Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của bài viết là giúp sinh viên nắm vững các phương trình Vật lý - Toán, đặc biệt là tìm hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt Điều này nhằm hỗ trợ sinh viên trong việc học tập và áp dụng kiến thức về phương trình truyền nhiệt ở bậc Đại học một cách hiệu quả.
- Làm cơ sở cho các môn học Vật lý lý thuyết khác như: vật lý thống kê, cơ lượng tử, điện từ …
Nhiệm vụ
Phép biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong toán học ứng dụng cho vật lý, giúp phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến sóng và tín hiệu Trong lĩnh vực truyền nhiệt, biến đổi Fourier được sử dụng để chuyển đổi các phương trình vi phân thành dạng dễ giải hơn, từ đó mô tả sự phân bố nhiệt độ theo thời gian và không gian Việc nắm vững kiến thức về phép biến đổi Fourier và các ứng dụng của nó trong truyền nhiệt là cần thiết để hiểu rõ hơn về các hiện tượng vật lý trong thực tiễn.
- Ứng dụng phép biến đổi Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt.
Phương pháp nghiên cứu
- Do đặc thù môn học chúng tôi đã chọn cho mình phương pháp nghiên cứu lý thuyết và bài tập ứng dụng.
Sưu tầm và đọc tài liệu từ sách báo, internet để tập hợp các thông tin liên quan đến khóa luận Sử dụng các công cụ toán học để tính toán và hệ thống hóa các bài tập một cách logic nhằm đạt được mục tiêu đã đề ra.
- Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.
Giả thiết khoa học
Dựa trên kiến thức và phương pháp giải toán trong môn Toán lý, đặc biệt là cho bài toán về phương trình truyền nhiệt, chúng ta có thể áp dụng một phương pháp giải toán hiệu quả, dễ nhớ và phổ biến, mặc dù không phải là phương pháp mới.
Đóng góp của khóa luận
- Làm tài liệu tham thảo cho sinh viên.
- Góp phần nghiên cứu kết quả học tập học phần Phương pháp Toán lý cho sinh viên.
Phương pháp Fourier có tiềm năng ứng dụng mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán về Phương trình truyền nhiệt trong giảng dạy môn Vật lý ở bậc đại học Việc áp dụng phương pháp này không chỉ giúp sinh viên hiểu rõ hơn về các khái niệm lý thuyết mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề thực tiễn trong lĩnh vực vật lý.
Bố cục của khóa luận
Khóa luận gồm ba phần :
Chương 1: Cở sở toán học
Chương 2: Sử dụng phương pháp tách biến Fourier giải bài toán cơ bản của phương trình truyền nhiệt
Chương 3: Vận dụng phương pháp Fourier giải bài tập phương trình truyền nhiệt.Phần kết luận.
Kế hoạch thực hiện đề tài
+ Từ 09/2012 → 11/2012: Đọc, sưu tầm tài liệu và viết đề cương.
+ Từ 11/2012 → 12/2012: Nghiên cứu tài liệu, xây dựng cơ sở toán học.
+ Từ 12/2012 → 02/2013: Phân loại theo từng chương và chia ra phương pháp giải cụ thể cho một số dạng bài tập.
+ Từ 02/2013 → 04/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo.
+ Từ 04/2013 → 05/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa luận.
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Phương trình vi phân tuyến tính
1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Phương trình tuyến tính cấp 1 có dạng:
Ta giả thiết p(x), q(x) là những hàm liên tục.
+ Nếu q(x) 0 thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. + Nếu q(x) 0 thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp1 không thuần nhất.
- Để tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) ta xét q(x) = 0.
Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất có dạng: y ' + p(x)y = 0 dy + p (x) dx y = 0
Giả sử y 0 , chia 2 vế phương trình cho y:
Tích phân 2 vế phương trình (1.3) ta được:
, với C 0 Nhận thấy y = 0 là nghiệm của phương trình (1.2).
Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng: y = C.e - p(x).dx , với C R
- Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất
' Đặt C = C(x) và tìm cách chọn C(x) sao cho biểu thức: y = C (x) - p(x).dx (1.4)
Thay (1.4)vào phương trình (1.1) ta có:
- p(x).dx - p(x).dx dC(x) = - p(x).dx dx + C
Thay C(x) vào biểu thức y = C(x) e - p(x).dx ta được: q(x).e
1.1.2 Phương trình vi phân cấp 2
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng:
'' ' ( a x b ) (1.5) trong đó p(x), q(x), f(x) xác định trên [a, b]
+ Nếu f (x) = 0 thì phương trình (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2. + Nếu f (x) 0 thì phương trình (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 2.
y = C.e y + p(x).y = q(x) ta áp dụng phương pháp biến thiên hằng số. e
1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuấn nhất có hệ số là hằng số
Xác định nghiệm tổng quát
Có các trường hợp sau:
+ Nếu Δ > 0 : phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. k 1;2 = -p ±
Khi đó phương trình (1.6) có 2 nghiệm riêng của phương trình là: k 1 x
Do đó k 1 x k 2 x là các hằng số tùy ý.
+ Nếu 0 phương trình có nghiệm kép k 1 =k 2 , khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình độc lập tuyến tính với nhau có dạng: k 2 x
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) có dạng: y = e k 1 x C 1 x+C 2 , C 1 ,C 2 là các hằng số.
+ Nếu Δ < 0 thì phương trình (*) có 2 nghiệm phức. k 1;2 = -p±
Giải phương trình đặc trưng: k + pk + q = 0 (*)
Khi đó có 2 nghiệm riêng của (1.6) là (α+iβ)x
Sử dụng công thức Euler, ta có: αx αx
Do y 1 , y 2 là nghiệm riệng của (1.6) nên: y= y 1 +y 2
2i cũng là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình Thay vào (1.6) ta có nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng: y = (C 1 cosβx + C 2 sinβx).e αx
1.1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất với các hệ số là hằng số
Hay Trường hợp 1: y" + py' + qy = f(x) αx
(1.8) với α R, P n (x) là đa thức bậc n.
+ Nếu α là nghiệm kép của phương trình (1.6), khi đó ta tìm nghiệm của phương trình có dạng: 2 αx (1.9)
+ Nếu α là nghiệm đơn của phương trình (1.6), khi đó chúng ta tìm nghiệm của phương trình có dạng: αx (1.10)
+ Nếu α không là nghiệm của phương trình (1.6), khi đó khi đó chúng ta tìm nghiệm của phương trình có dạng:
Phương trình có dạng: y + p(x)y + q(x)y = f(x) f(x) = e P n (x), y = x e Q n (x) y = x.e Q n (x) trong đó Q n (x) là đa thức cùng bậc đa P n (x)
Trong trường hợp 2, khi f(x) = e^(αx) thì nghiệm của phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng P_m(x)cos(βx) + P_n(x)sin(βx), trong đó P_m(x) và P_n(x) là các đa thức bậc n và m, còn α và β là các hằng số thực Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình (1.6), nghiệm của phương trình sẽ có dạng y = e^(αx)[Q_l(x)cos(βx) + R_l(x)sin(βx)] Ngược lại, nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình (1.6), nghiệm sẽ có dạng y = x e^(αx)[Q_l(x)cos(βx) + R_l(x)sin(βx)], trong đó Q_l và P_l là các đa thức bậc l = max(m,n).
Chuỗi Fourier
1.2.1 Tổng quan về phương pháp tách biến Fourier
Hàm L là các hàm riêng trực giao trong khoảng (-L, L) Hàm f(x) được coi là trơn từng khúc trong một khoảng nhất định, cho phép chia khoảng này thành nhiều đoạn nhỏ, trong đó mỗi đoạn đều có tính chất trơn.
Tập các hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng khúc f(x) dưới dạng chuỗi: f(x) = a 0 +
L ) được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L, L), trong đó a 0 ,a n ,b n gọi là các hệ số Fourier của chuỗi.
9 y = e Q n (x) hàm f(x) và đạo hàm f (x) liên tục.
Fourier trong đó a 0 ,a n ,b n như sau: a 0 = 1 2L
1.2.1.1 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
* Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:
- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L.
- Hàm f(x) có một hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong khoảng (-L, L).
Giả sử khoảng (-L, L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x) Khi chuỗi Fourier được xác định tại điểm x nằm ngoài khoảng này, nó cho phép khai triển tuần hoàn hàm f(x) ngoài khoảng Fourier đầy đủ.
Hàm f(x) có thể được xác định là hàm mở rộng của hàm f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ Điều này có nghĩa là f(x) trở thành một hàm mở rộng tuần hoàn trong khoảng -L đến L, với tính chất f(x + 2L) = f(x).
Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi hệ số a 0 , a n , b n được tính cụ thể. Hàm f(x) được gọi là bước nhảy gián đoạn tại điểm x 0 nếu f( x -0 ) = lim f( x 0 - ε ) f( x 0+ ) = lim f( x 0 + ε ).
Nếu hàm f(x) và f’(x) là liên tục từng khúc trong khoảng (-L, L) thì biểu diễn chuỗi
Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:
- Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục;
- Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng Fourier đầy đủ;
Từ tính trực giao của tập có thể tìm được các hệ số
Tại điểm x = 0, nếu hàm f(x) có bước nhảy gián đoạn hữu hạn, chuỗi Fourier của hàm này sẽ hội tụ về giá trị trung bình của giới hạn trái và phải, tức là [f(x0+) + f(x0-)].
L ) được gọi là tổng riêng thứ N.
L ). có thể viết dưới dạng: a 0 +
L + φ n ). trong đó: C n = 2 φ n = arctg( a n b n ) được gọi là pha.
L + φ n ) được gọi là dao động điều hòa thứ n.
1.2.1.2 Tính chẵn lẻ của chuỗi Fourier
Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn nếu f(-x) = f(x) với mọi giá trị của x, và nó có tính đối xứng dọc theo trục y Ngược lại, hàm f(x) được xem là hàm lẻ khi f(-x) = -f(x) cho mọi giá trị của x Những đặc điểm này của hàm chẵn và hàm lẻ giúp đơn giản hóa việc biểu diễn Fourier.
Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì
Thật vậy, vì f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x), do đó:
C a n n2 +b được gọi là biên độ.
Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(-x) =-f(x)thì f x dx = 0
Tích của hai hàm chẵn sẽ tạo ra một hàm chẵn, trong khi tích của hai hàm lẻ cũng cho kết quả là một hàm chẵn Ngược lại, khi tích một hàm chẵn với một hàm lẻ, kết quả sẽ là một hàm lẻ.
- Nếu f(x) là một hàm lẻ, biểu diễn Fourier có dạng:
- Nếu f(x) là một hàm chẵn, biểu diễn Fourier của nó là:
L ,0 0 là hằng số. f 3 là dòng nhiệt được xác định.
x 2 Điều kiện biên hỗn hợp là kết quả của của các điều kiện biên loại I và loại II
Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier
2.3.1 Ý tưởng chính: Chuyển bài toán giải phương trình đạo hàm riêng thành bài toán giải phương trình vi phân thường (dạng phương trình dễ giải hơn và đã được nghiên cứu đầy đủ hơn).
2.3.2 Tóm tắt bước giải: Để tìm nghiệm u(x, y) thỏa mãn phương trình
y + Fu = G(x, y) Bằng phương pháp tách biến Fourier ta làm các bước sau:
Bước 1 : Đặt u(x, y) = X(x)Y(y) trong đó X(x), Y(y) là các hàm cần xác định Tính các đạo hàm. u x (x, y) = X' (x)Y(y); u xx (x, y)= X''(x)Y(y) ; u xy = X'(x)Y'(y) ; u y (x, y) = X(x) Y'(y); u yy =X(x) Y'' (y) Bước 2
Để giải phương trình, ta thực hiện tách biến, tức là biến đổi phương trình về dạng mà các hàm số cùng một vế chứa cùng một biến Kết quả ta thu được là: Φ(x, X(x), X'(x), X''(x)) = H(y, Y(y), Y'(y), Y''(y)).
Với lập luận rằng vế trái của phương trình phụ thuộc vào x và vế phải phụ thuộc vào y, hai vế chỉ có thể bằng nhau khi cùng bằng một hằng số λ, được gọi là hằng số tách biến Từ đó, ta có hệ phương trình vi phân thường: Φ(x, X(x), X'(x), X''(x)) = λ và H(y, Y(y), Y'(y), Y''(y)) = λ.
Giải hai phương trình trên để tìm X(x), Y(y) từ đó tìm được u(x, y).
Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng để giải các Phương trình Vật lý - Toán.
Chúng ta sẽ tập trung phân tích chi tiết bước 3 và bước 4, từ đó cung cấp những hướng dẫn cụ thể nhằm áp dụng phương pháp này hiệu quả Sau khi thực hiện các phép thế u vào các đạo hàm, chúng ta sẽ tiến hành chia hai vế cho
Rõ ràng việc tách biến chỉ có thể tiến hành được nếu B 0 , G(x, y) 0
Khi đó phương trình có dạng :
X X Y Y Đây là phương trình tách biến nếu:
- A, D là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc x.
- C, E là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc y.
- F là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc một biến x hoặc y.
Ngoài ra ta còn có thể tách biến trong một số trường hợp đơn giản khác, chẳng hạn:
Khi đó phương trình trở thành:
Chia hai vế cho A 2 (y)C 1 (x) ta được phương trình tách biến
Như vậy có thể thấy: Quá trình tách biến khá phức tạp, trong nhiều trường hợp thậm chí không thực hiện được.
Qua những phân tích trên ta thấy
- Chỉ nên áp dụng trực tiếp phương pháp này đối với các phương trình đơn giản có những đặc điểm sau:
Hệ số hằng hoặc chỉ phụ thuộc vào một biến, hoặc có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai hàm, trong đó mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến riêng biệt Các phương trình vật lý và toán học cơ bản thường có những đặc điểm này.
Khi giải các phương trình không thuần nhất, việc kết hợp phương pháp tách biến với phương pháp đặt hàm phụ hoặc tìm nghiệm dưới dạng chuỗi sẽ giúp nâng cao hiệu quả giải quyết bài toán.
Sau đây ta sẽ vận dụng phương pháp này vào việc giải bài toán của phương trình truyền nhiệt.
Phương trình truyền nhiệt một chiều
2.4.1 Bài toán Cauchy một chiều.
2.4.1.1 Bài toán Cauchy một chiều thuần nhất (Hay bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh vô hạn ).
Xét sự phân bố nhiệt trong thanh rất mảnh, dài vô hạn nằm dọc theo trục x Giả sử các mặt bên của thanh là cách nhiệt.
Bài toán Cauchy yêu cầu tìm hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình u 't - a 2 u ''xx = 0 và điều kiện ban đầu u t=0 = g(x), với g(x) biểu thị sự phân bố nhiệt độ tại thời điểm t = 0 trên toàn bộ miền x.
Ta sử dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm bài toán theo các bước sau:
Ta có: u 't = XT ' u ''xx = X '' T Bước 2: Thay vào phương trình (2.15) và thực hiện việc tách biến ta được:
Từ đẳng thức (2.16), nhận thấy rằng vế trái chỉ phụ thuộc vào biến t, trong khi vế phải chỉ phụ thuộc vào biến x Do đó, đẳng thức (2.16) luôn đúng khi cả hai vế bằng nhau và đều bằng một hằng số c.
Từ phương trình (2.17) ta có: dT(t) - a 2 c T(t) = 0 dT(t)
Vì tại mỗi điểm của thanh nhiệt độ u(x,t) không thể tăng lên đến vô cùng khi t nên hằng số c phải dương.
Với c = - λ 2 nghiệm của phương trình (2.18) viết dưới dạng:
Nghiệm của phương trình (2.15) có thể viết dưới dạng:
28 a T X aT X Nghiệm của phương trình (2.17) là T(t) = Ae ca t với A là hằng số tùy ý. Đặt c = - λ 2 ta được: T(t) = Ae -λ a t u λ (x, t) = X(x)T(t) =( Bcos λ x + Csin λ x) Ae -λ a t
= [ M(x)cos λ x + N(x)sin λ x ] e -λ a t d λ với A, B, C là những hằng số.
Do thanh vô hạn nên λ có thể lấy giá trị bất kỳ từ Do đó ta tìm nghiệm dưới dạng tích phân.
Theo điều kiện ban đầu:
Dùng phương pháp tích phân Fourier:
2 Mặt khác, khai triển tích phân Fourier của hàm g(x) ta có:
So sánh với các điều kiện ta thấy:
Vậy nghiệm của phương trình có dạng:
2 Để tính tích phân trên, Đặt: 1 a t
λ(ξ - x) = μz μ = = λ(ξ - x) Đặt e cosμz.dz -z e cosμz.dz = 1 J( μ ), e cosμz.dz -z = J( μ ), e zsinμz.dz -z e sinμ z z = 0 + e z.sinμ.z.dz = - 2 dJ(μ) dJ(μ) μ μ
2.4.1.2 Bài toán Cauchy không thuần nhất
Bài toán: Tìm nghiệm phương trình:
Để giải bài toán, chúng ta có thể áp dụng phương pháp tìm nghiệm riêng hoặc phương pháp tách biến thiên hằng số Phương pháp biến thiên hằng số cho phép chúng ta biểu diễn hàm một cách hiệu quả.
1 cρ g(x,t) dưới dạng tích phân Fourier.
Từ nghiệm phương trình thuần nhất ta có thể tìm nghiệm của bài toán không thuần nhất dưới dạng: u
Thay vào phương trình, ta có:
- Đẳng thức này phải thỏa mãn với tất cả các λ và t 0 nên
Theo điều kiện ban đầu: f(x)= M( λ,0)cosλx + N(λ,0)sinλx dλ
0 0 Thay vào công thức nghiệm ta có:
Số hạng thứ nhất tương ứng với nghiệm của phương trình thuần nhất.
Thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân thứ hai của phương trình trên ta có:
- cρ g ξ,t t *u x,t;ξ dξ (2.20) trong đó g ξ,t t *u x,t;ξ là kí hiệu tích chập của các hàm g và u theo t với định t t
t u(x, t)= M λ, 0 cosλx + N λ, 0 sinλx e + -a 2 λ t 2 P λ, s cosλx + Q λ, s sinλx e -a λ t-s dsdλ
2.4.2 Bài toán hỗn hợp một chiều
Điều kiện biên của bài toán truyền nhiệt. u
Chúng ta sẽ phân tích sự phân bố nhiệt độ trong thanh hữu hạn trên đoạn [0, L] của trục x, thiết lập điều kiện biên cho bài toán Giả sử các mặt bên của thanh là cách nhiệt, trong khi hai đầu x = 0 và x = L có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài Gọi h là hệ số truyền nhiệt, nhiệt lượng truyền qua một đơn vị diện tích tại các đầu mút x = 0 và x = L được biểu diễn bằng h0 (ux=0 - u*0) và hL (ux=L - u*L), trong đó u*0 và u*L là nhiệt độ của môi trường tại các điểm tiếp xúc Nhiệt lượng này phải bằng dòng nhiệt đi qua đơn vị diện tích tương ứng, tức là -k ∂u.
Vậy ta có điều kiện biện là * u
n biên Các điều kiện biên tổng quát của bài toán có dạng:
Nếu đầu mút nào đó của thanh là cách nhiệt thì hệ số truyền nhiệt ngoài tại đó bằng (h = 0), ta có điều kiện biên: u 'x biên =0 (2.22)
Nếu đầu mút nào đó của thanh luôn luôn được giữ nhiệt độ bằng nhiệt độ của môi trường ngoài thì: u biên = u*biên
2.4.3 Phân loại bài toán hỗn hợp một chiều.
Ta xét sự phân bố nhiệt độ trong thanh hữu hạn đặt trên đoạn [0, L] của trục x. Nghĩa là ta phải giải phương trình
Phương trình loại parabolic được mô tả bởi công thức 2 1 cρ g x, t trong khoảng 0 < x < L, với điều kiện ban đầu u t=0 = f x Các điều kiện biên có thể được tổ hợp từ các phương trình (2.21), (2.22), (2.23) để tạo ra nhiều bài toán khác nhau Tất cả những bài toán này đều có thể được giải bằng phương pháp tách biến Fourier Đối với bài toán tổng quát của phương trình không thuần nhất, chúng ta có thể chuyển đổi về dạng cơ bản để đơn giản hóa việc giải quyết.
Để khai triển hàm số thành chuỗi Fourier, cần kiểm tra điều kiện thỏa mãn của hàm số Nhiều trường hợp cho phép kéo dài giải tích để hàm số phù hợp với điều kiện khai triển chuỗi Fourier.
Các bài toán không thuần nhất có thể được giải bằng phương pháp tìm nghiệm riêng Chúng ta cũng có thể đơn giản hóa bài toán bằng cách chỉ giữ lại vế phải của phương trình, từ đó lựa chọn giữa phương pháp biến thiên hằng số hoặc phương pháp tìm nghiệm riêng để tìm ra lời giải.
Phương trình truyền nhiệt hai chiều
2.5.1 Bài toán Cauchy hai chiều và ba chiều a Bài toán Cauchy hai chiều:
( a = const; t > 0; x, y R) Với điều kiện ban đầu: u t =0 = f(x, y)
(2.26) u 't - a u ''xx Giải phương trình: u 't - a (u xx yy''-u ) = 0
Giải tương tự với bài toán một chiều, nghiệm của bài toán Cauchy hai chiều có dạng: u(x,y,t)
2 dξdη (2.27) b Bài toán Cauchy ba chiều:
Với điều kiện ban đầu: u t=0 = f(x, y, z)
Giải tương tự với bài toán một chiều, nghiệm của bài toán Cauchy ba chiều có dạng: u(x,y,z,t)
2.5.2 Bài toán hỗn hợp hai chiều
Bài toán hỗn hợp hai chiều: Giải phương trình
( a = const; t > 0; 0 x L; 0 y M ) với điều kiện ban đầu: u t=0 = f(x, y). với điều kiện biên: u x=0 = 0, u x=L = 0, u y=0 = 0, u y=M = 0,
Giả sử nghiệm được tìm dưới dạng: u (x, t) = X(x).Y(y).T(t)
Ta có: u 't = XYT ' u ''xx = X '' YT
-u +u Giải phương trình: u 't - a (u xx yy zz'' ) = 0
4a t u ''yy = XY '' T Bước 2: Thay vào phương trình (2.30) và thực hiện việc tách biến ta được:
Từ đẳng thức (2.31), ta nhận thấy rằng vế trái chỉ phụ thuộc vào biến t, trong khi vế phải chỉ phụ thuộc vào biến x Do đó, đẳng thức này luôn đúng khi cả hai vế bằng nhau và đều bằng một hằng số C1 + C2.
Vì tại mỗi điểm của thanh nhiệt độ u(x, t) không thể tăng lên đến vô cùng khi t nên hằng số C 1 , C 2 phải dương.
(2.35) (2.36) (2.37) Các nghiệm cần tìm phải thỏa mãn điều kiện biên nên với mọi t ta có: u(0, t) = X(0).T(t) u(L, t) = X(L).T(t) u(0, t) = Y(0).T(t) u(M, t) = Y(M).T(t)
XYT ' - a (X '' YT + XY '' T )= 0 a T XY aT XY - C 2 Y = 0
T - a (C 1 2 +C )T = 0 Nghiệm của phương trình T ' - a 2 ( C 1 + C 2 )T = 0 là T(t) = Ae (C 1 2 )a t với A là hằng +C Đặt C 1 = - λ 2 < 0 và C 2 = - μ < 0
Y + μ Y = 0 Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta có:
Từ đó ta rút ra được nghiệm hệ '' 2 Để (2.36), (2.37) có nghiệm không tầm thường thì λ, μ > 0 khi đó:
Và nghiệm T(t) = Ae 2 2 (2.40) Để hàm u = XYT thỏa mãn điều kiện biên thì ta phải đặt:
Suy ra phương trình trị riêng:
Từ (2.41), (2.42), (2.43) ta có nghiệm riêng của phương trình u = XYT có dạng: u k 1, k 2 = Ae
Nghiệm bài toán có dạng: u = k 1 =1 k 2 =1 a k 1 k 2 e
sin k 1 πx L sin 2 k πy M Theo điều kiện ban đầu: f(x, y) = k 1 =1 k 2 =1 a k 1 k 2 e
sin k 1 πx L sin 2 k πy M Theo lý thuyết chuỗi Fourier có thể tìm thấy hệ số a k 1 2 k theo công thức sau: a k 1 k 2 = 4
Giải phương trình parabolic hỗn hợp thuần nhất trong bài toán hai chiều được phân chia thành các dạng khác nhau tùy thuộc vào điều kiện biên Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào phương pháp giải bài toán với nghiệm đã biết trên biên, đồng thời các dạng bài toán khác cũng có thể được giải quyết tương tự thông qua phương pháp tách biến.
Khi triển khai hàm số thành chuỗi, việc kiểm tra điều kiện khai triển là rất quan trọng Trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể mở rộng giải tích để hàm số đáp ứng các điều kiện biên cần thiết cho việc khai triển thành chuỗi.
Hai phương pháp cơ bản để giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là phương pháp biến thiên hằng số (phương pháp Lagrange) và phương pháp tìm nghiệm riêng Những phương pháp này cũng có thể áp dụng để giải các bài toán không thuần nhất trong không gian hai chiều.
k 1 πx k 3 πx k 2 4πy kπy Chú ý : sin sin dx sin sin dy
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP FOURIER GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
Bài toán phương trình truyền nhiệt thuần nhất
Bài 1.Tìm nhiệt độ u(x, t) trên một thanh dài vô hạn không chứa nguồn nhiệt, biết rằng nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh được cho bởi hàm số f(x) với mọi x R Áp dụng kết quả này hãy tìm u(x, t) khi biết nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh là f(x) = u 0 khi 0 x l và f(x) = 0 khi x > 0 hoặc x > l.
Ta phải đi tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt:
- < x< + với Điều kiện ban đầu: u t=0 = f(x) vớix R
Từ đẳng thức, ta nhận thấy rằng vế trái chỉ phụ thuộc vào biến x, trong khi vế phải phụ thuộc vào biến t Do đó, đẳng thức (2) luôn đúng khi hai vế này bằng nhau và cùng bằng một hằng số c.
Từ phương trình (3) ta có:
+ Trường hợp 2: Nếu λ 0 thì phương trình (4) có nghiệm:
có vô số nghiệm: X α (x) =A α cosαx + B α sinαx
Vậy ta có vô số nghiệm: 2 2
Từ điều kiện đầu: u t=0 = f(x) f(x) = A α cosαx + B α sinαx dα
Nghiệm của phương trình (3) là T(t) = C e-a λt với C là hằng số tùy ý.
Ta sẽ đi biện luận nghiệm của phương trình (4) ta có: X (x) + λX(x) = 0 + Trường hợp 1: Nếu λ < 0 lime = + -a
u(x,t) = f z cosαz.dz.cosαx+ f z sinαz.dz.sinαx e dα
Bài 2 Tìm một nhiệt độ u(x,t) trên một thanh dẫn nhiệt dài l mét không chứa nguồn nhiệt, biết hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh được cho bởi hàm số f(x) với 0 x l Áp dụng kết quả này tìm u(x, t) khi l = 2 mét với f(x) = x khi 0 x l và f(x) = 2 – x khi l x 2.
Ta sẽ đi tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt trong thanh không chứa nguồn:
u x=l = 0 Giải bài toán bằng phương pháp tách biến Fourier theo các bước sau:
Giả sử nghiệm được tìm dưới dạng: u (x, t) = X(x)T(t)
- a = 0 và thực hiện việc tách biến ta được:
Từ đẳng thức (2), nhận thấy rằng vế trái chỉ phụ thuộc vào biến t, trong khi vế phải chỉ phụ thuộc vào biến x Do đó, đẳng thức (2) sẽ luôn đúng khi hai vế bằng nhau và bằng một hằng số c.
(4) Các nghiệm cần phải tìm thỏa mãn điều kiện biên nên với mọi t ta có: u(0, t) = X(0) T(t) = 0 u(l, t) = X(l) T(t) = 0 với T(t) 0 Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta có: X(0) = X(l) = 0
Từ phương trình (3) ta có: dT(t) - a 2 c T(t) = 0 dT(t)
+ Trường hợp 1: Nếu c = 0 phương trình (4) cho nghiệm:
X(x) = A 1 x + A 2 trong đó: A 1 , A 2 là các hằng số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
- a c = 0 = a c Nghiệm của phương trình (3) là T(t) = Ae ca t với A là hằng số tùy ý.
Ta sẽ đi biện luận nghiệm của phương trình: X - c X = 0
Thay A 1 , A 2 vào phương trình (5) ta được X(x) = 0 thay vào trường hợp này chỉ cho nghiệm u(x, t) = 0
+ Trường hợp 2: Nếu c > 0, thì nghiệm của phương trình (4) có dạng:
X(x) = B 1 e cx + B 2 e - cx (6) trong đó B 1 , B 2 là hệ số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
B 2 = 0 Thay B 1 , B 2 vào phương trình (6) ta được:
X(x) = 0 thay vào trường hợp này chỉ cho nghiệm u(x,t) = 0 + Trường hợp3: Nếu c < 0 đặt c = - λ 2 thì nghiệm của phương trình (4) có dạng:
X(x) = Bsin λ x + Ccos λ x trong đó B, C là các hằng số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
Để hệ có nghiệm không tầm thường thì: sin λl = 0 = kπ
Ta có một nghiệm riêng X k (x) có dạng:
Với λ = kπ l Nghiệm riêng của phương trình (3) có dạng:
Từ phương trình (8), (9) ta có một nghiệm riêng u k (x, t) có dạng: u k (x,t) = X k (x)T k (t) = B sink πx l Ae
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình u
2 2 l 2 sin k πx l Với a k = AB Theo điều kiện ban đầu ta có: u(x, 0) = g(x)
k=0 a k sin k πx l = f(x) Theo lý thuyết chuỗi Fourier có thể tìm thấy hệ số a k theo công thức sau: a k = (f,X k )
1 1 2 2 cos + cos dx + cos - cos dx kπ 2 0 2 kπ 2 1 kπ 2
2 2 2dx = f(x)sin dx kπx kπx kπx f(x)e sin dx
Với điều kiện biên u 'x x=0 = 0; u 'x x=L =0 và điều kiện ban đầu u(x, 0) = A x (L - x)
Bài toán xác định nhiệt độ trong một thanh đồng chất có độ dài L với thành bên và hai đầu mút cách nhiệt, không có nguồn nhiệt Nhiệt độ ban đầu trong thanh được mô tả bởi hàm u(x, 0) = A x(L - x).
Giải bài toán bằng phương pháp tách biến Fourier theo các bước sau:
Giả sử nghiệm được tìm dưới dạng: u (x, t) = X(x)T(t)
Ta có: u 't = XT ' u ''xx = X '' T Thay vào phương trình (1) và thực hiện việc tách biến ta được:
Từ đẳng thức (2), ta nhận thấy rằng vế trái chỉ phụ thuộc vào biến t, trong khi vế phải chỉ phụ thuộc vào biến x Do đó, đẳng thức (2) sẽ luôn đúng khi cả hai vế bằng nhau và cùng bằng một hằng số c.
Vậy nghiệm phương trình là: u(x, t) = 8 sin e kπa u t xx'' -a u = 0 aT X aT XT -ca T=0 hiệm cần phải tìm thỏa mãn điều kiện biên nên với mọi t ta có:
' ' Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta có: X ' (0) = X ' (L) = 0
Ta sẽ đi biện luận nghiệm của phương trình: X '' - c X = 0
+ Nếu c = 0 phương trình (4) cho nghiệm:
X(x) = A 1 x + A 2 trong đó: A 1 , A 2 là các hằng số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
Thay A 1 , A 2 vào phương trình (5) ta được:
- λ B 2 e -λx trong đó B 1 , B 2 là hệ số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
+ Nếu c > 0, đặt c = - λ thì nghiệm của phương trình (4) có dạng:
X(x) = A 2 Bài toán cho nghiệm bình thường: u = X.T = A 2 Aeca t const
Nghiệm của phương trình (3) là T(t) = Ae ca t với A là hằng số tùy ý. u (L,t) = X(L).T(t) u (0,t) = X(0).T(t)
Thay B 1 , B 2 vào phương trình (6) ta được:
+ Nếu c < 0 đặt c = - λ 2 thì nghiệm của phương trình (4) có dạng:
' trong đó B, C là các hằng số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
CsinλL = 0 Để hệ có nghiệm không tầm thường thì: sin λL = 0 λL = k π
Ta có một nghiệm riêng X k (x) có dạng:
L Nghiệm riêng của phương trình (3) có dạng:
Từ phương trình (8), (9) ta có một nghiệm riêng u k (x,t) có dạng: u k (x, t) = X k (x) T k (x) = Ccos k πx
Từ điều kiện ban đầu ta có: a k cos k πx
Nghiệm bài toán có dạng:
Nhiệt độ trong thanh cuối cùng, nhiệt độ cân bằng trên toàn thanh sẽ là AL
Bài 4 Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất có đầu mút tại x = 0 cách nhiệt Nhiệt độ môi trường u l tiếp xúc với đầu mút x = l giả sử bằng 0 Nhiệt độ ban đầu trong thanh U(x=0) = f(x) = U 0 = const và trong thanh không có nguồn nhiệt. Bài giải:
(1) Điều kiện biên: u 'x x=0 =0 h u x = l = - k u 'x x=l Điều kiện ban đầu: u t=0 = U 0 Giả sử nghiệm được tìm dưới dạng: u (x, t) = X(x)T(t)
Ta có : u 't = XT ' u ''xx = X '' T Thay vào phương trình (1) và thực hiện việc tách biến ta được:
Ta phải tìm nghiệm của phương trình: u t xx -a u = 0
Từ đẳng thức XT ' - a X '' T = 0, ta nhận thấy rằng vế trái chỉ phụ thuộc vào biến t, trong khi vế phải chỉ phụ thuộc vào biến x Do đó, đẳng thức này chỉ xảy ra khi cả hai vế cùng bằng nhau và bằng một hằng số c.
(4) Các nghiệm cần phải tìm thỏa mãn điều kiện biên nên với mọi t ta có:
' hu(l, t) = - ku ' l, t = hX(l).T(t) = - kX(l).T(t) Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta có: X ' (0) = 0 và X ' (l) = X (l)
Từ phương trình (3) ta có: dT(t) - a 2 cT(t) = 0 dT(t)
+ Nếu c = 0 phương trình (4) cho nghiệm:
' trong đó: A 1 , A 2 là các hằng số tích phân
Theo điều kiện biên ta có:
Thay A 1 ,A 2 vào phương trình (5) ta được:
+ Nếu c > 0, thì nghiệm của phương trình (4) có dạng:
Nghiệm của phương trình (3) là T(t) = Ae ca t với A là hằng số tùy ý.
Ta sẽ đi biện luận nghiệm của phương trình: X - c X = 0
- B 2 e - cx ) trong đó B 1 , B 2 là hệ số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
Thay B 1 , B 2 vào phương trình (6) ta được:
X(x) = 0 u(x, t) = 0 + Nếu c < 0 đặt c = - λ 2 thì nghiệm của phương trình (4) có dạng:
' trong đó B, C là các hằng số tích phân.
u 'x=0 x=0 =0 Theo điều kiện biên ta có: x=l
Nghiệm riêng của phương trình (3) có dạng:
Từ phương trình (8), (9) ta có một nghiệm riêng u n (x, t) có dạng: u n (x, t) = X n (x) T n (t) = B λ n cos λ n x Ae
Theo điều kiện biên ta có:
Từ điều kiện ban đầu ta có:
Theo lý thuyết chuỗi Fourier:
Ta tính sin λ n x Bởi vì nghiệm λ n nằm giữa n-1 π l 1 n-
2 l nên sin λ n x dương đối với n = 1, 3, 5, … và âm đối với n = 2, 4, 6,… do đó: sin λ n x = -1 n-1 tgλ n l
= -1 n -1 h h + k 2 λ 2 Nghiệm bài toán có dạng:
Với điều kiện ban đầu: u t=0 = f(x, y) = Axy (L-x)(M-y).
Giả sử nghiệm phương trình: u = X(x)Y(y)T(t).
n n l+ 2 2 2 λ n h + k λ 2 a k 2 π t u 't - a (u xx yy'' -u ) = 0 u 't = XYT ' u ''xx = X '' YT u ''yy = XY '' T
Thay vào phương trình (1) ta có:
' ' '' a T XY =0 (2) Để phương trình có nghiệm không thuần nhất:
Từ điều kiện biên ta có: u(0, t) = X(0).T(t) u(L, t) = X(L).T(t) u(0, t) = Y(0).T(t) u(M, t) = Y(M).T(t) Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta có:
+ Trường hợp 1: C 1 = 0, C 2 = 0 phương trình (4), (5) có nghiệm X(x), Y(y) có dạng: X(x) = A 1 x + A 2
Y(y) = B 1 y + B 2 Theo điều kiện biên ta có:
Trường hợp này chỉ cho nghiệm u(x, y, t) = 0
+ Trường hợp 2: Nếu C 1 > 0, C 2 > 0 phương trình (4), (5) có nghiệm X(x), Y(y) có dạng:
Y(y) = B 1' e c 2 y + B '2 e - c 2 y trong đó A 1' , A '2 , B 1' , B '2 là các hằng số tích phân.
Y(y) = 0 Trường hợp này chỉ cho nghiệm u(x, y, t) = 0
Phương trình (4), (5) có nghiệm X(x), Y(y) có dạng:
Y(y) = E sin μ y + F cos μ y Theo điều kiện biện:
E sinμ.M = 0 Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì:
Nghiệm của phương trình (3), (4), (5)có dạng:
2 πy M Nghiệm riêng của phương trình u = XYT có dạng: u k 1 ,k 2 (x, y, t)= ACE e
2 sin k 1 πx L sin 2 k πy M Nghiệm u (x, y, t) là chồng chập của các nghiệm u k 1 ,k 2 (x, y, t) nên: u(x, y, t) k 1 =1 k 2 =1 a k 1 ,k 2 e
Theo điều kiện ban đầu ta có: u t=0 = f(x, y) = Axy (L – x)(M – y).
Theo lý thuyết chuỗi fourier ta có: a k 1 ,k 2 = 2 2
L dx = LA u=x du = dx Đặt: dv = sin k 1πx
L dx = B Đặt: u= x 2 du = 2x.dx dv = sin k 1 πx
58 k πx k πx xLsin dx - x sin dx k 1 πx k 1 πx = LA - B
L dx Đặt: u=x du = dx dv = cos k 1 πx
Bài toán phương trình truyền nhiệt không thuần nhất
Bài 1 Tìm nhiệt độ u (x) trên một thanh dẫn nhiệt dài L mét có chứa nguồn nhiệt
Cho hàm số g(x) với hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh được xác định bởi hàm số f(x) trong khoảng 0 ≤ x ≤ L Áp dụng kết quả này, chúng ta cần tìm u(x, t) cho thanh dài 2 mét, với g(x, t) = x² - 2x trong khoảng 0 ≤ x ≤ 2 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh là 0.
t 2 Điều kiện biên: u x=0 =u x=L = 0 với mọi t 0
Ta xét nghiệm: u (x, t) = + k=1 k kπx L Điều kiện ban đầu: u t=0 = f(x) + k=1 k kπx
' k Nghiệm của phương trình vi phân: T k (t) = C.e kπx
L +T R (t) với T R (t) là nghiệm riêng. Từ điều kiên (*): T k (t) = C + T R (0) C = T k (0) - T R (0) Áp dụng: 2 - t k=1 k L 2
Nghiệm phương trình vi phân: T k (t) = C.e 2 + T R (t) T R (t) = D = const
Nếu k chẵn C = 0 (loại) Suy ra k phải lẻ C 5
BÀI 2: Tìm nghiệm phương trình
0 t + và điều kiện ban đầu u
Giả sử ngiệm phương trình u(x, t) = v(x, t) + v 0 (x) + w 1 (x) + w 2 (x)
Thay (2) vào phương trình (1) ta được
Từ phương trình (3) và các điều kiện nghiệm u(x,t) ta sẽ tìm nghiệm v(x,t), v 0 (x), w 1 (x), w 2 (x) khi chúng thỏa mãn điều kiện sau:
Hàm v(x, t) là nghiệm của phương trình
Hàm v 0 (x) là nghiệm của phương trình
2 2 dx 2 và điều kiện biên dv 0 =0
Hàm w 1 (x) là nghiệm phương trình
v x = 0 = 0 và điều kiện ban đầu v t=0 = g(x) - v0 1 2 (x) = G(x)
x=l và điều kiện biên dw 2 =B
0 1 dx a a 1 a 1 ,a 2 là các hằng số tích phân
Theo điều kiện biên (8) ta có:
Hàm w 2 (x) là nghiệm phương trình: - a = 0
Xét phương trình (9) ta có: - a
Theo điều kiện biên (10) dw 1
Theo điều kiện biên (12) dw 2
Thay các hàm v(x, t), v 0 (x), w 1 (x), w 2 (x) vào phương trình (4) thì các điều kiện ban đầu của nghiêm v(x,t) hoàn toàn xác định ta có:
Giải phương trình số (4) bằng phương pháp tách biến Fourier
Giả sử nghiệm được tìm dưới dạng: v (x, t) = X(x)T(t)
- a = 0 và thực hiện việc tách biến ta được:
Xét phương trình (11) ta có: - a = 0d w 2
Đẳng thức trên cho thấy rằng vế trái chỉ phụ thuộc vào biến t, trong khi vế phải chỉ phụ thuộc vào biến x Do đó, đẳng thức này luôn đúng khi cả hai biến t và x bằng nhau và cùng bằng một hằng số c.
(19) Các nghiệm cần phải tìm thỏa mãn điều kiện biên với mọi t ta có: v(0, t) = X(0).T(t)
x x = L = X(L).T(t) Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không ta có: X(0) = X ' (L) = 0 với T(t) 0
Ta sẽ đi biện luận nghiệm của phương trình: X '' - c X = 0
+ Nếu c = 0 phương trình (19) cho nghiệm:
X(x) = A 1 x + A 2 trong đó: A 1 , A 2 là các hằng số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
Thay A 1 , A 2 vào phương trình (20) ta được:
Nghiệm của phương trình (18) là T(t) = Ae ca t với A là hằng số tùy ý.
+ Nếu c > 0, thì nghiệm của phương trình (19) có dạng:
X(x) = B 1 e cx + B 2 e - cx (21) trong đó B 1 , B 2 là hệ số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
Thay B 1 , B 2 vào phương trình (21) ta được:
X(x) = 0 v(x, t) = 0 + Nếu c < 0, đặt c = - λ 2 thì nghiệm của phương trình (19) có dạng:
X(x) = Bsin λ x + Ccos λ x trong đó B, C là các hằng số tích phân.
Theo điều kiện biên ta có:
Để hệ có nghiệm không tầm thường thì: cos λl = 0
2l vào phương trình (22) ta thu được nghiệm riêng
2l Nghiệm riêng của phương trình (17) có dạng:
4l 2 (24) Từ phương trình (23), (24) ta có một nghiệm riêng v k (x, t) có dạng: v k (x, t) = X k (x) T k (x) = B sin (2k+1)π
Trong đó a k =BN Vậy nghiệm v(x, t) là chồng chập của nghiệm riêng v k (x,t) có dạng: v(x,t) k=0 a k e
Theo điều kiện ban đầu ta có: v t=0 = G(x) k=0 a k sin (2k+1)π
Theo lý thuyết chuỗi Fourier có thể tìm thấy hệ số a k theo công thức sau: a k = (f, X k )
Vậy nghiệm tổng quát của có dạng: u(x, t) = - Q(x) + P(l)x - Q(0) + A + Bx
Một số bài tập tự giải
Bài 1 Giải phương trình: u 't - a 2 u ''xx = 0
L Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t > 0 trong một thanh o o x 2 L Đáp số:
Bài 2 Tìm nhiệt độ u(x, t) trên một thanh dẫn nhiệt dài l mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x = 0 của thanh có nhiệt đọ cho bởi u(0, t) = 3t, t 0 , còn đầu kia của thanh được giữ nhiệt độ 0, nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh là u(x, 0) = 0 với 0 x l. Đáp số: u(x, t) + 2 k=1
Nhiệt độ trong thanh được mô tả bởi phương trình 5x 20, với điều kiện biên là u(x, 0) = 5 2 và nhiệt độ ban đầu tại t = 0 là đồng nhất Đầu mút tại x = 0 duy trì nhiệt độ 0°C, trong khi đầu mút tại x = L giữ nhiệt độ không đổi.
Bài 3 Tìm nhiệt độ u(x, t) trên một thanh dẫn nhiệt dài l mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x = 0 của thanh được giữ ở nhiệt độ 0, còn đầu kia của thanh có nhiệt độ cho bởi u(l, t) = 1 e t , nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh là u(x, 0) = x với 0 x l.
Tìm phân bố nhiệt độ u(x, t) trong thanh đồng chất chiều dài L, với đầu mút x = 0 giữ nhiệt độ không đổi và đầu mút x = L cách nhiệt, tại thời điểm t > 0 Ở thời điểm ban đầu t = 0, phân bố nhiệt độ được xác định bởi công thức u(x, 0) = A.x Đáp số cuối cùng cho phân bố nhiệt độ theo thời gian là u(x, t) = ∑(k=0 đến ∞) k.
u y=M = 0 Điều kiện ban đầu u t = 0 = f(x, y) = B sin Đáp số:
Giải phương trình: u 't - a (u xx yy -u ) = 0
Giải bài toán Cauchy đối với phương trình tryền nhiệt:
Với điều kiện ban đầu: u t=0 = sinx + cos 2 y + cosz
Bài 7 Giải phương trình sau
70 u t = a u xx + u yy + u zz ( a = const; t > 0; x, y, z R). Đáp số: u(x, y, z, t) = sinx e -a t + 1 1+ cos2y.e + cos 2z.e - 4a t - 4a t
Kết quả thu được
Đề tài nghiên cứu khoa học đã thu được các kết quả như sau:
1.1 Trình bày tổng quan về cơ sở toán học: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, không thuần nhất Chúng tôi đã trình bày một cách có hệ thống và logic tổng quan về phương pháp tách biến Fourier, các tính chất của chuỗi Fourier, tính chẵn lẻ của chuỗi Fourier, các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier, tóm tắt các tính chất của phép biến đổi Fourier Đại cương về các Phương trình Vật lý - Toán.
- Thiết lập phương trình truyền nhiệt
- Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu của phương trình truyền nhiệt.
- Phân tích các dạng của phương trình truyền nhiệt.
+ Bài toán Cauchy thuần nhất
+ Bài toán Cauchy không thuần nhất
1.3 Áp dụng lý thuyết để giải bài tập phương trình truyền nhiệt.
Đề tài này tập trung vào việc phân tích các đặc điểm nội dung và điều kiện của bài toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt, từ đó đưa ra phương pháp giải cho từng dạng bài tập cụ thể Bên cạnh đó, bài viết cũng cung cấp một số bài tập mẫu và bài tập tự giải để người đọc có thể thực hành và củng cố kiến thức.
Các vấn đề còn tồn tại và hướng nghiên cứu tiếp theo 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Do hạn chế về thời gian nghiên cứu, tài liệu tham khảo và năng lực bản thân, bài viết này chỉ tập trung vào quá trình truyền nhiệt tự do và một số bài toán phương trình truyền nhiệt một chiều với điều kiện biên đặc biệt Nếu có cơ hội nghiên cứu tiếp, tôi dự định phát triển đề tài bằng cách giải thêm bài tập và tăng cường số lượng bài tập để tạo thành tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa vật lý Đề tài này được hoàn thành nhờ sự hỗ trợ tận tình của TS Khổng Cát.
Cương cùng các bạn K50 Đại học Sư phạm Vật lý đã nỗ lực nghiên cứu đề tài này trong thời gian hạn chế và với tài liệu chưa đầy đủ Mặc dù đã cố gắng để nội dung mang tính khoa học và thực tiễn cao, nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và các bạn để hoàn thiện hơn đề tài này.