức vào nghiên cứu các lĩnh vực khác nhau Điều quan trọng là nắm bắt bản chất của sự vật và hiện tượng, từ đó sáng tạo trong việc áp dụng vào các tình huống khác Thông qua tư duy, học sinh có khả năng phát hiện vấn đề, đề xuất giải pháp, phân tích và đánh giá quan điểm cũng như phương pháp của người khác, đồng thời bảo vệ quan điểm cá nhân bằng lý do và nội dung thuyết phục.
Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát triển các loại tư duy:
Trong quá trình học tập, học sinh được rèn luyện tư duy độc lập, giúp họ nắm bắt vấn đề một cách tự nhiên và đúng quy luật nhận thức Tính độc lập này thể hiện qua khả năng tự phát hiện vấn đề, xác định phương hướng, tìm ra giải pháp và kiểm tra, hoàn thiện kết quả.
GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH
2.1 Rèn luyện tư duy trí tuệ
Bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh cần gắn liền với các hoạt động trí tuệ như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa và trừu tượng hóa Trong đó, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động nền tảng Việc rèn luyện cho học sinh những kỹ năng này là yếu tố quan trọng nhất trong quá trình dạy học tư duy toán học.
2.1.1 Rèn luyện tư duy phân tích – tổng hợp:
Trong quá trình dạy học và giải toán, năng lực phân tích và tổng hợp là yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng hiệu quả Các thao tác tư duy này là những bước cơ bản trong hoạt động trí tuệ, không thể tách rời khỏi nhau Để phát triển tư duy cho học sinh, cần chú trọng rèn luyện khả năng phân tích và tổng hợp, vì chúng là hai mặt của một quá trình thống nhất, hỗ trợ lẫn nhau trong việc hình thành kiến thức.
Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia và học sinh giỏi, nhiều học sinh gặp khó khăn với các bài toán về khoảng cách Nguyên nhân chủ yếu là do các em chưa nắm vững khái niệm về khoảng cách và thiếu kỹ năng phân tích, tổng hợp Để giúp học sinh giải quyết vấn đề này, cần rèn luyện tư duy phân tích và tổng hợp, giúp các em nhận biết đặc điểm riêng của bài toán Hoạt động phân tích giả thiết và kết luận của bài toán nhằm tách bài toán thành các bài toán nhỏ đã biết cách giải, từ đó chuyển đổi bài toán thành dạng quen thuộc hơn Mục tiêu của phân tích là "quy lạ về quen".
Bài 1.1 (Bài toán mở đầu) [Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021] :
Cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và
BA BB BC a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ABB A 1 1 Định hướng 1: sử dụng định nghĩa
Giả thiết giúp chúng ta hiểu rõ về hình lăng trụ, đặc biệt là hình lăng trụ có đáy là tam giác đều, với các tính chất nổi bật Các đoạn thẳng BA, B1 và BC1 bằng nhau cho thấy sự đối xứng và tính chất đặc trưng của hình lăng trụ này, từ đó chúng ta có thể khám phá thêm về hình học không gian và các ứng dụng của nó trong thực tế.
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chúng ta cần xác định các phương pháp phù hợp Kết luận từ bài toán yêu cầu chúng ta khám phá các phương pháp tính toán hiệu quả để đạt được kết quả chính xác.
Để tính khoảng cách theo định hướng, phương pháp dựng hình chiếu của một điểm đến một mặt phẳng là rất quan trọng Việc sử dụng định nghĩa này giúp xác định vị trí tương đối và khoảng cách chính xác giữa các điểm trong không gian.
+) Đáy là tam giác đều cạnh a thì ta tính đươc AI, OI, 1 3
+) BA 1 BB 1 BC 1 a 3 gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C 1 1 1 thì SO A B C 1 1 1 .
+) Để tích khoảng cách theo định nghĩa ta cần dựng hình chiếu của C lên mặt phẳng ABB A 1 1 , giả sử là điểm E.
+) Gọi F là trung điểm AB thì hai mặt phẳng CFA 1 / / BIC 1
+) Độ dài CE chính là độ dài đường cao của tam giác (CFA 1 ) Tức là độ dài đường cao từ C 1 của tam giác BC 1 I
Từ phân tích trên ta thấy để tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng ABB A 1 1 ta chỉ cần tính độ dài đường cao của tam giác BC1I
CE BI Định hướng 2: Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách:
Vấn đề được đặt ra là liệu có thể tính khoảng cách từ một điểm khác đến mặt phẳng \( ABB A 1 1 \) một cách đơn giản hơn so với việc tính khoảng cách từ điểm C hay không?
Nhận thấy O là chân đường cao hạ từ B đến mặt phẳng A B C 1 1 1 , ta có thể tính khoảng cách từ O đến ABB A 1 1 hay không?
Từ những phân tích trên ta có lới giải theo định hướng thứ 2 như sau:
Kẻ C H 1 BI , mà C H 1 A B 1 1 � C H 1 A B BA 1 1 Vì CC 1 // A B BA 1 1 :
A BC là tam giác đều Suy ra :
Bài 1.2 (bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng) [Kỳ thi
Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2019 mã đề 101, câu 40, có một bài toán liên quan đến hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD.
Để giúp học sinh nắm vững cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, việc rèn luyện tư duy phân tích và tổng hợp là rất quan trọng Học sinh cần được hướng dẫn theo nhiều định hướng khác nhau nhằm xác định khoảng cách một cách chính xác Qua đó, các em sẽ có khả năng lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết bài toán khoảng cách hiệu quả Định hướng đầu tiên là tính khoảng cách dựa trên định nghĩa cụ thể.
Phân tích: Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần làm gì?
Dựng hình chiếu điểm A đến mặt phẳng (SBD) ta dựng như thế nào?.
Để xác định chiều cao từ điểm S đến mặt phẳng ABCD, ta cần tìm điểm H Để tính khoảng cách AI, cần khám phá mối liên hệ giữa AI và giả thiết của bài toán Để tính chiều cao trong tam giác, ta cần xác định các yếu tố liên quan như độ dài cạnh, góc và các công thức hình học phù hợp.
Gọi H là trung điểm AB, O là tâm của hình vuông ABCD Suy ra SH ( ABCD ) Gọi I là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD) � AI BD � BD AOI Gọi
M OI � SD , G OA � HD , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABD, SH / / GM do cùng nằm trong mặt phẳng (SHD) và cùng vuông góc với BD
SH GM SH AO GO AO
Định hướng 2: Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách:
Vấn đề đặt ra là thay vì tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD, liệu có thể tính khoảng cách từ một điểm khác đến mặt phẳng đó một cách đơn giản hơn hay không?
Nếu H là trung điểm AB thì có tính được khoảng các từ H đến (SBD) hay không?
Gọi H là trung điểm AB Suy ra SH ( ABCD ) và
Gọi I là trung điểm OB, suy ra IH / / OA (với O là tâm của hình vuông đáy).
Kẻ HK SI � HK SBD .
� Định hướng 3: Sử dụng vào tính chất của tứ diện vuông:
Thay vì tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho bất kỳ hình đa diện nào, chúng ta có thể tập trung vào việc xác định khoảng cách cho một hình đặc biệt, cụ thể là tứ diện vuông.
Gọi O AC � BD , H là trung điểm của AB ta có SH ABCD ta có tứ diện vuông SHBO vuông tại H Nên:
H SBD A SBD d SH HO BH a a a a a a d d
� � Định hướng 4: Dựa vào tích có hướng
Hãy chọn hệ trục tọa độ và gán tọa độ các điểm trong hệ trục tọa độ đó?
Gọi H là trung điểm của AB, N là trung điểm CD Do tam giác SAB đều cạnh a nên: 3 ; ;
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H 0;0;0 ; B � � � a 2 ;0;0 ; � � � N 0; ;0 ; a S � � � � 0;0; a 2 3 � � � �
SB SD SA a d SB SD
� � uur uuur uur uur uuur Định hướng 5: dựa vào thể tích
Để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, chúng ta có thể tính toán chiều cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ Vì vậy, việc tìm hiểu thể tích và diện tích đáy của hình chóp tương ứng là rất quan trọng.
Gọi H là trung điểm AB Suy ra SH ( ABCD ) 3
� , O là tâm của hình vuông ABCD
SB a BD a SD SH HD a
S SB SD BD SB SD BD SB SD BD SD SB BD a
� Định hướng 6 : dựa vào công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phảng khi biết phương trình mặt phẳng
Trong phương pháp tọa độ, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là rất quan trọng Việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài toán thông qua công thức này giúp nâng cao khả năng tư duy và ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn.
Để hướng dẫn học sinh chọn hệ trục tọa độ, cần xác định gốc và trục tọa độ một cách chính xác Việc viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm cũng rất quan trọng, từ đó có thể tính khoảng cách theo công thức phù hợp.
Gọi H là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD Ruy ra SH ABCD
Vì tam giác SAB đều nên , ,
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: H 0;0;0 ; B � � � 2 a ;0;0 ; � � � N 0; ;0 ; a S � � � � 0;0; a 2 3 � � � �
Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD) Khi đó:
Phương trình mặt phẳng (SBD) đi qua ;0;0
Bài 1.3 (bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau) [Kỳ thi
KẾT LUẬN
1 Quá trình nghiên cứu của đề tài. Đề tài được nghiên cứu bắt đầu từ đầu năm học 2020 – 2021 đến nay Trong quá trình nghiên cứu tôi đã nghiên cứu kỹ các đề thi của các năm và các đề thi thử THPT Quốc gia, tìm hiểu một số bài viết của một số thầy cô trên mạng internet Nghiên cứu kỹ về sách giáo khoa hình cơ bản và nâng cao của lớp 11, 12
Trong quá trình dạy học, việc tìm hiểu học sinh thông qua các cuộc thi như thi thử, thi học kỳ, thi THPT Quốc gia, thi HSG và thi tốt nghiệp THPT là rất quan trọng Những cuộc thi này không chỉ giúp đánh giá năng lực học tập mà còn phản ánh những khó khăn mà học sinh gặp phải trong việc tìm hiểu và nắm bắt kiến thức Việc nhận diện những thách thức này sẽ hỗ trợ giáo viên trong việc điều chỉnh phương pháp giảng dạy, từ đó nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh.
Khi nhận thấy giáo viên thiếu công cụ và học sinh gặp khó khăn trong việc xác định khoảng cách, tôi đã suy nghĩ và tìm kiếm các giải pháp nhằm hỗ trợ cả học sinh lẫn giáo viên vượt qua những trở ngại này.
Tôi đã khám phá nhiều phương pháp giải quyết các bài toán khoảng cách, đặc biệt là những câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây Qua đó, tôi cung cấp các hướng tiếp cận khác nhau nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức và cải thiện kỹ năng giải bài tập về khoảng cách.
Sau khi xác định các định hướng để tìm khoảng cách trong không gian, tôi đã tổ chức các buổi học chính khóa và ôn thi nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh.
Kết quả nghiên cứu được thể hiện rõ ràng thông qua khảo sát học sinh, cho thấy đề tài đã xây dựng một hệ thống kỹ năng toàn diện để tính toán khoảng cách trong không gian.
2 Ý nghĩa của đề tài Đề tài “Rèn luyện tư duy giải toán khoảng cách trong không gian theo những định hướng khác nhau’’ đã thu được những kết quả chính sau đây:
1 Làm rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện và phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh Vai trò này được cụ thể hóa bằng việc phân tích, nhận xét từng vấn đề, từng khía cạnh đã trình bày.
2 Đ ề t à i đã phân tích rõ thực trạng của vấn đề r è n l u y ệ n một số năng lực tư duy toán học cho học sinh.
3 Xây dựng được một số ví dụ về tìm khoảng cách theo những định hướng khác nhau.
4 Xây dựng được một số biện pháp sử dụng các ví dụ về giải toán khoảng cách để phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh.5 Đã soạn được một số giáo án dùng cho thực nghiệm giảng dạy tại trường Xây dựng được một số đề kiểm tra nhằm đánh giá kết quả của việc áp dụng đề tài tại trường.
Từ những kết quả trên cho thấy nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành, giả thuyết khoa học đặt ra trong đ ề t à i là chấp nhận được.
Dù đã cố gắng nghiên cứu, nhưng do hạn chế về thời gian, năng lực và trình độ cá nhân, bài viết vẫn còn nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý từ các thầy cô giáo, anh chị và bạn bè đồng nghiệp để hoàn thiện hơn.
3 Kiến nghị đề xuất Đối với bộ giáo dục: có thể sử dụng đề tài để biên soạn sách giáo khoa theo hướng đổi mới, tăng cường về rèn luyện tư duy, giáo dục kỹ năng cho học sinh nói chung và kỹ năng tìm khoảng cách nói riêng. Đối với sở giáo dục và đào tạo Nghệ An: có thể triển khai rộng rãi đề tài để giúp cán bộ giáo viên dạy bộ môn hình học lớp 11, 12, ôn thi THPT Quốc gia có thêm nguồn tài liệu để hỗ trợ cho giảng dạy. Đối với học sinh: đây là nguồn tài liệu giúp học sinh nắm vững về lý thuyết, phương pháp tìm khoảng cách, cũng như rèn luyện cho học sinh những kỹ năng tư duy khác nhau để tìm khoảng cách trong không gian, trong các bài toán thực tế của đời sống.
Dù đã nỗ lực tìm hiểu và rút ra kinh nghiệm, tôi vẫn mong nhận được sự hỗ trợ và ý kiến đóng góp từ các thầy cô và đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài và nâng cao hiệu quả giảng dạy Xin chân thành cảm ơn.
