Luận văn hoàn thành Trường Đại học Đại học KHTN - ĐHQGHN Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Mảng phù hợp mảng hiệu martingale 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên .8 1.4 M ột số dạng hội tụ mảng hai chiều biến ngẫu nhiên 1.5 Một số bổ đề 10 1.6 Khái niệm khả tích theo nghĩa Cesàro 15 Chương Luật số lớn hai số 16 2.1 Luật yếu số lớn 16 2.1.1 Luật yếu số lớn Feller .16 2.1.2 Luật yếu số lớn mảng khả tích 25 2.2 Luật mạnh số lớn 27 Kết luận 33 Hướng phát triển khóa luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học học sống Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Cơ - Tin, Phịng sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo Bộ mơn Lý thuyết xác suất thống kê tốn, khoa Tốn Cơ - Tin nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tác giả q trình học tập hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên khóa luận chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nguyễn Hữu Thành Mở đầu Luật số lớn đóng vai trị vơ quan trọng Lý thuyết Xác suất Luật số lớn J.Bernoulli công bố vào năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng Trong năm qua có hướng nghiên cứu luật số lớn mở rộng kết Luật số lớn trường hợp dãy (một số) cho trường hợp nhiều số Smythe (1972) thu luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều số biến ngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz - Zygmund dãy nhiều chiều Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập Thời gian gần có nhiều báo nghiên cứu trường hợp hai số cho biến ngẫu nhiên thực nhận giá trị không gian Banach như: Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quang, Nguyễn Văn Huấn, Lê Văn Thành, Trên sở chúng tơi nghiên cứu đề tài LUẬT SỐ LỚN HAI CHỈ SỐ Bố cục khóa luận gồm chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian Banach p- trơn đều, không gian Banach p- khả trơn, khái niệm tính bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm mảng phù hợp, mảng hiệu martingale, khả tích cấp r theo nghĩa Cesàro(r > 0) Đồng thời chúng tơi đưa số bổ đề chìa khóa để có kết Luật số lớn khóa luận • Chương Luật số lớn hai số Nội dung khóa luận trình bày chương này, bao gồn hai phần Phần 2.1 chúng tơi trình bày luật yếu số lớn Feller thiết lập điều kiện khả tích điều kiện đủ để thu Luật yếu số lớn tổng kép biến ngẫu nhiên có số ngẫu nhiên Phần 2.2 chúng tơi thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên Chương Kiến Thức Chuẩn Bị Trong tồn luận văn, ta ln giả sử (Ω, F , P ) không gian xác suất đầy đủ cố định Với a, b ∈ R, {a, b} max {a, b} kí hiệu a ∧ b a ∨ b Kí hiệu C số dương, số khơng + số log x =phải log giống (1 ∨ x) Với xtrong ≥ 0, kí hiệu lần [x] xuất số nguyên lớn2nhất thiết Kí hiệu log logarit không vượt x 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi không gian p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) modun trơn ρ(τ ) thỏa mãn: ρ(τ ) = O(τ p ) (khi τ → 0) modun trơn định nghĩa: Σ ρ(τ ) := ǁx + yǁ + ǁx − − 1; x, y ∈ E, ǁxǁ = 1, ǁyǁ = τ Sup yǁ Nhận xét 1.1.2 Đường thẳng thực R trường hợp đặc biệt không gian Banach p-trơn với p = Định lí sau Assouad đưa điều kiện cần đủ để không gian Banach khả ly X không gian Banach p-trơn Định lí 1.1.3 (Assouad) Khơng gian Banach khả ly X không gian Banach p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) với q ≥ 1, tồn số C > cho với martingale {Sn, Fn, n ≥ 1} nhận giá trị X EǁSnǁp ≤ CE , ∀n ∈ N (1.1) có: Σ n Σq/ ǁSi − i= Si−1ǁ p p (Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund) Định lí 1.1.4 (Assouad, Hoffmann Jørgensen) Khơng gian Banach nhận giá trị thực X p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) tồn số dương L cho với x, y ∈ X , ta có: ǁx + yǁp + ǁx − yǁp ≤ 2ǁxǁp + Lǁyǁp (1.2) Hơn nữa, E không gian p-trơn (1 < p ≤ 2) khơng gian r-trơn ≤ r < p Chi tiết ta có đánh giá sau: (ǁx + yǁ r r p p p p r r p + ǁx − yǁ ) ≤ 2r−1 (2ǁxǁ + Cǁyǁ ) ≤ (2ǁxǁ + Cǁyǁ ) r Định nghĩa 1.1.5 Không gian Banach E gọi không gian pkhả trơn (1 ≤ p ≤ 2) tồn chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu cho E với chuẩn trở thành không gian p-trơn 1.2 Mảng phù hợp mảng hiệu martingale Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất, X không gian Banach khả li B(X ) σ - đại số tất tập Borel X Mảng chiều {Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} σ - đại số F với số N x N Khi mảng chiều {Xmn, Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi mảng phù hợp thỏa mãn điều kiện sau (1) Xmn Fmn/B(X ) đo r (2) Với n ∈ N m2 > m1 Fm1n ⊂ Fm2n với m ∈ N n2 > n1 Fn1m ⊂ Fn2m S Kí hiệu = σ ( m≥ Fm ) , F∞n Fm∞ n S = σ ( n≥ Fm ) n ∗ Fm = σ (Fm−1,∞ ∪ F∞,n−1) Ta quy ước F0,∞ = F∞,0 = {φ, Ω} n Một mảng phù hợp {Xmn, Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi mảng hiệu martingale nếu: E {Xmn } = 0, ∀m, n ∈ N m |F ∗ n Ví dụ sau cho thấy tồn khái niệm mảng hiệu martingale Ví dụ 1.2.1 Cho {Xmn, m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng Với m ≥ 1, n ≥ 1, gọi Fmn σ - đại số sinh Xmn , E {Xmn |Fm∗ } = EXmn = {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} lập n thành mảng hiệu martingale Ví dụ 1.2.2 Cho dãy (Xn, Fn, n ≥ 1) hiệu martingale (Xn, n ≥ 1) khơng độc lập Với n ≥ 1, đặt Xmn = Xn m = Xmn = m > 1; Fmn = Fn, m ≥ Ta có Xmn ∈ Fmn, ∀m, n ≥ Σ ∞ [ ∗ ∗ = m > Fm = Fn−1, m = 1;mF nσ Fn n n=1 Khi {Xmn, Fmn, m ≥ 1, n ≥ 1} mảng hiệu martingale không mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng Từ hai ví dụ ta thấy tập hợp tất mảng hiệu martingale thực rộng tập hợp tất phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng ... Chương Luật số lớn hai số 2.1 Luật yếu số lớn Trong chương thiết lập luật yếu số lớn Feller cho mảng hai chiều biến ngẫu nhiên E- giá trị với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên, luật yếu số lớn tổng... nghiên cứu luật số lớn mở rộng kết Luật số lớn trường hợp dãy (một số) cho trường hợp nhiều số Smythe (1972) thu luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều số biến ngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz... thời đưa số bổ đề chìa khóa để có kết Luật số lớn khóa luận • Chương Luật số lớn hai số Nội dung khóa luận trình bày chương này, bao gồn hai phần Phần 2.1 chúng tơi trình bày luật yếu số lớn Feller