Luận văn thạc sĩ phương pháp cực trị và ứng dụng

Đ%nh nghĩa giá tr% lón nhat (GTLN), giá tr% nho nhat (GTNN)5

Giỏ tr% lún nhat, giỏ tr% nho nhat cna mđt tắp hop

• Cho U là mđt tắp con cna tắp so thnc R So β đưoc GQI là cắn dưúi đỳng cna U , ký hiắu β = inf U , neu đong thũi thoa món hai đieu kiắn sau: β ≤ x, ∀x ∈ U

Neu β ∈ U thỡ β là so nho nhat cna U , ký hiắu β = min U Vắy: β = min U β ≤ x, ∀x ∈ U β ∈ U

Sup và inf cna mđt tắp bao giũ cũng ton tai nhưng cú the là ±∞.

Chú ý: Cho hàm f (x) xác đ%nh trên [a, b] (hay tőng quát hơn là f xác đ%nh trờn tắp D) GQI U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y} Khi đú: max U = max f (x) max f (x)Σ , min U = min f (x) min f (x)Σ.

Cỏc đieu kiắn đn

• Hàm so f liên tuc trên [a, b] ⊂ R thì đat GTLN, GTNN trên đoan đó

•Hàm so f liờn tuc và đơn điắu trờn [a, b] ⊂ R thỡ: max f = max f (a) , f (b) ,

Điểm dựng là các điểm thuộc tập xác định của hàm f(x) tại đó đạo hàm của hàm này bằng 0 hoặc không tồn tại Những điểm này được gọi là điểm dựng (hay điểm túi hạn) của hàm đã cho.

Gia su f (x) là hàm so liên tuc trên [a, b] ⊂ R và chi có m®t so huu han điem tói han x 1 , x 2 , , x n thì:

Đ%nh lý cơ ban

Đ%nh lí 1.1 Gia su y = f (x) là hàm liên tnc trên [a, b] ⊂ R Khi đó:

1 Phương trỡnh f (x) = c cú nghiắm thuđc [a, b] khi và chs khi: min f (x) ≤ c ≤ max f (x).

2 Bat phương trỡnh f (x) ≥ c cú nghiắm thuđc [a, b] khi và chs khi: max f (x) c.

3 Bat phương trỡnh f (x) < c cú nghiắm thuđc [a, b] khi và chs khi: min f (x) < c.

4 Bat phương trỡnh f (x) > c nghiắm đỳng ∀x ∈ [a, b] khi và chs khi: min f (x) > c.

5 Bat phương trỡnh f (x) ≤ c nghiắm đỳng ∀x ∈ [a, b] khi và chs khi: min f (x) c.

1.Đieu kiắn can: Đắt h (x) = f (x) − c Theo đ%nh nghĩa, ∃x 1 ∈ [a, b], f (x 1) = min f và ∃x 2 ∈ [a, b] , f (x 2) = min f Khi đó h (x 1) < 0, h (x 2) >

Vỡ h là hàm liờn tuc nờn ton tai nghiắm h (x) = 0 trờn [a, b]. Đieu kiắn đu: Ngưoc lai, neu ∃x 0 ∈ [a, b] mà c = f (x 0) thỡ min f ≤ f (x 0)

≤ max f Do đó min f ≤ c ≤ max f

2 Đieu kiắn can: Vỡ f (x) ≥ c cú nghiắm ∈ [a; b] nờn ∃x 0 ∈ [a; b] sao cho f (x 0) ≥ c Ta luôn có max f (x) ≥ f (x) , ∀x ∈ [a; b], suy ra max f (x)

[a,b] [a,b] Đieu kiắn đu: Ngưoc lai, theo đ%nh nghĩa ∃x 1 ∈ [a; b] sao cho f (x 1) max f (x) Vỡ max f (x) ≥ c nờn f (x 1) ≥ c Vắy phương trỡnh f (x) ≥ c cú nghiắm thuđc [a; b].

Điều kiện cần: Nếu f(x) < c với c ∈ [a; b], thì tồn tại x₀ ∈ [a; b] sao cho f(x₀) < c Do đó, min f(x) ≤ f(x) với mọi x ∈ [a; b], dẫn đến min f(x) ≤ f(x₀) < c Điều kiện đủ: Ngược lại, theo định nghĩa, tồn tại x₁ ∈ [a; b] sao cho f(x₁) = min f(x) Vì min f(x) < c nên f(x₁) < c Như vậy, bất phương trình f(x) < c được thỏa mãn.

4 Đieu kiắn can: Theo đ%nh nghĩa x 1 [a; b] sao cho f (x 1) = min f (x).

Vì gia thiet f (x) > c, x [a; b] nên f (x 1) > c Suy ra min f (x) > c.

[a,b] Đieu kiắn đu: Ngưoc lai, min f (x) > c và f (x) ≥ min f (x) , ∀x ∈ [a; b], nên f (x) > c, ∀x ∈ [a; b].

5 Đieu kiắn can: Theo đ%nh nghĩax 1

Vì gia thiet f (x) c, x [a; b] nên f (x 1) c Suy ra max f (x) c.

[a,b] Đieu kiắn đu: Ngưoc lai, max f (x) ≤ c và f (x) ≤ max f (x) , ∀x ∈ [a; b] nên f (x) ≤ c, ∀x ∈ [a; b].

Các đ%nh lý trên đây đã cho ta thay tam quan TRQNG cna cnc tr%, tiep ta se tắp trung vào cỏc nđi dung chi tiet sau:

Các phương pháp tìm giá trị CNC tr% bao gồm: phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số, phương pháp miễn giá tr%, phương pháp bắt đẳng thức, phương pháp lượng giác hóa, phương pháp hình học, và phương pháp vectơ Những phương pháp này giúp xác định và tối ưu hóa giá trị tr% một cách hiệu quả.

Ứng dụng của các phương pháp tìm kiếm trong việc giải phương trình và bất phương trình là rất quan trọng Những ứng dụng này không chỉ giúp giải quyết các phương trình và bất phương trình đơn giản mà còn có thể xử lý các phương trình chứa tham số Hơn nữa, việc ứng dụng các phương pháp này còn giúp chứng minh tính đúng đắn của các bất đẳng thức.

PHƯƠNG PHÁP TÌM CUC TR±

Các bài toán tìm cực trị rất đa dạng và phức tạp, mỗi bài toán có thể áp dụng các phương pháp khác nhau để giải quyết Một số bài toán còn yêu cầu phối hợp nhiều phương pháp khác nhau Chương này sẽ trình bày một số phương pháp tìm cực trị để giải các bài toán liên quan.

Phương pháp đao hàm - khao sát hàm so

Phương pháp

Xác định tấp xác định của hàm số là một bước quan trọng trong việc khảo sát sự biến thiên của hàm số và tìm giá trị lớn nhất (GTLN) cũng như giá trị nhỏ nhất (GTNN) Để thực hiện điều này, cần đặt hàm số vào bảng biến thiên, từ đó phân tích các giá trị đặc biệt trên tấp xác định để rút ra kết luận chính xác.

Bài toán 2.1 Cho hàm so y = f (x) có tâp xác đ%nh D Tìm GTLN và GTNN cua hàm so.

Tớnh y J Tỡm cỏc nghiắm x 1 , x 2 , , x n ∈ D tai đú y J = 0 hoắc y J khụng xác đ%nh.

Cỏch 1 : Lắp bang, xỏc đ%nh chieu bien thiờn Dna vào bang bien thiờn tìm GTLN, GTNN.

Cách 2 : Neu D = [a; b] Tính f (a) , f (x 1) , f (x 2) , , f (x n ) , f (b) đưoc: max f (x) = max f (a) , f (x 1) , f (x 2) , , f (x n ) , f (b) , x∈[a,b] min f (x) = min f (a) , f (x 1) , f (x 2) , , f (x n ) , f (b) x∈[a,b]

Ví du

Ví dn 2.1.1 Tìm GTLN, GTNN cua hàm so y = cos 2n x + sin 2n x, n ∈ N ∗

Hàm y là hàm tuan hoàn vúi chu kỡ π nờn ta chi can xột trờn [0; π] Đắt t = cos 2 x, 0 ≤ t ≤ 1, ta có: y (t) = t n + (1 − t) n , t ∈ [0; 1] Suy ra y J = n Σ t n−1 − (1 − t) n−1 Σ Cho y J = 0 ⇔ t = 1

Vớ dn 2.1.2 (HV Quan hắ Quoc te 1999) Cho cỏc so x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1 Tìm GTLN và GTNN cua bieu thúc:

+ y x +1 Đắt y = 1 − x Khi đú P cú dang:

Ví dn 2.1.3 Tìm GTLN, GTNN cua S, biet:

Cách giải bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số có thể áp dụng phương pháp đơn giản và an toàn Để thực hiện, ta cần biến đổi bài toán về dạng phù hợp để dễ dàng tìm ra các giá trị cần thiết.

Ví dn 2.1.4 Tìm GTLN, GTNN cua hàm so y = |x 3 + 3x 2 − 72x + 90| trên

Ta có f J (x) = 3 (x 2 + 2x − 24) Cho f J (x) = 0 ⇔ x 1 = 4, x 2 = 6(loai) Tính f (−5) = 400, f (4) = −86, f (5) = −70.

Phương trỡnh f (x) = 0 cú nghiắm x 0nào đú Ta lắp bang bien thiờn:

Vắy max y = max |f (x) | = 400; min y = min |f (x) | = 0.

Ví dn 2.1.5 Tìm GTLN, GTNN cua hàm so y Cách giai sin 5 x

Hàm y là hàm tuan hoàn chu kì 2π nên ta chi can xét trên [0; 2π].

Trưóc het ta xét hàm phu u

5 − t > 0, ∀t ∈ [−1; 1] Hàm đong bien trên [−1; 1] nên: max u = u (1) = √

Tương tn vói hàm v min v = v (−1) −√

√5 cos x ta se có max v = v (1) = √

Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên −1 ≤ sin 3 x ≤ 1 Suy ra − sin 2 x ≤ sin 5 x ≤ sin 2 x Do đó: sin 2 x

Nhắn xột ve phương phỏp

Phương pháp đao hàm là một kỹ thuật quan trọng được giảng dạy và áp dụng trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 Phương pháp này rất hiệu quả trong việc giải quyết hầu hết các dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trong toán học.

− sơ cap Nhieu bài toàn ta can cú nhung bưúc biet đői như đắt an phu, bien đői tương đương, roi sau đó mói áp dung phương pháp này.

Bài tắp ỏp dung

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN cna hàm so y = 2 cos 2x 4 cos x

Bài 2: C ho các so thnc x, y thoa mãn: x 2 − xy + 3 = 0

Tìm GTLN, GTNN cna hàm so y = 3x 2 y − xy 2 − 2x (x 2 − 1). Đáp so : min P = −4,max P = 4.

Bài 3: Cho các so thnc x, y thoa mãn x 2 − xy + y 2 = 1 Tìm GTLN,

Bài 4: Cho các so thnc dương 15 x, y thoa mãn x 2 + y 2 = 1 Tìm GTNN cna bieu thúc: x 2 + xy + 2y 2

Bà i 5 : (H Q c sinh giói Quoc gia, 1998) Cho x, y thoa mãn 2x − y = 2 Tìm GTNN cna bieu thúc:

Bà i 6: (Đe thi Đai HQ c 1012 - D) Cho các so thnc x, y thoa mãn:

Tìm GTNN cna bieu thú√ c A = x 3 + y 3 + 3 (x√y − 1) (x + y − 2). Đáp so: min A = 17 − 5

Phương pháp mien giá tr%

Phương pháp

Gia su f (x) là hàm liên tuc trên [a, b] Khi đó phương trình f (x) = y 0có nghiắm trờn [a, b] khi và chi khi min f ≤ y 0 ≤ max f

Núi mđt cỏch khỏc: Cho y = f (x) liờn tuc và xỏc đ%nh trờn [a, b] và cú tắp giá tr% là [c, d] Khi đó min f = c và max f = d.

Phương trình f (x) = y 0xác đ%nh trên R se có các trưòng hop sau:

2.c ≤ y 0 thì min f = c, max f = +∞ (không xác đ%nh).

Hai dang phương trình thưòng đưoc bien đői áp dung o phương pháp này:

1 Phương trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a ƒ= 0) cú nghiắm khi và chi khi ∆ ≥ 0.

2 Phương trỡnh a sin x + b cos x = c cú nghiắm khi và chi khi a 2 + b 2 ≥ c 2

Ví du

Ví dn 2.2.1 Tìm a đe GTLN cua hàm y Cách giai x 2 − 2ax −

Tắp xỏc đ%nh D = R Xỏc đ%nh y 0đe phương trỡnh y 0 nghiắm, ta bien phương trỡnh ve dang:

(1 − y 0) x 2 − 2ax − (1 + y 0) = 0. Đe phương trỡnh trờn cú nghiắm thỡ ∆ J ≥ 0, suy ra: a 2 + (1 − y 2 ) ≥ 0 ⇔ −√ a 2 + 1 ≤ y 0 ≤ √ a 2 + 1. x 2 + 1 có

GTLN cna y là √ a 2 + 1 ≥ 1 Dau bang xay ra khi và chi khi a = 0 Ket luắn:

Vắy a = 0 thỡ GTLN cna hàm so y đat giỏ tr% nho nhat.

Ví dn 2.2.2 Tìm GTLN, GTNN cua hàm so y Cách giai

Tắp xỏc đ%nh D = R Xỏc đ%nh y 0đe phương trỡnh sau cú nghiắm:

Ta bien đői ve phương trỡnh bắc hai cna x:

Neu y 0 = 3 thỡ x = 1 Neu y 0 ƒ= 3, phương trỡnh cú nghiắm khi ∆ ≥ 0 nờn:

•Khi y 0 = −1, phương trình có dang

Vắy max y = tai x = 2, min y = −1 tai x = 0.

Ví dn 2.2.3 Tìm a, b đe hàm so y 2 có max y = 4, min y = −1.

Xột phương trỡnh = y 0cú tắp xỏc đ%nh R, bien đői phương trỡnh ve x 2 + 1 dang y 0 x 2 − ax + y 0 − b = 0 Phương trỡnh cú nghiắm khi và chi khi:

Ví dn 2.2.4 Tìm GTLN, GTNN cua hàm so y Cách giai cos 2x + 2 sin 2x + 3

Bien đői phương trình y 0 = cos 2x + 2 sin 2x + 3 ve dang:

(1 − 2y 0) cos 2x + (2 + y 0) sin 2x = 4y 0 − 3. Đe phương trỡnh trờn cú nghiắm thỡ:

Suy ra 11 ≤ y 0 ≤ 2 Dau bang xay ra:

Vớ dn 2.2.5 Trong cỏc cắp so (x; y) thúa món phương trỡnh:

Ta có y = P − 3x the vào bat phương trình đã cho ta đưoc:

Vỡ hắ so a = 50 > 0 đe bat phương trỡnh cú nghiắm thỡ ∆j ≥ 0 nờn:

Ví dn 2.2.6 Cho (xy + yz + zx) = 1 Tìm GTNN cua M = x 2 + 2y 2 + 5z 2

•Khi z = 0, khi đó xy = 1 và M = x + 2y “ 2√

Thnc hiắn giam bien, ta đưoc: z 2 (αβ + β + α) = 1

Suy ra có phương trình:

Phương trỡnh trờn cú nghiắm khi:

2 nên M 2 − 8 < 0 Ta chi can xét ∆ J “ 0 Ta có:

Tù hai trưòng hop, ta có GTNN cna M = 2 Dau bang xay ra khi:

The lai v% trớ đắt, ta có:

Phương pháp này giúp xác định các ràng buộc cần thiết để tối ưu hóa giá trị Việc so sánh bài toán cần biến đổi thành phương trình có điều kiện đặc biệt sẽ hỗ trợ tìm kiếm các giải pháp hiệu quả.

Bài 1: (ĐH Sư pham TP HCM 2000) Tìm GTLN, GTNN cna hàm so:

3x 2 + 10x + 20 y Đáp so: max y = 7 và min y =5.

Bài 2: (ĐH Sư pham Quy Nhơn 1999) Tìm GTLN, GTNN cna hàm so: sin x y = 2 + cos x vói x ∈ [0; π].

√3 Đáp so: max y 3 và min y = 0.

Bài 3: Biet x 2 + y 2 + xy = 1, tìm GTLN, GTNN cna bieu thúc sau:

√11 Vắy giỏ tr% nho nhat cna M = 2 tai (x; y; z)

Phương pháp bat đang thúc

Phương pháp

a Bat đang thÉc giEa các giá tr% trung bình c®ng và nhân - AG

Dau bang xay ra khi và chi khi a 1 = a 2 = = a n

Bat đang thúc AG cho hai, ba so không âm:

Dau bang xay ra khi và chi khi a = b.

3 abc. Dau bang xay ra khi và chi khi a = b = c.

M®t so dang khác cna bat đang thúc trên:

Cho hai b® so (a 1; a 2; ; a n ) và (b 1; b 2; ; b n ), ta có:

Dau bang xay ra khi và chi khi b 1 = a 2 b 2 a n

Bat đang thỳc Cauchy cho 2 cắp so, 3 cắp so:

Dau bang xay ra khi và chi khi bx = ay.

Dau bang xay ra khi và chi khi bx = ay và cx = az. c Bat đang thẫc chẫa dau giỏ tr% tuyắt đoi

Cho các so a, b, c tùy ý, ta có:

Dau bang xay ra khi và chi khi ab ≥ 0.

Dau bang xay ra khi và chi khi (a − c) (c − b). d Bat đang thÉc tích phân

•Cho hàm so f (x) liên tuc và ngh%ch bien trên [0; b] và a ∈ [0; b] Ta có: a b b f (x)dx a

•Cho hàm so f (x) liên tuc và đong bien trên [0; b] và a ∈ [0; b] Ta có:

Cho hàm so f (x) liên tuc và ngh%ch bien trên [0; b] và a ∈ [0; b] Ta có: a b b f (x)dx a

Do f (x) ngh%ch bien trên [0; a] và [a; b] nên:

Chúng minh tương tn vói trưòng hop đong bien.

Ví du

Ví du áp dung bat đang thúc AG.

Ví dn 2.3.1 Tìm GTNN cua hàm so y = 5 5x−1 + 5 3−5x

Cách giai Áp dung bat đang thúc AG cho hai so không âm 5 5x−1 và 5 3−5x đưoc:

Ví dn 2.3.2 Cho ba so a, b, c thóa mãn a ≥ 9, b ≥ 4, c ≥ 1 Tìm GTLN cua bieu thúc:

Ta bien đői bieu thúc P :

. Áp dung bat đang thúc AG dang √ xy x + y

Suy ra P ≤ + + 2 6 4 Dau bang xay ra khi và chi khi:

Ví dn 2.3.3 Cho a, b, c ∈ N ∗ và a + b + c = 100 Tìm GTLN cua M = abc.

Không mat tőng quát gia su a > b > c thì a = a, a “ b, a “ c, suy ra:

Do đó a “ 34 Ta đưoc b® so gan đeu (a, b, c) = (34, 33, 33). Áp dung bat đang thúc AG cho ba so, ta đưoc:

Ví dn 2.3.4 Cho x > 5 Tìm GTNN cua hàm so y = 9x

16 y = 9 (x − 5) + x − 5 + 45. Áp dung bat đang thúc AG cho hai so, ta có: y 2 9 (x 5) 16

Suy ra y ≥ 69 Dau bang xay ra khi và chi khi:

Ví dn 2.3.5 (Đe thi Đai HQ c 2007 - A) Cho x, y, z là các so thnc dương thay đői thúa món đieu kiắn xyz = 1 Tỡm GTNN cua bieu thỳc: x 2 (y + z) y 2 (z + x) z 2 (x + y)

P Cách giai y√ y + 2z√ z + z√ z + 2x√ x + x√ x + 2y√ y Áp dung bat đang thúc AG ta có:

2 2 √ x (y + z) ≥ x 2 yz = x √ x = 2x x. Tương tn ta có y 2 (x + z) ≥ 2y√ y và z 2 (x + y) ≥ 2z√ z Suy ra:

P ≥ y√ y + 2z√ z + z√ z + 2x√ x + x√ x + 2y√ y Đắt a = x√ x + 2y√ y, b = y√ y + 2z√ z, c = z√ z + 2x√ x, thnc hiắn bien đői ta đưoc: x√ x = 4c + a − 2b

9 b c a b c a Áp dung bat đang thúc AG ta có P ≥ 2 khi và chi khi: 9 (4.3 + 3 − 6) = 2 Dau bang xay ra c a b a b c

Suy ra a = b = c Khi đó ta có: x√ x = y√ y = z√ z = a

Tiep theo là m®t so ví du su dung phương pháp Cauchy.

Ví dn 2.3.6 Cho ba so dương a, b, c thóa mãn 3x+4y +25z = 39 Tìm GTNN cua bieu thúc M Cách giai

+ + x y z Áp dung bat đang thỳc Cauchy cho 3 cắp so ta cú:

Suy ra M ≥ 39 Dau bang xay ra khi và chi khi:

Ví dn 2.3.7 Cho x, y thóa mãn 9x 2 + 16y 2 = 25 Tìm GTLN cua bieu thúc

Cách giai Áp dung bat đang thúc Cauchy cho các so 1, 1, 3x, 4y ta có:

12 Suy ra P ≤ Dau bang xay ra khi và chi khi:

Mđt so vớ du ỏp dung phương phỏp giỏ tr% tuyắt đoi.

Ví dn 2.3.8 : (Đai HQ c D - 2008) Cho x, y là hai so thnc không âm thay đői Tìm GTLN, GTNN cua bieu thúc:

Vì x, y không âm nên ta có:

| [(x + y) + (1 + xy)] 2 Áp dung bat đang thúc AG ta có:

4 suy ra Ket luắn: x + y = 1 + xy

Ví dn 2.3.9 Tìm GTLN cua hàm so: f (x) = x + 5 − 4√ x + 1 − x + 17 − 8√ x + 1.

Tắp xỏc đ%nh D = [ − 1; +∞) Ta bien đői: f (x) = √ x + 1 − 2Σ 2 − √ x + 1 − 4Σ 2 = |√ x + 1 − 2| − |√ x + 1 − 4|. Áp dung bat đang thúc |a − b| ≥ |a| − |b| ta đưoc: f (x) ≤ |√ x + 1 − 2 − √ x + 1 + 4| = 2.

Dau bang xay ra khi và chi khi:

Ví dn 2.3.10 Tìm GTNN cua bieu thúc:

Cách giai Áp dung bat đang thúc Cauchy ta có:

√10 + 10x 2 = √(3 2 + 1 2 ) (1 2 + x 2 ) ≥ |3 + x|. Áp dung tiep bat đang thúc |a| + |b| ≥ |a + b|:

A ≥ |3 + x| + |3 − x| ≥ |3 + x + 3 − x| = 6. Suy ra A ≥ 6 Dau bang xay ra khi và chi khi:

3 M®t so ví du áp dung phương pháp tích phân.

Ví dn 2.3.11 Tìm GTLN cua f (x) = 2 cos 3 x+3 cos 2 x+18 cos x−23√ cos x.

Cách giai Đắt t = √ cos x, t ∈ [0; 1] Bài toán đưa ve tìm GTLN cna hàm: g (t) = 2t 6 + 3t 4 + 18t 2 − 23t, t ∈ [0; 1].

Ta có hàm h (u) = u 5 + u 3 + 3u là hàm liên tuc và đong bien trên [0; 1] Do đó theo công thúc ta có: hay t

+ 3u) du t 6 t 4 3t 2 1 1 3 Σ Suy ra 2t 6 + 3t 4 + 18t 2 − 23t ≤ 0 The lai v% trớ đắt ta đưoc:

Ví dn 2.3.12 Tìm GTNN cua hàm so: f (x) = 2 (x + 1) ln (x + 1) − x 2 + x (2 − 3 ln 3) , x ∈ [0; 2]

Hàm g (t) = ln (1 + t) + 1 − t ngh%ch bien trên [0; 2] Áp dung công thúc:

+ C. Suy ra bat đang thúc:

Các bất đẳng thức đã được giảng dạy trong sách giáo khoa phổ thông, tuy nhiên, yêu cầu học sinh vận dụng chúng để chứng minh các bất đẳng thức vẫn chưa được chú trọng Chúng ta có thể sử dụng hai bất đẳng thức này để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, từ đó đòi hỏi kỹ năng tách, ghép biểu thức để vận dụng hai bất đẳng thức thành thạo hơn Không chỉ vậy, với các bài toán có chứa

Khi giải bài toán liên quan đến các số không âm, chúng ta cần nhớ đến định lý Cauchy Điều quan trọng là phải kiểm tra xem có xảy ra hiện tượng phân kỳ trong bảng tính hay không.

Bài 1: Cho hai so dương a, b: a 2 + b 2 = 1 Tìm GTNN cna bieu thúc:

Bài 2: Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 12 Tìm GTNN cna bieu thúc:

P = (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) abc Đáp so : min P = 8, tai a = b = c = 1.

Bài 4: Cho a, b > 0 Tìm GTNN cna bieu thúc P = a + Đáp so : min P = 3 tai a = 2, b = 1. b (a − b).

Bài 5: Cho ba so a, b, c thoa mãn a 2 + 3b 2 + 9c 2 = 1 Tìm GTLN cna bieu thúc P = √

Bài 7: Tìm GTNN cna bieu thúc:

Bài 8: Tìm GTLN cna hàm so: f (x) = sin 3 x + 3 sin x − 4√ sin x, 2kπ ≤ x ≤ (2k + 1) π, k ∈ Z.

Hưỏng dan: Đắt t = √ sin x Sau đú đắt h (u) = u 5 + u. Đỏp so: max f (x) = 0 tai x = kπ hoắc x π

Bài 9: Tìm GTNN cna hàm so:

Hưỏng dan: Đắt g (t) = 2 t + t. Đáp so: min f (x) = −2, tai x = 0 và x = 2.

Phương pháp lưong giác hóa

Phương pháp

Trong nhiều bài toán, việc chuyển đổi dạng đại số về dạng lượng giác có thể giúp giải toán thuận lợi hơn Dưới đây là một số cách thức hiệu quả để thực hiện điều này.

•√ x 2 + 1 hoắc khụng ràng buđc Đắt x = tan α , vúi α ∈ −π

•√ x 2 + m 2 hoắc khụng ràng buđc Đắt x = m tan α, vúi α ∈ −π

Ví du

Vỡ |c| ≤ 1, |d| ≤ 1, đắt |c| = cos α, |d| = cos β, vúi 0 ≤ α, π β ≤

Suy ra |a| + |b| = sin (α + β) ≤ 1 Dau bang xay ra khi và chi khi:

Ví dn 2.4.2 Cho so thnc x, y thóa mãn x 2 + y 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN cua

Cách giai Đắt x = sin α, y = cos α vúi α ∈ [0; 2π] Khi đú P = sin 6 x + cos 6 x Bien đői hang đang thúc ta đưoc:

Suy ra ≤ P ≤ 1 Dau bang xay ra khi:

Vớ dn 2.4.3 Cho cắp so thnc x, y Tỡm GTLN, GTNN cua bieu thỳc:

Cách giai π Đắt x = tan a, y = tan b vúi −

P = (1 + tan 2 a) 2 (1 + tan 2 b) 2 Bien đői tan theo sin và cos ta đưoc:

P = sin 2 a cos 2 b − sin 2 b cos 2 a Σ cos 2 a cos 2 b − sin 2 b sin 2 a Σ.

Dau bang xay ra khi:

Phương pháp này thường được áp dụng cho các bài toán có chứa căn và biểu thức trong căn có điều kiện Nếu không đạt bằng lượng giác, thì cách giải sẽ rất phức tạp Tuy nhiên, khi đạt căn, cần chú ý đến điều kiện cần biến đổi sau khi đạt.

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN cna hàm so y = √

1 + x. Đáp so : max y = 2, tai x = 0 min y = √

Bài 2: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm GTNN cna bieu thúc:

Bài 3: Cho x, y là các so thnc không đong thòi bang 2 0 Tìm GTLN, GTNN cna bieu thúc: x 2 (x 4y) 2

Bài 4: Cho cỏc so x, y, z, t liờn hắ theo bieu thỳc: x 2 + y 2 = 9 z 2 + t 2 = 16

Tìm GTLN cna (x + z). Đáp so : Giá tr% lón nhat là 7.

Bài 5: Cho cỏc so x, y, z thoa món đieu kiắn:

Tìm GTNN cna bieu thúc:

Phương pháp hình HQ c

Phương pháp

Phương pháp này sử dụng các tính chất trong hình học để giải quyết các bài toán liên quan đến tỷ lệ Tuy nhiên, do sự đa dạng của các tính chất trong hình học, không có phương pháp cụ thể hay dạng bài tập tổng quát nào Các tính chất thường được áp dụng bao gồm tính chất của tam giác, hình thang, hình tròn, và khoảng cách giữa hai điểm Chẳng hạn, khi cho điều kiện là hàm bậc nhất, ta có thể nghĩ đến tính chất của hình thang; còn với điều kiện (x − a)² + (y − b)², ta sẽ xem xét tính chất của hình tròn hoặc khoảng cách giữa hai điểm.

Ví du

Ví dn 2.5.1 (Đai HQ c B - 2006) Cho x, y là các so thnc thay đői Tìm GTNN cua bieu thúc:

Trong hắ TRQA đđ Oxy, lay điem M (x − 1; −y) , N (x + 1; y) Vúi ba điem bat kì, ta có OM + ON ≥ MN nên:

3, dau bang đat đưoc khi và chi khi O, M, N thang hàng

1 và O nam giua M và N Ta có y = √

Ví dn 2.5.2 Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 Tìm GTLN, GTNN cua bieu thúc:

•Neu a = b = c = 0 thì P = 0, suy ra GTNN cna P bang 0.

• Neu a, b, c không đong thòi bang 0 Ta dnng OABC đeu canh 2 Trên canh AB, BC, CA lan lưot lay các điem M, N, P sao cho AM = a, BN = b,

CP = c Ta có hình sau:

Ta có S ∆AMP + S ∆BMN + S ∆CNP ≤ S ∆ABC

Thay các giá tr% đã biet ta đưoc:

Suy ra: 2a + 2b + 2c − ab − bc − ca ≤ 4.

Dau bang xay ra khi hai trong ba điem M, N, P trùng nhau, điem còn lai tùy ý Không mat tőng quát ta cho a = 2, b = 0, c ∈ [0; 2].

Ket luắn: max P = 4, tai a = 2, b = 0, c ∈ [0; 2]; min P = 0 tai a = b = c = 0.

Vớ dn 2.5.3 Cho hắ bat phương trỡnh: x + y ≥ 1 x 2 + y 2 ≤ 1

Đường thẳng x + y = 1 và đường tròn x² + y² = 1 giao nhau tại hai điểm (1; 0) và (0; 1) Khi đó, miền nghiệm của hệ phương trình này là miền được giới hạn bởi đường thẳng và đường tròn.

Ta bien đői bieu thúc:

Xét trên mien xác đ%nh đưoc gách chéo:

De thay tai (1; 0) và (0; 1), AB đat giá tr% lón nhat và AB = 1 Khi đó giá tr% lón nhat cna P là 2√

•AB đat giỏ tr% nho nhat tai giao điem thoa món hắ: y = x x 2 + y 2 1

2 suy ra giá tr% nho nhat cna P là 0. Ket luắn: max P = 2√

2 − 2 tai (1; 0) và (0; 1); min P là 0 tai 2

Phương pháp này yêu cầu cá nhân phải thành thạo các kỹ năng liên quan đến hình học không gian, nhằm áp dụng hiệu quả vào các bài toán trong lĩnh vực CNC và thiết kế.

Bài 1: Gia su 0 ≤ a, b, c ≤ 1 Tìm GTLN, GTNN cna bieu thúc:

P = a + b + c − ab − bc − ca. Đáp so: max P = 1 tai a = 1, b ∈ [0; 1] , c = 0; min P = 0 tai a = b = c 0.

Bài 2: Cho bon so thnc a, b, c, d thoa mãn a 2 + b 2 = 4 và c + d = 5 Tìm GTLN cna bieu thúc T:

Bài 3: Gia su (x 1; y 1) và (x 2; y 2) là hai nghiắm cna hắ: x + my m x 2 + y 2

Phương pháp vectơ

Phương pháp

a Trong mắt phang TQA đđ Oxy, cho →−u = (x 1; y 1) , →−v = (x 2; y 2), ta có:

Dau bang xay ra khi vào chi khi cos (→−u , →−v ) = 1 ⇔ →−u , →−v cùng hưóng.

Dau bang xay ra khi và chi khi hai vectơ →−u , →−v cùng hưóng: x 1

= y 1 x 2 y 2 = k ≥ 0. b Trong mắt phang chỳa O ABC cú cỏc canh BC = a, AC = b, BA = c, điem M tùy ý, ta có:

Dau bang xay ra khi và chi khi M ≡ G ( TRQNG tâm tam giác).

Khai trien bat đang thúc trên ta đưoc:

Tiep tuc khai trien theo hai hưóng tích vô hưóng sau:

Khi đó bat đang thúc khai trien tro thành:

3 (MA 2 + MB 2 + MC 2 ) − BA 2 − BC 2 − AC 2 ≥ 0.

Khi đó bat đang thúc khai trien tro thành:

MA 2 + MB 2 + MC 2 + 2MA.M B cos −

Ví du

Vớ dn 2.6.1 Cho x, y > 0, thúa món đieu kiắn bieu thúc M = x + y.

Dau bang xay ra khi và chi khi →−u , →−v cùng hưóng Ket hop đe bài ta có:

Vớ dn 2.6.2 Cho a, b, c là ba so thnc dương thúa món đieu kiắn: ab + bc + ca = 3abc.

Tìm GTNN cua bieu thúc:√ b 2 + 3a 2

Vì a, b, c ∈ R + nên tù đe bài ta có:

1 1 Σ 2 Áp dung bat đang thúc vectơ ta có:

|→−u + →−v + →− t | ≤ |→−u | + |→−v | + |→− t | M Suy ra M ≥ 6 Dau bang xay ra khi và chi khi |→−u |, |→−v |, |→− t | cùng hưóng Khi đó a = b = c = 1.

Ví dn 2.6.3 Cho tam giác NHQN ABC Xác đ%nh hình dang cua tam giác đe bieu thúc M = sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C đat GTLN.

GQI O là tâm đưòng tròn ngoai tiep OABC Vì ABC NHQN nên O nam trong

Ta đưoc bat đang thúc mói:

3 (OA 2 + OB 2 + OC 2 ) − BA 2 − BC 2 − AC 2 ≥ 0. Tương đương: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2

Vì a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C nên:

OB + OC = 0 Khi đó O là TRQNG tâm OABC nên OABC là tam giác đeu. Ket luắn:

Ví dn 2.6.4 Cho tam giác NHQN ABC Tìm GTNN cua bieu thúc:

Suy ra sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C Σ ≤ 9

Dau bang xay ra khi và chi khi

= OC nên O nam trong OABC Vói MQI OABC ta có 2

OA 2 + OB 2 + OC 2 + 2OA.OB cos −

GQI O là tâm đưòng tròn ngoai tiep OABC Vì

.OABC là tam gi Σác

Vì OA = OB = OC = R, nên ta có:

Dau bang xay ra khi và chi khi −

0 Khi đó O là TRQNG tâm OABC nên OABC là tam giác đeu.

2 khi OABC là tam giác đeu.

Để thành thạo phương pháp này, cần nắm vững kiến thức về vectơ, từ đó có thể biến đổi các phép tính đại số thành phép tính vectơ một cách hiệu quả.

Bài 1: Cho ba so thnc dương a, b, c thoa mãn: √ ab + √ bc + √ ca 2√ abc.

Tìm GTNN cna bieu thúc:

+ = 1 Tìm GTNN cna (x + y). x Đáp so : Min (x + y) = 5 +

Bài 3: Xác đ%nh tam giác ABC đe bieu thúc sau đat GTLN:

3√ Đáp so : Tam giác ABC đeu và Max P = 3.

Bà 2 i 4 : Vói MQI tam giác ABC Tìm GTLN cna bieu thúc:

T = cos A + cos B + cos C. Đáp so : Tam giác ABC đeu và Max P = 3.

Ví du tőng quát

Ví du

Ví dn 2.7.1 Cho hai so thnc dương x, y thóa mãn 1 + x y cua bieu thúc P = x + y.

Phương pháp đao hàm - Khao sát hàm so Σ

Tự đieu kiắn suy ra x

, the vào bieu thúc ban đau, ta đưoc:

Xét trên D, cho P J = 0 y = 1 Hàm ngh%ch bien (2y − 1) 2 trên ; 1 , đong bien trên (1; + ) Suy ra P đat giá tr% nho nhat tai y 1, 2 khi đó P = 2, x = 1

Phương pháp mien giá tr% Σ

Ta cú P = x + y, đắt T = xy, tự đieu kiắn suy ra T dương cna phương trỡnh t 2 − Pt + T = 0 nờn: P Vỡ nghiắmx, y là

P ⇔ P ≥ 2. Dau bang xay ra khi và chi khi x = y Ket luắn: 2

Cách giai 3 Phương pháp bat đang thúc AG

+ y Σ Áp dung bat đang thúc AG cho hai so so không âm: x + y

Suy ra P ≥ 2 Dau bang xay ra khi và chi khi: x y y x 1 1 ⇔ x = y = 1.

Cách giai 4 Phương pháp bat đang thúc Cauchy

+ 1 Σ Áp dung bat đang thúc Cauchy ta có;

Suy ra P ≥ 2 Dau bang xay ra khi x = y = 1

Phương pháp lưang giác hóaΣ Bien đői phương trình đieu kiắn: 1 + 1

Suy ra P 2 Dau bang xay ra khi và chi khi: sin 2 2α = 1 ⇔ α ∈ π

Thay vào v% trớ đắt ta đưoc x = y = 1.

Ta bien đői phương trình đieu kiắn: 1 2x+ 1

Dnng đưòng tròn tâm O, đưòng kính AB = 1 Lay C thu®c đưòng tròn, ta đưoc tam giác CAB vuông tai C, CB = a, CA = b.

Suy ra: P nho nhat ⇔ h 2 lón nhat ⇔ a h a

Khi đó P = 2 và tam giác CAB vuông cân tai C nên a = b ⇔ x = y = 1 Ket luắn:

Suy ra P ≥ 2 Dau bang xay ra khi và chi khi →−u , →−v cùng phương, khi đó: 

Ví dn 2.7.2 (Đai HQ c Khoi B - 2008) Cho hai so thnc x, y thay đői và thúa món hắ thỳc x 2 + y 2 = 1 Tỡm GTLN, GTNN cua bieu thỳc:

Cách giai 1 Phương pháp đao hàm - Khao sát hàm so Đắt x = ty, ta cú bieu thỳc:

Suy ra −6 ≤ P ≤ 3 Dau bang xay ra khi:

P đat giá tr% nho nhat bang -6, tai t = − 3

•P đat giá tr% lón nhat bang 3, tai t = 3 Suy ra: x = 3y x 2 + y 2 1

Cách giai 2 Phương pháp mien giá tr% Đắt x = ty, ta cú bieu thỳc:

Khi P = 2: Phương trỡnh vụ nghiắm.

Xột P ƒ= 2 : Đe phương trỡnh cú nghiắm thỡ ∆j ≥ 0, tương đương:

2 Neu P = 3 ⇔ t = 3 Giai nghiắm như cỏch 1. Vắy max P = 3 tai (x; y) bang 3

Phương pháp lưang giác hóa Σ

(P − 6) sin 2α + (P + 1) cos 2α = 1 − 2P. Đe phương trỡnh cú nghiắm thỡ:

Suy ra −6 ≤ P ≤ 3 Dau bang xay ra khi:

√ x = sin α y = cos π Đắt vúi α ∈ [0; 2π] Ta có:

•P = −6 Giai tương tn bưóc trên.10

Ví dn 2.7.3 (Đai HQ c Xây dnng - 1999) Tìm GTLN, GTNN cua A = 2x−y−2 vái (x; y) là TQ a đ® điem M chay trên Ellip: x 2 + y 2

Phương pháp đao hàm.- kha o sát hàm so Σ

Tù phương trình ellip suy ra y = ±3 1 −

Hàm đong bien trên −2; 8 Σ, ngh%ch bien trên 8

Hàm ngh%ch bien trên −2; − 8 Σ, đong bien trên

Cách giai 2 Phương pháp mien giá tr%

Tù bieu thúc đe bài ta có y = 2x − 2 − A, x ∈ [−2; 2], y ∈ [−3; 3], the vào phương trình ellip: x 2 (2x − 2 −

Bien đői tương đương ta đưoc:

= 0. Đe phương trỡnh cú nghiắm thỡ ∆j ≥ 0: tương đương:

Khi đó bieu thúc A = 4 sin α − 3 cos α − 2 ⇔ 4 sin α − 3 cos α = A + 2.A tro thành: Đe phương trỡnh cú nghiắm thỡ:

•Khi A = 3, ta có phương trình

•Khi A = −7, thnc hiắn tương tn đưoc x = −

Ta có y = 2x − 2 − A (∆) GQI d là tiep tuyen cna ellip tai (x 0; y 0) và song song vói đưòng thang y = 2x − 2, phương trình đưòng thang d: x 0 x

= 2 The vào phương trình ellip, ta đưoc: x 2

Vì xét bieu thúc A trên ellip do đó ∆ nam giua d 1và d 2 Suy ra:

•Áp dung bat đang thúc |→−u + →−v | ≤ |→−u | + |→−v |, ta có:

Do đó A ≤ 3 Dau bang xay ra khi và chi khi →−u , →−v cùng hưóng: x y

•Áp dung bat đang thúc |→−u − →−v | ≤ |→−u | + |→−v |, ta có:

Do đó A ≥ −7 Dau bang xay ra khi và chi khi →−u , →−v ngưoc hưóng: x y

Ví dn 2.7.4 Cho ba so dương x, y, z Tìm GTLN cua bieu thúc:

(x + 1) (y + 1) (x + 1) Áp dung bat đang thúc Cauchy u 2 + v 2

≥ 4 Áp dung bat đang thúc AG dang uvt ≤ u 3 + v 3 + t 3

Giá tr% lón nhat đat đưoc khi t = 4 nên:

Giai bài tắp sau bang cỏc cỏch cú the:

Bài 1: Cho a, b > 0 co đ%nh và x, y là nhung so dương thay đői thoa mãn: a b

Tìm GTNN cna bieu thúc P = x + y. Đáp so: min P

Bài 2: Cho các so thnc x 6 + y 6 ≤ 2 Tìm GTLN cna bieu thúc:

Bà i 3: (Đe thi Đai HQ c B - 2007) Cho x, y, z là ba so thnc dương thay đői. Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc:

Bà i 4: (Đe thi Đai HQ c B - 2009) Cho các so thnc x, y thay đői và thoa mãn (x + y) 3 + 4xy ≥ 2 Tìm GTNN cna bieu thúc:

Bà i 5: (Đe thi Đai h Q c B - 2010) Cho các so thnc không âm a, b, c thoa mãn a + b + c = 1 Tìm GTNN cna bieu thúc:

M = 3 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3 (ab + bc + ca) + 2√ a 2 + b 2 + c 2 Đáp so: min M = 2.

Bà i 6: (Đe thi Đai HQ c A - 2011) Cho x, y, z là ba so thu®c đoan [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z Tìm GTNN cna bieu thúc:

Bà i 7: (Đe thi Đai HQ c B - 2011) Cho a và b là các so thnc dương thoa mãn:

Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc:

Bà i 8: (Đe thi Đai HQ c A, A1 - 2013) Cho các so thnc x, y, z thoa mãn đieu kiắn x + y + z = 0 Tỡm GTNN cna bieu thỳc:

6x 2 + 6y 2 + 6z 2 Đỏp so: Vắy min P = 3 tai x = y = z = 0.

Bà i 9: (Đe thi Đai HQ c A, A1 - 2013) Cho các so thnc dương a, b, c thoa món đieu kiắn (a + c) (b + c) = 4c 2 Tỡm GTNN cna bieu thỳc:

Bà i 10: (Đe thi Đai HQ c B - 2013) Cho a, b, c là các so thnc dương

Tìm GTLN cna bieu thúc:

Bài 11: (Đe thi THPT Quoc gia 2015) Cho các so thnc a, b, c thu®c đoan [1; 3] và thoa món đieu kiắn a + b + c = 6 Tỡm GTLN cna bieu thỳc: a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 12abc + 72 1

Chương 3 ÚNG DUNG CUA PHƯƠNG

3.1 Úng dnng cEc tr% đe giai phương trình và bat phương trình

Dna vào phương pháp đao hàm - khao sát hàm so ta có ket qua:

•Neu y = f (t) là hàm đơn điắu thắt sn thỡ f (x) = f (t) ⇔ x = t

•Neu f (x) là m®t hàm đong bien: f (x) ≥ f (y) ⇔ x ≥ y.

•Neu f (x)là m®t hàm liên tuc và ngh%ch bien: f (x) > f (y) ⇔ x < y.

•Neu f (x) là hàm đong bien, liên tuc và g (x) cũng là hàm ngh%ch bien, liờn tuc và f (x 0) = g (x 0) thỡ bat phương trỡnh f (x) ≥ g (x) cú nghiắm x ≥ x 0; bat phương trỡnh f (x) < g (x) cú nghiắm x < x 0.

Ví dn 3.1.1 Giai phương trình:

Ta bien đői phương trình đã cho thành:

Do đó f (t) là hàm đong bien trên R Suy ra: f (2x + 1) = f (−3x) ⇔ x = −1

Thu lai thay thoa mãn phương trình.

1 Vắy nghiắm phương trỡnh là x = −

Ví dn 3.1.2 Giai bat phương trình √

Cách giai Đieu kiắn cna bat phương trỡnh:

Khi đó bat phương trình tương đương:

Do đó f (x) đong bien trên [−2; 4] Mà f (1) = 2√

Ket hop đieu kiắn ta cú nghiắm bat phương trỡnh là −2 ≤ x < 1

Với phương trình x ∈ [−2; 1), đôi khi các phương trình được tạo ra từ ý tưởng A ≥ f(x) Nếu tồn tại x₀ thỏa mãn điều kiện này, thì x₀ là nghiệm của phương trình A = B Khi chúng ta xác định được nghiệm, việc xây dựng bậc đang thức sẽ trở nên dễ dàng hơn Tuy nhiên, có nhiều bài toán không thể xác định nghiệm, vì vậy chúng ta vẫn cần xây dựng bậc đang thức để có thể đánh giá được.

Ví dn 3.1.3 Giai phương trình 5

Cách giai Đieu kiắn: x > −1 Phương trỡnh cú dang:

Theo bat đang thúc AG cho ba so ta có:

Vắy nghiắm cna phương trỡnh là x = −3 + 2

Ta bien đői ve trái:

Dau bang xay ra khi và chi khi x

3 Mắt khỏc, ta bien đői ve phai đưoc: 2

Dau bang xay ra khi và chi khi x =3.

Vắy nghiắm cna phương trỡnh là x =3.

Vớ du sau se su dung phương phỏp lưong giỏc húa đe thnc hiắn.

Bien đői tương đương ta đưoc:

2 = 1. Vắy phương trỡnh cú hai nghiắm x = 1 và x =1.

√ Úng dung phương pháp vectơ giai phương trình sau đây.

Ví dn 3.1.6 Giai phương trình |√ x 2 − 4x + 5 − √ x 2 − 10x + 50| = 5.

Tắp xỏc đ%nh D = R Ta bien đői phương trỡnh thành:

| (x − 2) 2 + 1 2 − (x − 5) 2 + 5 2 | = 5. Đắt →−u = (x − 2; 1) , →−v = (x − 5; 5) Áp dung bat đang thỳc:

Dau bang xay ra khi và chi khi →−u , →−v cùng chieu Khi đó:

5 Thu lai ket qua thay thoa mãn

Vắy nghiắm cna phương trỡnh là x =

Bài 2: Giai bat phương trình:

3.2 Úng dnng cEc tr% đe giai và biắn luắn phương trình và bat phương trình có chÉa tham so

Bài toán có tham số thường được giải bằng cách chuyển tham số m sang một biến mới và sử dụng các phương pháp công nghệ để xử lý vấn đề không chứa m.

Tù đó suy ra các giá tr% m can tìm.

Vớ dn 3.2.1 Biắn luắn theo tham so m so nghiắm cua phương trỡnh: x + m

Phương trình đã cho tương đương: x = m √ x 2 − 1 − 1 Σ ⇔ x √ x 2 + 1 + 1Σ = x 2 m.

Ta có f J (x) = − x 2 < 0, ∀x ƒ= 0 Suy ra f (x) ngh%ch bien trờntắp xỏc đ%nh

Ket luắn: m ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) phương trỡnh chi cú mđt nghiắm x 0, m ∈ (−1; 0) phương trỡnh cú nghiắm x = 0 và mđt nghiắm x < 0, m ∈ (0; 1) phương trỡnh cú nghiắm x = 0 và mđt nghiắm x > 0.

Ví dn 3.2.2 Cho bat phương trình mx + √ x − 1 + 4m − 2 > 0 Tìm m đe: a Bat phương trỡnh cú nghiắm. b Bat phương trỡnh nghiắm đỳng ∀x ≥ 1.

√ c Bat phương trỡnh cú nghiắm thuđc [2; 37]. d Bat phương trỡnh nghiắm đỳng ∀x ∈ [2; 37].

Bat phương trình đã cho tương đương: m (x − 1) + √ x − 1 + 5m − 2

> 0. Đắt t = x − 1, t ≥ 0, đưa bat phương trỡnh ve dang: mt 2 + t + 5m 2 > 0 f (t) = 2 − t t 2 + 5

(t 2 + 5) 2 , cho f J (t) = 0 ⇔ t = 5, t = −1 (loai), suy ra: min f (t) = f (5) = − 1 t≥0 10 max f (t) = f (0) =2. t≥0 5 a Bat phương trỡnh cú nghiắm khi m > min f (t) = 1 t≥0 2 b Bat phương trỡnh nghiắm đỳng ∀x ≥ 1 khi m > max f (t) 5. t≥0 1 1

Xét x ∈ [2; 37] thì t ∈ [3; 38] Tính giá tr% f (3) = −

410 max f (t) = f (38) t∈[3;38] 161. c.Bat phương trỡnh cú nghiắm thuđc [2; 37] khi m > 1 min t∈[3;38] f (t) = −

10.4 d Bat phương trỡnh nghiắm đỳng x [2; 37] khi m > max f (t) t∈[3;38]

1 a Bat phương trỡnh cú nghiắm khi m > −

− b Bat phương trỡnh nghiắm đỳng ∀x ≥ 1 khi m > −

1611 c Bat phương trỡnh cú nghiắm thuđc [2; 37] khi m > −

104. d Bat phương trỡnh nghiắm đỳng ∀x ∈ [2; 37] khi m > −

Ví dn 3.2.3 Tìm m đe phương trình √ x 2 + x + 1 − √ x 2 − x + 1 = m có nghiắm.

2 Đắt f (x) = √ x 2 + x + 1 − √ x 2 − x + 1 = AB − AC, D = R Phương trình đó cho cú nghiắm khi và chi khi min f (x) ≤ m ≤ max f (x) Ta cú bat đang thúc sau: x∈D x∈D

||AB| − |AC|| ≤ |AB − AC| ≤ BC.

Cỏch giai 2 Đắt f (x) = √ x 2 + x + 1 − √ x 2 − x + 1, D = R Phương trỡnh đó cho cú nghiắm khi và chi khi min f (x) ≤ m ≤ max f (x) Ta cú: x∈D x +1

1 4 g (t) luôn đong bien trên R Vì x +

Hàm f J (x)luôn đong bien trên R.

Tính lim x→+ ∞ f (x) = 1 và lim x→−∞ f (x) = −1. Suy ra −1 ≤ f (x) ≤ 1.

Vớ dn 3.2.4 Tỡm m đe phương trỡnh x 4 + x 3 + mx 2 − 3x + 9 = 0 cú 4 nghiắm phõn biắt.

De thay x = 0 khụng là nghiắm nờn chia hai ve cho x 2 ta đưoc: x 2 + 9 x 2

+ x − 3 Σ + m = 0. Đắt t = x − x , t ∈ R \ {0} , phương trình trên tro thành: t 2 + t + m + 6 = 0 (∗)

Vì t J = 1 + 3 x 2 > 0, ∀x ∈ D nờn t đong bien trờn tắp xỏc đ%nh.

Tính lim x→− ∞ t = ; lim x→0 − t = + ; lim x→0 + t = ; lim

Khi t tiến tới vô cùng dương, phương trình t = a luôn có hai nghiệm phân biệt Điều này dẫn đến việc phương trình đó chỉ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

4 phương trỡnh đó cho cú 4 nghiắm phõn biắt. x

Ví dn 3.2.5 (Đai HQ c A - 2008) Tìm các giá tr% cua tham so m đe phương trỡnh sau cú đỳng hai nghiắm thnc phõn biắt:

Ta thay u (2) = v (2) = 0 Hơn nua, u (x) , v (x) cùng dương trên khoang (0; 2) và cùng âm trên khoang (2; 6) Ta có bang bien thiên: Đe phương trỡnh đó cho cú hai nghiắm thỡ:

Ví dn 3.2.6 Tìm m đe bat phương trình mx − √ x − 3 ≤ m + 1 cú nghiắm.

Tắp xỏc đ%nh D = [3; +∞) Bat phương trỡnh đó cho tương đương: m (x − 3) − √ x − 3 ≤ 1 − 2m. j   Σ

(2x) 3 Đắt t = √ x − 3, t ≥ 0 Đưa bat phương trình ve dang: t + 1 m ≤ t 2 + 2 = f (t), ∀t ≥ 0. Đe bat phương trỡnh cú nghiắm thỡ m max f (t).

Vớ dn 3.2.7 Tỡm m đe bat phương trỡnh sau nghiắm đỳng ∀x ∈ [−3; 6]:

Bat phương trình có dang: f (t) = − 1 t 2 + t + 9

2 Hàm ngh%ch bien trên 3; 3√

2 Đe bat phương trỡnh nghiắm đỳng vúi MQI x ∈ [−3; 6] thỡ: m 2 m + 1 max f (t) = f (3) = 3. t∈ [ 3;3 √ 2 ) Suy ra m 2 − m + 1 ≥ 3 ⇔ m ≤ 1 − √

Ví dn 3.2.8 Tìm m đe bat phương trình 5 x 2 −mx − 5 (2−m)x+m ≤ −x 2 + 2x + m cú nghiắm.

Bat phương trình đã cho tương đương:

Xét hàm f (t) = 5 t + t Ta có f J (t) = 5 t ln5 + 1 > 0, ∀t ∈ R.

Do đú, f (t) là hàm đong bien trờn R Đe bat phương trỡnh cú nghiắm thỡ ∃x sao cho: f (x 2 − mx) ≤ f (2x − mx + m)

Khi đó ∃x sao cho: x 2 − mx ≤ 2x − mx + m ⇔ m ≥ x 2 − 2x.

Bài 1: Tỡm m đe phương trỡnh sau cú nghiắm:

Bài 2: (Đe thi Toỏn 2004 - B) Tỡm 4 m đe phương trỡnh sau cú nghiắm: m √

Bài 3: Tỡm m đe bat phương trỡnh sau cú nghiắm:

Bài 4: Tỡm m đe bat phương trỡnh sau cú nghiắm: x 4 − mx 3 + (m + 2) x 2 − mx + 1 < 0.

Bài 5: Tỡm m đe bat phương trỡnh cú nghiắm x ∈ [−1; 1]:

3.3 Úng dnng chÉng minh bat đang thÉc

Chúng ta đang giải quyết một bài toán tối ưu hóa, trong đó đã biết giá trị tối ưu và cần tìm phương pháp để đạt được giá trị đó Có thể sử dụng các phương pháp khác nhau, có thể là riêng lẻ hoặc kết hợp Nhiều bài toán được giải bằng cách biến đổi biểu thức và xác định điều kiện trên một tập D nào đó, sau đó tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên D để rút ra kết luận cần chứng minh.

Ví dn 3.3.1 Cho a, b, c dương thóa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chúng minh rang: a b c 3√

Bien đői ve trái thành a

Dau bang xay ra khi và chi khi a = b = c =

Ví dn 3.3.2 Cho a, b, c là ba so dương Chúng minh rang:

 a + b + c a + b + c a + b + c  Áp dung bat đang thỳc Cauchy cho ba cắp so ta cú:

Ví dn 3.3.3 (MO Romanian 2004) Chúng minh rang vái ba so dương a, b, c, ta đeu có: a b c 27 a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c 2 a + b + c a + b + c a + b + c bc (c + a) + ca (a + b) + ab (b + c)

a √ c + a + b √ a + b + c √ b + c. Áp dung bat đang thỳc Cauchy cho ba cắp so ta cú: a + b bc ca+ c 2 ab ≤

+ c Σ 2 (a + b + c). Suy ra: bc (c + a) ca (a + b) ab (b + c)

Mắt khỏc, ỏp dung bat đang thỳc AG ta cú:

Vắy bc (c + a) + ca (a + b) + ab (b + c) ≥ và chi khi a = b = c.

2 , dau bang xay ra khi

Ví dn 3.3.4 Cho ba so dương a, b, c: a 2 + b 2 + c 2 = 3 Chúng minh rang:

Cách giai 5 14 ab + bc + ca + a + b + c ≤

2 2 2 Đắt t = a+b+c ⇒ ab+bc+ca = Vỡ 0 ≤ ab+bc+ca ≤ a +b +c ≤

Dau bang xay ra khi và chi khi: a + b + c 3 a = b = c

Ví dn 3.3.5 Cho các so dương a, b, c, d thóa mãn a + b + c + d = 1 Chúng minh rang:

Ta khai trien ve trái:

+ 1 a b c d a b a c ad b c c d abc ab d bc d ac d abc d bd Áp dung bat đang thúc AG cho tùng cum trên ta đưoc:

Vắy ta cú đieu can chỳng minh, dau bang xay ra khi và chi khi: a + b + c + d 1 a = b = c = d

Su dung phương pháp vectơ chúng minh bat đang thúc.

Ví dn 3.3.6 (Đe thi Đai HQ c 2003 - A) Cho x, y, z là ba so dương thóa mãn x + y + z ≤ 1 Chúng minh rang:

1 < 0, ∀t ∈ Σ0; 1 Σ Hàm f (t) ngh%ch bien trên Σ 0; 1 Σ.

82, dau bang xay ra khi và chi khi x = y = z = 1

+ Áp dung bat đang thúc AG ta có:

Bài 1: Cho ba so thnc a, b, c thu®c (0; 1) Chúng minh rang: a b c b + c + 1 + c + a + 1 + a + b + 1 + (1 − 1) (1 − b) (1 − c) < 1.

Bà i 2: Chúng minh rang vói MQI a, b, c > 0 thoa mãn abc = 1, ta đeu có:

Bài 3: Cho a, b > 1, chúng minh rang: a 3 + b 3 − (a 2 + b 2 )

Bài 4: (IMO 1995) Cho a, b, c > 0 thoa mãn abc = 1 Chúng minh rang: a 2 b 2 c2 3 b + c + c + a + a + b ≥

Bà i 5: (Đe thi Đai HQ c 2005 - A) Cho x, y, z là các so dương thoa mãn:

Bà i 6: (Đe thi Đai HQ c 2005 - B) Chúng minh rang ∀x ∈ R, ta có:

Khi nào đang thúc xay ra?

Bà i 7: (Đe thi Đai HQ c 2005 - D) Cho các so dương x, y, z thoa mãn xyz = 1. Chúng minh rang:√

1 + x 3 + y 3 xy + Khi nào đang thúc xay ra?

Bà i 8: (Đe thi Đai HQ c 2009 - A) Chúng minh rang vói MQI so thnc dương x, y, z thoa mãn x (x + y + z) = 3yz, ta có:

Sau thũi gian HQc tắp tai khoa Toỏn - Cơ - Tin HQc, trưũng Đai HQc Khoa

HQc Tn nhiờn - ĐHQGHN đã được các thầy cô trực tiếp giảng dạy và đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS TS Nguyễn Đình Sang Sinh viên đã hoàn thành luận văn với chủ đề "PHƯƠNG PHÁP CUC TR± VÀ ỨNG DỤNG", đạt được một số kết quả đáng chú ý.

1 Trình bày, phân tích, áp dung 6 phương pháp cnc tr% gom:

•Phương pháp đao hàm - khao sát hàm so

•Phương pháp mien giá tr%

•Phương pháp bat đang thúc

•Phương pháp lưong giác hóa

2 Trỡnh bày 3 ỳng dung cnc tr% thưũng gắp trong cỏc bài toỏn HQc phő thông:

•Úng dung cnc tr% đe giai phương trình và bat phương trình

•Úng dung cnc tr% đe giai và biắn luắn phương trỡnh và bat phương trình có chúa tham so

•Úng dung cnc tr% đe chúng minh bat đang thúc

Các phương pháp đều quan trọng và tối ưu cho những bài toán khác nhau Thành thạo nhiều phương pháp sẽ giúp chúng ta lựa chọn được phương pháp nhanh chóng và phù hợp nhất cho các bài toán tìm kiếm CNC Đồng thời, việc biết cách vận dụng linh hoạt các phương pháp CNC vào các bài toán ứng dụng cũng rất cần thiết.

[1] Nguyen Văn Mắu, 2006, Bat đang thỳc và ỏp dnng, Nhà xuat ban Giỏo Duc.

[2] Nguyen Văn Mắu - Nguyen Văn Tien, 2009, Mđt so chuyờn đe Đai so boi dưóng HQ c sinh giúi THPT, Nhà xuat ban Giỏo Duc Viắt Nam.

TS Lê Xuân Sơn và ThS Lê Khánh Hưng (2014) đã trình bày phương pháp hàm số trong giải toán, bao gồm các nội dung như phương trình, bất phương trình, hàm số chứng minh bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Tài liệu được xuất bản bởi Nhà xuất bản Đại học Quốc gia.

Úng dung cnc tr% đe giai phương trình và bat phương trình

Bài 2: Giai bat phương trình:

3.2 Úng dnng cEc tr% đe giai và biắn luắn phương trình và bat phương trình có chÉa tham so

Bài toán có tham số yêu cầu người giải phải xác định các tham số m và sử dụng các phương pháp CNC để xử lý và phân tích vấn đề một cách hiệu quả.