SKKN Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt

Lí do ch ọn đề tài

Trong bối cảnh hiện nay, giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc đổi mới phương pháp dạy học Họ cần có kiến thức đa dạng và xác định rõ những vấn đề cần cải cách Kỹ năng truyền đạt kiến thức, sự chủ động và sáng tạo của giáo viên là yếu tố quyết định giúp học sinh tự học, tự áp dụng kiến thức, hợp tác và chia sẻ Điều này khuyến khích học sinh khám phá và khai thác tri thức một cách hiệu quả.

Chủ đề dãy số trong chương trình Đại số và Giải tích 11 là một nội dung quan trọng, thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi Toán THPT, nhưng lại rất trừu tượng và khó khăn cho học sinh, đặc biệt là trong việc tìm công thức số hạng tổng quát Khi đã xác định được công thức này, học sinh có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn Do đó, giáo viên cần nắm vững kiến thức và kĩ năng để hướng dẫn học sinh từ những vấn đề đơn giản đến phức tạp, đồng thời khuyến khích tính tích cực và chủ động trong học tập Đổi mới phương pháp giảng dạy là cần thiết, và giáo viên đóng vai trò quyết định trong quá trình này, không chỉ dựa vào kiến thức mà còn vào phẩm chất và kinh nghiệm của mình trong việc dẫn dắt học sinh tự học Vì lý do đó, tôi chọn đề tài nghiên cứu này.

“Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt”.

M ục đích nghiên cứ u

Nghiên cứu này nhằm nâng cao kiến thức và kỹ năng cho học sinh, giúp các em giải quyết bài toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi và kỳ thi THPTQG Đồng thời, nó khuyến khích tinh thần sáng tạo, tự học và tự rèn luyện, góp phần bồi dưỡng nhân tài và hình thành phẩm chất, năng lực đặc biệt cho học sinh.

Nâng cao chất lượng dạy học là yếu tố quan trọng, đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời cũng giúp cải thiện trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm của giáo viên.

Phương pháp nghiên cứ u

Tổng hợp những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, đồng nghiệp và các tài liệu tham khảo liên quan

Trong giáo dục, việc áp dụng các phương pháp dạy học dựa trên phương pháp khoa học là rất quan trọng Các phương pháp như tái hiện, tư duy, phân tích, tổng hợp, so sánh và khái quát hóa giúp học sinh phát triển khả năng quan sát và vận dụng kiến thức Định hướng cho học sinh tìm ra cách giải quyết bài toán không chỉ kích thích tư duy mà còn giúp các em kết hợp kiến thức liên quan một cách hiệu quả trong quá trình giải toán.

Đóng góp của đề tài

Đề tài đã tổng hợp một số kỹ năng cơ bản trong việc tìm số hạng tổng quát của dãy sốthông qua các phương pháp sau :

- Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ)

- Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học

Bài viết này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc định hướng các phương pháp giải để giúp học sinh phát triển kỹ năng phân tích và biến đổi công thức truy hồi đặc biệt của dãy số Học sinh sẽ rèn luyện kỹ năng đặt ẩn phụ và áp dụng công thức lượng giác để chuyển đổi dãy số đã cho thành dãy số đặc biệt, từ đó tìm ra công thức số hạng tổng quát Ngoài ra, việc dự đoán và chứng minh công thức số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học cũng được đề cập, nhằm giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về cách tìm ra công thức số hạng tổng quát.

Cơ sở lý lu ậ n

Cấp số cộng

Định nghĩa: Dãy số   u n được gọi là cấp số cộng (CSC) nếu u n  1 u n   d, n N *

Trong đó d : công sai của CSC; u 1 :số hạng đầu của CSC; u n :số hạng tổng quát của CSC

Số hạng tổng quát của CSC: u n u 1  n1 d, n N *

Tổng n số hạng đầu của CSC: 2 1  1 , * n 2

C ấ p s ố nhân

Định nghĩa: Dãy số   u n được gọi là cấp số nhân (CSN) nếu u n  1 u q n , n N *

Trong đó q : công bội của CSN; u 1 :số hạng đầu của CSN; u n :số hạng tổng quát của CSN

Số hạng tổng quát của CSN: u n u q 1 n  1 , n N *

Tổng n số hạng đầu của CSN: 1 1 *

Phương pháp chứ ng minh quy n ạ p toán h ọ c

Để chứng minh mệnh đề: P n n   ,  N * đúng, ta chứng minh:

+) Giả sử P k   , k  N * đúng Ta chứng minh P k   1  đúng.

M ộ t s ố công th ức lượng giác thườ ng dùng trong gi ả i toán liên quan dãy s ố

- Công thức lượng giác cơ bản sin 2  cos 2  1

- Công thức nhân đôi sin 2 2sin cos 

- Công thức nhân ba sin 3 3sin 4sin 3  cos3 4cos 3  3cos

Th ự c tr ạ ng v ấn đề gi ả i toán tìm công th ứ c s ố h ạ ng t ổ ng quát c ủ a dãy s ố

Dãy số là một chủ đề quan trọng trong toán học và nhiều lĩnh vực khác Trong chương trình toán THPT, học sinh thường gặp các bài toán liên quan đến dãy số như giới hạn, số hạng tổng quát, tính đơn điệu và bị chặn Đặc biệt, bài toán tìm công thức số hạng tổng quát thường xuất hiện trong các kỳ thi Olimpic Toán và các kỳ thi học sinh giỏi Tuy nhiên, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Do đó, việc hướng dẫn học sinh tìm ra công thức này là nhiệm vụ cần thiết của giáo viên trong quá trình dạy học.

Khi làm việc với các dãy số được xác định bởi các công thức truy hồi đặc biệt, việc tìm ra công thức số hạng tổng quát là rất quan trọng Điều này giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến tính đơn điệu, sự bị chặn và giới hạn của dãy số Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát thông qua các phương pháp như đặt dãy số phụ, quy nạp, và thế lượng giác, nhằm chuyển đổi dãy số đã cho về dạng dãy số đặc biệt có công thức số hạng tổng quát, chẳng hạn như CSC và CSN.

M ộ t s ố phương pháp tìm công thứ c s ố h ạ ng t ổ ng quát c ủ a dãy s ố

Phương pháp đổ i bi ến (đặ t dãy s ố ph ụ )

Dạng 1: Dãy số   u n thỏa mãn: 1 0 *

Khi k  1 thì u n  1 u n   r, n N * Khi đó,   u n là một CSC nên ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số

Khi k khác 1, dãy số \( u_n \) không phải là chuỗi hội tụ hay chuỗi không hội tụ do \( r \) khác 0 Do đó, chúng ta cần phân tích công thức truy hồi bằng cách sử dụng một dãy số phụ để chuyển đổi dãy số này thành một chuỗi không hội tụ.

Suy ra, dãy số   v n là CSN có v 1  u 1 x, công bội qk

Ví d ụ 1: Cho dãy số   u n thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n

(Đề thi HSG tỉnh NghệAn năm 2014-2015) Định hướ ng: Ta có: 1 2 2 (1)

3 3 n n u   u  Đây là một dãy số có dạng 1, với 2, 2

Bài toán được giải quyết

Từ công thức truy hồi, ta có: 1 2 2

Suy ra, dãy số   v n là CSN có v 1 1, công bội 2 q  3

Nếu công thức truy hồi có dạng \( u_{n+1} = k u_n + f_n(n) \) với \( k \in \mathbb{R} \) (và \( k \neq 0 \)), trong đó \( f_n(n) \) là một đa thức bậc \( s \geq 1 \) hoặc một phân thức hữu tỷ theo \( n \), thì cần áp dụng các phương pháp phân tích để tìm nghiệm tổng quát cho dãy số này.

Ta đưa công thức truy hồi đã cho về dạng: u n  1  g n    1  k u  n  g n    u n  1 k u n  g n   1 k g n  

Khi đó, ta sẽ tìm cách phân tích : f n    g n    1  k g n  

Vấn đềđặt ra là tìm g n  như thế thế nào?

*) Nếu f n   là một đa thức thì ta xét các trường hợp như sau:

Khi k = 1, hàm f(n) được xác định là g(n-1) và g(n) là một đa thức có bậc nhỏ hơn 1 so với bậc của g(n) Điều này cho thấy f(n) không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n) Trong trường hợp này, g(n) được chọn là một đa thức bậc s + 1 với hệ số tự do bằng 0.

Khi k 1: f n    g n    1  k g n   là một đa thức cùng bậc với đa thức

  g n Khi đó ta chọn g n   là m ột đa thứ c cùng b ậ c v ới đa thứ c f n  

Ta có dạng toán sau:

Dạng 2: Cho dãy số   u n thỏa mãn:

(trong đó 0   k R , f n   là một đa thức có bậc s1 hoặc là một phân thức hữu tỉ theo n ) Định hướ ng: Tìm g n   để f n     g n   1  k g n  

Khi f n   là một đa thức có bậc s1 theo n:

+) Nếu k 1 thì chọn g n   là một đa thức có bậc s 1 và có hệ số tự do bằng 0

+) Nếu k  1 thì ta chọn g n  là một đa thức cùng bậc với đa thức f n  

Khi đó, đặt: v n u n g n   Ta đưa về: v n  1 k v , n   n 1   v n là CSN

Ví d ụ 2: Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1 *

 Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n? Định hướ ng : Ta có k1, mà f n    6 n   4 Chọn g n    an 2  bn

Suy ra   v n là một dãy sốkhông đổi   n N *, mà v 1    u 1 4 2

Ngoài việc sử dụng dãy số phụ, bài viết này cũng đề xuất phương pháp cộng dồn để xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số, đặc biệt là khi k = 1.

Thật vậy: Từ công thức truy hồi ta có:

Cộng vế theo vế, ta có:

Ta thấy, tổng   10  16   6  n   1  4   là t ổ ng c ủ a  n  1  s ố h ạng đầ u c ủ a

CSC có số hạng đầu bằng 10, công sai d  6

 Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n

(Đề thi HSG tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Định hướ ng: Ta có k5, mà f n    4 n 3  3 n 2  3 n  1

Nên chọn g n    an 3  bn 2  cn  d

Suy ra   v n là một cấp số nhân có v 1   u 1 1 5, công bội q5

Nh ậ n xét: Ở bài này, học sinh có thể từ công thức truy hồi dễ dàng tìm được

  3 g n  n , cách định hướng trên có thể dùng trong các bài mà đa thức f n   phức tạp khó tìm đa thức g n  

 Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n

(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) Định hướ ng:

1 3 n 2 n u  g n  u g n , g n   là phân thức hữu tỷ theo n

 Bài toán được giải quyết

 là một cấp số nhân với 1 1

Nh ậ n xét: Khi công thức truy hồi của dãy số có dạng: u n  1 h n u   n  f n  

Để biến đổi các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n, ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp này giúp chuyển đổi bài toán về một dãy số mới, từ đó đơn giản hóa quá trình giải quyết.

Dạng 3: Cho dãy số   u n thỏa mãn:

Để phân tích hàm f(n), chúng ta cần xác định các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n Mục tiêu là biến đổi công thức truy hồi về dạng t(n+1) = u(n+1) - g(n) * k * t(n), trong đó k thuộc R và t(n), g(n) là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n.

Khi đó, ta đặt v n t n u   n g n  , n N*v n  1 kv n   v n là một cấp số nhân

 ? Định hướ ng: Để tìm lim 3 2 n u n n

 , ta tìm công thức số hạng tổng quát u n của dãy số   u n

Khi đó, từ công thức:  3 n 2  9 n u  n  1   n 2  5 n  4  u n

 là một cấp số nhân với v 1 505, công bội 1 q  3

(Đề thi HSG tỉnh NghệAn năm 2018-2019) Định hướ ng: Để tìm giới hạn trên, ta đi tìm số hạng tổng quát u n của dãy số

Từ công thức truy hồi, ta có:

Nhận xét: Từ VT của (1), ta nghĩ đến VP của (1)phải xuất hiện

Như vậy nhân 2 vế của (1) cho

Từ   2 , ta nghĩ đến việc tìm g n   đểđưa   2 về dạng:

Từ công thức truy hồi, ta có:

Nhân 2 vế của   1 cho  n  1  1 n  2  , ta có:

      v n là một cấp số nhân với 1 1

Tìm công thức số hạng tổng quát u n c ủa dãy số theo n

(Đề thi HSG Toán 11 tỉnh Nghệ An năm 2016-2017) Định hướ ng:

Từ công thức truy hồi, ta thấy ở VP có  n1 u n  1 nên ta nghĩ đến làm xuất hiện nu n ở VT

Từ   1 , ta nghĩ đến việc tìm g n  đểđưa   1 về dạng:

Từ công thức truy hồi, suy ra:

  v n là một cấp số nhân với 1 1

Nh ậ n xét: Một sốđề thi học sinh giỏi các tỉnh cùng dạng tương tựnhư sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát u n c ủa dãy số theo n và tính lim

(Đề thi HSG Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 )

Ví d ụ 9: Cho dãy số   u n thỏa mãn:  

Tìm công thức số hạng tổng quát u n của dãy số theo n và tính lim

(Đề thi HSG Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 )

Dạng 4: Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1 0 *

 ( với 0k t, ,R) Định hướ ng: Ta phân tích t  n  g n    1  kg n   để đưa công thức truy hồi đã cho ở trên về dạng: u n  1 g n   1 k u n g n     *

Giả sử g n    m  n , m  R Từ  * ta suy ra: m. n  1 mk. n t. n

 +) Nếu   k thì ta phân tích: n 1 n n u n n 1 1 u n n t u ku t

          v n là một CSC có 1 u 1 , v   công sai d t

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n

(Đềthi Olimpic Toán 11 năm 2019-2020 Hà Nội) Định hướ ng:

 là một cấp số nhân với v 1  2, công bội q 2

Ví d ụ 11: Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1

 Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n và tính

(Đề thi HSG Tỉnh Toán 11 năm 2018-2019 Thanh Hóa ) Định hướ ng:

Ta thấy, trường hợp này là    k 4 nên ta giải quyết bài toán theo trường hợp thứ 2 của dạng 3

1) Nếu dãy số   u n thỏa mãn: 1 0

( với 0k t, ,R) thì ta biến đổi công thức truy hồi đưa về dạng 3: u n  1 ku n t. n  1 u n  1 ku n t  n

2) Nếu dãy số   u n thỏa mãn:

( trong đó, f n  là một đa thức theo nvà 0k t, ,R) thì ta tìm g n   để phân tích : t  n  f n    g n    1  kg n   Khi đó đưa được công thức truy hồi về dạng: u n  1  g n    1  k u  n  g n   

Lưu ý: g n    m  n  h n  , trong đó h n   là một đa thức cùng bậc với đa thức f n  

3) Nếu dãy số   u n thỏa mãn:

( trong đó, f n   là một đa thức theo n và 0k t r, , ,R) thì ta làm tương tự dãy số dạng trên

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n? Định hướ ng:

Từ công thức truy hồi đã cho, giả sử   n  a 3 n  bn  c

Từ công thức truy hồi: u n  1 2u n 3 n n

 là một CSN có v 1  4, công bội q2

Từ công thức truy hồi đã cho, giả sử: g n    a 3 n  b 7 n  c

Từ công thức truy hồi: u n  1 5u n 2.3 n 6.7 n 12

 là một CSN có v 1 28, công bội q5  v n 28.5 , n  1  n N*

Dạng 5 : Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1 2

( trong đó 0 a b R a,  ; 2 4b0) Định hướ ng: Đưa công thức truy hồi về dạng: u n  1 x u 1 n x u 2  n x u 1 n  1  , x x 1, 2R 

Khi đó ta có hệ: 1 2

Với điều kiện a 2 4b 0 x x 1 , 2 là 2 nghiệm phương trình: x 2  ax   b 0 *  

(phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của dãy)

 * là dãy số dạng 4 đã có cách giải

Ví d ụ 14: Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1 2

( Đề thi HSG Toán 11 Tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019 ) Định hướ ng:

Từ công thức truy hồi của dãy số, ta có: 3u n  1 2u n u n  1 0

Xét phương trình đặc trưng của dãy số: 3x 2 2x 1 0

Từ đó ta có cách giải quyết bài toán như sau:

Nhận xét: Vì x 1 1 nên từ công thức

Ta nghĩ đến phương pháp cộng dồn các số hạng của dãy số

Cộng vế theo vế, ta có:

Nh ậ n xét: Nếu VP của công thức truy hồi ở dạng 5 là một đa thức f n   thì ta tìm công thức số hạng tổng quát của dãy sốnhư thế nào ?

Khi dãy số có công thức truy hồi dạng:

 , trong đó f n  là một đa thức bậc k theo n ; ,a b0

Ta tìm cách phân tích f n    g n    1  ag n    bg n   1 *   , đưa công thức truy hồi đã cho về dạng: u n  1 g n   1 a u n g n  b u n  1 g n  10

Vấn đề ở chỗ, ta tìm g n   như thế nào?

Từ   * ta thấ y, f n   là m ột đa thứ c b ậ c k theo n nên ta ph ả i ch ọ n g n   sao cho

 1     1  g n ag n bg n là một đa thức bậc k theo n

Giả sử g n   a n m m a m  1 n m  1   a n 1 a 0  a m 0 là một đa thức bậc m theo n g n   1 a m  n1 m a m  1  n1 m  1   a n 1   1 a 0

Khi đó, ở VP của   * , hệ số của n m là a m  1 a b , hệ số của n m  1 là

+) Nếu phương trình: x 2  ax   b 0  1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 thì

1  a b 0 nên VP của  * là một đa thức bậc m

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1, thì ta có \(1 + a + b = 0\) và nghiệm còn lại bằng \(b \neq 1\) Điều này dẫn đến \(m(1 - b) \neq 0\) Do đó, nghiệm của phương trình (*) là một đa thức bậc \(m - 1\) và không phụ thuộc vào hệ số tự do của \(g(n)\).

Khi đó bậc của g n   là k  1 và có h ệ s ố t ự do b ằ ng 0

+) Nếu phương trình   1 có nghiệm kép bằng 1   a 2,b1  VP của

 * là một đa thức bậc m2 và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g n   Khi đó bậc của g n   là k  2 và có hệ số tự do bằng 0

Từ nhận xét trên, ta có cách tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số dạng sau:

Dạng 6: Dãy số   u n thỏa mãn:

( trong đó f n   là m ột đa thứ c theo n , 0  a b R a ,  ; 2  4 b  0 ) Định hướ ng: Tìm g n   sao cho f n    g n    1  ag n    bg n   1 

Khi đó, đưa công thức truy hồi về dạng: u n  1 g n   1 a u n g n  b u n  1 g n  10

Khi đó, đặt v n u n  g n   , n 2 v n  1 a v n b v n  1 0 Như vậy, để chọn g n   ta cần chú ý như sau:

+) Nếu phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 thì g n   là một đa thức cùng bậc với f n  

+) Nếu phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt mà trong đó có một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g n    n h n  , trong đó h n   là một đa thức cùng bậc f n  

+) Nếu phương trình   1 có nghiệ m kép b ằng 1 thì ta chọn g n    n h n 2   , trong đó h n   là một đa thức cùng bậc f n  

Vấn đề được giải quyết

Ví d ụ 15: Dãy số   u n thỏa mãn:

( Đề thi chọn HSGQG THPT Tỉnh Kon Tum năm 2018-2019) Định hướ ng: Đưa   1 về công th ứ c truy h ồ i d ạng 6 u n  2 2u n  1 u n   2, n 1 2 

Ta tìm đa thức g n  để phân tích được:

Ta thấy phương trình x 2 2x 1 0 có nghiệm kép x1nên chọn g n    an 2

Khi đó bằng cách đồng nhất hệ số đẳng thức  * * ta tìm được a1

 là một dãy sốkhông đổi   n 1w n w 1 v 2   v 1 1

Ví d ụ 16: Dãy số   u n thỏa mãn: 1 2

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n? Đị n h hướ ng: Đưa công thức truy hồi về dạng 6

Ta tìm đa thức g n  để phân tích được: n    1 g n   2   g n    1  6 g n    **

Ta thấy phương trình:    x 2 x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 là

Khi đó bằng cách đồng nhất hệ sốđẳng thức   * * , ta tìm được 1, 7

 là một CSN có 1 25 w   4 , công bội q3

Nh ậ n xét: Ở dạng 6, nếu f n    c  n , c  0 thì ta làm như thế nào? Ta có ví dụ sau:

Ví d ụ 17: Dãy số   u n thỏa mãn: 1 2

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n? Định hướ ng: Ta tìm biểu thức g n  để phân tích được:

Từ công thức truy hồi, ta suy ra:

 u n  2  5.2 n  2    4 u n  1  5.2 n  1    3 u n  5.2 n   0 Đặt v n u n 5.2 , n   n 1 v n  2 4v n  1 3.v n   0, n 1 Đây là một dãy số dạng 5 đã có cách giải

     v n là dãy số dạng 1  Tìm được v n  u n

+) Khi b  0 : Ta đặt u n  v n m Khi đó:

2 1 n n n n n n av ma b av ma b cmv cm md v m cv mc d cv mc d

26 Đểđưa   2 về d ạ ng  1 thì ta chọn m thỏa mãn: cm 2   a  d m    b 0

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n ? Định hướ ng: Ta thấy công thức truy hồi của dãy sốđã cho có dạng 7 khi b0 Bài toán được giải quyết

              Đặt 1   w 3 w 2w , 1 w n   v n 2 n   n   n n là một CSN có 1 5 w  2, công bội 2 w 5.2 1 w 3 5.2 1 3 2 1 , 1

( Đề thi chọn HSG Tỉnh Gia Lai năm 2019-2020) Định hướ ng: Công thức truy hồi của dãy số có dạng 7 trong trường hợp

 Như vậy, ta đã đưa được về dãy số dạng 7 trong trường hợp b0 đã có cách giải

Ví d ụ 20: Dãy số   u n thỏa mãn:  

Đề thi chọn HSG Tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020 yêu cầu phân tích công thức truy hồi của dãy số, nhận thấy nó có hình thức tương tự như công thức truy hồi dạng 7 Do đó, để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp dựa trên đặc điểm của dãy số dạng 7.

Cộng vế theo vế ta có:

Ta đã đưa về dãy số có dạng 5 đã biết cách giải

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n?

 là một CSN có v 1  31, công bội q  2 3

 * là dãy số dạng 4, nên ta chọn được    3 1 2  3 

Dạng 9: Dãy số   u n thỏa mãn: 1

( trong đó a 2   b 1) Định hướ ng: Từ công thức truy hồi: u n  1 au n  bu n 2 c

Ta thấy u n  1 ,u n  1 là 2 nghiệm của phương trình: t 2 2au t n u n 2  c 0 Theo định lí Viet, ta có: u n  1 u n  1 2au n u n  1 2au n u n  1 0

Ta đã đưa được về dãy số dạng 5

Ví d ụ 22 Dãy số   u n thỏa mãn: 1

(Đề thi chọn HSGQG tỉnh An Giang năm 2020-2021)

Từ   1 ,   2 suy ra u n  1,u n  1 là 2 nghiệm của phương trình: t 2 8u t n u n 2 60 0

Theo định lí Viet, ta có: u n  1 u n  1 8u n u n  1 8u n u n  1 0

Từ công thức truy hồi đã cho, ta tính được:

Ví d ụ 23 Dãy số   u n thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n? Tính lim   n u n

(Đề thi HSG Tỉnh Quảng Trịnăm 2019-2020) Định hướ ng: Giải tương tự ví dụ 22

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n? Định hướ ng: Ta biến đổi công thức truy hồi đã cho về công thức truy hồi dạng 9 Ta có: 1 2

Dãy số   * là dãy số có dạng 9 ở trên

Nh ậ n xét: Với dãy số   u n thỏa mãn:

     , ta biến đổi công thức truy hồi về dạng:

         Như vậy, ta đã đưa được về một dãy số có dạng 9 đã có cách giải

Phương pháp sử d ụ ng phép th ế lượ ng giác k ế t h ợp phương pháp quy nạ p toán h ọ c

Ví d ụ 1 : Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1

Mặt khác, nếu đặt u n 2cos thì 2 2 2 2 n 2 u cos cos

Như vậy bài toán được giải quyết

  bằng phương pháp quy nạp toán học

Ví d ụ 2 : Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1

( Đề thi HSG toán 12 Tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Định hướ ng: Ta thấy 1 3 3 3 3

  bằng phương pháp quy nạp

Suy ra lim 2  n 2  u n   lim 2   n 2  2cos 2 3 n   2  

Tìm số hạng tổng quát u n theo n?

( Đề thi HSG toán THPT Tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Định hướ ng:

Từ giả thiết, ta suy ra u n   1, n 1

         Để làm mất căn thức trong biểu thức   * , ta đặ t: cot , 0; , 1 n 4 u      n (do u n   1, n 1)

Vì 1 1 cot cot 2 2 cot cot 3 ; 3 cot 4

Từ đó, ta tìm được công thức tổng quát của dãy số cot 1 , 1 n 2 n u  n

    Như vậy bài toán được giải quyết

Đề thi HSG toán 12 TP Hà Nội năm 2019-2020 có nội dung quan trọng liên quan đến công thức truy hồi với sự xuất hiện của u n 2 + 1 Điều này gợi ý đến việc áp dụng phép thế lượng giác để khử căn, giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

Từ giả thiết, suy ra

Ta có: 1 3 1 2 2 tan tan tan tan ,

Ta chứng minh được tan , 1 n 3.2 n u     n bằng phương pháp quy nạp toán học

Hai dãy số     v n , w n xác định như sau:

4 1 n ; w , 1 n n n n v  u u u u u  n Tìm các giới hạn limv n ;limw n

Đề thi HSG toán 12 TP Hải Phòng năm 2019-2020 yêu cầu tìm các giới hạn thông qua việc xác định công thức số hạng tổng quát \( u_n \) của dãy số \( (u_n) \).

Từ công thức truy hồi của dãy số   u n , ta suy ra: 0u n   1, n 1

Bằng quy nạp, ta chứng minh được 1 , 1 n 2 n u cos  n

Từ đó ta tính được lim ;limwv n n

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n? Định hướ ng: Từ công thức truy hồi: u n  1 2u n 2 1, ta nghĩ đến công thức lượng giác: 2cos 2   1 cos2

Ta chứng minh được bằng quy nạp: 2 1 , 1

Ví d ụ 7: Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1 2

Để tìm công thức số hạng tổng quát \( u_n \) theo \( n \), chúng ta cần lưu ý rằng khi \( u_1 = \frac{1}{3} \), thì không tồn tại giá trị \( \alpha \) sao cho \( \cos \alpha = 3 \) Do đó, bài toán sẽ được giải quyết bằng cách khác.

Bằng quy nạp, ta chứng minh được: 2 1 1

Nh ậ n xét: Từ ví dụ 6, 7 trên, ta có các bài toán tổng quát như sau:

1) Cho dãy số   u n thỏa mãn: 1 2

Nếu a 1: đặt u 1 cos Khi đó ta có: u n cos2 n  1 , n 1

     , trong đó a  0 Khi đó, a là nghiệm của phương trình: a 2 2u a 1  1 0

Bằng quy nạp, ta chứng minh được:

Vậy bài toán được giải quyết

+) Nếu b    1 c 2 dãy sốđã cho trở thành:

Bằng quy nạp, ta chứng minh được 2 1 1

Tìm cách đưa công thức truy hồi về dạng 1) ở trên Đặt u n cv n v 1 u 1 a c c

Bài toán đã được giải quyết

N ế u a 1: đặt u 1 cos Khi đó, bằng quy nạp ta chứng minh được: u n cos3 n , n 1

     , trong đó a  0 Tương tự dạng 1) ở trên, ta chứng minh được: 3 1 1

Ví d ụ 8: Dãy số   u n thỏa mãn: 1

Chứng minh 5  u u 1 2 u n  2  4 là số chính phương

(Đề thi chọn HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020-2021) Định hướ ng 1: Đặt đặt u 1 a 1

  a , trong đó a  0 và a u, 1 cùng dấu

Bằng quy nạp, ta chứng minh được: 2 1 1

Vì u n N * , n 1 nên ta suy ra điều phải chứng minh

Trong ví dụ này, có thể giải theo hai định hướng khác nhau Tuy nhiên, nếu bài toán yêu cầu xác định số hạng tổng quát của dãy số, chúng ta nên thực hiện theo định hướng 1.

Từcác định hướng giải trên, ta có thểđưa ra bài toán mới như sau:

M ộ t s ố phương pháp tổ ng h ợ p tìm công th ứ c s ố h ạ ng t ổ ng quát c ủ a dãy s ố

 ? Ởbài toán này, ta làm tương tự ví dụ 8

2.3.3 Một số phương pháp tổng hợp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

Chúng ta có thể gặp các dãy số được xác định bởi các công thức truy hồi không thuộc các dạng đặc biệt Tuy nhiên, bằng cách áp dụng các kỹ năng biến đổi, phân tích, và thiết lập dãy số phụ, chúng ta có thể chuyển đổi những dãy số này thành một trong những dạng đặc biệt đã nêu hoặc về một dạng đặc biệt mà chúng ta đã biết cách giải quyết.

( Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2020 - 2021) Định hướ ng:

 là CSN có 1 1 v  2, công bội 1 q 2

Trong ví dụ này, chúng ta đã áp dụng kết hợp phương pháp đặt dãy số phụ và phương pháp cộng dồn các số hạng của một chuỗi số để xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

Ví d ụ 2: Cho dãy số   u n xác định như sau:

 Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n?

Đề thi HSG Tỉnh Bình Dương năm 2020 - 2021 yêu cầu phân tích và biến đổi công thức truy hồi đã cho để đạt được dạng tương tự như công thức truy hồi trong ví dụ 1.

 ( công thức có dạng tương tự công thức truy hồi của dãy số ví dụ 1 ở trên)

       là một dãy số không đổi

 Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n?

Đề thi HSG Tỉnh Phú Yên năm 2020 - 2021 hướng dẫn cách biến đổi dãy số về dạng tương tự bằng cách sử dụng công thức truy hồi Một phương pháp hiệu quả là nghịch đảo hai vế của công thức truy hồi để tìm ra mối quan hệ giữa các số trong dãy.

       Đến đây, ta thấy có thể làm xuất hiện bình phương ở vế phải, ta biến đổi như sau: v n  1   v n 2 2v n v n  1   1  v n 1 2 Đặt 1 1 1 1 2

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:

Ví d ụ 4: Cho dãy số   u n xác định như sau: 1 2

 a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số   u n b) Tính tổng S u 1 2 u 2 2 u 3 2  u 2020 2

Đề thi HSG Tỉnh Cà Mau năm 2020 - 2021 yêu cầu sử dụng công thức truy hồi để giải quyết bài toán Bằng cách bình phương hai vế, ta có thể loại bỏ căn Cụ thể, từ phương trình \(u_{n+1} = 3u_n^2\), ta biến đổi thành \(2u_n^2 + 1 = 3u_n^2\), dẫn đến \(2u_n^2 + 1 = \frac{1}{3}(u_n^2 + 1)\) Đặt \(v_n = u_n^2\), ta có \(v_{n+1} = 3v_n\), với \(v_1 = 2\) và công sai \(q = 3\).

Khi đó: v n 2.3 n  1 u n  2.3 n  1   1, n 1 b) Từ công thức số hạng tổng quát, ta có:

Ví d ụ 5: Cho dãy số   u n xác định như sau:  

(Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2019 - 2020) Đị nh hướ ng: Làm xuất hiện bình phương của một biểu thức ở vế phải của công thức truy hồi u n  1  1 9  u n   4 4 1  2 u n   9 u n  1  u n   4 4 1  2 u n

Ta đưa về dãy số dạng 1, mục 2.3.1 đã có cách giải

Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n? Định hướ ng: Làm xuất hiện bình phương của một biểu thức ở vế phải của công thức truy hồi

       Bài toán được giải quyết

Nh ậ n xét: Phương pháp tìm công thức v n ở   * thườ ng gọi là phương pháp hàm lặp

Ví d ụ 7: Cho dãy số   u n xác định như sau: 1

( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên năm 2019 - 2020) Định hướ ng: Từ công thức truy hồi, ta có thể nghĩ đến cách bình phương 2 vế để mất căn.

Nhân 2 vế của   1 v ới 2, ta có: 2 n  1 u n 2  1 2.2 n u n 2 2n2   2

Giả sử g n    an   b g n    1  an        a b an a b 2 n 2

       Khi đó, từ  2 ta suy ra:

Hi ệ u qu ả c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệm đố i v ớ i ho ạt độ ng giáo d ụ c, v ớ i b ả n thân, đồ ng nghi ệp và nhà trườ ng

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Hoạt động giáo dục học sinh có tính hiệu quả và thực tiễn cao, giúp trang bị cho các em những hướng tư duy cơ bản và phát triển năng lực tự học, giải quyết vấn đề, cũng như tư duy lập luận logic khi đối mặt với những bài toán khó Đồng thời, các em được rèn luyện kỹ năng cần thiết để giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thông qua các phương pháp như đặt dãy số phụ, quy nạp và thế lượng giác.

Trong quá trình tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2019 - 2020 và 2020 - 2021, tôi nhận thấy tầm quan trọng của việc hướng dẫn học sinh các phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thông qua công thức truy hồi đặc biệt Kết quả cho thấy, 100% học sinh đều hoàn thành đúng câu hỏi liên quan đến dãy số trong đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2020 - 2021.

Kết quả khảo sát bài kiểm tra đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh của trường năm học 2019-2020 khi chưa áp dụng đề tài như sau:

Lần kiểm tra Số học sinh Số học sinh làm đượccâu dãy số Tỉ lệ

Kết quả khảo sát bài kiểm tra đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh của trường năm học 2020 -2021 khi áp dụng đềtài như sau:

Lần kiểm tra Số học sinh Số học sinh làm được câu dãy số Tỉ lệ

Kết quả khảo sát cho thấy, sau khi được trang bị các kỹ năng và phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, học sinh đã cải thiện khả năng làm bài và biết áp dụng linh hoạt kiến thức vào giải toán dãy số.

45 được hiệu quả của việc vận dụng SKKN áp dụng vào giảng dạy, làm cho các em tự tin, hứng thú và say mê tìm tòi trong học tập

Đề tài này không chỉ giúp bản thân nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm, mà còn trang bị thêm công cụ để giải toán và giáo dục học sinh Được tổ Toán-Tin đánh giá cao, đề tài góp phần quan trọng trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời thúc đẩy nghiên cứu khoa học trong tổ chuyên môn Đề tài cũng được công khai rộng rãi cho học sinh, cung cấp tư liệu ôn tập, từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy và giáo dục tại nhà trường.

Ki ế n ngh ị

Đối với Sở Giáo dục:

Sở giáo dục và đào tạo cần tiếp tục chỉ đạo nghiên cứu khoa học và triển khai các sáng kiến chất lượng tại các trường THPT trong toàn tỉnh, nhằm tạo điều kiện cho giáo viên học hỏi và rút kinh nghiệm trong giảng dạy và giáo dục học sinh.

Cần tăng cường sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi và xây dựng tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh Đây là cơ hội để trau dồi chuyên môn và hỗ trợ lẫn nhau trong quá trình tự học Để thực hiện đề tài hiệu quả, cần tổ chức các buổi seminar về toán học, giúp học sinh bày tỏ quan điểm và phát hiện phương pháp giải qua các bài toán Tác giả mong nhận được sự bổ sung và góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để hoàn thiện hơn nữa đề tài này.

Tiêu đề	Định Hướng Cho Học Sinh Một Số Phương Pháp Tìm Công Thức Số Hạng Tổng Quát Của Dãy Số Cho Bởi Công Thức Truy Hồi Đặc Biệt
Tác giả	Lê Thị Thu Hương
Trường học	Trường THPT Nghi Lộc 4
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2020 - 2021
Thành phố	Nghệ An

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	696,25 KB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
1. Sách giáo khoa, sách bài t ập đạ i s ố 11 cơ bả n và nâng cao. 2. Sách giáo viên toán 11	Khác
3. Các đề thi h ọ c sinh gi ỏ i T ỉ nh c ủ a các t ỉ nh, thành ph ố trong nước, đề thi h ọ c sinh gi ỏ i Qu ốc Gia và đề thi th ử THPT qu ố c gia	Khác
4. Báo toán học & Tuổi trẻ. 5. Đề thi Olympic 30/4	Khác
6. Tài li ệ u t ậ p hu ấ n d ạ y h ọ c và ki ểm tra đánh giá kế t qu ả h ọ c t ập theo đị nh hướ ng phát tri ển năng lự c cho h ọ c sinh	Khác
7. Tuy ể n ch ọn đề thi h ọ c sinh gi ỏ i THPT môn Toán, t ậ p 1 c ủ a các tác gi ả : Hà Duy Hưng, Nguyễn Sơn Hà, Nguyễ n Ng ọ c Giang, Lê Minh C ườ ng, Nxb ĐHQGHN	Khác
8. Tuy ể n ch ọn đề thi h ọ c sinh gi ỏ i THPT môn Toán, t ậ p 2 c ủ a tác gi ả : Tr ị nh Kh ắc Quân, Nxb ĐHQGHN	Khác
9. Phương pháp dạ y h ọ c môn Toán c ủ a Nguy ễn Bá Kim, Nxb ĐHSP	Khác
10. Chương trình giáo dụ c ph ổ thông t ổ ng th ể 2018 c ủ a B ộ Giáo D ụ c	Khác
11. M ộ t s ố bài toán ch ọ n l ọ c v ề dãy s ố , Nguy ễn Văn Mậ u, NXBGD 2003	Khác