ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± TRANG VE GIAI TÍCH CUA CƠNG THÚC VET TRÊN SL(2, R) Chun nghành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.0102 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH ĐŐ NGOC DIfiP HÀ N®I - NĂM 2014 Mnc lnc Ma đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Cau trúc cna SL(2, R) 1.2 Toán tu bat bien 1.3 Chuoi Eisenstein 10 1.4 Khai trien Fourier cna hàm tn cau .11 Lý thuyet cua L2(Γ \ SL(2, R)) 13 2.1 Chuoi Theta 13 2.2 Phő liên tuc phő ròi rac 18 2.3 Phő liên tuc chuoi Eisenstein 21 2.4 Công thúc tőng Poisson: .28 Cơng thÉc tính vet SL(2, R) 34 3.1 Phân tích phő cna bieu dien quy .34 3.2 Cơng thúc tính vet .37 Ket lu¾n 39 Tài li¾u tham khao 40 Ma đau bat kha bieu tơi dien L2trong (Γ \ SL(2, R) Trong cácchuoi Bieu bieu dien dien cna SL(2, R)quy màvà chúng quan tâm lu¾n văn gom chuoi bieu dien bat kha quy bao gom bieu dien chuoi chính, bieu dien chuoi rịi rac, giói han chuoi rịi rac, bieu dien huu han chieu bieu dien tam thưòng Bieu dien đưoc xác đ%nh nhat nhò vet cna bieu dien Bieu dien quy đưoc phân tích thành tőng rịi rac tích phân liên tuc bieu dien bat kha quy Phan rịi rac cna bieu dien quy cna nhóm SL(2, R) đưoc phân tích thành tőng bieu dien bat kha quy Do v¾y cơng thúc vet cna phan rịi rac cna bieu dien quy đưoc viet thành tőng vet cna tùng bieu dien bat kha quy NHQN bieu dien huu han chieu Vi¾c tính vet cna bieu dien SL(2, R) quy ve vi¾c tính vet cna bieu dien bat kha quy Trong tốn tìm vet cna bieu dien L2(Γ \ SL(2, R)) ta quan tâm phân tích thành phan rịi rac cna bieu dien quy tőng bieu dien chuoi rịi rac, giói han chuoi rịi rac bieu dien huu han chieu Công thúc vet tương úng cho ta ve giai tích cna cơng thúc vet theo cơng trình nghiên cúu cna Arthur – Selberg, Langlands, Shelstad Các phương pháp nghiên cúu su dung lu¾n văn phương pháp giai tích tính vet tốn tu tích phân vói hat nhân Các ket qua trình bày lu¾n văn là: Đưa cơng thúc tính vet SL(2, R) Cau trúc lu¾n văn gom chương: Chương trình bày tóm tat m®t so kien thúc chuan b% Chương trình bày ve phő liên tuc phő rịi rac cna tốn tu tuyen tính cơng thúc vet cna tốn tu tích phân có nhân nhóm SL(2, R) Chương trình bày cơng thúc tính vet SL(2, R) cho bieu dien quy tőng cna vet cna tùng bieu dien bat kha quy NHQN Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Tác gia mong nh¾n đưoc sn góp ý ý kien phan bi¾n cna quý thay cô ban ĐQc Tôi xin chân thành cam ơn! Hà N®i, tháng 11 năm 2014 HQc viên Nguyen Th% Trang Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan t¾n tình cna GS TSKH Đo NGQc Di¾p Thay dành nhieu thịi gian q báu cna đe kiên trì hưóng dan giai đáp thac mac cna suot ca q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói ngưịi thay cna Tơi muon gui tói tồn the thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay đam nh¾n giang day hai khóa Cao HQc 2011 - 2013 2012 - 2014, đ¾c bi¾t thay tham gia tham gia giang day nhóm giai tích 2011 - 2013 lịi cam ơn chân thành đoi vói cơng lao day suot thịi gian cna khóa HQc Tơi xin cám ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p, anh ch% em nhóm Cao HQ c Tốn 2011-2013, đ¾c bi¾t anh ch% em nhóm Giai tích quan tâm, giúp đõ, tao đieu ki¾n đ®ng viên tinh than đe tơi có the hồn thành khóa HQ c Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Cau trúc cua SL(2, R) Kí hi¾u G = SL(2, R) nhóm ma tr¾n vng cap có đ%nh thúc bang trưịng so thnc R G = SL(2, R) = a b Σ | a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1Σ c Kí hi¾u H nua cna m¾t phang phúc (cịn đưoc GQI nua m¾t phang Poincaré): H = {x + iy, x, y ∈ R, y > 0} Kí hi¾u Σ K = SO(2) = g ∈ SL(2, R) : gtg = Σ Σ cos sin θ cos θ θ − sin θ = | θ nhóm đóng lón nhat cna SL(2, R) Nhóm G tác đ®ng lên H boi phép bien đői phân tuyen tính: az + b ab z → gz = , vói g = Σ ∈ G, z ∈ H c d cz + d Ánh xa G → H đong nhat G/K vói H g → gi Trên nua m¾t phang H, ta có m®t cau trúc Riemannian đưoc xác đ%nh boi ds2 = (dx2 + dy2), y2 tích vơ hưóng nhat G-bat bien H Metric cho ta đ® đo G-bat bien H đưoc hieu dz = y2 Các phan tE cua G: dxdy Xét |g − λI| = 0, vói g ∈ G, I ma tr¾n đơn v% cap 2, λ giá tr% riêng neu có cna g Ta có: a− λ d b −λ c = ⇔ λ − (a + d)λ + ad − bc = ⇔ λ 2− tr(g)λ + = 0, vói tr(g) = a + d • Neu |tr(g)| < g đưoc GQI elliptic g có dang chuan Jordan ε Σ , ε ∈ C, |ε| = • Neu |tr(g)| = g đưoc GQI parabolic g có dang chuan Jordan x Σ , x ∈ R • Neu |tr(g)| > g đưoc gQI hyperbolic g có dang chuan Jordan t Σ, t ∈ R t−1 Phân tích Iwasawa: Vói moi phan tu g ∈ G, ta có the phân tích g nhat thành dang g = n(x)a(y)k(θ), vói n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, N = x Σ, x ∈ RΣ , A = √ √ −1 y y Σ , y ∈ R, y > 0Σ , cos θ − sin θ K = Σ , θ ∈ [0, 2π]Σ sin θ cos θ G = NAK Ta có Phân tích Cartan: Vói moi phan tu g ∈ G, ton tai k(θ), k(θJ ) ∈ K a(y) ∈ A, cho g = k(θ)a(y)k(θJ ) Ta có G = KAK Nhóm rài rac: M®t nhóm rịi rac nhóm con, rịi rac cna nhóm PSL(2, R) = G/ {±I} , vói I ma tr¾n đơn v% cap cna SL(2, R) ±I phan tu nhat SL(2, R) cam sinh ánh xa đong nhat H, G/ {±I} nhóm phép bien đői phân tuyen tính Γ đưoc han Điem GQI nhóm rịi rac có di¾n tích huu han neu đ® đo cna Γ \ H l huu NHQN: Kớ hiắu l mđt nhúm rịi rac cna nhóm P SL(2, R) Cho κ so thnc ho¾c ∞ Γκ nhóm dùng cna κ Γ: Γκ = {σ ∈ Γ|σκ = κ} Khi ta parabolic GQI κ m®t điem nhQn cna R neu Γκ đưoc sinh boi m®t phan tu Các điem NHQN tương đương tương úng m®t - m®t cna lóp liên hop cna nhóm cnc đai cna Γ có m®t phan tu parabolic phan tu sinh Neu Γ có di¾n tích huu han so điem NHQN tương đương huu han Đ® đo G: Cho γ ∈ G, nhóm tâm hóa cna phan tu γ G, kí hi¾u Gγ, Σ Gγ = g G|g1g = Mđt đ o trờn Gγ \ G đưoc GQI G- bat bien phai neu à(Ax) = à(A) vúi MQI Borel A Gγ \ G mQI x ∈ G Đ® đo G- bat bien trái đưoc đ%nh nghĩa tương tn M®t đ o trờn G GQI l đ o Haar neu bat bien dưói tác đ®ng cna G Bieu dien cua SL(2, R): Đ%nh nghĩa 1.1 Cho G mđt nhúm (GL(2, R) hoắc SL(2, R), E l khụng gian Hilbert M®t bieu dien cua G E m®t đong cau nhóm tù G vào nhóm GL(E) tn cau tuyen tính liên tnc cua E π : G → GL(E), cho vái mői véc tơ v ∈ E ánh xa π xác đ%nh bái x ›→ π(x)v ánh xa liên tnc Bieu dien π đưac GQI unita neu π(x) unita vái MQI x thu®c G Đ%nh nghĩa 1.2 Cho π bieu dien cua nhóm G khơng gian Hilbert E, W m®t khơng gian cua E Ta nói W G- bat bien neu π(x)W ⊂ W vái MQI x ∈ G Đ%nh nghĩa 1.3 M®t bieu dien π : G → GL(E) đưac GQI bat kha quy neu E khơng có khơng gian bat bien khác {0} E Cho π bieu dien cna G không gian Hilbert E, gia su rang Mˆ E = En , cos θ − sin θ En khơng gian riêng thú n cna K = Σ , θ ∈ [0, 2π]Σ sin θ cos Phan tu v ∈ E K- huu han neu π(K)v sinh m®t khơng gian huu han chieu θ o 2.Không gian L (Γ \ H) đưac gian SL(2, R)−bat bien.phân tích thành tőng trnc tiep cua không o L (Γ \ H) = M nƒ= Hn M + H M H −, mői Hn nhóm SL(2, R) tác đ®ng m®t bieu dien bat kha quy 3.Khơng gian Θ ⊂ Lcon (Γ \ H) chs chúa phő liên tnc cua toán tu Laplace t Đ%nh nghĩa 2.3 M®t hàm ϕ : SL(2, R) → C đưac GQi tn cau neu thóa mãn đieu ki¾n sau: ϕ thóa mãn: ϕ(γg) = ϕ(g), ∀γ ∈ Γ ; ϕ bat bien phai: ϕ(gk) = ϕ(g), ∀k ∈ K = SO(2) ; ϕ b% ch¾n; ϕ có điem NHQN: ∫1 ϕ ϕ hàm riêng Oϕ(g) = =0 1 x Σ g Σ dx − s2 ϕ(g) cua toán tu Laplace 2 ∂2 O = −y 2( ∂ + ∂ )+y ∂x ∂y2 ∂x∂θ Ket hop vói moi dang modular f, dang tn cau Γ \ SL(2, R) f ›→ ϕf (g) = f (gi) cho ta không gian dang tn cau A(Γ \ H) Γ \ H không gian dang tn cau A(Γ \ SL(2, R)) Γ \ SL(2, R) Đ%nh lí 2.11 Cho g = n(x)a(y)k(θ), vái n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, phân tích Iwasawa G = NAK, f dang tn cau Γ \ G, hàm liên hap n nθ fH (z) = y f (g)e(− ) 2π đưac đ%nh nghĩa nua m¾t phang Poincaré H Ngưac lai, neu fH dang tn cau H hàm f (g) = y− nθ n 2f (z) e( H ) 2π dang tn cau Các bieu dien πn± cua chuői rài rac Dn đưac xác đ%nh không gian hàm H+ = {z ∈ C|I(z) > 0} ho¾ H− = {z ∈ C|I(z) < 0} c vái tích vơ hưáng ∫ < f1, f2 >= f1(z)f2(z)y n−1 dxdy tác đ®ng cua bieu dien lên hàm bái công thúc I(z)>0 +b cb Σ)f (x) = f az cz + Σ (cz + d)−n−1 d Ta có nhóm Cartan cna SL(2, R) Σ cosθ y2 | y ∈ R×, θ ∈ [0, H = ∼= C× ∼= R× × S1 Σ + + − sinθ y sin 2] ì Boi n vắy ta cú công thúc Poisson cho C Khi han che |H ta có hàm đieu na π ± ( hịa Fourier ei2πnθ ta có cơng thúc Poisson Đ%nh lí 2.12 (Cơng thúc Vet) 1.Neu πs ∈ Ps m®t bieu dien cua chuői đ¾c trưng Trace πs có dang T race πs± = −s |λg| s + |λg| λg − λ− g (sgnλ)ε, s = iσ ∈ R, ε = 0; 1 ab vái ± = (−1)ε , λg giá tr% riêng cua g = Σ ∈ SL(2, R) c 2.Neu πis ∈ Cs, < s < m®t bieu dien cua chuői đay đu đ¾c trưng Trace πis có dang −s s |λg| + |λg| Trace πis = , < s < λg − λ−g ± 3.Neu πn ∈ Dn , n ∈ Z m®t bieu dien cua chuői rài rac đ¾c trưng Trace πn có λ−n ± einθ dang Trace πn = λg − λ−g e±iθ − e∓iθ λg giá tr% riêng có giá tr% tuy¾t đoi lán nhat SL(2,R) \ T Ind χ(γ) bieu dientrưàng huu han Γ Kí Γhi¾u bieu dien Ta quan tâm đen hapchieu nhómcua thương SL(2, R) χ compact Cho cua SL(2, R) đưac cam sinh tù Γ bái χ Mői bieu dien cua chuői rài rac phân Γ loai phân tích phő thành b®i huu han mői bieu dien quy cua SL(2, R) đưac phân tích thành tőng cua đ¾c trưng trưàng hap đưac phân loai ta có ∫ +∞ ∫ Σ Trace πisds T race ± mπ T race π ds+ s Trace T |L (SL(2,R)) ± πn + −∞ = 4.So b®i m±n so bieu dien πn± cua chuői rài rac Dn phân loai thành bieu dien quy cua  SL(2, R) đưac tính tốn theo công thúc sau  R)) ν v ol(Γ \ S L(2,  n ∓ ± Trace(γs) iπsn  Σ m n = [1+ k− − πs Σ k e (−1)n−1 ε] ki  π2  sin k {γ} s=1 Tőng ket lai có đ%nh lý sau: gian L2(Γ \ líSL(2, R)) làrài tốn unita đưacchính phânquy tíchcua thành tőng R) trnctrong tiep cua Đ%nh 2.13 Phan ractucua bieuvàdien SL(2, không phan bieu dien chuői rài rac giái han cua bieu dien chuői rài rac, mői thành có m®t b®i huu han, m®t phan tőng trnc tiep vái bieu dien chuői bieu dien chuői đay đu Chương Công thÉc tính vet SL(2, R) 3.1 Phân tích cua bieu dien quy \ G) khơng tn bình phương kha tíchCho trênLG(Γ= SL(2, R) Khigian Tg0 :hàm f (g) → f cau (ggcó ) m®t bieu dien Unita cna G D đưoc GQI bieu dien quy cna G D Trên L2(Γ \ G) có m®t bieu dien quy tn nhiên R cna G cho boi cơng thúc az + b a b ΣR c ΣΣ f Σ (z) = f cz + Σ , z ∈ H x d ∈ RΣ tác đ®ng theo phép t%nh tien Trong trưịng hop đ¾c bi¾t, N = Σ| x bien z thành z + x Vói moi hàm0ψ : N \ H → C bien y giam đn nhanh y dan tói ho¾c ∞, ta có đ%nh nghĩa θ - chuoi khơng đay đn θi,ψ(z) = Σ σ∈Γi\Γ ψ(σi −1 σz) Kí hi¾u Θ =< θ | ∀ψ, t >⊂ L (Γ \ H) gian Lcác t,ψ không đay đn Ta biet rang phan bù trnc giao Θ⊥ cnakhông Θ (Γ θ−chuoi \ H) cau vói khơng gian D0 dang NHQN Parabolic (hay nói cách khác khơng gian 0), D = Θ ⊕ D dang tn cau vói so hang hang Fourier cna bieu dien tn cau là0 Xét đai so Hecke H(SL(2, R)) cna tat ca tốn tu tích ch¾p Hecke có dang sau Cho F : H → C m®t hàm K - bat bien hai phía vói phép bien đői có dang z ›→ γz, ∀γ ∈ Γ Các tốn tu Hecke có hat nhân xác đ%nh sau Vói moi hàm tn cau f cho f (γz) = f (z), ∀γ ∈ Γ, ∫ ∫ (F ∗ f ) k(z, z J )f (z J )dz J J−1 J J = F (g g)f (g )dg H = = = Σ ∫ ∫ H k(z, γz J )f (z J )dz J Γ\H γ∈Γ K(z, z J )f (z J )dz J , Γ\H √ z = gi, z = g i, i = −1 K(z, z J ) =Σk(z, γz J ) J J Kí hi¾u tőng cna hat nhân tai điem H(z, z J ) Σ = h i=1 Hi (z, z J ) = h Σ γ∈Γ NHQN Σ boi ∫+∞ K(z, γi n(x)γi−1γz J )dx i=1 γi∈Γi\Γ −∞ Tốn tu Hecke vói hat nhân K(z, z J ) có phő tương tn vói tốn tu có hat nhân K ∗(z, z J ) = K(z, z J ) − H(z, z J ) Hat nhân K ∗(z, z J ) b% ch¾n mien ban Γ \ H có di¾n tích huu han Vì v¾y hat nhân K ∗ (z, z J ) thuđc lúp L2 trờn D ì D, D = Γ \ H, tat ca toán tu Hecke tốn tu đóng Các tốn tu Hecke có m®t phan bù bat kha quy cna Θ⊥ bat bien tích vơ hưóng moi bieu dien tn cau Trên moi phan bù bat kha quy, tốn tu Laplace có m®t giá tr% riêng co đ%nh s(s − 1) + 2 Of ,O=Σ ∂x = λf, ∂λ = ∂2 −y Vói moi dang modular f ∈ Sk (Γ) có TRQNG so k nua m¾t phang Poincaré H = SL(2, R)/SO(2), ket hop vói dang tn cau ϕf ∈ Ak(SL(2, R)) ϕf ΣΣ = k ikθ f (x + iy), a b y2 c e x, y, θ phân tích Iwasawa Bieu dien chuoi rịi rac đưoc xác đ%nh tai hàm ), ηk = yk dxdy y 2 L (H, ηk cna dang modular TRQNG πk a so k boi công thúc b ΣΣ f (z) = (cz + d)−k f (z) c Kí hi¾u Dk chuoi bieu dien rịi rac cna TRQNG so k Các bieu dien tn cau cna dang NHQN đưoc xác đ%nh không gian L2cus (Γ \ SL(2, R)) cna p dang tn cau Đ%nh lí 3.1 T¾p hap đong cau SL(2, R) tù t¾p hap bieu dien chuői rài rac tái t¾p Lcus (Γ \ SL(2, R)) bieu dien tn cau cua SL(2, R) bang t¾p Sk(Γ) cua cácpdang modular (Γ \ SL(2, R))) = Sk(Γ) Hom SL(2,R)(Dk, L cus Tù lý lu¾n ta có đ%nhplý ve phân tích phő cna thành phan rịi rac cna bieu dien quy Đ%nh lí 3.2 (Phân tích phő) Trong khơng gian bieu dien cam sinh cua Ind G B CHQN cos θ − sin θ Hn = f ∈ H| π sin θ cos Σ f = einθ f L θ Tat ca có thú nguyên H = Hn χλ,ε, Σ n∈Z Phan rài rac R|L2cus (Γ\SL(2,R)) cua bieu dien quy có the đưac phân tích p thành tőng cua chuői rài rac phép bien đői πn± khơng gian + M = Hn, D s+ ho¾ c n≡ε mod M 2,n≥m Ds−+1 = n≡ε Hn , mod 2,n≤−m s ∈ Z, s > s + ≡ ε mod ∃m ∈ Z, m = s + 1, m > đưac cam sinh tù χiλ,ε = |a|iλ (sign a)ε giái han cua chuői phép bien đői π0± D1− hai thành phan cua phép bien đői π 0,1 = IndB G χ0,1, đưac cam sinh tù đ¾c so χ0,1 H¾ qua 3.1 Mői hàm ϕ cua láp C∞c (G), toán tu πn± (ϕ) cua láp vet v l mđt hm suy rđng ac kớ hiắu bỏi Θ±n (theo Harish - Chandra), hàm đưac đ%nh nghĩa nhat bái han che nhóm đóng lán nhat K = SO(2) Σ trR(ϕ) = m(πn± )Θ±n (ϕ), vái b®i so m(πn± ) n∈Z,n≥0, ± 3.2 Cơng thÉc tính vet Vet cna han che cna bieu dien quy t¾p dang NHQN parabolic cho ta ve phő cna cơng thúc vet Ta có đ%nh lý ve ve phő cna cơng thúc vet: Đ%nh lí 3.3 Vái mői hàm f ∈ C∞0 (SL(2, R)) có giá compact toán tu cus p (Γ\SL(2,R)) R(f )|L2 cua láp vet mői thành phan bat kha quy b®i huu han Σ = (Γ\SL(2, R )) R(f )|cus m(πn± )πn± (f ), p L2 π∈A(SL(2,R) cus p ) (Γ \ SL(2, R) Xem [2] Σ m(πn± ) = dimC HomSL(2,R) Dk , L2 bieuCho dienGchính quy phai cna Gnhóm L2(Γ rịi \ G) Cho fG ∈sao C∞cho (G) đ%nh nghĩa = SL(2, R), Γ rac cna compact, R R(f )φ(x) = G f (xy)φ(y)dy Bang tính tốn ta có Γ \ G ∫ f (xy)φ(y)dy Σ f (y)φ(x−1γy)dy R(f )φ(x) = = Γ\G γ∈Γ ∫G ∫G f Vì v¾y (y)φ(x−1y)dy = ∫ R(f )φ(x) Σ Γ\G = ∫ ∈ \ \ × K(x, y)φ(y)dy, K(x, y) = φ(x−1γy) Tőng huu han K C∞(Γ G Γ G) γ∈Γ Do R(f ) m®t tốn tu tích phân vói hat nhân K(x, y) R(f ) 2là lóp vet Đe tínhbàivet cnatìm R(f ta bieu quan dien tâm tói vet bieutadien (Γ \ tích G) Trong tốn vet) cna L2(Γcna \ G) quan tâmL phân thành phan ròi rac thành tőng trnc tiep cna bieu dien bat kha quy NHQN cna G, xuat hiắn vúi moi bđi so huu han Vỡ v¾y Σ TraceR(f ) = m(π)Traceπ(f ), π∈G^ G^ đoi ngau unita cna G, m(π) b®i so cna π T raceπ(f ) vet cna tốn tu π(f ) = ∫G f (x)π(x)dx Cơng thúc vet őn đ%nh đưoc đ%nh nghĩa nhat boi han che cna nhóm đóng lón nhat K = SO(2) bang eiθ − e−iθ Θ+ − Θ− n SΘn = n Ket lu¾n Lu¾n văn “Ve giai tích cua cơng thÉc vet SL(2, R)” trình bày n®i dung cơng thúc tính vet SL(2, R) cho bieu dien chuoi rịi rac, giói han chuoi ròi rac bieu dien huu han chieu qua đ%nh lý Đ%nh lý 2.6 làm rõ phân tích phő cna bieu dien chuoi rịi rac Đ%nh lý 2.7 cho ta sn mơ ta xác ve phő liên tuc cna tốn tu tích phân bat bien SL(2, R) Tuy nhiên thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu khơng tránh khoi nhung sai sót em rat mong đưoc sn góp ý cna thay ban ĐQc Tài li¾u tham khao [1]Ngơ sity Bao Châu, Automorphic form on GL2, Preprint.2011, Chicago Univer[2]I GELFAND, M GRAEV, Y PIATESKI-SHAPIRO, Representation Theory and Automorphic Functions, Generalized Functions Series, Vol 6, Nauka Press, Moscow, 1969 [3]Kubota, Tomio, Elementary Theory of Eisenstein Series, Kodansha LTD Tokyo John Wiley & Sons, New York - London - Sydney - Toronto, 1973 [4]S Lang, SL(2, R), Springer – Verlag, New York – Berlin – Heidelberg – Tokyo ... l? ?SL( 2, R) ) l? ?r? ?i tốn unita đưacchính phânquy tíchcua thành tőng R) trnctrong tiep cua Đ%nh 2. 13 Phan ractucua bieuvàdien SL( 2, không phan bieu dien chuői r? ?i rac giái han cua bieu dien chuői r? ?i... Theta 13 2. 2 Phő liên tuc phő r? ?i rac 18 2. 3 Phő liên tuc chuoi Eisenstein 21 2. 4 Công thúc tőng Poisson: .28 Cơng thÉc tính vet SL( 2, R) 34 3.1 Phân tích phő cna bieu... dien SL( 2, R) quy ve vi¾c tính vet cna bieu dien bat kha quy Trong tốn tìm vet cna bieu dien L2(Γ SL( 2, R) ) ta quan tâm phân tích thành phan r? ??i rac cna bieu dien quy tőng bieu dien chuoi r? ??i rac,