Các công thức Toán ôn thi THPTQG (Số học + Hình học)

Các công thức Toán số học và hình học phục vụ các bạn học sinh có thêm tài liệu để ôn thi thật tốt cho kì thi THPTQG sắp tới đạt điểm cao ở môn Toán. Ngoài ra còn bao gồm các công thức tính nhanh giúp học sinh giải quyết nhanh chóng đề thi trắc nghiệm.

GIẢI TÍCH

VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Định nghĩa: Cho hàm số f x ( ) xác định trên K với K là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng

 Hàm số f x ( ) được gọi là đồng biến trên K nếu  x x 1 , 2  K x : 1  x 2  f x ( ) 1  f x ( ) 2

 Hàm số f x ( ) được gọi là nghịch biến trên K nếu  x x 1 , 2  K x : 1  x 2  f x ( ) 1  f x ( ) 2

II Định lý: Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm trên I

 Nếu f  ( ) x    0, x I và f  ( ) x = 0 tại một số điểm hữu hạn của I thì hàm số f x ( ) đồng biến trên I

 Nếu f  ( ) x    , x I và f  ( ) x = 0 tại một số điểm hữu hạn của I thì hàm số f x ( ) nghịch biến trên I

 Nếu f  ( ) x =   0, x I thì hàm số f x ( ) không đổi trên I

➔ Chú ý: Định lý không áp dụng dấu “=” với hàm nhất biến: ax b y cx d

XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

 Tìm Tập xác định (TXĐ) của hàm số (hoặc xét khoảng ( ) a b ; đề bài cho)

 Tính y  , cho y = 0 tìm các nghiệm x i (hoặc tìm các điểm x i mà hàm số không có đạo hàm)

 Lập bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ

1 Hàm nhất biến: ax b y cx d

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y      0, x D ad − bc  0

 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y      0, x D ad − bc  0

 Hàm số đồng biến trên ( ) ( )

  −  học sinh xác định trên ; ;

 Hàm số nghịch biến trên ( ) ( )

  −  học sinh xác định trên ; ;

2 Hàm bậc ba: y ax = 3 + bx 2 + cx d +

 Hàm số đồng biến trên R     y  0, x R

 Hàm số nghịch biến trên R     y  0, x R

Chú ý: Nếu hệ số 3a có tham số thì ta xét 3 x = 0, tìm được m, thế vào (*) kiểm tra có đúng với mọi x không

 Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên ( ) a b ;    y  ( ) 0,   x ( )( ) a b ; *

Ta giải ( ) * bằng cách cô lập m:

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

 Chuyển Bất đẳng thức (BĐT) về dạng: VT  0 (hoặc    0; 0; 0)

 Tính f x  ( ) , cho f x  ( ) = 0 tìm nghiệm và lập bảng biến thiên (BBT), căn cứ vào BBT để kết luận BĐT

- Có thể kết luận BĐT dựa vào tính đơn điệu của hàm số không cần BBT

- Trong một số trường hợp ta cần tính đạo hàm cấp 2, 3… từ đó suy ra số nghiệm của f x  ( ) để lập bảng biến thiên

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH a) Trường hợp 1: Thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x ( ) ( ) = g x (*)

 Bước 2: Xét hàm số f x ( ) và g x ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số f x ( ) là đồng biến còn hàm số g x ( ) là hàm hằng hoặc nghịch biến

 Bước 3: Với x x f x = 0 : ( ) ( ) ( ) 0 = g x 0  * có nghiệm duy nhất x x = 0 b) Trường hợp 2: Thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f u ( ) ( )( ) = f v *

 Bước 2: Xét hàm đặc trưng f x ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f x ( ) xác định trên tập hợp D và x 0  D

Điểm cực đại của hàm số f(x) tại x0 được xác định nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứa x0, sao cho (a, b) hoàn toàn nằm trong miền xác định D và f(x) < f(x0) với mọi x thuộc (a, b) trừ x0 Khi đó, giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).

Điểm cực tiểu của hàm số f(x) tại x0 được xác định khi tồn tại khoảng (a, b) chứa x0, với (a, b) thuộc D và f(x) > f(x0) cho mọi x trong khoảng (a, b) trừ x0 Giá trị f(x0) được xem là giá trị cực tiểu của hàm số f(x).

 Giá trị cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

1 Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại x 0 Khi đó nếu f có đạo hàm tại x 0 thì

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc tại đó không có đạo hàm

 Đạo hàm f  có thể bằng 0 tại x 0 nhưng không đạt cực trị tại điểm x 0

III Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên ( ) a b ; chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các khoảng ( a x ; 0 ) và ( x b 0 ; ) Khi đó

 Nếu f  ( ) x 0    0, x ( a x ; 0 ) và f  ( ) x 0    0, x ( x b 0 ; ) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

 Nếu f  ( ) x 0    0, x ( a x ; 0 ) và f  ( ) x 0    0, x ( x b 0 ; ) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

2 Định lý 3: Giả sử hàm số f x ( ) có đạo hàm trên khoảng ( ) a b ; chứa điểm x 0 ; f  ( ) x 0 = 0 và f x ( ) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 Khi đó:

 Nếu f( ) x 0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x 0

 Nếu f( ) x 0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x 0

A TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

 Tìm TXĐ của hàm số (hoặc xét khoảng ( ) a b ; đề bài cho)

 Tính y  , cho y = 0 tìm các nghiệm x i (hoặc tìm các điểm x i mà hàm số không có đạo hàm)

 Lập bảng biến thiên và kết luận các điểm cực trị

 Tìm TXĐ của hàm số (hoặc xét khoảng ( ) a b ; đề bài cho)

 Tính y và tìm các nghiệm x i của y = 0

 Tính y  và y  ( ) x i , nếu y  ( ) x i  0 thì hàm số đạt cực đại tại x i và ngược lại

B TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU HOẶC ĐẠT CỰC TRỊ TẠI X 0

1 Tìm điều kiện để hàm số y = f x ( ) đạt cực trị, cực tiểu hoặc cực đại tại x 0 :

 Hàm số đạt cực trị, cực tiểu hoặc cực đại tại x 0  f  ( ) x 0 = 0

Tìm được tham số và thử lại theo một trong 02 cách

+ Cách 1: Lập bảng biến thiên và kết luận

+ Cách 2: Tính f   ; f ( ) x 0 và kết luận

2 Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị:

 Hàm số có 2 cực trị ( y  đổi dấu 2 lần)  y  có 2 nghiệm phân biệt

* Chú ý: Hàm số không có cực trị ( y không đổi dấu)  y vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0

3 Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c Tìm điều kiện để hàm số có 3 cực trị

 Hàm số có 3 cực trị ( y  đổi dấu 3 lần)  y  có 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

* Chú ý: Hàm số có 1 cực trị ( y  đổi dấu 1 lần)

 Phương trình ( ) 1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0

C TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THỎA YÊU CẦU

I Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

Câu hỏi 1: Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị thỏa yêu cầu về hoành độ

1 Hàm số có 2 cực trị có hoành độ trái dấu (hoặc 2 cực trị nằm 2 phía so với trục tung)

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu   P 0

2 Hàm số có 2 cực trị có hoành độ cùng dấu

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu 0

3 Hàm số có 2 cực trị có hoành độ cùng dấu dương

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương

4 Hàm số có 2 cực trị có hoành độ cùng dấu âm

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu âm

5 Hàm số có 2 cực trị có hoành độ thỏa x 1   a x 2

6 Hàm số có 2 cực trị có hoành độ thỏa a  x 1  x 2

7 Hàm số có 2 cực trị có hoành độ thỏa x 1  x 2  a

* Định lý Vi-ét ta có: 1 2

Câu hỏi 2: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d C ( ) m Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị và một số câu hỏi liên quan

 Hàm số có 2 cực trị A, B ( y  đổi dấu 2 lần) y 

   a) Trường hợp 1: Nếu  chính phương (  = f 2 ( ) m ) hoặc đơn giản thì ta tìm tọa độ các điểm cực trị A, B theo tham số và phương trình AB là:

− − b) Trường hợp 2: Nếu  không chính phương và phức tạp thì ta chia y cho y  được:

Gọi 2 điểm cực trị là: A x y ( 1; 1 ) (,B x y 2; 2 )

Suy ra đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là AB: y = mx + n (là số dư trong phép chia của y cho y  )

* Một số câu hỏi thường gặp

1 Độ dài đoạn cực trị AB = k

+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A x y ( 1; 1 ) (,B x y 2; 2 ) theo TH1 hoặc TH2

+ Cho AB = k tìm được giá trị tham số và kiểm tra điều kiện

2 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của AB

Để tính độ dài AB theo tham số, trước tiên hãy xác định các giá trị liên quan từ câu hỏi 1 Sau đó, áp dụng phương pháp hàm số hoặc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của AB một cách hiệu quả.

3 Tam giác ABC cân hoặc vuông tại C với C x y ( 0; 0 ):

+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A x y ( 1 ; 1 ) ( , B x y 2 ; 2 )

+ Tam giác ABC cân tại C  CA 2 = CB 2

+ Tam giác ABC vuông tại C  CA CB = 0

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị dưới dạng tổng quát (theo TH1 hoặc TH2)

 + + Tính AB= ( x 2−x 1 ) ( 2 + y 2−y 1 ) 2 theo tham số

S = d C AB AB Giải (1) ta tìm được tham số và kiểm tra điều kiện

* Nếu phương trình AC đơn giản thì ta dùng AC làm cạnh đáy:

+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A x y ( 1 ; 1 ) ( , B x y 2 ; 2 ) theo TH1 hoặc TH2

6 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song với đường thẳng  : y = kx + p

+ Viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị dưới dạng tham số AB y : = mx + n (theo TH1 hoặc TH2)

7 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị vuông góc với đường thẳng  : y = kx + p

+ Viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị dưới dạng tham số AB y : = mx + n (theo TH1 hoặc TH2) + ycbt  m k = − 1

8 Hàm số có 2 cực trị nằm khác phía sau với đường thẳng d Ax : + By + = C 0

+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A x y ( 1 ; 1 ) ( , B x y 2 ; 2 ) theo TH1 hoặc TH2

+ ycbt ( Ax 1+By 1+C )( Ax 2+By 2+C )0

9 Hàm số có 2 cực trị nằm cùng phía so với đường thẳng d Ax : + By + = C 0

+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A x y ( 1 ; 1 ) ( , B x y 2 ; 2 ) theo TH1 hoặc TH2

+ ycbt  ( Ax 1 + By 1 + C )( Ax 2 + By 2 + C )  0

10 Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị đối xứng qua đường thẳng d Ax : + By + = C 0

+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A x y ( 1 ; 1 ) ( , B x y 2 ; 2 ) và viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị dưới dạng tổng quát AB ax : + by + = c 0 d có vtpt: n d = ( A B ; )

11 Góc giữa đường thẳng đi qua cực tiểu và cực đại với đường thẳng d y : = kx + p bằng 

+ Viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị dưới dạng tham số AB y : = mx + n

* Nếu góc giữa d và Ox bằng  thì tan = m

* Nếu góc giữa d và Oy bằng  thì tan 1

II Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c

Câu hỏi 1: Tìm điều kiện để hàm số có 3 cực trị thỏa yêu cầu

 Hàm số có 3 cực trị ( y  đổi dấu 3 lần)

 Phương trình ( ) 1 có 2 nghiệm phân biệt khác

Suy ra 3 điểm cực trị là: ( ) 0; , ; 2 2 , ; 2 2

Do tính chất đối xứng nên tam giác ABC luôn cân tại A

1 Ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều  AB = BC

2 Ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân  AB AC = 0

3 Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 1

S  = S 2 AH BC với H là trung điểm BC

4 Ba điểm cực trị tạo thành góc cos 2 2 2

AB AC BC BAC=  = + AB AC −

CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH

A Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c có:

1 3 cực trị  ab  0 (a, b trái dấu)

2 3 cực trị gồm 1 cực đại và 2 cực tiểu   a 0; b  0

3 3 cực trị gồm 2 cực đại và 1 cực tiểu   a 0; b  0

4 1 cực trị  ab  0 (a, b cùng dấu và không đồng thời bằng 0)

5 1 cực tiểu   a 0; b  0 (a, b không đồng thời bằng 0)

6 1 cực đại   a 0; b  0 (a, b không đồng thời bằng 0)

7 3 cực trị A  Oy B C , , tạo thành tam giác vuông  8 a + b 3 = 0

8 3 cực trị A  Oy B C , , tạo thành tam giác đều  24 a + b 3 = 0

9 3 cực trị A  Oy B C , , tạo thành tam giác diện tích S  24 a S 3 2 + b 5 = 0

10 3 cực trị A  Oy B C , , thỏa 8 3 tan 2 0.

BAC=  a b+ 2 11 3 cực trị A  Oy B C , , có bán kính đường tròn ngoại tiếp

12 3 cực trị A  Oy B C , , có bán kính đường tròn nội tiếp r

13 Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm cực trị A, B, C là:

B Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d có:

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên D với D  R

 Nếu tồn tại x 0  D sao cho f x ( )  f x ( ) 0 ,   x D thì số M = f x ( ) 0 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, ký hiệu là max ( ) x D f x M

 Nếu tồn tại x 0  D f x ( )  f x ( ) 0 ,   x D thì số m = f x ( ) 0 được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, ký hiệu là min ( ) x D f x m

II Phương pháp tìm min, max của hàm số trên đoạn   a b ;

 Tính y  , cho y = 0 tìm các nghiệm x i thuộc ( ) a b ; (hoặc tìm các điểm x i mà hàm số không có đạo hàm)

 Tính f x ( ) ( ) 1 ; f x 2 ; ; f x ( ) ( ) m ; f a và f b ( ) So sánh các giá trị tìm được và kết luận

* Nếu D = ( ) a b ; thì ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ( ) a b ; , từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

* Nếu đề bài không cho D thì ta hiểu là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số trên TXĐ của hàm số

* Trong một số trường hợp ta có thể đặt ẩn phụ để đưa đến hàm số đơn giản, khi đặt ẩn phụ t cần chú ý đến tập giá trị của t

+ Nếu góc x thuộc ( ) a b ; thì ta dùng đường tròn lượng giác để tìm điều kiện của t

* Ngoài ra ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacốpxki, điều kiện có nghiệm của phương trình để tìm min, max

VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Đường thẳng y = y 0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f x ( ) nếu ( ) 0 x lim f x y

 Đường thẳng x = x 0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn ( ) ( ) ( )

 Đường thẳng y = ax b + được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f x ( ) nếu

II Phương pháp: Để tìm các số a và b trong phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng các công thức sau: lim ( ) x a f x

 Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d và hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c không có tiệm cận

 Hàm nhất biến: y ax b cx d

VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Nếu f( ) x 0 =0 và f  ( ) x đổi dấu khi x đi qua điểm x 0 thì điểm U x ( 0; f x ( ) 0 ) được gọi là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f x ( )

II Các bước vẽ đồ thị hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

2 Tìm các giới hạn tại vô cực lim lim x x y y

3 Tính y , tìm các nghiệm của y  , lập bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên, cực trị

4 Tính y  , xét dấu y  và kết luận điểm uốn

5 Lập bảng giá trị gồm 5 điểm cách đều, điểm uốn ở giữa

6 Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

III Các bước vẽ đồ thị hàm bậc bốn: y = ax 4 + bx 2 + c

2 Tìm các giới hạn tại vô cực lim lim x x y y

3 Tính y , tìm các nghiệm của y  , lập bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên, cực trị

4 Lập bảng giá trị 5 điểm gồm 0 và 4 điểm đối xứng nhau

5 Vẽ đồ trị hàm số và nhận xét đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

IV Các bước vẽ đồ thị hàm nhất biến: y ax b cx d

2 Tìm các giới hạn và các đường tiệm cận

     là phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

  là phương trình tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Lập bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên, cực trị

4 Tìm giao điểm với các trục tọa độ Ox và Oy

5 Lập bảng giá trị gồm 5 điểm cách đều, điểm d

6 Vẽ hệ trục, các đường tiệm cận, đồ thị hàm số và nhận xét giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng

VẤN ĐỀ 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

 Biến số phương trình về dạng f x ( ) = g m ( )

 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường cong ( ) C : y = f x ( ) và đường thẳng d y : = g m ( ) cùng phương với trục hoành

 Dựa vào đồ thị ( ) C ta suy ra kết quả biện luận

VẤN ĐỀ 7: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

I Định nghĩa: Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị ( ) C 1 và hàm số y = g x ( ) có đồ thị ( ) C 2

 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( ) C 1 và ( ) C 2 là: f x ( ) = g x ( ) (*)

 Số nghiệm của ( ) * là số giao điểm của ( ) C 1 và ( ) C 2

II Sự tiếp xúc của hai đường cao:

Cho hai hàm số y = f x ( ) ; y = g x ( ) có đồ thị lần lượt là ( ) ( ) C 1 ; C 2 và có đạo hàm tại điểm

 Hai đồ thị ( ) C 1 và ( ) C 2 được gọi là tiếp xúc tại điểm M x y ( 0 ; 0 ) nếu chúng có cùng tiếp tuyến tại M Điểm M được gọi là tiếp điểm chung của ( ) C 1 và ( ) C 2

 Hai đồ thị ( ) C 1 và ( ) C 2 được gọi là tiếp xúc khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

 Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm

Câu hỏi 1: Cho hàm số y ax b cx d

= + + có đồ thị ( ) C Tìm điều kiện để ( ) C cắt đường thẳng

: d y = mx + n tại 2 điểm phân biệt A, B cùng một nhánh hoặc hai nhánh

 Xét phương trình hoành độ giao điểm: ax b mx n cx d

 + + 1 d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2

2 d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc cùng một nhánh

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt d

3 d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc cùng nhánh trái

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 1 2

4 d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc cùng nhánh phải

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 1 2

Câu hỏi 2: Cho hàm số y ax b cx d

= + + có đồ thị ( ) C Tìm điều kiện để ( ) C cắt đường thẳng

: d y = mx + n tại 2 điểm phân biệt A, B thỏa yêu cầu

 Xét phương trình hoành độ giao điểm: ax b mx n cx d

 + +  d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt A, B

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác

 Vì A B ,   d A x mx ( 1 ; 1 + n B x mx ) ( , 2 ; 2 + n ) a) Độ dài AB = k

Tính AB theo định lý Viet

Cho AB = k tìm được giá trị tham số và kiểm tra điều kiện b) Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của AB

Tính AB theo tham số rồi xét hàm hoặc sử dụng bất đẳng thức Côsi c) S ABC = k với C x y ( 0 ; 0 )

Câu hỏi 1: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị ( ) C Tìm điều kiện để ( ) C cắt đường thẳng d y : = mx + n tại 3 điểm phân biệt A, B và C

 Xét phương trình hoành độ giao điểm:

 d cắt ( ) C tại 3 điểm phân biệt

 Phương trình ( ) * có 2 nghiệm phân biệt khác x 0

* Chú ý: Đặt tham số làm nhân tử chung để tìm nghiệm đặc biệt x 0 , sau đó dùng sơ đồ Horne để phân tích thành nhân tử

Câu hỏi 2: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị ( ) C Tìm điều kiện để ( ) C cắt đường thẳng d y : = mx + n tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành CSC

 Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Theo định lý Viet ta có 1 2 3 b ( )2 x x x

 Thế (1) vào (2) tìm được nghiệm x 2 theo tham số

 Thế nghiệm x 2 vào phương trình ( ) * ta tìm được tham số

 Thế tham số vào phương trình (*) để thử lại

Dạng 3: Hàm bậc 4 trùng phương

Để hàm số y = ax^4 + bx^2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, cần xác định điều kiện cho các hoành độ tạo thành một hình chữ nhật (CSC) hoặc tạo thành 3 đoạn bằng nhau Điều này liên quan đến việc phân tích các nghiệm của phương trình bậc 4 và yêu cầu rằng các nghiệm này phải khác nhau.

 Lập phương trình hoành độ giao điểm:

 ( ) C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

 Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

 Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương

 Giả sử (2) có 2 nghiệm là 0   t 1 t 2

 Theo định lý Viet ta có: 1 2 ( )

Thế (3) vào (4) ta tìm được tham số và kiểm tra điều kiện

VẤN ĐỀ 8: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng 1: Cho tiếp điểm M x y ( 0 ; 0 )

+ Tính đạo hàm y  , suy ra hệ số góc k = f  ( ) x 0

+ Suy ra phương trình tiếp tuyến: y = f  ( )( x 0 x − x 0 ) + y 0 (*)

Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến

 T/T song song với đường thẳng y = ax b +  f  ( ) x 0 = a

 T/T vuông góc với đường thẳng y = ax b +  f  ( ) x 0 a = − 1

 T/T tạo với trục hoành một góc   f  ( ) x 0 =  tan

 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : y = ax + b một góc  tan

+ Giải phương trình tìm được hệ số góc k

 Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ tam giác vuông cân

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm A x y ( 1 ; 1 ) a) Phương pháp 1:

+ Suy ra phương trình tiếp tuyến d là: y = f  ( )( x 0 x − x 0 ) + y 0

+ Giải phương trình (1) ta tìm được x 0 và kết luận tiếp tuyến

* Chú ý: Đối với hàm bậc 3 trở xuống, từ điểm A kẻ được n tiếp tuyến  phương trình

+ Gọi phương trình tiếp tuyến d là: y = k x ( − x 1 ) + y 1

+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: ( ) ( ) ( )

Thế (2) vào (1) tìm được x, từ đó suy ra k và viết phương trình tiếp tuyến d

VẤN ĐỀ 9: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG ( ) C m

Phương pháp: Gọi M x y ( ; ) là điểm cố định của hàm số y = f x m ( , )

Giải hệ ta được tọa độ điểm cố định

2 Tìm các điểm thỏa yêu cầu bài toán

Câu hỏi 1: Tìm điểm M x y ( 0 ; 0 ) thuộc đồ thị ( ) C của hàm số: y ax b cx d

= + + sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất

0 ; ax b a a a bc ad y x d M TCN c c cx d c d c x c

  Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

1 Định nghĩa nghĩa lũy thừa

Số mũ Cơ số a Lũy thừa a 

II Tính chất của lũy thừa:

III Định nghĩa và tính chất của căn thức:

1 Căn bậc n của số b là số a sao cho a n = b

 m n a = mn a  p q n a p m a q n = m 3 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a  b thì n a  n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0   a b thì n a  n b

4 Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có 1 căn bậc n, ký hiệu là n a

Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng 2 căn bậc n là số đối nhau, ký hiệu là n a và n a

 Với a  0; a  1, b  0, số  thỏa mãn a  = b được gọi là lôgarit cơ số a của b, ký hiệu log a b log a b =  m a m = b

Chú ý: log a b có nghĩa khi 0; 1

 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10, ký hiệu: lg b = log b = log 10 b

 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e, ký hiệu: ln b = log e b với lim 1 1 n n e →+ n

II Tính chất của lôgarit:

III Các quy tắc tính lôgarit:

IV Công thức đổi cơ số lôgarit:

* Hệ quả: log 1 a log b b = a log n log m a a b m b

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

1 Hàm số lũy thừa y = x a (với a là hằng số)

Số mũ a Hàm số y = x a Tập xác định: D a=n (n nguyên dương) y = x n D=R a=n (n nguyên âm hoặc n = 0) y = x n D = R \ 0   a là số thực không nguyên y = x a D = ( 0; + )

1 y=x n không đồng nhất với hàm số y= n x

2 Hàm số mũ: y = a x (với a là hằng số thỏa a  0 và a  1)

 Khi a  1: Hàm số đồng biến, khi 0   a 1: hàm số nghịch biến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

3 Hàm số lôgarit: y = log a x (với a là hăng số thỏa a  0 và a  1)

 Khi a  1: hàm số đồng biến, khi 0   a 1: hàm số nghịch biến

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

1 y=x n không đồng nhất với hàm số y= n x

II Giới hạn đặc biệt:

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I Phương trình mũ cơ bản:

Nếu cơ số a chứa biến x: ( ) ( )

II Các phương pháp giải phương trình mũ

1 Đặt ẩn phụ a) Dạng 1: A a 2 f x ( ) + B a f x ( ) + = C 0 Đặt t = a f x ( ) (điều kiện t  0) Đưa phương trình về dạng At 2 + Bt + = C 0 b) Dạng 2: A a f x ( ) + B b f x ( ) + C c f x ( ) = 0 (3 cơ số a, b và c)

Chia 2 vế cho c f x ( ) rồi đặt ẩn phụ

  (điều kiện t  0) Đưa phương trình về dạng At 2 + Bt + = C 0 c) Dạng 3: A a f x ( ) + B b f x ( ) + = C 0 với a b = 1 Đặt t a f x ( ) ( t 0 ) b f x ( ) 1

=   =t Đưa phương trình về dạng A t B.1 C 0

+ t + 2 Phương pháp lôgarit hóa: Lấy lôgarit hai vế

 a x =  =b x log a b (lấy lôgarit cơ số a hai vế)

 a f x ( ) = b g x ( )  f x ( ) = g x ( ) log a b (lấy lôgarit cơ số a hai vế)

 a f x ( ) = b g x ( )  f x ( ) log b a = g x ( ) (lấy lôgarit cơ số b hai vế)

3 Đưa về phương trình tích: ( ( ) ) ( ( ) ) 0 ( ) ( ) 0

4 Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số: a) Trường hợp 1: Thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x ( ) = g x ( ) (*)

 Bước 2: Xét hàm số f x ( ) và g x ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số f x ( ) là đồng biến còn hàm số g x ( ) là hàm hằng hoặc nghịch biến

 Phương trình (*) có tối đa 1 nghiệm

 Bước 3: Với x = x 0 ; f x ( ) 0 = g x ( ) ( ) 0  * có nghiệm duy nhất x = x 0 b) Trường hợp 2: Thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f u ( ) = f v ( ) (*)

 Bước 2: Xét hàm đặc trưng f x ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

I Phương trình lôgarit cơ bản

Chú ý: Có thể đặt điều kiện f x ( )  0 rồi giải phương trình

II Các phương pháp giải phương trình lôgarit

1 Đặt ẩn phụ: f ( log a x ) = 0 hoặc A.log 2 a +B.log a x C+ =0

 Đặt t = log a x (không có điều kiện của t)

 Đưa phương trình về phương trình đại số theo t

* Chú ý: khi giải phương trình lôgarit cần chú ý đặt điều kiện để log a x có nghĩa

3 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn hoặc đưa về phương trình tích:

4 Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số: a) Trường hợp 1: Thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x ( ) = g x ( ) (*)

 Bước 2: Xét hàm số f x ( ) và g x ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số f x ( ) là đồng biến còn hàm số g x ( ) là hàm hằng hoặc nghịch biến

 Bước 3: Với x=x 0; f x ( ) 0 =g x ( ) 0  (*) có nghiệm duy nhất x = x 0 b) Trường hợp 2: Thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f u ( ) = f v ( ) (*)

 Bước 2: Xét hàm đặc trưng f x ( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

VẤN ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

I Bất phương trình mũ cơ bản:

+ Nếu b  0 : BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc TXĐ D

II Bất phương trình lôgarit cơ bản:

III Các phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit:

1 Đưa về cùng cơ số

4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

VẤN ĐỀ 7: ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT

HÌNH HỌC

TAM GIÁC VUÔNG

Cho tam giác ABC vuông ở A ta có:

1 Định lý Pytago: BC 2 = AB 2 + AC 2

2 BA 2 = BH BC CA 2 = CH CB

7 Tỷ số lượng giác của góc nhọn  được tính theo các công thức

 sin cạnh đối cạnh huyền cos = cạnh kề cạnh huyền

 tan cạnh đối cạnh kề cot= cạnh kề cạnh đối

TAM GIÁC ĐỀU

1 Diện tích  ABC đều cạnh

2 Đường cao cũng là trung tuyến: 3

TAM GIÁC THƯỜNG

1 Định lý hàm số Côsin: a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A

2 Định lý hàm số Sin: 2 sin sin sin

3 Công thức tính diện tích tam giác

S AH BC AB AC A pr p p a p b p c

TỨ GIÁC

1 Diện tích hình vuông ABCD: S = AB 2 (cạnh bình phương)

2 Diện tích hình chữ nhật ABCD: S = AB BC (dài nhân rộng)

3 Diện tích hình thoi ABCD: 1

S = 2AC BD (nửa tích hai đường chéo)

4 Diện tích hình thang ABCD: 1 ( )

Với AB, CD là 2 đáy, AH là chiều cao

* Hình thang vuông: Có 1 cạnh bên vuông góc với 2 đáy, cạnh bên đó gọi là đường cao

5 Diện tích hình bình hành ABCD: S = AH AB (Chiều cao nhân cạnh đáy)

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

1 Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng d và  là góc giữa hai đường thẳng AB và AC cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trung với d và  ký hiệu

* Chú ý:  AB AC ;  = BAC nếu BAC   90

 AB AC ;  = 180  − BAC nếu BAC   90

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

 Suy ra AH là hình chiếu của AM trên ( ) P

 Suy ra   AM , ( ) P    =  AM AH ;  

3 Góc giữa hai mặt phẳng:

 Xác định giao tuyến d của ( ) P và ( ) Q

 Xác định 2 đường thẳng a và b lần lượt nằm trong

( ) P và ( ) Q cùng vuông góc với d

A Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) P là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mp( ) P MH ⊥ ( ) P  d O P   ; ( )   = MH

2 Phương pháp tìm d M   ; ( ) P   : a) Phương pháp 1: Dựa vào thể tích

  b) Phương pháp 2: Tính trực tiếp

 Xác định mặt phẳng ( ) Q chứa M và ( ) ( ) Q ⊥ P

 Xác định giao tuyến d của ( ) P và ( ) Q

 Trong mặt phẳng ( ) Q vẽ MH ⊥  d MH ⊥ ( ) P

* Chú ý: Trong một số trường hợp ta tính gián tiếp thông qua điểm N

TH2: MN cắt mp(P) tại điểm A ( )

B Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

1 Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

2 Phương pháp xác định d  SA BC ;  a) Trường hợp 1: SA không vuông góc với BC

 Vẽ hình bình hành ABCD  BC / / AD

 d SA BC  ;  = d BC SAD   ; ( )   = d B SAD   ; ( )  

Hoặc =  d C SAD  ; ( )   b) Trường hợp 2: SA vuông góc với BC

 Xác định mp(P) chứa BC và ( ) P ⊥ SA tại A

 Trong mp(P) vẽ AH ⊥ BC

 AH là đường ⊥ chung của SA, BC

 Hình chóp là hình đa diện gồm đáy là đa giác và một đỉnh không nằm trên mặt phẳng chứa đa giác đáy

 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh bên đều bằng nhau

 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau

Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, và đường cao của hình chóp được vẽ từ đỉnh đến tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều

 Hình lăng trụ là hình đa diện có hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

 Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với hai đáy

 Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều

 Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

 Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành (tất cả 6 mặt là hình chữ nhật)

 Hình lập phương là hình hộp có tất cả 6 mặt là hình vuông

Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ xiên

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12

KHỐI ĐA DIỆN

I Khối lăng trụ và khối chóp

 Khối lăng trụ là phần không gian giới hạn bởi hình lăng trụ, kể cả hình lăng trụ ấy

 Khối chóp là phần không gian giới hạn bởi hình chóp, kể cả hình chóp ấy

II Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện

 Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất

 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

 Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

 Một khối đa diện bất kỳ luôn có thể được phân chia thành những khối tứ diện

III Khối đa diện lồi:

 Khối đa diện H được gọi là khối đa diện lổi nếu đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ của H luôn thuộc H

IV Khối đa diện đều:

 Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn các tính chất:

+ Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh

+ Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chhung của đúng q mặt

 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại ( p q ; )

VẤN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I Khái niệm thể tích khối đa diện:

Thể tích khối đa diện ( ) H là một số dương duy nhất V H thỏa mãn các tính chất:

 Nếu ( ) H là khối lập phương bằng 1 thì V ( ) H bằng 1

 Nếu 2 khối ( ) H 1 và ( ) H 2 bằng nhau thì ( ) ( )

 Nếu khối đa diện ( ) H được phân chia thành 2 khối H 1 và H 2 thì

1 Thể tích khối chóp: 1 hc 3 day

2 Thể tích khối lăng trụ: V lang tru = h S day

* Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c là ba kích thước dài, rộng và cao của khối hộp chữ nhật

* Thể tích khối lập phương: V = a 3 với a là độ dài cạnh

CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP ĐỀU a: cạnh đáy; b: cạnh bên

: góc giữa cạnh bên và mặt đáy

 : góc giữa mặt bên và mặt đáy

TH1: Hình chóp tam giác đều

* Biết cạnh đáy và cạnh bên:

* Biết cạnh đáy và góc : 3 tan

* Biết cạnh đáy và góc

 * Biết cạnh bên và góc

* Biết cạnh bên và góc b:

TH2: Hình chóp tứ giác đều

* Biết cạnh đáy và cạnh bên:

* Biết cạnh đáy và góc

* Biết cạnh đáy và góc

 * Biết cạnh bên và góc

 * Biết cạnh bên và góc

MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I Sự tạo thành mặt tròn xoay

Trong không gian của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (Δ) và đường thẳng (C), khi mặt phẳng (P) quay một góc 360°, mỗi điểm M trên đường (C) sẽ vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc đường (Δ) và nằm trên mặt phẳng vuông góc với (Δ).

 Như vậy khi quay mặt phẳng ( ) P quanh đường thẳng; đường ( ) C sẽ tạo nên một hình được là mặt tròn xoay

 Đường ( ) C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay được gọi là trục của mặt tròn xoay

II Mặt nón tròn xoay:

Trong mặt phẳng P, hai đường thẳng d và Δ cắt nhau tại điểm O, tạo thành góc β với 0° < β < 90° Khi quay mặt phẳng P quanh Δ, đường thẳng d tạo ra một mặt tròn xoay, được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O Trong đó, đường thẳng Δ được gọi là trục, đường thẳng d là đường sinh, và góc 2β là góc ở đỉnh của mặt tròn.

2 Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay:

Tam giác OIM vuông tại I khi quay quanh cạnh góc vuông OI sẽ tạo ra một hình nón tròn xoay, hay còn gọi tắt là hình nón, với đường gấp khúc OMI.

 Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó

 OB = r : bán kính đường tròn đáy

3 Diện tích xung quanh và thể tích khối nón tròn xoay

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được xác định là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp, khi số cạnh đáy của hình chóp này tăng lên vô hạn.

Thể tích của khối nón tròn xoay được xác định là giới hạn thể tích của khối chóp đều nội tiếp khi số cạnh đáy của khối chóp này tăng lên vô hạn Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay sẽ được áp dụng để tính toán chính xác.

III Mặt trụ tròn xoay

Trong mặt phẳng P, hai đường thẳng l và Δ song song với nhau, cách nhau một khoảng r Khi mặt phẳng P được quay xung quanh đường thẳng Δ, đường thẳng l sẽ tạo ra một mặt tròn xoay, được gọi là mặt trụ tròn xoay, hay còn gọi tắt là mặt trụ.

 Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng l gọi là đường sinh và r gọi là bán kính của mặt trụ

3 Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ tròn xoay: a) Định nghĩa

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được xác định là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp khi số cạnh đáy của hình lăng trụ này tăng lên vô hạn.

Thể tích của khối trụ tròn xoay được xác định là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay là V = πr²h, trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao của khối trụ.

I Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu:

 Cho điểm O cố định và số thực R Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu:

 Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S O R ( ; ) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó gọi là khối cầu hay hình cầu tâm O bán kính R

II Giao của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S O R ( ; ) và mặt phẳng ( ) P Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên

 OH =  R ( ) P tiếp xúc ( ) S tại H Khi đó mp P ( ) gọi là tiếp diện, H gọi là tiếp điểm.

 OH   R ( ) P cắt ( ) S theo đường tròn ( ) C có tâm H, bán kính r = R 2 − OH 2

Chú ý: nếu d = 0 hay O  H thì ( ) P cắt ( ) S theo đường tròn C O R ( ; )

III Giao của đường thẳng và mặt cầu:

Cho mặt cầu S O R ( ; ) và đường thẳng d Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên 

 OH =  R d tiếp xúc ( ) S tại H Khi đó d gọi là tiếp tuyến và H gọi là tiếp điểm

 OH   R d cắt ( ) S tại hai điểm phân biệt A, B

IV Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu:

 Diện tích xung quanh hình cầu: S xq = 4 r 2

V Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của hình chóp

 Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của nó có đường tròn ngoại tiếp

 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp một đoạn bằng

R gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp

2 Các bước tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

 Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Nếu đáy là tam giác đều: Gọi O là giao điểm 2 đường trung tuyến AM, BN của tam giác ABC

 O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC

+ Nếu đáy là tam giác vuông tại A: Gọi O là trung điểm cạnh huyền BC

 O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC

+ Nếu đáy là hình vuông, hình chữ nhật: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và

 O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD

Để xác định trục đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy, ta cần vẽ một đường thẳng Ox đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp và vuông góc với mặt phẳng đáy.

+ Nếu hình chóp đều hoặc gần đều:

Ta có: SO ⊥ ( ABC )  SO là trục đường tròn ngoại tiếp đáy…

+ Nếu hình chóp có SA ⊥ ( ABC ) :

Vẽ Ox / / SA  Ox ⊥ ( ABC )  Ox là trục đường tròn ngoại tiếp đáy…

 Trong mp tạo bởi trục Ox và cạnh bên, vẽ trung trực d của cạnh bên tại E và cắt trục

 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = IS

TH1: Hình chóp S.ABC đều

 Gọi O là trọng tâm tam giác ABC

 O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Vì S ABC đều  SO ⊥ ( ABC )

 SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Trong mp SAO ( ) vẽ đường trung trực

Mx của SA, cắt SA tại M và cắt trục SO tại

 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

TH2: SA ⊥ ( ABC ) , ABC đều

 Gọi O trọng tâm của tam giác ABC

 O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Vẽ đường thẳng Ot / / SA

 Ot là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

 Trong mp SAO ( ) vẽ đường trung trực Mx của

SA cắt SA tại M và cắt trục Ot tại I

 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và R = IA

TH3: ( SAB ) ( ⊥ ABC ) , ABC đều

 Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

 O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Vẽ đường thẳng Ot / / SH (với SH là đường cao khối chóp)

 Ot là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

 Trong mặt phẳng ( SA d ; ) vẽ mặt phẳng trung trực của SA cắt d tại I