Luận văn thạc sĩ về phép biến đổi FOURIER phân và ứng dụng

Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân

Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược trong không gian L 2 (R) được định nghĩa như sau

Phương trình (1.1.1) thường được coi là biến đổi Fourier, trong khi phương trình (1.1.2) đại diện cho biến đổi Fourier ngược Khi chuyển sang dạng toán tử, phép biến đổi này được thể hiện qua công thức cụ thể.

2 và F− π là các liên hợp phức của nhau, thỏa mãn hệ thức

= 1 Chúng ta chú ý rằng nếu

1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân 2 và nếu

Hàm riêng của phép biến đổi Fourier được xác định bởi các hàm Hermite e −x /2 H n (x), với giá trị riêng là e −in 2 Trong đó, H n (x) đại diện cho đa thức Hermite cấp n, và điều này có thể được biểu diễn thông qua toán tử e −x 2 /2 H.

Bây giờ, chúng ta mở rộng phương trình giá trị riêng này với tham số liên tục α

Toán tử tổng quát F α có thể được biểu diễn dưới dạng e −iαA Từ dạng này, toán tử A được xác định bằng một vài kỹ thuật biến đổi đại số

Biến đổi Fourier và Fourier ngược tương ứng với các giá trị α = π và α = −π, trong khi α = 0 biểu thị toán tử đồng nhất và α = π tương ứng với toán tử chẵn lẻ Cấp a của phép biến đổi Fourier được xác định qua công thức a = α/(π/2), với phép biến đổi Fourier thông thường có cấp 1 Cấp của phép biến đổi được giới hạn trong khoảng −2 ≤ a ≤ 2.

Các tính chất dưới đây được suy ra trực tiếp từ biển diễn toán tử.

Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân

Dạng toán tử, mặc dù hữu ích trong nghiên cứu lý thuyết, gặp khó khăn trong ứng dụng tính toán Để tối ưu hóa phép biến đổi, toán tử được chuyển đổi thành dạng tích phân Phương pháp tích phân này lần đầu tiên được V Namias giới thiệu trong bài báo [9] và sau đó được A McBride và F Kerr [7] điều chỉnh để cải thiện tính chặt chẽ.

1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi

Phương trình hàm riêng F α [φ n ](x) = e −inα φ n (x) cho thấy rằng đa thức Hermite là hàm riêng của toán tử F α với giá trị riêng e −inα Bất kỳ hàm bình phương khả tích f nào cũng có thể được khai triển qua các hàm riêng này, biểu diễn dưới dạng tổng Σ ∞ n=0 a n φ n (x).

Tác động toán tử F α lên hàm f ta được f α :F α [f ] F α

Biến đổi Fourier phân có thể được định nghĩa dưới dạng chuỗi, nhưng cách biểu diễn này không thuận tiện cho việc tính toán Bằng cách thay thế a n trong chuỗi bằng biểu diễn tích phân, chúng ta có thể thu được biểu thức Σ.

(x)dx, trong đó bước biến đổi cuối sử dụng công thức Mehler [5]

1 − e −2iα Để đơn giản biểu diễn, chúng ta sử dụng các đẳng thức sau

2 cot α, trong đó α = sgn(sin α) Rõ ràng là các đẳng thức này chỉ đúng trong trường hợp sin α ƒ= 0, tức là α ∈/ πZ Biểu diễn tích phân thu được là e − i ( π α^−α )e i p 2 cot α ∫ ∞ xp i Σ f α (p) = (F α f ) (p)

2 x cotα f (x)dx, trong đó α = sgn(sin α) và 0 < |α| < π.

Trong toán tử, biến đổi Fourier phân được xác định như sau: (F α f)(p) = f(p) khi α = 0 và (F α f)(p) = f(−p) khi α = ±π Biểu diễn tích phân này vẫn đúng tại các giá trị này vì lim f α+ε = f α khi ε → 0 Với tính chất giới hạn này, ta giả định rằng biểu diễn tích phân đúng trên đoạn |α| ≤ π Trường hợp |α| > π có thể được xử lý bằng cách lấy modul và đưa về khoảng [−π, π] Định lý liên quan đã được chứng minh cụ thể trong tài liệu [7].

. Định lý 1.2.1 Giả sử rằng α

= a π thì biến đổi Fourier phân có biểu diễn tích phân

K α (p, x)f (x)dx, trong đó nhân của biến đổi được xác định là

2π |sin α| 2π với a ∈/ 2Z; K α (p, x) = δ (p − x) với a ∈ 4Z; và K α (p, x) = δ (p + x) với a ∈ 2 + 4Z.

Sử dụng công thức nhân

(1.2.1) biến đổi Fourier phân được định nghĩa dưới dạng tích phân như sau

Biến đổi Fourier phân chỉ tồn tại dưới những điều kiện tương tự như biến đổi Fourier, như đã được nghiên cứu trong tài liệu [11] Tác giả đã chỉ ra rằng các điều kiện tồn tại của biến đổi Fourier phân là tương đương với các điều kiện của biến đổi Fourier.

Một số tính chất của nhân phép biến đổi Fourier phân được suy ra trực tiếp từ định nghĩa Định lý 1.2.2 khẳng định rằng nếu K α (p, x) là nhân của phép biến đổi này, thì các tính chất liên quan sẽ được xác định rõ ràng.

Phép biến đổi Fourier phân được áp dụng cho mọi giá trị α thực, nhưng thường được xem xét trong khoảng [−π, π] do tính tuần hoàn của các hàm lượng giác Trong trường hợp này, dạng tích phân được xác định bởi một công thức cụ thể.

 1−i cot α exp i cot α (x 2 + p 2 − 2xp sec α)Σ

2π 2 là phép biến đổi Fourier phân (FRFT), và

Phép tính toán tử tổng quát

 √1 e ixp nếu α = π Định lý Parseval quen thuộc đối với phép biến đổi Fourier cũng được mở rộng đến phép biến đổi Fourier phân.

Bằng việc áp dụng Định lý Parseval, tính chất bảo toàn năng lượng (bảo toàn chuẩn) dưới đây đã được chứng minh

Như vậy, nếu hàm f (x) ∈ L 2 (R) thì ảnh của nó qua phép biến đổi Fourier phân cũng là một hàm thuộc không gian L 2 (R).

1.3 Phép tính toán tử tổng quát

Cũng như trong trường hợp phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace, phép tính toán tử có thể xây dựng dựa trên phép biến đổi Fourier phân.

Phép biến đổi của tích

Cho f (x) là một hàm bất kỳ thuộc lớp hàm L 2 (R), ta cần chỉ ra phép biến đổi Fourier phân của x m f (x).

Sử dụng công thức truy hồi

2π là phép biến đổi Fourier phân ngược (IFRFT).

Rút gọn ne −inα e − 2 H n−1(p) giữa phương trình (1.3.1) và (1.3.2) ta thu được

Dạng toán tử của phương trình này là

Lặp lại công thức (1.3.4) ta có kết quả

Từ phương trình (1.3.5) ta có ngay

Xét hàm g(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor dưới dạng g(x) = b m x m Sử dụng phương trình (1.3.5), chúng ta có thể tìm ra một phương trình toán tử tổng quát hơn.

Tác động toán tử này lên hàm f ta được

[f ] (1.3.8) dp dp α α α α Đổi thứ tự của f và g ta cũng tìm được

Vậy biến đổi Fourier phân của x m f (x) trong đó f (x) thuộc lớp hàm

Lebesgue L 2 trong khoảng (−∞, +∞) được cho bởi công thức

d Σ m Đặc biệt, trong trường hợp m = 2:

2 ip sin 2α dp F α [f (x)] − sin α dp 2 F α [f (x)]

Phép biến đổi của vi phân

Quy tắc biến đổi Fourier cho phép tính toán đạo hàm của một hàm số thông qua biểu diễn tích phân Bằng cách áp dụng phương pháp tích phân từng phần và giả định rằng hàm f(x) tiến tới 0 khi x tiến tới ±∞, chúng ta có thể xác định được kết quả của phép biến đổi này.

F Σ df Σ = −i cot αF ip [xf ] + sin α

Sử dụng phương trình (1.3.3), ta được

Dạng toán tử của phương trình (1.3.12) là

, (1.3.13) và có thể mở rộng đến đạo hàm cấp cao Σ d m Σ d Σ m dp Σ Σ2 2

Trong trường hợp đạo hàm cấp 2, ta có công thức Σ d2f Σ 2 d 2 d 2

= (−p sin α+i cos α) sin αF α [f ]+ip sin

1.3 Phép tính toán tử tổng 10 quátVới hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Taylor, ta có

Phép biến đổi của tích hỗn tạp

Bằng cách sử dụng công thức (1.3.10) và (1.3.14) trong trường hợp m = 1 ta tìm được công thức phép biến đổi của tích hỗn tạp

Phép biến đổi của thương Để tìm F α

, ta bắt đầu từ công thức (1.2.3) bằng cách thay f bởi f Công p

Phép biến đổi của tích phân

Xét hàm g(x) x f (x)dx, ta suy ra a f (x) d g(x) Áp dụng công thức (1.3.12), ta có

[g] (1.3.19) Đặt g α := F α [g] và f α := F α [f ], ta thu được phương trình vi phân

Giải phương trình này ta thu được công thức Σ ∫

∫ d x α d x d p x thức phép biến đổi của thương được cho dưới đây. x ip 2 cot ip

1.3 Phép tính toán tử tổng 10 quát x

F α a ip 2 f (x)dx= sec α.e 2 p ip 2 e 2 F α (f ) dp. a

Bằng cách thay biến x trong công thức (1.2.2) biểu diễn tích phân của phép

Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng

thường dùng biến đổi Fourier phân bởi x = x + b ta thu được

Phép mũ ib sin α(p+ 1 b cos α) F α [f (x)] (p + b cos α) (1.3.21)

1.4 Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng

Dưới đây, chúng ta liệt kê các biến đổi Fourier phân của một số hàm thông dụng (chứng minh chi tiết có thể tham khảo tại [1]).

Hàm đơn vị Biến đổi Fourier phân của hàm f (x) = 1 là

−i 2 tan α khi α ƒ= π + kπ Biến đổi là δ(p) khi α = π + kπ.

Hàm delta Biến đổi Fourier phân của hàm f (x) = δ(x − x 0) là

F [δ(x − x )] = 1 − i cot α e i ( p 2 cot α−2px 0 csc α+x 2 cot α ) khi α ƒ= kπ Biến đổi là δ(p − p 0) khi α = π + 2kπ và α = 2kπ.

Hàm Hermite Biến đổi Fourier phân của hàm Hermite φ n (x) là

Hàm chirp tổng quát Hàm f (x) = e 2 có biến đổi Fourier phân là Σ i (χx 2 +2γx)Σ 1 + i tan α i p2(χ−tan α)+2pγ sec α−γ2 tan α

Hàm Gaussian tổng quát Hàm f (x) = e − 2 (χx +2γx) có biến đổi Fourier phân là Σ Σ

Trong đó χ > 0 được yêu cầu cho sự hội tụ.

Hình 1.1 minh họa các tín hiệu và biến đổi FRFT của chúng với α = π/4, bao gồm: (a) biểu diễn miền thời gian của hàm Dirac; (b) FRFT của hàm Dirac; (c) biểu diễn miền thời gian của hàm đơn vị; (d) FRFT của hàm đơn vị; (e) biểu diễn miền thời gian của hàm mũ; và (f) FRFT của hàm mũ Trong đó, đường nét liền thể hiện phần thực và đường nét đứt thể hiện phần ảo.

Hình 1.2: FRFT của hàm chữ nhật được tính toán với các góc khác nhau Đường nét liền: phần thực Đường nét đứt: phần ảo.

Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân

Ứng dụng trong cơ học lượng tử

Biến đổi Fourier là công cụ quan trọng trong việc giải quyết các phương trình vi phân trong cơ học lượng tử Tham số α có thể được chọn linh hoạt để đơn giản hóa các phương trình cụ thể Phương pháp này không chỉ hiệu quả đối với phương trình vi phân thường mà còn mang lại kết quả tốt cho các phương trình đạo hàm riêng.

Ví dụ 1.5.1 Hàm Green của dao động điều hòa phụ thuộc thời gian

Ta đi xét phương trình Schro¨dinger của dao động điều hòa phụ thuộc thời gian k 2 ∂ 2 ψ 1 2 ∂ψ

Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình động lực học với k là hệ số Planck chia cho 2π và hệ số đàn hồi cho dao động của vật khối lượng m, năng lượng E Trạng thái ban đầu của gói sóng được biểu diễn bằng ψ(x, 0) Nghiệm ψ(x, t) được xác định thông qua hàm Green K(x, x′, t), hàm này thỏa mãn phương trình (1.5.1) với điều kiện ban đầu K(x, x′, 0) = δ(x).

− ∞ Để đơn giản phương trình ta đặt z = √

1.5 Ứng dụng của phép biến đổi 15

Hàm Green K(z, z ′ , τ ) thỏa mãn phương trình

∂τ Điều kiện đầu của K là K(z, z ′ , 0) = δ(z − z ′ ) Phương trình (1.5.6) được viết lại thành

2 ∂τ trong đó A là toán tử trong công thức (2.8) Chúng ta đặt

K(z, z ′ , τ ) = F α [Φ](z, z ′ , τ ), (1.5.7) trong đó phép biến đổi Fourier phân tác động lên biến z Thay vào phương trình trên ta có

∂τ (F α [Φ]) (1.5.8) Thay vì xem xét α là hằng số, ta cho α phụ thuộc thời gian Do đó

Vì A giao hoán với F α = e −iαA nên

A − A − 1 Σ Φ + i∂ Φ Σ = 0, và được thỏa mãn khi biểu thức trong dấu ngoặc đồng nhất bằng không

Bây giờ chúng ta chọn ∂α = 1 để phương trình (1.5.8) rút gọn thành

Góc α phụ thuộc thời gian α = τ + C và chọn C = 0 Lúc này α = τ Phương

− iτ trình (1.5.9) là giải được và có kết quả Φ = e 2 F (z), trong đó F (z) là một hàm nào đó của z cần xác định Tại τ = 0, α = 0 và F α = F0 là ánh xạ đồng nhất Do đó

Hàm Green được cho bởi

Ví dụ 1.5.2 Hàm Green của dao động điều hòa có lực tác dụng

Trong một số ứng dụng của lý thuyết trường và điện lượng tử, cần khảo sát hiệu ứng động lực do ngoại lực phụ thuộc thời gian F gây ra.

(t) mà không phụ thuộc vào vị trí Phương trình Schro¨dinger của dao động điều hòa có lực tác dụng là k 2 ∂ 2 ψ 1 2 ∂ψ

Chúng ta viết lại phương trình (1.5.13) bằng các biến rút gọn như bài toán trên Đặt f (τ ) = F ( τ )/√kωk Ta xét hàm Green K(z, z ′ , τ ) thỏa mãn phương trình

2 ∂z 2 − z 2 Điều kiện đầu của K là

K(z, z ′ , 0) = δ(z − z ′ ) (1.5.15) Đặt K(z, z ′ , τ ) = F α [Φ](z, z ′ , τ ), thay vào phương trình (1.5.14), tương tự như ví dụ trước ta thu được

Giải hệ gồm hai phương trình (1.3.3) và (1.3.12) với hai ẩn xF α (f ) và d F α (f ) ta tìm được công thức xF α [f ] = F α Σ cos α xf − i sin α Σ (1.5.17) df

Sử dụng công thức (1.5.17), phương trình (1.5.16) được viết lại thành

Phương trình trên tương đương với

Chọn α = τ , ta được phương trình vi phân cấp một

Vì F0 là toán tử đồng nhất nên Φ(z, z ′ , 0) = F 0Φ(z, z ′ , 0) = K(z, z ′ , 0) = δ (z − z ′ ) (1.5.20)

Ta đã tìm ra công thức tổng quát để xác định nghiệm chính xác cho phương trình đạo hàm riêng cấp một Trong trường hợp này, ta giả định nghiệm có dạng Φ(z, z ′ , τ ) = X(z ′ , τ )δ [θ(τ ) + z − z ′ ] Để xác định các hàm θ(τ) và X, ta đặt điều kiện đầu là θ(0) = 0 và X(z ′ , 0) = 1.

Thay (1.5.21) vào phương trình (1.5.19) ta được Σ i∂

2 )X = 0 (1.5.23) Nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu là

Hàm Green cho dao động điều hòa có lực tác dụng là

Ứng dụng 2πi sin τ, được Namias đề cập chi tiết, giúp giải quyết các vấn đề trong cơ học lượng tử như trạng thái tĩnh và mức năng lượng của electron tự do trong từ trường đều không đổi, cũng như sự thay đổi của gói sóng electron trong điều kiện tương tự.

0 0 trình Schro¨dinger của electron tự do trong từ trường đều biến thiên theo thời gian.

Ứng dụng trong xử lý tín hiệu

Gần đây, ý tưởng áp dụng phương pháp FRFT (Fractional Fourier Transform) trong các quy trình xử lý tín hiệu cơ bản như lọc, ước lượng và khôi phục tín hiệu đã thu hút sự chú ý đáng kể.

[14, 18, 19, 20] Trong phần này, chúng ta xét một số các ứng dụng của biến đổi Fourier phân trong lĩnh vực này.

Lọc chirp trong miền Fourier phân

Phép biến đổi Fourier phân cho phép rời rạc các tín hiệu trong miền thời gian và tần số, ngay cả khi chúng không thể rời rạc Hình 1.3 minh họa phân phối Wigner của tín hiệu và thành phần nhiễu, cho thấy sự chồng lấp giữa tín hiệu và nhiễu trong cả hai miền này.

Phép biến đổi Fourier phân tách tín hiệu chirp, cho phép dễ dàng tách nhiễu khỏi tín hiệu FRFT chuyển đổi tín hiệu từ miền a = 0 thành hàm, giúp cải thiện khả năng phân tích tín hiệu.

Hình 1.3: Lọc nhiễu trong miền FRFT

Delta trong miền a tương ứng với tần số quét của chirp, và bằng cách sử dụng bộ lọc chặn dải, chúng ta có thể loại bỏ hàm Delta Cuối cùng, tín hiệu đã được lọc sẽ được đưa trở lại miền ban đầu thông qua việc áp dụng FRFT ngược.

1.5 gaussian+chirp 2.5 signal+chrip after FrFT

Hình 1.4 minh họa quá trình lọc tín hiệu, trong đó tín hiệu là hàm Gaussian e −(t−30) 2 /20 bị nhiễu bởi chirp 0.1e i ( t 2 /10−2t ) Các hình ảnh thể hiện giá trị tuyệt đối và phân phối Wigner, giúp phân tích tần số của tín hiệu.

Thuật toán được minh họa trong Hình 1.4 sử dụng hàm chirp là 0.1e^(i(t^2/10 - 2t)) và tín hiệu là hàm Gaussian e^(-(t-30)^2/20) Thời gian phân tích được đặt trong khoảng (0, 40) giây với tần số lấy mẫu là 100 Hz, cho phép quan sát rõ nét các hình ảnh minh họa phân phối.

Wigner đã chứng minh rằng Biến đổi Fourier phân đoạn (FRFT) cho phép phân phối quay tín hiệu đến vị trí mà hình chiếu trên trục ngang (miền FRFT cấp a) của tín hiệu và chirp trở nên rời rạc Sau đó, quá trình chirp được loại bỏ và tín hiệu được biến đổi ngược về miền ban đầu.

Bộ lọc tần số quét

Bộ lọc tần số quét đóng vai trò quan trọng trong các bộ phân tích tần số cho tín hiệu cao tần Hệ thống này là một biến thiên tuyến tính và được minh họa qua Hình 1.5 Ngoài ra, bộ lọc cũng có thể được mô tả thông qua đáp ứng xung.

Hệ thống tần số quét được điều khiển bởi hằng số c, ảnh hưởng đến tốc độ quét Tín hiệu đầu ra được tạo ra khi tín hiệu đầu vào là xung đơn vị h(t, τ) = e^(ic(t² - τ²))g(t - τ).

∞ y (t) −∞ x(τ )h (t, τ ) dτ. Đặt α = − cot −1 c và G(u) là biến đổi Fourier của g(t).

Hàm chuyển G (u cosec α) được xác định là hàm chuyển của bộ lọc tần số quét trong miền Fourier phân Quan sát này cho phép chúng ta xử lý hàm chuyển biến thiên của bộ lọc tần số quét tương tự như bộ lọc bất biến sử dụng Fourier thông thường.

Lọc tối ưu trong miền Fourier phân

Trong các ứng dụng thực tế, tín hiệu mong muốn thường bị suy biến hoặc nhiễu, do đó cần tìm toán tử ước lượng tối ưu để loại bỏ hoặc giảm thiểu suy biến Giải pháp cho vấn đề này phụ thuộc vào mô hình quan sát, tiêu chuẩn thiết kế, và các thông tin đã biết về tín hiệu và quá trình suy biến Đối với mô hình suy biến bất biến và tín hiệu dừng, bộ lọc Wiener trong miền Fourier thực hiện với thời gian O(NlogN) giúp ước lượng tín hiệu ban đầu với sai số bình phương trung bình tối thiểu Ngược lại, đối với mô hình suy biến biến thiên theo thời gian và tín hiệu không dừng, quá trình ước lượng tuyến tính tối ưu yêu cầu thời gian O(N^2) Lọc trong miền Fourier phân có thể giảm đáng kể sai số so với lọc trong miền Fourier thông thường, đồng thời chỉ cần O(NlogN) thời gian thực hiện cho các loại nhiễu và suy biến nhất định.

Mô hình quan sát phổ biến nhất được biểu diễn là y = H(x) + n, trong đó H là hệ tuyến tính suy biến tín hiệu x và n là thành phần nhiễu Tiêu chuẩn thiết kế thường dùng là sai số bình phương trung bình (MSE) Khi xem xét toán tử tuyến tính ước lượng x = G(y), nếu H là mô hình suy biến bất biến và x, n là các quá trình dừng, thì toán tử tuyến tính tối ưu G opt tương ứng với bộ lọc Wiener cổ điển, được biểu diễn bằng tích chập và thực hiện qua bộ lọc nhân trong miền FT Tuy nhiên, với hệ suy biến bất kỳ hoặc tín hiệu không dừng, toán tử khôi phục tối ưu không còn bất biến và không thể biểu diễn bằng tích chập, mặc dù chúng ta vẫn có thể tìm ra bộ lọc FT tối ưu, nhưng kết quả sẽ không đạt yêu cầu mong đợi.

Gần đây, các khái niệm về lọc trong miền FRFT đã được thảo luận Bài toán chính được xem xét là tối thiểu hóa sai số MSE thông qua mô hình suy biến bất kỳ và tín hiệu không dừng Mô hình quan sát tín hiệu được thiết lập để phân tích hiệu quả của lọc trong miền Fourier phân.

+ n (t) , trong đó h t, t′ là nhân của mô hình suy biến, n(t) là nhiễu cộng tính Ta giả thiết rằng đã biết các hàm tương quan

Tín hiệu đầu vào x và nhiễu n được mô tả bởi công thức Σ = E Σ n(t)n ∗ (t ′ ) Σ (1.5.31) Giả thiết rằng nhiễu n độc lập với tín hiệu x và có giá trị trung bình bằng 0 tại mọi thời điểm.

E [n(t)] = 0 ∀t và mô hình suy biến đã biết Dưới các giả thiết này, chúng ta còn tìm được hàm tương quan chéo của x và y và hàm tương quan

Trước hết, xét ước lượng tuyến tính tổng quát nhất dạng

Chuẩn thiết kế là sai số bình phương trung bình (MSE)

2 2 e trong đú E[ã] kớ hiệu toỏn tử kỳ vọng và ǁãǁ kớ hiệu chuẩn ǁxǁ

Định nghĩa (1.5.33) áp dụng cho tín hiệu không dừng và các hàm biểu diễn có thể tích phân bình phương Đối với tín hiệu dừng, MSE được xác định là giá trị kỳ vọng của bình phương độ lớn sai số.

Nhân của toán tử khôi phục là nghiệm của bài toán tối ưu g t, t ′ Σ = arg min σ 2

Tức là hàm này cực tiểu hóa MSE Nghiệm của bài toán này với ước lượng tuyến tính (1.5.32) là nghiệm của phương trình

Về tích chập của biến đổi Fourier phân

Tích chập cổ điển của phép biến đổi Fourier đối với hai hàm x(t), y(t) có biến đổi Fourier lần lượt là X(ω), Y (ω) được cho bởi x(t) ∗ y(t) = √

Đẳng thức nhân tử hóa F (x(t) ∗ y(t)) (ω) = X(ω)Y (ω) cho thấy rằng chập hai tín hiệu trong miền thời gian tương ứng với tích của ảnh Fourier của chúng trong miền tần số Phép chập này tuân thủ các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối Sự kết hợp giữa chập và tích, cùng với biến đổi Fourier phân (FRFT), đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu trong thời gian qua.

Năm 1997, Almeida [4] đưa ra định nghĩa bằng cách xét hai hàm x, y ∈

L 1 (R) ∩ W, trong đó W là đại số Wiener gồm các hàm có ảnh Fourier thuộc

L 1 (R) Định lý chập cho hai hàm trong miền xác định của FRFT được cho

2.1 Về tích chập của biến đổi Fourier phân 30 bởi

−∞ X α (v)y [(u − v) sec α] e i v 2 tan α dv. Định lý tích được cho bởi z(t) =x(t)y(t) ↔ Z α (u) = | csc α| e

∞ dv, trong đó Y (u) là biến đổi Fourier phân của y(t).

Một năm sau, Zayed [13] đã giới thiệu một định nghĩa mới về chập, cho phép thực hiện biến đổi Fourier phân cho hai hàm Biến đổi Fourier phân của chập được xác định hoàn toàn trong miền của FRFT, với công thức z(t) = (x ∗ y)(t) = 1 - i cot α e^(-i t^2 cot α).

−∞ thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa i 2

Z α (u) = e − 2 u cot α X α (u)Y α (u). Định lý tích cũng được tác giả đưa ra i t 2 cot α

Một số tích chập có trọng của biến đổi Fourier phân

Đến năm 2009, một định nghĩa mới về chập cho phép biến đổi Fourier phân (FRFT) đã được giới thiệu trong công trình [26] Trước khi đưa ra định nghĩa về tích chập, tác giả đã trình bày khái niệm dịch chuyển của hàm y(t), được ký hiệu là y(tθτ).

K α ∗ lần lượt là nhân của phép biến đổi Fourier phân và Fourier phân ngược Dựa trên hàm này, chập tổng quát được định nghĩa

(f ◦ g)(t) −∞ thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa x(τ )y(tθτ )dτ

Năm 2011, A K Sing và R Saxena đã phát triển các định lý về tích chập mới dựa trên những kết quả trước đó Theo định nghĩa này, khi α = π, biến đổi FRFT trở thành biến đổi Fourier (FT), và tích chập trở lại hình thức cổ điển của FT.

∞ z(t) = (xΘy) (t) −∞ x(τ ) y(t − τ )e iτ (τ −t) cot α dτ thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa.

Hơn nữa, tích chập này cũng thỏa mãn các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối như tích chập cổ điển của FT.

2.2 Một số tích chập có trọng của biến đổi

Trong phần này ta xây dựng tích chập suy rộng của phép biến đổi Fourier phân và Fourier phân ngược.

Biểu diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân được cho bởi công thức (1.2.2) Trong trường hợp α ƒ= 0, π, nếu đặt a(α) = cot α

2 thì phép biến đổi được viết lại c ∞

Xét hàm trọng ψ(x) = e i(x−ax 2 ) f (x) e ia ( x 2 +p 2 −2xpb )dx (2.2.1) Định lý 2.2.1 Nếu f, g ∈ L 1 (R) thì biểu diễn tích phân sau đây xác định một chập suy rộng

−∞ ab ab f (u)g s − u + 2ab du (2.2.2) thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa ψ

∫ hay ψ g minh Từ đây ta cũng suy ra tích chập (2.2.2) thuộc không gian L 1 (R).

Từ biểu diễn (2.2.1) của phép biến đổi Fourier phân ψ(x)F α [f ] (x)F α [g]

Sử dụng phép đổi biến u = u, s = u + v 1

F∗ 0 ≤ ǁf ǁ0 ǁgǁ0 Vậy bất đẳng thức chuẩn (2.2.3) được chứng s − u + 2ab duds.

Vậy tích chập cho bởi (2.2.2) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.2.4).

Nhận xét 2.2.1 Tích chập (2.2.2) thỏa mãn các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối.

Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.2.4) ta có nên

Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.2.4) ta có

F∗ hΣΣ (x). Đẳng thức trên tương đương với

F∗ h Σ (x). Đẳng thức trên tương đương với ψ f F∗ (g + h) = ψ f F∗ ψ g + f

Bằng các kỹ thuật tương tự như trong trường hợp trước, chúng ta có thể chứng minh Định lý 2.2.2 Định lý này khẳng định rằng nếu hai hàm số f và g thuộc không gian L1(R), thì biểu thức tích phân sau đây sẽ xác định một chập suy rộng.

−∞ ab ab f (u)g s − u − 2ab du (2.2.5) thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa ψ α 0

Nhận xét 2.2.2 Cũng giống như tích chập (2.2.2), tích chập

(2.2.5) thỏa mãn các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối.

Xét hàm trọng ψ(x) = e −x 2 −iax 2 Định lý 2.2.3 Nếu f, g ∈ L 1 (R) thì biểu diễn tích phân sau đây xác định một chập suy rộng f ψ

. thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa ψ

∫ ψ minh Từ đây ta cũng suy ra tích chập (2.2.8) thuộc không gian LTừ biểu diễn (2.2.1) của phép biến đổi Fourier phân 1 (R). ψ(x)F α [f ] (x)F α [g]

≤ ǁf ǁ0 ǁgǁ0 Vậy bất đẳng thức chuẩn (2.2.9) được chứng f (u)du c ∞ × √2π

Sử dụng phép đổi biến u = u, v = v, s = u + v t ab ta được ψ(x)F α [f ] (x)F α [g] (x) c 2

Nhận xét 2.2.3 Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.2.10), ta chứng minh được tích chập (2.2.8) cũng thỏa mãn các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối.

 Σ Định lý 2.2.4 Nếu f, g ∈ L 1 (R) thì biểu diễn tích phân sau đây xác định một chập suy rộng ψ n f

. thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa ψ n

F∗ g hay ≤ ǁf ǁ1 ǁgǁ1 Vậy bất đẳng thức chuẩn (2.2.12) được chứng minh Từ đây ta cũng suy ra tích chập (2.2.11) thuộc không gian L 1 (R).

Từ biểu diễn (2.2.1) của phép biến đổi Fourier phân ψ n (x)F α [f ] (x)F α [g]

−∞ e −i2ax e ia [ 3x 2 +u 2 +v 2 +t 2 −2xb(u+v+t)] f (u) g (v) φ n (t)dudvdt. e inα c 3

Sử dụng phép đổi biến u = u, v = v, s = u + v + t ta được ψ n (x)F α [f ] (x)F α [g] (x) e inα c 3

∫ ∞ × f (u) g (v) φ n (s − u − v)dudv} ds e 2ia ( u 2 +v 2 −su−sv+uv )f (u) g (v) φ (s − u − v)dudv 

Nhận xét 2.2.4 Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.2.13), ta chứng minh được tích chập (2.2.11) cũng thỏa mãn các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối.

Xét hàm trọng φ n ( x ) Định lý 2.2.5 Nếu f, g ∈ L 1 (R) thì biểu diễn tích phân sau đây xác định một chập suy rộng

2.2 Một số tích chập có trọng của biến đổi 40

Fourier phân thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa Σ φ n α f F Σ

F∗ α , g ≤ ǁf ǁ1 ǁgǁ1 Vậy bất đẳng thức chuẩn (2.2.18) được

|g (s)| ds. α − chứng minh Từ đây ta cũng suy ra tích chập (2.2.14) thuộc không gian

L 1 (R) Từ biểu diễn (2.2.1) của phép biến đổi Fourier phân inα

Sử dụng phép đổi biến s = t + u − v, u = u, v = v ta được inα

Định lý 2.2.6 khẳng định rằng nếu f và g thuộc không gian L1(R), thì tích phân được xác định trong biểu thức (2.2.14) sẽ tạo ra một chập suy rộng Điều này được chứng minh bằng các kỹ thuật tương tự như trong trường hợp trước đó, và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.2.19).

−∞ −∞ thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa Σ φ n α f F Σ

Ứng dụng

Xét phương trình tích phân λϕ(x)

(2.3.1) trong đó α ƒ= kπ là hằng số thực, λ ∈ C cho trước, các hàm số k, p ∈ L 1 (R) và ϕ ∈ L 1 (R) là hàm cần tìm.

−∞ được gọi là nhân Đặt A(x) := λ + φ n F −α [k] (x). Định lý 2.3.1 Giả sử A(x) ƒ= 0 với mọi x ∈ R và

Phương trình (2.3.1) có nghiệm trong L 1 (R) khi và chỉ khi F

L 1 (R) Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình được xác định làϕ = F−α ΣF α Σ ∈ L 1 (R) [k]

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử phương trình (2.3.1) có nghiệm ϕA

∈ L 1 (R) Tác động F α vào hai vế của phương trình (2.3.1) đồng thời sử dụng đẳng thức nhân tử hóa ta được λF α [ϕ] (x) + φ n (x)F−α [k] (x)F α [ϕ] (x) = F α [p] (x). Điều này tương đương với A(x)F α [ϕ] (x) = F α [p] (x) Vì A(x) ƒ= 0 với mọi

F α [ k ] x ∈ R nên F [ϕ] = F α [ p ] Do ∈ L 1 (R) nên tác động F vào hai vế ta được ϕ = F−α Σ F α [ k Σ ∈ L ] 1 (R) Điều kiện đủ Xét hàm ϕ = F−α ΣF α Σ Theo giả thiết ϕ ∈ L 1 (R) [k]

2.3 Ứng 43 dụng A nên F α [ϕ] = F A α [ p ] Điều này tương đương với A(x)F α [ϕ] (x) = F α [p] (x) Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa ta suy ra

Vậy hàm ϕ thỏa mãn phương trình (2.3.1).

Ví dụ 2.3.1 Giải phương trình tích phân sau inα +∞ +∞ ϕ(x)

−( cot α+csc α ) trong đó ϕ ∈ L 1 (R) là hàm cần tìm.

Lời giải So sánh phương trình (2.3.3) với phương trình (2.3.1) ta thấy x 2 x 2

Sử dụng công thức biến đổi Fourier phân của hàm Gaussian tổng quát ta thu được Σ −x 2 Σ

1 Áp dụng Định lý (2.3.2) ta thu được nghiệm của phương trình (2.3.3) là ϕ(x) F−α ΣF α

Luận văn đã đạt được mục tiêu nghiên cứu ban đầu bằng cách xây dựng các tích chập có trọng cho phép biến đổi Fourier và phép biến đổi ngược của nó Đồng thời, các chập được xây dựng cũng đã được áp dụng để giải quyết một lớp phương trình tích phân dạng chập Kết quả chính của luận văn là những ứng dụng thành công của các tích chập này trong các bài toán liên quan.

Phép biến đổi Fourier phân là một công cụ toán học quan trọng, được định nghĩa để chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Nó có nhiều tính chất đặc biệt, bao gồm tính tuyến tính và tính dịch chuyển Biểu diễn tích phân của phép biến đổi này cho phép phân tích các tín hiệu phức tạp một cách hiệu quả Các phép toán toán tử liên quan đến biến đổi Fourier phân giúp xử lý và phân tích dữ liệu dễ dàng hơn Ứng dụng của biến đổi Fourier phân rất đa dạng, đặc biệt trong cơ học lượng tử và xử lý tín hiệu, giúp giải quyết các bài toán thực tiễn trong các lĩnh vực này.

2 Trình bày một số các tích chập đã được xây dựng đối với phép biến đổi Fourier phân;

Xây dựng sáu tích chập quan trọng cho biến đổi Fourier phân, khảo sát các tính chất của chúng và áp dụng để giải quyết bài toán phương trình tích phân dạng chập.

Một số hướng nghiên cứu mở rộng của luận văn:

1 Tiếp tục xây dựng các tích chập có trọng, tích chập suy rộng đối với biến đổi Fourier phân;

2 Áp dụng các tích chập đã xây dựng được để giải quyết các lớp bài toán phương trình tích phân dạng chập khác;

3 Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng của các chập đã xây dựng trong xử lý tín hiệu.

[1] Alexander D Poularikas, Transforms and Applications Handbook, CRC Press, 2010.

[2] T Alieva, V Lopez, F Agullo-Lopez and L B Almeida, The fractional Fourier transform in optical propagation problems, J Mod Opt., 41 (1994), 1037-1044.

[3] L B Almeida, The fractional Fourier transform and time- frequency representation, IEEE Trans Sig Proc., 42 (1994),

[4] L B Almeida, Product and convolution theorems for the fractional Fourier transform, IEEE Signal Processing Letters,

[5] G E Andrews, R Askey, and R Roy, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 71 ( 1999), Cambridge University Press, Cambridge.

[6] S.-G Liu, H.-Y Fan, Convolution theorem for the three- dimensional entangled fractional Fourier transformation deduced from the tripar- tite entangled state representation,

[7] A.C McBride and F.H Kerr, On Namias’s fractional order

Fourier transform, IMA Journal of applied mathematics, 39

Tài liệu tham 47 khảo[8] D Mendlovic and H M Ozaktas, Fractional Fourier transforms and their optical implementation, I J Opt Soc Amer A, 10

[9] V Namias, The fractional Fourier transform and its application to quantum mechanics, Journal Institute of Mathematics and Applica- tions, 25 (1980), 241-265.

[10] H M Ozaktas and D Mendlovic, Fractional Fourier transforms and their optical implementation, II J Opt Soc Amer A, 10

[11] H M Ozaktas, Z Zalevsky and M A Kutay, The fractional Fourier transform with applications in optics and signal processing,

John Wilay and Sons, New York, 2001.

[12] A K Singh and R Saxena, On Convolution and Product

Theorems for FRFT, Wireless Personal Communications,

[13] A I Zayed, A convolution and product theorem for the fractional Fourier transform, IEEE Signal Processing Letters,

[14] M.A Kutay, H.M.Ozaktas, O Arikan, L Onural, Optimal filtering in fractional Fourier domains, IEEE Trans Signal

[15] F Hlawatsch and F.G Bourdeaux-Bartels, Linear and quadratic time- frequency signal representations, IEEE Signal

[16] L Cohen, Time-frequency distributions-A review, Proc IEEE, 77(7)

[17] H M Ozaktas, O Arıkan, M A Kutay, and G Bozdagı, Digital com- putation of the fractional Fourier transform, IEEE Trans Signal

[18] L Durak, S Aldirmaz, Adaptive fractional Fourier domain filtering, Signal Processing, 90(4) (2010), 1188–1196.

[19] H M Ozaktas, B Barshan, D Mendlovic, Convolution and filtering in fractional Fourier domains, Optical Review, 1(1)

The fractional Fourier transform has significant applications in filtering, estimation, and restoration, as discussed in the proceedings of the IEEE-EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing held in Antalya, Turkey, in 1999 The work by Erden, Kutay, and Ozaktas highlights the transformative potential of this mathematical tool in enhancing signal processing techniques.

[21] I Djurovic, S Stankovic, I Pitas, Digital watermarking in the fractional Fourier transformation domain, Journal of

Network and Com- puter Applications, 24(2) (2001), 167–173.

[22] F Q Yu, Z K Zhang, M H Xu, A digital watermarking algorithm for image based on fractional Fourier transform, Proceedings of the 2006

IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, Singa- pore, May 24–26, 2006, 1–5.

[23] D Cui, Dual digital watermarking algorithm for image based on fractional Fourier transform, Proceedings of the Second

Pacific-Asia Con- ference on Web Mining and Web-based Application (WMWA ’09), Wuhan, China, June 6–7, 2009, 51–54.

[24] Q Ran, H Zhang, J Zhang, L.Tang, J Ma, Deficiencies of the cryptog- raphy based on multiple-parameter fractionalFourier transform, Optics Letters, 34(11) (2009), 1729–1731.

Định dạng
Số trang	109
Dung lượng	812,64 KB