CĂc ành lỵ cỡ bÊn vã h m khÊ vi
ành nghắa iºm cỹc trà
Cho khoÊng (a, b) ⊂ R , h m số f : (a, b) → R Ta nõi rơng h m f ¤t c÷c ¤i àa ph÷ìng (t÷ìng ùng cüc tiºu àa ph÷ìng) t¤i x 0
∈ (a, b), náu tỗn tÔi mởt số δ > 0 sao cho (x 0 −δ, x 0 + δ)
⊂ (a,b) v f (x) ≤ f (x 0 )(tữỡng ựng f (x) ≥ f (x 0 ) ) vợi mồi x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ). h m f iºm ( x 0 , y(x 0 )) l iºm cüc trà Cỹc Ôi àa phữỡng ho°c cỹc tiºu àa phữỡng gồi chung l cüc trà cõa
ành lþ Fermat
Cho khoÊng (a, b) ⊂ R , h m số f : (a, b) → R Náu h m số Ôt cỹc trà tÔi x = c v tỗn tÔi f J (c) thẳ f J (c) = 0.
ành lþ Rolle
Gi£ sû h m f : [a, b] → R câ c¡c tẵnh chĐt: (1) f liản tửc trản [a, b].
(2) f kh£ vi trong kho£ng
Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt iºm c ∈ (a, b) sao cho f J (c) = 0.
ành lþ Lagrange
GiÊ sỷ h m f:[a, b] → R cõ cĂc tẵnh chĐt:
(2) f kh£ vi trong kho£ng (a, b).
Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt iºm c ∈ (a, b) sao cho : f (b) − f (a) = f J (c)(b − a) (1) Nhên x²t: ành lỵ Rolle l trữớng hủp °c biằt cừa ành lỵ Lagrange.
GiÊ sỷ f : [a, b] → R liản tửc trản [a,b] v khÊ vi trong khoÊng [a,b]. Khi â:
(a) Náu f J (x) = 0 vợi ∀x ∈ (a, b) thẳ f l h m hơng trản [a,b].
(b) Náu f J (x) ≥ 0(f J (x) ≤ 0) v f J (x) = 0 tÔi hỳu hÔn iºm trản (a,b) thẳ f tông (giÊm) thỹc sỹ trản [a,b].
Chùng minh: a) GiÊ sỷ a ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ b Theo ành lỵ Lagrange tỗn tÔi c ∈ (a, b) sao cho: f (x 2 ) − f (x 1 ) = f J (c)(x 2 − x 1 ) (2).
Vẳ f J (c) = 0, tứ õ suy ra f (x 2 ) = f (x 1 ) Vêy f l hơng số. b) Náu f J (x) ≥ 0 vợi mồi x ∈ (a, b), thẳ tứ (2) do f J (c) ≥ 0
ành lþ Cauchy
GiÊ sỷ cĂc h m f,g : [a, b] → R cõ cĂc tẵnh chĐt :
Khi õ tỗn tÔi c ∈ (a, b) sao cho:
Hỡn nỳa, náu g J (x) khĂc 0 vợi mồi x ∈ (a, b) thẳ cổng thực (3) cõ dÔng: f J (c) g J (c) = f ( b ) − f ( a ) g(b)g(a
Nhên x²t: ành lỵ Lagrange l trữớng hủp riảng cừa ành lỵ
Cổng thực Taylor
Cổng thực Taylor vợi số dữ dÔng Lagrange
GiÊ sỷ f : [a, b] → R cõ Ôo h m án cĐp (n+1) trong khoÊng (a,b), x 0 ∈ (a, b) Khi õ, vợi ∀x ∈ (a, b), ta cõ: f (x) = n k=
Nhên x²t: Vẳ c nơm giỳa x v x 0 nản (1.4) cõ thº viát dữợi dÔng sau: f (x) = n k=
(x − x 0 ) ữủc gồi l số dữ thự n cừa cổng thực Taylor dữợi dÔng Lagrange.
Cổng thực Taylor vợi số dữ dÔng Peano
vợi số dữ dÔng Peano
Gi£ sû f :(a, b) → R khÊ vi án cĐp n trong mởt lƠn cên n o õ cừa x 0 ∈ (a, b) v f (n)
(x) liản tửc tÔi x 0. Khi õ vợi x ð trong lƠn cên nõi trản cừa x 0 ta cõ : f
Trong õ o((x − x 0 ) n ) l vổ cũng b² bêc cao hỡn (x − x 0 ) n Tực l : o((x − x lim 0 ) n ) x (x
− x 0 ) n = 0 Ôi lữủng r n (x) = o((x − x 0 ) n ) ữủc gồi l sè d÷ d¤ng Peano.
Nhên x²t : Khai triºn Taylor cừa h m f(x) trong lƠn cên cừa iºm x 0 = 0 cỏn ữỡc gồi l khai triºn Mac-
Sau Ơy l mởt số khai triºn Mac-
Laurin cừa mởt số h m sỡ cĐp cỡ b£n.
1) H m f (x) = e x H m n y khÊ vi vổ hÔn v f (n) (x) = e x vợi mồi n ∈ N Taà x 0 = 0 ta cõ f n (0) = 1 vợi mồi n Do õ : e x x
2) H m f (x) = sin x khÊ vi mồi cĐp v f (n) (x) = sin(x + n π
2 x 0 = 0 ta câ f (2n) (0) = sin nπ = 0, f (2n+1) (0) = (−1) n Do â: sin x = x −
3) H m f (x) = cos x khÊ vi mồi cĐp v f (n) (x) = cos(x + n π
4) H m f (x) = ln(1 + x) khÊ vi mồi cĐp vợi x > −1 v f (n) (x) = (−1) n−1 (n − 1)!(1 + x) −n
6)Cổng thực Taylor vợi mởt a thực: Náu thực f (x) = P n (x) l mởt a bêc n cừa x thẳ f (n+1) (x) = 0 vợi mồi x Do õ ta cõ: p J (a) p” (a) (a) p (n)
Gẵa trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt
ành nghắa
Cho h m số f(x) xĂc ành trản D ⊂ R
1) M ữủc gồi l giĂ trà lợn nhĐt (hay cỹc Ôi to n cửc) cừa h m số trản D náu ỗng thới thọa mÂn hai iãu kiằn : f(x) ≤ M, ∀x ∈ D v tỗn tÔi x 0 ∈ D sao cho f (x 0 ) = M
2) m ữủc gồi l giĂ trà nhọ nhĐt (cỹc tiºu to n cửc)cừa h m số trản
D náu ỗng thới thóa mÂn hai iãu kiằn: f(x) ≥ m ∀x ∈ D v tỗn tÔi x 1 ∈ D sao cho f (x 1 ) = m
Cỹc Ôi to n cửc v cỹc tiºu to n cửc gồi chung l cỹc trà to n cửc Nhên x²t
1) Mởt h m số liản tửc trản [a,b] thẳ Ôt giĂ trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt trản oÔn õ Kỵ hiằu : max f (x)
2) Mởt h m số f liản tửc v ỡn iằu thỹc sỹ trản [a,b] ⊂ R thẳ : max f (x) = max f (a), f (b)
3) iºm dứng: CĂc iºm thuởc têp xĂc ành cừa h m f(x) m tÔi õ Ôo h m cừa nõ bơng 0 ho°c khổng tỗn tÔi ữủc gồi l iºm dứng ( iºm tợi hÔn) cừa h m số Â cho. hÔn iảm tợi hÔn x 1 , x 2 , , x n Khi õ: 4) GiÊ sỷ f(x) l h m số liản tửc trản [a,b] ⊂ R v ch¿ cõ mởt sè húumax f (x) = max f (a), f (x 1 ), f (x 2 ), , f (x n ), f (b)
Phữỡng phĂp tẳm GTLN, GTNN
- CĂch 1: Lêp bÊng bián thiản Dỹa v o bÊng bián thiản tẳm max v min cừa f(x) trản D.
- CĂch 2: Náu D = [a, b] Tẳm cĂc iºm dứng cừa f(x) trản [a,b] v tẵnh f(a),f(b),f( x i ) Khi õ: max f (x) = max f (a), f (x 1 ), f (x 2 ), , f (x n ), f (b)
Phương pháp toán học là một phần quan trọng trong toán học tổng quát, bao gồm nhiều phương pháp như phương pháp miễn giá trị, bắt buộc thực, lưỡng giác hóa, hình học và vectơ Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ khám phá chi tiết hơn về những phương pháp này và ứng dụng của chúng trong các bài toán cụ thể.
Ch÷ìng 2 Ùng dửng phữỡng phĂp h m
Phữỡng phĂp h m trong giÊi phữỡng trẳnh
Ùng dửng cổng thực Taylor
Ta nhc lÔi: Mồi a thực bêc n vợi hằ số thỹc ãu viát dữợi dÔng : f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n−1 x n−1 + a n x n (2.1)
H m số y = f (x) l h m khÊ vi trong R , vợi α ∈ R bĐt ký thẳ khai triºn Taylor cõa f(x) l : f (x) = f (α)+f J (α)
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp bì toán để chọn các thách thức phù hợp cho việc giải phương trình f(x) = 0 với một số khuyết Dựa vào lý thuyết khai triển Taylor, chúng ta có thể áp dụng vào việc giải các phương trình bậc ba và bậc bốn.
X²t phữỡng trẳnh: f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + x 3 = 0 (2.3) º giÊi phữỡng trẳnh (2.3) ta sỷ dửng khai triºn Taylor ð vá trĂi ữủc d¤ng: f (x) = f (α) + f J (α)(x − α) + f ”(α )
Náu f (α) = 0 thẳ f (x) = 0 khi v ch¿ khi: x = α ho°c (x − α) 2 + f ”(α )
Náu f ”(α) = 0 ta ữa (2.4) vã dÔng rút gồn: t 3 + pt + q = 0 (2.5) vợi t = x − α (2.6) bơng cĂch tẳm α sao cho f ”(α) = 0 ⇔
3 ) º giÊi phữỡng trẳnh (2.5) ta dũng ph²p bián ời : t = u + v ⇒ t 3 = u 3 + v 3 + 3uv(u + v). Khi â (2.5) câ d¤ng u 3 + v 3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0.
Ta cƯn tẳm u, v sao cho :3uv + p = 0 ⇒ u 3 v 3 =
Nhữ vêy u 3 , v 3 l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh :
Trữớng hủp 1: Náu ∆ ≥ 0 khi õ cõ : t 1 = x 1
= 0 l mởt nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh (2.3) º tẳm nghiằm cán l¤i, ta ÷a
Trữớng hủp 2: Náu ∆ < 0 , phữỡng trẳnh (2.8) cõ hai nghiằm phực :
Viát X 1 dữợi dÔng lữủng giĂc X 1 = r(cosϕ + i sin ϕ) Theo cổng thực khai triºn côn bêc n cừa số phực u = √ n r(cos ϕ + k2π X 1, ta cõ:
T÷ìng tü ta câ: v = √ n r(cos ϕ + k 2π
Tứ õ, ta cõ ba nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh (2.3): x2 x
3 + α ành lỵ 2.1.1.1: iãu kiằn cƯn v ừ º ỗ thà h m số (2.3) nhên iºm ( α, f (α)) l m tƠm ối xựng l f ”(α) = 0
Chùng minh: iãu kiằn cƯn:
GiÊ sỷ f ”(α) = 0, tứ khai triºn Taylor ta cõ : x 1 − α = u 1 + v 1 = 2 √
X = x − α ta ữa h m số y = a 0 + a 1 x + +a 2 x 2 + x 3 = 0 vã dÔng Y = X 3 + f J (α)X l h m l´ nản tƠm ối xựng l (X = 0; Y = 0) hay (x = α, y = f J (α)).
Hàm số lẻ có tính chất F(−X) = −F(X), và điều kiện cần và đủ để hàm số này là f''(α) = 0 Để xác định hàm số lẻ, cần kiểm tra các điều kiện liên quan đến tính chất đối xứng của đồ thị hàm số.
Chùng minh: iãu kiằn õ: f (α) = 0 (i) f ”(α) = 0 (ii) (2.11) f J (α) < 0 (iii)
Khi õ tứ cổng thực Taylor cừa h m f (x) = a 0 + a 1 x ++a 2 x 2 + x 3 = t¤i iºm 0 α : f (x) = f (α) + f J (α)(x − α) + f ”(α )
X²t phữỡng trẳnh ho nh ở giao iºm chung cừa (C) vợi trửc Ox:
Tứ õ, ta cõ ho nh ở cĂc giao iºm cừa (C) vợi Ox l : x 2 = α; x 1 = α − √
Ta thĐy x 1 , x 2 , x 3 lêp th nh cĐp số cởng vợi cổng sai d = √
Hàm số f J (α) được xác định trên khoảng x0 - d, x0, x0 + d Giới hạn của hàm số này tại điểm x0 được tính theo quy tắc giới hạn của hàm số bậc ba Khi áp dụng định lý Vi-et, ta có thể biểu diễn hàm số dưới dạng phương trình bậc ba: a0 + a.
3 thẳ f (α) = 0, hay tỗn tÔi α thọa mÂn (i).
Ta s³ chựng minh thọa mÂn (ii) v (iii).
2a 2 = 0 Vêy (ii) ữủc thọa mÂn.
M°t khĂc tứ phữỡng trẳnh ho nh ở giao iºm cừa (C) vợi trửc ho nh câ d¤ng: f (α) + f J (α)(x − α) + f ”(α )
Do phữỡng trẳnh cõ ba nghiằm lêp th nh cĐp số cởng nản f J (α) < 0. Vêy (iii) ữủc thọa mÂn.
Sau Ơy l cĂc vẵ dử Ăp dửng phữỡng phĂp trản : Vẵ dử 1 GiÊi phữỡng trẳnh sau: x 3 − 3 √
Vêy theo trữớng hủp 1 thẳ phữỡng trẳnh cõ mởt nghiằm thỹc:
Khi õ (1) viát dữợi dÔng tẵch : 2
Vêy phữỡng trẳnh  cho cõ ba nghiằm : x 1 = 3 √
Vẵ dử 2 GiÊi phữỡng trẳnh : x 3 + 3x 2 + 3(1 − √
Vêy theo trữớng hủp 2, phữỡng trẳnh 2 p
Khi õ X 1 , X 2 nhƠn cĂc côn bêc ba l : u k =
Vêy phữỡng trẳnh (2) cõ ba nghiằm : x 2 = −1
Vẵ dử 3 Tẳm m º ỗ thà h m số y = x 3 + mx 2 −x−m ct trửc ho nh tÔi ba iºm cõ ho nh ở lêp th nh cĐp số cởng Tẳm cĐp số cởng õ.
X²t h m số f (x) = x 3 + mx 2 − x− m l h m khÊ vi trản R Vợi α ∈ khai triºn Taylor cõa f(x) t¤i R α l : f (x) = f (α) + f J (α)(x − α) + f ”(α )
(x − α) 2 + (x − α) 3 (*) p dửng ành lỵ 2.1.1.2 ta cõ α l nghiằm cừa hằ sau Ơy: f (α) =
Vợi m = 0, thay v o ta cõ phữỡng trẳnh ho nh ở giao iºm chung cừa ỗ thà vợi trửc Ox l : x 3 − x = 0 ⇔ x = {−1; 0; 1} lêp th nh cĐp số cởng vợi cổng sai d = 1.
Vợi m = −3, ta cõ phữỡng trẳnh x 3 − 3x 2 −x + 3 = 0 ⇔ x = {−1;
1; 3} lêp th nh cĐp số cởng vợi cổng sai d = 2.
Vợi m = 3 ta cõ phữỡng trẳnh x 3 + 3x 2 − x− 3 = 0 ⇔ x = {−3; −1;
1} lêp th nh cĐp số cởng vợi cổng sai d = 2.
B i têp 1 GiÊi cĂc phữỡng trẳnh
B i têp 2 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
B i têp 3 GiÊi phữỡng trẳnh sau biát phữỡng trẳnh cõ ba nghiằm lêp th nh cĐp số cởng : f (x) = x 3 − 3mx + x + 1 = 0 ¡p sè m = 1 v x = {1; 1 ± √
4 p dửng giÊi phữỡng trẳnh bêc bốn
Khai triºn Taylor cừa f(x) tÔi α ∈ R thẳ (2.12) cõ dÔng: f (x) = f (α)+f J (α)
Náu tẳm ữủc α º f (α) = 0 thẳ (2.12) trð th nh phữỡng trẳnh bêc ba.
Náu tẳm ữủc α º f J (α) = 0 v f (3) (α) = 0 thẳ (2.12) trð th nh phữỡng trẳnh trũng phữỡng.
Náu tẳm ữủc α sao cho f (3) (α) = 0 α = −a 3
Khi â, (2.12) câ d¤ng: 4 t 4 = mt 2 + nt + p (2.14) trong â t = x − α, m = −f ”(α )
, n = −f J (α), p = −f (α). º giÊi (2.14) ta thảm hai vá Ôi lữủng 2βt 2 + β 2 vợi β ∈ R v
Ta cƯn tẳm β sao cho :∆ = n 2 − 4(m + 2β)(p + β 2 ) = 0(2.16)
Khi õ (2.15) viát dữợi dÔng bẳnh phữỡng úng:
Tứ iãu trản ta tẳm ữủc bốn nghiằm t 1,2,3,4 v do õ phữỡng trẳnh
Nhên x²t Ta cụng cõ thº giÊi (2.14) bơng phữỡng phĂp hằ số bĐt ành: t 4 + bt 2 + ct + d = (x 2 + m J t + n J )(x 2 − m J t + p J )
Ta  biát b, c, d v i tẳm m',n',p' theo phữỡng phĂp hằ số bĐt ành. ành lỵ 2.1.1.3 iãu kiằn cƯn v ừ º ỗ thà h m số (2.12) nhên ữớng th¯ng x = α l m trửc ối xựng : f J (α) = 0 v f (3) (α) = 0.
Chùng minh: iãu kiằn cƯn:
GiÊ sỷ f J (α) = 0 v f 3 (α) = 0, tứ khai triºn Taylor ta cõ : y − f (α) = (x − α) 4 + f ”( α )
Ta ữa h m số y = a 0 + a 1 x + +a 2 x 2 + x 3 = 0 vã dÔng : Y = X 4 + f ”(α)
X l h m chđn nản trửc ối xựng l X = 0 hay x = α
0 l trửc èi xù ngnả n Y l h m sè ch® n ha y F
F (X ) tù c ta Vêy ta Âchựng minh xong.
1 Gi£i ph÷ìng trẳnh sau: x 4 +
Ph÷ìng trẳnh cõ hai nghiằm thỹc v hai nghiằm phùc : t
Vêy phữỡng trẳnh (1) câ bèn nghiảm: x =
Ta cụng cõ thº giÊi phữỡng trẳnh t 4 − 3t 2 − 10t − 4 = 0 bơng cĂch kh¡c. °t t 4 − 3t 2 − 10t − 4 = (t 2 + at + b)(t 2 − at + c)
Suy ra: b + c − a 2 = −3 ac − ab = 10 bc = −4
5 dăn án cĂc nghiằm nhữ trản.
Vẵ dử 2 GiÊi phữỡng trẳnh sau: x 4 + 8x 3 + 15x 2 − 4x − 2 = 0
Ta cõ f 3 (x) = 24x + 48 Tẳm α ∈ R sao cho f 3 (α) = 0 suy ra α =
= 9 n = −f J (−2) = 0 p = −f (−2) = −18 °t t = x − α = x + 2, khi õ phữỡng trẳnh ữa vã dÔng: t 4 = mt 2 + nt + p (*)
Thay m,n,p vứa tẵnh v o (*), rỗi cởng hai vá cừa (*) vợi 2βt 2 + β 2 ta ữủc:
Ta cõ ∆ = 0 2 − 4(9 + 2β)(β 2 − 18) Ta cƯn tẳm β ∈ R sao cho ∆ = 0 tùc:
Vẵ dử 3 Tẳm m º ỗ thà h m số y = x 4 + 4x 3 + mx 2 cõ trửc ối xựng Lỡi giÊi:
Gồi x = α l trửc ối xựng cừa ỗ thà trản Theo ành lỵ 2.1.2.1 thẳ α thọa mÂn hằ: f J (α) = 0
B i têp 1 GiÊi cĂc phữỡng trẳnh sau : x 4 − 13x 2 + 18x − 5 = 0 ¡p sè x = { −3 ± 2
B i têp 2 GiÊi phữỡng trẳnh sau :
Vêy m = 4 thọa mÂn iãu kiằn ã b i.
B i têp 3 Tẳm m º ỗ thà h m số sau cõ trửc ối xựng: y = x 4 + mx 3 − (2m + 1)x 2 + mx + 1 ¡p sè m = −6, −2, 0.
Ùng dửng cĂc ành lỵ cỡ bÊn vã h m khÊ vi
p dửng tẵnh ỡn iằu ành lþ 2.1.2.1
GiÊ thiát f(x) l mởt h m liản tửc v ỡn iằu thỹc sỹ trản [a,b] Khi â :
1) Phữỡng trẳnh f (x) = 0 cõ nhiãu nhĐt l mởt nghiằm trản [a,b].
2) Phữỡng trẳnh f (x) = f (y) tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnh x = y náu x, y ãu thuởc [a,b].
GiÊ sỷ f(x) ỗng bián (trữớng hủp nghàch bián tữỡng tỹ).
1) GiÊ sỷ phữỡng trẳnh f (x) = 0 cõ nghiằm x = a , tực f (a) =
• x > a tực f (x) > f (a) = 0 nản phữỡng trẳnh f (x) = 0 vổ nghiằm.
• x < a tực f (x) < f (a) = 0 nản phữỡng trẳnh f (x) = 0 vổ nghiằm Vêy phữỡng trẳnh f (x) = 0 cõ nhiãu nhĐt l mởt nghiằm.
2) Do f(x) ỗng bián nản náu :
• x > y thẳ f (x) > f (y) trĂi vợi giÊ thiát.
• x < y thẳ f (x) < f (y) trĂi vợi giÊ thiát Vêy x = y ành lþ 2.1.2.2
GiÊ thiát f(x) l h m liản tửc v ỡn iằu tông trản [a,b], g(x) l h m liản tửc ỡn iằu giÊm trản [a,b] Khi õ phữỡng trẳnh f (x) = g(x) cõ nhiãu nhĐt mởt nghiằm trản [a,b].
GiÊ sỷ x = a l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh f (x)
= g(x), tực f (a) = g(a) Do f(x) ỗng bián, g(x) nghàch bián nản náu :
• x < a thẳ f (x) < f (a) = g(a) > g(x) nản f (x) = g(x) vổ nghiằm Vêy phữỡng trẳnh f (x) = g(x) cõ nhiãu nhĐt mởt nghiằm.
Vẵ dử 1 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
+ 2 − 4 Ta cõ f(x)l h m liản tửc trản D
Do õ f(x) ỗng bián trản D M°t khĂc x = 1 l nghiằm.
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt x = 1.
Vẵ dử 2 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
Líi gi£i: °t u = x + 1, v = 2x 2 khi õ phữỡng trẳnh trð th nh :
3 t l h m số liản tửc trản R Khi õ phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng: f (u)
Do õ f(t) ỗng bián trản R Phữỡng trẳnh s³ tữỡng ữỡng : f (u) = f (v) ⇔ u = v
2 Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 1; x = − 1
2 Vẵ dử 3 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
Phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng : log 2
Ta thĐy f (x) = log 2 (x− 3)+log 3 (x− 2) l h m ỗng bián trản (3;+∞ ).
Vẵ dử 4 GiÊi phữỡng trẳnh (Kẳ thi Quốc Gia 2015)
Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng:
Ta cõ f J (t) = 3t 2 + 4t + 2 > 0 ∀t ∈ R nản f(t) ỗng bián trản R.
13 ối chiáu iãu kiằn, nghiằm cừa phữỡng trẳnh l x = 2, x =
Vẵ dử 5 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau: 2
Líi gi£i: °t f (x) = x 3 + x 2 + x câ f'(x)=3x 2 + 2x + 1 > 0, ∀x ∈ R °t g(x) = 2x + 1 Hai h m trản l h m liản tửc v ỗng bián trản R Khi õ : (I) tữỡng ữỡng vợi: f (x) = g(y) f (y) = g(z) f (z) = g(x)
Náu cõ nghàảm ( x 0 , y 0 , z 0) Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ x 0 < y 0 < z 0 Khi õ f (x 0 ) < f (z 0 ) ỗng nghắa vợi g(y 0 ) < g(z 0 ). iãu n y l vổ lỵ vẳ g(x) l h m ỗng bián.
Vẵ dử 6 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau:
Hằ phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng
Ta cõ f(t) l h m ỗng bián trản [1; + ∞ ) Do õ (*) tữỡng ữỡng: x 2 = 4y
Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm :( 4
B i têp 1 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
B i têp 2 GiÊi phữỡng trẳnhsau: x 2 + x + 3 2 log 3 (
B i têp 3 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
B i têp 4 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau: log 5 x = log 3 ( √ y + 4) log 5 z = log 3 ( √ x + 4) ¡p sè x = y = z = 25.
B i têp 5 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau: x 3 − 3x = √
9(y − 1) ¡p sè (x = 1, y = 2); (x = 2, y = 5) p dửng ành lỵ Rolle
Nhên x²t: Mởt số kát quÊ quan trồng dữợi Ơy l hằ quÊ trỹc tiáp cừa ành lỵ Rolle v l cỡ sð cừa phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh.
Hằ quÊ 2.1.2.1 Náu x 1 , x 2 l hai nghiằm liản tiáp cừa phữỡng trẳnh f (x) = 0 vợi x 1 ≤ x 2 , x 1 , x 2 ∈ (a, b) thẳ phữỡng trẳnh f'(x)=0 cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm x* ∈ (x 1 , x 2 ) ⊂ (a, b).
Hằ quÊ 2.1.2.2 GiÊ sỷ f(x) l h m khÊ vi cĐp k, k ƒ= 0, k ∈
N Náu phữỡng trẳnh f (x) = 0 cõ nghiằm phƠn biằt thẳ phữỡng trẳnh f J (x) = 0 cõ ẵt nhĐt n-1 nghiằm phƠn biằt Phữỡng trẳnh f (k) (x) = 0 cõ ẵt nhĐt n-k nghiằm phƠn biằt ( k = 1, 2, ).
Chựng minh : Suy ra trỹc tiáp tứ ành lỵ Rolle. lo g 5 y = log 3
1 = y − 1 trẳnh f (x) = 0 cõ nghiằm x 0 thẳ x 0 l nghiằm duy nhĐt
Hằ quÊ 2.1.2.3 Náu f J (x) > 0(< 0) vợi mồi x thuởc (a,b), ph÷ìng
GiÊ sỷ ngữủc lÔi cỏn x 1 ƒ= x 0 cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh f
(x) = 0 Khi õ, theo ành lỵ Rolle, tỗn tÔi c ∈ (x 0 , x 1 )(khổng mĐt tẵnh tờng quĂt giÊ sỷ x 0 < x 1) sao cho f J (c) = 0 iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát f J (x) > 0 vợi mồi x ∈ (a, b) Vêy x 0 l nghiằm duy nh§t.
Hằ quÊ 2.1.2.4 Náu phữỡng trẳnh f J (x) = 0 cõ nghiằm duy nhĐt thẳ phữỡng trẳnh f(x)=0 cõ khổng quĂ hai nghiằm.
Chùng minh: quĂt giÊ sỷ x 1 < x 2 < x 3 l nghiằm phữỡng trẳnh Khi õ, theo ành lỵ GiÊ sỷ phữỡng trẳnh f (x) = 0 cõ quĂ hai nghiằm, khổng mĐt tẵnh tờng
Rolle, tỗn tÔi c 1 ∈ (x 1 , x 2 ), c 2 ∈ (x 2 , x 3 ) sao cho : f J (c 1 ) = 0 v f J (c 2 ) = 0.
Do (x 1 , x 2 ) ∩ (x 2 , x 3 ) = φ nản c 1 ƒ= c 2 hay phữỡng trẳnh f J (x) = cõ hai nghiằm phƠn biằt iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát 0 f J (x) = 0 cõ nghiằm duy nhĐt.
Ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Hằ quÊ 2.1.2.5 Náu f ”(x) > 0(< 0) vợi mồi x thuởc (a,b) thẳ phữỡng trẳnh f (x) = 0 cõ khổng quĂ hai nghiằm.
Hằ quÊ trản ữủc suy ra trỹc tiáp tứ hằ quÊ 2.1.2.3 v 2.1.2.4.
Thêt vƠy vẳ f ”(x) > 0(< 0) vợi mồi x thuởc (a,b)nản theo hằ quÊ 2.1.2.3 thẳ f J (x) = 0 náu cõ nghiằm x 0 thẳ x 0 l duy nhĐt Khi õ theo hằ quÊ 2.1.2.4 thẳ f (x) = 0 cõ khổng quĂ hai nghiằm.
Vẵ dử 1 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
Vẳ f ”(x) > 0vợi mồi x thuởc R nản theo hằ quÊ 2.1.2.5 thẳ f (x) = 0 cõ khổng quĂ hai nghiằm
Vêy phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm l x = 0, x = 1.
Vẵ dử 2 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
− 15 x GiÊ sỷ x l nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản.
Vêy f (t) thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ Rolle nản tỗn tÔi c thuởc
Tùc x[(t + 1015) x−1 − t x−1 ] = 0 ⇔ x = 0 ho°c x = 1 Vêy phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x =
Vẵ dử 3 GiÊi phữỡng trẳnh:
Ta câ: f J (x) = 2 x [ln2(4 − x) − 1] − 2f ”(x) = 2 x ln2[(4 − x)ln − 1]
Vẳ f ”(x) = 0 cõ nghiằm duy nhĐt x = 4
1 ln2 nản f J (x) cõ khổng quĂ hai nghiằm.
Do õ f (x) cõ khổng quĂ ba nghiằm.
Ta thĐy f (2) = f (1) = f (0) = 0 Vêy phữỡng trẳnh cõ ba nghiằm x = 0, x = 1, x = 2.
B i têp 1 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
B i têp 2 GiÊi phữỡng trẳnh sau: x 2 − 1
B i têp 3 GiÊi phữỡng trẳnh sau: log 2 (x + 1) + log 3 (2x + 1) − 2x = 0 ¡p sè x = 0, x = 1. p dửng ành lỵ Lagrange
Náu f J (x) ƒ= 0 vợi mồi x thuởc (a, b) thẳ phữỡng trẳnh : f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 vợi mồi x 1 , x 2 ∈ (a, b).
Theo ành lỵ Lagrange nản tỗn tÔi c ∈ (a, b) ⊂ (a, b) sao cho : f J (c)(x 2 − x 1 ) = f (x 2 ) − f (x 1 )
Vêy ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Náu y = f (x) thọa mÂn cĂc giÊ thiát cừa ành lỵ Lagrange v f (x) ∈ (a, b), f J (x) ƒ= −1 ∀x ∈ (a, b) thẳ phữỡng trẳnh:
Vẳ f (x) ∈ (a, b) nản giÊ sỷ x < f (x) nản Ăp dửng ành lỵ Lagrang, tỗn tÔi c ∈ (x, f (x)) sao cho: f J (c)[f (x) − x] + [f (x) − x] = 0
Nhên x²t: Trữớng hủp tờng quĂt cừa hằ quÊ trản : f (f ( f (x))) = x ⇔ f (x) = x
Vẵ dử 1 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
X²t h m f (t) = t x t > 0 , l h m khÊ vi trản R + , thọa mÂn cĂc giÊ thiát cừa ành lỵ Lagrange nản tỗn tÔi t 1 , t 2 vợi t 1 ∈
Suy ra : f J (t 1 ).990 = f (t 2 ).990 ⇔ f J (t 1 ) = f J (t 2 ) Cõ : f J (t) = x.t x−1 nản: xt x−1 = xt x−1 ⇔ x(t x−1 − t x−1 ) = 0 ⇔ x = 0 ho°c t x−1 = t x−1
Do t 1 ƒ= t 2 nản tứ (*) suy ra x −
= 1. Vêy phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x = 1, x =
Vẵ dử 2 Gi£i ph÷ìng trẳnh sau: x 3 + 1 =
Ph÷ìng trẳnh tữỡng ÷ìng:
Vêy Phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x = 1 ho°c x =
Vẵ dử 3 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
Phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng: f (x) = f (log 5 (1 + 4x))
Theo hằ quÊ cừa ành lỵ Rolle thẳ g(x) = 0 cõ khổng quĂ hai nghiằm.
Ta câ g(1) = g(0) = 0 suy ra x = 0 ho°c x = 1 Vêy phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm: x = 1, x = 0
Vẵ dử 4 GiÊi phữỡng trẳnh sau:
X²t h m f (x) = 2 x l khÊ vi trản R Ta cõ f J (x) = 2 x ln2
Theo ành lỵ Lagrange tỗn tÔi c thuởc (0, x 2 − 4) sao cho : f J (c)
Thay v o phữỡng trẳnh ta ữủc :
Thỷ lÔi thĐy x = ±2 thọa mÂn.
Vêy phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x = 2 x = −2.
Vẵ dử 5(Thi hồc sinh giọi Quốc Gia Viằt Nam 1994) GiÊi hằ phữỡng trẳnh:
Líi gi£i: x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y y 3 + 3y − 3 + ln(y 2 − y + 1) = z (I) z 3 + 3z − 3 + ln(z 3 − z + 1) = x
(z) = x Theo hằ quÊ 2.1.2.7 thẳ f (x) = x hay y = x suy ra x = y = z Hằ tữỡng ữỡng : x = y = z °t h(x) = f (x) − x cõ h J (x) > 0 nản h(x) l h m ỗng bián v h(1) = 0 nản x = y = z = 1
Vẵ dử 5 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau:
Hằ phữỡng trẳnh ban Ưu tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnh sau:
2 2015 − t − √ t < 0. Theo hằ quÊ 2.1.2.6 thẳ (*) tữỡng ữỡng vợi : f (x) = f (y) ⇔ x = y
Thay x = y v o phữỡng trẳnh (1) ta cõ:
Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm l (0, 0) ho°c (2015, 2015).
B i têp 1 GiÊi cĂc phữỡng trẳnh sau:
B i têp 2 GiÊi cĂc phữỡng trẳnh sau: ¡p sè x =
B i têp 3 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau:
2 x − 2 y = (y − x)(xy + 2) ¡p sè (1,1) ho°c (-1,-1) p dửng ành lỵ Cauchy inh lþ 2.1.2.3 indent GiÊ sỷ f (x) v g(x) l cĂc h m liản tửc [a,b] v khÊ vi trản (a,b) Khi õ hằ: f (x 1 ) = g(x 2 ) f (x 2 ) = g(x 3 )
f (x n ) = g(x 1 ) a) Náu f (x) v g(x) cũng tẵnh ỡn iằu thẳ náu hằ cõ nghiằm thẳ cĂc nghiằm bơng nhau: x 1 = x 2 = = x n
b) Náu f (x) v g(x) khĂc tẵnh ỡn iằu thẳ náu n l´ thẳ x 1 = x 2 = = x n , cỏn náu n chn thẳ ta cõ x 1 = x 3 = = x n−1 v x 2 = x 4 = = x n
Chùng minh: a) GiÊ sỷ hằ cõ nghiằm a < x 1 < x 2 < < x n < b (n ∈ R ).
Do g J (x) ƒ= 0 nản theo ành lỵ Cauchy, tỗn tÔi c ∈ (x 1 , x 2 ) sao cho: f J (c
= (ii) f (x 2 ) − f (x 1 ) f (x 1 ) − f (x n ) nghiằm phƠn biằt tực hằ cõ nghiằm trũng nhau giÊ sỷ x 1 = x 2, khi õ Tứ (i) suy ra A > 0 v tứ (ii) suy ra A < 0 (vổ lỵ).
Vêy hằ khổng cõ theo ành lỵ Cauchy cõ: f J (c)[g(x 1 ) − g(x 2 )] = g J (c)[f (x 2 ) − f (x 1 )] vợi c ∈ (a, b) Suy ra 0 = g J (c)[g(x 3 ) − g(x 2 )] ⇐ x 2
= x n b) X²t n l´ thữỡng tỹ nhữ trữớng hủp a) ta cõ: f J (c
= (iii) g(x 3 ) − g(x 2 ) g(x 2 ) − g(x 1 ) câ x 1 = x 2 = = x n Tứ (i) suy ra A > 0 v (iii) suy ra A < 0(vổ lỵ) Lêp luên nhữ trản ta
X²t n chđn GiÊ sỷ x 1 = x 2, tữỡng tỹ nhữ trản ta cõ x 2 = x 3 = = x n iãu n y vổ lỵ do f,g khĂc tẵnh ỡn iằu v n l´ Nhữ vêy trong trữớng hủp n chn, náu hằ cõ nghiằm thẳ nghiằm khổng liãn nhau.
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt giÊ sỷ x 1 = x 3 Khi õ theo Cauchy tỗn tÔi c ∈ (a, b) sao cho: f J (c)[g(x 3 ) − g(x 1 )] = g J (c)[f (x 3 ) − f (x 1 )]
Tiáp tỹ l m nhữ vêy, ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Vẵ dử 1 (Olympic toĂn hồc Viằt Nam 2006) GiÊi hằ sau:
Líi gi£i: iãu kiằn x, y, z > 6 Ta viát lÔi hằ trản: log 3 (6 − y) =
Hai h m trản liản tửc trản (−∞, 6] v khÊ vi trản ( −∞, 6).
− g(x) = f (z) p dửng ành lỵ 2.1.2.3 trữớng hủp n l´ hằ cõ nghiằm thẳ x
= y = z Khi â thay v o (1), ta câ: log 3 (6 − x) = x x 2 − 2x + 6 ⇔ g(x) = f (x) (∗)
Vẳ g(x) l h m nghàch bián, f (x) l h m ỗng bián trản ( −∞, 6). Nản: x = 3 l nghiằm cừa (*) Do õ x = y = z = 3 l nghiằm duy nhĐt cừa hằ Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn.
Vêy hằ cõ nghiằm duy nhĐt x = y = z = 3.
Vẵ dử 2 GiÊi hằ sau:
Trữớng hủp 1:Náu x ∈ (1 + ∞) thẳ f ,g l cĂc h m ỗng bián.
Theo ành lỵ 2.1.2.3, náu hằ cõ nghiằm thẳ cĂc nghiằm bơng nhau, hay x = y = z = t
3 (lo¤i) Vêy hằ cõ nghiằm x = y = z = t = 2 + √
Trữớng hủp 2: Náu t ∈ (−∞, 1] thẳ f l h m nghàch bián, g l h m ỗng bián.
Theo ành lỵ 2.1.2.3 náu hằ cõ nghiằm thẳ x = z, y = t
LĐy (5) trứ (6) ta cõ: (x − y)(x + y − 2) = −2(x − y) ⇔ x = y Ho°c x = −y
Vêy hả cõ hai nghiằm l x = y = z = t = 2 ± √
Vẵ dử 3(Olympic toĂn hồc Viằt Nam 1994) GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau :3 x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x +
Vợi n = 3, theo ành lỵ 2.1.2.3 suy ra hằ cõ nghiằm thẳ cĂc nghiằm bơng nhau, tực x = y = z
Khi õ hằ tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnh: x 3 + 3x− 3 + ln(x 2 −x + 1) = x ⇔ x 3 + 2x− 3 + ln(x 2 −x + 1) =
>0. h(x) l h m ỗng bián nản (*) cõ nghiằm duy nhĐt.
ThĐy h(1) = 0 Nản x = 1 l nghiằm duy nh§t cõa (*).
B i têp tham khÊo B i têp 1 GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau : x 3 + x 2 + x = 2y + 1 y 3 + y 2 + y = 2z + 1 z 3 + z 2 + z = 2x + 1 ¡p sè x = y = z = ±1.
B i têp 2 (Thi hồc sinh giọi TPHN 2009-2010) GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau:
Phữỡng phĂp h m trong giÊi bĐt phữỡng trẳnh
Cì sð ph÷ìng ph¡p
) l m ởt h m ỗng bián trản (a, b) thẳ : f(x) ≥ f (y) ⇔ x ≥ y
Náu g(x) là hàm nghịch biến trên khoảng (a, b), thì có điều kiện g(x) ≤ g(y) ⇔ x ≤ y ∀x, y ∈ (a, b) Nếu f(x₀) = g(x₀), thì bất đẳng thức f(x) ≤ g(x) có nghĩa là x ≤ x₀ Nếu f(x) là hàm đồng biến và g(x) là hàm nghịch biến, thì bất đẳng thức f(x) < g(x) có nghĩa là x < x₀ Đối với hàm liên tục f(x) trên khoảng (a, b), nếu f(x) = 0 không có nghĩa là trên (a, b) thì f(x) giữ nguyên một dấu trong khoảng này.
• Lêp phuỡng trẳnh tữỡng ựng.
• X²t dĐu h m trản tứng khoÊng nghiằm.
Vẵ dử 1 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh :
Líi gi£i: iãu kiằn x ≥ 2 ho°c x ≤ 0
Vêy nghiằm bĐt phữỡng trẳnh l −1 Vẵ dử 2 GiÊi bĐt phữỡng24 trẳnh sau:
∀t Khi õ bĐt phữỡng trẳnh tữỡng ÷ìng: f (2x) ≥ f ( √ x 2 + 3x) ⇔ 2x ≥ √ x 2 + 3x x ≥ 0
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 0, x ≥ 1. Vẵ dử 3 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh:
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x ƒ= 1.
Vẵ dử 4 ( ã thi H khối A-2010) GiÊi bĐt phữỡng trẳnh: x − √ x
Nản bĐt phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng vợi: f (x) = 2(x 2 − x + 1) − (1 + √ x − x) < 0
Trữợc hát ta giÊi phữỡng trẳnh f (x) = 0
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x 3 − 5
Vẵ dử 5 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh: log 3 (x 2 + x + 1) − log 3 x ≥ 2x − x 2 (∗)
GiÊi phữỡng trẳnh tữỡng ựng:
Khi õ f (x) = 0 cõ nghiằm duy nhĐt x = 1.Vợi x > 1 thẳ f (x) >
Vêy f (x) > 0 cõ nghiằm vợi mồi x ≥ 1.
Vẵ dử 6 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh sau:
Bẳnh phữỡng hai vá v rút gồn:
Phữỡng trẳnh cõ nghiằm t = 2 hay x = 3 + √
Vêy bĐt phữỡng trẳnh cõ nghiằm x ≥ 3 + √
B i têp 1 GiÊi bĐt phữỡngtrẳnh: x 2 + x + 3 2 log 3
B i têp 2 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh: x 3 + (3x 2 − 4x − 4) √ x + 1 ≤ 0
B i têp 3 GiÊi bĐt phữỡng trẳnh:2
Ph÷ìng ph¡p h m trong chùng minh b§t ¯ng thùc
Cì sð ph÷ìng ph¡p
Trong viằc chựng minh bĐt ¯ng thực, mởt số bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh cõ thº sỷ dửng phữỡng phĂp h m theo cĂc bữợc sau ¥y:
• ữa chựng minh bĐt ¯ng thực vã chựng minh bĐt ¯ng thực h m vợi bián chÔy trản khoÊng n o õ.
Vẵ dử 1 Cho a, b, c thuởc (0, 1) Chựng minh rơng : a b c b + c + 1 + c + a + 1 + a + b + 1 + (1 − a)(1 − b)(1 − c)
Náu f J (x) ời dĐu (tứ - sang +) thẳ : max f (x) = Max f (0), f (1)
Vẳ a, b, c cõ vai trỏ nhữ nhau nản ta cõ iãu cƯn chựng minh.
Vẵ dử 2 Cho cĂc số dữỡng a, b, c thọa mÂn a 2 + b 2 + c 2 =
Nhữ vêy bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh s³ tữỡng ữỡng vợi :
LƯn lữủt thay x bði a, b, c v o (*)sau õ cổng cĂc vá vợi nhau ta cõ iãu c¦n chùng minh.
Vẵ dử 3 Cho tam giĂc ABC nhồn, chựng minh rơng : sin A + sin B + sin C + tan A + tan B + tan A > 2π
BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi:
(sin A + tan A − 2A) + (sin B + tan B − 2B) + (sin C + tan C − 2C)
Ta s³ chựng minh f (x) > 0 Thêt vƠy: 2 f J (x) = cos x + 1
2 cos 2 x nản 0 < cos x < 1 suy ra cos x > cos 2 x f J (x) > cos 2 x + 1
Suy ra f (x) > f (0) hay f (x) > 0 hay sin x + tan x > 2x
LƯn lữủt thay x bði A,B, C ta ữủc iãu cƯn chựng minh.
Vẵ dử 4 ( H khối A-2012) Cho x, y, z ∈ R thọa mÂn x + y + z = 0.Chùng minh:
Trữợc hát ta s³ chựng minh 3 t > t + 1
Suy ra f(t) l h m ỗng bián trản [0, +∞]
Khi õ f (t) > f (0) = 0 ⇐ (∗) ữủc chựng minh. p dửng (*) ta cõ: 3 |x−y| + 3 |y−z| + 3 |z−x| ≥ 3 + |x−y| + |y −z|
+ |z −x| Sỷ dửng bĐt ¯ng thực |a| + |b| ≥ |a + b| ta cõ :
Vẵ dử 5 Cho a, b > 0 sao cho a < b Chựng minh rơng :
X²t h m số f (x) = ln x vợi x > 0 Ta cõ : f J (x) = 1 x Theo ành lỵ Largange, tỗn tÔi c ∈ (a, b) sao cho: f J (c) = f ( b ) − f ( a ) b − a
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
Vẵ dử 6 Chựng minh bĐt ¯ng thực: x 3
B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng : x 3 x − sin x <
(0, +∞ ) Vợi mồi x ∈ (0, +∞) theo ành lỵ Cauchy tỗn tÔi t 0 ∈ (0, x) sao cho: f J (t 0
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
B i têp 1 Chựng minh bĐt ¯ng thực : arctanx π
Hữợng dăn: BĐt ¯ng thực viát th nh : arctan x − ln(1 + x 2 ) ≥ π 1
X²t h m số f (x) = arctan x−ln(1+x 2 ) º suy ra iãu cƯn chựng minh.
B i têp 2 Chựng minh bĐt ¯ng thực sau:
Hữợng dăn : °t t = | sin x| vợi t ∈ [0, 1]suy ra | cos x| = √
) Sỷ dửng ành lþ Lagrange º chùng minh b§t d¯ng thùc.
Cauchy º chùng minh b§t ¯ng thùc. g(t) =
GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh chùa tham sè
Cì sð ph÷ìng ph¡p
ành lỵ 2.2.4.1 GiÊ sỷ y = f (x) l h m liản tửc trản [a, b] Khi õ:
1) Phữỡng trẳnh f (x) = c cõ nghiằm thuởc [a,b] khi v ch¿ khi : min f (x) ≤ c ≤ max
2) BĐt phữỡng trẳnh f (x) ≥ c cõ nghiằm thuởc [a, b] khi v ch¿ khi: max f (x)c
3) BĐt phữỡng trẳnh f (x) < c cõ nghiằm thuởc [a, b] khi v ch¿ khi: min f (x) < c
4) BĐt phữỡng trẳnh f (x) > c nghiằm úng vợi mồi x thuởc [a, b] khi v ch¿ khi: min f (x) > c
5) BĐt phữỡng trẳnh f (x) ≤ c nghiằm úng vợi mồi c thuởc [a, b] khi v ch¿ khi: max f (x)c
Vẵ dử 1 Tẳm m º phữỡng trẳnh cõ nghiằm:
Ta thĐy f J (0) = 2 nản f J (x) > 0 ∀x lim x→−∞ f (x) = −1 lim x→+∞ f (x) = −1
Do õ phữỡng trẳnh cõ nghiằm khi v ch¿ khi −1 < m < 1.
Vẵ dử 2 Tẳm m º phữỡng trẳnh sau cõ 4 nghiằm:
ThĐy (2) cõ nhiãu nhĐt 2 nghiằm nản phữỡng trẳnh t = x 2 − 5x + 4 phÊi cõ 2 nghiằm phƠn biằt.Tực Khi õ (2) tữỡng ữỡng vợi : 4 t > −9 t ≥ 0 t = m
Vêy phữỡng trẳnh cõ 4 nghiằm náu m > 4 ho°c m < 43
Vẵ dử 3 GiÊi v biằn luên theo m số nghiằm cừa phữỡng trẳnh : x + m
Vợi mồi m thẳ phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 0.
Vợi m thuởc (0,1) phữỡng trẳnh cõ thảm nghiằm x
> 0 Vợi m thuởc (-1,0) phữỡng trẳnh cõ thảm nghiằm x < 0.
Vẵ dử 4 GiÊi v biằn luƠn phữỡng trẳnh:
2 x 2 +2mx+4 − 2 2x 2 +4mx+1 = 2x 2 + 4mx + 1 − (x 2 + 2mx + 4) °t u = 2x 2 + 4mx + 1 v = x 2 + 2mx + 4 indent Khi â 2 v − 2 u = u − v ⇔ 2 u + u = 2 v + v ⇔ u = v
Ta suy ra 2x 2 + 4mx + 1 = x 2 + 2mx + 4 ⇔ x 2 + 2mx − 3 = 0
Vêy vợi mồi m phữỡng trẳnh luổn cõ nghiằm x = −m ± √ m 2 + 3
Vẵ dử 5 Tẳm m º bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm thuởc [0, 1 +
Tứ bÊng bián thiản suy ra 1 ≤ t ≤ 2
Khi õ bĐt phữỡng trẳnh (1) trð th nh : m(t+1) ≤ t 2
Vẵ dử 6 Tẳm cĂc giĂ trà cừa m º bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm: mx − √ x − 3 ≤ m + 1 (1)
BĐt phữỡng trẳnh (1) trð th nh: m(t 2 + 3) t m + 1 m t + 1 t 2 + 2
BĐt phữỡng trẳnh (1) cõ nghiằm khi v ch¿ khi bĐt phữỡng trẳnh
(2) cõ nghiằm t thuởc [0,+∞] Tực l : m ≤ max f (t) = f (1 + √
Vẵ dử 7 Tẳm k º hằ bĐt phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm :
Vẳ x > 1 ⇐ 1 < x ≤ 2 BĐt phữỡng trẳnh (1) ⇔ (x − 1) 3 − 3x < k °t f (x) = (x − 1) 3 − 3x câ f J (x) = 3(x − 1) 2 − 3 = 3x(x − 2)
Vợi 1 < x ≤ 2 ⇐ f J (x) ≤ 0 Suy ra h m f(x) nghàch bián trản (1,2].
Khi â min (1,2] f (x) = f (2) = −5. º hằ cõ nghiằm thẳ k > −5
B i têp tham khÊo b i têp 1 Tẳm m º phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm: x √ x + √ x + 12 = m( √
B i têp 2 (Khối A -2007) Tẳm m º phữỡng trẳnh sau cõ nghiằm thùc:
B i têp 3 Tẳm m bĐt phữỡng trẳnh nghiằm úng vợi mồi x thuởc R: m4 x + (m − 1)2 x+2 + m − 1 > 0 ¡p sè m > 1.
Sau thời gian học tập tại Khoa Toán - Cơ - Tin học, tôi đã có cơ hội học hỏi từ các thầy cô giảng dạy tận tâm, đặc biệt là PGS.TS Những kiến thức quý báu và sự hướng dẫn chuyên sâu đã giúp tôi phát triển kỹ năng và hiểu biết trong lĩnh vực khoa học tự nhiên tại HQG Hà Nội.
Nguyạn ẳnh Sang, em  ho n th nh luên vôn vợi ã t i "Phữỡng phĂp h m v ựng dửng" Luên vôn  Ôt ữủc mởt số kát qu£:
Luận văn  khai thác được sự hiểu biết và giải quyết các bài toán trong chương trình toán học phổ thông, nhằm phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh.
Luên vôn  hằ thống hõa v phƠn loÔi ữủc cĂc dÔng toĂn cỡ bÊn vợi nhiãu vẵ dử minh hồa Ăp dửng phữỡng phĂp giÊi phong phú k±m theo cĂc b i têp tham khÊo ữủc trẵch tứ cĂc kẳ thi giọi toĂn quốc gia, thi olympic toĂn quốc tá, thi Ôi hồc Bên cạnh đó, luên vôn cõ thº l m t i liằu tham khÊo cho hồc sinh cĂc lợp chuyản toĂn phờ thổng v sinh viản nôm nhĐt cĂc trữớng khoa hồc cỡ bÊn.
3 Luên vôn  thº hiằn ữủc hữợng nghiản cựu, sĂng tÔo mởt số phữỡng phĂp ựng dửng cừa phữỡng phĂp h m.
4 Hiằn nay phữỡng phĂp h m cỏn cõ nhiãu ựng dửng khĂc nỳa cƯn ữủc nghiản cựu.
[1.] Tổ Vôn Ban, GiÊi tẵch nhỳng b i têp nƠng cao, NXB GiĂo Dửc,
2005 [2.] TrƯn ực Long, Nguyạn ẳnh Sang, Ho ng Quốc To n, GiĂo trẳnh giÊi tẵch, B i têp giÊi tẵch I, II, NXB HQG H Nởi, 2007.
[3.] Nguyạn Vôn Mêu, Mởt số chuyản ã giÊi tẵch bỗi dữùng hồc sinh giọi trung hồc phờ thổng, NXB GiĂo Dửc, 2010.
[4.] Nguyạn Vôn Mêu, DÂy số v Ăp dửng, a thực v Ăp dửng, NXB GiĂo Dửc, 2004.
[5.] o n Quýnh, TrƯn Nam Dụng, Nguyạn Vụ Lữỡng, °ng Hũng Th- ng, T i liằu chuyản ã toĂn Ôi số v giÊi tẵch 11, NXB GiĂo Dửc, 2010.
[6.] TÔp chẵ toĂn hồc tuời tr´, CĂc b i thi olympic toĂn trung hồc phờ thổng Viằt Nam, NXB GiĂo Dửc, 2007.
[7] Phũng ực Th nh, Luên vôn : Ùng dửng Ôo h m º giÊi cĂc b i toĂn phờ thổng, 2011.
[8.] W.J.Kackor , M.T.Nowark, Problem in mathematical analysis I, Real number, Sequences and Series, AMS, 2000.
[11] W.J.Kackor, M.T.Nowak, Problem in mathematical analysis II, Real number, Con-tinuity and differentiation, AMS, 2001.