Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 GIÁO TRÌNH MƠN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHUN STT MƠN HỌC TÊN MƠN HỌC Mà SỐ THỜI LƯỢNG CHƯƠNGTRÌ NH VI TÍCH PHÂN A1 ĐIỀU KIỆN TIÊN QUYẾT MƠ TẢ MƠN HỌC Tốn phổ thong GHI CHÚ Số tín chỉ: 05 ( 01 tín ứng với 15 tiết) Lý thuyết: 75 tiết Thực hành: tiết Tổng công: 75 tiết Vi tích phân A1 thiết kế nhóm kiến thức Cung cấp kiến thức đại cương tập hợp, quan hệ logic suy luận Trang bị cho sinh viên sáu kết Giải tích tốn học thực cần thiết cho việc tiếp cận môn chuyên ngành: Hàm số; Giới hạn; liên tục; Phép tính vi, tích phân hàm biến; Khảo sát hội tụ , phân kỳ chuỗi số dương; tình tổng chuỗi hàm hội tụ Sinh viên tiếp cận kiến thức thông qua việc kết hợp giảng lớp, tự học tìm hiểu thêm tài liệu Trang bị kiến thức toán học bước đầu giúp sinh viên làm quen với vài ứng dụng toán học tin học sống ĐIỂM ĐẠT - Hiện diện lớp: 10 % điểm ( Danh sách buổi thảo luận tập nhóm) Vắng ba buổi khơng cộng điểm - Kiểm tra KQHT: 20 % điểm ( kiểm tra cuối môn học: Có ba thang điểm: 2.0 ( hai chẵn); 1.0 ( trịn); 0,0: (khơng chẵn) - Kiểm tra hết mơn: 70% điểm ( Bài thi hết môn) * Lưu ý: Danh sách buổi thảo luận hai kiểm tra Vi tích phân A1 trang Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 hủy danh sách điểm thi hết mơn cơng bố Vi tích phân A1 trang Trường Đại học Trà Vinh CẤU TRÚC MÔN HỌC QT7.1/PTCT1-BM-7 KQHT 1: Xác định kiến thức giới hạn dãy số dãy hàm biến số KQHT 2: Khảo sát hàm số, tính gần giá trị biểu thức ứng dụng vi phân KQHT : Tính tích phân đổi biến, phần ứng dụng tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng thể tích vật thể trịn xoay KQHT 4: Khảo sát số toán hội tụ hay phân kỳ vận dụng lý thuyết tích phân suy rộng loại I, loại II KQHT 5: Khảo sát hội tụ, phân kỳ chuỗi số dương KQHT 6: Tính tổng chuỗi hàm hội tụ * Thực hành: Làm tập lớp+ Hoạt đông theo nhóm+ Thảo luận KQHT Sự tồn vấn đề TỐN PHỔ THƠNG KQHT Thác triển vấn đề Vi tích phân A1 KQHT Phân tích vấn đề VI TÍCH PHÂN A1 KQHT Ứng dụng Tốn KQHT Tổng hợp vấn đề TOÁN PHỤC VỤ CHUYÊN NGÀNH KQHT Ứng dụng sống trang Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 KẾT QUẢ VÀ CÁC BƯỚC HỌC TẬP Kết học tập/ hình thức đánh giá Xác định kiến thức giới hạn dãy số dãy hàm biến số Đánh giá: Bài tập dạng lý thuỵết Dùng ký hiệu logíc + Đạt : Trình bày xác ba định nghĩa giải ví dụ * Giới hạn dãy số; * Giới hạn hàm số; * Hàm biến số liên tục điểm Các bước học tập 1.1 Hãy dùng ký hiệu logic tốn học trình bày: + Định nghĩa giới hạn dãy + Định nghĩa giới hạn hàm 1.2 Trình bày hai ví dụ mang tích chất lý thuyết 1.3 Thế hàm số sơ cấp liên tục điểm, khoảng, đoạn? Khảo sát tính liên tục số hàm ví dụ mang tích chất lý thuyết 1.4 Trình bày khái niệm vơ cực? Khảo sát hàm số tính gần giá trị hàm biến số vi phân Đánh giá : Dùng kỹ thuật +Lập sơ đồ chữ T + Đạt: Hoàn thành hai năm yêu cầu: * Viết công thức đạo hàm mang tính tổng quát * Viết xác biểu thức vi phân tồn phần hàm biến Vi tích phân A1 2.1 Đạo hàm, vi phân hàm biến gì? Giống khác sao? 2.2 Cơng thức Phương tiện, tài liệu, nơi học cách đánh giá cho bước học + Bảng đen + Kiến thức giới hạn “Phổ thông Trung học” * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt Toán cao cấp T2 + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2 + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn + Bảng đen + Kiến thức giới hạn “Phổ thơng Trung học” * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt Tốn cao cấp T2 + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2 + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn + Bảng, phấn + Kiến thức Phổ thơng Trung học * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt Tốn cao cấp T2 + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2 + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn + Bảng, phấn + Kiến thức Phổ thơng Trung học + Học phịng + Trả lời câu hỏi tập ngắn trang Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 * Viết xác cơng thứ khai triển TayloreMaclaurence * Giải xác có kiểm tra lại máy tính cầm tay ví dụ tính gần giá trị biểu thức vi phân cấp * Giải hoàn chỉnh ví dụ: khảo sát hàm số 2.3 Ứng dụng + Khảo sát hàm số + Thiết lập phương trình tiếp tuyến + Tính gần giá trị biểu thức * Bằng vi phân cấp * Bằng khai triển TayloreMaclaurence + Bảng, phấn + Kiến thức Phổ thông Trung học * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt Toán cao cấp T2 + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2 + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn Tính tích phân đổi biến, phần ứng dụng tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng thể tích vật thể trịn xoay Đánh giá: Câu hỏi ngắn Đạt: * Trả lời được: “Tại tích phân đổi biến tích phân phần hai tích phân thơng dụng?” * Giải ví dụ ứng dụng cơng thức tính: diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng thể tích vật thể trịn xoay 3.1 Định nghĩa tích phân hàm biến? Nêu lại cơng thức tính: + Diện tích hình phẳng + Độ dài cung phẳng + Thể tích vật thể trịn xoay + Giấy A4, A0, viết lơng, băng keo * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Lê Phương Quân -Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ + Nhóm tác giả- Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn + Giấy A4, A0, viết lơng, băng keo * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nhóm tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ + Nguyễn Viết Đơng -Trần Ngọc Hội- Tốn cao cấp C1 –Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh + Lê văn Hốt- Tốn cao cấp P2 – Đại học kinh tế + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn Vi tích phân A1 3.2 Có pp tính tích phân hàm biến? Pp hiệu hiệu nhất? Tại sao? 3.3 Bài tập ứng dụng trang Trường Đại học Trà Vinh Khảo sát số toán hội tụ hay phân kỳ vận dụng lý thuyết tích phân suy rộng loại I, loại II Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập thực hành dạng viết Đạt: Trả lời hai bốn vấn đề sau: * Trong hai loại tích phân suy rộng loại I loại II tích phân dễ khảo sát? Tại sao? * Trường hợp sử dụng công thức gần để khảo sát hột tụ hay phân kỳ tích phân suy rộng? * Viết xác hai tiêu chuẩn xét tụ hay phân kỳ tích phân? * Xét ví dụ hội tụ hay phân kỳ tích phân suy rộng? Khảo sát hội tụ, phân kỳ chuỗi số dương Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập giải theo nhóm Đạt: Giải thích Vi tích phân A1 QT7.1/PTCT1-BM-7 4.1 Trình bày định nghĩa tích phân suy rộng lọai I; loại II ? Các loại tích phân giống khác tích phân chương trình phổ thơng điểm nào? + Bảng, phấn * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Vi tích phân A1 – Lê Phương Quân-Đại học Cần thơ + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn 4.2 Nêu tiêu chuẩn để xét hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng? Tại tích phân + Giấy A0, viết lơng, băng keo * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nhóm tác giả - Bài tập Giải b −ε tích- Đại học Cần thơ ∫a +ε f ( x)d ( x) + Nguyễn Viết Đơng -Trần Ngọc Hội- Tốn cao cấp B C –Đại học cận b − ε cận mở bán cơng TP Hồ Chí Minh a + ε ? + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn 4.3 Áp dụng xét tụ phân kỳ số ví dụ tích phân suy rộng + Giấy A0, viết lơng, băng keo * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nhóm tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ + Nguyễn Đình Trí-Tốn Cao cấp T + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn 5.1 Thế một chuỗi số? Chuỗi hàm? Chuỗi đan dấu? Chuỗi lũy thừa? + Bảng, phấn, Giấy A0, viết lông, băng keo + Kiến thức chuỗi số, chuỗi hàm * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” + Học phịng + Trả lời câu hỏi ngắn trang Trường Đại học Trà Vinh ba yêu cầu: * “ Sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi số dương” * Chuỗi hàm hội tụ, phân kỳ, hội tuyệt đối hay bán hội tụ? * Xét hai ví dụ hội tụ hay phân kỳ chuỗi? Tính tổng chuỗi hàm hội tụ Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập thực hành giải theo nhóm: *Yêu cầu: Giải tốn: “Tìm miền hội tụ bán kính hội tụ từ suy tổng chúng” Đạt: * Lập luận xác * Đúng thời gian theo qui định GV đề * Có hợp tác thành viên nhóm Vi tích phân A1 QT7.1/PTCT1-BM-7 5.2 Trình bày tiêu + Giấy A0, viết lông, băng keo chuẩn hội, * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1” phân kỳ chuỗi? * Các tài liệu tham khảo: + Lê Phương Quân - Vi tích phân A1 - Đại học Cần thơ + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn 5.3 Ứng dụng: Xét hội tụ, phân kỳ vài chuỗi số dương? + Giấy A0, viết lơng, băng keo * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nhóm tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ + Nguyễn Đình Trí-Tốn Cao cấp T + Toán cao cấp B C – Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh 6.1 Thế chuỗi lũy thừa? Người ta thường khảo sát chuỗi hàm có tâm hay chuỗi hàm khơng có tâm? + Giấy A0, viết lơng, băng keo * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Lê Phương Quân-Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ + Trần Ngọc Liên -Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ + Lê văn Hốt- Toán cao cấp P2 – Đại học kinh tế + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn trang Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 + Giấy A0, viết lông, băng keo * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Bài tập Giải tích- Nhóm tác giả - Đại học Cần thơ + Tốn Cao cấp T2-Nguyễn Đình Trí + Tốn cao cấp C1 – Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Đại học mở bán cơng TP Hồ Chí Minh + Tốn cao cấp P2- Lê Văn HốtĐại học kinh tế TP HCM + Học phòng + Trả lời câu hỏi tập ngắn * Đúng kết 6.2 Trình bày bước giải tốn tìm miền hội tụ? 6.3 Trình bày bước giải tốn tính tổng chuỗi hàm hội tụ? KẾ HOẠCH ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC Kết học tập Thời lượng giảng dạy 11,0 11,0 9,0 11,5 9,0 8,5 Hình thức đánh giá Mức độ yêu cầu đạt Giải tập Giải tập Giải tập Giải tập Giải tập Giải tập Viết X X X X X X Thao tác Bài tập nhà Thực tập thực tế Đề tài Tự học ĐÁNH GIÁ CUỐI MƠN HỌC Vi tích phân A1 trang Trường Đại học Trà Vinh HÌNH THỨC Thi ( tự luận) THỜI GIAN 90 phút NỘI DUNG ĐÁNH GIÁ Trọng tâm: Vi tích phân A1 QT7.1/PTCT1-BM-7 - Các tốn tính giới hạn; Xét tính liên tục; gián đoạn dãy số dãy hàm biến số - Các toán khảo sát hàm số; tiếp tuyến; vi phân tồn phần ứng dụng vi phân tính gần - Các khai triển TayLor Maclaurance - Các tốn tích phân đặc biệt: tích phân dùng phương pháp đổi biến số tích phân phần - Các tập diện tích hình phẳng; độ dài cung phẳng thể tích vật thể trịn xoay - Xét hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng loại I loại II - Sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi số dương” - Chuỗi hàm hội tụ, phân kỳ, hội tuyệt đối hay bán hội tụ - Tìm miền hội tụ bán kính hội tụ từ suy tổng chúng trang Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 NỘI DUNG CHI TIẾT MÔN HỌC KQHT 1: Xác định kiến thức giới hạn dãy số dãy hàm biến số Lim f ( x) = ? hữu hạn x → x0 Lim Điểm đến 1: Xét BT giới hạn dạng x →∞ f ( x) = ? vô hạn g ( x) Lim U ( x) V ( x ) = ? x →? Lim f ( x) = f ( x ) định nghĩa x → x0 * Điểm đến 2: Xét BT liên tục Tìm tham số để hàm số liên tục, gián đoạn điểm BƯỚC HỌC 1: Trình bày kiến thức bổ sung trường số Bài hướng dẫn CÁC TRƯỜNG SỐ I TẬP CÁC SỐ: Tập số tự nhiên: N = {1; 2; } Tập số nguyên: Z = {0; ± 1; ± 2; } ⎧ Tập số hữu tỷ: Q = ⎨ x cho x = ⎩ ⎫ p ; p, q ∈ Z , q ≠ ⎬ q ⎭ Một số hữu tỷ viết dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vơ hạn tuần hồn Ví dụ 1: = 0,25 ; = 0,75 4 7 = 1,1666 ta viết = 1,1(6) 6 15 15 = 1,363636 hay = 1, (36) 11 11 Ngược lại, cho số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn biểu diễn số hữu tỷ • Số thập phân hữu hạn a0,a1a2…an biểu thị số hữu tỷ a a a p = a + + 22 + L + nn q 10 10 10 • Số thập phân vơ hạn tuần hoàn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) biểu thị số hữu tỷ a b a a 10 m − n b1 b2 p ( + + L + mm ) = a + + 22 + L + nn + m 10 10 q 10 10 − 10 10 10 Vi tích phân A1 trang 10 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 b ∫ f ( x)dx Tích phân c hội tụ a b ∫ f ( x)dx a ∫ f ( x)dx hội tụ c Ví dụ: 1/ Tính I = dx ∫ 1− x2 −1 dx − x 2/ Xét hội tụ tích phân I = ∫ Giải 1/ dx I1 = 2∫ − x2 1−ε = lim ( ε →0 1−ε = lim arcsin x ε →0 ∫ dx − x2 ) = lim arcsin(1 − ε ) ε →0 = arcsin1 = π 2/ 1−ε I = lim ε →0 ∫ ⎛ 1−ε d (1 − x) ⎞ dx = lim ⎜ − ⎟ − x ε →0 ⎝ ∫0 − x ⎠ 1−ε = lim ⎡ − ln(1 − x) ⎤ = lim(− ln ε ) = +∞ ⎦ ε →0 ε →0 ⎣ dx phân kỳ − x Vậy I = ∫ ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG Định lý: Giả sử f(x) g(x) hàm khả tích đoạn hữu hạn [a, b] ≤ f ( x) ≤ g ( x) ∀x ≥ a , ta có: • Nếu +∞ ∫ g ( x)dx hội tụ a • Nếu +∞ ∫ +∞ f ( x)dx hội tụ a ∫ +∞ f ( x)dx ≤ a a +∞ +∞ a a ∫ g ( x)dx ∫ f ( x)dx phân kỳ ∫ g ( x)dx phân kỳ Định lý: Giả sử f(x) g(x) hàm khơng âm khả tích đoạn hữu hạn [a, f ( x) b] Khi đó, lim = k (0 < k < + ∞) tích phân x →+ ∞ g ( x) +∞ ∫ f ( x)dx a +∞ ∫ g ( x)dx a hội tụ phân kỳ Định lý: +∞ Nếu ∫ +∞ f ( x) dx hội tụ a ∫ f ( x)dx hội tụ a Định nghĩa: • +∞ +∞ a a ∫ f ( x)dx gọi hội tụ tuyệt đối ∫ Vi tích phân A1 f ( x) dx hội tụ trang 72 Trường Đại học Trà Vinh • QT7.1/PTCT1-BM-7 +∞ ∫ f ( x)dx +∞ ∫ f ( x)dx gọi hội tụ tuyệt đối a +∞ hội tụ a ∫ f ( x) dx phân a kỳ Ví dụ: Xét hội tụ tích phân sau đây: +∞ a) ∫ (1 + x) (1 + x ) < +∞ Suy ra: ∫ ≥0 (1 + x ) (1 + x ) = α = > x ∀ x≥ 1: f(x) = 1 x x 2 phải hội tụ (1 + x) (1 + x ) cos xdx cos x , f(x) = → ∞ x → – b) ∫ 3 (1 − x ) (1 − x ) cos x VCL x → – f(x) = (1 − x ) cos x cos x = chứng tỏ f(x) = 2 3 ( − x ) (1 − x ) (1 − x ) 1 cos x f(x) = VCL ngang cấp với α = < (1 − x ) (1 − x ) cos x ⇒ ∫ phải hội tụ (1 − x ) ln(1 + x ) 3) Xét ∫ sin x dx e −1 ln(1 + x ) f(x) = > 0, ∀x∈(0; 1] x → +0 esin x − ln(1 + x ) ∼ x ; esin x − ∼ sin x ∼ x 1 3 ln(1 + x ) x ⇒ lim sin x = lim = lim = +∞ x → +0 ξ→0 x → +0 e −1 x x 1 ln(1 + x ) Khi x → +0: VCL ngang cấp với = esin x − x ( x − 0) Vì α = < tích phân suy rộng phải hội tụ +∞ +∞ sin xdx sin x dx hội tụ, 4) ∫ ∀ x ≥ 1: ∫0 x x3 x3 x3 +∞ +∞ sin x hội tụ tuyệt đối nên theo định lý ∫ dx hội tụ tức ∫ sin xdx x x 0 3 3 • Câu hỏi củng cố: Thế tích phân suy rộng ? Có loại tích phân suy rộng ? Vi tích phân A1 trang 73 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Hãy cho biết điều kiện hội tụ tích phân suy rộng? BƯỚC HỌC 2: Tích phân suy rộng • Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: Giấy A4, A3 Viết long • Các bước thực hành: Cho hai ví dụ: ví dụ tích phân suy rộng loại I ví dụ tích phân suy rộng loại II Hãy sử dụng điều kiện hội tụ tích phân suy rộng xét hội phân kỳ hai ví dụ vừa cho ? • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận: Vi tích phân A1 trang 74 Trường Đại học Trà Vinh Vi tích phân A1 QT7.1/PTCT1-BM-7 trang 75 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST) Tiêu chí Có Khơng Có ví dụ tích phân suy rộng loại I ví dụ tích phân suy rộng loại II khơng? Có sử dụng tiêu chuẩn hội tích phân không ? Đúng thời gian qui định Sự hợp tác thành viên nhóm Kết xác lập luận logic Nhận xét: Vi tích phân A1 trang 76 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 KQHT 5: Khảo sát hội tụ, phân kỳ chuỗi số dương Chuỗi số - Chuỗi hàm: + Định nghĩa; + Các phép toán; + Các tiêu chuẩn hội tụ So sánh chuỗi số chuỗi hàm Điểm đến: Xét vấn đề Chuỗi số chuỗi hàm Giải tập xét hội tụ phân kỳ: + Chuỗi số; + Chuỗi hàm BƯỚC HỌC 1: Chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu Bài hướng dẫn: CHƯƠNG V LÝ THUYẾT CHUỖI KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Định nghĩa 5.1 • Cho dãy số thực (un), n = 1, 2, Biểu thức ∞ ∑u n =1 n = u1 + u + + u n + (1) gọi chuỗi un gọi số hạng tổng quát hay số hạng thứ n chuỗi (1) • Tổng Sn = u1 + u2 + + un gọi tổng riêng chuỗi (1) • Nếu Sn có giới hạn S chuỗi (1) gọi chuỗi hội tụ có tổng S Ta viết: ∞ S = ∑ un n =1 • Chuỗi (1) khơng hội tụ gọi phân kỳ Ví dụ 5.1: Xét hội tụ chuỗi sau: 1/ 2/ ∞ ∑q n =0 ∞ n ⎛ 1⎞ ∑ ln⎜⎝1 + n ⎟⎠ n =1 Giải 1/ Ta có: S n = + q + q + + q n −1 ⎧1 − q n ⎪ = ⎨ 1− q ⎪ n ⎩ q ≠ q = 1 ⇒ chuỗi hội tụ 1− q - Nếu q > ⇒ lim S n = ∞ ⇒ chuỗi phân kỳ - Nếu q < ⇒ lim S n = n→∞ n →∞ - Nếu q = ⇒ lim S n = ∞ n→∞ Vi tích phân A1 ⇒ chuỗi phân kỳ trang 77 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 - Nếu q = −1 ⇒ Sn khơng có giới hạn ⇒ chuỗi phân kỳ Vậy ∞ ∑q n hội tụ q < phân kỳ q ≥ n =0 n +1 = ln (n + 1) − ln n n ⇒ S n = (ln − ln 1) + (ln − ln ) + + [ln (n + 1) − ln n] = ln(n + 1) 2/ Ta có : u n = ln ⇒ lim S n = +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ n →∞ * Các định lý: Định lý 5.1: Nếu ∞ ∑u n =1 hội tụ lim u n = n n→∞ ∞ ∑u Hệ quả: Nếu lim u n ≠ n→∞ Ví dụ 5.2: ∞ n n ∞ ∑ u n n =1 ∞ n =1 n phân kỳ n→∞ Định lý 5.2: Nếu hai chuỗi ∑u n ∑ n + phân kỳ lim n + = ≠ n =1 hội tụ n =1 ∞ ∞ n =1 n =1 ∞ ∑ hội tụ chuỗi n =1 ∞ ∞ ∑ au n ; n =1 ∞ ∑ (u n =1 n + v n ) ∞ = a ∑ u n , ∑ (u n + v n ) = ∑ u n + ∑ v n n =1 n =1 Định lý 5.3: Cho hai chuỗi Khi đó, chuỗi ∞ ∑ u n = u1 + u + + u k + + u n + n =1 ∞ ∑ u n hội tụ n =1 ∞ ∑u m = k +1 m ∞ ∑u m = k +1 m = u k +1 + + u m + hội tụ Hệ quả: Tính hội tụ chuỗi không đổi ta bỏ số hữu hạn số hạng chuỗi Ví dụ 5.3: ∞ ∞ 1 ⇒ hội tụ hội tụ ∑ ∑ n n n =0 n=2 ∞ ∞ 1 ⎛ 1⎞ = − ⎜1 + ⎟ = ∑ ∑ n n ⎝ 2⎠ n=2 n =0 BƯỚC HỌC 2: Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi CHUỖI SỐ DƯƠNG Bài hướng dẫn: Định nghĩa 5.2: ∞ ∑u n =1 n ; u n > ∀n ∈ N gọi chuỗi số dương * Các định lý : Định lý 5.4: Chuỗi số dương ∞ ∑u n =1 n hội tụ ⇔ tổng riêng Sn bị chặn Định lý 5.5: ( Tiêu chuẩn so sánh ) Cho hai chuỗi ∞ ∑u n =1 n ∞ ∑v n =1 n thoả điều kiện tồn số dương N cho < u n ≤ v n ∀n ≥ N , đó: Vi tích phân A1 trang 78 Trường Đại học Trà Vinh - Nếu - Nếu ∞ ∑ hội tụ n =1 ∞ ∑u n =1 Ví dụ 5.4: n QT7.1/PTCT1-BM-7 ∞ ∑u n =1 n hội tụ ∞ ∑v phân kỳ n =1 n phân kỳ ∞ 1 hội tụ n n ≤ n ∀n ≥ ∑ n n e n =1 e ∞ ∑3 n =1 hội tụ n Định lý 5.6: ( Tiêu chuẩn so sánh ) Cho hai chuỗi số dương ∞ ∑u n =1 n ∞ ∑v n =1 n Nếu lim n→∞ un = k (0 < k < +∞ ) hai chuỗi hội tụ phân kỳ Ví dụ 5.5: ⎛ 1⎞ ln⎜1 + ⎟ n⎠ phân kỳ lim ⎝ = ∑ n→∞ n =1 n n ∞ ∞ 1⎞ ⎛ ∑ ln⎜⎝1 + n ⎟⎠ phân kỳ n =1 Định lý 5.7: ( Tiêu chuẩn D'Alembert ) Cho chuỗi số dương ∞ ∑u n =1 o Nếu D < o Nếu D > ∞ n , giả sử tồn lim n→∞ ∑u n hội tụ ∑u n phân kỳ n =1 ∞ n =1 u n +1 = D Khi đó: un Ví dụ 5.6: u n +1 (n + 1)n+1 n! = lim⎛ n + ⎞ = lim⎛1 + ⎞ = e > nn phân kỳ lim = lim ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∑ n→∞ u n →∞ (n + 1)! n n n →∞ n →∞ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠ n =1 n! n n ∞ n Định lý 5.8: ( Tiêu chuẩn Cauchy ) Cho chuỗi số dương ∞ ∑u n =1 o Nếu C < o Nếu C > ∞ giả sử tồn lim n u n = C Khi đó: ∑u n hội tụ ∑u n phân kỳ n =1 ∞ n =1 ∞ n n→∞ n n ⎛ n ⎞ = Ví dụ 5.7: ∑ ⎜ ⎟ phân kỳ lim n u n = lim n → ∞ n → ∞ 3n + n =1 ⎝ 3n + ⎠ Định lý 5.9: ( Tiêu chuẩn tích phân ) Cho hàm số f ( x) dương, liên tục giảm [a; + ∞ ] Khi đó: Chuỗi số ∞ +∞ k =0 a ∑ f (a + k ) hội phân kỳ với ∫ f ( x)dx Ví dụ 5.8: ∞ 1 phân kỳ hàm số f ( x) = liên tục, dương, giảm [2;+∞] ∑ x n =2 n +∞ ∫ x dx phân kỳ Vi tích phân A1 trang 79 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 V.3 CHUỖI ĐAN DẤU Định nghĩa 5.3: Chuỗi đan dấu chuỗi có dạng: ∞ ∑ (− 1) n +1 n =1 u n = u1 − u + + (− 1) n +1 u n + với un > ∀n ∈ N Định lý 5.10: ( Tiêu chuẩn Leibnitz ) ∞ ∑ (− 1) Cho chuỗi đan dấu n +1 n =1 ∞ ∑ (− 1) n +1 n =1 u n , u n +1 − u n ≤ ∀n ∈ N lim u n = chuỗi n→∞ u n hội tụ Ví dụ 5.9: Chuỗi ∞ ∑ (− 1) n +1 n =1 lim n→∞ 1 1 hội tụ u n +1 − u n = − =− ≤ ∀n ∈ N n +1 n n(n + 1) n = n Định lý 5.11: Nếu chuỗi ∞ ∑u n =1 n hội tụ chuỗi ∞ ∑u n =1 Ví dụ 5.10: cos nα cos nα hội tụ ≤ ∀n ∈ N mà ∑ 2 n n n n =1 ∞ cos nα hội tụ ⇒ ∑ hội tụ n2 n =1 Chuỗi ∞ Chú ý: Nếu chuỗi ∞ ∑u n =1 ∞ ∑u n =1 n n n hội tụ ∞ cos nα hội tụ ⇒ ∑ ∑ n2 n =1 n n =1 ∞ phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy phân kỳ Ví dụ 5.11: ∞ ∞ n! n! n +1 n! ( ) phân kỳ − = phân kỳ ∑ ∑ n n n 2 n =1 n =1 n =1 (n + 1)! n = lim n + = +∞ ) = lim n +1 n→∞ n! n→∞ Chuỗi u n +1 n→∞ u n ( lim ∞ ∑ (− 1) n +1 Định nghĩa 5.4: • Nếu chuỗi • Nếu chuỗi ∞ ∞ ∑ u n hội tụ chuỗi ∑u ∑ u n hội tụ mà chuỗi ∑ u n phân kỳ chuỗi n =1 ∞ n =1 n =1 ∞ n =1 n gọi hội tụ tuyệt đối ∞ ∑u n =1 n gọi bán hội tụ Ví dụ 5.12: Chuỗi ∞ ∞ n =1 n =1 n +1 n +1 ∑ (− 1) n hội tụ không hội tụ tuyệt đối nên chuỗi ∑ (− 1) n bán hội tụ • Câu hỏi củng cố: Vi tích phân A1 trang 80 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 Hãy cho biết chuỗi số gì? Thế chuỗi số hội tụ, phân kỳ ? Hãy nêu tiêu chuẩn hội tụ phân kỳ ? Theo bạn tiêu chuẩn thơng dụng toán học ? Thế chuỗi đan dấu chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn ? Bạn hiểu chuỗi số hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ ? KẾT QUẢ HỌC TẬP 6: Tính tổng chuỗi hàm hội tụ Chuỗi lũy thừa: + Chuỗi có tâm bất kỳ; + Chuỗi có tâm tắc * Điểm đến: Xét Chuỗi hàm hội tụ Bài tập: Tìm miền hội tụ bán kính hội tụ chuỗi từ suy tổng chúng Bài hướng dẫn: CHUỖI LŨY THỪA I CHUỖI HÀM Là chuỗi mà số hạng hàm số biến số x ∞ ∑U n =1 từ n (x ) = U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + … ∞ ∑ U n (x) cho x = x0: n =1 ∞ ∑U n =1 n (x ) Nếu chuỗi số hội tụ, x = x0 điểm hội ∞ tụ, tập hợp tất điểm hội tụ gọi miền hội tụ chuỗi theo biến ∑U n =1 n (x) hàm S(x) xác định miền hội tụ chuỗi: S(x) = U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + … = ∞ ∑U n =1 n (x ) II CHUỖI LUỸ THỪA: Định nghĩa 5.5: Chuỗi luỹ thừa chuỗi có dạng: ∞ ∑a n =0 n x n = a + a1 x + a x + + a n x n + * Miền hội tụ: Định lý 5.13: ( Định lý Abel ) Nếu chuỗi ∞ ∑a n =0 n x n hội tụ x0 ≠ hội tụ tuyệt đối x mà x < x Nhận xét: Nếu chuỗi ∞ ∑a n =0 n x n phân kỳ x1 ≠ phân kỳ x mà x > x1 Vi tích phân A1 trang 81 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 ∞ ∑a Theo định lýAbel, tồn số r ≥ để chuỗi n =0 n x n hội tụ tuyệt đối (-r; r) phân kỳ khoảng (− ∞; r ), (r ; + ∞ ) Còn x = ± r chuỗi ∞ ∑a n =0 n x n hội tụ hay phân kỳ Số r nói gọi bán kính hội tụ chuỗi ∞ ∑a n =0 khoảng hội tụ chuỗi ∞ ∑a n =0 n n x n Khoảng (-r; r) gọi xn Vậy muốn tìm miền hội tụ, trước hết ta tìm khoảng hội tụ sau ta xét tính hội tụ chuỗi x = ± r * Qui tắc tìm bán kính hội tụ: Cho chuỗi ∞ ∑a n =0 n a n +1 = l lim n a n = l n →∞ a n→∞ n x n , lim (0 ≤ l ≤ +∞ ) bán kính ⎧1 ⎪ l < l < +∞ ⎪ hội tụ: r = ⎨0 l = +∞ ⎪+ ∞ l = ⎪ ⎩ Ví dụ 5.13: Tìm miền hội tụ chuỗi sau: ∞ xn ∑ n =1 n 1/ ∞ ∑ 2/ n =1 ( x + )n n.3 n Giải 1/ Ta có: lim n→∞ a n +1 n = lim = ⇒ khoảng hội tụ (-1; 1) n → ∞ an n +1 Khi x = ⇒ chuỗi ∞ ∑n n =1 ∞ phân kỳ hội tụ n n =1 Vậy miền hội tụ chuỗi là: − ≤ x < ∞ Xn 2/ Đặt X = x + 2, xét chuỗi ∑ n n =1 n.3 Khi x = - ⇒ chuỗi ∑ (− 1) n a n +1 n = lim = ⇒ khoảng hội tụ chuỗi n→∞ a n →∞ 3( n + 1) n Ta có: lim Khi X = ⇒ chuỗi Khi X = - ⇒ chuỗi ∞ ∑n n =1 ∞ Vi tích phân A1 Xn n =1 n (-3; 3) phân kỳ ∑ (− 1) n =1 ∞ ∑ n.3 n hội tụ n trang 82 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 ∞ Xn ⇒ miền hội tụ chuỗi ∑ n − ≤ X < n =1 n.3 n ( x + 2) là: Vậy miền hội tụ chuỗi ∑ n ∞ n =1 n.3 − ≤ x < * Các tính chất chuỗi luỹ thừa: Cho chuỗi ∞ ∞ n =0 n =0 ∑ an x n , khoảng hội tụ (-r; r) có tổng f(x) = ∑ an x n Khi đó: f(x) hàm liên tục (-r; r) Có thể lấy đạo hàm số hạng chuỗi ∞ ∑ an x n , chuỗi n =0 ∞ ∑ na n =1 n x n −1 có khoảng hội tụ (-r; r) Có thể lấy tích phân số hạng chuỗi ∞ ∑a n =0 x chuỗi ∫ n xn , ∞ a n n +1 có khoảng hội tụ (-r; r) x n =0 n + f ( x)dx =∑ Ví dụ 5.14: Tính tổng chuỗi ∞ ∑ nx n n =1 Giải Miền hội tụ chuỗi là: (-1; 1) Gọi S(x) = x + 2x2 + 3x3 +…+ nxn +… = x(1 + 2x + 3x2 +…+ nxn-1 +…) =x.S1(x) x ⇒ ∫ S1 ( x) = x + x + x + + x n + ⇒ S1 ( x) = x 1− x (do x < 1) ' ⎛ x ⎞ ⇒ S1 ( x ) = ⎜ ⎟ = ⎝ − x ⎠ (1 − x ) x Vậy S ( x) = (1 − x )2 • Câu hỏi củng cố Bạn hiểu chuỗi hàm ? Có loại chuỗi lũy thừa ? Hãy trình bày bước tìm miền hội tụ chuỗi hàm ? Thực hành: Sinh viên tự cho hai chuỗi lũy thừa: chuỗi có tâm chuỗi khơng tâm tiến hành tìm miền hội tụ hai chuỗi Vi tích phân A1 trang 83 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 PHẦN HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH KQHT : Tính tổng chuỗi hàm hội tụ BƯỚC HỌC : Thực hành tìm miền hội tụ bán kính hội chuỗi lũy thừa • Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: Giấy A0 Viết long • Các bước thực hành: Xác định dạng chuỗi Xác định hệ chuỗi Xác định tiêu chuẩn để tính bán kính hội tụ Xét hai đầu đoạn miền hội tụ Xác định miền hội tụ chuỗi lũy thừa • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận: Vi tích phân A1 trang 84 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST) Tiêu chí Có Khơng Xác định dạng chuỗi Xác định hệ chuỗi Xác định tiêu chuẩn để tính bán kính hội tụ Xét hai đầu đoạn miền hội tụ Xác định miền hội tụ chuỗi lũy thừa Đúng thời gian qui định Sự hợp tác thành viên nhóm Kết xác lập luận logíc Nhận xét: - Vi tích phân A1 trang 85 Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7 TÀI LIỆU THAM KHẢO ™ TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỂ BIÊN SOẠN NỘI DUNG MÔN HỌC [1] Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí: Tốn cao cấp Tập II Nhà xuất giáo dục,1999 [2] Lê Văn Hốt: Toán cao cấp PII Tủ sách Đại học Kinh tế, 2004 [3] Lê Phương Quân: Vi tích phân B, Đại học Cần Thơ, 2002 [4] Nguyễn Viết Đông- Trần Ngọc Hội: Toán cao cấp B vá C Đại học mở bán công TPHCM, 2005 [5] Phan Văn Ba – Đinh Thành Hịa: Bài tập Giải tích Đại học Cần Thơ [6] Nguyễn Thanh Bình-Lê Văn Sáng, Đại số tuyến tính, Đại học Cần Thơ [7] Nguyễn Viết Đơng-Lê Thị Thiên Hương-Nguyễn Anh Tuấn-Lê Anh Vũ, Bài tập toán cao cấp, tập - NXB Giáo Dục [8] Trần Văn Hạo, Đại số tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997 [9] Lê Ngọc Lăng (chủ biên) Ôn thi học kỳ thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo dục, 1997 ™ TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀ NGHỊ CHO HỌC VIÊN [1] Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí: Tốn cao cấp Tập II Nhà xuất giáo dục,1999 [2] Lê Văn Hốt: Toán cao cấp PII Tủ sách Đại học Kinh tế, 2004 [3] Lê Phương Quân: Vi tích phân B, Đại học Cần Thơ, 2002 [4] Nguyễn Viết Đơng- Trần Ngọc Hội: Tốn cao cấp B vá C Đại học mở bán công TPHCM, 2005 [5] Phan Văn Ba – Đinh Thành Hòa: Bài tập Giải tích Đại học Cần Thơ [6] Giáo trình vi tích phân A1- Đại học Trà Vinh, 2006 [7] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi phân tập 2, NXB Giáo dục, 1997 [8] Lê Ngọc Lăng (chủ biên) Ôn thi học kỳ thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo dục, 1997 [9] Trần Văn Hạo, Đại số tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997 Vi tích phân A1 trang 86