Luận văn thạc sĩ sử dụng hằng số giải bài toán cực trị

Một số kết quả cơ bản

Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM và áp dụng

1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM

Giả sử a 1 ,a 2 , ,a n là n số thực không âm, khi đó ta có: a 1  a 2   a n n

Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức AM – GM Tuy nhiên, ở đây ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp Côsi.

 (Đúng) Đẳng thức xảy ra

- Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với n = 2k.

Thật vậy, xét 2k số thực a 1 ,a 2 , ,a k ,a k  1 , ,a 2k  0.

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có a 1  a 2   a 2k

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = p, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = p – 1.

Thật vậy, xét (p – 1) số a 1 ,a 2 , ,a p  1  0 Sử dụng giả thiết quy nạp với n = p ta có:

Theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi n  2 , n 

Vậy bất đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Bất đẳng thức AM-GM là một bất đẳng thức quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học Để áp dụng bất đẳng thức này một cách chính xác, cần lưu ý rằng dấu "=" chỉ xảy ra khi tất cả các số a1, a2, , an đều bằng nhau Việc tách các hệ số sao cho phù hợp là điều cần thiết để đảm bảo tính chính xác của bất đẳng thức.

Khi giải các bài toán cực trị bằng bất đẳng thức trung bình AM – GM, việc áp dụng các hệ số thích hợp là một kỹ thuật cơ bản và quen thuộc Kỹ thuật này giúp tối ưu hóa các biểu thức và đạt được kết quả chính xác hơn trong quá trình giải quyết bài toán.

1.1.2 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng căn thức

Bài 1 (Mexico 2007) Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Xuất phát từ điều kiện ta có: a  bc  a(a  b  c)  bc  (a  b)(a  c)

Tương tự, ta có: b  ca  (b  c)(b  a) c  ab  (c  a)(c  b)

   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Bài 2 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Xuất phát từ điều kiện: ab + bc + ca = 1 ta có:

1  a 2  ab  bc  ca  a 2  (a  b)(a  c) 1  b 2  ab  bc  ca  b 2  (b  c) (b  a) 1  c 2  ab  bc  ca  c 2  (c  a)(c  b)

2 c3 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Bài 3 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Xuất phát từ điều kiện: ab + bc + ca = 1 ta có: 1  a 2  ab  bc  ca  a 2  (a  b)(a  c)

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a  b

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

Bài 4 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b(1  a 2 ) c(1  b 2 ) a(1  c 2 )

Khi đó P    y z x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: x  y  y2x y

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

(Áp dụng bất đẳng thức AM – GM)

Bài 5 Cho a, b, c > 0 và a 2  b 2  c 2 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 2  4  4a b 2  4

Bài 6 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Từ điều kiện a + b + c =1 ta có: a  bc  a(a  b  c)  bc  a 2  ab  ac  bc  (a  b)(a  c)

 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có: b  c 1

Cộng tương ứng hai vế 6 bất đẳng thức trên ta được:

1.1.3 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng phân thức

Xuất phát từ điều kiện ta có: a  bc  a(a  b  c)  bc  (a  b)(a  c)

Tương tự, ta có: b  ca  (b  c)(b  a) c  ab  (c  a)(c  b)

2  ab  bc  ca  a 2 b  a 2 c  abc  ac 2  ab 2  abc  b 2 c  bc 2

2abc ab a  b   abc    ac  a  c   abc    bc  b  c   abc   3abc

2  a   b   c    ab   bc   ca  ab a  b  c   ac  a  b  c   bc  a  b  c   abc

2  a  b  c  ab  bc  ca   abc   2abc

 a  b  c ab  bc  ca  abc Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a  b  c  3 3 a 2 b 2 c 2 ab  bc  ca  3 3 a 2 b 2 c 2

Bài 8 (IMO Shortlist 1990) Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 3 b 3 c 3 d 3

Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 3

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được: a b 3  c 3  d 3

Từ điều kiện ban đầu ta suy ra:

Bài 9 Cho x > 1, y > 1, z > 1 và x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ điều kiện x + y + z = xyz, ta suy ra: 1

        Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:

 x y z Áp dụng bất đẳng thức (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) , ta được:

Bài 10 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ điều kiện a + b + c = 3abc ta suy ra 1

 3 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Bài 11 Cho a, b,c  0 và ab  ac  1  3bc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ điều kiện ab  ac 1  3bc ta suy ra a

 3 c b bc Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 3  1 b 3  1 3a b

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 12 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a(1  b) a(1  b) 1  b b(1  c) 1  c c(1  a) 1  a Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 6 số dương trên ta có:

Bài 1 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 2 Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất:

Bài 3 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a  b  c  ab  bc  ca  6abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4 Giả sử x, y, z thỏa mãn xyz  x  y  z  2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho a, b,c  0 và a  b  c  abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarzt và áp dụng

1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho 2n số thực tùy ý a 1 ,a 2 , ,a n , b 1 , b 2 , , b n Khi đó ta có:

Ta chứng minh bất đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp.

- Với n = 2 thì bất đẳng thức trở thành  a 2  a 2  b 2  b 2  

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ta có

- Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

 Vậy bất đẳng thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy bất đẳng thức (1) đã được chứng minh theo phương pháp quy nạp.

Cho 2n số a i , b i  i  1, n trong đó b i  0 Khi đó ta có:

 a n b n Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

 a n b n Vậy hệ quả đã được chứng minh.

Bài 1 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

0 nên ta có thể đặt: a  y

 z 4 2yz 3  yx 3 Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: x 4

Mặt khác, ta lại có:

  x 2  2xy  yz  z 2  2   y 2  2yz  zx  x 2  2   z 2  2zx  xy  y 2  yz 2  0

Tương tự, ta cũng có:

Bài 2 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a

2b  c 2c  a 2a  b Áp dụng hệ quả trên ta được:

2ab  ac 2bc  ba 2ca  cb a 2 b 2 c 2 (a  b  c) 2

2ab  ac 2bc  ba 2ca  cb 

Dễ có bất đẳng thức (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) Dấu “=” xảy ra

Bài 3 Cho x, y, z > 0 và x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2  1 x 2 y2  1 y 2 z2  1 z 2 x2  1 12  92 x 2 y2  1 12  92 y 2 z2  1 12  92 z 2 x 2  1 x 2 y 2  1 y 2 z 2  1 z 2 82 82

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được:

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

(Do x  y  z 1) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm là 81 x  y  z  và

 54 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số , , và 1

Bài 4 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

       Áp dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz cho 2 bộ số là , , và , , ta được:

Bài 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số là 2

1 , 1 và , 3 ab , 3 bc , 3 ca ta được:

Mà ta có bất đẳng thức (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca)

Bài 6 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a  b  c  6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số là a; và 4; 1 ta được:

Tương tự, ta cũng có:

  Áp dụng bất đẳng thức 1

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho 2 bộ số , , và

(Áp dụng bất đẳng thức AM – GM)

Bài 7 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn thức: a 2  b 2  c 2 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3 a 3 b 3 c 3

5a c  2c  3a  5b  Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được: a 4 b 4 c 4  a 2  b 2  c 2  2

P  a2a  3b  5c  b 2b  3c  5a  c 2c  3a  5b  2(a2  b2  c2)  8(ab  bc  ca) Áp dụng bất đẳng thức được: a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca

Biểu thức P là một phân thức đối xứng ba biến, gợi nhớ đến hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, giúp giảm bậc phân thức để dễ dàng đánh giá và áp dụng điều kiện đề bài Để sử dụng hệ quả này, cần đưa tử về dạng bình phương bằng cách nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với a, b, c tương ứng.

Bài 8 Cho 3 số a, b,c  0 thức: thỏa mãn a 2  b 2  c 2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

(áp dụng bất đẳng thức AM – GM) Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

Bài 9 Cho 4 số dương a, b, c, d Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được:

1.2.4 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng chứa căn

Bài 10 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

 2   2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

4 Chứng minh tương tự ta có:

b  c2  2a2  ca a2  2b2  ab b2  2c2  bc c2  2a2  ca a2  2b2  ab b2  2c2  bc c2  2a2  ca

4 Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 11 Bài toán tổng quát

Cho các số thực dương xx 1 n , x 2 , x 3 , , và các tham số ,0   thỏa mãn 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: n1 1 1

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

Dấu bằng xảy ra khi x 1  x 2

Chứng minh tương tự ta có:

Dấu bằng xảy ra khi x 2  x 3

 Dấu bằng xảy ra khi

 Dấu bằng xảy ra khi x n  1  x n x n  x 1

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được: n1 1 1  2  2   2    x i

Bài 1 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a  b  c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 2 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 4 Cho a  b  c  0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: n a2  8bc

Một số kĩ năng sử dụng hằng số

Sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện của bài toán

Trong các bài toán cực trị có dạng đối xứng, cực trị của biểu thức đạt được khi các biến số bằng nhau Điều này biến điều kiện bài toán thành một phương trình một ẩn Để xác định cực trị, ta cần giải phương trình này và sử dụng nghiệm thu được để tìm giá trị cực trị cần thiết.

Bài 1 Cho a, b, c > 0, a + b + c ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy maxP đạt được khi:

Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM như sau : a b  c ba  c cb  a

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được :

Bài 2 Cho a, b, c > 0 và a  b  c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên maxP đạt được khi:

Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM như sau:

3 3 4 Cộng hai vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được :

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên maxP đạt được khi:

Chú ý sai lầm thường gặp:

 Cộng tương ứng vế, được :

3 Nguyên nhân sai lầm là không để ý đến điều kiện a  b  c  1 Do đó :

Bài 5 Cho a, b, c > 0 và a 2  b 2  c 2  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2c. b  a   2c  b  a 2 Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

2  2  a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 2 1 2a

6 b6  c2  a2  2 b 2 1 2b c 2 1 2c Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 6 Cho a, b, c > 0 và a 2  b 2  c 2 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 c 3 a 2  b 2 Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy maxP đạt được khi:

Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM như sau: a 3 b 2  c 2   1

Bài 7 Cho a, b, c > 0 và a + b + c + abc  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi:

Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM như sau: a 3  b 3  c 3

3 c Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được :

Bài 8 Cho a, b > 0 và a + b + ab = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b nên dễ thấy minP đạt được khi:

Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM như sau: a 2  b 2

2 b Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 9 Cho a, b > 0 và a + b + ab = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b nên dễ thấy minP đạt được khi:

a  b  0   a  b  1 Đặt    1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Cộng tương ứng hai vế của các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 9 có sự tương đồng với Bài 8, dẫn đến nguy cơ sai lầm khi xét điều kiện ban đầu, đặc biệt là khi cho a = b = 1 Việc thay đổi điều kiện ban đầu sẽ làm cho việc dự đoán dấu "=" trở nên khó khăn hơn Do đó, cần thay thế các biến số đối xứng vào điều kiện để giải phương trình một ẩn, từ đó tìm ra nghiệm và điều chỉnh hệ số cho phù hợp.

Bài 10 Cho a, b > 0 và a + b  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta sẽ đưa bài toán này về dạng một ẩn bằng cách đặt ẩn phụ. Đặt t 1 ab

Vậy bài toán trở thành: Cho t ≥ 4, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Để lựa chọn hệ số thích hợp ta có sơ đồ điểm rơi sau:

Sai lầm dễ gặp: P  ab

Nguyên nhân sai lầm : Khi ab  1

Bài 11 Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a  b  2

Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Sai lầm thường gặp: Khi không để ý tới điểu kiện đẳng thức xảy ra mà áp dụng luôn bất đẳng thức AM – GM a 2 b 2  1 a 2 b 2

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi: a  b  c  1

2 Để lựa chọn hệ số thích hợp ta có sơ đồ điểm rơi sau:

Bài 13 Cho a, b > 0 thỏa mãn a  b  ab  a 2  b 2  6  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM như sau: a 3  b 3 

Bài 14 Cho a, b, c > 0 và a  b  c  ab  bc  ca  abc  7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  a 3  b 3  c 3 Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi:

Do đó áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: a 3  b 3  c 3

3 c Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 15 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a  ab 2  a ab 2  a ab

Cộng tương ứng hai vế của các bất đẳng thức trên ta được

 a  b  c   1  ab  bc  ca   3  1  ab  bc  ca 2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 2  1

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được: a 2  b 2  c 2 1

      Áp dụng bất đẳng thức: 1

Bài 17 Cho a, b, c > 0 và ab 2  bc 2  ca 2  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 a  b  c  1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a 4  b 4  b 4  1  4ab 2 b 4  c 4  c 4  1

1  4ca 2 Cộng tương ứng hai vế của các bất đẳng thức trên ta được:

Bài 18 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  3  a  b  c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a  b  c  1 Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b, c nên dễ thấy minP đạt được khi:

2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 3  b 3   3 

 3.bc c 3  a 3   3  3.ca Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

 2 c  2  Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được:

Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được:

Trong các bài toán cực trị, chúng ta chỉ xem xét những bài toán có dạng đối xứng, trong đó cực trị đạt được khi các biến có giá trị bằng nhau Tuy nhiên, đối với các bài toán cực trị khác, cần phân tích thêm để tìm ra phương pháp tối ưu.

Khi giải quyết các bài toán về tính đối xứng và cực trị, đặc biệt là khi các biến không bằng nhau, chúng ta cần áp dụng những phương pháp phù hợp Đối với những bài toán đơn giản, việc dự đoán dấu đẳng thức có thể giúp chúng ta tìm ra lời giải hiệu quả Dưới đây, chúng ta sẽ khám phá một số bài toán tiêu biểu để minh họa cho vấn đề này.

Bài 19 Cho a, b, c, d ∈ 0;1  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vì vai trò của a, b, c, d như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a = max a, b, c, d 

Vì a, b, c, d ∈ 0;1  và a = max  a, b,c,d  nên ta có:

 P  b a  c  a  c  b  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: d a  c  a  c  d   0

Bài 20 Cho các số a, b,c  0 biểu thức: thỏa mãn a 2  b 2  c 2  3 Tìm giá trị lớn nhất của

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử c  b  a  0

P  ab 2  bc 2  ca 2  abc   ab 2  ca 2  a 2 b  abc    bc 2  a 2 b 

 P  b c 2  a 2  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Vậy maxP = 2  a  b  c  1 hoặc a  0, b  1,c  và các hoán vị tương ứng.

Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :

Bài 22 Cho a, b, c > 0 và a  2b  3c  20 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dựa vào điều kiện bài toán

Giải ta dự đoán P đạt giá trị nhỏ nhất tại

Do đó áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :

Mặt khác, từ điều kiện của đề bài: a  2b  3c  20

Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được: ta suy ra:

Giải Đây là bài toán cực trị dạng đối xứng với a, b nên ta dự đoán cực trị đạt được khi a = b Kết hợp với điều kiện ta có:

Từ đây ta dự đoán minP đạt được khi a = b = 1, c = 2.

Do đó áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 2  b 2  2ab

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được: a2  b2  c2  2ab  bc  ca

Bài 1 Cho a, b,c  0 và a  b  c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 1 bc  a  bc   1  ca  b  ca   1  ab  c  ab 

Bài 2 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn | x  2y  3z |14 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3 Cho các số a,b thỏa mãn điều kiện nhỏ nhất của biểu thức: a 2  b 2  a  b  ab  6  2

Bài 4 Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện: abcd 3 a 2 b  b 2 c  c 2 d  d 2 a 5

 ab  bc  cd  da  ac  bd   1  a  b  c  d  3 2 3 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho a, b > 0 và a + b ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Sử dụng hằng số nhƣ là tham số của bài toán

Trong phần đầu tiên, chúng ta đã xem xét các bài toán cực trị mà có thể dự đoán điểm rơi thông qua điều kiện bài toán, tính đối xứng của biểu thức, hoặc đôi khi dựa vào kinh nghiệm và trực giác Tuy nhiên, với nhiều bài toán, đặc biệt là những biểu thức không đối xứng, việc dự đoán điểm rơi trở nên khó khăn và có thể dẫn đến việc không tìm ra hướng giải Để khắc phục điều này, việc đưa vào các tham số giả định là cần thiết Việc thiết lập điều kiện cho các đẳng thức sẽ tạo ra hệ điều kiện để tìm các tham số Chúng ta sẽ xem xét một số bài toán cụ thể trong phần tiếp theo.

Bài viết này có nét tương đồng với bài 22 trong phần 1, nhưng khác biệt ở chỗ chúng ta không thể dự đoán các điều kiện để xảy ra đẳng thức với các giá trị cụ thể như trong bài 22 Vì vậy, cần bổ sung thêm các tham số giả định để làm rõ vấn đề.

Ta thấy trong biểu thức P thì a, b đóng vai trò như nhau vì vậy ta có thể dự đoán điều kiện xảy ra đẳng thức là a  b  c ( 0)

 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 2

   Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta phải tìm α sao cho:

Bài 2 Bài toán tổng quát.

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(với m là hằng số thực dương)

Với  0 , áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 2

   Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta phải tìm α sao cho:

Bài 3 Cho x  0;1  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Với α, β > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :

1 Để tìm được giá trị lớn nhất ta phải tìm được α, β > 0 sao cho:

Với α, β > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

      Để tìm được giá trị lớn nhất ta phải tìm được , sao cho:

Bài 5 Cho x, y  0 và x 3  y 3  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Với α, β > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x 3  5  x 3            6

x 3  y 3  1 Để tìm được giá trị lớn nhất ta cần phải tìm được , sao cho:

Bài 6 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Với α, β > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 3   3   3  3 2 a 8b 3   3   3

 3  3 2 c Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được: a 3  8b 3  c 3  4 3  2 3  3 2 a  6 2 b  3 2 c

 4    6 Để tìm được giá trị nhỏ nhất của P ta cần phải tìm được

Bài 7 Cho a > 0 và các số x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2

Tìm giá trị lớn nhất theo a của biểu thức P  xy  yz  zx

Vớ i  0;1  áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được: x 2  y 2  z 2  2xy

  Để tìm được giá trị lớn nhất của P ta cần tìm

Bài 8 Cho a, b,c  0 và a 2  2b 2  3c 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Với α, β, γ ≥ 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: a 3  a 3   3  3a 2

  2  2 2  3 2  1 Để tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ta cần tìm α, β, γ sao cho:

Giả sử rằng: và a  b  c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P  ma b  c   nb  c  a   pc  a  b    m  n  ab   n  p  bc   p  m  ca

Với α, β, γ > 0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x 2   2  2x 3y 2  3 2  6y 5z 2  5 2  10z Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được: x 2  3y 2  5z 2   2  3 2  5 2  2x  6y 10z

4 Để tìm được giá trị nhỏ nhất của P ta cần tìm

Bài 10 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

0 áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x 2   2  2x 2y 2  2 2  4y 3z 2  3 2  6z

Cộng tương ứng hai vế các bất đẳng thức trên ta được: x 2  2y 2  3z 2   2  2 2  3 2  2x  4y 

z  Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ta cần tìm

Bài 11 Bài toán tổng quát

Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau theo m, n (với m, n > 0):

Giải sao cho m  , n  ,1   0 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

 n    b 2   1    c 2 Để tìm được giá trị nhỏ nhất của P ta cần tìm ,,  sao cho:

Ta có: mn     m        n       1      k 2  m  n  1   2k 3 Đặt f  k   2k3  k2  m  n  1   mn

 Phương trình f  k   0 có nghiệm duy nhất k 0  0

Bài 1 Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 2 Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx = 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3 Xét 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: 21ab  2bc  12ca  12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4 Cho x, y > 0 và x 2  y 2  2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho x, y, z > 0 và x 4  y 4  z 4  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Định dạng
Số trang	212
Dung lượng	507,92 KB