Đường cong đại số
Đường cong affine
Giả sử P (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ số thuộc
K Ta nói P (x, y) không có thành phần bội nếu không tồn tại khai triển
P (x, y) = (Q(x, y))^2 R(x, y), trong đó Q(x, y) và R(x, y) là các đa thức, với Q(x, y) không phải là hằng số Đường cong affine được định nghĩa là một đa thức hai biến P (x, y) khác hằng số, có hệ số thuộc K và không chứa thành phần bội.
Bậc d của đường cong C định nghĩa bởi P (x, y) là bậc của đa thức P. Định nghĩa 1.2 Một điểm (a, b) ∈ C được gọi là một điểm kỳ dị của C nếu
Nếu đường cong C không có điểm kì dị, nó được gọi là đường cong trơn Đường cong C được định nghĩa bởi đa thức P(x, y) sẽ được xem là bất khả quy nếu P là bất khả quy, tức là P chỉ có các nhân tử là hằng số và các yếu tố vô hướng liên quan.
Đường cong xạ ảnh
Không gian xạ ảnh n− chiều, ký hiệu là KP n, được định nghĩa là tập hợp các không gian con một chiều của không gian vectơ K n+1.
Khi n = 1, ta có đường thẳng xạ ảnh KP 1, và khi n = 2, ta có mặt phẳng xạ ảnh KP 2 Không gian xạ ảnh thực được ký hiệu là RP n, trong khi không gian xạ ảnh phức được ký hiệu là P n Đường cong xạ ảnh C˜ được định nghĩa bởi đa thức thuần nhất ba biến P (x, y, z), với các hệ số trên K, là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu không gian xạ ảnh.
Bậc của đường cong xạ ảnh C˜ được xác định bởi đa thức P (x, y, z) Một điểm [a, b, c] trên đường cong này trong KP 2 được gọi là điểm kì dị nếu nó được định nghĩa bởi một đa thức thuần nhất P (x, y, z).
Nếu C˜ không có điểm kì dị thì C˜ được gọi là trơn.
Đường cong affine và đường cong xạ ảnh mặc dù có sự khác biệt, nhưng chúng lại có mối liên hệ chặt chẽ Bằng cách thêm các điểm ở vô cùng vào đường cong affine C, chúng ta có thể tạo ra đường cong xạ ảnh C˜ Điều này cho thấy rằng KP 2 có thể được đồng nhất với một tập con mở.
U = {[x, y, z] ∈ KP 2 : z ƒ= 0}, trong KP 2 thông qua đồng phôi φ : U → K 2 xác định bởi φ([x, y, z]) = ( ,x y )
Phần bù của U trong KP 2 là đường thẳng xạ ảnh định nghĩa bởi z = 0 mà ta có thể đồng nhất với KP 1 qua ánh xạ
Như vậy KP 2 là hợp rời của một bản sao của K 2 và một bản sao của KP 1 mà được xem như tại vô cùng.
Kết thức, biệt thức
Kết thức
Định nghĩa 1.7 Giả sử K là một trường tùy ý, cho hai đa thức f, g là các phần tử của K[x] có các bậc tương ứng là n, m: f (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + + a n , a 0 ƒ= 0, n > 0, g(x) = b 0 x m + b 1 x m−1 + + b m , b 0 ƒ= 0, m >
Khi đó kết thức của f và g theo biến x, được ký hiệu là Res x (f, g) là định thức của ma trận (n + m) × (n + m) :
n m s ˛á x s ˛á x m cột n cột ở đó các chỗ trống được lấp đầy bởi các số không.
Q(x, y, z) = b 0(y, z)x m + b 1(y, z)x m−1 + + b m (y, z), là các đa thức ba biến x, y, z thì kết thức Res x (P, Q) được định nghĩa giống như Res x (f, g) nhưng thay a i (y, z) và b i (y, z) cho a i và b j với 0 ≤ i ≤ n và 0
Res x (P, Q) là một đa thức với biến y và z, trong đó khi y = b và z = c, nó cho giá trị bằng kết thức của hai đa thức P(x, b, c) và Q(x, b, c) theo x, với điều kiện a 0(y, z) và b 0(y, z) khác không.
Khi tính kết thức của các đa thức f và g theo biến x, trong đó f và g chứa cả biến x và y, ta có thể coi chúng là các đa thức theo biến x với các hệ số phụ thuộc vào biến y Ví dụ, với f = xy + 2 và g = x² + 3xy + y - 1, chúng ta áp dụng định nghĩa để tính kết thức của f và g.
Nhận xét 1.2 Res x (f, g) là một đa thức nguyên theo các hệ số của f và g có nghĩa là có đa thức Res n,m ∈ Z[a 0 , , a n , b 0 , , b m ] sao cho:
Như vậy nếu kí hiệu (a) = (a 0 , a 1 , , a n ), (b) = (b 0 , b 1 , , b m ) thì chúng ta có thể kí hiệu R(a, b) thay cho Res x (f, g).
Đa thức R(a, b) có hệ số nguyên theo các biến a và b Nếu z là biến, ta có R(za, b) = z^m R(a, b) và R(a, zb) = z^n R(a, b) Điều này rõ ràng vì khi đưa z ra khỏi m cột đầu và n cột cuối của định thức, ta vẫn giữ nguyên tính chất của đa thức.
R(a, b) là hàm có đẳng cấp bậc m theo bộ biến thứ nhất và đẳng cấp bậc n theo bộ biến thứ hai Biểu diễn R(a, b) dưới dạng tổng các đơn thức cho thấy cấu trúc và tính chất của hàm này.
R(a, b) hay Res x (f, g) chứa đơn thức a m b n với hệ số 1.
Các tính chất của kết thức
Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của kết thức.
Mệnh đề 1.1 (Các tính chất cơ bản) Cho f, g là các đa thức khác hằng số trong
K[x], n = degf, m = degg Khi đó ta có các tính chất sau:
(iii) Nếu a là một phần tử khác không của K thì Res x (a, f ) = a n
(iv) Có các đa thức A, B ∈ K[x] thoả mãn: Res x (f, g) = Af + Bg.
Trường hợp đặc biệt f và g có nghiệm chung trong K khi và chỉ khi Res x (f, g) = 0, trong đó K là trường đóng đại số của K.
Để chứng minh tính chất (iv), chúng ta sẽ chuyển đổi nó thành một bài toán tương đương, đó là tìm các đa thức A˜ và B˜ thuộc K[t] sao cho thỏa mãn các điều kiện đã đề ra Các tính chất (i), (ii) và (iii) đã được chứng minh là hiển nhiên.
Trước tiên mệnh đề là đúng nếu Res x (f, g) = 0 Khi đó ta chọn A = B = 0. Giả sử rằng: Res x (f, g) =ƒ 0. f = a 0 x n + a 1 x n−1 + + a n , a 0 ƒ= 0, n >
B˜ = d 0 x n−1 + + d n−1 , ở đó các hệ số c 0 , , c m−1 , d 0 , , d n−1 là chưa biết trong K.
Khi thay thế các đa thức f, g, A˜ , B ˜ vào phương trình (1.1) và so sánh các hệ số theo các lũy thừa của x, chúng ta thu được một hệ phương trình tuyến tính với các ẩn c i và d j chưa biết, trong đó i chạy từ 1 đến m - 1 và j từ 1 đến n - 1 Các hệ số a i và b j nằm trong K, với các phương trình như sau: a 0 c 0 + b 0 d 0 = 0 cho hệ số của x n+m−1, và a 1 c 0 + a 0 c 1 + b 1 d 0 + b 0 d 1 = 0 cho hệ số của x n+m−2.
Ma trận các hệ số có định thức khác không,
Hệ phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất trong K[x], và chúng ta có thể áp dụng quy tắc Cramer để tìm công thức nghiệm này Quy tắc Cramer cho phép xác định nghiệm chưa biết thứ i thông qua tỉ lệ của hai định thức, trong đó mẫu số là định thức của ma trận hệ số, còn tử số là định thức của ma trận được tạo ra bằng cách thay cột thứ i của ma trận hệ số bằng cột tương ứng.
10 các hệ số tự do ở vế phải của hệ phương trình Từ đó ta suy ra được công thức của c i
11 và d j , i = 0, m − 1, j = 0, n − 1 Ví dụ: c 0là được cho bởi
Do định thức là đa thức nguyên theo các số hạng của nó, suy ra đa thức nguyên theo a i , b j c 0 = Res x
Ta có công thức tương tự cho c i , d j với i = 1, m − 1, j = 0, n − 1.
Vậy: A˜ = 1 A , ở đó A ∈ K[x] và các hệ số của A là các đa thức nguyên theo a i , b j Tương tự ta có:
Theo (1.1) suy ra A f + B g = 1 hay Af + Bg = Res x (f, g).
Dưới đây là một kết quả quan trọng của kết thức, kết quả này sẽ cho điều kiện khi nào hai đa thức có nghiệm chung.
Mệnh đề 1.2 Cho f, g, h là các phần tử khác hằng số của K[x], giả sử
K là trường đóng đại số của K, n = degf, m = degg, w = degh Khi đó:
(ii) Res x (fg, h) = Res x (f, h)Res x (g, h).
(iii) Res x (f ◦ h, g ◦ h) = cRes x (f, g) w , c ∈ K ∗ nào đó.
Chứng minh (i)Trước tiên chúng ta cần chứng minh công thức:
0 0 i=1 j=1 Để chứng minh được công thức này chúng ta sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 1.1 khẳng định rằng nếu h(x₁, x₂,…,xₙ) là một đa thức n biến trên vành số nguyên Z, và h(x₁, x₂,…,xₙ) bằng 0 khi thay x₁ bằng x₂ trong khi giữ nguyên tất cả các biến khác, thì h(x₁, x₂,…,xₙ) chia hết cho x₁ - x₂ trong Z[x₁, x₂,…,xₙ].
Quay lại bài toán của chúng ta, viết f (x) và g(x) dưới dạng:
Vì R(a, b) đẳng cấp bậc m theo các biến thứ nhất của nó và đẳng cấp bậc n theo các biến thứ hai, nên R(a, b) = a m b n h(α, β),trong đó h(α, β) ∈ Z(α, β).
Theo mệnh đề 1.1, khi thay α i cho β j (với i = 1, , n và j = 1, , m), ta có R(a, b) = 0 Điều này dẫn đến việc R(a, b) là một phần tử của Z[a 0 , α, b 0 , β] và chia hết cho α i − β j cho mỗi cặp (i, j) Do đó, R(a, b) cũng chia hết cho S trong Z[a 0 , α, b 0 , β], vì hiệu α i − β j là phần tử nguyên tố trong vành này, và các cặp (i, j) khác nhau tạo ra các phần tử nguyên tố khác nhau.
Từ (1.7) và (1.8), ta thấy rằng S có đẳng cấp bậc n theo (a) và bậc m theo (b) Do R(a, b) có các tính chất này và là bội của S, ta có R(a, b) = cS với c là một số nguyên Cả R(a, b) và S đều chứa đơn thức a^m b^n.
0 0 hệ số 1 nên c = 1 Vậy Res x (f, g) = R(a, b) = S Vậy ta có điều phải chứng minh. (ii) Được suy ra dễ dàng từ (i).
(iii) Giả sử h(x) = c 0 x w + c 1 x w−1 + + c w Viết f (x), g(x) như trong (i), giả sử ta có: f (x) = a Q n
(x − α ) và g(x) = b Q m với a, b ∈ K ∗ nào đó Sử dụng (i) ta có f ◦ h(x) a i=
Theo tính chất (i) ta có
=1 k=1 l=1 ik jl , suy ra c ∈ K ∗ Vậy ta có:
Vậy ta có điều phải chứng minh. n i=1 m
Mệnh đề 1.3 Giả sử P (x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất khác hằng số với biến x, y, z, ngoài ra
Khi đó P (x, y, z) và Q(x, y, z) có nhân tử chung là đa thức thuần nhất khác hằng số khi và chỉ khi đa thức Res x (P, Q) với biến y và z đồng nhất với không
Nhận xét 1.3 Lí do thêm điều kiện
P (1, 0, 0) ƒ= 0 ƒ= Q(1, 0, 0), để bảo đảm P (x, y, z) và Q(x, y, z) giữ nguyên bậc đối với biến x với các hệ số trong vành K[y, z].
Chứng minh rằng không mất tính tổng quát, ta giả sử P(1, 0, 0) = 1 và Q(1, 0, 0) Khi đó, coi P và Q như là các đa thức bậc n và m theo x với các hệ số trong vành K[y, z] Vành K[y, z] nằm trong trường K(y, z) của các hàm hữu tỷ theo y và z, có dạng f(y, z) g(y, z), trong đó f(y, z) và g(y, z) là các đa thức và g(y, z) không đồng nhất bằng không Vì K(y, z) là một trường, mệnh đề (1.1) chứng minh rằng kết thức Res x (P, Q) đồng nhất không khi và chỉ khi P(x, y, z) và Q(x, y, z) có một nhân tử chung khác hằng số khi coi chúng như là các đa thức theo x với các hệ số trong.
K(y, z) Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Giả sử P(x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất bậc n và m, thì kết thức Res x(P, Q) sẽ là một đa thức thuần nhất bậc nm với các biến y và z.
Kết thức Res x (P, Q) của các đa thức thuần nhất P(x, y, z) và Q(x, y, z) bậc n và m được định nghĩa là định thức của ma trận cỡ (n + m) × (n + m) Các phần tử của ma trận này, cụ thể là phần tử hàng i cột j, là những đa thức thuần nhất r_ij theo các biến y và z, với bậc d_ij được xác định bởi các quy tắc nhất định.
Res x (P, Q) là tổng các số hạng có dạng n Σ + m ± r iσ(i) (y, z), với i từ 1 đến n Trong đó, σ là một hoán vị của {1, , n + m} Mỗi số hạng này là một đa thức thuần nhất có bậc bằng n Σ + m Σ m d iσ(i) = (n + i − σ(i)).
Do vậy Res x (P, Q) là một đa thức thuần nhất bậc nm theo y và z.
Biệt thức
Định nghĩa 1.8 Cho đa thức f (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + + a n , a 0
K[x] Giả sử α 1 , α 2 , , α n ∈ K là các nghiệm của f (x) Khi đó, hệ thức
D(f ) = a 2n−2 i< j (α i − α j ) 2 , được gọi là biệt thức của đa thức f (x). Định lí 1.1 Cho đa thức f (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + + a n , a 0 ta luôn có
Chứng minh Theo mệnh đề 1.2
Định lý Bézout
Trong nghiên cứu về hai đường cong xạ ảnh C và D trong P², chúng ta sẽ khám phá cách mà chúng giao nhau C và D luôn giao nhau ít nhất tại một điểm, và nếu không có thành phần chung, chúng sẽ giao nhau tối đa tại nm điểm, với n là bậc của C và m là bậc của D Nếu mọi điểm giao C ∩ D không phải là điểm kì dị và các tiếp tuyến tại những điểm đó là phân biệt, thì C và D sẽ giao nhau chính xác tại nm điểm Những kết quả này là ứng dụng của định lý Bézout, một nhà toán học người Pháp Để chứng minh số giao điểm tổng quát của C và D, chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm số giao I p (C, D) tại điểm p Bội giao sẽ được định nghĩa thông qua kết thức của hai đa thức P(x, y, z) và Q(x, y, z) xác định C và D Định lý 1.2 khẳng định rằng tồn tại duy nhất bội giao I p (C, D) cho tất cả các đường cong xạ ảnh C và D trong P² thỏa mãn các tính chất đã nêu.
(ii) I p (C, D) = ∞ nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D, còn ngược lại thì nó là một số nguyên không âm.
(iii) I p (C, D) = 0 khi và chỉ khi p ∈/ C ∩ D.
(iv) Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm duy nhất, tại đó có bội giao bằng 1.
(v) Nếu C 1 và C 2 định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất P 1(x, y, z) và P 2(x, y, z) và C xác định bởi
(vi) Nếu C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất P (x, y, z) và Q(x, y, z) bậc n và m, và E định nghĩa bởi PR + Q trong đó R(x, y, z) là đa thức thuần nhất bậc m − n thì
Hơn nữa nếu C và D không có thành phần chung, khi đó ta có thể chọn hệ tọa độ xạ ảnh sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
(b) [1, 0, 0] không nằm trên đường thẳng nào nối hai điểm phân biệt bất kỳ của
Trong trường hợp (c) [1, 0, 0] không nằm trên đường tiếp tuyến của C hoặc D tại bất kỳ điểm nào của C ∩ D, thì bội giao I p (C, D) của C và D tại điểm p[a, b, c] ∈ C ∩ D sẽ là số nguyên k lớn nhất, sao cho kết thức Res x (P, Q) của P và Q đối với x chia hết cho (bz − cy) k.
Để đơn giản hóa kí hiệu trong chứng minh, ta sử dụng I p (P, Q) thay cho I p (C, D), với P(x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất định nghĩa các đường cong C và D Trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng bội giao I p (P, Q) có thể được tính toán chỉ dựa vào các điều kiện (i) − (vi), điều này cho thấy các điều kiện này hoàn toàn xác định.
Do các điều kiện không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ, chúng ta có thể giả định p = [0, 0, 1] Hơn nữa, với các điều kiện (i) và (iv), chúng ta có thể thực hiện giả định này.
P và Q bất khả qui, với điều kiện (ii) có thể giả sử I p (P, Q) hữu hạn, và I p (P, Q)
= k > 0 do (iii) Cuối cùng bằng quy nạp theo k, giả sử mỗi bội giao bé hơn k có thể tính được qua các điều kiện (i) − (vi).
Xét đa thức P (x, 0, 1) và Q(x, 0, 1) theo x; chúng có bậc tương ứng bằng r và s Do (i) có thể coi r ≤ s Có hai trường hợp cần xét:
Trường hợp 1: r = 0 Trường hợp này P (x, 0, 1) là hằng số và do đó nó bằng không vì P (0, 0, 1) = 0 Do P (x, y, z) là đa thức thuần nhất, suy ra P (x,
0, z) đồng nhất không, do đó
P (x, y, z) = yR(x, y, z), với R(x, y, z) là một đa thức thuần nhất Hơn nữa ta có thể viết
Q(x, y, z) = Q(x, 0, z) + yS(x, y, z) = x q T(x, z) + yS(x, y, z), với T(x, z) và S(x, y, z) là các đa thức thuần nhất, và T(0, 1) khác không Điều này chỉ ra rằng q là một số nguyên, vì Q(0, 0, 1) = 0 Sự khác biệt T(0, 1) ≠ 0 cho thấy điểm p [0, 0, 1] không thuộc đường cong xác định bởi T(x, z) = 0, do đó theo (iii) ta có.
Kết hợp lại, ta thu được I p (P, Q) = I p (R, Q) + I p (y, Q).
Từ (vi) ta nhận được I p (y, Q) = I p (y, x q T (x, z)), sử dụng lần lượt (v) và (ii), ta có
I p (P, Q) = I p (R, Q) + q, mà do q > 0 theo giả thiết quy nạp ta có I p (P, Q) có thể tính được dựa vào các điều kiện (i) − (vi)
Trong trường hợp r > 0, chúng ta có thể điều chỉnh các đa thức P(x, y, z) và Q(x, y, z) bằng cách nhân với các hằng số, dẫn đến P(x, 0, 1) và Q(x, 0, 1) có hệ số cao nhất theo biến x bằng 1 Nếu n và m lần lượt là bậc của P và Q, chúng ta sẽ xem xét đa thức này.
S(x, y, z) = z n+s−r Q(x, y, z) − x s−r z m P (x, y, z), đây là đa thức thuần nhất theo x, y, z sao cho đa thức
S(x, 0, 1) được xác định bởi công thức S(x, 0, 1) = Q(x, 0, 1) − x s−r z m P (x, 0, 1) với điều kiện bậc t của x nhỏ hơn s Do S(x, y, z) không đồng nhất, điều này xảy ra vì P và Q là các đa thức bất khả quy và phân biệt Thêm vào đó, theo các điều kiện (i), (v) và (vi), chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
Thay P và Q bởi P và S (hoặc bởi S và P nếu t < r) Sau khi lặp lại quá trình này một số hữu hạn bước chúng ta sẽ đưa về Trường hợp 1.
Ta đã chứng minh xong tính duy nhất Để chứng minh sự tồn tại, chúng ta định nghĩa bội giao như sau:
• Nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D thì I p (C, D) = ∞.
• Nếu p không nằm trên C ∩ D thì I p (C, D) = 0.
Nếu điểm p nằm trên giao điểm C ∩ D nhưng không thuộc vào bất kỳ thành phần chung nào của C và D, trước tiên cần loại bỏ các thành phần chung này Sau đó, chọn hệ tọa độ xạ ảnh sao cho các điều kiện (a) −(c) được thỏa mãn Trong hệ tọa độ này, nếu p[a, b, c] thì I p (C, D) sẽ là số nguyên lớn nhất k, sao cho kết thúc Res x (P, Q) của P và Q đối với x chia hết cho (bz).
Phần còn lại ta sẽ chứng minh các điều kiện (i) − (vi).
(i) Là hệ quả trực tiếp của tính chất định thức của một ma trận đổi dấu khi chuyển chỗ hai hàng cho nhau, do đó
(ii) Được suy ra từ định nghĩa của bội giao và mệnh đề (1.3)
(iv) Giả sử hai đường thẳng phân biệt đó là:
= 0,thỏa mãn [a 1 , b 1 , c1] ƒ= [a 2 , b 2 , c 2] Do vậy hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất, do vậy bội giao của nó bằng 1.
(v) Suy ra trực tiếp từ mệnh đề (1.2)
Định thức của một ma trận không thay đổi khi ta cộng một hàng với tích của một vô hướng và một hàng khác Kết quả của phép toán P và PR + Q là định thức của ma trận (s j) được tạo ra từ ma trận (r ij) xác định Res x (P, Q), thông qua việc nhân các vô hướng thích hợp với n hàng đầu tiên và cộng vào m hàng cuối cùng.
. s j = r ij nếu i ≤ m như vậy r j + sum i−n c i−n−k r kj nếu i > m
Res x (P, PR + Q) = det(s ij ) = det(r ij ) = Res x (P, Q).
Định lý Bézout (Định lý 1.3) khẳng định rằng, đối với hai đường cong xạ ảnh C và D trong không gian P2 với bậc lần lượt là n và m, nếu chúng không có thành phần chung, thì tổng số điểm giao nhau của chúng, bao gồm cả các điểm giao có bội, là nm.
Chứng minh Để chứng minh định lý này ta sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 1.2 khẳng định rằng, đối với một đa thức không thuần nhất bậc d hai biến P(x, y) với hệ số phức, nó có thể được phân tích thành tích của các đa thức tuyến tính.
Chứng minh Chúng ta có thể viết Σ d k=i− m
21 trong đó a 0 , , a d ∈ C không đồng thời bằng không Giả sử e là số lớn nhất trong {0, , d} sao cho a e ƒ= 0 Khi đó Σ d r=
0 a r ( x) r y là một đa thức bậc e với hệ số phức với một biến x , vì vậy nó có phân tích với γ 1 , , γ e ∈ C Vì vậy Σ d r=
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chúng ta sẽ chứng minh định lý Bézout bằng cách chọn hệ tọa độ sao cho các điều kiện (a) − (c) trong định lý (1.2) được thỏa mãn Giả sử hai đa thức thuần nhất P(x, y, z) và Q(x, y, z) định nghĩa hai đường cong C và D trong hệ tọa độ này Theo các mệnh đề (1.3) và (1.4), kết thức Res x (P, Q) là một đa thức thuần nhất bậc nm với hai biến y và z, không đồng nhất bằng không Do đó, theo bổ đề đã nêu, Res x (P, Q) có thể được phân tích thành tích của nm thừa số tuyến tính.
1 (c i x − b i y) e i , trong đó mỗi e i là một số nguyên thỏa mãn e 1 + + e k = nm và (b i , c i ) khác tích một vô hướng với (b j , c j ) với i ƒ= j Do vậy tồn tại duy nhất các số phức a i sao cho
C ∩ D = {p i : 1 ≤ i ≤ k}, trong đó p i = [a i , b i , c i ], và I p i (C, D) = e i Từ đó ta có điều phải chứng minh. y d− x
Ví dụ 1.2 Trong R 2 , xét các ví dụ sau:
(i) Hai đường cong (C) : y − 3x 2 = 0 và (D) : 2x − y(y − 3x 2 ) = 0 Số giao của
(ii) Hai đường cong (E) : y − x 3 = 0 và (F ) : y = 0 Số giao của E và F tại điểm p(0, 0) là
Đối ngẫu trong P 2
Trong không gian P², tập hợp tất cả các đường thẳng được mô tả bởi phương trình tuyến tính L: AX + BY + CZ = 0, với A, B, C không đồng thời bằng không Mỗi đường thẳng L tương ứng với một điểm [A, B, C] trong P², tạo thành mặt phẳng xạ ảnh đối ngẫu Mặt phẳng này, được ký hiệu là P˘², là một bản sao của P² nhưng được phân biệt là không gian hai chiều, với các tọa độ được chỉ định bằng A, B và C.
P˘ 2 , ký hiệu là L˘ (gọi là L đối ngẫu).
Đối ngẫu của một điểm p trong P² được định nghĩa là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm p Cụ thể, nếu p = [X₀, Y₀, Z₀], thì đối ngẫu của nó là tập hợp các đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình X₀A + Y₀B + Z₀C = 0, với [A, B, C] thuộc P² Do đó, mỗi điểm p tương ứng một cách tự nhiên với một đường thẳng trong P˘², được ký hiệu là p˘.
Trong không gian hình học, có sự liên kết chặt chẽ giữa một đường thẳng trong P˘ 2 và một điểm trong P 2 Cụ thể, nếu p là một điểm thuộc đường thẳng L trong P 2, thì điểm p˘ sẽ tạo thành một đường thẳng trong P˘ 2, đường thẳng này chứa điểm L˘.
Các đường conic với cấu hình điểm
Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát số lượng đường conic thực không suy biến có thể đi qua p điểm và tiếp xúc với l đường thẳng trong không gian R^2, với điều kiện p + l = 5 Tài liệu tham khảo chính cho nghiên cứu này là [1].
Một số định nghĩa và ví dụ
Đường conic trong mặt phẳng thực R² được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn phương trình bậc hai ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, trong đó các hệ số a, b, c, d, e, f không đồng thời bằng không.
Trong các ví dụ về đường conic, đa thức định nghĩa đường conic được phân loại thành hai loại: không suy biến và suy biến Đường conic không suy biến khi đa thức định nghĩa là bất khả quy, trong khi đó, nếu đa thức có nhân tử là tích của hai đa thức tuyến tính, đường conic sẽ trở thành hợp của hai đường thẳng và được gọi là suy biến Đặc biệt, khi hai đường thẳng trùng nhau hoặc đa thức định nghĩa là bình, đường conic cũng được coi là suy biến.
2 phương của một đa thức tuyến tính, thì đường conic được gọi là một cặp đường thẳng trùng nhau.
Một đường conic được xác định bởi các hệ số a, b, c, d, e và f của đa thức trong phương trình ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, nhưng không phải là duy nhất Ví dụ, hai phương trình x² + y = 0 và 2x² + 2y = 0 mô tả cùng một đường cong trong không gian R² Nếu ta xét điểm (a, b, c, d, e, f) thuộc R⁶, ta nhận thấy rằng với một hằng số λ khác không, điểm (λa, λb, λc, λd, λe, λf) cũng biểu diễn một đường cong tương tự Do đó, chúng ta sẽ sử dụng tọa độ thuần nhất [a, b, c, d, e, f] để mô tả đường conic trong R², với giả định rằng f ≠ 0, từ đó [a, b, c, d, e, f] có thể được coi là một điểm trong RP⁵ Đối với mỗi điểm p ∈ R², tập hợp các đường conic đi qua p tương ứng với một tập con Hₚ ⊂ RP⁵ Tương tự, đối với mỗi đường thẳng l ∈ R², tập hợp các đường conic tiếp xúc với l sẽ tạo thành một tập con Hₗ ⊂ RP⁵.
RP 5 , và với mỗi đường conic không suy biến Q, tập hợp các đường conic trong R 2 tiếp xúc với Q tương ứng một tập con H Q ⊂ RP 5
Cho điểm p(1, 2) ∈ R², một đường conic được định nghĩa bởi phương trình (2.1) đi qua p, xác định Hp = {[a, b, c, d, e, f] ∈ RP⁵ : a + 2b + 4c + d + 2e + f = 0} Đây là một phương trình tuyến tính, do đó Hp là một siêu phẳng trong RP⁵ Nếu chọn một điểm q khác p trong R², ta sẽ có một siêu phẳng khác là Hq.
Đường thẳng l ∈ R² có phương trình x = 0, và một đường conic tiếp xúc với l sẽ có phương trình cy² + ey + f = 0 với điều kiện e² - 4cf = 0, tức là phương trình này phải có nghiệm kép Khi đó, tập hợp H l = {[a, b, c, d, e, f] ∈ RP⁵ : d² - 4af = 0} sẽ biểu diễn một siêu mặt trong không gian RP⁵.
Trong không gian R², bất kỳ đường thẳng nào cũng có thể được chuyển đổi về dạng phương trình x = 0 bằng cách chọn một mục tiêu afin phù hợp Điều này cho thấy rằng mỗi đường thẳng trong R² đều xác định một siêu mặt tương ứng.
RP 5 định nghĩa bởi phương trình có bậc bằng 2.
(iii) Cho đường conic Q : y = x 2 Để xác định phương trình của H Q , ta thay y = x 2 vào phương trình (2.1) ta được phương trình bậc bốn cx 4 + bx 3
Để đường conic được định nghĩa bởi phương trình (2.1) tiếp xúc với điểm Q, phương trình bậc bốn tương ứng phải có nghiệm bội, tức là biệt thức của nó phải bị triệt tiêu Sử dụng phần mềm Maple, ta có thể xác định phương trình của biệt thức này.
16 a 4 cf − 4 a 3 b 2 f − 4 a 3 cd 2 + 64 a 3 cef + a 2 b 2 d 2 − 12 a 2 b 2 ef − 80 a 2 bcdf − 128 a 2 c 2 f 2 −
12 a 2 cd 2 e+96 a 2 ce 2 f +18 ab 3 df +144 ab 2 cf 2 +2 ab 2 d 2 e−12 ab 2 e 2 f +18 abcd 3 −160 abcdef +
144 ac 2 d 2 f − 256 ac 2 ef 2 − 12 acd 2 e 2 + 64 ace 3 f − 27 b 4 f 2 − 4 b 3 d 3 + 18 b 3 def − 6 b 2 cd 2 f +
144 b 2 cef 2 + b 2 d 2 e 2 − 4 b 2 e 3 f − 192 bc 2 df 2 + 18 bcd 3 e − 80 bcde 2 f + 256 c 3 f 3 − 27 c 2 d 4 +
Phương trình 144c^2d^2ef − 128c^2e^2f^2 − 4cd^2e^3 + 16ce^4f = 0 mô tả một siêu mặt trong không gian R^5 với bậc 6 Bằng cách áp dụng định nghĩa về kết thức, biệt thức và định lý 1.1, ta có thể chứng minh rằng biệt thức của siêu mặt này cũng là một phương trình bậc 6 Do đó, H Q được xác định bởi phương trình bậc 6 này.
Tổng quát hơn ví dụ trên, chúng ta có kết quả dưới đây.
Mệnh đề 2.1 Trong R 2 cho điểm p, đường thẳng l và đường conic không suy biến Q Khi đó ta có các khẳng định sau
(i) H p là một siêu phẳng trong RP 5 được định nghĩa bởi phương trình có bậc bằng 1.
(ii) H l là một siêu mặt trong RP 5 được định nghĩa bởi phương trình có bậc bằng 2.
(iii) H Q là một siêu mặt trong RP 5 được định nghĩa bởi phương trình có bậc bằng 6.
Để xác định số lượng đường conic không suy biến đi qua p điểm và tiếp xúc với l đường thẳng (với p + l = 5), ta cần tìm số giao điểm giữa các siêu phẳng H p và H l Mỗi điểm giao sẽ tương ứng với một đường conic cần tìm.
Trong các mục tiếp theo của chương này chúng tôi sẽ đi đếm số đường conic đi qua p điểm và tiếp xúc với 5 − p đường thẳng cho trước.
Cấu hình năm điểm
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu xem có bao nhiêu đường conic đi qua năm điểm.
Giả sử có năm điểm trong không gian R², ký hiệu là p₁, p₂, p₃, p₄ và p₅, với điều kiện không có bốn điểm nào thẳng hàng Để đơn giản hóa, chúng ta chọn tọa độ cho các điểm như sau: p₁(0, 0), p₂(1, 0), p₃(0, 1), p₄(s, t) và p₅(u, v) Từ đó, chúng ta có thể xác định phương trình của các siêu phẳng tương ứng với các điểm đã cho.
H p : as 2 + bst + ct 2 + ds + et + f = 0,
Để xác định tập giao của H p 1, H p 2, H p 3, H p 4 và H p 5, ta cần giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với phương trình H p : au 2 + buv + cv 2 + du + ev + f 0 Ma trận hệ số của hệ phương trình này sẽ được sử dụng trong quá trình giải.
Để xác định không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, trước tiên chúng ta cần xác định hạng của ma trận M Chúng ta sẽ xem xét các ma trận vuông con cấp 5 của M, ký hiệu là D_i (với i = 1, 2, , 6), là các định thức con cấp 5 của M được tạo ra bằng cách loại bỏ cột thứ i từ ma trận M.
Bằng các tính toán sơ cấp ta thu được :
D 2 = s 2 v 2 − t 2 u 2 − s 2 v − v 2 s + t 2 u + tu 2 + sv − ut, D 3 = s 2 uv − u 2 st − uv s + st u,
D 4 = st v 2 − t 2 uv − st v + tuv, D 5 = −s 2 uv + u 2 st + uv s − st u, D 6 = 0.
Hạng của M nhỏ hơn 5 nếu tất cả D i = 0, hay hệ phương trình sau có nghiệm
s2v2 − t2u2 − s2v − v2s + t2u + tu2 + sv − ut = 0 s 2 uv u 2 st uv s + st u = 0
Hệ phương trình này tương đương với
Khi t = 0, từ phương trình (2) ta có suv(s − 1) = 0 Nếu s = 0, điểm p4(s, t) tương đương với p1(0, 0); nếu s = 1, điểm p4(s, t) tương đương với p2(1, 0) Trong trường hợp v = 0, bốn điểm p1, p2, p4 và p5 sẽ nằm trên một đường thẳng Nếu u = 0, từ phương trình (3) ta có (s² − s)(v² − v) = 0, dẫn đến việc có hai điểm trong năm điểm trùng nhau.
+) Nếu v = 0 tương tự như trường hợp t = 0.
Khi điều kiện s(s − 1) − u(t − 1) = 0 được thỏa mãn, các điểm p3, p4 và p5 sẽ thẳng hàng Tương tự, nếu s = 0 hoặc u = 0, điểm p1 sẽ nằm trên đường thẳng đi qua p3, p4 và p5 Ngoài ra, nếu v(s − 1) − t(u − 1) = 0, thì điểm p2 cũng sẽ nằm trên đường thẳng đi qua p3 và p4.
Nếu năm điểm phân biệt không có bốn điểm nào thẳng hàng, thì không thể xảy ra trường hợp tất cả các D_i bằng 0 Điều này dẫn đến việc ít nhất một D_i khác 0, từ đó suy ra rằng hạng của ma trận M luôn bằng 5 Do đó, số chiều của không gian nghiệm sẽ là giao của các siêu phẳng H_p_i (với i = 1, 2, ).
5) bằng 1, tương ứng sẽ có một đường conic duy nhất đi qua năm điểm p 1 , p 2 , p 3 , p 4 và p 5.
Vậy ta có khẳng định sau
Theo mệnh đề 2.2, trong không gian R², nếu có năm điểm phân biệt mà không có bốn điểm nào thẳng hàng, thì tồn tại duy nhất một đường conic đi qua năm điểm đó Đặc biệt, đường conic này sẽ không suy biến nếu không có ba trong số năm điểm thẳng hàng.
Ví dụ 2.3 Trong R 2 cho năm điểm A(1, 1), B(0, 1), C(0, −4), D(1, −5) và E(−1, −1+
Gọi Q là đường conic đi qua năm điểm đã cho Giả sử Q được định nghĩa bởi phương trình là: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0.
Vì Q đi qua năm điểm A, B, C, D, E nên ta có hệ phương trình
Giải hệ ta thu được
f = −4a e = 3a Kết quả ta tìm được một đường conic đi qua năm điểm đã cho có phương trình là x 2 + xy + y 2 − 2x + 3y − 4 = 0.
Chúng ta có thể thấy qua hình
Hình 2.1: Đường conic đi qua năm điểm A, B, C, D, E.
Cấu hình bốn điểm và một đường thẳng
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu xem có bao nhiêu đường conic đi qua bốn điểm và tiếp xúc với một đường thẳng.
Trong không gian R², với bốn điểm p₁, p₂, p₃, p₄ không thẳng hàng, giao của bốn siêu phẳng tương ứng là một đường thẳng l₁₂₃₄ trong RP⁵ Tương tự như ví dụ trước, tập hợp các đường conic tiếp xúc với đường thẳng l trong mặt phẳng tạo thành một siêu mặt bậc hai Hₗ trong RP⁵ Giao điểm của l₁₂₃₄ với Hₗ là nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương trình của l₁₂₃₄ và Hₗ Để giải hệ này, ta khử một biến từ phương trình l₁₂₃₄ và thay vào phương trình Hₗ, dẫn đến một phương trình bậc hai, từ đó có hai nghiệm Mỗi nghiệm tương ứng với một điểm trong RP⁵, tạo thành một đường conic trong R² đi qua bốn điểm p₁, p₂, p₃, p₄ và tiếp xúc với đường thẳng l.
Vậy ta có khẳng định sau
Trong mặt phẳng, với bốn điểm phân biệt p1, p2, p3, p4 không thẳng hàng và một đường thẳng l không chứa các điểm này, có tối đa hai đường conic có thể đi qua bốn điểm p1, p2, p3, p4 và tiếp xúc với đường thẳng l.
Ví dụ 2.4 Trong R 2 cho bốn điểm A(0, 1), B(0, 3), C(1, 2), D(−1, 2) và đường thẳng l có phương trình y + 1 = 0.
Gọi Q là đường conic đi qua bốn điểm đã cho và tiếp xúc với l Giả sử Q được định nghĩa bởi phương trình là: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0.
Vì Q đi qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có hệ phương trình
Giải hệ, kết quả ta thu được phương trình định nghĩa đường thẳng l ABCD là giao của H A , H B , H C , H D là
Để điểm Q tiếp xúc với đường thẳng l, phương trình bậc hai ax² + (d - b)x - e + f + c = 0 cần có nghiệm kép, điều này dẫn đến điều kiện (d - b)² - 4a(c + f - d) = 0 Khi thay phương trình định nghĩa đường thẳng l ABCD vào phương trình bậc hai, chúng ta nhận được hai đường conic đi qua bốn điểm A, B, C, D và tiếp xúc với đường thẳng l.
Chúng ta có thể thấy qua hình
Hình 2.2: Hai đường conic đi qua bốn điểm A, B, C, D và tiếp xúc với đường thẳng l.
Cấu hình ba điểm và hai đường thẳng
Trong mục này chúng ta sẽ đi tìm hiểu xem có bao nhiêu đường conic đi qua ba điểm và tiếp xúc với hai đường thẳng.
Cho ba điểm và hai đường thẳng trong mặt phẳng, ta có ba siêu phẳng và hai siêu mặt được định nghĩa bởi hai phương trình bậc hai Giao của ba siêu phẳng và hai siêu mặt không đơn giản như giao của năm siêu phẳng hay bốn siêu phẳng với một siêu mặt, dẫn đến việc khó xác định số lượng đường conic đi qua ba điểm và tiếp xúc với hai đường thẳng Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ áp dụng định lý Bézout tổng quát cho n siêu mặt trong P n.
X 1 , X 2 , , X n được gọi là cắt hoành tại điểm P ∈ X 1 ∩ ∩X n , nếu họ các không gian tiếp xúc tại điểm P của các siêu mặt có điểm chung duy nhất là P
Giao của X 1 ∩ ∩X n được gọi là hoành nếu nó là hoành tại mỗi điểm giao.
Khi một đường thẳng cắt một đường tròn trong mặt phẳng P2 tại hai điểm thực, tại mỗi điểm giao, không gian tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm duy nhất, cho thấy chúng cắt nhau Trong trường hợp cắt nhau tại hai điểm phức, tình huống tương tự cũng xảy ra Ngược lại, nếu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hai không gian tiếp xúc sẽ trùng nhau, dẫn đến giao điểm không phải là cắt Theo định lý Bézout tổng quát, trong Pn, nếu có m siêu mặt với bậc lần lượt là d1, d2, , dm cắt nhau, thì giao của chúng sẽ tạo thành một tập hợp gồm d1.d2 dm điểm.
Trong trường hợp năm điểm, số đường conic đi qua năm điểm tương đương với số điểm giao của năm siêu phẳng H p có bậc bằng 1 Các siêu phẳng này cắt nhau khi thỏa mãn điều kiện độc lập tuyến tính Theo định lý Bézout tổng quát, tổng số giao điểm của các siêu phẳng là 1.
Khi xét bốn điểm và một đường thẳng, chúng ta cần xác định số giao điểm của bốn siêu phẳng H p bậc 1 và một siêu mặt H l bậc 2 Nếu các siêu phẳng này cắt nhau, theo định lý Bézout tổng quát, số giao điểm sẽ là 1 4 2 = 2, dẫn đến hai đường conic thỏa mãn Trong trường hợp này, điểm giao được coi là hoành nếu có ít hơn ba điểm thẳng hàng và không có điểm nào nằm trên đường thẳng l.
Chúng ta sẽ áp dụng định lý Bézout tổng quát để xác định số đường conic đi qua ba điểm và tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước Ba điểm tạo thành ba siêu phẳng bậc 1, trong khi hai đường thẳng tạo thành hai siêu mặt bậc 2 Theo định lý Bézout tổng quát, số đường conic mong đợi là 1 * 3 * 2 * 2 = 4.
Vậy ta có khẳng định sau
Trong mặt phẳng, với ba điểm p1, p2, p3 không thẳng hàng và hai đường thẳng l1, l2 không chứa ba điểm này, có thể có tối đa bốn đường conic đi qua ba điểm p1, p2, p3 và tiếp xúc với hai đường thẳng l1, l2.
Ví dụ 2.6 Trong R 2 cho ba điểm A(0, 1), B(0, 3), C(1, 2) và hai đường thẳng α : y + 1 = 0, β : y − 5 = 0.
Gọi Q là đường conic đi qua ba điểm A, B, C và tiếp xúc với α và β, giả sử phương trình định nghĩa Q là: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0.
Vì Q đi qua ba điểm A, B, C nên ta có hệ phương trình
Giải hệ trên ta thu được
Để điểm Q tiếp xúc với hai đường thẳng α và β, hai phương trình ax² + (d − b)x − e + f + c = 0 và ax² + (5b + d)x + 25c + 5e + f = 0 cần có nghiệm kép Điều này dẫn đến hai điều kiện: (d − b)² − 4a(c + f − d) = 0 và (5b + d)² − 4a(25c + 5e + f) = 0 Khi thay thế các biểu thức trên, ta nhận được bốn đường conic đi qua ba điểm A, B, C và tiếp xúc với hai đường thẳng α và β, có phương trình là (Q₁): 3x² + 4.
Chúng ta có thể thấy qua hình
Hình 2.3: Bốn đường conic đi qua ba điểm A, B, C và tiếp xúc với α, β.
Cấu hình p điểm ( p < 3) và 5 − p đường thẳng
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá số lượng đường conic có thể đi qua p điểm (với p < 3) và tiếp xúc với 5 − p đường thẳng Theo định lý Bézout tổng quát, ta có thể tính được 1 p 2 5−p điểm giao, nhưng điều này chỉ đúng khi các siêu phẳng và siêu mặt là cắt hoành Do p < 3, ít nhất sẽ có 3 đường conic, và việc xác định khi nào 3 đường conic là cắt hoành trở nên phức tạp hơn so với các trường hợp trước Để trả lời câu hỏi "Có bao nhiêu đường conic đi qua p điểm và l đường thẳng với p < 3 và l = 5 − p?", chúng ta sẽ áp dụng đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh.
Như đã nêu trong phần (1.4) cho mặt phẳng xạ ảnh phức P 2 thì đối ngẫu của nó là P˘ 2 Đây là một bản sao của P 2 Nhớ lại rằng với mỗi điểm p = [A, B,
C] ∈ P 2 tương ứng với đường thẳng p˘ : X 0 A + Y 0 B + Z 0 C = 0 thuộc P˘ 2 , với mỗi đường thẳng l : AX + BY + CZ = 0 thuộc P 2 tương ứng với một điểm ˘ l [A, B, C] thuộc
Để xác định phương trình của đường conic đối ngẫu trong P², ta cần hiểu rằng nếu Q là một đường conic trong P², thì đường cong đối ngẫu Q˘ của Q trong P˘² bao gồm tất cả các đường thẳng tiếp xúc với Q.
Chúng ta thấy rằng nếu Q˘ chứa điểm ˘ l khi và chỉ khi đường thẳng l tương ứng của ˘ l trong P 2 sẽ tiếp xúc với Q Nếu phương trình của đường conic Q
Phương trình aX² + bXY + cY² + dXZ + eYZ + cZ² = 0 mô tả một đường conic trong không gian Giả sử một đường thẳng trong P² có phương trình AX + BY + CZ = 0 với A ≠ 0, đường thẳng này sẽ cắt conic tại hai điểm, là nghiệm của phương trình a(BY + CZ)² - bAY(BY + CZ) + cA²Y² - d(BY + CZ)AZ + eA²YZ + fA²Z² = 0 theo biến Y và Z Đường thẳng sẽ tiếp xúc với conic khi biệt thức theo biến Y của phương trình này triệt tiêu.
−(4 cA 2 f − A 2 e 2 − 4 bABh + 2 dBAe + 2 bACe − 4 ACcd
Vì A ƒ= 0 nên phương trình trên tương đương với
(e 2 − 4cf )A 2 + (4bf − 2de)AB + (d 2 − 4af )B 2 + (4cd − 2be)AC
Tập hợp các đường thẳng tiếp xúc với conic Q, có phương trình bậc hai, chính là phương trình của conic Q˘ trong P˘ 2 Nếu conic Q không suy biến, thì conic Q˘ cũng sẽ không suy biến và ngược lại Vấn đề đặt ra là có bao nhiêu đường conic đi qua p điểm và l đường thẳng, với điều kiện p < 3 và l = 5 − p.
Trong mặt phẳng với năm đường thẳng không có bốn đường nào cùng đi qua một điểm (l = 5, p = 0), các đường conic tiếp xúc với năm đường thẳng này sẽ đi qua năm điểm đối ngẫu tương ứng Chúng ta biết rằng chỉ có một đường conic duy nhất có thể đi qua năm điểm phân biệt, với điều kiện không có bốn điểm nào thẳng hàng Do đó, chỉ có một đường conic tiếp xúc với cả năm đường thẳng trong trường hợp này.
Ví dụ 2.7 Trong R 2 cho năm đường thẳng l 1 : x + y + 1 = 0, l 2 : y + 1 = 0, l 3 :
2)y + 1 = 0. Để xác định đường conic tiếp xúc với cả năm đường thẳng này chúng ta xét chúng trong P 2 , ta có phương trình của chúng trong P 2 lần lượt là L 1 :
2)Y + Z = 0, đối ngẫu của các đường thẳng này là L˘ 1 [1, 1, 1], L˘ 2 = [0, 1, 1], L˘ 3 = [0, −4, 1], L˘ 4 = [1, −5, 1], L˘ 5 = [−1, −1 + √
2, 1] Dựa vào ví dụ 2.2, ta có phương trình đường conic đi qua năm điểm L˘ 1 , L˘ 2 , L˘ 3 , L˘ 4 , L˘ 5 là
(Q˘) : X 2 + XY + Y 2 − 2XZ + 3Y Z − 4Z 2 = 0. suy ra phương trình của đường conic tiếp xúc với năm đường thẳng L 1 , L 2 , L 3 , L 4 , L 5 trong P 2 là
Từ đó ta có phương trình đường conic trong R 2 tiếp xúc với năm đường thẳng l 1 , l 2 , l 3 , l 4 , l 5là (C) : 25x 2 − 4xy + 20y 2 − 14x + 16y − 3 = 0.
Chúng ta có thể thấy qua hình
Hình 2.4: Đường conic tiếp xúc với năm đường thẳng l 1 , l 2 , l 3 , l 4 , l 5.
Trường hợp l = 4, p = 1 Giả sử trong mặt phẳng cho trước bốn đường thẳng không cùng đi qua một điểm và một điểm không thuộc bốn đường thẳng đã cho.
Khi các đường conic tiếp xúc với bốn đường thẳng và đi qua một điểm, thì các đường conic đối ngẫu sẽ đi qua bốn điểm đối ngẫu tương ứng và tiếp xúc với đường thẳng đối ngẫu của điểm đã cho Theo lý thuyết, có tối đa 2 đường conic có thể đi qua bốn điểm phân biệt không thẳng hàng và tiếp xúc với một đường thẳng không chứa bốn điểm đó Do đó, có nhiều nhất 2 đường conic có thể tiếp xúc với bốn đường thẳng không cùng đi qua một điểm và đồng thời đi qua một điểm không nằm trên bốn đường thẳng đã cho.
Trong không gian R^2, chúng ta xem xét bốn đường thẳng: l1: y + 1 = 0, l2: 3y + 1 = 0, l3: x + 2y + 1 = 0, và l4: -x + 2y + 1 = 0, cùng với điểm A = (0, 1) Để xác định đường conic tiếp xúc với các đường thẳng này và đi qua điểm A, ta chuyển đổi chúng sang không gian P^2 Các phương trình của bốn đường thẳng trong P^2 được biểu diễn như sau: L1: Y + Z = 0, L2: 3Y + Z = 0, L3: X + 2Y + Z = 0.
: −X +2Y +Z = 0 và điểm A trong P 2 là P = [0, 1, 1] Đối ngẫu của bốn đường thẳng L i , i = 1, 2, 3, 4 và điểm P là L˘ 1 = [0, 1, 1], L˘ 2 = [0, 3, 1], L˘ 3 = [1, 2, 1], L˘ 4 = [−1, 2, 1] và P˘ : Y
Dựa vào ví dụ 2.3 ta tìm được hai đường conic đi qua bốn điểm L˘ 1 , L˘ 2 , L˘ 3 ,
L˘ 4 và tiếp xúc với đường thẳng P˘ có phương trình là
2XZ − 12Y Z + Z 2 = 0. suy ra phương trình của đường conic tiếp xúc với bốn đường thẳng L 1 , L 2 , L 3 , L 4 và đi qua P trong P 2 là
Từ đó ta có phương trình đường conic trong R 2 tiếp xúc với bốn đường thẳng l 1 , l 2 , l 3 , l 4và đi qua điểm A là
Chúng ta có thể thấy qua hình
Trường hợp l = 3, p = 2 Giả sử trong mặt phẳng cho trước ba đường thẳng
Có tối đa bốn đường conic có thể tiếp xúc với ba đường thẳng l1, l2, l3 không cùng đi qua một điểm, đồng thời đi qua hai điểm A và B không nằm trên ba đường thẳng đó Các đường conic này sẽ tương ứng với các điểm đối ngẫu của ba đường thẳng và tiếp xúc với hai đường thẳng đối ngẫu của hai điểm đã cho.
Trong không gian R², chúng ta xem xét ba đường thẳng l₁: y + 1 = 0, l₂: 3y + 1 = 0 và l₃: x + 2y + 1 = 0, cùng với hai điểm A = (0, 1) và B = (0, −1) Để tìm đường conic tiếp xúc với ba đường thẳng lᵢ (i = 1, 2, 3) và đi qua hai điểm A, B, chúng ta chuyển sang không gian P² Phương trình của ba đường thẳng trong P² được biểu diễn là L₁: Y + Z = 0, L₂: 3Y + Z = 0, và L₃: X + 2Y + Z = 0.
Trong không gian ba chiều, hai điểm A và B được xác định bởi P1 = [0, 1, 1] và P2 = [0, -1, 1] Đối ngẫu của ba đường thẳng L_i, với i = 1, 2, 3, cùng với hai điểm P1 và P2, được biểu diễn bởi các đường thẳng L˘_1 = [0, 1, 1], L˘_2 = [0, 3, 1], L˘_3 = [1, 2, 1] và các phương trình P˘_1: Y + Z = 0, P˘_2: -1Y + Z = 0 Dựa trên ví dụ 2.4, chúng ta có thể xác định bốn đường conic đi qua ba điểm L˘_1, L˘_2, L˘_3 và tiếp xúc với hai đường thẳng P˘_1 và P˘_2.
Suy ra phương trình của đường conic tiếp xúc với ba đường thẳng L 1 , L 2 , L 3 và đi qua hai điểm P 1 , P 2trong P 2 là
Từ đó ta có phương trình đường conic trong R 2 tiếp xúc với ba đường thẳng l 1 , l 2 , l 3 , l 4 và đi qua hai điểm A, B là:
Chúng ta có thể thấy qua hình
Hình 2.6: Đường conic tiếp xúc với ba đường thẳng l 1 , l 2 , l 3 và đi qua hai điểm A, B.
Tổng kết lại, định lý 2.2 cho biết trong mặt phẳng với p điểm và l = 5 − p đường thẳng, số đường conic đi qua p điểm và tiếp xúc với 5 − p đường thẳng được thể hiện trong bảng sau: khi p = 0, l = 5; p = 1, l = 4; p = 2, l = 3; p = 3, l = 2; p = 4, l = 1; và p = 5, l = 0.
Các đường conic với cấu hình điểm
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá số lượng đường conic có thể đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và tiếp xúc với 5 − p − l đường conic đã cho Theo định lý Bézout tổng quát, nếu có năm đường conic, sẽ có 7776 điểm giao của các siêu mặt, dẫn đến 7776 đường conic tiếp xúc với năm đường conic đã cho Tuy nhiên, định lý Bézout không áp dụng trong trường hợp này do năm siêu mặt không cắt hoành Cụ thể, với đường conic là cặp đường thẳng trùng nhau, mỗi đường conic trong năm đường đã cho sẽ nằm trong tập hợp các đường conic tiếp xúc với năm đường đó, cho thấy rằng năm siêu mặt không cắt hoành.
Chúng ta không thể áp dụng phương pháp đối ngẫu của P 2 để loại bỏ các đường conic là cặp đường thẳng trùng nhau Do đó, phương pháp nổ (blowup) sẽ được sử dụng để giải quyết vấn đề này Tài liệu tham khảo chính cho phương pháp này là [1].
Mặt Veronese
Tập hợp của tất cả các điểm trong P^5 tương ứng với một cặp đường thẳng trùng nhau được định nghĩa là mặt Veronese, ký hiệu là V.
Một cặp đường thẳng trùng nhau được định nghĩa bởi đa thức bình phương của một đa thức bậc nhất (AX + BY + CZ)², dẫn đến phương trình A²X² + 2ABXY + B²Y² + 2ACXZ + 2BCYZ + C²Z² = 0 Trong không gian P², một đường thẳng được tham số hóa bởi một điểm trong P˘² Ánh xạ ψ : P˘² → P⁵ được xác định bởi [A, B, C] ›→ [A², 2AB, B², 2AC, 2BC, C²] Mặt Veronese là hình ảnh của ψ trong P⁵ và ψ là một cấu xạ, do đó Veronese là một mặt (đa tạp hai chiều) trong P⁵ Để nghiên cứu sâu hơn về mặt Veronese, chúng ta cần xác định phương trình của nó, và mệnh đề sau đây sẽ giúp chúng ta làm điều đó.
Mệnh đề 3.1 Trong P 2 cho đường conic có phương trình aX 2 + bXY + cY
2 + dXZ + eY Z + cZ 2 = 0 Khi đó, điều kiện cần và đủ để đường conic này là cặp đường thẳng trùng nhau là: b 2 − 4ac = 0, 4bf − 2de = 0, d 2 − 4af = 0,
4cd − 2be = 0, e 2 − 4cf = 0, 4ae − 2bd = 0 (3.1)
Để chứng minh rằng đường conic đã cho là một cặp đường thẳng trùng nhau, cần thiết phải chỉ ra rằng đa thức định nghĩa đường conic là bình phương của một đa thức tuyến tính Do đó, ta có thể viết lại như sau: aX^2 + bXY + cY^2 + dXZ + eYZ + fZ^2 = (AX + BY + CZ)^2.
Biến đổi và đồng nhất hệ số, ta thu được sáu phương trình: a = A 2 , b = 2AB, c = B 2 , d = 2AC, e = 2BC, f = C 2
Khử các biến A, B, C ta thu được các đẳng thức cần chứng minh: b 2 − 4ac = 0, 4bf − 2de = 0, d 2 − 4af
= 0, 4cd − 2be = 0, e 2 − 4cf = 0, 4ae − 2bd = 0.
Như vậy sáu phương trình (3.1) chính là sáu phương trình mô tả mặt Veronese.
Ánh xạ từ P5 vào P5 mà một đường conic biến thành đối ngẫu của nó được xác định qua phương trình (2.2) định nghĩa phương trình đối ngẫu Cụ thể, ánh xạ này δ : P5 → P5 được mô tả bằng cách chuyển đổi một điểm [a, b, c, d, e, f] thành [e² - 4cf, 4bf - 2de, d² - 4af].
4cd − 2be, 4ae − 2bd, b 2 − 4ac] (3.2)
Sáu đa thức định nghĩa δ trong (3.2) tương ứng với sáu phương trình (3.1), dẫn đến việc δ không xác định tại những điểm nằm trên mặt Veronese Do đó, δ không phải là một cấu xạ trên toàn bộ P5, nhưng nó là một ánh xạ hữu tỉ được định nghĩa bởi các đa thức Ánh xạ hữu tỉ có thể được thác triển thành một cấu xạ thông qua việc mở rộng miền không gian, và trong trường hợp này, chúng ta sẽ tách mặt Veronese ra khỏi quá trình này.
P 5 và thay thế nó bởi một đa tạp bốn chiều Cụ thể sẽ được trình bày trong định nghĩa ngay dưới đây.
Phép nổ của mặt Veronese
Định nghĩa 3.2 Phép nổ của P 5 dọc theo mặt Veronese, kí hiệu là Bl v P 5 , là bao đóng của đồ thị của δ trong P 5 × P 5
Chúng ta đi xác định phương trình của Bl v P 5 Đồ thị của δ là tập hợp của các điểm ([a, b, c, d, e, f ], [r, s, t, u, v, w]) trong P 5 × P 5 thỏa mãn λr = e 2 − 4cf, λs = 4bf − 2de, λt = d 2 − 4af λu = 4cd − 2be, λv = 4ae − 2bd, λw
Nhân chéo các phương trình rồi loại bỏ λ, chúng ta thu được 15 phương trình: r(4bf − 2de) = s(e 2 − 4cf ), s(d 2 − 4af ) = t(4bf − 2de), t(4cd − 2be) = u(d 2
The relationships between the variables can be expressed through a series of equations Specifically, we have the equation \(4af \cdot r(d^2 - 4af) = t(e^2 - 4cf)\), and similarly, \(s(4ae - 2bd) = v(4bf - 2de)\) Additionally, the equation \(t(b^2 - 4ac) \cdot w(d^2 - 4af) \cdot r(4cd - 2be) = u(e^2 - 4cf)\) highlights the interdependence of these variables Other equations, such as \(s(b^2 - 4ac) = w(4bf - 2de)\) and \(t(4ae - 2bd) = v(d^2 - 4af)\), further illustrate these connections Moreover, \(r(4ae - 2bd) = v(e^2 - 4cf)\) and \(s(4cd - 2be) = u(4bf - 2de)\) emphasize the symmetry in the relationships Lastly, we observe that \(u(4ae - 2bd) = v(4cd - 2be)\) and \(r(b^2 - 4ac) = w(e^2 - 4cf)\), culminating in the equation \(u(b^2 - 4ac) = w(4cd)\), which encapsulates the intricate interplay among these variables.
Mặt Veronese được định nghĩa bởi 6 phương trình độc lập đại số, và do đó, Bl v P 5 phải thỏa mãn thêm 8 phương trình sau: bu + 2ew + 2cv = 0, 4ct − 4fw + bs − du = 0, ds + 2et + 2fv = 0, es + 2dr +
2fu = 0, bv + 2dw + 2au = 0, dv + 2bt + 2as = 0, 4ar − 4ct + du − ev = 0, eu
Bây giờ ta sẽ so sánh Bl v P 5 với P 5
Mệnh đề 3.2 Nếu loại bỏ mặt Veronese, thì P 5 và Bl v P 5 sẽ đẳng cấu với nhau.
Chứng minh Xét ánh xạ π : Bl v P 5 → P 5 được xác định bởi phép chiếu lên thừa số thứ nhất.
Giả sử một điểm [a, b, c, d, e, f ] trên P 5 là không thuộc mặt Veronese, vì vậy nó không đại diện cho một đường conic là cặp đường thẳng trùng nhau.
Do vậy ánh xạ đối ngẫu được xác định tại điểm đó Khi đó 15 phương trình đầu của
Bl v P 5 hoàn toàn xác định [r, s, t, u, v, w], vì vậy π −1 ([r, s, t, u, v, w]) là một điểm.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Nếu tập hợp [a, b, c, d, e, f] nằm trên mặt Veronese, thì 15 phương trình đầu tiên của Bl v P 5 sẽ rút gọn về 0 = 0 Trong khi đó, 8 phương trình cuối cùng của Bl v P 5 sẽ cung cấp thông tin về các điểm tương ứng trong hình chiếu Ví dụ, một đường conic có thể được biểu diễn bởi một cặp đường thẳng trùng nhau với phương trình Z^2.
Điểm thuộc mặt Veronese trong P5 được biểu diễn bởi [0, 0, 1, 0, 0, 0] khi a = b = d = e = f = 0 Khi áp dụng giả thiết này vào phương trình Bl trong P5, chúng ta có thể rút gọn 8 phương trình còn lại thành 3 phương trình cơ bản.
Giả sử c ƒ= 0, khi đó v = s = t = 0 Do đó điểm trong hình chiếu Bl v P 5 được ánh xạ bởi π có dạng
Các điểm này xác định một P2 ở trong BlvP5, vì vậy π−1([a, b, c, d, e, f ])
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá mối quan hệ giữa các cặp đường thẳng conic và mặt Veronese trong P5 Cụ thể, các điểm tương ứng trên mặt Veronese sẽ được thay thế bằng toàn bộ P2 trong Bl v P5 Hơn nữa, trong quá trình xây dựng Bl v P5, chúng ta sẽ tách mặt Veronese khỏi P5 và thay thế nó bằng một siêu mặt trong Bl v P5 Siêu mặt này, được gọi là ước cá biệt (exceptional divisor), ký hiệu là E, đóng vai trò quan trọng trong cấu trúc của Bl v P5.
Nhận xét 3.3 Việc chúng ta thay thế mặt Veronese là những gì chúng ta cần để loại bỏ các giao điểm thừa Thật vậy, xét siêu mặtY ∈ P 5 chứa mặt
Khi đó, π−1(Y ) ∈ BlvP5 sẽ chứa E Do vậy, Y \V ∼= π−1(Y \V ), hơn nữa P5\V và
Bl v P 5 và π −1 (Y \V ) là hai đối tượng tương đồng Khi lấy bao đóng của π −1 (Y \V ), ta nhận thấy rằng nó là một siêu mặt trong Bl v P 5, giao với E nhưng không chứa E Định nghĩa 3.4 cho biết, với siêu mặt Y ∈ P 5 chứa mặt Veronese, siêu mặt π −1 (Y \V ) được gọi là phần chặt chẽ (strict transform) của Y, được kí hiệu là Y˜.
Chúng ta sẽ xác định giao điểm của các phần chặt chẽ trong P5 Quá trình xây dựng phần chặt chẽ đã loại bỏ các thành phần E, giúp loại bỏ các giao điểm thừa dọc theo mặt Veronese.
Vành Chow
Chúng ta có thể áp dụng định lý Bézout tổng quát để đếm số giao điểm của các siêu mặt trong P5, nhưng việc này trở nên phức tạp khi xét trên Bl v P5 do bậc của các siêu mặt Để giải quyết vấn đề đếm số giao điểm, chúng ta sẽ sử dụng vành Chow của Bl v P5 Dưới đây là khái niệm về vành.
Theo tài liệu [3], định nghĩa 3.5 về tương đương hữu tỉ cho rằng nếu Y là một đa tạp xạ ảnh, thì một chu trình trong Y được hiểu là một tổ hợp hữu hạn Z - tuyến tính các đa tạp con trong Y.
Y Hai chu trỡnh a 1 V 1 + a 2 V 2 +ã ã ã+ a n V n và b 1 W 1 + b 2 W 2 +ã ã ã+ b n W n với a i >
0, b i > 0 được gọi là tương đương hữu tỉ nếu tồn tại một đa tạp trơn Z ⊂ P 1 × Y , sao cho
{([s, t], x) ∈ Z, [s, t] = [0, 1]} là hợp của các a i bản V i và {([s, t], x) ∈ Z, [s, t] = [1, 1]} là hợp của b i bản W i với mọi i.
(i) Xét đa tạp Z = {[s, t] × [x 0 , x 1 , x 2] : x 0 x 2 − x 2 = 0 và tx 0 + (s − t)x 2 = 0} ⊂
Khi [s, t] = [0, 1], hai phương trình x 0 x 2 − x 2 = 0 và x 0 − x 2 = 0 tương ứng với parabol y = x 2 và đường thẳng y = 1, và chúng giao nhau tại hai điểm phân biệt Khi [s, t] = [1, 1], tình hình của x 0 x 2 có sự thay đổi đáng kể.
Trong toán học, hai phương trình x² = 0 và y = 0 tương ứng với parabola y = x² và đường thẳng y = 0, tạo thành một điểm giao nhau Mặc dù một điểm không tương đương với hai điểm, trong trường hợp này, hai đa tạp lại được xem là tương đương hữu tỉ do điểm giao của parabola và đường thẳng là một điểm kép.
Trong không gian P3, bất kỳ hai đường thẳng nào đều tương đương hữu tỉ Cụ thể, nếu f1 và g1 là hai phương trình của hai mặt phẳng khác nhau chứa đường thẳng l1, còn f2 và g2 là hai phương trình của hai mặt phẳng khác nhau chứa đường thẳng l2, thì với x thuộc P3 thỏa mãn f1(x) = g1(x) = 0 là phương trình của l1 và f2(x) = g2(x) = 0 là phương trình của l2 Điều này dẫn đến việc xem xét một đa tạp trong P1 × P3 được định nghĩa theo các phương trình này.
Khi [s, t] = [0, 1], f 1 và g 1 bị triệt tiêu, dẫn đến giao của hai đa tạp trở thành đường thẳng l 2 Tương tự, khi [s, t] = [1, 1], f 2 và g 2 bị triệt tiêu, tạo ra giao của hai đa tạp là đường thẳng l 1 Do đó, hai đường thẳng l 1 và l 2 được coi là tương đương hữu tỉ.
Vành Chow A∗(Y) là tập hợp tất cả các lớp tương đương của các chu trình trên đa tạp xạ ảnh Y Các chu trình có dạng a1[V1] + a2[V2] + + an[Vn], với ai ∈ Z Phép cộng của hai phần tử trong vành Chow được định nghĩa là [V] + [W] = [V ∪ W], và tổng quát hơn là tổng của tổ.
Trong lý thuyết Chow, hợp các số hạng có dạng a i [V i ] được sử dụng để mô tả các đa tạp Phép nhân của hai phần tử đơn trong vành Chow được định nghĩa là [V ].[W ] = [V ∩ W ], trong đó [V] và [W] là hai đa tạp bất kỳ.
Trong không gian P n, khi thực hiện phép nhân của lớp hai đa tạp đơn, chúng ta có thể xem xét hai đa tạp như là cắt hoành Cụ thể, với hai đa tạp Y 1 và Y 2 trong P n, có thể chọn một đa tạp Y ′ thuộc [Y 1] sao cho Y ′ và Y 2 có tính chất cắt hoành.
Nhận xét 3.4 Trong P 5 xét các trường hợp đa tạp là các siêu mặt Khi đó ta có một số nhận xét sau
Trong không gian P5, hợp của hai siêu phẳng H và H' tạo thành một siêu mặt bậc hai, thuộc lớp 2[H] do tất cả các siêu mặt bậc hai có tính chất giao tương tự Tương tự, bất kỳ siêu mặt bậc d nào trong P5 cũng thuộc lớp d[H] của C Đặc biệt, giao của năm siêu phẳng trong P5 chỉ là một điểm, do đó lớp [H]5 đại diện cho một điểm Giao của năm siêu mặt có bậc bất kỳ trong trường hợp tổng quát được biểu diễn trong vành Chow thông qua phép nhân d1[H].d2[H].d3[H].d4[H].d5[H] = d1.d2.d3.d4.d5.[H]5, trong đó d1.d2.d3.d4.d5 biểu thị cho điểm giao.
Sau đây chúng ta sẽ mô tả vành Chow của Bl v P 5 của P 5 dọc theo mặt Veronese Đầu tiên, xét một siêu phẳng H trong P 5 không chứa mặt Veronese.
Vì H không chứa mặt Veronese, H˜ bằng π −1 (H) và lớp của H˜ là một hàm sinh của vành Chow của Bl v P 5 Nếu Y là một siêu mặt bậc d, thì [π −1 (Y )] = d[H˜] Siêu mặt cá biệt không giống như d[H˜] với d bất kỳ, do đó nó đại diện cho một lớp mới [E] trong vành Chow Bl v P 5 và P 5 là đẳng cấu khi loại bỏ mặt Veronese, nên [E] trở thành phần tử sinh mới của vành Chow Vì vậy, bất kỳ siêu mặt nào trong Bl v P 5 sẽ được đại diện bởi một lớp m[H˜] + n[E].
Mệnh đề 3.3 Giả sử Y là một siêu mặt bậc d trong P 5 Khi đó
Để xác định giá trị n trong phương trình Y˜ = d[H ˜] − n[E] cho mỗi đa tạp Y khác nhau, chúng ta cần định nghĩa một hàm F Cụ thể, một hàm F được gọi là triệt tiêu cấp n dọc theo một đa tạp Z nếu F cùng với tất cả các đạo hàm riêng cấp nhỏ hơn n đều triệt tiêu khắp nơi trên Z.
Ví dụ 3.2 F = (2x − y) 2 triệt tiêu cấp 2 dọc theo đường thẳng L : 2x − y = 0, bởi vì F, F ′ = 4(2x − y), và F ′ = −2(2x − y) là triệt tiêu dọc theo L, nhưng F ′′
= 8 x y x là không triệt tiêu trên L.
Nếu Y là một siêu mặt trong P5, thì nó được định nghĩa bởi phương trình đa thức PY = 0 Nghịch ảnh của Y, ký hiệu là π⁻¹(Y), được xác định thông qua phương trình PY ◦ π = 0 Số tự nhiên n trong phương trình (3.3) thể hiện cấp triệt tiêu của hàm PY ◦ π = 0 dọc theo E, và cũng tương đương với cấp triệt tiêu của PY dọc theo.
Vì vậy ta có khẳng định sau.
Mệnh đề 3.4 chỉ ra rằng nếu Y là một siêu mặt trong P^5 được xác định bởi phương trình P_Y = 0, thì số tự nhiên n trong phương trình (3.3) là số tự nhiên lớn nhất sao cho P_Y và tất cả các đạo hàm riêng cấp nhỏ hơn n thuộc I(V), với I(V) là iđêan của hàm số triệt tiêu trên mặt Veronese, được sinh bởi 6 phương trình (3.1).
Bây giờ chúng ta sẽ đi xác định n ở phương trình (3.3) ứng với các trường hợp đa tạp Y là điểm, đường thẳng, đường conic.
Trong trường hợp Y là một điểm p, có nhiều đường conic là cặp đường thẳng trùng nhau không đi qua điểm p Do đó, siêu phẳng H p của các đường conic đi qua p không chứa mặt Veronese, dẫn đến [H˜ p ] = [H ˜] Như vậy, trong trường hợp này, n = 0.
Cấu hình p điểm, l đường thẳng và 5 − p − l đường conic
Chúng ta sẽ sử dụng mệnh đề (3.5) để trả lời câu hỏi : "Có bao nhiêu đường conic đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và tiếp xúc với 5 − p
− l đường conic cho trước" Để dễ dàng hơn trong việc tính toán thay vì phải viết tất cả, chúng ta quan tâm tới số hạng của [H˜ p ] và [H˜ l ] Trong a a a a
Chương 2 chúng ta đã trả lời câu hỏi có bao nhiêu đường conic đi qua p điểm và tiếp xúc với 5 − p đường
51 thẳng, sử dụng các kiến thức về vành Chow của Bl v P 5 mà chúng ta nghiên cứu ở mục (3.3), ta có:
Từ mệnh đề (3.5), chúng ta có
Sau đây, chúng ta sẽ đi trả lời câu hỏi đặt ra ở phần đầu chương.
Trường hợp Q = 5 Ta có số đường conic tiếp xúc với năm đường conic là:
Trường hợp Q = 4, p = 1 Ta có số đường conic đi qua một điểm và tiếp xúc với bốn đường conic là:
Tương tự, ta cũng có 816 đường conic tiếp xúc với một đường thẳng và tiếp xúc với bốn đường conic.
Tương tự, chúng ta có thể tìm ra câu trả lời cho các trường hợp còn lại Tổng kết lại, định lý 3.1 phát biểu rằng trong mặt phẳng xạ ảnh với p điểm, l đường thẳng và 5 − p − l đường conic, số lượng đường conic đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và 5 − p − l đường conic trong trường hợp tổng quát được thể hiện trong bảng dưới đây: l \ p 0 1 2 3 4 5.
Bảng 3.1: Số các đường conic đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và tiếp xúc với
Bảng (3.1) được giải thích như sau: hàng đầu tiên biểu thị số điểm, cột đầu tiên thể hiện số đường thẳng, trong khi các cột còn lại cho biết số đường conic đi qua số điểm tương ứng, tiếp xúc với số đường thẳng trong hàng đó và tiếp xúc với 5 trừ đi số điểm và số đường thẳng tương ứng Ví dụ, giá trị 224 ở cột 1 dòng 1 có nghĩa là có 2 đường conic đi qua 1 điểm, tiếp xúc với 1 đường thẳng và tiếp xúc với 3 đường conic còn lại.
Bản luận văn này nghiên cứu việc đếm số đường conic đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và tiếp xúc với 5 − p − l đường thẳng Định lý Bézout tổng quát là công cụ quan trọng cho việc đếm này Trong Chương 1, chúng tôi đã trình bày chứng minh đầy đủ cho định lý Bézout trong trường hợp đếm số giao điểm của hai siêu mặt Tuy nhiên, do kiến thức còn hạn chế, ở Chương 2, tôi chỉ mới phát biểu định lý Bézout tổng quát mà chưa có chứng minh chi tiết.
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính chất giao của các đường conic và đặt ra câu hỏi liệu có thể thay thế chúng bằng đường bậc 3 hay không Đây sẽ là một vấn đề tôi cần suy nghĩ kỹ lưỡng trong thời gian tới Tôi rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo từ bạn bè cùng quý thầy cô.