Phân tích ứng xử của dầm composite thành mỏng dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Động học

Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu trường động học của dầm composite thành mỏng Để thiết lập công thức, cần ba hệ tọa độ: tọa độ Đề các (x, y, z), tọa độ địa phương (n, s, z) và chu trình s chạy theo tiết diện thành mỏng Góc lệch giữa hai hệ tọa độ (n, s, z) và (x, y, z) được ký hiệu là  s Điểm cực P(xP, yP) được xác định là tâm cắt của tiết diện, trong khi trục đi qua tâm P và song song với trục z được gọi là trục cực.

Để thiết lập mô hình bài toán cho các hệ tọa độ dầm composite thành mỏng, các giả thiết sau được áp dụng: Lý thuyết biến dạng nhỏ được sử dụng, đảm bảo rằng chu trình của mặt cắt không bị biến dạng Các biến dạng như γ0 yx, γ0 zx và γ0 là phân bố đều trên mặt cắt tiết diện, trong khi hệ số Poisson được coi là hằng số.

Chuyển vị ( v w , ) tại một điểm trên mặt trung bình phụ thuộc vào góc xoay quanh trục cực , chuyển vị V, W theo các phương y và z của điểm cực P như sau:

Các chuyển vị và góc xoay của dầm thành mỏng được hình thành từ biến dạng uốn và cắt, do đó có thể tách ra thành hai thành phần: thành phần uốn (ký hiệu b) và thành phần cắt (ký hiệu s) Ý tưởng này đã được Thai và cộng sự công bố trong các nghiên cứu của họ về ứng xử của dầm và tấm composite có tiết diện chữ nhật.

Chuyển vị u được xác định theo giả thiết (2) Biến dạng cắt tại mặt trung bình của tấm xác định theo công thức sau:

      (3b) ở đây: dấu “ ' ” là đạo hàm theo biến x Từ định nghĩa của biến dạng cắt (Kim and Lee 2017), ta có:

Thay w từ phương trình (PT) (1b) vào PT (4), kết hợp với PT (2), trường chuyển vị u được xác định theo công thức sau:

Trường chuyển vị (v, w, u) tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang được xác định:

 , ,   ,  x  ,  u n s x  u s x  n  s x (7c) ở đây  x và  s lần lượt là góc xoay của mặt cắt ngang quanh trục x và s  x được định nghĩa thông qua  nx như sau:

Từ PT (3) và PT (8),  x  s x ,  xác định bởi:

Tương tự,  s được xác định như sau:

Cuối cùng, các trường biến dạng của dầm thành mỏng được thành lập:

, , , , sin cos sin cos x x x x s z s y s b s b b n s x s x n s x y n z n nq

, , , , cos sin cos sin 2 sx sx sx yx s zx s sx s s s s s b s n s x s x n s x r n

, , , , sin cos sin cos nx nx nx yx s zx s s s s s s n s x s x n s x q

Quan hệ ứng suất và biến dạng

Mô đun đàn hồi hiệu dụng của dầm thành mỏng được xác định theo mô đun kim loại (E m ), mô đun gốm (E c ) và hệ số thể tích gốm (V c ):

Trong nghiên cứu này, hai loại phân bố vật liệu được xem xét như hình 2: y

Hình 2 Mặt cắt tiết diện dầm composite phân lớp thành mỏng

Loại A: dùng cho cánh trên và cánh dưới

V ,  0.5    h   n 0.5 h (14b) với p,   1, 2  và h  h h 1, 2  lần lượt là thông số vật liệu, hệ số chiều dày gốm và chiều dày cánh trên, cánh dưới của dầm

Loại B: dùng cho cánh trên, cánh dưới và bụng

V ,  0.5 h   n 0.5 h (15b) với    1, 2, 3  và h  h h h 1, 2, 3  lần lượt là hệ số chiều dày gốm và chiều dày cánh trên, cánh dưới và bụng dầm

Quan hệ ứng suất và biến dạng của dầm:

 (17) ở đây  là hệ số Poisson

Năng lượng của dầm

Năng lượng biến dạng của dầm  E :

Thay PT (11) và (16) vào PT (18), thực hiện biến đổi và rút gọn, ta được:

(19) với: E ij là hệ số độ cứng của dầm thành mỏng, được cho ở phụ lục A; L là chiều dài dầm;  là thể tích dầm

Năng lượng của nền đàn hồi  F (Dube and Dumir 1996, Kim 2012):

Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về các thông số nền k y và g y, cũng như k z và g z theo phương y và z Đặc trưng xoay của thông số nền được biểu thị bằng k t Đồng thời, tọa độ điểm truyền lực được xác định bởi (l y, l z) như trong hình 3.

Công ngoại lực W được xác định bởi lực phân bố đều qz và lực tập trung Pz tác dụng tại tọa độ xL, theo nghiên cứu của Lee (2005) và Nguyen et al (2019).

Lời giải Ritz

Trường chuyển vị của bài toán được xấp xỉ bởi các hàm dạng Ritz:

Trong nghiên cứu này, các thông số Ritz như Uj, Vbj, Wbj, φbj, Vsj, Wsj và φsj được sử dụng để khảo sát bốn điều kiện biên: ngàm-ngàm (C-C), ngàm-tựa đơn (C-S), ngàm-tự do (C-F) và tựa đơn-tựa đơn (S-S), như được trình bày trong bảng 1 Các hàm xấp xỉ ζj(x) tuân thủ các điều kiện biên động học của bài toán.

Bảng 1 Các hàm dạng Ritz với các điều kiện biên (BC) khác nhau

Phương trình chủ đạo của bài toán bằng cách sử dụng nguyên lý Lagrange:

 (24) với p j đại diện cho U j , V bj , W bj ,  bj , V sj , W sj và  sj

(25) với K là ma trận độ cứng, F là vector tải; được cho ở phụ lục B.

VÍ DỤ SỐ

Nghiên cứu sự hội tụ

Để nghiên cứu sự hội tụ của lời giải, dầm chữ I (h 1 h 2 h 3 h0.005m,

Trong nghiên cứu này, các thông số được sử dụng bao gồm b = 0.1 m, b3 = 0.2 m, chiều dài L = 2.5 m, và các hệ số α1 = α2 = 0.7, α3 = 0.4 Tải trọng tập trung Pz = 100 kN được đặt tại giữa nhịp dầm Chuyển vị tại giữa nhịp dầm với các điều kiện biên khác nhau được trình bày trong bảng 2.

Có thể thấy rằng lời giải hội tụ khi m = 10, và giá trị này được sử dụng đề xuất kết quả cho các ví dụ trong nghiên cứu này

Bảng 2 Sự hội tụ của chuyển vị dầm chữ I chịu tải trọng tập trung

Kiểm chứng lý thuyết và lời giải

Để kiểm chứng mô hình và lời giải, đầu tiên, dầm đơn giản tiết diện chữ I vật liệu đồng nhất, đẳng hướng (h 1 h 2 h 3 h0.00208m, b 1 b 2 b 3 0.05m, 2.5

Hệ số Poisson và mô đun đàn hồi được khảo sát lần lượt là   0.25 và E  53.78x10 6 kN/m² Chuyển vị lớn nhất của dầm chịu tải trọng tập trung tại giữa nhịp dầm (P z 1kN) được trình bày trong bảng 3 và được so sánh với kết quả của Kim và Lee (2017) Kết quả nghiên cứu cho thấy sự trùng khớp cao với kết quả của Kim và Lee trong cả hai trường hợp có và không xét đến biến dạng cắt.

Bảng 3 Chuyển vị của dầm đơn giản tiết diện chữ I(mm)

Tham khảo Không xét biến dạng cắt (KXC)

Xét biến dạng cắt (XC)

Kim và Lee (Kim and Lee 2017) 39.8900 40.1700

Tiếp theo, dầm công xôn tiết diện chữ I vật liệu composite chức năng ( h 1 h 2 h 3 h0.002m , b 1 20h , b 2 10h , b 3 40h , L  2.5 m ,  1 0.9,

  , 3 0.4, tiết diện S1) chịu lực tập trung ( )P z tại đầu dầm được khảo sát Để so sánh với các nghiên cứu trước, chuyển vị phi thứ nguyên được định nghĩa là

 P L Kết quả của nghiên cứu này được so sánh với kết quả của

Kim và Lee (2017) chỉ ra rằng hầu như không có sự chênh lệch giữa các nghiên cứu, như thể hiện trong bảng 4 Hiện tại, chưa có nghiên cứu về dầm composite chức năng trên nền đàn hồi, do đó, dầm công xôn với tiết diện chữ I composite phân lớp (h1 = 0.00208m, h2 = 0.00312m, h3 = 0.00104m, b1 = 0.03m) vẫn là một lĩnh vực cần được khám phá thêm.

2 0.04 b  m, b 3 0.05m, L  2.5 m ) được khảo sát Đặc trưng vật liệu như sau:

G = kN m, với các hệ số Poisson là ν12 = ν13 = 0.25 và ν23 = 0.34 Hướng sợi được xác định là [30/30]-4S cho cánh trên, [30/30]-6S cho cánh dưới và [30/30]-2S cho bụng Bảng 5 thể hiện chuyển vị lớn nhất của dầm khi chịu lực tập trung tại đầu tự do (Pz = 0.1 kN) theo các thông số nền kz và gz Kết quả từ bảng 5 cho thấy sự trùng khớp đáng kể với nghiên cứu của Kim và Lee (2015).

Bảng 4 Chuyển vị lớn nhất của dầm công xôn tiết diện chữ I khi chịu lực tập trung tại đầu tự do

Kim và Lee (Kim and

Kim và Lee (Kim and

Bảng 5 Chuyển vị lớn nhất của thanh công xôn tiết diện chữ I chịu tại trọng tâm trung tại đầu tự do (mm)

Kim và Lee (Kim and

Chuyển vị dầm chữ I khi không xét đến hệ số nền

Ảnh hưởng của p , L b/ 3 , điều kiện biên và sự phân bố của vật liệu được khảo sát Dầm tiết diện chữ I (h 1 h 2 h 3 h0.002m, b 1 20h, b 2 10h ,

3 40 b  h) được xem xét Bảng 6 và 7 thể hiện chuyển vị tại giữa dầm (L b/ 3 10 và L b/ 3 20) chịu tải trọng tập trung (P z 10kN) tại giữa nhịp với tiết diện S1

Chuyển vị của dầm tăng khi tỷ lệ L b/3 và p gia tăng đối với cả hai tiết diện S1 và S2, do mật độ gốm phụ thuộc vào p, dẫn đến độ cứng giảm (Nguyen, Thang et al 2017) Theo bảng 6 và 7, dầm C-F có chuyển vị lớn nhất, trong khi dầm C-C có chuyển vị nhỏ nhất Hình 4 minh họa ảnh hưởng của biến dạng cắt theo L b/3 cho cả hai tiết diện, cho thấy rằng ảnh hưởng của biến dạng cắt giảm khi L b/3 tăng và đạt giá trị lớn nhất với dầm C-C.

Bảng 6 Chuyển vị tại giữa nhịp dầm I tiết diện S1 chịu lực tập trung (mm)

Bảng 7 Chuyển vị tại giữa nhịp dầm I tiết diện S2 chịu lực tập trung (mm)

S-S C-F C-S C-C a Tiết diện S1 b Tiết diện S2 Hình 4 Sự thay đổi của ảnh hưởng biến dạng cắt theo L b/ 3 Để khảo sát sự thay đổi của biến dạng cắt theo hệ số độ dày gốm, dầm chữ I điều kiện biên C-C (h 1 h 2 h 3 h0.002m, b 1 20h , b 2 10h , b 3 40h ,

Nghiên cứu được thực hiện trên tiết diện L = b với lực phân bố đều qz = 0.5 kN/m Hình 5a-7a cho thấy sự thay đổi của ảnh hưởng biến dạng cắt theo tỷ số độ dày gốm trong cánh và bụng dầm Kết quả cho thấy độ dày gốm có ảnh hưởng đáng kể đến hiệu ứng cắt: 1) biến dạng cắt giảm khi gốm trong bụng dầm tăng; 2) biến dạng cắt tăng khi độ dày gốm ở cánh trên tăng, sau đó giảm; và 3) biến dạng cắt tăng khi chiều dày gốm ở cánh dưới tăng Hình 5b-7b minh họa sự thay đổi tỷ số giữa độ cứng uốn và độ cứng cắt (E33/E77) theo độ dày gốm Kết luận cho thấy ảnh hưởng của biến dạng cắt phụ thuộc vào tỷ số (E33/E77).

1 a Ảnh hưởng của biến dạng cắt (%) b E 33 /E 77

Hình 5 Sự thay đổi của ảnh hưởng biến dạng cắt và tỷ số E 33 /E 77 của dầm I

1 a Ảnh hưởng của biến dạng cắt (%) b E 33 /E 77

Hình 6 Sự thay đổi của ảnh hưởng biến dạng cắt và tỷ số E 33 /E 77 của dầm I

1 a Ảnh hưởng của biến dạng cắt (%) b E 33 /E 77

Hình 7 Sự thay đổi của ảnh hưởng biến dạng cắt và tỷ số E 33 /E 77 của dầm I

Chuyển vị của dầm chữ I khi xét đến hệ số nền

L b , q z 5kN m/ ) trên nền đàn hồi hai thông số theo phương z như hình 8 được khảo sát Bảng 8 và 9 thể hiện chuyển vị tại giữa dầm với tiết diện S1

Khi hệ số nền tăng, chuyển vị của dầm giảm đối với cả hai tiết diện S1 (α = 0.9, α = 0.1, α = 0.4) và S2 (α1 = α2 = α3 = 0.1) Điều này cho thấy rằng việc tăng hệ số nền làm cho dầm cứng hơn, từ đó giảm chuyển vị của nó.

Hình 8 Dầm chữ I trên nền đàn hồi

Bảng 8 Chuyển vị tại giữa nhịp dầm chữ I chịu tải phân bố đều ( h 1 h 2 h 3 h0.002m , b 1 20h , b 2 10h , b 3 40h , p  10

Bảng 9 Chuyển vị tại giữa nhịp dầm chữ I chịu tải phân bố đều ( h 1 h 2 h 3 h0.002m , b 1 20h , b 2 10h , b 3 40h , p  10

100 2.2161 2.1802 2.1119 2.0478 1.9036 1.6694 Để khảo sát ảnh hưởng của các thông số nền, dầm chữ I ( h 1 h 2 h 3 h0.002m , b 1 20h , b 2 10h , b 3 40h , p  10 , L20b 3 ,

Bài viết này xem xét bốn trường hợp khác nhau liên quan đến tiết diện S1: Case 1 bỏ qua hệ số nền; Case 2 chỉ xét đến thông số nền thứ nhất; Case 3 chỉ xét đến thông số nền thứ hai; và Case 4 xét đến cả hai thông số nền Đặc trưng đất nền được giả thiết với g z = 282.150 kN và K s = 1007 kN/m³ (Kim và Lee, 2015) Bề rộng cánh dưới của dầm được xác định là b2 = 10h = 0.02 m, với hệ số nền thứ nhất được đưa ra.

Hệ số nền thứ nhất không ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị của dầm C-C và C-S khi chịu tải phân bố đều (qz = 20 kN/m) Tuy nhiên, hệ số nền thứ hai có tác động rõ rệt, làm giảm chuyển vị của dầm C-C khoảng 25% và dầm C-S khoảng 38%.

T ra n s v e rs e d e fl e c ti o n ( m m ) a Dầm C-C b Dầm C-S

Hình 9 Chuyển vị dầm C-C và C-S

Hình 10 và 11 minh họa tỷ số chuyển vị của dầm trong các trường hợp khác nhau với các điều kiện biên khác nhau Khi L b/3 nhỏ (L b/3 ≤ 20), ảnh hưởng của thông số nền thứ nhất là không đáng kể, nhưng khi L b/3 lớn (L b/3 = 70), ảnh hưởng này trở nên rất lớn Hình 11 chỉ ra rằng thông số nền thứ hai có ảnh hưởng đáng kể và gia tăng khi L b/3 tăng Các hình này cũng cho thấy hệ số nền ảnh hưởng nhiều nhất đến dầm C-F và ít nhất đến dầm C-C.

Hình 10 Ảnh hưởng của thông số nền thứ nhất đến chuyển vị của dầm theo tỷ số

Hình 11 Ảnh hưởng của thông số nền thứ nhất đến chuyển vị của dầm theo tỷ số