Những không gian hàm cơ bản
Không gia n H ¨ older
Cho Ω ⊂ R n là một tập mở và 0 < γ ≤ 1. Định nghĩa 1.1 a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho
Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz. b) Cho u : Ω → R bị chặn và liên tục Ta định nghĩa
∥u∥ C(Ω) := sup |u(x)|. x∈ Ω c) Nửa chuẩn H¨older bậc γ của u : Ω → R là
| − | ̸ và chuẩn H¨older bậc γ là
∥u∥ C 0,γ (Ω) := ∥u∥ C(Ω) + [u] C 0,γ (Ω) Định nghĩa 1.2 Không gian H¨older C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u ∈ C k (Ω), mà chuẩn
Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ.
Nhận xét: Không gian H¨older C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn ∥.∥ C k,γ
Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F β,σ ((a, b]; X). Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1 Không gian
F β,σ ((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau:
(2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a) 1−β+σ , nghĩa là
Không gian F β,σ ((a, b]; X) cùng với chuẩn
∥F∥ F β,σ = sup (t − a) a≤t≤b là một không gian Banach.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Không gian Sobolev
Không gian Sobolev là một lớp không gian quan trọng trong nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng Để hiểu rõ về không gian này, chúng ta cần tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" liên quan đến các phần tử trong không gian L 1 (Ω).
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
8 lo c Định nghĩa 1.3 Với một hàm u ∈ L 1 (Ω), ta nói rằng v ∈ L 1 (Ω) là đạo hàm yếu của u ứng với biến x j , ký hiệu v = D j u, nếu
Đạo hàm yếu cấp cao được định nghĩa thông qua quy nạp, trong đó nếu u, v thuộc không gian L1 của miền Ω, thì v được xem là đạo hàm yếu cấp α của u, ký hiệu là v = Dαu Điều này áp dụng cho mọi hàm số ϕ thuộc lớp C0∞(Ω).
∫ D α uϕ dx = (−1) |α| ∫ uD α ϕ dx, với mọi ϕ ∈ C 0 ∞ (Ω). Định nghĩa 1.4 Không gian Sobolev được định nghĩa như sau
Không gian Sobolev W k,p (Ω) được định nghĩa là không gian Banach khả ly Đặc biệt, khi p = 2, không gian H k (Ω) tương đương với W k,2 (Ω) và là không gian Hilbert, với tích vô hướng được thiết lập theo một cách cụ thể.
Khi đó, chuẩn của H k (Ω) tương ứng với tích vô hướng được xác định bởi công thức ∥u∥ H k = ∑
α o Định nghĩa 1.5 Không gian H k (Ω) là bao đóng của không gian
C 0 ∞ (Ω) trong H k (Ω), ở đây C 0 ∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trong Ω. o
Chuẩn của không gian H 1 (Ω) là ∥u∥ o 1 =[∫
2) dx ] 1/2 Định lý 1.1 (Định lý nhúng Sobolev) Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc lớp C k trong R m và giả sử u ∈ H k (Ω).
(i) Nếu k < m/2 thì u ∈ L 2m/(m−2k) (Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho
(ii) Nếu k = m/2 thì u L p (Ω) với 1 p < và với mỗi p tồn tại một hằng số
∥u∥ L p (Ω) ≤ C∥u∥ H k (Ω) (iii)Nếu k > j + (m/2) thì u ∈ C j (Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho
∥u∥ C j (Ω) ≤ C∥u∥ H k (Ω) Định lý 1.2 (Định lý compact Rellich-Kondrachov) Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc lớp C 1 Khi đó H 1 (Ω) nhúng compact trong không gian L 2(Ω).
Toán tử quạt
Định nghĩa
Định nghĩa 1.6 Cho X, Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y D(A) được gọi là miền xác định của toán tử A.
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử đóng, tức là
G A = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng. Định nghĩa 1.7 Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X Kí hiệu
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A) −1 được gọi là giải thức.
Phổ của toán tử tuyến tính A, ký hiệu là σ(A), được xác định bởi công thức σ(A) = C\ρ(A) Định nghĩa 1.8 nêu rõ rằng nếu X là không gian Banach và A : X → X là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X, thì phổ của A sẽ nằm trong miền hình quạt mở Σ ω, với ω thỏa mãn điều kiện 0 < ω ≤ π.
(1.1) và giải thức thỏa mãn đánh giá
|λ| trong đó hằng số M ≥ 1 Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trong X.
{} ω Điều kiện (1.1) suy ra gốc O không thuộc σ(A), nghĩa là, A có nghịch đảo bị chặn A −1 trên X Nếu |λ| < ∥A −1 ∥ thì λ ∈ ρ(A) và ta có
Do inf{arg λ : |λ−λ 0 | < r 0 } = sin −1 1 nên với mỗi góc ω ′ thỏa mãn ω − sin −1 1 < ω ′ < ω, ta có bao hàm thức sau là đúng σ(A) ⊂ Σ ω ′ := {λ ∈ C : | arg λ| < ω ′ } (1.4) và giải thức thỏa mãn ∥(λ − A) −1 ∥ ≤
′ (1.5) với hằng số M ω ′ ≥ M Ví dụ có thể chọn M ω
Nếu σ(A) ⊂ Σ ω, thì tồn tại ω ′ < ω sao cho σ(A) ∈ Σ ω ′ Định nghĩa 1.9 nêu rõ rằng A là toán tử quạt trong không gian Banach X, với ω A = inf {σ(A) ⊂ Σ ω} được gọi là góc của toán tử quạt A Đối với mọi góc ω thỏa mãn ω A < ω ≤ π, sẽ tồn tại M ω > 1.
Hàm mũ của toán tử quạt
Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ω A < π
2 và thỏa mãn các điều kiện σ(A) ⊂ Σ ω = {λ ∈ C : | arg λ| < ω}, ω A
Ta định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e −tA bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau e −tA = 1
Công thức 2πi e −tλ (λ − A) −1 dλ được áp dụng trong khoảng 0 < t < ∞, trong đó Γ là đường cong nằm trong ρ(A) bao quanh σ(A) theo chiều dương Một ví dụ về đường cong Γ có thể là Γ = Γ − ∪ Γ+, với Γ+ được định hướng từ ∞e iω tới 0 và Γ− được định hướng từ 0 tới ∞e −iω, với 0 ≤ r < ∞.
, trong đó λ = re ± iω = r(cos ω ± i sin ω) nên
2 nên cos ω > 0, từ đó suy ra
Khi đó, tích phân (1.8) hội tụ trong L(X) Họ các toán tử e −tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A và thỏa mãn tính chất sau e −tA e −t ′ A = e −t ′ A e −tA = e −(t+t ′ )A , 0 < t, t ′ < ∞.
Hàm lũy thừa của toán tử quạt
Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach và A là một toán tử quạt trong X với góc 0 ≤ ω A < π Đối với mỗi số nguyên n ∈ Z, toán tử A n được định nghĩa như sau: khi n > 0, A là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X; khi n < 0, A n = (A −1) −n = (A −n) −1 là một toán tử bị chặn của X; và khi n = 0, A 0 là toán tử đồng nhất trên X Tiếp theo, chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho số mũ thực x ∈ R bất kỳ.
Ký hiệu ω là một góc bất kỳ thỏa mãn ω A < ω < π Với mỗi số phức z thỏa mãn Re z > 0, ta định nghĩa A −z bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau
Trong đó, Γ là một đường cong bao quanh σ(A) theo chiều dương trong C −
(∞, 0] ∩ ρ(A) Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ − ∪ Γ0 ∪ Γ+ thỏa mãn Γ ± : λ = ρe ±iω , δ ≤ ρ < ∞ và Γ0 : λ = δe iφ , −ω
≤ φ ≤ ω, (1.10) trong đó ω A < ω < π và 0 < δ < ∥A −1 ∥ −1 Hơn nữa, Γ định hướng từ ∞e iω tới δe iω , từ δe iω tới δe −iω và từ δe −iω tới ∞e −iω Do
|λ −z | = |e −z log λ | = |e −z(log ρ±iω) | = e ±(Imz)ω ρ −Rez , λ ∈ Γ ± , nên tích phân (1.9) hội tụ trong L(X).
Ta có một số tính chất của toán tử A −z như sau:
• Với mọi 0 < ϕ 0}.
A −z là một toán tử khả nghịch với mọi Re z > 0, và nghịch đảo của nó, A z, được định nghĩa là A z = (A −z ) −1 Với D(A z) trù mật trong không gian X, A z trở thành một toán tử tuyến tính, đóng và xác định trù mật trong X.
Như vậy, với mỗi số thực −∞ < x < ∞ thì toán tử mũ A x của A đã được định nghĩa và thỏa mãn các tính chất sau.
(1) A x là toán tử bị chặn trên X với −∞ < x < 0, A 0 = 1 và A x là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞.
(3) A x A x ′ = A x ′ A x = A x+x ′ với −∞ < x, x ′ < ∞. Đặc biệt, với 0 < θ < 1, A θ là một toán tử quạt của X với góc ≤ θω A Và A θ thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng sau
∥A θ U∥ ≤ C∥AU∥ θ ∥U∥ 1−θ , U ∈ D(A). trong đó C > 0 là hằng số phụ thuộc vào θ.
2πi λ θ e −tλ (λ A) −1 dλ (1.11) Γ trong đó Γ là đường cong tích phân được cho bởi (1.10) nhưng với ω A π
Và ta có một số kết quả đánh giá chuẩn của A θ e −tA như sau:
Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính
Cặp không gian liên hợp
Cho X và Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là ∥.∥ X và ∥.∥ Y Hàm nhận giá trị phức ⟨., ⟩ xác định trên không gian tích X × Y được gọi là dạng nửa song tuyến tính nếu ⟨., ⟩ thỏa mãn i) ⟨αu 1 + βu 2 , v⟩ = α ⟨u 1 , v⟩ + β ⟨u 2 , v⟩ , α, β ∈ C; u 1 , u 2 ∈ X; v ∈ Y, ii) ⟨u, αv 1 + βv 2 ⟩ = α ⟨u, v 1 ⟩ + β ⟨u, v 2 ⟩ , α, β ∈ C; u ∈ X; v 1 , v 2 ∈ Y.
Hơn nữa, dạng nửa song tuyến tính ⟨., ⟩ trên X × Y được gọi là tích đối ngẫu nếu ⟨., ⟩ thỏa mãn i) | ⟨U, Φ⟩ | ≤ ∥U∥∥Φ∥ ∗ , U ∈ X, Φ ∈ Y, ii) ∥U∥ = sup
Khi đó {X, Y } được gọi là một cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu là ⟨., ⟩
Cho {X, X ∗ } là cặp không gian liên hợp với tích đỗi ngẫu ⟨., ⟩ Với mỗi
G ∈ X ∗ là một phần tử trong không gian X, với hàm tuyến tính ⟨., G⟩ được xác định là liên tục trên X Không gian X ′ bao gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Chúng ta xem xét ánh xạ J : G JG từ X ∗ vào X ′, được xác định bởi các tính chất cụ thể của hàm tuyến tính này.
Phép nhúng J từ không gian X ∗ vào J (X ∗ ) ⊂ X ′ dẫn đến kết quả quan trọng trong Định lý 1.3 Theo Định lý 1.17, nếu X là không gian Banach tự liên hợp và {X, X ∗ } là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ⟨., ⟩, thì phép nhúng J : X ∗ → X ′ được xác định bởi (1.12) là một đẳng cấu.
Do đó, với mỗi Φ ∈ X ′ thì tồn tại duy nhất G ∈ X ∗ sao cho ∥Φ∥ X ′ ∥G∥ X ∗ và Φ(F ) = ⟨F, G⟩ với mọi F ∈ X.
Cho (Z, ((., ))), (X, (., )) là hai không gian Hilbert với chuẩn tương ứng là
Định nghĩa 1.10 nêu rõ rằng, nếu tồn tại không gian Banach Z∗ với chuẩn ∥.∥∗ thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Z là tập con của X và Z trù mật trong X; (ii) Z được nhúng liên tục vào X, tức là tồn tại hằng số c > 0 sao cho ∥.∥X ≤ c∥.∥Z; (iii) cặp không gian (Z, Z∗) là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ⟨., ⟩Z,Z∗, trong đó tích đối ngẫu này thỏa mãn điều kiện ⟨z, x⟩ = (z, x) với mọi z thuộc Z và x thuộc X ⊂ Z∗.
Khi đó ba không gian Z ⊂ X ⊂ Z ∗ được gọi là bộ ba không gian.
Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là bộ ba không gian với các chuẩn tương ứng ∥.∥, |.|, ∥ ∥ ∗ và tích đối ngẫu trên Z × Z∗ là ⟨., ⟩Z×Z ∗ : Z∗ × Z → R xác định bởi (Φ, z) ›→
⟨z, Φ⟩Z×Z ∗ Giả sử a : Z × Z → C là một dạng nửa song tuyến tính, tức là, a thỏa mãn hai điều kiện sau: i) a(αu 1 + βu 2 , v) = αa(u 1 , v) + βa(u 2 , v), α, β ∈ C; u 1 , u 2 , v ∈ Z, ii) a(u, αv 1 + βv 2) = αa(u, v 1) + βa(u, v 2), α, β ∈ C; u, v 1 , v 2 ∈ Z.
Ta có a(., ) liên tục nếu tồn tại M ≥ 0 sao cho
Với mỗi u ∈ Z, hàm a(u, ) là một hàm tuyến tính liên tục trên Z Theo Định lý 1.3, tồn tại duy nhất Φ ∈ Z∗ sao cho a(u, v) = ⟨v, Φ⟩Z×Z∗ với mọi v ∈ Z, tức là a(u, v) = ⟨Φ, v⟩ với mọi v ∈ Z Do đó, toán tử A : Z → Z∗ xác định bởi u ›→ Φ là một toán tử tuyến tính, và được gọi là toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v) Kết quả là a(u, v) = ⟨Au, v⟩ cho mọi u, v ∈ Z.
M∥u∥∥v∥ = M∥u∥ Z nên toán tử A liên tục và ∥A∥ ≤ M
Ta nói a(., ) thỏa mãn điều kiện bức nếu
Định lý 1.4 khẳng định rằng nếu a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính thỏa mãn các điều kiện (1.13) và (1.15) với δ > 0 là hằng số, thì toán tử tuyến tính A liên kết với a(u, v) sẽ là một đẳng cấu từ không gian Z tới không gian Z ∗ Hơn nữa, A cũng được xác định là một toán tử tuyến tính, đóng và trù mật trong không gian Z ∗.
Ta xét hạn chế của A trên X, Z, kí hiệu là A| X , A| Z , được xác định như sau.
Ta có toán tử A, A X , A Z là các toán tử tuyến tính, đóng và xác định trù mật trong Z ∗ , X, Z.
Với mỗi Reλ ≤ 0, xét dạng nửa song tuyến tính liên tục a(u, v) − λ(u, v), u, v ∈ Z
A λ là một phép đẳng cấu từ Z vào Z ∗, thỏa mãn điều kiện liên tục và điều kiện bức trên Z Tiếp theo, chúng ta thiết lập các ước lượng liên quan đến tập giải (λ − A) −1 với Reλ ≤ 0.
Với U ∈ Z, ta có δ∥U∥ 2 ≤ Re a(U, U ) − Re λ|U| 2 = Re ⟨(A − λ)U, U⟩ ≤ ∥(A − λ)∥ ∗ ∥U∥. Đặt Φ = (λ − A)U , ta có
Vì λ(λ − A) −1 Φ = A(λ − A) −1 Φ + Φ nên ta có ước lượng sau
|λ|∥(λ − A) −1 Φ∥ ∗ ≤ (Mδ −1 + 1)∥Φ∥ ∗ , Φ ∈ Z ∗ Với U ∈ D(A |X ), ta có với mỗi Re λ ≤ 0, δ∥U∥ 2 ≤ Re a(U, U ) − Re λ|U| 2 = Re ((A − λ)U, U ) ≤ |(A − λ)U||U|.
Do đó, từ (1.16) ta có
Tóm lại, với Re λ ≤ 0, ta có các ước lượng sau
Dựa trên các ước lượng đã nêu, chúng ta có thể rút ra kết quả như sau: Định lý 1.5 ([11], Định lý 2.1) khẳng định rằng, nếu a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính trên Z và thỏa mãn các điều kiện (1.13) và (1.15), thì toán tử tương ứng sẽ được xác định rõ ràng.
A liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v) và các hạn chế A|
Các toán tử A, A|X và A|Z là các toán tử tuyến tính đáp ứng các điều kiện (1.1) và (1.2) với góc ω = π và hằng số M+δ Điều này cho thấy chúng là các toán tử quạt trên không gian Z∗, X và Z, với các góc phổ nhỏ hơn π.
Toán tử quạt trong không gian L 2
Xét Ω là miền trong R n , Z là không gian con đóng của H 1 (Ω) thỏa mãn o
H 1 (Ω) ⊂ Z ⊂ H 1 (Ω) Xét dạng nửa song tuyến tính trên Z sau a
∫ c(x)uvdx, u, v ∈ Z (1.17) trong đó a ij , 1 ≤ i, j ≤ n, là các hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện a ij ∈ L ∞ (Ω), 1 ≤ i, j ≤ n, (1.18) n a ij ξ i ξ j ≥ δ|ξ| 2 , ξ = (ξ 1 , , ξ n ) ∈
R n , hầu khắp nơi trên Ω, (1.19) i,j=1 với hằng số δ > 0, và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn c ∈ L ∞ (R n ) và c(x) ≥ c 0 > 0, hầu khắp nơi trên Ω (1.20)
Tương tự như phần trước, tồn tại a(u, v) thỏa mãn các điều kiện (1.13) và (1.15) trên không gian Z Do đó, khi xem xét một bộ ba không gian Z ⊂ L 2(Ω) ⊂ Z ∗, toán tử A liên kết với dạng (1.17) và các hạn chế A| L 2(Ω) cũng như A| Z sẽ trở thành các toán tử quạt trên các không gian Z ∗ và L 2(Ω).
Z, với các góc phổ nhỏ hơn π
Tiếp theo, ta xét các trường hợp đặc biệt hơn Trường hợp Z =H 1 (Ω) o Khi o đó, Z ∗ trùng với H −1 (Ω) Do D(Ω) trù mật trong H 1 (Ω) nên H −1 (Ω) ⊂ D ′ (Ω)
Au = − D j [a ij (x)D i u] + c(x)u trong không gian hàm suy rộng (1.21) i,j=1 Điều này chỉ ra rằng A, A| L (Ω) , A| o là toán tử đạo hàm (1.21) trong H −1 (Ω),
Nếu Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz, thì không gian D(A) sẽ tương đương với H1(Ω) Điều này có nghĩa là u ∈ D(A) thỏa mãn điều kiện biên Lipschitz, cụ thể là u = 0 trên ∂Ω Theo Định lý 1.6, với Ω là miền trong Rn và các giả thiết (1.18), (1.19), (1.20) được thỏa mãn, toán tử A sẽ liên kết với dạng (1.17) và hạn chế A trong L(Ω), A o.
H (Ω) thỏa mãn các điều kiện (1.1) và (1.2) với góc ω = π/2, trong đó hằng số M được xác định bởi các yếu tố ∥a ij ∥ L ∞ , ∥c∥ L ∞ , δ, c 0 Các toán tử A, A| L 2 (Ω), và A| o 1 là các toán tử quạt trong không gian H −1 (Ω), L 2(Ω), và H o 1 (Ω) với các góc phổ nhỏ hơn π/2 Đặc biệt, nếu Ω là một miền bị chặn với biên Lipschitz, thì các hàm trong D(A) sẽ thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
Khi Z = H 1(Ω), không gian Z∗ không trùng với bất kỳ không gian con suy rộng nào Do đó, toán tử liên kết A không phải là toán tử đạo hàm thông thường Tuy nhiên, với u ∈ D(A|L²), tức là Au ∈ L²(Ω), ta có thể áp dụng công thức Green.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét tích phân ∫ c(x)uvdx với v thuộc H 1 (Ω) Vector ν(x) = (ν 1(x), , ν n (x)) đại diện cho vector trực giao ngoài tại x ∈ ∂Ω Do tính liên tục của a(u, v) tại v trong không gian L 2(Ω), tích phân trên ∂Ω sẽ bị triệt tiêu Điều này dẫn đến việc u phải thỏa mãn điều kiện biên n.
≡ ∑ ν (x)a (x)D u = 0 trên ∂(Ω) (1.23) Điều kiện này được gọi là điều kiện biên Newmann trên ∂Ω Khi đó, ta thu được
Toán tử A, A| L 2 (Ω) và A| H 1 (Ω) là các toán tử đạo hàm dưới điều kiện biên Newmann trong không gian H 1 (Ω) ∗, L 2(Ω) và H 1 (Ω) Theo Định lý 1.7, giả sử Ω là miền trong R n và thỏa mãn các giả thiết (1.18), (1.19), (1.20), thì toán tử A liên kết với dạng (1.17) và các hạn chế A| L 2 (Ω), A| H 1 (Ω) thỏa mãn các điều kiện (1.1) và (1.2) với ω = 2 và M được xác định bởi ∥a ij ∥ L ∞, ∥c∥ L ∞, δ, c 0 Do đó, A, A| L 2 (Ω) và A| H 1 (Ω) là các toán tử quạt trong không gian này.
H 1 (Ω) ∗ , L 2(Ω), H 1 (Ω) với các góc phổ nhỏ hơn π o
(Ω) Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz Ta tách n
D biên ∂Ω thành Γ D và Γ N , nghĩa là, ∂Ω = Γ D ∪ Γ N , Γ D ∩ Γ N = ∅ và Γ D là tập mở khác rỗng của ∂Ω Ta đặt o
Z =H 1 (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω) : u = 0 trên Γ D } (1.25) Toán tử A liên kết với dạng (1.17) và các hạn chế A L (Ω) , A o
H 1 (Ω) là toán tử đạo hàm (1.21) dưới điều kiện biên tách như sau u = 0 trên Γ D ∂u và ∂ν A = 0 trên Γ N (1.26) n
|| 2 D Định lý 1.8 ([11], Định lý 2.5) Cho Ω là miền bị chặn với biên
Lipschitz Giả sử ta có các giả thiết (1.18), (1.19), (1.20) Khi đó, toán tử A liên kết với dạng
H 1 (Ω) thỏa mãn (1.1), (1.2) với góc ω = π/2 và hằng số M được xác định bởi ∥a ij ∥ L ∞ , ∥c∥ L ∞ , δ, c 0 , tức là, các toán tử A, A|
L 2 (Ω) , A| o o o là toán tử quạt trong H 1 (Ω) ∗ , L 2(Ω), H 1 (Ω) với các góc phổ nhỏ hơn π/2. o
Chú ý 1.1 Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz Khi
(Ω) thì điều kiện bức (1.15) có được nhờ sử dụng tính dương của hàm c(x) Từ bất đẳng thức o 1
Poincare ta có ∥u∥ L 2 ≤ C∥∇u∥ L 2 với mọi u ∈H (Ω) Do đó từ (1.19) và điều kiện c(x) ≥ 0 ta thu được điều kiện (1.15).
Ngoài ra, ta có kết quả sau. Định lý 1.9 ([11], Định lý 2.10) Cho Ω là miền bị chặn với biên
Lipschitz được tách như sau ∂Ω = Γ D ∪ Γ N , Γ D ∩ Γ N = ∅ và Γ D là tập mở khác rỗng của ∂Ω Giả sử ta có các giả thiết (1.18), (1.19),
(1.20) và hai điều kiện sau:
|B(x 0 , R) ∩ Ω| ≥ γ.R , ∀x 0 ∈ Γ N , B(x 0 , R) ∩ Γ D = ∅, (1.28) trong đó γ > 0 là hằng số, B(x 0 , R) là hình cầu mở tâm x 0 ∂Ω, bán kính
A| L 2 của toán tử liên kết với dạng (1.17) trong H 1
∥u∥ W 1 ≤ C (∥A| L 2 u∥ L 2 + ∥u∥ L 2 ) ,u ∈ D(A| L 2 ), với số mũ p > 2. Đặc biệt, khi dạng nửa song tuyến tính (1.17) có a ij = δ ij và c(x) = 0 thì ta có a(u, v) o
(Ω) và toán tử liên kết với a(u, v) là
Theo định lý 1.8 thì Λ là toán tử quạt trên H −1 (Ω)
Ta có, theo Định lý 2.35 ([11], Chương 2), miền xác định của toán tử căn bậc hai Λ 1/2 trùng với L 2(Ω), nghĩa là,
H D (Ω)]2θ−1 ⊂ [L 2(Ω), H 1 (Ω)]2θ−1 = H 2θ−1 (Ω) (1.31) Theo Định lý 1.9 thì tồn tại p 0 > 2 sao cho D(Λ| L ) ⊂ W 1 (Ω) và
Tiếp theo, ta mở rộng định nghĩa toán tử ∇.[u∇χ] cho trường hợp u ∈ H 2/p (Ω) và χ ∈ D(Λ| L ) ∩ W 1 (Ω) với 2 < p < ∞.
Mệnh đề 1.1 Cho 2 < p < ∞ cố định Phép tương ứng (u, χ) ›→
∇[u∇χ] là liên tục từ H 2 (Ω) × [D(Λ| L ) ∩ W 1 (Ω)] vào L 2(Ω) Ta có thể mở rộng tương ứng này liên tục từ H 2/p × [D(Λ| L ) ∩ W 1 (Ω)] lên H −1 (Ω).
Chứng minh Cho u ∈ H 2 (Ω) và χ ∈ D(Λ| L ) ∩ W 1 (Ω) Ta có
Vì u ∈ H 2 (Ω) nên suy ra ∇u ∈ L 2(Ω) và u ∈ L 2(Ω) Tương tự, từ χ ∈ D(Λ| L ) ∩
W 1 (Ω) cũng cho ta ∇χ ∈ L 2(Ω) Hơn nữa, theo định nghĩa của Λ, ta có
Với u ∈ H 2/p (Ω) và χ ∈ D(Λ| L ) ∩ W 1 (Ω) Do bất đẳng thức
Do H 2 (Ω) là không gian con trù mật của H 2/p (Ω) nên chúng ta có thể mở rộng
∇.[u∇χ] ∈ H −1 (Ω) một cách liên tục, với mọi u ∈ H 2/p (Ω) và χ ∈ D(Λ| L ) ∩W 1 (Ω)
Tuy nhiên điều này cũng đúng với giá trị p = p 0 Trong trường hợp này do (1.32) nên D(Λ| L ) ∩ W 1 (Ω) = D(Λ| L ).
Toán tử quạt trong không gian tích
Cho (X 1 , ∥.∥ 1) và (X 2 , ∥.∥ 2) là hai không gian Banach Giả sử X là không gian Banach tích của X 1 và X 2 với chuẩn
Cho A 1, A 2 lần lượt là toán tử quạt của X 1 và X 2 với góc 0 ≤ ω 1 < π và
0 ≤ ω 2 < π Ta xét toán tử ma trận có dạng
∈ D(A 2)} Định lý 1.10 (Định lý 2.16 [11]) Giả sử A k là toán tử quạt trong X k với góc 0 ≤ ω k < π, với k = 1, 2 Khi đó, toán tử A xác định bởi
(1.37) thỏa mãn (1.1) và (1.2) với góc ω thỏa mãn ω A < ω ≤ π, trong đó ω A = max {ω 1 , ω 2 } và với hằng số M ω = max {M 1,ω , M 2,ω }, tức là,
A là toán tử quạt của X với góc nhỏ hơn π.
Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach Xét bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong X như sau dU dt + AU = F (U ) + G(t), 0
Trong đó, A là toán tử quạt trên X và thỏa mãn điều kiện (1.6) và (1.7) F là toán tử từ D(A η ) vào X, với 0 < η < 1 Giả sử F thỏa mãn điều kiện Lipschitz dưới dạng
+ (∥A η U∥ + ∥A η V ∥)∥A β (U − V )∥], U, V ∈ D(A η ), (1.39) trong đó β là số mũ thỏa mãn
0 < β ≤ η < 1, (1.40) và φ(.) là hàm liên tục tăng Đặc biệt từ (1.39) ta suy ra ước lượng
Giá trị ban đầu U 0 của bài toán thuộc D(A β ) sẽ được xem xét để chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương cho bài toán (1.38) Để bắt đầu, chúng ta sẽ phân tích bài toán Cauchy liên quan đến phương trình tiến hóa tuyến tính Theo Định lý 1.11, A là toán tử quạt thỏa mãn điều kiện nhất định.
(1.6), (1.7), G(t) ∈ F β,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β < 1 và U 0 ∈ X Khi đó, bài toán dU dt + AU = G(t),0 < t
U (0) = U 0 , tồn tại duy nhất một nghiệm U trong không gian hàm
U ∈ C((0, T ]; D(A)) ∩ C([0, T ]; X) ∩ C 1 ((0, T ]; X) (1.43) và thỏa mãn ước lượng
Hơn nữa, U được xác định bởi công thức
Sự tồn tại nghiệm địa phương cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính được trình bày trong Định lý 1.12 Theo Định lý 4.1 trong tài liệu [11], các giả thiết (1.6) cần được xem xét để khẳng định điều này.
(1.7), (1.39), (1.40), với G ∈ F β,σ ((0, T ]; X), trong đó 0 < σ < 1 − η, và với mọi U 0 ∈ D(A β ) Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm địa phương U của bài toán (1.38) trong không gian hàm
> 0 chỉ phụ thuộc vào chuẩn ∥G∥ F β,σ và ∥A β U 0 ∥ Hơn nữa, U thỏa dU ∥A U∥ C + ∥ dt ∥ F β,σ + ∥AU∥ F β,σ ≤ C G,U 0 , (1.46) với hằng số C G,U 0 > 0 phụ thuộc vào chuẩn ∥G∥ F β,σ và ∥A β U 0 ∥. β
Chứng minh Với mỗi S ∈ (0, T ], xét không gian Banach sau
Trong X (S), ta xét tập K(S) gồm tất cả các hàm thỏa mãn t η−β ∥A η U (t)∥ ≤ C 1 , 0 < t ≤ S (1.47)
∥A U (t)∥ ≤ C 2 , 0 ≤ t ≤ S (1.48) trong đó hai hằng số C i (i = 1, 2) cố định Khi đó K(S) là một tập con khác rỗng, đóng trong X (S).
Với mỗi U ∈ K(S), ta định nghĩa hàm
Chúng ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ Φ là một ánh xạ co từ K(S) vào chính nó khi S đủ nhỏ Điểm bất động của Φ sẽ là nghiệm của phương trình (1.38) Trong quá trình chứng minh, ký hiệu C G,U 0 sẽ được sử dụng như một hằng số, được xác định trong từng trường hợp cụ thể dựa trên các hằng số trong (1.6), (1.7), (1.39), (1.40) cùng với hàm φ(.) và các chuẩn tương ứng.
Bước 1: Ta kiểm tra Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó Với U ∈ K(S), theo (1.47), (1.48) ta có thể viết (1.41) như sau
(1.50) Với mỗi θ thỏa mãn β ≤ θ < 1, ta có
0 Đổi biến s = u suy ra s = ut, ds = tdu Khi đó, ta có
+ A θ ψ(C 2) C 1 B(1 − θ, 1 + β − η)t 1−η + B(1 − θ, 1)t 1−β , (1.51) trong đó B(x, y) là hàm Beta được xác định như sau
Ta đặt A = A η−β ∥A β U 0 ∥ + A η B(1 − η, β)∥G∥ β,σ là một hằng số Khi đó, do 0
Tương tự chọn S đủ nhỏ ta được ∥A β {ΦU}(t)∥ ≤ C 2thỏa mãn (1.48) Tức là, ΦU ∈ K(S).
Với 0 < s < t ≤ S, sử dụng tính chất nửa nhóm ta có ΦU (t) = e −tA U 0 + e −(t−s)A [F (U (s)) + G(s)]ds
Do 0 < 1 − η < 1, 0 < η + σ < 1 nên B(1 − η, η + σ) bị chặn Suy ra
∥A η (ΦU (t) − ΦU (s))∥ ≤ C G,U (t − s) σ s β−σ−η , 0 < s < t ≤ S (1.52) Tiếp theo ta kiểm tra ΦU ∈ C([0, S], D(A β )) Ta có
∫ t ∫ t Đổi biến u = τ − s, dτ = du, τ = u + s Khi đó t
Dễ thấy, e −tA U 0 + ∫ t e −(t−s)A G(s)ds liên tục tại t = 0 trong D(A β ), nên khi t → 0 ta nhận được
≤ CA β (t 1−η + t 1−β ) → 0, suy ra ΦU ∈ C([0, S], D(A β )) Vậy Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó với S đủ nhỏ.
Bước 2: Kiểm tra Φ là ánh xạ co trong X (S).
Cho U, V ∈ K(S) Với θ thỏa mãn β ≤ θ < 1 thì chúng ta có thể viết
Khi đó, do (1 + 2C 1)s β−η + 1 ≤ (2C 1 + 1)(s β−η + 1) ≤ 2(C 1 + 1)(s β−η + 1)) nên ta có t θ−β ∥A θ [ΦU (t) − ΦV (t)]∥ ≤ t θ−β A θ φ(2C 2)∥U − V ∥ X (S)
, s = ut, ds = tdu, khi đó t
Chọn S đủ nhỏ sao cho CS 1−η < 1, khi đó
Vậy Φ là ánh xạ co trong X (S) với S đủ nhỏ.
Bước 3: Chứng minh điểm bất động của ánh xạ co Φ là nghiệm của bài toán (1.38).
Với giá trị S đủ nhỏ, ánh xạ Φ từ K(S) vào chính nó là ánh xạ co với chuẩn trong X(S) Bước 2 xác định S = T G,U 0 dựa trên hai chuẩn.
∥G∥ β,σ và ∥A β U 0 ∥ Theo định lý điểm bất động của ánh xạ co thì tồn tại duy nhất hàm U ∈ K(T G,U 0 ) thỏa mãn U = ΦU và
∫ t Để chứng minh T dt dU , AU β,σ ((0,
], X) vì có G(t) ∈ F β,σ ((0, T G,U ], X) Từ (1.50) ta có t 1−β ∥F (U (t))∥ ≤ C G,U (t 1−η + t 1−β ) → 0 khi t → 0( do 1 − η > 0, 1 − β > 0)
, 0 < s < t ≤ T G,U 0 , suy ra F (U ) ∈ F β,σ ((0, T G,U ], X) Theo Định lý 3.5 [11] thì A(U ) ∈ F β,σ ((0, T G,U ], X),tức là AU liên tục trên X Suy ra 0 U liên tục trên D(A) hay U ∈ C((0, T ], D(A)) 0
Vậy U thuộc không gian hàm xác định bởi (1.45), thỏa mãn điều kiện (1.46) và là nghiệm của bài toán (1.38).
Bước 4: Chứng minh sự duy nhất nghiệm.
Giả sử U˜ là một nghiệm khác của (1.38) trong khoảng [0, T G,U 0] trong không gian nghiệm (1.45) Theo (1.47) và (1.48) với η = 1, ta có t 1−β ∥AU˜(t)∥ + ∥A β U ˜(t)∥ ≤ C ˜ cho 0 < t ≤ T G,U Áp dụng bất đẳng thức năng lượng (1.2.1) cho lũy thừa A 1−β với θ = η − β.
Với V = A β (U˜(t)) ta có ước lượng
0 kết hợp với (1.54) ta được
Tương tự bước 2 ta có e
Với S đủ nhỏ thì U (t) = U˜(t), 0 ≤ t ≤ S. Đặt S = sup{S : U (t) = U (t), 0 ≤ t ≤ S} Suy ra S < T G,U 0 và U (S) U (S) Lặp lại các bước tương tự với thời gian đầu S và giá trị ban đầu U
(S) = U (S) Suy ra U ((S) + t) = U (S + t) với mỗi t > 0 đủ nhỏ (mâu thuẫn với định nghĩa S).
Mô hình chất bán dẫn
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình chất bán dẫn do Shockley
[10] đặt ra vào năm 1950 Cụ thể, chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán giá trị biên ban đầu cho mô hình chất bán dẫn như sau
Trong miền chất bán dẫn Ω với biên Lipschitz ∂Ω, các hàm u(x, t) và v(x, t) đại diện cho mật độ electron và mật độ lỗ trống tại thời điểm t ≥ 0 Các số hạng a∆u và b∆v mô tả sự tự khuếch tán của electron và lỗ trống, với a và b là các hệ số khuếch tán dương Điện thế tĩnh điện được biểu diễn bởi hàm χ và được xác định thông qua phương trình Poisson, trong đó c > 0 là hằng số điện môi.
Ký hiệu sự khuếch tán của electron và lỗ trống phụ thuộc vào điện thế χ được biểu diễn bởi à∇.{u∇χ} và ν∇.{v∇χ}, trong đó à và ν là các hằng số khuếch tán Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét trường hợp đơn giản khi à và ν giữ giá trị cố định Đồng thời, đại lượng f (1 − uv) thể hiện tốc độ hình thành và kết hợp giữa electron và lỗ trống Thêm vào đó, g(x) là một hàm không âm thỏa mãn các điều kiện nhất định.
0 ≤ g ∈ L 2(Ω), (2.2) và h(x) là một hàm thực, bị chặn thỏa mãn
Trong bài toán (2.1), biên ∂Ω được chia thành hai phần Γ D và Γ N thỏa mãn
∂Ω = Γ D ∪ Γ N , Γ D ∩ Γ N = ∅, Γ D mở, Γ D ̸= ∅ và thỏa mãn điều kiện (1.27), (1.28).
Chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục cho phương trình chất bán dẫn (2.1), sau đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm Ở mục 2.3, chúng ta sẽ xây dựng tập hút mũ cho hệ động lực xác định bởi phương trình (2.1) Tập hút mũ, được phát triển bởi các nhà Toán học Eden, Foias, Nicolaenko và Temam, là một tập bất biến dương chứa tập hút toàn cục, có số chiều fractal hữu hạn và hút mọi quỹ đạo với tốc độ mũ.
Nghiệm địa phương
Sự tồn tại nghiệm địa phương
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương cho bài toán (2.1), chúng ta sẽ chuyển đổi nó thành bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong không gian nền X.
Ma trận A trong X có dạng
{( u ) o o } liên kết với dạng nửa song tuyến tính (1.17) (xem (1.29)) Từ (1.30) và (1.31) ta có
Toán tử F được xác định bởi
F (U ) với miền xác định ν∇.[v∇(cΛ) −1 (−u + v + h(x))] + f (1 − uv) + g(x)
) : u ∈ H 2/p 0 (Ω) và v ∈ H 2/p 0 (Ω)} , ψ D D với miền xác định D(A)
(Ω) và v ∈H 1 (Ω) và Λ là toán tử −∆
Chương 2 Mô hình chất bán dẫn
(−à∇.[u∇(cΛ) −1 (−u + v + h(x))] + f (1 − uv) + g(x)) v trong đó p 0 > 2 là số thỏa mãn (1.32) Mật độ ban đầu của các electron và lỗ trống được xác định trong không gian
Khi đó, bài toán (2.1) được viết lại dưới dạng sau dU dt + AU = F (U ), 0 < t < ∞
< 1 Khi đó, từ (2.5) ta có D(A η ) ⊂ D(F ) Và giá trị ban đầu
U 0 ∈ K Áp dụng Định lý 1.12 với β 2 và η 2 + p , từ (1.32) và (1.36) ta có
Kết hợp đánh già này với (2.5) ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.1 Toán tử phi tuyến F xác định ở trên thỏa mãn điều kiện sau
D D ở đõy ta chọn C 0 = max{à, ν, 2f} Hơn nữa,
= ∇.[(v 1 − v 2)∇χ 1] + ∇.[v 2 ∇(χ 1 − χ 2)]. Áp dụng (1.32) và (1.36), ta có
, χ ∈ D(Λ| L ) ∩ W 1 (Ω), với hằng số C 1 > 0 Từ đây ta nhận được hai đánh giá sau.
≤ C 2 ∥A η (U − V )∥ X ∥A 1/2 V ∥ X + ∥A 1/2 U∥ X , với hằng số C 2 > 0 Suy ra tồn tại một hằng số C > 0 sao cho
Bổ đề này chỉ ra rằng (1.39) thỏa mãn với β = 1
Định lý 2.1 khẳng định rằng, với mỗi giá trị ban đầu U0 thuộc tập K, bài toán (2.1) sẽ có duy nhất một nghiệm địa phương U trong không gian hàm Điều này cho phép chúng ta áp dụng Định lý 1.12 cho bài toán (2.7).
U ∈ C((0, T U ]; D(A)) ∩ C([0, T U ]; L2(Ω)) ∩ C 1 ((0, T U ]; X)), (2.8) trong đó T U 0 > 0 được xác định duy nhất bởi ∥U 0 ∥ L 2 Hơn nữa, ta có
√t∥AU (t)∥ X + ∥U (t)∥ L 2 ≤ C U 0 ,0 < t ≤ T U 0 ,trong đó C U 0 > 0 cũng chỉ phụ thuộc vào ∥U 0 ∥ L 2
Tính không âm của nghiệm địa phương
Cho giá trị ban đầu U 0 ∈ K và nghiệm địa phương U = (u, v) t của bài toán (2.1) trong không gian hàm (2.8), chúng ta sẽ chứng minh rằng u(t) ≥ 0 và v(t) ≥ 0 cho mọi 0 < t ≤ T U 0 thông qua các bước sau.
Bước 1: Chứng minh U (t) nhận giá trị thực Ta có liên hợp phức U (t) cũng là một nghiệm của (2.7) với giá trị ban đầu U 0 Thật vậy:
• Lấy liên hợp hai vế phương trình đầu của (2.7) ta được dU= F (U ) A(U ) = F (U ) AU. dt
Các tính toán trên chỉ ra Λu = Λu hay AU = AU Mặt khác, ta có
(−à∇.[u∇(cΛ) −1 (−u + v + h(x))] + f (1 − uv) + g(x)) trong đó f ≥ 0 là hằng số, g(x) ∈ L 2(Ω), 1 − uv = 1 − u.v Ta lại có
Do đó, ta có F (U ) = F (U ) Từ tính duy nhất nghiệm ta nhận được U (t) = U (t). Vậy U (t) nhận giá trị thực.
Bước 2: Chúng ta sẽ xấp xỉ nghiệm địa phương U(t) = (u(t), v(t)) của phương trình tiến hóa không autonomous có nhiễu trong không gian Banach Đầu tiên, chúng ta trình bày kết quả của bài toán Cauchy cho phương trình này, cụ thể là dU/dt + A(t)U + B(t)U = G(t), với 0 Những vấn đề liên quan đến bài toán này có thể tham khảo trong Chương 3 [11].
U (0) = U 0 , Ở đây, A(t), 0 ≤ t ≤ T là một họ các toán tử quạt của X thỏa mãn các điều kiện sau Với 0 ≤ t ≤ T , phổ của A(t) được xác định trong miền quạt mở
< π , và thỏa mãn ước lượng
2 ω với hằng số M ≥ 1 Miền D(A(t)) có thể thay đổi theo t nhưng tồn tại một số mũ cố định 0 < ν ≤ 1 thỏa mãn
(Khi ν = 1 thì miền D(A(t)) không phụ thuộc vào t) Hơn nữa, A(t) −1 là liên tục H¨older, nghĩa là
∥A(t) ν [A(t) −1 − A(s) −1 ]∥ ≤ N|t − s| à , 0 ≤ s, t ≤ T, (2.13) với số mũ cố định
0 < à ≤ 1 và hằng số N > 0 Số mũ à và ν thỏa món
Trong khi, B(t), 0 < t ≤ T là một họ các toán tử tuyến tính trong X với điểm kỳ dị tại t = 0 Giả sử D(A(t) 1−ν˜ ) ⊂ D(B(t)) với mọi 0 < t ≤ T với ước lượng
D > 0 là một hằng số Ở đõy, à > 0 và ν > 0 là cỏc số mũ cố định thỏa món
0 < à ≤ 1,0 < ν ≤ 1,1 < à + ν (2.16) Hơn nữa, giả sử B(t)A(t) ν˜−1 thỏa mãn điều kiện H¨older dưới dạng
∥B(t)A(t) ν˜−1 − B(s)A(s) ν˜−1 )∥ ≤ Ls à˜−σ˜−1 (t − s) σ˜ , 0 < s ≤ t ≤ T, (2.17) với số mũ cố định 0 < ˜σ < min{à + ν − 1, à˜ + ˜ν − 1}, (2.18)
G ∈ F β,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1 (2.19) và U 0 là giá trị ban đầu trong X. Định lý 2.2 ([11], Định lý 3.14) Giả sử ta có các giả thiết (2.10), (2.11),(2.12),
(2.13), (2.14), (2.15), (2.16), (2.17), (2.18) Khi đó, với mỗi hàm G thỏa mãn (2.19) và giá trị ban đầu U 0 ∈ X thì bài toán (2.9) có một nghiệm duy nhất U trong không gian hàm
U (t, s)F (s)ds,0 ≤ t ≤ T (2.21) ν ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ L > 0 là một hằng số Hàm G thỏa mãn
∫ ˜ Để chỉ ra dãy nghiệm xấp xỉ với nghiệm U (t) của bài toán (2.7) thì ta lấy các hàm u k , v k ∈ C 0,1 ([0, T U ]; L ∞ (Ω)) (2.22) sao cho u k → u, v k → v khi k → ∞ Ta xét bài toán tuyến tính trong X sau
U k (0) = U 0 trong đó B k (t) là họ các toán tử tuyến tính đóng được xác định như sau
(t)), à∇[v˜ k ∇χ k (t)] − u k (t).v˜ k v˜ k trong đó χ k (t) = (cΛ) −1 [−u k (t)+v k (t)+h], với miền xác định D(B k (t)) ≡ D(A η ) Và F là vector trong X, xác định bởi F = [f + g(x)]e, e = (1, 1) t Ta có, toán tử B k (t) là toán tử tuyến tính yếu hơn A, nghĩa là D(A) ⊂ D(A η ) ≡ D(B k (t)), ∀0 < t ≤ T U
Do đú, ta cú thể ỏp dụng Định lý 2.2 với à = 1 − η và ν = 1 với bài toỏn (2.23) Vậy tồn tại một nghiệm duy nhất U˜ k của (2.23) trong không gian hàm
Từ đây, ta có t η A η [U k (t) U (t)] C sup
Mặt khác, do u k → u, v k → v khi k → +∞ trong C 0,1 ([0, T U ]; L ∞ (Ω)), tức là sup
∥v k (t) − v(t)∥ L ∞ → 0, k → +∞, nên ta có U k (t) hội tụ đến U (t) với mọi t ∈ (0, T U ] trong D(A η ) khi k → +∞.
Bước 3: Chứng minh u k (t) ≥ 0, v k (t) ≥ 0, t ∈ (0, T U 0 ] khi đó u(t) ≥ 0, v(t) ≥
0, t ∈ (0, T U ] Cho H(u) là một hàm cắt trong C 1,1 thỏa mãn
∩C là khả vi liên tục với đạo hàm
Tương tự, do (1.35) và Bổ đề 2.2 dưới đây, ta có
Bất đẳng thức trên kéo theo ψ k ′ (t) ≤ C k ψ k (t) hay
Do đó, ta nhận được
Ta có lnψ k (t) − lnψ k (0) ≤ C k t hay ψ k (t) ≤ ψ k (0)e C k t ψ k (t)(0) Ω
H(u 0)dx = 0 (do u 0 ≥ 0). Điều này chỉ ra ψ k (t) = 0 với mọi t ∈ [0, T U 0 ] do ψ k (t) là hàm không âm Suy ra
Do đó, ta có u k (t) ≥ 0 với mọi 0 < t ≤ T U 0 , do H ≥ 0 và H liên tục Tương tự v k (t) ≥ 0 với mọi 0 < t ≤ T U 0
Bổ đề 2.2 Cho u ∈H o 1 và χ ∈ D(Λ| L ) ∩ W 1 (Ω), 2 < p < ∞ Ta có
(Ω) thì ta xấp xỉ u bởi hàm cắt ψ k (u) ∈H 1
Nghiệm toàn cục
Đánh giá tiên nghiệm
Mệnh đề 2.1 Với mỗi giá trị ban đầu U 0 ∈ K và U = (u, v) t là nghiệm địa phương của bài toán (2.1) trên [0, T U ] trong không gian hàm
Khi đó, ta có đánh giá sau
∥U (t)∥ L 2 ≤ C(∥U 0 ∥ L 2 + 1), 0 ≤ t ≤ T U (2.25) trong đó C > 0 là hằng số không phụ thuộc vào T U
Chứng minh Xét tích đối ngẫu của H −1 × H o 1 giữa phương trình đầu tiên của
Ω trong đó χ = (cΛ) −1 [−u + v + h(x)] Tương tự xét phương trình thứ hai của (2.1) ta có
Cộng hai phương trình trên theo vế sau khi nhân phương trình thứ nhất với ν và phương trỡnh thứ hai với à Theo bổ đề (2.2) ta cú àν
≤ ζ(∥u∥ L 2 + ∥v∥ L 2 ) + C ζ , trong đó ζ > 0 là tham số nhỏ tùy ý, C ζ là hằng số phụ thuộc vào ζ sao cho với mọi u và v ta có ν∥u∥ L 2
2 Ở đây, ta cần chọn C ζ sao cho ζt 2 νt +
Ta luôn lấy được một số C ζ như vậy, ví dụ ta chọn
∫ h(x)(u Ω 2 − v 2 )dx ≤ ∥h∥ L ∫ ζ(u − v)[ 2 (u + v) + C ζ (u + v) ] dx do u 2 − v 2 = (u − v)(u + v) ≤ (u + v)[ζ(u − v) 2 + C ζ ], trong đó C ζ là hằng số dương thỏa mãn
Ω Ở đây, có thể chọn C ζ điều kiện sau ζt 2 − t + C ζ ≥ 0, ∀t ∈ R.
> 1 Tiếp tục với ζ > 0 cho trước, ta sẽ lấy
Cụ thể, ở đây ta sẽ chọn C ζ
> 1 Khi đó, với mọi u và v ta có 2ζ
1 Như vậy, với mỗi ζ > 0 và C ζ >
Từ bất đẳng thức Poincare, ta có
∫ ( aν|∇u| 2 + bà|∇v| 2 ) dx ≥ α ∫ (u 2 + v 2 )dx với số dương α Suy ra, khi lấy ζ > 0 đủ nhỏ và C ζ tương ứng, ta nhận được
(u 2 + v 2 )dx ≤ C, với hằng số C > 0 Từ đây ta có
(2.26) với số mũ δ > 0 và hằng số C > 0.
Nghiệm toàn cục
Định lý 2.3 Với mỗi giá trị ban đầu U 0 ∈ K, bài toán (2.1) có duy nhất nghiệm toàn cục trong không gian hàm o 1 (Ω)) ∩ C([0, ∞); L 2(Ω)) ∩
Chứng minh Theo Định lý 2.1 thì tồn tại nghiệm địa phương U (t) trên [0, T U 0 ] của bài toán (2.1) Với 0 < T 1 ≤ T U 0 thì theo đánh giá tiên nghiệm ta có
Xét bái toán dV dt + AV = F (V ), 0 < t
Theo Định lý 2.1 thì tồn tại nghiệm V (t) của (2.29) trên (0, δ) Trong đó δ > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào ∥U (T 1)∥ Do (2.28) nên δ chỉ phụ thuộc vào ∥U 0 ∥. Đặt
Do tính duy nhất nghiệm nên U (t) là nghiệm của bài toán (2.1) trên [0, T 1 + δ). Thay T 1 bởi T 1 + δ và lặp lại quá trình trên ta thể mở rộng nghiệm U (t) trên
Theo Định lý 2.4, với giá trị ban đầu U 0 ∈ K, nghiệm toàn cục U(t, U 0) của bài toán (2.1) trong không gian hàm (2.27) tồn tại Từ (2.26), có một số mũ δ > 0 và một hằng số C˜ > 0, đảm bảo rằng với mỗi U 0 ∈ K, điều kiện này được thỏa mãn.
Tập hút mũ
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của tập hút mũ trong hệ động lực được xác định từ bài toán (2.1) Đầu tiên, chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả đã được biết về tập hút mũ.
Cho (X, ∥.∥ X ) là một không gian Banach Xét X là một tập con compact của
X, X là một không gian metric với khoảng cách d(., ) cảm sinh từ ∥.∥ X , nghĩa là d(x, y) = ∥x − y∥ X , ∀x, y ∈ X.
Cho S(t), 0 ≤ t < ∞, là một nửa nhóm phi tuyến tác động trên X Trong đó
S(t) là hàm liên tục theo nghĩa: ánh xạ (t, U 0) ›→ S(t)U 0 là liên tục từ [0, ∞) ×
X vào X Khi đó S(t) định nghĩa một hệ động lực (S(t), X, X) trong X với không gian pha compact X
Vì không gian pha compact nên tập hợp
A 0≤t 0. ii lim t→+
∩ d(U, V ) là ký hiệu nửa khoảng cách Hausdorff của hai tập con B 0 , B 1của X Định nghĩa 2.1 (Tập hút mũ) (xem Eden, Foias, Nicolaenko và Temam
Tập hợp M thỏa mãn A ⊂ M ⊂ X được gọi là tập hút mũ của (S(t), X,
Để xây dựng các tập hút mũ trong không gian X, chúng ta cần thỏa mãn ba điều kiện: đầu tiên, M phải là một tập con compact của X với số chiều Fractal hữu hạn; thứ hai, M cần phải là một tập bất biến, tức là S(t)M = M cho mọi t > 0; cuối cùng, tồn tại một số mũ δ > 0 và một hằng số C 0 > 0 sao cho h(S(t)X, M) ≤ C 0 e −δt Phương pháp này được đề xuất bởi Efendiev, Mivanville và Zelik.
Giả sử tồn tại một không gian Banach Z nhúng compact trong X và một thời điểm t* > 0, tại đó toán tử S(t*) thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
∥S(t ∗ )U 0 − S(t ∗ )V 0 ∥ Z ≤ L 1 ∥U 0 − V 0 ∥ X , U 0 , V 0 ∈ X , (2.33) trong đó L 1 > 0 là hằng số. ii) Ánh xạ (t, U 0) ›→ S(t)U 0 từ [0, t ∗ ]×X → X cũng thỏa mãn điều kiện
Định lý 2.5 về cấu trúc của tập hút mũ được xây dựng dựa trên định lý trong tài liệu [3] và Định lý 3.1 trong tài liệu [2] Theo đó, nếu các điều kiện (2.33) và (2.34) được thỏa mãn, thì hệ động lực (S(t), X, X) sẽ có một họ các tập hút mũ M.
Chúng ta sẽ sử dụng Định lý 2.5 để chứng minh sự tồn tại của tập hút mũ cho hệ động lực được xác định bởi bài toán (2.1) Trong đó, không gian tích H −1 (Ω) × H −1 (Ω) được định nghĩa cho X.
Chuẩn trong X được ký hiệu bởi ∥.∥ X Xét hai không gian tích sau
1 o trong đó các chuẩn tích L 2 và tích H 1 tương ứng là
Xét tập hợp các giá trị ban đầu
Tập con K được xác định là một tập đóng trong không gian Hilbert tích D(A 1/2 ) = L 2(Ω)×L 2(Ω) Theo phương pháp xây dựng nghiệm địa phương, chúng ta có thể định nghĩa một nửa nhóm phi tuyến tác động lên K dựa trên bài toán (2.7) thông qua công thức đã nêu.
∈ K, trong đó U là nghiệm toàn cục duy nhất của hệ (2.7) Ước lượng sau đây đúng cho các nghiệm địa phương và cũng đúng cho nghiệm toàn cục.
0 Điều này chỉ ra rằng tồn tại một tập hấp thụ của S(t) Cho C ∗ là hằng số xuất hiện trong ước lượng trên và xét tập con
Khi đó B là một tập hấp thụ, tức là, với mọi tập bị chặn B trong K, tồn tại một thời điểm t B > 0 sao cho
S(t)B là tập con của B khi t lớn hơn hoặc bằng tB, cho thấy rằng dáng điệu tiệm cận của nghiệm toàn cục của hệ (2.1) được rút gọn thành nghiệm bắt đầu từ B B cũng là một tập bị chặn trong K, do đó tất cả các nghiệm bắt đầu từ B vào B đều tồn tại một thời điểm cố định tB lớn hơn 0 Từ điều này, chúng ta có thể xây dựng một không gian pha mới.
Mệnh đề 2.2 X là một tập compact của X thỏa mãn X ⊂ B và là một tập hấp thụ của S(t).
D(A) là một không gian Hilbert khả li, do đó B là một tập compact yếu theo dãy của D(A), điều này cho phép chúng ta trích ra một dãy con hội tụ yếu từ B.
Do đó B là một tập đóng của X Ta có
Vì B là tập compact của X, nên X cũng được coi là tập compact Hơn nữa, do B là tập hấp thụ, nên X cũng phải là tập hấp thụ Cụ thể, X được xác định là tập hấp thụ nếu với mọi tập bị chặn B nằm trong K, tồn tại một thời điểm t sao cho B lớn hơn 0.
Do B là tập hấp thụ nên với mọi t ≥ t B ta có: S(t)B ⊂ B Từ đây suy ra
S(t B + t)B = S(t B ).S(t)B ⊂ S(t B )B ⊂ X. Điều này kéo theo với mọi t ≥ t B + t B , ta có S(t)B ⊂ X.
Mệnh đề 2.3 Tập X là một tập đóng bị chặn của D(A 1/2 ) và cũng là tập đóng bị chặn của D(A).
Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2 thì X ⊂ B và là một tập bị chặn trong
D(A 1/2 ) Ta có X là tập đóng trong D(A 1/2 ) Thật vậy, do X đóng trong X nên tồn tại
Trong không gian X, nếu dãy hàm {f_n} hội tụ đến f trong D(A^{1/2}), thì f cũng thuộc X Cụ thể, vì f_n hội tụ đến f trong D(A^{1/2}), nên f_n cũng hội tụ đến f trong X, và do X là không gian đóng, nên f ∈ X Để xác minh rằng X thuộc D(A), ta áp dụng ước lượng đã được thiết lập trong phần xây dựng nghiệm địa phương Đối với bất kỳ R > 0, tồn tại một thời điểm T_R > 0 và một hằng số C_R > 0 thoả mãn điều kiện cần thiết.
Sử dụng ước lượng này với R = R ∗ = √
C ∗ (2C ∗ + 1), theo Mệnh đề 2.1 ta có
2C∗) Bất đẳng thức trên kéo theo sup
Vì vậy, tồn tại T ∗ > 0 là thời điểm cố định thỏa mãn T ∗ ≤ t B và T ∗ ≤ T R ∗ Nếu
B S(t)B, nghĩa là U 1 = S(t 0)U 0 với t 0 ≥ t B nào đó và U 0 ∈ B, khi đó
∥U 1 ∥ D(A) = ∥S(T ∗ )S(t 0 − T ∗ )U 0 ∥ D(A) ≤ C R ∗ (T ∗ ) −1/2 , do ∥S(t0 − T∗)U0∥D(A 1/2 ) ≤ R∗ Vậy ta chứng minh được
Vì một tập đóng bị chặn bất kỳ trong D(A) là compact yếu theo dãy và cũng là một tập đóng trong X, do đó
Suy ra X bị chặn trong D(A) Mặt khác X đóng trong D(A) Thật vậy, giả sử
{f n } ⊂ X, f n → f trong D(A).Ta sẽ chứng minh f ∈ X Do f n → f trong
D(A) nên f n → f trong X, mà X đóng trong X nên f ∈ X Vậy X đóng, bị chặn trong D(A).
Mệnh đề 2.4 Tập hợp là một tập bất biến của S(t)với mọi , tức là, t > 0S(t).
Chứng minh Áp dụng ước lượng cho nghiệm địa phương với R = R ∗ = C ∗ (2C ∗ +
≤ C R ∗ ∥U 0 − V 0 ∥ X , (2.40) với mọi 0 ≤ t ≤ TR ∗ , ∥U0∥D(A 1/2 ) ≤ R∗, ∥V0∥D(A 1/2 ) ≤ R∗ Từ ước lượng này chúng ta thu được
∥S(t)U 0 − S(t)V 0 ∥ X ≤ (C R ∗ ) ∥U 0 − V 0 ∥ X , (2.41) với (j − 1)T R ∗ ≤ t ≤ jT R ∗ , U 0 , V 0 ∈ B với mọi j = 1, 2, Thật vậy:
+ Giả sử (2.41) đúng với j, ta sẽ chứng minh (2.41) đúng với j + 1 Thật vậy, nếu jT R ∗ ≤ t ≤ (j + 1)T R ∗ thì 0 ≤ t − jT R ∗ ≤ T R ∗ Theo (2.39) ta có
∥S(t)U 0 − S(t)V 0 ∥ X = ∥S(t − jT R ∗ )S(jT R ∗ )U 0 − S(t − jT R ∗ )S(jT R ∗ )V 0 ∥ X Áp dụng (2.40) với
Vậy (2.41) đúng với j + 1 Suy ra (2.41) đúng với mọi U 0 , V 0 ∈ X do X ⊂ B.
Do đó, với mọi t ≥ 0 thì toán tử S(t) : X → X là liên tục với chuẩn tương ứng trong X Khi đó
Vậy S(t) là ánh xạ từ X vào X, ∀t > 0.
Mệnh đề 2.5 Ánh xạ (t, U ) ›→ S(t)U thỏa mãn điều kiện
Lipschitz địa phương từ [0, ∞) × X vào X, tức là, với mọi 0 < T <
∞ thì tồn tại hằng số C T > 0 sao
Do đó theo Mệnh đề 2.3 và Mệnh đề 2.4 ta có
Vì vậy, chúng ta xây dựng được một hệ động lực (S(t), X, X) với không gian pha X là một tập compact của X và hút mọi nghiệm bắt đầu từ
K∩trong thời gian hữu hạn Do không gian pha X là compact nên tập hợp A = 0≤t
