Những khái niệm chung
Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên X là một tập hợp các biến ngẫu nhiên X (X t (ω), t ∈ T), trong đó T là một tập hợp các chỉ số thực với T ⊆ R T có thể là hữu hạn, đếm được hoặc vô hạn không đếm được.
CHƯƠNG 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN mỗi t, X t là một hàm đo được từ (Ω, F) vào (T, B T ) trong đó B T là σ-trường Borel trên T ⊆ R
Một quá trình ngẫu nhiên (X t , t ≥ 0) được gọi là đo được nếu nó là một hàm hai biến X(t, ω) xác định trên tích BR + ×Ω và có giá trị trong R Hàm này phải là hàm đo được đối với σ-trường tích BR + × F, trong đó BR + đại diện cho σ-trường các tập Borel trên R + = [0, ∞) Điều này có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R, tập hợp liên quan cũng phải thỏa mãn điều kiện đo được.
(t, ω) ∈ R + × Ω : X (t, ω) ∈ B là một phần tử của σ-trường tích BR + × F, σ-trường này là σ-trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng
.[0, t] × A : t ∈ R + , A ∈ F Σ (c) khi cố dịnh một ω ∈ Ω, thì ánh xạ riêng phần t → X (t, ω) từ R + vào R được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t
≥ 0), ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω ấy.
(d) Nếu X lấy giá trị trong không gian R n (n ≥ 1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n-chiều.
(e) Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán S t , giá trái phiếu P t , giá sản phẩm phái sinh C t đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên.
Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc
(a) Một họ các σ-trường con (F t, t ≥ 0) của F , F t ⊂ F, được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu
• Đó là một họ tăng theo t, tức là F s ⊂ F t nếu s < t,
• Họ đó là liên tục phải, tức là t = t+ε ε>0
• Nếu A ∈ F và P (A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi F t ).
Trong một quá trình ngẫu nhiên X = (X_t, t ≥ 0), σ-trường F_X được định nghĩa bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X_s với s ≤ t, tức là F_X = σ(X_s, s ≤ t) σ-trường này chứa đựng toàn bộ thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t, và được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của nó.
X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X.
(c) Một không gian xác suất (Ω, F , P ) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (F t ), được gọi là một không gian xác suất có lọc và kí hiệu là (Ω, F , (F t ), P ).
Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Cho một không gian xác suất có lọc (Ω, F , (F t ), P ).
(a) Một biến ngẫu nhiên T được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t
(b) Một thời điểm Markov T được gọi là thời điểm dừng nếu T là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là:
Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ -trường
(a) Cho (Ω, F , P ) là không gian xác suất, G là một σ-trường con của F, G
⊂ F và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F) vào (R, BR) trong đó BR là σ-trường các tập Borel tập đường thẳng R.
Khi đó, một biến ngẫu nhiên X ∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ-trường G, nếu:
•X ∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G.
•Với mọi tạp A ∈ G thì ta có
CHƯƠNG 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Biến ngẫu nhiên X ∗ này sẽ được ký hiệu là E(X|G) Ta chú ý rằng kỳ vọng có điều kiện E(X|G) là một biến ngẫu nhiên.
Nếu chọn σ-trường G là σ-trường σ(Y) sinh ra từ một biến ngẫu nhiên Y, thì kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ(Y) được ký hiệu là E(X|Y).
Ta có các hệ thức phát biểu dưới đây đều được hiểu theo nghĩa hầu chắc chắn:
(1) Nếu G là σ-trường tầm thường {φ, Ω} thì
(2) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì
(3) Nếu X là đo được đối với G thì
Nói riêng, nếu c là một hằng số thì
(5) Nếu X độc lập đối với G thì
(6) Nếu G và H là hai σ−trường con của F và độc lập đối với nhau, và X là biến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì
E (X|σ (G, H)) = E (X|H) trong đó σ (G, H) là σ-trường nhỏ nhất chứa cả G lẫn H.
Bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện khẳng định rằng nếu g(x) là một hàm lồi trên tập I ⊂ R, nghĩa là g (λx + (1 − λ) y) ≤ λg (x) + (1 − λ) g (y) cho mọi x, y ∈ I và mọi λ ∈ [0, 1], thì với biến ngẫu nhiên X có giá trị trên I, ta có g (E (X|G)) ≤ E (g (X) |G).
(8) Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu 0 ≤ X n và X n ↑ X (X n đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞) với E|X| < ∞ thì
(9) Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu 0 ≤ X n thì E lim inf X n |GΣ ≤ lim inf E (X n |G)
(10) Sự hội tụ bị làm trội đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu lim x→∞ X n = X hầu chắc chắn và X n ≤ Y với EY < ∞ thì x→∞lim E (X n |G) = E (X|G)
(11) Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ(x, y) là một hàm hai biến sao cho E|φ(X, Y )| < ∞ Khi đó thì
Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.1.5.1 Xác suất có điều kiện P (A|G) của một biến cố A ∈
F là một biến ngẫu nhiên xác định bởi
(2) ∀A ∈ F : P A|G= 1 − P (A|G) (h.c.c), trong đó A là biến cố đối lập của A: A = Ω\A.
(3)∀A 1 , A 2 , ∈ F rời nhau từng đôi một thì
Martingale
Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0) thích nghi với bộ lọc (F t ) và khả tích: E|X t | < ∞ với mọi t ≥ 0
Giả thử s và t là hai giá trị ≥ 0 bất kì sao cho s ≤ t Khi đó:
(1) Nếu E(X t |F s ) ≤ X s thì X gọi là martingale trên (supermartingale)
(2) Nếu E(X t |F s ) ≥ X s thì X gọi là martingale dưới (submartingale)
(3) Nếu E(X t |F s ) = X s thì X gọi là martingale đối với bộ lọc (F t , t ≥ 0)
Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng (F t ) là bộ lọc tự nhiên của
(1) Cho Z là một biến ngẫu nhiên bất kì sao cho EZ < ∞ (khả tích) và cho
(F t ) là một bộ lọc bất kì trên (Ω, F , P ).
Khi đó, quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0) xác định bởi
X t = E (Z|F t ) là một martingale đối với (F t ).
(2) Cho X = (X t , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên khả tích thích nghi với bộ lọc (F t ), và giả thử rằng:
Với mọi s, t ≥ 0 sao cho s < t thì X t − X s độc lập với (F s )(∗) Tính chất (∗) được gọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ.
Khi đó, quá trình ngẫu nhiên Z = (Z t , t ≥ 0) xác định bởi
Z t = X t − E (X t ) là một martingale đối với (F t ).
(3) Cho (X t ) là một quá trình số gia độc lập, không nhất thiết phải khả tích Gọi ϕ X t (u) là hàm đặc trưng của X t , tức là ϕ X t
Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y = (Y t , t ≥ 0) xác định bởi: e iuX t
Y t X t (u) là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của X : F X = σ(X s , s ≤ t).
Trong không gian xác suất (Ω, F, P), Q được định nghĩa là một độ đo xác suất liên tục tuyệt đối so với P, ký hiệu là Q ≪ P Điều này có nghĩa là nếu A là một tập hợp thuộc F với P(A) = 0, thì cũng sẽ có Q(A) = 0.
Gọi hạn chế của P trên F t là P t và hạn chế của Q trên F t là Q t khi đó đạo hàm Radon - Nikodym L t = dQ t tồn tại, và quá trình L = (L t , t ≥ 0) là một martingale đối với F t
1.1.6.3 Phân tích Doob-Meyer và ứng dụng trong toán tài chính Định lý 1.1.6.1 Nếu X = (X t , t ≥ 0) là một martingale dưới đối với (F t ), khả tích (tức E|X t | < ∞, ∀t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau:
X t = M t + A t trong đó M t là một martingale đối với (F t ) liên tục phải và A t là một quá trình tăng và thích nghi với (F t ). t dP t ϕ Ý tưởng chính là như sau:
Trong toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản như cổ phiếu và trái phiếu, cùng với giá của các tài sản phái sinh như quyền chọn, được coi là các quá trình ngẫu nhiên Những giá trị này thường không phải là martingale trong một trường thông tin cụ thể.
Giả sử X t là giá của một tài sản tại thời điểm cần xác định, nhưng X t thường không phải là một martingale Nếu có thể biến đổi X t thành một quá trình Z t = ϕ(X t ) là martingale và giả định biết giá trị đáo hạn X T, thì có thể phân tích các yếu tố liên quan đến giá trị tài sản này.
E (Z T |F t ) = Z t (t < T ) nên ta có thể tính được giá trị X t tại thời điểm t < T bởi
X t = ϕ −1 [E (Z T |F t )] (t < T ) có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên:
(a).Áp dụng phân tích Doob-Meyer
Giả thử X t là một martingale dưới Ta có phân tích
Nếu xác định được quá trình tăng A_t, ta có thể chuyển đổi X_t thành một martingale cụ thể M_t = X_t − A_t Nếu (X_t) là một martingale, thì (−X_t) cũng sẽ là một martingale, dẫn đến kết quả tương tự.
(b).Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất
Khi nói rằng X không phải là martingale, điều này được xem xét dưới độ đo xác suất ban đầu P Giả sử chúng ta tìm thấy một độ đo xác suất mới P tương đương với P, tức là nếu P(A) = 0 với A thuộc một tập hợp nhất định.
P˜(A) = 0 và ngược lại cũng đúng) và một phép biến đổi quá trình X t thành một ˜
CHƯƠNG 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN quá trình X t sao cho dưới xác suất P mới này thì X t trở thành một martingale.
Giả thử bằng cách nào đó ta biết giá trị đáo hạn X t , tức là biết X T Khi đó, do tính chất martingale của X t ta có
E P ˜ (X T |F t ) = X t , (∀t < T ) gọi ϕ là phép biến đổi từ X t sang X t , vậy X t = ϕ −1 (X t ) và ta định giá được tài sản X t tại thời điểm t bởi công thức
Ta lưu ý hai điều quan trọng:
•Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro (tức là một phép tính lùi), sao cho
X t = e −r(T −t) X T , (t < T ) với hằng số r > 0 là lãi suất không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn Vì
P 0 nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là
Xác suất P được gọi là xác suất trung hòa rủi ro, hay còn được biết đến với tên gọi độ đo martingale, ký hiệu là Q Các nhà nghiên cứu đã chứng minh rằng
Sự tồn tại của một độ đo martingale Q tương đương với việc thị trường không có độ chênh lệch giá, điều này phản ánh Nguyên lý AAO.
• Thông thường phép biến đổi ϕ : X t → X t là một phép chiết khấu, chẳng hạn ˜
P ˜ ˜ thì X˜ t là martingale đối với (F t ) và xét dưới độ đo P˜, cho nên:
Quá trình Gauss
Định nghĩa
Một quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Gauss, nếu mỗi tổ hợp tuyến tính có dạng
Z = α i X t i i=1 là một biến ngẫu nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss), với mọi (α 1 , , α n ) ∈
Nói cách khác, X là Gauss nếu mỗi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn.
Một điều kiện cần của quá trình Gauss (X t ) là với mọi t thì X t là một biến ngẫu nhiên chuẩn.
Nhưng nó không phải là điều kiện đủ Một điều kiện cần và đủ được cho bởi định lý sau đây
Định lý
Một quá trình ngẫu nhiên (X t , t ≥ 0) là một quá trình Gauss nếu và chỉ nếu:
(b) Với mọi tập hữu hạn giá trị (t 1 , , t N ), t s ≥ 0, s = 1, , N , thì tro ng đó
R(t, s) = E [(X t − à(t))(X s − à(s))] (hàm tương quan của X). Ý nghĩa
Theo định lý nói trên thì một quá trình Gauss (X t ) sẽ hoàn toàn được xác định một khi ta biết kỳ vọng à(t) và hàm tương quan R(t, s) của nú.
Bay giờ ta sẽ xét một trường hợp riêng của quá trình Gauss, đó là chuyển động Brown.
Quá trình Wiener hay chuyển động Brown
Các định nghĩa
Một quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Wiener tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn, nếu X là một quá trình Gauss sao cho
(a)E(X t ) = 0, ∀t, tức là X t là qui tâm.
• Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai σ là một quá trình Gauss, qui tâm và hàm tương quan là
Một quá trình ngẫu nhiên X là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (a) X 0 = 0 hầu chắc chắn
(b) Hiệu X t − X s là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai là t − s, (s < t).
(c) Các số gia X t 4 − X t 3 và X t 2 − X t 1 (với mọi t 1 ≤ t 2 ≤ t 3 ≤ t 4) là các biến ngẫu nhiên độc lập. là σ 2 (t − s).
Vài tính chất quan trọng
Từ bây giờ, ta kí hiệu W = (W t , t ≥ 0) là một chuyển động Brown.
(a) W t là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó F t , với
F t = F W = σ(W s , s ≤ t): σ−trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của W tính cho đến thời điểm t.
(b) Hầu chắc chắn là W t không khả vi theo t.
(c) Hầu chắc chắn là W t không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu hạn nào của t.
(d) W tuân theo luật logarit-lặp như sau: lim sup √ W t
Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown
Cho (W t ) là một chuyển động Brown và F t = F
W Khi đó ta có 3 martingale quen biết là:
(a) Bản thân W t là một martingale đối với F t
(b) W 2 − t là một martingale đối với F t
2 u ∈ R thì e uW t − 2 t là một martingale đối với F t t t t u
CHƯƠNG 1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown
Cho W = (W t , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục Điều kiện cần và đủ để cho W t là một chuyển động Brown là
W 2 − t là một martingale (đối với F t = F W ) Điều kiện (∗) được gọi là đặc trưng Lévy của chuyển động Brown.
Quá trình Poisson
Quá trình đếm
Một quá trình ngẫu nhiên (N t , t ≥ 0) được định nghĩa là một quá trình đệm hay quá trình đếm, trong đó N t biểu thị tổng số lần xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên đến thời điểm t Quá trình đếm này có đặc điểm là thời gian liên tục, giá trị nguyên dương và có các bước nhảy tại những thời điểm ngẫu nhiên T 0 , T 1 , T 2 ,
Khi đó có thể viết
Quá trình Poisson
Một quá trình đếm (N t , t ≥ 0) được gọi là một quá trình Poisson, nếu: (a) N 0 = 0
(b) {N t , t ≥ 0} có số gia độc lập.
Số biến cố xảy ra trong khoảng thời gian t được mô tả bởi một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với giá trị trung bình là λt, trong đó λ là một hằng số dương Điều này áp dụng cho mọi giá trị s và t không âm.
Từ đó ta có E(N t ) = λt Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson.
Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson
Cho N t là một quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập, N 0 = 0 Điều kiện cần và đủ để N t là một quá trình Poisson có cường độ λ là
(∗∗) N t − λt là một martingale đối với (F N ).
Điều kiện (∗∗) được xác định là đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson Martingale M t = N t − λt được xem là martingale Poisson tương ứng với quá trình Poisson N t Trong trường hợp N t là một quá trình Poisson tiêu chuẩn với λ = 1, thì M t sẽ bằng N t.
Quá trình Markov
Chú ý
(a) Hai quá trình Markov điển hình là chuyển động Brown và quá trình Poisson.
(b) Quá trình Lévy (quá trình có số gia độc lập và dừng) là một quá trình Markov.
Một quá trình Markov có thể là quá trình Gauss hoặc không Khi một quá trình vừa là Gauss vừa là Markov, nó được gọi là quá trình Gauss-Markov, như chuyển động Brown Ngược lại, quá trình Poisson là Markov nhưng không phải là Gauss Một quá trình Gauss có tâm với hàm tương quan được xác định rõ.
Chuyển động Brown phân thứ (0 ≤ α ≤ 2) không phải là một quá trình Markov khi α = 1, mà nó mô tả những quá trình có trí nhớ lâu dài Đồng thời, các quá trình X_t = |W_t| và X_t = e^(W_t) (với W_t là chuyển động Brown thường) không phải là các quá trình Gauss nhưng lại là các quá trình Markov, trong khi đó, các quá trình Gauss lại có những đặc điểm riêng biệt.
0 tuy không phải là Markov nhưng lại là một 2
TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
Tích phân Ito
Hàm thực F(t) được xác định là có biến phân giới nội trên đoạn [a, b] nếu tồn tại một hằng số C, thỏa mãn bất đẳng thức cho mọi phân hoạch của đoạn này, tức là a = t0 < t1 < < tn = b.
Ngoài ra, ta cũng biết rằng, muốn xây dựng tích phân b a f (t) dF
(t) trong Giải tích toán học, ta phải luôn luôn giả thiết rằng F (t) có biến phân giới nội trên
Trong bài viết này, chúng ta xem xét chuyển động Brown W t và quỹ đạo của nó, được định nghĩa là hàm một biến t → W t khi cố định một yếu tố ngẫu nhiên ω Mỗi yếu tố ngẫu nhiên ω ∈ Ω tạo ra một quỹ đạo riêng, tức là một hàm thực của t.
Nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích phân có dạng tạm ký hiệu là b
I = f (t, ω) dWt a trong đó f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên nào đó, còn W t là chuyển động Brown nói trên Thế nhưng, hầu hết các quỹ đạo W t của chuyển động Brown
W(t, ω) không có biến phân giới nội trên đoạn [a, b], vì vậy không thể xây dựng tích phân từ a đến b của f(t, ω) dW_t như trong Giải tích toán học Năm 1941, nhà toán học Nhật Bản Kyushu Itô đã phát triển một phương pháp xây dựng tích phân dựa trên nguyên tắc ánh xạ đẳng cự, và tích phân này được đặt theo tên ông.
2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô
Cho f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên với điều kiện E[f²(t, ω)] < ∞ cho mọi t, trong khi Wt là chuyển động Brown tiêu chuẩn một chiều Tất cả các quỹ đạo của f và W được xác định trong khoảng thời gian a ≤ t ≤ b.
Xét một phân hoạch của đoạn [a, b]: và lập tổng tích phân a = t 0 < t 1 < < t n = b n−1 Σ
CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
S n (ω) = f (t i , ω) [W (ti+1 , ω) − W (ti , ω)] với i=0, trong đó f (t i , ω) đại diện cho giá trị của hàm f (t, ω) tại điểm đầu mút bên trái của đoạn t i , t i+1 Điều quan trọng là không thể thay thế f (t i , ω) bằng giá trị f (s i , ω) tại bất kỳ điểm s i nào thuộc đoạn t i , t i+1, điều này khác với cách định nghĩa tích phân tất định.
Ta làm mịn phân hoạch của đoạn [a, b], tức là xét các phân hoạch mau dần sao cho mỗi khoảng t i , t i+1 đều thu nhỏ dần:
Khi đó, nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên S ∗(ω) sao cho
E |S n (ω) − S ∗ (ω)| 2 → 0 khi n → ∞ thì S ∗(ω) được gọi là tích phân Itô của quá trình f (t, ω) trên đoạn [a, b] và ký hiệu là b
Giới hạn S ∗ (ω) được định nghĩa là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của S n (ω), thường được ký hiệu là l.i.m S n (ω), với l.i.m là viết tắt của limit in mean (giới hạn theo trung bình) Điều này có nghĩa là khi n tiến tới vô cùng, S n hội tụ về S ∗ trong không gian L 2 (Ω, F , P ).
Vậy ta có: Định nghĩa
Tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại: b
(a) Nếu trong tích phân trên, ta đặt a = 0 và b = t > 0 thì ta có tích phân
CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
0 f (s, ω) dWs phụ thuộc vào cận trên là t và từ nay, ta chỉ xét tích phân này.
Các quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) có tích phân Itô phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định Các điều kiện này đã được chứng minh để đảm bảo tính khả thi của tích phân Itô trong các quá trình ngẫu nhiên.
(i) Đo được đối với σ-trường tích B[0,t] × F và thích nghi đối với F t = F W
, trong đó B[0,t]là σ-trường Borel trên [0, t] và F W là σ-trường sinh bởi chuyển động Brown W t đã cho.
Nếu G là σ-trường sinh ra bởi các quá trình liên tục trái, thì mỗi g đo được đối với G được gọi là một quá trình khả đoán Đã có chứng minh rằng, với mọi quá trình f(t, ω) thỏa mãn hai điều kiện đã nêu, luôn tồn tại một quá trình khả đoán g(t, ω) sao cho f(t, ω) = g(t, ω) hầu khắp nơi đối với độ đo tích dt × dP.
Các tính chất quan trọng của tích phân Itô
(c) Bản thân tích phân Itô X t trường F W f (s, ω) dWs là một Martingale đối với σ-
2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô
Giả sử rằng X = (X t , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:
(a) Hầu hết các quỹ đạo t → X t là liên tục. t t
CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
(b) Hầu chắc chắn X t có biểu diễn: t
Vi phân Itô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau: dX t = h (t, ω) dt + f (t, ω) dWt (∗∗) hay dX = hdt + fdW
Khi ta viết ra một vi phân có dạng (∗∗), ta hiểu rằng điều đó có nghĩa là ta có hệ thức (∗) hầu chắc chắn.
Công thức Itô thực chất là công thức đổi biến trong Giải tích ngẫu nhiên:
Từ một quá trình ngẫu nhiên Itô (X t ) nếu ta biến đổi thành (Y t ) với Y t = g(t,
Để tính vi phân dY trong quá trình Itô, công thức này là rất quan trọng cho việc tính tích phân ngẫu nhiên, thực hiện các phép biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên Theo định lý, nếu X là một quá trình Itô với dX = hdt + fdW, và g(t, x) : R² → R là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến t và hai lần khả vi liên tục theo biến x, thì các yếu tố này sẽ hỗ trợ trong việc phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất và thống kê.
Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y t = g(t, X t ) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi:
1 t t ∂t ∂x t t 2 ∂x 2 t Đó là công thức Itô có dạng tương đương sau:
(a) Trong các công thức (I 1) và (I 2) thì dX coi như đã biết, và ta có thể thay dX = hdt + fdW
(b) Trong khi thực hiện các tính toán trên các vi phân, ta có thể áp dụng các qui ước sau: dt.dt = 0, dt.dW = dW.dt = 0,dW.dW = dt.
0 cho nên f ở đây bằng 1 Áp dụng công thức Itô t
Thí dụ 2 Tính tích phân
CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
0 trong đó f là một hàm tất định, khả vi cấp 1.
Vậy d [f (t) Wt] = Wt df (t) + f (t) dWt t f (s) dWs = f (t)
0 Đó là công thức tích phân từng phần của tích phân ngẫu nhiên Itô trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân là tất định.
Chú ý rằng, theo giả thiết f là khả vi nên nó có biến phân giới nội trên đoạn
Trong trường hợp tổng quát, nếu f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên với quỹ đạo có biến phân giới nội, ta có công thức tích phân từng phần: \[\int_{t}^{t} f(s, ω) dW_s = f(t, ω).\]
Ws df (s) − [f, W] t trong đó [f, W] t là một quá trình ngẫu nhiên được xác định bởi:
[f, W] t = giới hạn theo xác suất của một tổng S n (f, W ) trong đó n−1
S n (f, W) = [f (t k+1) − f (t k )] Wt k+1 − Wt k , k=0 với mọi phân hoạch 0 = t 0 < t 1 < < t n = t, Khi mà 0 max 1 |t k+1 − t k | → 0.
[f, W ] được gọi là biến phân bậc hai của quá trình f và W như ta sẽ định nghĩa dưới đây, ở mục 2.2.2
Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich
[0, t] và do đó tích Ws df (s) là có nghĩa.
2.2.1 Khái niệm và định nghĩa
Theo định nghĩa tích phân Itô đã nêu, giá trị của quá trình f trong tổng tích phân S n được xác định tại đầu bên trái t k của mỗi đoạn nhỏ [t k , t k+1].
Bây giờ, thay vì cho đầu mút trái, ta chọn điểm chính giữa t k + t k+1
2 của mỗi đoạn nhỏ đó, thì ta đi tới định nghĩa của một loại tích phân ngẫu nhiên mới, gọi là tích phân Stratonovich. Định nghĩa
Tích phân Stratonovich được định nghĩa bởi giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của tổng S n với n−1
2.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa
Cho X t và Y t là hai quá trình liên tục, xác định với t ≥ 0 Ta gọi biến phân bậc hai của hai quá trình ấy và ký hiệu là [X, Y ] là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi một giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại:
Nếu X = Y thì ta dùng kí hiệu [X, X] = [X]. Σ Σ Σ
CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
Biến phân bậc hai của một số quá trình
(a) Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì [W ] t = t.
(b) Nếu X là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì martingale Poisson Y t
= X t −t có biến phân bậc hai là [Y ] t = t.
(c) Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bởi:
Liên hệ giữa tích phân Stratonovich và tích phân Itô t f (s, ω) ◦ dWs 0 t 1 f (s, ω) dWs +
Công thức kiểu Newton-Leibnitz đối với tích phân Stratonovich
Giả sử h(x) là một hàm một biến khả vi liên tục với nguyên hàm là U (x) thì người ta có thể chứng minh được công thức h (Ws) ◦ dWs = U (Wt) − U (Wt 0 ) t 0
(Thực ra, cả hai vế đều bằng t t 0 t h (Ws) dWs + 2
CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN t 0 h (Ws) ds).
Cũng như vậy, đôi khi việc tính một tích phân Itô sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu ta chuyển sang tích phân Stratonovich, thí dụ: t t
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
Định nghĩa phương trình và lời giải
Xét một hệ thức vi phân ngẫu nhiên dX t = b (t, X t ) dt + σ (t, X t ) dWt
(2.3.1) trong đó b(t, x) và σ(t, x) là những hàm hai biến đo được: [0, T ] × R → R,
W t là chuyển động Brown tiêu chuẩn Nếu xem X t là một quá trình ngẫu nhiên phải tìm, thì hệ thức (2.3.1) được gọi là một phương trình vi phân ngẫu nhiên.
• Một quá trình ngẫu nhiên X = (X t (ω), t ∈ [0, T ]) được gọi là một lời giải của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu
0 trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (W t , t ≥ 0) sao cho E(Z 2 ) < ∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau:
(i) X t là thích nghi với F t = F W = σ(W s , s ≤ t), và là đo được đối với σ-trường tích B[0,T ] × F t , t
(iii) X t thỏa mãn các hệ thức (2.3.1) và (2.3.2).
• Giả thử X = (X t , t ∈ [0, T ]) là một lời giải của phương trình (2.3.1)-
(2.3.2) Ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện:
Giả thử có một quá trình Y = (Y t , t ∈ [0, T ]) cũng là một lời giải của phương trình trên thì khi đó
Định lý tồn tại và duy nhất
Nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho với mọi t ∈ [0, T ] với mọi x, y ∈
|b (t, x)| 2 + |σ (t, x)| 2 ≤ K 2 1 + |x| 2 (2.4.2) hay với hằng số C > 0 ta có:
|b (t, x)| + |σ (t, x)| ≤ C (1 + |x|) thì khi đó tồn tại một lời giải X = (X t , t ∈ [0, T ]) của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu (2.3.2) và lời giải đó là duy nhất theo nghĩa (2.3.3).
Sự duy nhất sẽ được chứng minh dựa vào sự đẳng cự Itô và Điều kiện Lipschitz (2.4.1) Giả thử
X 2 (t, ω) = X^ t (ω) là lời giải với các điều kiện ban đầu Z và Z^, tức là
Trong bài viết này, chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp Z = Z, nhưng sẽ giới thiệu một ước lượng tổng quát hơn có liên quan đến tính liên tục Feller Điều này sẽ hữu ích cho các nghiên cứu sau này.
(do bất đẳng thức Cauchy) Σ.
0 bởi vì: theo (2.4.1) |a| + |γ| ≤ K.|X − X|, do đó a 2 hoặc Σ ^
(e At − 1) Theo bất đẳng thức tìm được ở trên v (t) ≤ F + A.ω(t), ta có hay là v(t) ≤ F exp(At)
P X t − X t = 0 ∀t ∈ Q ∩ [0, T ] = 1 trong đó Q là tập hợp các số hữu tỉ Do tính liên tục hầu khắp nơi của ánh xạ t X t X t ta suy ra rằng
Ta sẽ chứng minh sự tồn tại lời giải của (2.3.1) theo một phương pháp tương tự đối với phương trình vi phân thường, bằng cách dùng phép lặp Picard:
• Đầu tiên, ta định nghĩa: Y (0) = X 0và Y (k) = Y (k) (ω) một cách Quy nạp như sau: t t
Khi đó, tính toán tương tự như đối với phần duy nhất ở trên, ta có :
= A 1 t, trong đó hằng số A 1 chỉ phụ thuộc vào C, T và EX 2 Do đó, theo (2) ta có :
A k+1 t k+1 trong đó A 2 là một hằng số chỉ phụ thuộc C, K, T và EX 2
• Bây giờ, với mỗi ω cố định thuộc Ω, ta có
Theo Bất đẳng thức Martingale của Doob thì ta có
Do đó, theo bổ đề Borel-Cantelli, ta có
Vậy với hầu hết ω, tồn tại một k 0 = k 0(ω) sao cho sup (ω)
. t t Σ n−1 Σ Σ hội tụ đều với hầu hết mọi ω (hội tụ đều h.k.n.) Ký hiệu giới hạn đó bởi
• Giới hạn trong không gian đủ L 2 (P ):
Cho m > n ≥ 0 là các số nguyên Theo (3) ta có :
Do đó ,Y (n) , hội tụ trong L 2 (P ) đến một giới hạn mà ta ký hiệu là
(n) , đến Y t (ω), tức là |Y (n) (ω) − Y t (ω)| → 0, và do đó ta phải có Y t = X t hầu chắc chắn.
• Việc còn lại là phải chứng minh rằng Y t thỏa mãn phương trình vi phân (2.3.1) đã cho :
-Ta đã có Y (n+1) → X t khi n → ∞ và sự hội tụ là đều theo t ∈ [0, T ] với hầu hết ω Theo (4) và bổ đề Fatou ta có
∞ Y t Vậy tồn tại một dãy con của
Y t hội tụ theo từng điểm
. σ theo phép đẳng cự Itô :
Do đó, qua giới hạn trong L 2 (P ) cả hai vế của (4), ta nhận thấy X t thỏa mãn phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu (2.3.2) đã cho dX t = b (t, X t ) dt + σ (t, X t ) dWt , X 0 = Z
(PT ) Điều đó hoàn tất chứng minh Định lý Tồn tại và Duy nhất lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
ma ta lại có Y n hội tụ đều tới X s hầu chắc chắn do đó vế trái →
0. vì theo bất đẳng thức Ho¨lder ∫ fgΣ 2
Tính Markov của lời giải
Giải của một phương trình vi phân ngẫu nhiên luôn là một quá trình Markov, điều này được xác nhận bởi một định lý quan trọng.
Giả thử X = X t là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn phương trình dX t = b (t, X t ) dt + σ (t, X t ) dWt
(2.3.1) trong đó các hệ số b (t, x) và σ (t, x) thỏa mãn các điều kiện tồn tại và duy nhất lời giải như đã nêu trong Định lý trên.
Khi đó X = X t là một quá trình Markov mà xác suất chuyển xác định bởi
P(x, s; t, A) = P{X x (t) ∈ A}, trong đó X x (t) là nghiệm của phương trình (2.3.1) với điều kiện ban đầu x tại thời điểm s < t, tức là X s = x Nói cách khác, X x (t) là nghiệm duy nhất của phương trình t.
(a) Theo định nghĩa, bất kỳ một lời giải nào của phương trình (2.3.1) đều là một quá trình thích nghi với F W = σ(W s , s ≤ t).
Phương trình (2.3.1) mô tả diễn biến của một hệ động lực với trạng thái hệ là (X t) Hệ động lực này thường được cho là bị chi phối hoặc điều khiển bởi chuyển động Brown.
W t , trong đó hệ số b(t, X t ) được gọi là độ dịch chuyển (drift), và hệ số σ(t,
X t ) được gọi là độ biến động (volatility) của hệ. s s s
Trong thực hành kỹ thuật toán tài chính, một yếu tố quan trọng là đảm bảo rằng lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên phải là một martingale Định lý quan trọng được đưa ra trong bối cảnh này là nếu (X t) là lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên dX = b(t, X) dt + σ(t, X) dW, với σ(t, x) liên tục, thì chúng ta có thể xác định các đặc điểm của martingale trong các mô hình tài chính.
Khi đó, quá trình (X t ) là một martingale nếu và chỉ nếu độ dịch chuyển bằng 0, tức là b (t, x) ≡ 0.
VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ
Chương này khám phá các quá trình giá tài sản tài chính dưới góc độ các quá trình ngẫu nhiên, nhấn mạnh khái niệm độ chênh thị giá và thị trường đầy đủ Nó cũng trình bày phương pháp định giá dựa trên độ chênh thị giá cùng với các hợp đồng tài chính, đặc biệt là mô hình quyền chọn Black-Scholes.
Phần I QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
Phương án đầu tư
Từ nay ta quy các tài sản cơ bản vào hai loại chính là cổ phiếu và trái phiếu và gọi chung là chứng khoán cơ bản.
Mỗi chứng khoán S được xem như một quá trình ngẫu nhiên {S(t)} trong không gian xác suất có lọc (Ω, F, (F_t), P), trong đó F_t là một tập hợp các σ-trường phản ánh luồng thông tin của thị trường.
3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua và bán
Một phương án đầu tư là sự kết hợp của một số chứng khoán nhất định với các trọng số cụ thể Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là S1(t), S2(t), , Sn(t) Để đầu tư, cần chọn ra α1(t) chứng khoán S1(t), , αn(t) chứng khoán Sn(t) tại mỗi thời điểm t Giá trị của phương án đầu tư này tại thời điểm t, được ký hiệu là Vα(t), được xác định dựa trên n chứng khoán đã chọn.
Giá chứng khoán S 1(t), S 2(t), , S n(t) là các quá trình ngẫu nhiên, dẫn đến việc giá của phương án đầu tư cũng trở thành một quá trình ngẫu nhiên Các hàm số α i(t) là các hàm số xác định theo thời gian t Một phương án đầu tư có thể được ký hiệu là (α, S).
Phương án đầu tư cũng còn được gọi là danh mục đầu tư hoặc chiến lược đầu tư hoặc chiến lược buôn bán, và cũng ký hiệu là φ = (α, S)
Phương án mua và bán
Một phương án đầu tư (α, S) được gọi là phương án bán đối với chứng khoán
Và được gọi là phương án mua đối với chứng khoán ấy nếu α i (t) < 0. Giá của chứng khoán S i tại thời điểm t được ký hiệu là S i (t)
3.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio)
Tại thời điểm t, kế hoạch đầu tư có thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi việc mua và bán các chứng khoán S i (1 ≤ i ≤ n) Điều này đồng nghĩa với việc thay đổi các trọng số từ α 1(t), , α n (t) sang β 1(t).
(b) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức là: β 1(t)S 1(t) + + β n (t)S n (t) = α 1(t)S 1(t) + + α n (t)S n (t) Σ
CHƯƠNG 3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH
Sự cân đối tự tài trợ (self-financing) được định nghĩa là tình trạng mà một điều chỉnh tại thời điểm t của phương án đầu tư không làm tăng hoặc giảm nguồn tài chính.
(α, S) → (β, S) ⇒ V (t) = V (t) , xét tại thời điểm t nào đó.
(a) Hệ thức (3.1.2) có thể được viết lại thành n
Với phương án đầu tư tự tài trợ, việc tăng cường đầu tư vào một số chứng khoán nhất định đồng nghĩa với việc phải giảm bớt đầu tư vào các chứng khoán khác.
(3.1.4) i=1 hay viết dưới dạng vi phân n
(3.1.5) i=1 nếu các α i (t) là các hàm khả vi.
(t) là các hàm số tất định, ta có vi phân của V α (t) là n n dV α (t) = Σ α i (t) dS i (t) + Σ
(3.1.6) Kết hợp (3.1.5) và (3.1.6) ta có kết luận rằng: Σ Σ Σ Σ i= 1 i=
Một phương án đầu tư (α, S) là một phương án tự tài trợ nếu và chỉ nếu n dV α (t) = α i (t) dS i (t)
Trong các hệ thức trên, ta giả định là có đủ các điều kiện để cho các vi phân dα, dS và dV α là tồn tại. Σ
Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO
Mô hình thị trường M bao gồm các chứng khoán S và một tập hợp các phương án đầu tư tự tài trợ Φ = {φ = (α, S)} Ký hiệu M = (S, Φ) cho thấy các giá chứng khoán S t trong S được coi là các quá trình ngẫu nhiên trong không gian xác suất có lọc (Ω, F , (F t ) , P ) Tại đây, F t là một họ các σ−trường con của F, thỏa mãn điều kiện thông thường, tức là một họ tăng theo thời gian t, liên tục phải và bao gồm mọi tập F−đo được với xác suất P.
Theo định nghĩa, F0 = {Ω, ∅} là tập hợp thông tin ban đầu, trong khi F t đại diện cho luồng thông tin về thị trường, ghi nhận mọi biến cố xảy ra Các quá trình giá tài sản tài chính được giả thiết là thích nghi với luồng thông tin này, nghĩa là giá tài sản tại mỗi thời điểm t được đo lường dựa trên F t.
Một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ được xem là một cơ hội có độ chênh thị giá khi quá trình giá V t (φ) của phương án đó đáp ứng các điều kiện nhất định.
Điều kiện (ii) xác định rằng xác suất để giá trị đầu tư V t (φ) lớn hơn hoặc bằng 0 tại thời điểm T, thời điểm đáo hạn của hợp đồng, là 1, và xác suất để V T (φ) lớn hơn 0 là dương Điều này có nghĩa là tại thời điểm kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư không chỉ đảm bảo lợi nhuận bằng 0 mà còn có khả năng tạo ra lợi nhuận thực sự Cả hai điều kiện này cho thấy rằng phương án φ là một lựa chọn đầu tư không rủi ro nhưng vẫn có khả năng sinh lời Khái niệm này thường được gọi là cơ hội chênh thị giá.
Thị trường M = (S, Φ) được coi là một thị trường không có độ chênh thị giá khi không tồn tại bất kỳ phương án đầu tư tự tài trợ nào trong Φ có độ chênh thị giá.
Giả thiết "không có độ chênh thị giá" gọi là nguyên lý AAO (Absence of Arbitrage Opportunity).
3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ
Gọi X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ F t − đo được Một hợp đồng tài chính chỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn T với giá trị là X T được gọi là một tài sản phái sinh kiểu châu Âu và được ký hiệu là X Nếu có thể thực thi tại mọi thời điểm t ≤ T thì hợp đồng ấy gọi là phái sinh kiểu châu Mỹ.
Tài sản phái sinh châu Âu, hay còn được biết đến với tên gọi quyền tài chính châu Âu, là một loại phái sinh quan trọng trong lĩnh vực tài chính Từ nay, chúng ta sẽ gọi tắt nó là phái sinh hoặc quyền.
Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ
3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy)
Một chiến lược đáp ứng cho phái sinh có giá trị đáo hạn X T tại thời điểm T là một phương án đầu tư tự tài trợ, đảm bảo rằng các khoản đầu tư được thực hiện sao cho có thể đạt được mục tiêu tài chính đã đề ra.
Giá trị của phương án đầu tư V T (φ) phải bằng giá trị đáo hạn X T (R), đảm bảo rằng giá trị này đúng với giá trị đáo hạn đã được xác định và ghi trong hợp đồng.
Quá trình giá V t (φ) của phương án ấy (tức quá trình mà giá đáo hạn là
V T (φ) = X T ) được gọi là quá trình đáp ứng Ký hiệu Φ X là lớp tất cả các phương án đầu tư φ đáp ứng cho phái sinh X.
3.3.2 Phái sinh đạt được trong thị trường M.
Tài sản phái sinh X được xem là đạt được trong thị trường M nếu tồn tại ít nhất một phương án thỏa mãn điều kiện của nó, tức là Φ X ƒ= 0.
3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market).
Thị trường M được coi là đầy đủ khi mọi tài sản phái sinh X có thể được tạo ra trong M Điều này có nghĩa là với bất kỳ biến ngẫu nhiên X nào đo được đối với F T, luôn tồn tại ít nhất một phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ sao cho giá trị V T (φ) bằng X T.
Tính đầy đủ là yêu cầu cao của thị trường, cho phép định giá các tài sản phái sinh kiểu châu Âu thông qua phương pháp độ chênh thị giá Quá trình định giá này có thể được xây dựng tương tự như phương án tự tài trợ.
Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) 46
Trong mục này ta giả thiết rằng X là một phái sinh thực thi tại thời điểm đáo hạn T.
3.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu.
Ta nói rằng phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường
M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X , tức là nếu ta có hệ thức
(3.4.1) với hai phương án đầu tư bất kỳ φ và ψ thuộc về Φ X Trong trường hợp này quá trình V t (φ) được gọi là quá trình sở hữu của X trong M.
Trong một thị trường không có độ chênh thị giá (AAO), mọi tài sản phái sinh đạt được X sẽ được đáp ứng một cách duy nhất Điều này thể hiện sự tương quan giữa nguyên lý không có độ chênh thị giá và nguyên lý đáp ứng.
Vậy nguyên lý AAO kéo theo tính đáp ứng duy nhất đối với mọi phái sinh đạt được.
3.4.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá
Định giá tài sản phái sinh bằng phương pháp độ chênh thị giá thực chất dựa vào nguyên lý AAO, không cần có độ chênh thị giá, cùng với nguyên lý đáp ứng để xác định giá trị của tài sản tại thời điểm t trước khi đáo hạn.
T, đặc biệt là tính ra được giá ban đầu V 0 (tức hiện giá) của phương án cần đầu tư để dạt được giá trị đáo hạn X đặt ra trước của hợp đồng Công cụ để thực hiện phương án này là một độ đo xác suất mới mà ta sẽ gọi là xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale mà ta sẽ giải thích kỹ ở mục 3.5.
Vì thế phương pháp này cũng gọi là phương pháp trung hòa rủi ro.
Giả sử V_t là giá của một phương án đầu tư tại thời điểm t cho hợp đồng phái sinh có giá đáo hạn X Quá trình này được xem xét trong không gian ngẫu nhiên (Ω, F, (F_t), P), trong đó (F_t) đại diện cho luồng thông tin thị trường với F_0 = {Ω, ∅} và P là xác suất ban đầu.
Dưới độ đo ban đầu P, (V t) không phải là một martingale đối với F t Do đó, cần tìm một độ đo xác suất mới Q và một hệ số xác định k(t) để cải thiện tính chất này.
(a) Q tương đương với độ đo xác suất cũ P.
(b) Dưới độ đo Q thì quá trình thông tin thị trường F t , tức là
V˜ t = k (t) V t là một martingale đối với luồng thức trên cho ta:
E Q V˜ T |F 0 Σ = V ˜ 0 (3.4.3) nhưng vì F0 = {Ω, ∅} nên E (.|F 0) = E Q (.), tức là kỳ vọng có điều kiện F0cũng như không điều kiện Vậy ta có hay
Vì k(t) là một hàm tất định nên ta rút ra k (T )
Theo nguyên lý đáp ứng AAO và định lý 3.4.1.1, tồn tại một phương án đáp ứng φ với giá V t = V t (φ) sao cho V T = X T, trong đó X T là giá trị đáo hạn định trước của hợp đồng Cuối cùng, ta có k (T).
Hệ thức này cho phép xác định mức vốn đầu tư ban đầu V₀ cần thiết để đạt giá trị hợp đồng Xₜ mong muốn, trong đó V₀ là hiện giá của hợp đồng Bên cạnh đó, nó cũng cho biết giá của hợp đồng phái sinh tại một thời điểm t bất kỳ trong khoảng 0 ≤ t ≤ T.
(3.4.8) theo một cách suy diễn tương tự như trên.
Hệ số k(t), hay còn gọi là hệ số chiết khấu, cho phép tính lùi giá tài sản từ thời điểm đáo hạn T về giá tại các thời điểm trước đó Trong trường hợp tổng quát, k(t) có thể được coi là một quá trình ngẫu nhiên, ảnh hưởng đến giá tính lùi.
|F t Σ(3.4.9). cũng được gọi là phương pháp trung hòa rủi ro.
Chi tiết hơn về phương pháp này sẽ được trình bày trong mục 3.4.3 tiếp theo đây.
3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale
Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu (X) có giá đáo hạn là X T được viết trên tài sản cơ sở S có thời gian đáo hạn là T.
S = (S t , 0 ≤ t ≤ T ), Để đơn giản, giả thiết S là 1-chiều (tức một tài sản cơ sở, chẳng hạn một cổ phiếu).
Giả định rằng giá của S là một quá trình ngẫu nhiên trong không gian xác suất được lọc (Ω, F , (F t ), P), với (F t ) là bộ lọc chứa thông tin về thị trường.
Giả sử hệ số chiết khấu được định nghĩa là k(t) = 1 β(t), trong đó β(t) có thể là một quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác suất đã được lọc Thông thường, β(t) được chọn là e r(T −t), dẫn đến hệ số chiết khấu là e −r(T −t) Khi lãi suất không có rủi ro, r trở thành một hằng số và hệ số chiết khấu cũng sẽ là một hằng số.
Một độ đo xác suất Q trên (Ω, |F) sẽ được gọi là xác suất trung hòa rủi ro nếu
(a) Q tương đương với P, có nghĩa là Q(A) = 0 nếu và chỉ nếu P (A) = 0, với
(b) Hầu chắc chắn là ta có
S s với mọi 0 ≤ s ≤ t ≤ T, (3.4.10) trong đó E Q là kí hiệu kỳ vọng lấy theo xác suất Q, còn E Q (.|F s ) là kỳ vọng có điều kiện đối với F s và theo xác suất Q.
(i) Tính chất (b) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu.
Do đó xác suất Q cũng còn được gọi là độ đo martingale.
Giả sử Q là một độ đo martingale, và Vt là quá trình giá của một chiến lược đầu tư tự tài trợ dựa trên tài sản cơ sở S Đã có chứng minh cho thấy rằng quá trình giá này đã được chiết khấu.
V = (3.4.11) β(t) cũng là một martingale đối vơi Q, F t
Nói riêng, khi đó ta có
Nếu thị trường là đầy đủ thì giá của hợp đồng phái sinh (X) được đáp ứng bởi một chiến lược tự tài trợ sao cho V T = X T và do đó
Vì σ− trường F0chỉ gồm có hai tập ∅ và Φ cho nên kỳ vọng có điều kiện lấy đối với F0 cũng là kỳ vọng thường không điều kiện
Xác suất Q giúp xác định giá hiện tại V0 một cách chắc chắn, không còn tính ngẫu nhiên hay rủi ro, do đó Q được gọi là xác suất trung hòa rủi ro Nhờ vào độ đo Q, giá tài sản Vt trở thành V˜t, một martingale, nên Q cũng được xem là độ đo martingale.
MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES
Mô hình Black-Scholes
Ta bắt đầu bằng việc giải thích mô hình Black-Scholes là gì và dùng để giải quyết những vấn đề gì.
Mô hình này được Fischer Black và Myron Scholes đưa ra đầu tiên năm
Vào năm 1973, để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, giả thiết rằng quyền chọn này được xây dựng dựa trên hai tài sản cơ sở: cổ phiếu S với giá tại thời điểm t là S_t và trái phiếu B với giá B_t Các tài sản này thỏa mãn các phương trình vi phân sau: dS_t = àS_t dt + σS_t dW_t.
0 ≤ t ≤ T, T là thời điểm đáo hạn trong đú à, σ và r là cỏc hằng số dương. hiện giá V = V 0 tại thời điểm ban đầu sao cho quyền chọn được đáp ứng.
Vậy mô hình Black-Scholes gồm có mấy yếu tố sau:
(i) Tài sản cơ sở là S và B thỏa mãn các phương trình (3.6.1)-(3.6.2). (ii) Các giả thiết về chứng khoán và thị trường (sẽ nói sau).
(iii) Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn.
3.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes
Ta nhân thấy quá trình ngẫu nhiên S t thỏa mãn phương trình (3.6.1) chính là một chuyển động Brown hình học mà biểu thức hiển là:
(3.6.3) là một phiếm hàm của chuyển động Brown Ta chú ý rằng ln S t − ln S 0 = à − σ t + σW t
(3.6.4) tức là ln S t − ln S 0 cú phõn phối chuẩn N à − , σ 2 t Σ σ
2 Vậy S t có phân phối lôga-chuẩn Phân phối này đóng vai trò quan trọng trong diễn biến của giá cổ phiếu theo mô hình Black-Scholes.
3.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes.
Các giả thiết đó là
(1) Thị trường hoạt động liên tục. Σ
(3) Không chia cổ tức trong suốt thời kỳ hữu hiệu của hợp đồng quyền chọn mua.
(5) Không có độ chênh thị giá.
(6) Hai tài sản cơ bản S và B có giá thay đổi theo các phương trình (3.6.1) và (3.6.2).
3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua.
Trái phiếu B t = B 0 e rt có thể được coi là một yếu tố xác định, trong khi giá cổ phiếu lại chịu ảnh hưởng của yếu tố ngẫu nhiên theo phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.6.1) Chúng ta có thể quy đổi giá cổ phiếu dựa trên giá trị của một trái phiếu, coi giá trị của một trái phiếu như một đơn vị tiền tệ; do đó, trong bối cảnh này, trái phiếu được xem như một hiện kim Giá cổ phiếu được ký hiệu là S t, với giả định rằng S t đã bao gồm cả hai chứng khoán S và B.
Gọi V là giá của thu hoạch do quyền chọn tại thời điểm ban đầu t = 0, S T là giá chứng khoán tại thời điểm T và X là giá thực thi được ghi trước trong hợp đồng quyền chọn mua Nếu S T ≥ X thì lợi nhuận sẽ là S T − X ≥ 0, nhà đầu tư sẽ thực thi để kiếm lời Nếu S T < Xthì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộc phải mua, nếu thực thi sẽ bị lỗ Cho nên lợi nhuận sẽ là
Đại lượng (S T − X) + được ký hiệu là phần dương của (S T − X), là một biến ngẫu nhiên Giá trị trung bình của nó được tính bằng kỳ vọng E (S T − X) +, và được gọi là giá của quyền chọn mua tại thời điểm đáo hạn.
Giá trung bình của lợi nhuận từ quyền chọn được xác định bằng cách tính hiện giá V tại thời điểm t = 0, thông qua việc nhân với hệ số tính lùi e^(-rT).
(1+ r ) (cũng gọi là hệ số chiết khấu) với r là lãi suất của luồng tiền trái phiếu.
≈0 trong đó S T có biểu thức theo (3.6.3) là Σ.
Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu
Việc xây dựng này có thể được tiến hành theo hai cách sau đây:
(a) Cách 1: Xuất phát từ các hệ thức (3.6.6) và (3.6.7) bằng cách tính toán ngẫu nhiên ta có công thức
V 0 = S 0 N (d 1) − e −rT N (d 2) , (3.7.1) trong đó d = √ 1 Σln S 0 + r + σ 2 Σ T Σ , d 2 = d 1 − σ T , σ là độ biến động giá chứng khoán và N (x) là ký hiệu hàm phân phối chuẩn N (0, 1): N (x) = 1 x
(b) Cách 2: Giải một phương trình đạo hàm riêng cấp hai gọi là phương trình Black-Scholes sau đây
(3.7.3) trong đó V = V (S, t) là giá quyền chọn tại thời điểm t và giá chứng khoán S
= S t , với điều kiện cuối là
Khi đó ta được công thức:
(3.7.2) d 2 = d 1 − σ T − t, và N(x) là hàm phân phối chuẩn N(0,1)) Đó là công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua tại thời điểm t, 0
≤ t ≤ T Khi t = 0 thì công thức (3.7.4) trở thành (3.7.1).
Xét một quyền chọn mua với thời gian đáo hạn 3 tháng, giá chứng khoán ban đầu là 60 triệu đô la và giá thực thi là 65 triệu đô la Lãi suất không rủi ro là 8% mỗi năm, trong khi độ biến động của chứng khoán là 30% mỗi năm Với các thông số S0 = 60, X = 65, T = 0.25 (tính theo năm), r = 0.08 và σ = 0.30, ta có thể tính toán giá trị quyền chọn dựa trên các yếu tố này.
0.25 = −0.4753 Theo bảng gí trị của phân phối chuẩn N (0, 1) ta có
Do đó gí quyền chọn V 0tại thời điểm ban đầu (hiện giá của quyền chọn) sẽ là
Sau 3 tháng kết thúc hợp đồng mua quyền chọn, nhà đầu tư quyết định thực thi và thu về lợi nhuận 2,133,400 USD (tương đương 2 triệu 133 nghìn 400 đô la Mỹ).
3.7.2 Công thức Black-Scholes Đói với quyền chọn bán, lợi nhuận hoặc thu hoạch sẽ là
Giá của quyền chọn bán tại thời điểm đáo hạn là
Giá quyền chọn bán tại thời điểm ban đầu t = 0 (hiện giá) là
. trong đó d 1 và d 2cũng được xác định bởi (3.7.2).
Tổng quát hơn, giá quyền chọn bán tại thời điểm t ≤ T sẽ là
V t = e −r(T −t) XN (−d 2) − S t N (−d 1) (3.7.7) trong đó d 1 và d 2tính theo (3.7.5).
Những mô hình quyền chọn liên quan
Mô hình Black-Scholes ban đầu được sử dụng để định giá quyền chọn mua và bán kiểu châu Âu cho cổ phiếu và trái phiếu Tuy nhiên, mô hình này cũng áp dụng cho nhiều loại quyền chọn khác liên quan đến các tài sản cơ sở như chỉ số chứng khoán, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng tương lai và quyền chọn tiền tệ Đặc biệt, quyền chọn mua và bán có thể được thực thi tại bất kỳ thời điểm nào trước khi đáo hạn được gọi là quyền chọn kiểu châu Mỹ.
Quyền chọn xây dựng trên các chỉ số chứng khoán.
Vào năm 1973, Merton đã phát triển mô hình Black-Scholes nhằm định giá quyền chọn mua châu Âu cho các chỉ số chứng khoán có trả hoa lợi cổ tức q.
C 0là hiện giá của quyền chọn mua đó thì ta có công thức
C 0 = S 0 e −qT N (d 1) − Xe −rT N (d 2) (3.8.1) trong đó d =
T, S 0 là chỉ số chứng khoán ban đầu
Quyền chọn xây dựng trên hợp đồng tương lai hoặc trên hợp đồng ký kết trước
Năm 1976,Black đã đưa ra công thức định giá quyền chọn (mua) châu Âu đối với một hợp đồng ký kết trước (Forwards) hoặc một hợp đồng tương
Trong luận văn này, tôi đã hệ thống hóa các yếu tố cơ bản của Giải tích ngẫu nhiên, bao gồm các quá trình ngẫu nhiên như chuyển động Brown, quá trình Poisson và lý thuyết martingale Bên cạnh đó, tôi cũng đề cập đến tích phân Itô, tích phân Stratonovich, và các khái niệm tổng quát về Phương trình vi phân ngẫu nhiên, cùng với các ứng dụng cụ thể trong Tài chính Một ví dụ điển hình trong nghiên cứu Tài chính là mô hình Black-Scholes, minh họa cho sự phong phú của Giải tích ngẫu nhiên trong lĩnh vực này.
Scholes đã trình bày chi tiết về định giá quyền chọn kiểu châu Âu, nhấn mạnh tầm quan trọng của phương pháp độ chênh thị giá trong việc xác định giá trị quyền chọn Bài viết cũng cung cấp cái nhìn sâu sắc về các khái niệm liên quan đến giải tích ngẫu nhiên, giúp người đọc hiểu rõ hơn về quy trình định giá này.
Với trình độ và thời gian hạn chế, luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo từ các thầy để có thể tiến bộ hơn trong nghiên cứu lĩnh vực thú vị này.