KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất
Trái phiếu là chứng khoán thể hiện nghĩa vụ của người phát hành phải trả một khoản tiền xác định cho người nắm giữ, thường theo các khoảng thời gian cụ thể Khi đến hạn, người phát hành cũng phải hoàn trả khoản vay ban đầu.
2 Đặc điểm a Một trái phiếu thông thường có ba đặc trưng chính, đó là
- Lãi suất định kỳ (coupon).
- Thời hạn. b Trái phiếu thể hiện quan hệ chủ nợ – con nợ giữa người phát hành và người đầu tư
Phát hành trái phiếu là hình thức vay vốn, trong đó người mua trái phiếu trở thành chủ nợ của người phát hành Trái chủ có quyền yêu cầu thanh toán theo các điều khoản đã cam kết về số lượng và thời hạn, nhưng không có quyền can thiệp vào các vấn đề của bên phát hành Lãi suất trái phiếu rất đa dạng, phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nhau.
Cung cầu vốn trên thị trường tín dụng chịu ảnh hưởng bởi chu kỳ kinh tế, chính sách của ngân hàng trung ương, mức độ thâm hụt ngân sách của chính phủ và cách thức tài trợ cho thâm hụt đó.
Mức rủi ro của từng nhà phát hành và mỗi đợt phát hành trái phiếu ảnh hưởng trực tiếp đến cấu trúc lãi suất Cụ thể, rủi ro càng lớn thì lãi suất trái phiếu càng cao.
Thời gian đáo hạn của trái phiếu ảnh hưởng đến lãi suất Cụ thể, nếu các trái phiếu có mức rủi ro tương đương, thời gian đáo hạn dài hơn thường dẫn đến lãi suất cao hơn.
Cổ phiếu là chứng chỉ do công ty cổ phần phát hành, xác nhận quyền sở hữu một hoặc nhiều cổ phần của công ty Cổ phiếu có thể được ghi tên hoặc không, và cần có các nội dung chủ yếu như sau:
Tên, địa chỉ trụ sở chính của công ty;
Số và ngày cấp Giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh;
Số lƣợng cổ phần và loại cổ phần;
Mệnh giá mỗi cổ phần và tổng mệnh giá số cổ phần ghi trên cổ phiếu;
Họ, tên, địa chỉ thường trú, quốc tịch, số Giấy chứng minh nhân dân,
Để thực hiện thủ tục chuyển nhượng cổ phần, cổ đông cá nhân cần cung cấp hộ chiếu hoặc chứng thực cá nhân hợp pháp Đối với cổ đông tổ chức, cần có tên, địa chỉ thường trú, quốc tịch, số quyết định thành lập hoặc số đăng ký kinh doanh Các thông tin này là cần thiết để đảm bảo tính hợp pháp và minh bạch trong quá trình chuyển nhượng cổ phần.
Chữ ký mẫu của người đại diện theo pháp luật và dấu của công ty;
Số đăng ký tại sổ đăng ký cổ đông của công ty và ngày phát hành cổ phiếu;
Các nội dung khác theo quy định dưới đây đối với cổ phiếu của cổ phần ƣu đãi.
Lãi suất là tỷ lệ giữa tổng số tiền phải trả và tổng số tiền vay trong một khoảng thời gian nhất định Đây là chi phí mà người vay phải chi trả để sử dụng tiền không phải của mình, đồng thời cũng là lợi nhuận mà người cho vay nhận được từ việc trì hoãn chi tiêu.
Có nhiều loại lãi suất nhƣ: lãi suất tiền vay; lãi suất tiền gửi; lãi suất tái cấp vốn; lãi suất liên ngân hàng, v.v.
Theo John Maynard Keynes, lãi suất là một hiện tượng tiền tệ thể hiện mối quan hệ giữa cung và cầu về tiền Cung tiền được xác định từ bên ngoài, trong khi cầu tiền phản ánh nhu cầu cho các mục đích đầu cơ, phòng ngừa và giao dịch.
Khác với quan điểm của Keynes, các nhà kinh tế học cổ điển trước đây xem lãi suất như một hiện tượng thực tế, được xác định bởi sự cân bằng giữa năng suất và nhu cầu vốn cho đầu tư cùng với mức tiết kiệm.
Tác động tới nền kinh tế
Lãi suất tăng dẫn đến việc cá nhân và doanh nghiệp giảm vay nợ, làm giảm tiêu dùng và ảnh hưởng tiêu cực tới tổng cầu Cá nhân chuyển sang gửi tiết kiệm nhiều hơn, trong khi doanh nghiệp hạn chế đầu tư mới do chi phí vay tăng, dẫn đến lợi nhuận giảm và thu hẹp sản xuất Sự giãn thợ cũng làm giảm thu nhập của người lao động, khiến họ giảm chi tiêu Đối với vay cầm cố, lãi suất cao làm giảm nhu cầu vay để mua hoặc xây nhà, ảnh hưởng đến đầu tư xây dựng và làm khó khăn việc trả nợ, từ đó tổng cầu tiếp tục bị tác động tiêu cực.
Lãi suất trong nước tăng cao hơn so với lãi suất quốc tế sẽ thu hút dòng vốn nước ngoài vào Việt Nam, dẫn đến sự giảm tỷ giá hối đoái giữa đồng nội tệ và ngoại tệ Kết quả là xuất khẩu ròng giảm, kéo theo tổng cầu trong nền kinh tế cũng giảm theo.
Thị trường đầy đủ và không đầy đủ
1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá
Trong một thị trường chứng khoán cụ thể, một chiến lược đầu tư có thể được xây dựng bằng cách kết hợp một số lượng hữu hạn các chứng khoán với các trọng số tương ứng Giả sử có n+1 chứng khoán, mỗi chứng khoán có giá trị xác định tại thời điểm t.
X i t ,0 i n Mỗi phương án đầu tư là mỗi cách chọn ra
chứng khoán Xi, 0 i n tại mỗi thời điểm t để đầu tƣ Vì vậy có thể hiểu rằng Định nghĩa 1
Một phương án đầu tư trong thị trường t 0,T
là một quá trình ngẫu nhiên đo đƣợc n + 1 chiều và thích nghi với F (m) :
Một phương án đầu tư sẽ được gọi là phương án bán đối với chứng khoán Xi, 0 i n nế u i t
0 và được gọi là phương án mua đối với chứng khoán đó nếu i t 0. Định nghĩa 2
Giá trị của phương án đầu tư t tại thời điểm t được xác định là: Định nghĩa 3
Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điều chỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán
X i 0 i n Điều đó có nghĩa là thay đổi các trọng số của phương án đầu tư từ i t sang
i t ,0 i n Nếu sau sự cân đối lại đó, giá của của phương án đầu tư không đổi, tức là ta có hệ thức:
Sự cân đối tự tài trợ được định nghĩa khi tổng các khoản đầu tư tại thời điểm t bằng tổng các khoản đầu tư trong khoảng thời gian τ Phương án đầu tư tại thời điểm t sẽ được coi là tự tài trợ nếu sự thay đổi giá trị V(t) tương ứng với mức đầu tư θ(t) và thay đổi trong X(t) theo công thức dV(t) = θ(t) dX(t).
Thật vậy, giả sử ta đang xét mô hình thị trường với thời gian rời rạc. t n
X t X t X s ,0 s t , là sự thay đổi giá cả vào thời điểm t,
là phương án đầu tư tại thời điểm t, vậy sự thay đổi giá trị của phương án đầu tư cho bởi:
Phương án đầu tư của chúng ta là tự tài trợ, nghĩa là không có nguồn tiền nào được thêm vào hoặc rút ra từ hệ thống.
Mô hình thời gian liên tục được xác định là giới hạn của mô hình thị trường với thời gian rời rạc khi khoảng cách t – s tiến gần tới 0 Theo định nghĩa của tích phân Itô, điều này dẫn đến kết quả quan trọng trong phân tích tài chính.
Nhận xét: i) Nếu phương án đầu tư là tự tài trợ đối với
thì cũng là tự tài trợ đối với thị trường chuẩn
Thật vậy, giả sử là phương án đầu tư tự tài trợ đối với thị trường
Gọi V t là quá trình giá của đối với thị trường chuẩn Khi đó:
t Áp dụng công thức Itô, ta có: dV t X 1 t dV t V t d X 1 t
0 Điều này dẫn đến t là phương án đầu tư tự tài trợ đối với X t ii) Kết hợp (1.2) và (1.3), ta suy ra :
là một quá trình Itô Khi đó, nếu đặt
0 i i i i dY 0 t 0 t dX 0 t dA t t Y 0 t dt dA t
Phương trình vi phân này có nghiệm
0 s dA s Lấy tích phân từng phần vế
Một phương án đầu tư tự tài trợ được coi là chấp nhận được khi quá trình giá tương ứng của nó, ký hiệu là t, , bị chặn dưới hầu chắc chắn Điều này có nghĩa là tồn tại các giá trị t, thuộc khoảng 0,T × , với K K < , sao cho V t, luôn lớn hơn hoặc bằng một giá trị nhất định.
(Điều kiện này có thể đƣợc hiểu là cần phải có một giới hạn cho số tiền nợ nhà đầu tƣ có khả năng thanh toán) Định nghĩa 5
Một phương án đầu tư tự tài trợ gọi là một cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá V t
của nó thỏa mãn: i) ii)
Một cơ hội đầu tư với độ chênh lệch thị giá cho phép nhà đầu tư bắt đầu với số vốn ban đầu bằng 0 và vẫn có thể thu lợi nhuận vào thời điểm kết thúc Đây là một tình huống mà các nhà đầu tư thường không mong muốn.
gọi là một thị trường không có độ chênh thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào có độ chênh thị giá.
Giả thiết “không có độ chênh thị giá” đƣợc gọi là nguyên lý AAO ( Absence of Arbitrage Opportunity ) Định nghĩa 7
Gọi X là một biến ngẫu nhiên bất kì F T - đo đƣợc Một hợp đồng tài chính chỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn T với giá trị là X T tài sản phái sinh kiểu châu Âu và đƣợc kí hiệu là X đƣợc gọi là một
1.2.2 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ Định nghĩa 8
Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn
X t thời điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ sao cho
Giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm đáo hạn, ký hiệu là V T(φ), phải bằng với giá trị đáo hạn đã được xác định trước, X T, theo quy định trong hợp đồng.
của phương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng Kí hiệu X là lớp tất cả các phương án đầu tư đáp ứng cho phái sinh X
Trong hợp đồng phái sinh, giá đáo hạn X T đã được xác định trước, do đó, phương án đầu tư cần được lựa chọn sao cho giá trị cuối cùng đáp ứng điều kiện được gọi là nguyên lý đáp ứng (1.6) Phái sinh đạt được trong thị trường M.
Một tài sản phái sinh X được coi là đạt được trong thị trường M nếu tồn tại ít nhất một phương án phù hợp cho nó Điều này có nghĩa là
X Định nghĩa 10 Thị trường đầy đủ.
Thị trường M được coi là đầy đủ khi mọi tài sản phái sinh X đều có thể đạt được trong M Điều này có nghĩa là với mọi biến ngẫu nhiên X được đo đạc đối với F T, thị trường M cung cấp khả năng giao dịch và định giá một cách hoàn hảo cho tất cả các tài sản phái sinh.
sao cho V T X T thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư
Ngược lại, một thị trường không thỏa mãn điều kiện trên được gọi là thị trường không đầy đủ.
Một thị trường được coi là đầy đủ khi và chỉ khi tồn tại một độ đo xác suất rủi ro trung tính duy nhất.
Quyền chọn mua kiểu Châu Âu
Hợp đồng quyền chọn mua (Call option) là một thỏa thuận tài chính giữa hai bên, cho phép người mua có quyền mua một số lượng cổ phần cụ thể của chứng khoán hoặc chỉ số chứng khoán với mức giá đã định trước, gọi là giá thực thi (strike price hoặc exercise price), trong khoảng thời gian hợp đồng có hiệu lực Để đổi lấy quyền này, người mua phải trả cho người bán một khoản lệ phí được gọi là phí quyền chọn (call premium) Trong giao dịch này, không có việc chuyển giao chứng khoán thực tế mà chỉ là việc trao quyền mua tài sản tài chính.
Nếu giá chứng khoán tăng như dự đoán, người mua hợp đồng quyền chọn sẽ thu lợi nhuận với khoản đầu tư nhỏ (phí hợp đồng) thay vì phải mua toàn bộ chứng khoán Trong trường hợp này, hợp đồng quyền chọn mua được coi là có lãi (in-the-money call option) Ngược lại, nếu giá không tăng, hợp đồng quyền chọn mua sẽ bị lỗ (out-of-the-money call option).
Về phía người bán, anh ta cũng thu thêm được một khoản lợi tức phụ tương ứng.
Khi hợp đồng được thực hiện, người bán sẽ phải từ bỏ quyền sở hữu số chứng khoán đã xác định Người mua có thể từ chối thực hiện hợp đồng nếu cảm thấy không có lợi Trong hợp đồng quyền chọn mua, người mua kỳ vọng giá chứng khoán tăng, trong khi người bán hy vọng giá đứng yên hoặc giảm, hoặc sẵn sàng từ bỏ lợi nhuận từ việc tăng giá để nhận phí thực hiện hợp đồng ngay và có cơ hội kiếm lợi nhuận.
Giá ấn định và giá hiện tại của chứng khoán tạo ra sự khác biệt trong kỳ vọng giữa người mua và người bán do các nguồn thông tin và phương pháp phân tích đa dạng Sự khác biệt này là nguyên nhân hình thành các hợp đồng quyền chọn như call option và put option.
Có 2 kiểu hợp đồng quyền chọn mua chính là:
Quyền chọn mua kiểu Châu Âu (European call option) cho phép người mua thực hiện quyền mua vào ngày đáo hạn đã định, nhưng không bắt buộc phải thực hiện vào thời điểm đó.
Quyền chọn mua kiểu Mỹ cho phép người mua thực hiện quyền chọn của mình vào bất kỳ thời điểm nào trước ngày đáo hạn của hợp đồng.
Quá trình Markov, xích Markov và toán tử sinh cực vi
Một quá trình ngẫu nhiên X
X t ,t 0gọi là quá trình Markov nếu với mọi thời điểm t bất kì: 0 t 0 t 1 t n , ta có:
Quá trình Markov có đặc tính mất trí nhớ, nghĩa là tương lai của quá trình chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại và không bị ảnh hưởng bởi các trạng thái trong quá khứ.
Xích Markov, được đặt theo tên nhà toán học Nga Andrei Andreyevich Markov, là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và có tính Markov, trong đó tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại mà không liên quan đến quá khứ Tính chất này được gọi là tính chất mất trí nhớ Một dãy các biến ngẫu nhiên X0, X1, X2, được xem là xích Markov nếu với mọi dãy trạng thái i0, i1, , in+1, điều kiện của quá trình vẫn giữ nguyên.
P Xn1 in1 | X0 i0, X1 i1, , Xn in P Xn1
Nói một cách khác, xác suất để chuyển từ trạng thái thứ n là i n sang trạng thái thứ n 1 là i n
Hệ thống không phụ thuộc vào cách thức chuyển đổi đến trạng thái thứ n, nghĩa là không ảnh hưởng bởi các trạng thái trước đó như i0, i1, , in-1 Điều này liên quan đến các xác suất có điều kiện trong quá trình chuyển trạng thái.
P X n 1 đƣợc gọi là các xác suất chuyển. j | Xn i
Nếu xác suất này không phụ thuộc vào n thì ta nói xích Markov có xác suất chuyển dừng và ta kí hiệu
Một quá trình ngẫu nhiên X n
trình đó có tính Markov. thỏa mãn điều kiện (1.7) thì ta nói rằng quá
Kí hiệu P là ma trận gồm xác suất chuyển 1- bước
đều là các xác suất, nên ta có
Ta nhận thấy xích Markov hoàn toàn đƣợc xác định một khi ta biết đƣợc ma trận P và phân phối xác suất ban đầu
= P Xn in | X0 i0, , Xn1 in1 P X0 i0, , Xn1
n1 i i i i n1 n n2 n1 0 1 Đó là vì ta đã lặp đi lặp lại nhiều lần hệ thức nhân xác suất
Gọi là n là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j qua n bước, tức
X i ta có mệnh đề sau.
Với r n Chứng minh: thì ij n ik kj r n r k 0
Vì quá trình phải ở một vị trí nào đó vào thời điểm n nên ta có
r n r ik kj j | Xr k, X 0 i P Xr k | X 0 i k 0 Đó là vì ta đã vận dụng hệ thức nhân xác suất có điều kiện:
Công thức (1.8) đƣợc gọi là phương trình Chapman – Kolmogorov cho xích Markov thuần nhất.
P (n) là ma trận gồm các xác suất chuyển qua n bước n thì phương trình (2) đảm bảo rằng
P (n) P.P (n1) P.P.P (n2) P (n) Vậy ma trận P có thể tính bằng cách nhân ma trận P với chính nó n lần.
1.4.3 Toán tử sinh cực vi
0 là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục nhận giá trị nguyên không âm.
là một xích Markov nếu s,t 0 và với mọi số nguyên không âm i, j, x(u),0 u
ở đó quá trình ở trạng thái i tại thời điểm 0 Gọi
T i là thời gian để quá trình ở trạng thái i Theo tính chất Markov ta có
P Ti s t | Ti s P Ti t , điều này có nghĩa là
T i là một quá trình không có trí nhớ Dĩ nhiên T i cũng là không âm, liên tục và do đó
T i ta có phải có phân phối mũ Thật vậy:
P Ti s t P Ti t P Ti s Đặt g t P T i t thì từ ta có g t
Suy ra T i có phân phối mũ với hàm mật độ f t F ' t e t và
Vậy ta có các tính chất của xích Markov với thời gian liên tục:
1) Khoảng thời gian mà quá trình ở lại trạng thái i là một biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình i
2) Quá trình chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j với xác suất chuyển p ij
Xích Markov với thời gian liên tục mô tả quá trình chuyển đổi giữa các trạng thái, tương tự như xích Markov với không gian trạng thái rời rạc Tuy nhiên, điểm khác biệt là thời gian dừng lại tại mỗi trạng thái tuân theo phân phối mũ.
Ta sẽ bắt đầu xem xét một xích Markov với thời gian liên tục có không gian trạng thái hữu hạn đó là X t 0, , N
0 j , khi đó thì tính chất Markov đảm bảo rằng
X t ,t 0 thỏa mãn các hệ thức:
Giới thiệu về các phương trình Chapman – Kolmogorov, trong đó tính chất c) thể hiện mối quan hệ giữa các trạng thái trong quá trình Markov Đồng thời, d*) không phải là hệ quả trực tiếp từ tính chất Markov, mà là một điều kiện bổ sung thường được áp dụng trong phân tích các quá trình này.
P ij là ma trận xác suất chuyển tại thời điểm t, vì vậy P là một ma trận mà các phần tử đều là hàm của t.
Bây giờ c) có thể đƣợc viết
0 và d*) tương đương với điều kiện lim h 0 P h I trong đó I là ma trận đồng nhất Tính chất d*) nghĩa là ma trận
là liên tục phải tại t 0, tức là các phần tử của nó đều liên tục phải tại t 0 Bây giờ lim h 0 P t h lim h 0 P t P h
Từ tính chất d* nếu h đủ nhỏ ta có P h 1 I Do đó
P t liên tục tại mọi t 0 Hơn thế nữa, chúng ta có: q : lim 1 P ii h
Ta có i h 0 q ij : lim h 0 h Pij
N j0, ji P ij h 1 P ii h q i j0, ji q ij Điều này chỉ ra rằng P t là khả vi.
Các tốc độ q i và q ij dưới đây cho ta một cách thứ hai để mô tả xích Markov gọi là phương pháp mô tả cực vi:
0 là một xích Markov với X t 0,1 và
Chúng ta cần tính A n , ta có:
Quá trình Poisson và chuyển động Brown
N N ,t là một quá trình Poisson với tham số
0 nếu có những tính chất sau đây: a t
, N t N s là một biến ngẫu nhiên Poisson với trung bình là
N t k 1 , k 1, 2, ,l là một họ các biến ngẫu nhiên độc lập.
Mọi quá trình Poisson đều có một bản sao với quỹ đạo liên tục phải.
Các thể hiện của một quá trình Poisson thường là các hằng số, ngoại trừ tại các bước nhảy, mà kích thước của chúng là 1 Trong mỗi khoảng thời gian bị giới hạn, số lượng bước nhảy là hữu hạn, nhưng trong khoảng thời gian từ (0, ∞) thì số lượng này trở nên vô hạn.
Lượng thời gian giữa hai bước nhảy liên tiếp là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối mũ với tham số chính là
Đối với một quá trình Poisson N thì tồn tại một bộ lọc tiêu chuẩn Ft xác định bởi
Vì bộ lọc chứa các tập P không của
F t Ta luôn luôn dùng bộ lọc này. nên ta có F t F t+
1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp
Cho X 1 , X 2 , , X n , là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Cho
là một quá trình Poisson với cường độ và độc lập với các
Xét một tổng gồm một số ngẫu nhiên các số hạng X k nhƣ sau:
N t là một số ngẫu nhiên xác định bởi quá trình Poisson N nói trên tại thời điểm t.
Vậy (1.9) xác định nên một quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên này đƣợc thiết lập từ hai nguồn ngẫu nhiên: một nguồn ngẫu nhiên từ dãy Xk và một nguồn ngẫu nhiên từ quá trình
Poisson N Quá trình Y N đƣợc gọi là quá trình ngẫu nhiên phức hợp.
2 Phân phối của quá trình ngẫu nhiên phức hợp.
(x) là tích chập n lần của hàm phân phối chung của các X k :
Gọi là kì vọng chung của các X k : E Xk
nP Nt n E Nt t. n1 trong đó là cường độ của quá trình Poisson.
4 Quá trình đối trọng của quá trình Poisson phức hợp Định lý 1 Giả sử Y N (t) là một quá trình Poisson phức hợp thì khi đó quá trình Z (t) Y N (t)
Chứng minh: Giả sử 0 s t , vì Y N (t) Y N
Fs Nu,u s và có kỳ vọng là t s nên ta có:
1.5.3 Chuyển động Brown ( hay quá trình Wiener )
Chuyển động Brown trong không gian được định nghĩa qua hai tính chất chính Đầu tiên, với 0 ≤ s < t < ∞, hiệu B_t - B_s là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và phương sai t - s, tức là B_t - B_s ~ N(0, t - s) Thứ hai, với 0 ≤ t_0 < t_1 < t_2 < < t_l < ∞, tập hợp {B_{t_0}, B_{t_1}, B_{t_2}, , B_{t_l}} phải có phân phối chuẩn đồng thời.
1 , k 1, 2, ,l là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập.
Một chuyển động Brown trong d là một bộ lọc d quá trình một chiều
B i B i ,t ,i 1, , d là một chuyển động Brown trong
và các i là độc lập với nhau.
Ta sẽ kí hiệu P x và E x là xác suất và kì vọng của một chuyển động Brown
1/ Từ tính chất i) ta suy ra rằng phân phối của
B s chỉ phụ thuộc vào phân phối
B t s Tính chất này đƣợc gọi là tính chất thuần nhất theo thời gian hay là tính dừng Vậy số gia
B s là một số gia dừng.
Nếu B 0 x hầu chắc chắn thì xác suất chuyển là x 1 | x y | 2
P t x, A P B t A (2 t) d /2 exp 2t dy với mọi t 0, x d và tập Borel A trong
x d Đó là tính chất thuần nhất theo không gian.
3/ Tính chất ii) trong định nghĩa trên gọi là tính chất có số gia độc lập. Tính chất này vẫn đúng cho chuyển động Brown d chiều. t t t t t t 0 0 t 0
4/ Mọi chuyển động Brown đều có một bản sao liên tục Ta sẽ sử dụng bản sao này Chuyển động Brown cũng có lọc tự nhiên xác định bởi:
5/ Một tính chất cơ bản của chuyển động Brown là tính chất Markov mạnh Tính chất này nói lên một điều sau đây: cho trước diễn biến chuyển động Brown B tới một thời điểm dừng hữu hạn , thì dáng điệu của B sau đó chỉ phụ thuộc vào và trạng thái B Nói chính xác, nếu một hàm đo đƣợc Borel và là một thời điểm dừng thì f : d là
Nếu A là tập Borel bất kì trong d thời điểm dừng.
Công thức Feynman – Kac
Định lý 2 thì A inf t 0, Bt
Cho X t là một quá trình thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên: dX t, X dt t , X
Khi đó hàm số tất định C t, x xác định bởi
là lời giải duy nhất của phương trình đạo hàm riêng sau đây:
Công thức (1.10) được gọi là công thức Feynman – Kac trong trường hợp một chiều.
Với Feynman – Kac, lời giải của một phương trình đạo hàm riêng tất định là kì vọng toán học của một quá trình ngẫu nhiên.
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH MARKOV
Quá trình ngẫu nhiên đƣợc điều khiển bởi xích Markov
E là một xích Markov với giá hữu hạn trên không gian E Để đơn giản, không giảm tính tổng quát, ta chọn không gian
Tập hợp E được định nghĩa là E = {2, 2², 2³, , 2ⁿ}; lựa chọn này cho phép chúng ta xây dựng một không gian trạng thái, trong đó hiệu giá trị giữa hai trạng thái trong E, tức là 2ʲ - 2ⁱ, sẽ cho ra một số duy nhất cho mọi cặp i, j với i khác j.
Chúng ta cũng có thể giả sử cho đơn giản rằng ma trận cực vi
Q q i j ,i, j 1,2, , n của xích Markov thỏa mãn: a) 2 i E, q 0, và q i j 0 i j b) 2 i
0 (nghĩa là Q là bảo toàn).
Chúng ta xây dựng xích Markov thông qua ma trận cực vi Q, được xác định như một tích phân ngẫu nhiên dựa trên độ đo ngẫu nhiên.
Cho U là không gian các “dấu hiệu”
Và trên không gian xác suất tổng quát , F, P chúng ta xây dựng các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối là U 1 ,U 2 , sao cho q i j
B là phân phối của mỗi U i với B là tập Borel.
Trên không gian xác suất , F, P
Poisson tiêu chuẩn với cường độ cho N (t),t 0là quá trình
Ta chú ý rằng 0 do điều kiện b) và c).
Chúng ta giả sử rằng N (t),t 0 là độc lập với U 1 ,U 2 , , nghĩa là
1,2, là một quá trình Poisson phức hợp Độ đo Poisson ngẫu nhiên gắn với quá trình này đƣợc kí hiệu đó nếu T 0, và B U thì
(2.4) Ở đây các thời điểm dừng 1 , 2 , , của N (t)
thỏa mãn sao cho các số gia
1,2, , là với 0 0 là độc lập và có phân phối mũ với tham số
E M 0,t B t B t 2 2 t m(B) a ij B trong đó chúng ta định nghĩa m(B) 2 2 a ij B Cho b(t,u,) là một hàm nhận giá trị xác định với
Trong khoảng thời gian từ 0 đến vô hạn, với u thuộc tập U và ω thuộc tập Ω, hàm b(t,u,·) liên tục theo t tại hầu hết các ω và đo được theo u tại hầu hết các ωF Điều này có nghĩa là b(t,u,·) là F_t - đo được với u cố định Từ đó, chúng ta có thể xác định một tích phân ngẫu nhiên.
Tích phân trong (2.5) thỏa mãn một công thức biến đổi có ích (công thức kiểu Ito) đó là
là hàm đo đƣợc với giá trị thực với 0 t và a t , là q i j
thích nghi, b(t,) nhƣ trên và (t, x) là hàm số nhận giá trị thực xác định vớ i 0 t , x
(t, x) bị chặn trên với x và t hữu hạn và vì thế
Các kết quả
Q q i j là ma trận thỏa mãn (2.3) và cho M dt du là độ đo ngẫu nhiên Poisson xác định trong (2.4) Xét quá trình ngẫu nhiên
x(t),t 0 xác định bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên: trong đó t x(t) x(0) 0 U b(x(s ),u)M (ds du) (2.7) n b(x,u) u I 2 i (x) I a U:i j (u) i 1
X x(t),t 0 là một xích Markov với ma trận cực vi Q
(1.4) chúng ta có f : E R (,) và thay f (x) cho (t, x) trong f x(t)
Với định nghĩa 0,t B tm( B) E M 0, t B chúng ta thấy
B là một martingale với mỗi B , và nhƣ vậy mỗi bên của biểu thức dưới đây đều là một martingale: f x(t)
Chia cả hai vế của phương trình (2.9) cho t, sau đó lấy kỳ vọng E i cho mỗi vế và tính giới hạn khi t tiến tới 0, chúng ta có thể kết luận rằng nếu A là hàm sinh cực vi của quá trình Markov, thì
Nhƣ vậy hàm sinh cực vi A đƣợc cho bởi ma trận Q q i j
Tiếp theo chúng ta cho
0 là một quá trình khuếch tán sao cho với mỗi x E 2, 2 2 , , 2 n , quá trình đó đƣợc xác định bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên: dy x t x, y x t dt x, y x t
0 là một chuyển động Brown cố định và x, x, và x, là các phiếm hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
Cho X là một xích Markov đƣợc cho bởi (2.7) và giả sử rằng W và X là xác định trên các không gian xác suất giống nhau với cùng bộ lọc và độc lập với nhau Bây giờ cho quá trình Y y t ,t 0 đƣợc xác định bởi dy t x t , y t dt x t , y t
Quá trình Y mô tả vị trí y t
trong một cuộc chạy đua tiếp sức ngẫu nhiên của các người chạy (tức là các quá trình)
Y x cho phép nếu x(0) = x0, que gỗ sẽ được truyền tay cho người chạy y(t) Quá trình này sẽ tiếp tục phát triển theo thời gian cho đến khi xảy ra bước nhảy đầu tiên, lúc đó xích sẽ được hình thành.
chuyển đến một trạng thái mới x 1 ; que gỗ truyền tay sau đó được chuyển qua người chạy y x t
và quá trình này bắt đầu tại thời điểm mà người chạy y t kết thúc bên trái; quá trình y x t
Quá trình phát triển tiếp theo của xích Markov diễn ra liên tục, với vị trí tại thời điểm t được biểu thị là y(t).
0 không phải là một quá trình Markov thì quá trình chung z t x t , y
t lại là quá trình Markov Điều đó đƣợc thể hiện trong x
0 các kết quả mà ta sẽ trình bày sau đây. Định lý 4 Cho
0 là một xích Markov và cho y t ,t
0 được xác định bởi (2.11) Khi đó Z z t x t , y t ,t
0 là xác định duy nhất một quá trình Markov với không gian trạng thái E R vi phân ngẫu nhiên L cho bởi
Lf x, y A x f x, y Qf x, y và với toán tử
Chứng minh Quá trình Z có thể được viết lại dưới dạng vectơ như sau: z t z 0 z s ds z s dW s 0 U b z s ,u M ds du
Sự tồn tại và duy nhất của Z đã đƣợc I.I.Gihman và A.V.Skorohod chứng minh trong cuốn sách nổi tiếng Phương trình Vi phân Ngẫu nhiên
[5], hơn nữa Z là quá trình Markov với không gian trạng thái E R Hơn
Trong cuốn sách này, một công thức dạng Ito cho Z đã được trình bày, và toán tử vi phân L của Z được xác định theo cách tương tự như đã nêu.
0 là quá trình ngẫu nhiên tạo nên từ hai quá trình y x t , t 0 và x t , t 0
MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X)
Công thức Black – Sholes cho thị trường B , S , X 45
Nhƣ vậy trong luận văn này, tôi đã trình bày:
1/ Những kiến thức cơ bản về trái phiếu và lãi suất trong Toán Tài chính, cùng với những khái niệm cơ bản về xích Markov, toán tử sinh cực vi, và mối liên hệ giữa một bài toán Cauchy đối với một phương trình đạo hàm riêng và lời giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên qua Đinh lý Feynman-Kac.
2/ Một lý thuyết mới về Phương trình vi phân ngẫu nhiên phụ thuộc vào hai nguồn ngẫu nhiên, mà ngoài chuyển động Brown, nguồn ngẫu nhiên thứ hai là một xích Markov xuất hiện trong hệ số chuyển dịch và hệ số khuếch tán (độ biến động).
3/ Mô hình Black-Scholes trong khung cảnh của lý thuyết trên, tức là mô hình quyền chọn châu Âu kiểu Black-Scholes trong một thị trường không đầy đủ do sự tham gia của một xích Markov.Công thức định giá cho mô hình này đã đƣợc trình bày rõ ràng.
Tác giả hy vọng rằng, sau luận văn này, sẽ học hỏi thêm để đi sâu vào hướng này cho các mô hình Toán Tài chính khác.
Phương pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính
Giá trị của một phương án đầu tư tại thời điểm t, ký hiệu là V(t), được xác định để thực hiện một hợp đồng phái sinh có giá trị đáo hạn X Điều này diễn ra trong một quá trình ngẫu nhiên, được phân tích trong một không gian được lọc.
là một luồng thông tin thị trường với F 0 , và P là xác suất ban đầu.