Đ%nh nghĩa
Moi hàm so u xỏc đ%nh trờn tắp cỏc so nguyờn dương N ∗ đưoc GQI là mđt dóy so vụ han ( GQI tat là dóy so) Kớ hiắu: u :N ∗ −→ R n −→ u(n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1, u2, , un, Trong đó, un = u(n) và u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n, đồng thời là số hạng tổng quát của cả dãy số.
Mô hình hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, , m} với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của nó là u1, u2, , um, trong đó u1 là số hạng đầu tiên và um là số hạng cuối cùng.
Dãy so (u n ) đưoc GQI là:
• Dóy đơn điắu tăng neu u n+1 > u n vúi MQI n = 1, 2,
• Dóy đơn điắu khụng giam neu u n+1 ≥ u n vúi MQI n = 1, 2,
• Dóy đơn điắu giam neu u n+1 < u n vúi MQI n = 1, 2,
• Dóy đơn điắu khụng tăng neu u n+1 ≤ u n vúi MQI n = 1, 2,
• Dóy so b% chắn trờn neu ton tai so M sao cho u n < M , vúi MQI N = 1, 2,
• Dóy so b% chắn dưúi neu ton tai so m sao cho u n > m, vúi MQI N = 1, 2,
• Dóy so b% chắn neu nú vựa b% chắn trờn vựa b% chắn dưúi.
Dãy so (u n ) đưoc GQI là tuan hoàn vói chu kỳ k neu u n+k = u n , vói MQI n ∈ N. Dãy so (u n ) đưoc GQI là dãy dùng neu ton tai m®t so N 0 sao cho u n = C vói
MQI n ≥ N 0 (C là hang so, GQI là hang so dùng)
Cách cho m®t dãy so
Dãy so cho bang công thúc cna so hang tőng quát: Ví du xét dãy so (u n ) đưoc cho boi
5 Σ n Dãy so cho bang phương pháp truy hoi: Dãy so (u n ) đưoc xác đ%nh boi
Dãy so cho bang phương pháp mô ta: Ví du xét dãy so (u n ) đưoc cho boi: a 1 = 19, a 2 = 98 Vói moi so nguyên n ≥ 1, xác đ%nh a n+2 bang so dư cna phép chia a n + a n+1 cho 100.
Mđt vài dóy so đắc biắt
1.1.3.1 Cap so c®ng sai d (d khác 0) neu u n = u n−1 + d vói MQI n = 2, 3, Đ
%nh nghĩa 1.1.1 Dãy so u 1 , u 2 , u 3 , đưoc GQI là m®t cap so c®ng vói công
3.Neu cap so c®ng có huu han phan tuu 1 , u 2 , , u n thì u 1 +u n = u k +u n−k vói MQI k = 2, 3, , n − 1 và
1.1.3.2 Cap so nhân b®i q (q khác 0 và khác 1) neu u n = u n−1 q vói MQI n = 2, 3, Đ
%nh nghĩa 1.1.2 Dãy so u 1 , u 2 , u 3 , đưoc GQI là m®t cap so nhân vói công
1.1.3.3 Dãy Fibonacci Đ%nh nghĩa 1.1.3 Dãy u 1 , u 2 , đưoc xác đ%nh như sau:
2 k đưoc GQI là dãy Fibonacci.
Bang phương pháp sai phân có the tìm đưoc công thúc tőng quát cna dãy là: u = 1 1 +
Dãy số (u_n) được coi là có giới hạn hữu hạn a nếu với mọi số dương ε, tồn tại chỉ số n_0 ∈ N sao cho với mọi chỉ số n ≥ n_0, ta có |u_n - a| < ε, nghĩa là lim n→+∞ u_n = a Nếu dãy số hội tụ, thì giới hạn của nó là duy nhất Các điều kiện hội tụ theo tiêu chuẩn Weierstrass bao gồm dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ, dãy số tăng và bị chặn trên cũng hội tụ, và dãy số giảm và bị chặn dưới cũng hội tụ Nếu (u_n) hội tụ về a và (v_n) là tập con của (u_n), thì (v_n) cũng hội tụ về a Định lý kẹp về giới hạn cho biết nếu n ≥ n_0 và u_n ≤ x_n ≤ v_n với lim u_n = lim v_n = a, thì lim x_n = a Cuối cùng, định lý Lagrange khẳng định rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b), thì tồn tại c ∈ (a; b) thỏa mãn f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) Đối với dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn a, thì trung bình cộng của nó cũng sẽ có giới hạn.
√ n là a. Đ%nh lý này có the phát bieu dưói dang tương đương sau: Đ%nh lý 1.1.11 (đ%nh lý Stolz) Neu lim n
Chúng minh Ta chi can chúng minh cho trưòng hop a = 0 Vì li n m
(u n+1 − u n ) = a nên vói MQI ε > 0 luôn ton tai N 0 sao cho vói MQI
→+∞ n ≥ N 0, ta có |u n+1 − u n | < ε Khi đó, vói MQI n > N 0 ta có
Giu N co đ%nh, ta có the tìm đưoc N > N sao cho1 < ε Khi đó vói
MQI n > N , ta se cú n < 2ε Vắy nờn lim n = 0. Đ%nh lý 1.1.12 Cho f : D → D là hàm liên tnc Khi đó
1) Phương trỡnh f (x) = x cú nghiắm ⇔ phưàng trỡnh f n (x)
2) G QI α, β là các mút trái, mút phai cua D Biet x→α lim +
[f (x) − x] và x→β lim − [f (x) −x] cựng dương hoắc cựng õm Khi đú, phương trỡnh f (x) cú nghiắm duy nhat ⇔ phương trỡnh f= x n (x) = x cú nghiắm duy nhat
Chỳng minh 1) a) neu x 0 là nghiắm cna phương trỡnh f (x) = x thỡ x 0 cũng là nghiắm cna phương trỡnh f n (x) = x. b) Neu phương trỡnh f (x) = x vụ nghiắm thỡ f (x) −x > 0 hoắc f (x) −x
< 0 vúi MQI x ∈ D Do đú f n (x) − x > 0 hoắc f n (x) − x < 0 vúi m Q i x
∈ D nờn phương trỡnh f n (x) = x cũng vụ nghiắm.
2) a) Gia su phương trỡnh f (x) = x cú nghiắm duy nhat là x 0 thỡ đõy cũng
.1 s ˛áx là mđt nghiắm cna phương trỡnh f n (x) = x Đắt F (x) = f (x) − x, do F (x) liên tuc trên (x 0; β) và (α; x 0) nên F (x) giu nguyên m®t dau.
→β − [f (x)−x] cùng dương thì F (x) > 0 trong khoang
(x 0; β) và (α; x 0), suy ra f (x) > x vói MQI x ∈ D \ {x 0 }.
Xét x 1 ∈ D\{x 0 } suy ra f (x 1) > x 1 ⇒ f (f (x 1)) > f (x 1) > x 1 Tù đó, ta cú f n (x 1) > x 1 nờn x 1 khụng là nghiắm cna phương trỡnh f n (x) = x Vắy phương trỡnh f n (x) = x cú nghiắm duy nhat x = x 0.
Trong trường hợp tương đương, nếu giới hạn khi x tiến gần đến α từ bên phải và giới hạn khi x tiến gần đến β từ bên trái của [f(x) - x] đều âm, ta có thể chứng minh rằng phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất Điều này dẫn đến việc nếu phương trình f_n(x) = x có nghiệm duy nhất, thì phương trình f(x) = x cũng sẽ có nghiệm duy nhất Định lý 1.1.13 chỉ ra rằng cho hàm f: D → D là hàm liên tục và dãy (x_n) thỏa mãn f(x_n) = x_{n+1} với mọi n ∈ N*, thì nếu x_1 < x_2 thì dãy (x_n) sẽ tăng, còn nếu x_1 > x_2 thì dãy (x_n) sẽ giảm.
Chúng tôi chứng minh bằng phương pháp quy nạp Với n = 1, ta có x₁ < x₂, giả sử đúng với n = k (k ≥ 1) thì xₖ < xₖ₊₁ Do f(x) là hàm đồng biến nên f(xₖ) < f(xₖ₊₁), suy ra xₖ₊₁ < xₖ₊₂ Tiếp theo, theo định lý 1.1.14, cho hàm f: D → D là hàm nghịch biến, dãy (xₙ) thỏa mãn xₙ₊₁ = f(xₙ) với mọi n ∈ N* Khi đó, các dãy (x₂ₙ₊₁) và (x₂ₙ) đơn điệu, trong đó có một dãy tăng và một dãy giảm Nếu dãy (xₙ) bị chặn thì tồn tại α = lim x₂ₙ và β = lim x₂ₙ₊₁.
− c)Neu f (x) liờn tnc thỡ α và β là cỏc nghiắm cua phương trỡnh f (f (x)) = x (1.1)
Vỡ vắy neu (1.1) có nghiệm duy nhất thì α = β và lim x n = α = β Để chứng minh, ta thấy rằng f (x) là hàm nghịch biến, do đó f (f (x)) là hàm đồng biến Áp dụng định lý 1.1.6, ta có điều phải chứng minh Suy ra từ a), ta có f (f (x 2n )) = f (x 2n+1) = x 2n+2 và lim f (f (x 2n )) = lim x 2n+2 = α, lim x 2n = α Vì f (x) liên tục nên f (f (α)) = α Tương tự, ta cũng chứng minh được f (f (β)) = β Vậy α, β là nghiệm của phương trình f (f (x)) = x.
1.2 Sơ lưac ve phương pháp sai phân Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho hàm so y = f (x) xỏc đ%nh trờn R Đắt x k = x 0 + kh (k ∈ N ∗ ) vúi x 0 ∈ R, h ∈ R bat kỳ, cho trưúc GQI y k = f (x k ), khi đú hiắu so
∆y k := y k+1 − y k , k ∈ N ∗ đưoc GQI là sai phân cap m®t cna hàm so f (x).
Hiắu so ∆ 2 y k := ∆y k+1 − ∆y k = ∆(∆y k ) (k ∈ N ∗ ) đưoc GQI là sai phõn cap hai cna hàm so f (x) Tőng quát
∆ i y k := ∆ i−1 y k+1 − ∆ i−1 y k = ∆(∆ i−1 y k ), k ∈ N ∗ đưoc GQI là sai phân cap i cna hàm so f (x) (i = 1, 2, , n, )
Mẳnh đe 1.2.2 cho thấy sai phân MQI cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số: y0, y1, y2, , yn, Định nghĩa 1.2.3 nêu rõ phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính chứa sai phân cấp k, được biểu diễn bằng f(yn, ∆yn, ∆2yn, , ∆kyn) = 0 (1.2).
Do sai phân các cấp có thể biểu diễn theo các giá trị phần trăm của hàm số, chúng ta có thể viết phương trình dưới dạng: a₀yₙ₊ₖ + a₁yₙ₊ₖ₋₁ + + aₖyₙ = f(n), trong đó a₀, a₁, , aₖ và f(n) là các giá trị đã biết, còn yₙ, yₙ₊₁, , yₙ₊ₖ là các giá trị chưa biết.
Hàm so y n thoa món (1.2) GQI là nghiắm cna phương trỡnh sai phõn tuyen tính (1.2).
Phương trỡnh a 0 y n+k + a 1 y n+k−1 + ã ã ã + a k y n = f (n) đưoc GQI là phương trình sai phân tuyen tính cap k Đe giai phương trình này, chúng ta làm như sau:
Để giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất dạng \( a_0 y_{n+k} + a_1 y_{n+k-1} + \ldots + a_k y_n = 0 \), ta xem xét phương trình đặc trưng \( a_0 \lambda^k + a_1 \lambda^{k-1} + \ldots + a_k = 0 \) Nếu phương trình (*) có k nghiệm thực khác nhau \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k \), thì nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) sẽ được biểu diễn dưới dạng \( \hat{y}_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n + \ldots + c_k \lambda_k^n \).
(1.5) trong đó c 1 , c 2 , , c k là các hang so tùy ý.
Neu (∗) cú nghiắm thnc λ j bđi s thỡ nghiắm tőng quỏt cna (1.4) là s− 1 yˆ n i= 1 c j+i n i Σ λ n + i= Σ 1,iƒ
Phương trình phức có dạng λ_j = r(cos θ + i sin θ) cũng có thể được viết lại dưới dạng λ_j = r(cos θ − i sin θ) Đặt λ_{j+1} = λ_j Để thu được công thức tổng quát, trong công thức (1.5), ta thay bậc phân c_j λ^n + c_{j+1} λ^n bằng bậc phân tương ứng c_j r^n cos(nθ) + c_{j+1} r^n sin(nθ).
Neu phương trỡnh (∗) cú nghiắm phỳc bđi s: λ j = λ j+s+1 = = λ j+2s−1 = r(cos θ − i sin θ).
Trong trưũng hop này đe thu đưoc cụng thỳc nghiắm tőng quỏt, trong cụng thỳc (1.5) ta thay bđ phắn c j λ n + c j+1 λ n + ã ã ã + c j+2s−1 λ n j boi bđ phắn tương ỳng
Bước 2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k Nghiệm tổng quát có dạng y_n = ŷ_n + y_n*, trong đó y_n là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k, ŷ_n là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng, và y_n* là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.
Hai số nguyên a và b có cùng số dư khi chia cho m (m ≠ 0) thì ta nói a đồng dư với b theo modulo m, ký hiệu là a ≡ b (mod m) Điều này có nghĩa là a - b chia hết cho m.
Hắ thỳc dang: a ≡ b(mod m) GQI là mđt đong dư thỳc, a GQI là ve trỏi cna đong dư thúc, b GQI là ve phai, còn m GQI là môđun.
Kớ hiắu a, b, c, d, m, là cỏc so nguyờn dương (Z + ), ta luụn cú:
• a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) thì a ≡ c(mod m)
Tính chat 2 Neu a ≡ b(mod m) và c ≡ d(mod m) thì:
• Neu d là m®t ưóc chung cna a, b, m thì ≡ mod Σ. b m
Tính chat 3 Neu a ≡ b(mod m) và c ∈ Z + thì ac ≡ bc(mod mc).
1.3.1.3 M®t so kien thÉc liên quan a d d d
• Vói MQI a, b ∈ Z + (a ƒ= b) và n là so tn nhiên: (a n − b n
• Trong n so nguyên liên tiep (n ≥ 1) có m®t và chi m®t so chia het cho n;
• Lay n + 1 so nguyên bat kỳ (n ≥ 1) đem chia cho n thì phai có hai so khi chia cho n có cùng so dư (theo nguyên lý Dirichlet).
• Tỡm m chu so tắn cựng cna so A là tỡm so dư khi chia A cho 10 m
1.3.2 M®t so đ%nh lý cơ ban cua so HQC
Hàm so Euler- à(m): Cho hàm so à(m) đưoc xỏc đ%nh như sau
• m > 1 thỡ à(m) là cỏc so tn nhiờn khụng vưot quỏ m − 1 và nguyờn to vúi m.
Cụng thẫc tớnh à(m): Bưúc 1 Neu m = p α (p là so nguyờn to, α là so tn nhiên khác 0) Ta có à(m) = à(p α ) = p α 1 − 1 Σ
Bưúc 2 Neu m = p α 1 p α 2 ã ã ã p α n (p i là các so nguyên to, α i là so tn nhiên khác 0) Ta có
1 2 n à(m) = m 1 − 1 Σ.1 − 1 Σ ã ã ã 1 − 1 Σ Đ%nh lý 1.3.1 (đ%nh lý Euler) Cho m là so tn nhiên khác 0 và a là so nguyên to vái m Khi ay, ta có a à(m) ≡ 1(modm). p p 1 p 2 p n
Định lý Fermat, một khái niệm quan trọng trong lý thuyết số, phát biểu rằng nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p) Ngoài ra, đối với bất kỳ số nguyên a nào, ta cũng có a^p ≡ a (mod p).
Tính chat so HQC CUA dãy so
Dãy số nguyên là phần quan trọng trong lý thuyết dãy số, với nhiều bài toán liên quan đến tính chất của dãy số như chia hết, số dư, số nguyên tố, số chính phương, và số nguyên tố cùng nhau Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng và thường không chỉ đơn thuần là việc tìm số hạng tổng quát hay công thức tính tổng mà còn khám phá các tính chất đặc biệt của dãy số.
M®t bài toán về số chia hết cần xác định số hàng tổng quát của dãy số, sau đó áp dụng các định lý về đồng dư để chứng minh tính chất chia hết Việc xác định số hàng tổng quát của dãy số thường được thực hiện bằng phương pháp sai phân, thông qua dãy số phụ để đưa về phương trình sai phân thuần nhất.
Bài tẳp 2.1.1 Dóy so (u n ) đưoc xỏc đ%nh như sau:
Chúng minh rang u 1996 chia het cho 1997.
Chúng ta sẽ so sánh tổng quát dãy số bằng phương pháp sai phân Đặt u_n = v_n + c, ta có công thức truy hồi v_{n+1} = 4v_n + 5v_{n-1} Công thức truy hồi này là tuyến tính nhưng không thuần nhất Do đó, ta có thể viết lại dưới dạng v_{n+1} + c = 4(v_n + c) + 5(v_{n-1} + c) - 1975, từ đó suy ra v_{n+1} = 4v_n + 5v_{n-1} + 8c - 1975.
) đưoc xác đ%nh như sau:
Phương trỡnh đắc trưng: x 2 − 4x − 5 = 0 cú hai nghiắm x 1 = 5 và x 2 = −1 nên v = c 5 n
Do 1997 là so nguyên to nên 5 1996 ≡ 1(mod1997) Nên
Hơn nua, rừ ràng −1747 ã 5 1996 + 49675 ≡ 0(mod5) mà (3, 5, 8) = 1 nờn suy ra
120 chia het cho 1997, hay là u 1996 chia het cho 1997.
Bài tẳp 2.1.2 (HSG QG 2011) Cho dóy so nguyờn (a n ) đưoc xỏc đ%nh boi:
Chúng minh rang a 2012 − 2010 chia het cho 2011.
Lài giai Cách 1 Xét dãy so nguyên (b n ) đưoc xác đ%nh boi:
De thay rang vói MQI n ≥ 0, ta có a n ≡ b n (mod2011) Phương trình đắc trưng cna dóy (b n ): x 2 − 6x − 2016 = 0 ⇔ (x − 48)(x + 42) = 0 ⇒ x 2 = 48, x 1 = −42. Suy ra so hang tőng quát cna dãy (b n ) có dang: b n = C 1 ã (−42) n + C 2 ã (48) n
Tự cỏc đieu kiắn ban đau cna dóy (b n ), ta cú hắ:
0 vói MQI n ≥ 0 Vì 2011 là so nguyên to nên theo đ%nh lý Fermat nho, ta có
Suy ra b 2012 ≡ b 2(mod2011) (vì (90, 2011) = 1) Mà b 2 = 6b 1 + 2016b 0 nên b 2012 ≡ 2010(mod2011).
Cách 2 So hang tőng quát cna dãy (a n ):
Do p nguyên to nên C k ≡ 0(modp) vói MQI k = 1, p − 1 D o đó tù
C k = C k + C k−1 , suy ra C k ≡ 0(modp) vói MQI k = 2, p − 1. p+1 p p p+1 +1 p p+1Σ
Do đó tù (4) suy ra a p+1 ≡ −
2 (modp) Mắt khỏc, ta cú
45 2 ≡ 14(modp) và (45, 14) = 1, theo đ%nh lý Fermat nho ta có: 3 p ≡ 3(modp) và
Do đó tù (5) ta đưoc p 1
Việc tìm số hạng tổng quát của dãy số có thể thực hiện thông qua việc biến đổi liên tiếp các số hạng phụ thuộc lẫn nhau và biểu diễn chúng qua một số hạng đầu Phương pháp quy nạp có thể được áp dụng để chứng minh điều này.
Bài tẳp 2.1.3 Cho dóy so (u n ) xỏc đ%nh như sau:
2011 Đắt S = 3 u n − 4(2 4022 − 1) Chỳng minh rang S chia het cho 2011. p
Vỡ vắy tự (2) và (3) ta đưoc A p+1 ≡ 3 (modp)
Lài giai Ta có n=1 nu n+2 − (5n + 1)u n+1 + 4(n + 1)u n = 1
= 4 n+2 nên u n = 4 n − n đúng vói MQI n ∈ N ∗ Tù đó