Gúc nh% diắn - tam diắn
Trong mắt phang (P), việc chia thành hai phần với mỗi phần tương ứng với đưỡng thang a GQI tạo thành hai nửa mắt phang Đưỡng thang a GQI là sự kết hợp của hai nửa mắt phang đó Định nghĩa 1.1.1 cho thấy hình hợp bởi hai nửa mắt phang (α) và (β) có chung bũ a GQI là nhị diến.
Mặt phẳng diến như thể cú kớ hiắu là [α, a, β] hoặc [α, β] Nếu trên (α) ta lấy điểm M và trên (β) ta lấy điểm N (M và N đều không nằm trên a), thì nh% diến đó cũng kớ hiắu là [M, a, N].
Ta có một tam giác với các mặt phẳng (α, a, β) và mặt phẳng (P) vuông góc tại điểm O Giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt phẳng (α) và (β) lần lượt tạo ra các đường thẳng trên trục Ox và Oy Do đó, góc giữa các mặt phẳng này cần được xác định.
∠xOy đưoc GQI là gúc phang cua nh% diắn [α, a, β] Hien nhiờn là mđt nh% diắn cú nhieu gúc nh% diắn [α, β] nam tự 0 0 đen 180 0 Khi gúc phang nh% diắn bang
90 0 ta phang, tuy nhiên các góc phang đó đeu bang nhau So đo cna gúc phang núi nh% diắn đú là nh% diắn vuụng.
Hình 2. Đ%nh nghĩa 1.1.2 Hình hop boi ba tia Ia, Ib, Ic không đong phang đưoc GQI là mđt tam diắn hay gúc tam diắn.
Tam giác là Iabc, với các cạnh là Ia, Ib, Ic và các đỉnh là a, b, c Các góc ∠aIb, ∠bIc, ∠cIa là các góc trong tam giác Một tam giác được gọi là tam giác vuông nếu cả ba góc tại các đỉnh của nó đều là góc vuông.
Đ%nh lý Cosin cho gúc tam diắn
Đ%nh lý 1.2.1 Cho gúc tam diắn Iabc vỏi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
Trong bài viết này, chúng ta có các góc ∠cIa = β và ∠aIb = γ Để tính toán các góc tương ứng Ia, Ib, Ic là x, y, z, ta sử dụng các công thức sau: cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos z; cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos x; và cos β = cos α cos γ + sin α sin γ cos y.
Chúng minh Gia su rang α và β là các góc NHQN Lay C ∈ Ic và IC 1 Tù C ke hai đưòng thang vuông góc vói IC và cat a, b lan lưot tai
A, B Áp dung đ%nh lý Cosin trong tam giác ABC và tam giác ABI, ta có
AC 2 + BC 2 − 2AC.BC cos z
= AB 2 , IA 2 + IB 2 − 2IA.IB cos γ = AB 2
Suy ra AC 2 + BC 2 − 2AC.BC cos z = IA 2 + IB 2 − 2IA.IB cos γ.
Chia 2 ve cho SC 2 ta đưoc tan 2 β + tan 2 α − 2 tan α tan β cos z
= cos 2 α + cos 2 β − 2 cos α. cos β cos γ.
Tù (1.1) ta có cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos z. nhiên công thúc (1.1) van đúng, vì lúc này α đưoc thay bang 180 0
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các góc α, z và β, với α là góc tự và β là góc nhọn Nếu β là góc nhọn, thì các giá trị của z và γ có thể được thay thế bằng 180° - z và 180° - γ Tương tự, công thức (1.1) vẫn đúng ngay cả khi β là góc tù Các định lý còn lại cũng được chứng minh theo cách tương tự.
1.3 Tam diắn liờn hap vỏi mđt tam diắn đó cho
Gia sú a, b và c là ba cạnh của tam giác định I Mắt phang (b, c) chia không gian thành hai phần, với cạnh a nằm trong một trong hai phần đó Từ I, kẻ Ia J vuông góc với mặt phẳng (b, c) sao cho nửa đường thẳng a J nằm trong phần không gian còn lại không chứa a Tương tự, xây dựng b J và c J vuông góc với mặt phẳng (a, c) và (b, c) Tam giác có các cạnh là nửa đường thẳng a J, b J, c J được gọi là tam giác liên hợp với tam giác Iabc ban đầu Việc thay thế các mắt cạnh của tam giác liên hợp sẽ vuông góc với các cạnh của tam giác ban đầu Tính liên hợp này có tính chất giao hoán.
Ia J b J c J liờn hop vúi tam diắn Iabc thỡ ta cũn GQi là Iabc liờn hop vúi
Chúng ta hãy nhắn nhủ rằng mỗi góc nhìn đều có giá trị riêng, và việc chia sẻ những cảm xúc đó với bạn bè sẽ mang lại niềm vui và sự kết nối Hãy cùng nhau khám phá những khía cạnh đa dạng trong cuộc sống để tạo nên những kỷ niệm đáng nhớ.
Hình 5 minh họa sự giao nhau giữa hai đường thẳng Cụ thể, góc ∠c J Ib J và góc nh% diắn canh a là bù nhau Tương tự, góc nh% cũng có mối quan hệ tương đồng với các góc khác trong hình.
Trong tam giác Iabc, các góc phẳng ∠bIc và ∠bIa có mối quan hệ tương ứng với nhau Cụ thể, góc ∠bIc được xác định bằng α, cho thấy sự liên kết giữa các góc trong tam giác Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ các góc trong hình học để áp dụng vào các bài toán liên quan đến tam giác.
Trong tam giác có các góc ∠cIa = β và ∠aIb = γ, ta có thể xác định các góc tương ứng Ia, Ib, Ic là x, y, z Từ đó, ta có các công thức sau: cos x = − cos y cos z + sin y sin z cos α; cos y = − cos x cos z + sin x sin z cos β; và cos z = − cos x cos y + sin x sin y cos γ Những công thức này là một ứng dụng đơn giản của định lý Cosin cho tam giác liên hợp, giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các góc trong tam giác.
1.4 Đ%nh lý Sin cho gúc tam diắn Đ%nh lý 1.4.1 Cho gúc tam diắn Iabc vỏi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa = β và aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic tương úng là x, y, z Khi đó ta có sin α sin x sinβ
Chúng ta có thể xem xét một hình chóp với đỉnh C và quy ước SC có độ dài là mđt đơn v% Gọi C là hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (a, b) Từ C, chúng ta dựng các mặt phẳng vuông góc với cạnh a và b, và cắt a, b lần lượt tại A và B Khi đó, ∠CAC J = x và ∠CBC J = y Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành tính độ dài cạnh của hình chóp này.
Hình 6. đoan CC j Trong tam giác ICB vuông tai B, ta có
Trong tam giác CBC j vuông tai C j , ta có
CC j = CB sin y = sin α sin y (1.2) Tương tn ta tính đưoc đ® dài CC j trong các tam giác vuông ACI và
Tù (1.2) và (1.3), ta có sin α sin y = sin β sin x.
Do đó sin α sin x sin β
Chúng minh tương tn ta cũng thu đưoc đang thúc sin β sin y sin γ
1.5 Moi liờn hắ giEa cỏc gúc phang cua mđt gúc đa diắn Đ%nh lý 1.5.1 Cho gúc tam diắn Iabc vỏi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa = β và aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic tương úng là x, y, z Khi đó ta có α < β + γ, β < α + γ, γ < β + α.
Chỳng minh Chi can chỳng minh γ < α + β Thắt vắy, neu α + β ≥
180 0 thì khang đ%nh hien nhiên đúng vì γ < 180 0 Gia su α + β ≤
180 0 Áp dung đ%nh lý Cosin cho gúc tam diắn, ta đưoc cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos z.
Vì cos z > −1 và sin α, sin β dương nên cos γ > cos α cos β − sin α sin β = cos(α + β).
Trong khoang tù 0 0 đen 180 0 hàm cosin là hàm giam nên γ < α + β. Đ%nh lý 1.5.2 Cho gúc đa diắn loi Ia 1 a 2 a n vỏi cỏc gúc phang ∠a i Ia i+1 n
= α i vái i = 1, 2, , n và quy ưác a n+1 = a 1 Khi đó= α i <
Chúng minh Lay hai điem A 1 , A 2 trên canh a 1 và a 2 Tiep theo lay mđt điem A 3 trờn canh a 3 và dnng mđt mắt phang (P ) qua 3 điem A 1 ,
Để tìm điểm A3 sao cho đường thẳng (P) cắt tất cả các cạnh a1, a2, a3, , an, giả sử A1, A2, , An là các điểm mà (P) cắt các cạnh này Khi đó, chúng ta sẽ có một đa giác lồi P với các đỉnh A1.
A 2 , , A n Kớ hiắu gúc ∠Ia i A i−1 β i , ∠IA i A i+1 = γ i , và ∠A i−1 A i A i+1 = σ i vói i = 1, 2, , n và quy ưóc
Mđt đa giỏc đơn chia mắt phang thành hai mien: mien trong và mien ngoài M®t đa giác cùng vói mien trong cna nó hop thành m®t hình
GQI là mien đa giác. Đ%nh nghĩa 1.6.1 Hỡnh đa diắn là hỡnh gom cú mđt so huu han mien đa giác thoa mãn hai tính chat sau
(1) Hai mien đa giỏc bat kỡ hoắc khụng cú điem chung hoắc cú mđt điem chung hoắc cú mđt canh chung.
(2) Moi canh cna mien đa giác nào cũng là canh chung cna đúng hai mien Σ Σ Σ Σ đa giác.
Mô hình đa diện chia không gian thành hai miền: miền ngoài chứa toàn bộ đường thang và miền trong không chứa đường thang nào.
Hình đa diện cứng vững trong không gian GQI là khối đa diện Định nghĩa 1.6.2 cho biết, một khối đa diện trong GQI là khối đa diện nếu bất kỳ hai điểm A và B nào trên nó, thì mọi điểm trên đoạn thẳng AB cũng thuộc khối đó Định lý 1.6.1 (Euler) khẳng định rằng với bất kỳ khối đa diện nào, luôn có mối quan hệ α0 - α1 + α2 = 2, trong đó α0 là số đỉnh, α1 là số cạnh và α2 là số mặt.
Chứng minh rằng gia sư P là đa diện lồi và F là mặt cầu nú Ta sẽ chiếu đa diện P xuống mặt F Hiện nhiên, F biến thành chính nó Bằng cách chọn phương chiếu thích hợp, phần còn lại của P sẽ được chiếu vào bên trong mặt F Hình chiếu F sẽ không chia mặt F thành các đa giác lồi.
Tổng các góc trong đa giác F_k được tính bằng công thức σ_k = πn_k − 2π, với n_k là số cạnh của đa giác Chúng ta sẽ tính tổng các góc của tất cả các đa giác F, bao gồm cả F Do mỗi cạnh thuộc hai đa giác, nên tổng các góc α_2 sẽ là α_2 Σ σ_k = Σ.
Mắt khỏc và tai mới định nằm trong F, có tổng các góc bằng 2π Tại các đỉnh của F, tổng các góc tại những đỉnh này sẽ bằng hai lần các góc tại các đỉnh của F Do đó, công thức được thiết lập là σ = 2πα₀ − 2(π − βₖ), trong đó βₖ là các góc tại các đỉnh của F, và tổng được lấy theo các đỉnh của F.
Giá tr% π − β k là góc ngoài tai moi đinh cna F Do tőng các góc ngoài cna m®t đa giác loi bang 2π nên σ = 2πα 0 − 4π (1.5)
So sánh (1.4) và (1.5) ta đưoc công thúc Euler α 0 − α 1 + α 2 = 2. Đ%nh lý 1.6.2 [Cauchy] Cỏc khoi đa diắn loi cú cỏc mắt đong dang thỡ đong dang vái nhau.
Chúng minh cna đ%nh lý này tương đoi dài và phúc tap nên ta se không chúng minh o đây, chi làm ket qua tham khao.
1.7 Khoi đa diắn đeu Đ%nh nghĩa 1.7.1 Khoi đa diắn đeu là mđt khoi đa diắn loi cú hai tớnh chat sau đây
(1) Cỏc mắt là nhung đa giỏc đeu và cú cựng so canh;
(2) Moi đinh là đinh chung cna cùng m®t so canh.
Các mắt cna mđt đa diện đều có thể là tam giác đều, hình vuông hoặc ngũ giác đều Thắt vây, vúi mắt cna đa diện đều là lúc giác đều thì k = 1.
Đ%nh lý Sin cho gúc tam diắn
Đ%nh lý 1.4.1 Cho gúc tam diắn Iabc vỏi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa = β và aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic tương úng là x, y, z Khi đó ta có sin α sin x sinβ
Chúng ta có một tam giác C và quy ước SC có độ dài là mđt đơn v% Gọi C là hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (a, b) Từ C, dựng các mặt phẳng vuông góc với cạnh a và b, và cắt a, b lần lượt tại A, B Khi đó, ∠CAC J = x và ∠CBC J = y Bây giờ, chúng ta sẽ tính độ dài cạnh a.
Hình 6. đoan CC j Trong tam giác ICB vuông tai B, ta có
Trong tam giác CBC j vuông tai C j , ta có
CC j = CB sin y = sin α sin y (1.2) Tương tn ta tính đưoc đ® dài CC j trong các tam giác vuông ACI và
Tù (1.2) và (1.3), ta có sin α sin y = sin β sin x.
Do đó sin α sin x sin β
Chúng minh tương tn ta cũng thu đưoc đang thúc sin β sin y sin γ
1.5 Moi liờn hắ giEa cỏc gúc phang cua mđt gúc đa diắn Đ%nh lý 1.5.1 Cho gúc tam diắn Iabc vỏi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa = β và aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic tương úng là x, y, z Khi đó ta có α < β + γ, β < α + γ, γ < β + α.
Chỳng minh Chi can chỳng minh γ < α + β Thắt vắy, neu α + β ≥
180 0 thì khang đ%nh hien nhiên đúng vì γ < 180 0 Gia su α + β ≤
180 0 Áp dung đ%nh lý Cosin cho gúc tam diắn, ta đưoc cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos z.
Vì cos z > −1 và sin α, sin β dương nên cos γ > cos α cos β − sin α sin β = cos(α + β).
Trong khoang tù 0 0 đen 180 0 hàm cosin là hàm giam nên γ < α + β. Đ%nh lý 1.5.2 Cho gúc đa diắn loi Ia 1 a 2 a n vỏi cỏc gúc phang ∠a i Ia i+1 n
= α i vái i = 1, 2, , n và quy ưác a n+1 = a 1 Khi đó= α i <
Chúng minh Lay hai điem A 1 , A 2 trên canh a 1 và a 2 Tiep theo lay mđt điem A 3 trờn canh a 3 và dnng mđt mắt phang (P ) qua 3 điem A 1 ,
Chọn điểm A3 sao cho đường thẳng (P) cắt tất cả các cạnh a1, a2, a3, , an Giả sử A1, A2, , An là các điểm mà (P) cắt các cạnh a1, a2, , an Khi đó, ta sẽ có một đa giác lồi P với các đỉnh A1.
A 2 , , A n Kớ hiắu gúc ∠Ia i A i−1 β i , ∠IA i A i+1 = γ i , và ∠A i−1 A i A i+1 = σ i vói i = 1, 2, , n và quy ưóc
Mđt đa giỏc đơn chia mắt phang thành hai mien: mien trong và mien ngoài M®t đa giác cùng vói mien trong cna nó hop thành m®t hình
GQI là mien đa giác. Đ%nh nghĩa 1.6.1 Hỡnh đa diắn là hỡnh gom cú mđt so huu han mien đa giác thoa mãn hai tính chat sau
(1) Hai mien đa giỏc bat kỡ hoắc khụng cú điem chung hoắc cú mđt điem chung hoắc cú mđt canh chung.
(2) Moi canh cna mien đa giác nào cũng là canh chung cna đúng hai mien Σ Σ Σ Σ đa giác.
Mô hình đa diện chia không gian thành hai miền: miền ngoài và miền trong Miền ngoài chứa toàn bộ các điểm nằm trên bề mặt của đa diện, trong khi miền trong không chứa điểm nào trên bề mặt đó.
Hình đa diện cứng vững trong không gian GQI được định nghĩa là khối đa diện Theo định nghĩa 1.6.2, một khối đa diện trong GQI là khối đa diện nếu với bất kỳ hai điểm A và B nào trong nó, đoạn thẳng AB cũng thuộc khối đó Định lý 1.6.1 [Euler] khẳng định rằng với bất kỳ khối đa diện nào, luôn có mối quan hệ α₀ - α₁ + α₂ = 2, trong đó α₀ là số đỉnh, α₁ là số cạnh và α₂ là số mặt.
Chứng minh rằng gia sư P là đa diện lồi và F là mặt cầu nú Ta sẽ chiếu đa diện P xuống mặt F Hiện nhiên, F biến thành chính nó Bằng cách chọn phương chiếu thích hợp, phần còn lại của P sẽ được chiếu vào bên trong mắt F Hình chiếu F sẽ không chia mắt F thành các đa giác lồi.
Tổng các góc trong đa giác F_k được tính theo công thức σ_k = πn_k - 2π, với n_k là số cạnh của đa giác Chúng ta sẽ tính tổng các góc của tất cả các đa giác F_k, bao gồm cả F Do mỗi cạnh thuộc hai đa giác, nên tổng các góc sẽ được biểu diễn là α_2 α_2 Σ σ_k = Σ.
Mắt khỏc và tai mới định nằm trong F có tổng các góc bằng 2π Tại các đỉnh cân F, tổng các góc tại những đỉnh này sẽ bằng hai lần các góc cân tại F Do đó, công thức được thiết lập là σ = 2πα₀ − 2(π − βₖ), trong đó βₖ là các góc cân tại F, và tổng được lấy theo các đỉnh cân tại F.
Giá tr% π − β k là góc ngoài tai moi đinh cna F Do tőng các góc ngoài cna m®t đa giác loi bang 2π nên σ = 2πα 0 − 4π (1.5)
So sánh (1.4) và (1.5) ta đưoc công thúc Euler α 0 − α 1 + α 2 = 2. Đ%nh lý 1.6.2 [Cauchy] Cỏc khoi đa diắn loi cú cỏc mắt đong dang thỡ đong dang vái nhau.
Chúng minh cna đ%nh lý này tương đoi dài và phúc tap nên ta se không chúng minh o đây, chi làm ket qua tham khao.
1.7 Khoi đa diắn đeu Đ%nh nghĩa 1.7.1 Khoi đa diắn đeu là mđt khoi đa diắn loi cú hai tớnh chat sau đây
(1) Cỏc mắt là nhung đa giỏc đeu và cú cựng so canh;
(2) Moi đinh là đinh chung cna cùng m®t so canh.
Các mắt côn trùng đều có hình dạng tam giác, hình vuông hoặc ngũ giác Khi thắt vây, vũi mắt côn trùng sẽ tạo thành một hình dạng đặc trưng, thể hiện sự đa dạng và phong phú trong cấu trúc của chúng.
Tổng các góc trong không gian của một đa diện có ít nhất ba cạnh không bao giờ nhỏ hơn 360 độ Điều này không thể xảy ra vì tổng các góc của bất kỳ đa diện nào cũng luôn lớn hơn 360 độ.
Nếu các mắt của cột đa diến đều là tam giác đều, thì các cạnh tai mỗi đỉnh của cột đa diến sẽ lún hơn 360 độ, điều này là hợp lý Do đó, so với các cạnh đỉnh, không nên lún hơn 5 độ Nếu lún hơn 5 độ, thì tổng các góc phẳng tại mỗi đỉnh của cột đa diến đều sẽ là tam giác đều.
Vúi cỏch lắp luắn, mđt đa diắn có các mắt hình vuông hoặc lục giác, và so sánh tai mới, có thể có 3 hình dạng khác nhau.
Chúng ta sẽ bắt đầu xây dựng dàn đèn đa diện đều mà tại mỗi đỉnh có 3 cạnh Theo những cách lắp đặt ở trên, ta có thể xây dựng được các khối tứ diện đều (Hình 6a), khối lập phương (Hình 6b) và khối 12 mặt đều (Hình 6c).
Neu có hơn 3 cạnh tai mới đỉnh và các mắt là các tam giác đều, thì vấn đề sẽ phức tạp hơn Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng 2 trong số những khối hình đó Đó là khối 10 mắt đều có 4 cạnh tai mới đỉnh (Hình 10a) và khối 20 mắt đều có 5 cạnh tai mới đỉnh (Hình 10b).
Câu hỏi đặt ra là có phải các khối đa diện nào có các mặt là tam giác đều thì có 4 đỉnh tương ứng như hình 10 mặt và 5 đỉnh như hình 20 mặt hay không? Câu trả lời là không, vì theo định lý Cauchy, các khối đa diện có các mặt đồng dạng thì đồng dạng với nhau.
Vớ dn 1.8.1 Cho tỳ diắn ABCD vúi điem M thuđc canh BC sao cho mắt phang (AMD) là mắt phang phõn giỏc cna gúc nh% diắn canh AD Khi đú
Chỳng minh Khoang cỏch tự M đen hai mắt phang (BAD) và (CAD) là
MB bang nhau và đắt bang h Ta cú
Vớ dn 1.8.2 Cho tỳ diắn ABCD Khi đú ta cú
(1) Cỏc mắt phõn giỏc cna cỏc nh% diắn canh AB, AC, AD cna tam diắn A.BCD cat nhau theo m®t giao tuyen At.
(2) Tỳ diắn ABCD cú mđt mắt cau nđi tiep, cú nghĩa: mắt cau nam trong tỳ diắn và tiep xỳc vúi bon mắt tỳ diắn.
Tỳ diắn ABCD có bốn mắt cau bàng tiếp, có nghĩa là mắt cau nằm ngoài tỳ diắn nhưng trong các góc tam diắn tương ứng, không hạn chế trong các góc tam diắn A.BCD, B.CDA, C.DAB, và D.ABC, và tiếp xúc với bốn mắt phang chứa mắt nằm trong tỳ diắn.
Chỳng minh (1) Gia su cỏc mắt phõn giỏc cna nh% diắn canh AB, AC, AD cna tam diắn A.BCD cat BC, CD, DB tai M, N, P Khi đú
MC ND PB S CAD S DAB S BAC
Do vắy, DM, BN, CP đong quy tai J theo đ%nh lý Ceva Cỏc mắt phõn giỏc cna cỏc nh% diắn canh AB, AC, AD cna tam diắn
A.BCD cat nhau theo m®t giao tuyen AJ.
(2) Mắt phang phõn giỏc cna nh% diắn canh BC cat At tai I Khi đú I là tõm mắt cau nđi tiep trong tỳ diắn.
(3) Đưoc chúng minh tương tn.
Vớ dn 1.8.3 Cho tỳ diắn ABCD vúi M, N, P, Q thuđc cỏc canh AB,
BC, CD và DA tương úng Bon điem M, N, P, Q đong phang khi và chi khi MA
Bài giai Gia thiet M, N, P, Q đong phang Trưũng hop mắt phang
(MNPQ) song song vúi AC hoắc BD là hien nhiờn Xột trưũng hop mắt phang (MNPQ) cat đưũng thang AC tai I Khi đú
= 1 Gia su mắt phang (MNP ) cat
AC tai I Gia su IP cat DA tai Q J Khi đó MA
QD chỳng minh trờn Tự đõy ta nhắn đưoc
Q J A suy ra Q J ≡ Q Như vắy bon điem M, N, P, Q đong phang.
Vectơ và các phép toán trong không gian
Hỡnh - Khoi đa diắn
Mđt đa giỏc đơn chia mắt phang thành hai mien: mien trong và mien ngoài M®t đa giác cùng vói mien trong cna nó hop thành m®t hình
GQI là mien đa giác. Đ%nh nghĩa 1.6.1 Hỡnh đa diắn là hỡnh gom cú mđt so huu han mien đa giác thoa mãn hai tính chat sau
(1) Hai mien đa giỏc bat kỡ hoắc khụng cú điem chung hoắc cú mđt điem chung hoắc cú mđt canh chung.
(2) Moi canh cna mien đa giác nào cũng là canh chung cna đúng hai mien Σ Σ Σ Σ đa giác.
Mô hình đa diện chia không gian thành hai miền: miền ngoài và miền trong Miền ngoài chứa toàn bộ bề mặt của đa diện, trong khi miền trong không chứa bất kỳ bề mặt nào.
Hình đa diện cứng vững trong không gian GQI được định nghĩa là khối đa diện Theo định nghĩa 1.6.2, một khối đa diện thuộc GQI nếu bất kỳ hai điểm A và B nào trong nó thì mọi điểm nằm trên đoạn thẳng AB cũng thuộc khối đó Định lý 1.6.1 của Euler cho biết rằng với bất kỳ khối đa diện nào, luôn có mối quan hệ α₀ - α₁ + α₂ = 2, trong đó α₀ là số đỉnh, α₁ là số cạnh và α₂ là số mặt.
Chứng minh rằng, gia sư P là đa diện lồi và F là mặt cầu nú Ta sẽ chiếu đa diện P xuống mặt F Hiện nhiên, F biến thành chính nó Bằng cách chọn phương chiếu thích hợp, phần còn lại của P sẽ được chiếu vào bên trong mắt F Hình chiếu F sẽ không chia mắt F thành các đa giác lồi.
Tổng các góc trong đa giác F_k được tính bằng công thức σ_k = πn_k - 2π, với n_k là số cạnh của đa giác Chúng ta sẽ tính tổng các góc của tất cả các đa giác F, bao gồm cả F Do mỗi cạnh thuộc hai đa giác, nên tổng các góc α_2 sẽ được biểu diễn là α_2 Σ σ_k = Σ.
Mắt khỏc và tai mới định nằm trong F, tổng các góc bằng 2π Tại các đỉnh của F, tổng các góc tại những đỉnh này sẽ bằng hai lần các góc tại các đỉnh của F Do đó, công thức được đưa ra là σ = 2πα₀ − 2(π − βₖ), trong đó βₖ là các góc tại đỉnh của F, và tổng được lấy theo các đỉnh của F.
Giá tr% π − β k là góc ngoài tai moi đinh cna F Do tőng các góc ngoài cna m®t đa giác loi bang 2π nên σ = 2πα 0 − 4π (1.5)
So sánh (1.4) và (1.5) ta đưoc công thúc Euler α 0 − α 1 + α 2 = 2. Đ%nh lý 1.6.2 [Cauchy] Cỏc khoi đa diắn loi cú cỏc mắt đong dang thỡ đong dang vái nhau.
Chúng minh cna đ%nh lý này tương đoi dài và phúc tap nên ta se không chúng minh o đây, chi làm ket qua tham khao.
Khoi đa diắn đeu
Đ%nh nghĩa 1.7.1 Khoi đa diắn đeu là mđt khoi đa diắn loi cú hai tớnh chat sau đây
(1) Cỏc mắt là nhung đa giỏc đeu và cú cựng so canh;
(2) Moi đinh là đinh chung cna cùng m®t so canh.
Các mắt cna mđt đa diắn đều có thể là tam giác đều, hình vuông hoặc ngũ giác đều Thắt vây, vúi mắt cna đa diắn đều là lúc giấc đều thì k = 1 k =.
Tổng các góc trong không gian của một đa diện có ít nhất ba cạnh không bao giờ nhỏ hơn 120 độ Nếu tổng các góc phẳng tại một đỉnh của đa diện đó lớn hơn 360 độ, điều này là không thể, vì tổng các góc phẳng tại bất kỳ đỉnh nào của đa diện luôn lớn hơn 360 độ.
Nếu các mắt cân đa dạng đều là tam giác đều, thì so với các cạnh tai mỗi đỉnh cân đa dạng sẽ lún hơn 360 độ, điều này là hiển nhiên Do đó, so với các cạnh đỉnh phải không lún hơn 5 Thế nên, nếu lún hơn 5, thì tổng các góc phẳng tại mỗi đỉnh cân đa dạng đều có các mắt là tam giác đều.
Vúi cỏch lắp luắn như vắy thỡ mđt đa diắn đêu có cỏc mắt là hỡnh vuụng hoắc luc giỏc Để so sánh tai mới, mỗi định chi có thể là 3.
Chúng ta sẽ bắt đầu xây dựng đa diện đều tại mỗi đỉnh của 3 cạnh Theo những cách lắp ghép ở trên, ta có thể xây dựng được các khối tứ diện đều (Hình 6a), khối lập phương (Hình 6b) và khối 12 mặt đều (Hình 6c).
Neu có hơn 3 cạnh tai mới đính và các mắt là các tam giác đều, vấn đề sẽ phức tạp hơn Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng 2 trong số những khối hình đó: khối 10 mắt đều có 4 cạnh tai mới đính (Hình 10a) và khối 20 mắt đều có 5 cạnh tai mới đính (Hình 10b).
Câu hỏi đặt ra là có tồn tại khối đa diện nào có các đỉnh là tam giác đều mà có 4 đỉnh như hình 10 đỉnh và 5 đỉnh như hình 20 đỉnh hay không? Câu trả lời là không, vì theo định lý Cauchy, các khối đa diện có các đỉnh đồng dạng thì đồng dạng với nhau.
M®t so ví du
Vớ dn 1.8.1 Cho tỳ diắn ABCD vúi điem M thuđc canh BC sao cho mắt phang (AMD) là mắt phang phõn giỏc cna gúc nh% diắn canh AD Khi đú
Chỳng minh Khoang cỏch tự M đen hai mắt phang (BAD) và (CAD) là
MB bang nhau và đắt bang h Ta cú
Vớ dn 1.8.2 Cho tỳ diắn ABCD Khi đú ta cú
(1) Cỏc mắt phõn giỏc cna cỏc nh% diắn canh AB, AC, AD cna tam diắn A.BCD cat nhau theo m®t giao tuyen At.
(2) Tỳ diắn ABCD cú mđt mắt cau nđi tiep, cú nghĩa: mắt cau nam trong tỳ diắn và tiep xỳc vúi bon mắt tỳ diắn.
Mắt cau bàng trong tỳ diắn ABCD nằm ngoài tỳ diắn nhưng lại tương ứng với các góc của tam giác, bao gồm các góc A.BCD, B.CDA, C.DAB và D.ABC Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các điểm và góc trong tam giác, đồng thời nhấn mạnh sự tồn tại của mắt cau phang trong tỳ diắn.
Chỳng minh (1) Gia su cỏc mắt phõn giỏc cna nh% diắn canh AB, AC, AD cna tam diắn A.BCD cat BC, CD, DB tai M, N, P Khi đú
MC ND PB S CAD S DAB S BAC
Do vắy, DM, BN, CP đong quy tai J theo đ%nh lý Ceva Cỏc mắt phõn giỏc cna cỏc nh% diắn canh AB, AC, AD cna tam diắn
A.BCD cat nhau theo m®t giao tuyen AJ.
(2) Mắt phang phõn giỏc cna nh% diắn canh BC cat At tai I Khi đú I là tõm mắt cau nđi tiep trong tỳ diắn.
(3) Đưoc chúng minh tương tn.
Vớ dn 1.8.3 Cho tỳ diắn ABCD vúi M, N, P, Q thuđc cỏc canh AB,
BC, CD và DA tương úng Bon điem M, N, P, Q đong phang khi và chi khi MA
Bài giai Gia thiet M, N, P, Q đong phang Trưũng hop mắt phang
(MNPQ) song song vúi AC hoắc BD là hien nhiờn Xột trưũng hop mắt phang (MNPQ) cat đưũng thang AC tai I Khi đú
= 1 Gia su mắt phang (MNP ) cat
AC tai I Gia su IP cat DA tai Q J Khi đó MA
QD chỳng minh trờn Tự đõy ta nhắn đưoc
Q J A suy ra Q J ≡ Q Như vắy bon điem M, N, P, Q đong phang.
Vectơ và các phép toán trong không gian
Chương này giới thiệu các phép toán véctơ trong không gian, kèm theo nhiều ví dụ minh họa từ tài liệu HQA cơ bản nâng cao Nội dung chính được xây dựng dựa trên tài liệu tham khảo [1].
2.1 Đ%nh nghĩa hình HQC CUA vectơ Đ%nh nghĩa 2.1.1 M®t đoan thang có quy đ%nh thú tn hai điem mút đưoc GQI là m®t véctơ Điem mút thú nhat đưoc GQI là goc và điem mút thú hai đưoc GQI là NGQN cna véctơ Hưóng đi tù goc đen NGQN đưoc GQI là hưáng cna véctơ.
Neu A là điem goc, B là điem NGQN thỡ vộctơ đú đưoc kớ hiắu là
B (không loai trù trưòng hop A, B trùng nhau) Cũng có the kí hiắu vộctơ boi ˙a,˙b, ˙x, ˙y Khoang cỏch giua hai điem A và B đưoc GQI là môđun cna véctơ −
B| và bang AB Khi B trùng A thì véctơ −
A cũn đưoc kớ hiắu qua ˙0 và đưoc GQI là vộctơ khụng vúi mụđun |˙0| 0 Do hai mút trùng nhau nên quy ưóc hưóng cna ˙0 là hưóng bat kỳ nào.
2.2 Phép toán vectơ qua TQA đ® Đ%nh nghĩa 2.2.1 Cho ba truc x J Ox, y J Oy, z J Oz vuông góc nhau tùng đôi m®t tai điem O GQI ˙i,˙j, ˙k là các véctơ đơn v% tương úng trên các truc x J Ox, y J Oy, z J Oz Hắ ba truc như vắy GQI là hắ TQA đđ Đờcac vuụng góc
Oxyz hay hắ TQA đđ trnc chuan hay đơn gian GQI là hắ TQA đđ Oxyz.
Khi nói vectơ ˙v có TQA đ® ˙v(x, y, z), túc là ton tai b® ba so x, y, z sao cho ˙v = x˙i + y˙j + z˙k. Điem M có TQA đ® M (x, y, z) nghĩa là −
Cho các véctơ ˙a = (a 1 , a 2 , a 3), ˙b = (b 1 , b 2 , b 3), ˙c = (c 1 , c 2 , c 3), A(x A , y A , z A ), Tù bieu thúc TQa đ® cna véctơ, ta de dàng suy ra các tính chat sau đây:
B(x B , y B , z B ) và so thnc k tùy ý, ta có
2.3 Tích vô hưáng, tích có hưáng cua hai vectơ Đ%nh nghĩa tích vô hưóng, tích có hưóng và tích hon tap cna các véctơ ˙x = (a 1 , a 2 , a 3), ˙y = (b 1 , b 2 , b 3) và ˙z = (c 1 , c 2 , c 3) trong không gian như sau:
Mắnh đe 2.3.1 Cho cỏc vộctơ ˙x, ˙y, ˙z trong khụng gian vỏi hắ TQ a đđ trnc chuan Ta có đong nhat thúc
Ví dn 2.3.1 Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc sau: f (x) = x 2 − 3√
Vớ dn 2.3.2 Tỳ diắn ABCD cú đđ dài bon đưũng cao là h a , h b , h c , h d và khoang cỏch giua cỏc cắp canh đoi là d 1 , d 2 , d 3 Chỳng minh rang
Tù đó chi ra max{h a , h b , h c , h d } “ √
Bài giai Ký hiắu diắn tớch cỏc mắt đoi diắn đinh A, B, C, D là s a , s b , s c , s d và the tớch tỳ diắn ABCD là V Đắt ˙x = −
2 9V 2 và khi dnng hỡnh hđp sao cho moi canh tỳ diắn là mđt đưũng chộo cna m®t
Bài gia.i Hien nhiên Σ|˙a| + |˙b| “ |˙a + ˙b| theo đ%nh nghĩa tích vô hưóng.
√ h h h a b c d h d mắt thỡ se cú d 1 |[˙x, ˙y − ˙z]| = 2V hh = 6V Tự đõy suy ra hắ thỳc sau 36V 2 2
Tương tn cú cỏc hắ thỳc khỏc và như vắy ta nhắn đưoc
Với điểm tự do P trong tứ diện ABCD, ta có các khoảng cách d1 = PA, d2 = PB, d3 = PC, d4 = PD Khoảng cách từ P đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) lần lượt là h1, h2, h3, h4 Khi đó, ta nhận thấy rằng tổng các khoảng cách d1 + d2 + d3 + d4 có thể được tính toán và phân tích.
+√ h 3 h 4 Đắc biắt, neu P là tõm mắt cau nđi tiep tỳ diắn và r là bỏn kớnh mắt caunđi tiep trong tỳ diắn ta cú d 1 + d 2 + d 3 + d 4 “ 12r.
Bài giai Kớ hiắu diắn tớch cỏc mắt đoi diắn đinh A, B, C, D là s a , s b , s c , s d và the tớch tỳ diắn ABCD là V.
Tương tn, ta có các ket qua d 1 “ h s b
Ví dn 2.3.4 Vói bon tia Ia, Ib, Ic, Id trong không gian (Oxyz) luôn có cos(Ia, Ib) + cos(Ia, Ic) + cos(Ia, Id) + cos(Ib, Ic) +
+ cos(Ib, Id) + cos(Ic, Id) “ −2.
Bài giai Lay A Ia, B Ib, C Ic, D Id vói IA = IB = IC ID = 1 Đắt ˙x = −
D Theo Mắnh đe 2.3.1, ta cú
0 ™ 2 + cos(Ia, Ib) + cos(Ia, Ic) + cos(Ia, Id) + + cos(Ib, Ic) + cos(Ib, Id) + cos(Ic, Id).
Vớ dn 2.3.5 Vúi tỳ diắn ABCD kớ hiắu cỏc gúc nh% diắn canh AB,AC,
AD, BC, CD, DB là α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 Khi đó cos α k ™ 2.
Bài giai Tự điem I o trong tỳ diắn ta dnng cỏc tia Ia, Ib, Ic, Id vuụng k=1 gúc vúi cỏc mắt cna tỳ diắn ABCD và hưúng ra phớa ngoài
Theo Ví du 2.3.4, ta có cos α 6 k = −(cos(Oa, Ob) + cos(Oa, Oc) + cos(Oa, Od) + k=1
+ cos(Ob, Oc) + cos(Ob, Od) + cos(Oc, Od)) ™ 2. Σ Σ đ® trnc chuan Ta có đong nhat thúc ˙x 2 ˙y 2 = (˙x.˙y) 2 + [˙x, ˙y] 2
Tự đú suy ra Mắnh đe 2.3.2 [Jacobi] Cho cỏc vectơ ˙x, ˙y trong khụng gian vỏi hắ t Q a
Chúng minh Suy ra tù đong nhat thúc Lagrange
(a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 + (ay − bx) 2 +
Chỳ ý 2.3.1 Vỏi kớ hiắu (˙x˙y˙z) = [˙x, ˙y].˙z cú (˙x˙y˙z) (˙y˙z˙x) = (˙z˙x˙y).
Mắnh đe 2.3.3 Cho cỏc vectơ ˙x, ˙y, ˙z, ˙t trong khụng gian vỏi hắ TQ a đđ trnc chuan Ta cú đong nhat thỳc
Chúng minh (1) Suy ra theo TQA đ®.
(2) Gia su ˙x = (a 1 , a 2 , a 3), ˙y = (b 1 , b 2 , b 3), ˙z = (c 1 , c 2 , c 3), ˙t = (d 1 , d 2 , d 3) Khi đó, áp dung đong nhat thúc Cauchy, có ngay ˙x˙ z ˙x˙t
(4) Theo (3) ta cú hai hắ thỳc sau [˙x, ˙y], [˙z, ˙t] ˙y(˙x˙z˙t) ˙x(˙y˙z˙t) và [˙z, ˙t], [˙x, ˙y] ˙t(˙z˙x˙y) − ˙z(˙t˙x˙y) Boi vì [˙x, ˙y], [˙z, ˙t] + [˙z, ˙t], [˙x, ˙y] = ˙0 nên ˙y(˙x˙z˙t) − ˙x(˙y˙z˙t) + ˙t(˙z˙x˙y) − ˙z(˙t˙x˙y) = ˙0.
Cách chúng minh khác cho (4): vói ˙a = (a 1 , a 2 , a 3),˙b = (b 1 , b 2 , b 3) và a 1 b 1 c 1 ˙ ˙a,˙b, ˙c, d˙ ta luôn có ˙u = ˙a(˙b˙cd˙) − ˙b(˙a˙cd˙) + ˙c(˙a˙bd˙) − d˙(˙a˙b˙c)
Vớ dn 2.3.6 Cho cỏc vectơ ˙x, ˙y, ˙z, ˙t trong khụng gian vúi hắ TQA đ® trnc chuan Khi đó ta luôn có đong nhat thúc sin(˙x, ˙y) sin(˙z, ˙t) cos([˙x, ˙y], [˙z, ˙t]) = cos(˙x, ˙z) cos(˙y, ˙t) − cos(˙x, ˙t) cos(˙y, ˙z).
Bài giai Suy ra tự Mắnh đe 2.3.3 (ii)
Vớ dn 2.3.7 đề cập đến kớ hiắu diắn tớch mắt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) và các vectơ đơn v% vuụng gúc vúi mắt tương ứng là s a, s b, s c, s d cùng với ˙e a, ˙e b, ˙e c, ˙e d Nếu tỳ diắn ABCD nằm trên mặt phẳng, thì tổng các vectơ này sẽ bằng 0, tức là s a ˙e a + s b ˙e b + s c ˙e c + s d ˙e d = ˙0.
b 2 b c 2 c Khi đó, vói bon vectơ
Thắt vắy ˙u cú TQA đđ u = a 1 b 1 c 1 d 1
AA 1, BB 1, CC 1, DD 1 có mối quan hệ tại H Chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp H ở Bài giải Giả thiết tỳ diắn ABCD là tỳ diắn trnc tõm, các đưỡng cao trong tỳ diắn; các trường hợp khác được xếp tương tự.
Tự cỏc quan hắ AH.HA 1 = BH.HB 1 = CH.HC 1 = DH.HD 1 ta suy ra đưoc hắ thỳc s a ˙e a + s b ˙e b + s c ˙e c + s d ˙e d = ˙0.
Ta còn có m®t so đong nhat thúc tőng quát hơn dưói đây
Mắnh đe 2.3.4 Kớ hiắu diắn tớch mắt (BCD), (CDA), (DAB),
(ABC), tương ỳng, là s a , s b , s c , s d và kớ hiắu ˙e a , ˙e b , ˙e c , ˙e d là cỏc vộctơ đơn v% vuụng gúc vỏi cỏc mắt (BCD), (CDA), (DAB),
(ABC), hưáng ra phía ngoài Khi đó s a ˙e a + s b ˙e b + s c ˙e c + s d ˙e d = ˙0.
Mắnh đe 2.3.5 Vỏi bon điem A, B, C, D ta cú đong nhat thỳc dưỏi đõy
Hắ qua 2.3.1 Vỏi bon điem A, B, C, D ta cú bat đang thỳc sau
Chỳng minh Ket qua đưoc suy ra tự Mắnh đe 2.3.5.
Hắ qua 2.3.2 Vỏi cỏc so thnc a i , b i , c i , d i , i = 1, 2, 3 ta luụn cú
(bi − ai)(di − ci) + (ci − ai)(bi − di) “
Chúng minh Vói A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3), D(d 1 , d 2 , d 3) ta có
Vớ dn 2.3.8 Neu tỳ diắn ABCD cú hai cắp canh đoi diắn vuụng gúc thỡ cắp canh thỳ ba cũn lai cũng vuụng gúc.
Bài giai Gia su tỳ diắn ABCD cú −
Vớ dn 2.3.9 Gia su hai tỳ diắn ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 thoa món AB ⊥
C 1 D 1 , BC ⊥ D 1 A 1 , CA ⊥ D 1 B 1 , AD ⊥ B 1 C 1 , DB ⊥ A 1 C 1 Khi đó DC ⊥ A Bài giai Gia suA(a 1 B 1 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3),
(bi − ai)(di − ci) + (ci − ai)(bi − di) “
2.4 Bài toỏn vộctơ cho tẫ diắn
Bài toỏn ve vộctơ liờn quan đen tỳ diắn thưũng đưoc su dung trong hình HQc đưoc phát bieu như sau:
Mắnh đe 2.4.1 Vỏi điem O trong tỳ diắn ABCD và điem O J nam ngoài tỳ diắn ABCD, nhưng trong gúc tam diắn đsnh A ta luụn cú
D.s d = ˙0 khi I là tõm mắt cau ngoai tiep trong tỳ diắn.
D Theo Mắnh đe 2.3.3, vúi (˙y˙z˙t) = V OBCD , (˙x˙z˙t) = −V OCDA , (˙t˙x˙y) = V ODAB và (˙z˙x˙y) −V OABC ta luôn có đong nhat thúc
(2) đưoc chúng minh tương tn.
A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3), D(d 1 , d 2 , d 3) Theo quy tac bàn tay Cỏch chỳng minh qua đ%nh thỳc: Dnng hắ Gia su O(0, 0, 0), TQA đđ Oxyz.Σ phai, quy ưóc
a 3 b 3 c 3 Tương tn, ta cũng có u 2 = u 3
Ví dn 2.4.1 Cho hình chóp S.ABC vói SA, SB, SC đôi m®t vuông góc Gia su H, O là trnc tâm và tâm đưòng tròn ngoai tiep tam giác
ABC Chúng minh rang vói A, B, C là ba góc cna tam giác ABC se có đong nhat thúc sau
Chúng minh Dnng đưòng cao AA J cna OABC vói A J ∈ BC Khi đó
SH ⊥ AA J và như vắy
2SH 2 = 2HA.HA J = 8R 2 cos A cos B cos C = R 2 − OH 2
Mắnh đe 2.4.2 Cho hỡnh chúp tựy ý SABCD vỏi đỏy ABCD là mđt tỳ giác không lõm Khi đó
SA 2 dt(BCD) −SB 2 dt(CDA) +SC 2 dt(DAB)
= AC 2 dt(DAB) −AB 2 dt(CDA) −AD 2 dt(ABC).
Bài giai Dnng hắ TQA đđ (Oxyz) sao cho A(0, 0, 0), B(v, 0, 0),
D(t, y 2 , 0), và S(x, y, z), I(x, y, 0) Khi đó SI ⊥ (Oxy) và ta có tőng
T = SA 2 dt(BCD) − SB 2 dt(CDA) + SC 2 dt(DAB) −
= IA 2 dt(BCD) − IB 2 dt(CDA) + IC 2 dt(DAB) − ID 2 dt(ABC)
T = [2ux − u 2 ].dt(CDA) + [−2vx + v 2 − 2yy 1 y 2 ].dt(DAB) +
T = x[2u.dt(CDA) − 2v.dt(DAB) + 2t.dt(ABC)]
−[u dt(CDA) − (v + y ).dt(DAB) + (t + y).dt(ABC)]
= [−AB 2 dt(CDA) + AC 2 dt(DAB) − AD 2 dt(ABC)].
Tóm lai T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
Trong tứ giác ABCD với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c, DA = x, DB = y, DC = z, và I là tâm mắt cầu, công thức tính diện tích T được xác định bởi T = s a IA² + s b IB² + s c IC² + s d ID² Từ đó, ta có mối quan hệ a² s b s c + b² s c s a + c² s a s b + x² s a s d + y² s b s d + z² s c s d.
D.s d = ˙0 theo Mắnh đe 2.4.1 suy ra
= s 2 IA 2 + s b IB 2 + s c IC 2 + s d ID 2 + s a s b (IA 2 + IB 2 − c 2 )
+s a s c (IA 2 + IC 2 − b 2 ) + s a s d (IA 2 + ID 2 − x 2 ) + s b s c (IB 2 +
Ta suy ra T = s a IA 2 + s b IB 2 + s c IC 2 + s d ID 2 và như vắy a 2 s b s c + b 2 s c s a + c 2 s a s b + x 2 s a s d + y 2 s b s d
Trong hình chóp SABCD với đáy ABCD là một tứ giác không lừm, các cạnh được ký hiệu lần lượt là AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Công thức liên quan đến các cạnh này được trình bày như sau: abcd2 sin(A + C) = SA² dt(BCD) − SB² dt(CDA) + SC² dt(DAB) − SD² dt(ABC).
Bài giai Theo Mắnh đe 2.4.2 cú
T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
AD 2 dt(ABC) TCB 2 dt(CDA) − CD= CA 2 dt(ABC) 2 dt(BCD) −
2T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
+ CA 2 dt(BCD) − CB 2 dt(CDA) − CD 2 dt(ABC)
= (AC 2 − AB 2 − CB 2 ).dt(CDA) + (AC 2 − AD 2 −
= −2ab cos B.dt(CDA) − 2cd cos D.dt(CBA) = −abcd sin(B + D).
Túm lai, ta nhắn đưoc đong nhat thỳc T =abcdsin(A^ + C^).
M®t so bài toán liên quan đen the tớch và bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep
Chương này tập trung vào các bài toán liên quan đến tích và bán kính của mắt cầu ngoại tiếp, cũng như những vấn đề tổng hợp về tam giác vuông và các phương pháp nghiên cứu hình không gian Nội dung chính của chương này được xây dựng từ tài liệu [4].
3.1 The tớch, bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep qua đ
Mắnh đe 3.1.1 Cho cỏc vộctơ ˙x, ˙y, ˙z trong khụng gian vỏi hắ TQ a đđ trnc chuan Ta có đong nhat thúc
[˙x, ˙y].˙z =.ac J J b J a J b J c J b b J b JJ a JJ b JJ c JJ a JJ b JJ c JJ c c J c JJ
Chúng minh Gia su ˙x = (a, b, c), ˙y = (a J , b J , c J ) và ˙z 2 J
Gia sú a1, a2, a3 và b1, b2, b3 là các điểm của các góc do hai đường thẳng (l1) và (l2) tạo ra trên các mặt phẳng TQ a tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz, và tương ứng với các mặt phẳng chuẩn (Oxyz) Góc α được định nghĩa là góc giữa hai tia (l1) và (l2).
Tù đó suy ra rang, hai đưàng thang (l 1) và (l 2) vuông góc vái nhau khi và chs khi (a 1 b 2 − a 2 b 1) 2 + (a 2 b 3 − a 3 b 2) 2 +
Để giải phương trình (a 3 b 1 − a 1 b 3) 2 = 1, chúng ta có hai vectơ đơn ˙u = a 1 ˙i + a 2 ˙j + a 3 ˙k và ˙v = b 1 ˙i + b 2 ˙j + b 3 ˙k Các vectơ đơn này tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz Khi phương trình (l 1) và (l 2) được thiết lập, theo Mệnh đề 2.3.2, ta suy ra sin 2 α = 1.1 Do đó, sin 2 α = [˙u, ˙v] 2 = (a 1 b 2 − a 2 b 1) 2.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các góc độ α 1, β 1, γ 1; α 2, β 2, γ 2 và α 3, β 3, γ 3, được tạo ra bởi ba đường thẳng (l 1), (l 2) và (l 3) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tương ứng với hệ tọa độ Oxyz Ký hiệu ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 đại diện cho các góc giữa (l 2) và (l 3), giữa (l 3) và (l 1), cũng như giữa (l 1) và (l 2) Từ đó, ta có thể tính toán giá trị cos α 1, cos β 1, cos γ 1.
= 1 − cos 2 ϕ 1 − cos 2 ϕ 2 − cos 2 ϕ 3 + 2 cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3
Chúng minh GQI ˙i,˙j, ˙k là ba vectơ đơn v% trên các trucOx, Oy, Oz Khi đó có ˙x = −
C = cos α 3 ˙i + cos β 3 ˙j + cos γ 3 ˙k là nhung véctơ đơn v% chi phương cna (l 1), (l 2) và (l 3) tương úng. cos α 1cos β 1 cos γ 1 2
Tự D = cos αcos γ cos β = |[IA, IB].IC| 2 và theo Mắnh đe
1 cos ϕ 3 cos ϕ 2 ta đưoc |[IA,
Như vắy D = 1 − cos 2 ϕ 1 − cos 2 ϕ 2 − cos 2 ϕ 3 + 2 cos ϕ 1
SC = c và góc giua SB, SC; giua SC, SA; giua SA, SB bang ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3, Ví dn 3.1.2 Tính the tích hình chóp SABC vói SA a, SB = b, tương úng.
1 − cos 2 ϕ − cos 2 ϕ − cos 2 ϕ + 2 cos ϕ cos ϕ cos ϕ
Mắnh đe 3.1.3 Gia su hỡnh chúp SABC cú đđ dài canh SA = a, SB b, SC = c, BC = x, CA = y, AB = z Ta có công thúc tính the tích tỳ diắn
Chúng minh Như trên, có 36V 2 = |[−
. theo Mắnh đe 3.1.1 Tự đõy ta suy ra ngay cụng thỳc sau
. theo Mắnh đe 3.1.1 Tự đõy suy ra ngay
Mắnh đe 3.1.4 Gia su tỳ diắn ABCD cú TQ a đđ 4 đsnh là A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), C(x 3 , y 3 , z 3), D(x 4 , y 4 , z 4) Khi đó ta có cụng thỳc tớnh the tớch tỳ diắn qua TQ a đđ bon đsnh là x 1 y 1 z 1 1
Tớnh the tớch tỳ diắn qua TQA đđ bon đinh V x 1 y 1 z 1 1
Mắnh đe 3.1.5 Tỳ diắn A 1 A 2 A 3 A 4 cú TQ a đđ 4 dsnh là A 1(x 1 , y 1 , z 1),
A 2(x 2 , y 2 , z 2), A 3(x 3 , y 3 , z 3), A 4(x 4 , y 4 , z 4) Kớ hiắu R là bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep tỳ diắn Khi đú ta cú cụng thỳc tớnh bỏn kớnh
− l 4 l 4 vỏi V là the tớch tỳ diắn và l ij = l ji là đđ dài canh A i A j = A j A i , i =ƒ j.
Chứng minh rằng việc tích tụ tài sản không thay đổi qua một phép tính tiền tệ Do đó, không hạn chế có thể gia tăng thiết lập tầm mắt của các yếu tố A1, A2, A3, A4, chính là góc TQA Khi đó, ta có thể
Tính đ%nh thúc cuoi cựng và lay căn ta nhắn đưoc cụng
Chỳng minh (1) Theo mắnh đe ve bat đang thỳc Ptolemy, ta luụn cú ax + by “ cz, by + cz “ ax và cz + ax “ by De dàng kiem tra hắ thỳc
Do vắy ta cú R = S(S − ax)(S − by)(S − cz) 6V
Mắnh đe 3.1.6 Cho gúc tam diắn Iabc vỏi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa = β, ∠aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic tương úng là x, y, z Khi đó có các đong nhat thúc sau đây y
(2) Giao Id cua mắt phang phõn giỏc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic lắp vỏi nh% diắn gúc t thúa món cot 2 y
+ 2 cot 2 sin 2 y2 cot 2 x cos β cot 2 x 2
Chúng minh (1) Trên giao Id cna cỏc mắt phang phõn giỏc nh% diắn canh
Ia, Ib, Ic lay điem E Ha
EH⊥(Ibc) và HM⊥Ib, HN⊥Ic vói H ∈ (Ibc),
M ∈ Ib, N ∈ Ic Vói EH = r có EM⊥Ib, EN⊥Ic, HM = r cot 2 ,
2HM.HN cos α suy ra 2
2 Tương tn, MI r co t cot γ +
. T ư ơ ng tn có cá c đo n ng h c o t
=T ươ ngtn ta có các đong nhat thúc còn lai.
Vớ dn 3.1.3 Cho gúc tam diắn Iabc vúi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa (bIc), (cIa), (aIb), tương ỳng là α 1, β 1, γ 1; kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh β, ∠aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc giua cỏc canh Ia, Ib,
Ic vúi cỏc mắt Ia, Ib, Ic là x, y, z Khi đú cú cỏc ket qua sau đây sin α 1 sin α = sin β 1 sin β = sin γ 1 sin γ sin α 1 sin x = sin β 1 sin y = sin γ 1 sin z.
sin x √1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ
1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ sin γ sin α
1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ sin α sin β
√1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ ≤ sin α
Bài giai (1) Lay A ∈ Ia , B ∈ Ib , C ∈ Ic vói IA = IB = IC = 1.
Khi đó 6V IABC = 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ Ha
Phép toán vectơ qua TQA đ®
Trong không gian ba chiều, ba trục tọa độ x (Ox), y (Oy) và z (Oz) vuông góc với nhau tại điểm O Các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục này được ký hiệu là i, j và k Ba trục này tạo thành một hệ tọa độ Đề-các vuông góc, cho phép xác định vị trí của các điểm trong không gian một cách chính xác.
Oxyz hay hắ TQA đđ trnc chuan hay đơn gian GQI là hắ TQA đđ Oxyz.
Khi nói vectơ ˙v có TQA đ® ˙v(x, y, z), túc là ton tai b® ba so x, y, z sao cho ˙v = x˙i + y˙j + z˙k. Điem M có TQA đ® M (x, y, z) nghĩa là −
Cho các véctơ ˙a = (a 1 , a 2 , a 3), ˙b = (b 1 , b 2 , b 3), ˙c = (c 1 , c 2 , c 3), A(x A , y A , z A ), Tù bieu thúc TQa đ® cna véctơ, ta de dàng suy ra các tính chat sau đây:
B(x B , y B , z B ) và so thnc k tùy ý, ta có
2.3 Tích vô hưáng, tích có hưáng cua hai vectơ Đ%nh nghĩa tích vô hưóng, tích có hưóng và tích hon tap cna các véctơ ˙x = (a 1 , a 2 , a 3), ˙y = (b 1 , b 2 , b 3) và ˙z = (c 1 , c 2 , c 3) trong không gian như sau:
Mắnh đe 2.3.1 Cho cỏc vộctơ ˙x, ˙y, ˙z trong khụng gian vỏi hắ TQ a đđ trnc chuan Ta có đong nhat thúc
Ví dn 2.3.1 Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc sau: f (x) = x 2 − 3√
Vớ dn 2.3.2 Tỳ diắn ABCD cú đđ dài bon đưũng cao là h a , h b , h c , h d và khoang cỏch giua cỏc cắp canh đoi là d 1 , d 2 , d 3 Chỳng minh rang
Tù đó chi ra max{h a , h b , h c , h d } “ √
Bài giai Ký hiắu diắn tớch cỏc mắt đoi diắn đinh A, B, C, D là s a , s b , s c , s d và the tớch tỳ diắn ABCD là V Đắt ˙x = −
2 9V 2 và khi dnng hỡnh hđp sao cho moi canh tỳ diắn là mđt đưũng chộo cna m®t
Bài gia.i Hien nhiên Σ|˙a| + |˙b| “ |˙a + ˙b| theo đ%nh nghĩa tích vô hưóng.
√ h h h a b c d h d mắt thỡ se cú d 1 |[˙x, ˙y − ˙z]| = 2V hh = 6V Tự đõy suy ra hắ thỳc sau 36V 2 2
Tương tn cú cỏc hắ thỳc khỏc và như vắy ta nhắn đưoc
Với điểm P tự do trong tứ diện ABCD, ta có các khoảng cách từ P đến các đỉnh: d1 = PA, d2 = PB, d3 = PC, d4 = PD Khoảng cách từ P đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) lần lượt là h1, h2, h3, h4 Từ đó, ta có mối quan hệ d1 + d2 + d3 + d4.
+√ h 3 h 4 Đắc biắt, neu P là tõm mắt cau nđi tiep tỳ diắn và r là bỏn kớnh mắt caunđi tiep trong tỳ diắn ta cú d 1 + d 2 + d 3 + d 4 “ 12r.
Bài giai Kớ hiắu diắn tớch cỏc mắt đoi diắn đinh A, B, C, D là s a , s b , s c , s d và the tớch tỳ diắn ABCD là V.
Tương tn, ta có các ket qua d 1 “ h s b
Ví dn 2.3.4 Vói bon tia Ia, Ib, Ic, Id trong không gian (Oxyz) luôn có cos(Ia, Ib) + cos(Ia, Ic) + cos(Ia, Id) + cos(Ib, Ic) +
+ cos(Ib, Id) + cos(Ic, Id) “ −2.
Bài giai Lay A Ia, B Ib, C Ic, D Id vói IA = IB = IC ID = 1 Đắt ˙x = −
D Theo Mắnh đe 2.3.1, ta cú
0 ™ 2 + cos(Ia, Ib) + cos(Ia, Ic) + cos(Ia, Id) + + cos(Ib, Ic) + cos(Ib, Id) + cos(Ic, Id).
Vớ dn 2.3.5 Vúi tỳ diắn ABCD kớ hiắu cỏc gúc nh% diắn canh AB,AC,
AD, BC, CD, DB là α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 Khi đó cos α k ™ 2.
Bài giai Tự điem I o trong tỳ diắn ta dnng cỏc tia Ia, Ib, Ic, Id vuụng k=1 gúc vúi cỏc mắt cna tỳ diắn ABCD và hưúng ra phớa ngoài
Theo Ví du 2.3.4, ta có cos α 6 k = −(cos(Oa, Ob) + cos(Oa, Oc) + cos(Oa, Od) + k=1
+ cos(Ob, Oc) + cos(Ob, Od) + cos(Oc, Od)) ™ 2. Σ Σ đ® trnc chuan Ta có đong nhat thúc ˙x 2 ˙y 2 = (˙x.˙y) 2 + [˙x, ˙y] 2
Tự đú suy ra Mắnh đe 2.3.2 [Jacobi] Cho cỏc vectơ ˙x, ˙y trong khụng gian vỏi hắ t Q a
Chúng minh Suy ra tù đong nhat thúc Lagrange
(a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 + (ay − bx) 2 +
Chỳ ý 2.3.1 Vỏi kớ hiắu (˙x˙y˙z) = [˙x, ˙y].˙z cú (˙x˙y˙z) (˙y˙z˙x) = (˙z˙x˙y).
Mắnh đe 2.3.3 Cho cỏc vectơ ˙x, ˙y, ˙z, ˙t trong khụng gian vỏi hắ TQ a đđ trnc chuan Ta cú đong nhat thỳc
Chúng minh (1) Suy ra theo TQA đ®.
(2) Gia su ˙x = (a 1 , a 2 , a 3), ˙y = (b 1 , b 2 , b 3), ˙z = (c 1 , c 2 , c 3), ˙t = (d 1 , d 2 , d 3) Khi đó, áp dung đong nhat thúc Cauchy, có ngay ˙x˙ z ˙x˙t
(4) Theo (3) ta cú hai hắ thỳc sau [˙x, ˙y], [˙z, ˙t] ˙y(˙x˙z˙t) ˙x(˙y˙z˙t) và [˙z, ˙t], [˙x, ˙y] ˙t(˙z˙x˙y) − ˙z(˙t˙x˙y) Boi vì [˙x, ˙y], [˙z, ˙t] + [˙z, ˙t], [˙x, ˙y] = ˙0 nên ˙y(˙x˙z˙t) − ˙x(˙y˙z˙t) + ˙t(˙z˙x˙y) − ˙z(˙t˙x˙y) = ˙0.
Cách chúng minh khác cho (4): vói ˙a = (a 1 , a 2 , a 3),˙b = (b 1 , b 2 , b 3) và a 1 b 1 c 1 ˙ ˙a,˙b, ˙c, d˙ ta luôn có ˙u = ˙a(˙b˙cd˙) − ˙b(˙a˙cd˙) + ˙c(˙a˙bd˙) − d˙(˙a˙b˙c)
Vớ dn 2.3.6 Cho cỏc vectơ ˙x, ˙y, ˙z, ˙t trong khụng gian vúi hắ TQA đ® trnc chuan Khi đó ta luôn có đong nhat thúc sin(˙x, ˙y) sin(˙z, ˙t) cos([˙x, ˙y], [˙z, ˙t]) = cos(˙x, ˙z) cos(˙y, ˙t) − cos(˙x, ˙t) cos(˙y, ˙z).
Bài giai Suy ra tự Mắnh đe 2.3.3 (ii)
Vớ dn 2.3.7 đề cập đến khái niệm về các vectơ đơn vị vuông góc với mắt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tương ứng với các vectơ s a, s b, s c, s d và kớ hiắu ˙e a, ˙e b, ˙e c, ˙e d Nếu tỳ diắn ABCD là tỳ diắn trnc tõm, thì tổng các vectơ này sẽ thỏa mãn điều kiện s a ˙e a + s b ˙e b + s c ˙e c + s d ˙e d = ˙0.
b 2 b c 2 c Khi đó, vói bon vectơ
Thắt vắy ˙u cú TQA đđ u = a 1 b 1 c 1 d 1
Trong bài giải, chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp H ở B Giả thiết tỳ diắn ABCD là tỳ diắn trnc tõm, với các đỉnh cao trong tỳ diắn Các trường hợp khác sẽ được xếp tương tự.
Tự cỏc quan hắ AH.HA 1 = BH.HB 1 = CH.HC 1 = DH.HD 1 ta suy ra đưoc hắ thỳc s a ˙e a + s b ˙e b + s c ˙e c + s d ˙e d = ˙0.
Ta còn có m®t so đong nhat thúc tőng quát hơn dưói đây
Mắnh đe 2.3.4 Kớ hiắu diắn tớch mắt (BCD), (CDA), (DAB),
(ABC), tương ỳng, là s a , s b , s c , s d và kớ hiắu ˙e a , ˙e b , ˙e c , ˙e d là cỏc vộctơ đơn v% vuụng gúc vỏi cỏc mắt (BCD), (CDA), (DAB),
(ABC), hưáng ra phía ngoài Khi đó s a ˙e a + s b ˙e b + s c ˙e c + s d ˙e d = ˙0.
Mắnh đe 2.3.5 Vỏi bon điem A, B, C, D ta cú đong nhat thỳc dưỏi đõy
Hắ qua 2.3.1 Vỏi bon điem A, B, C, D ta cú bat đang thỳc sau
Chỳng minh Ket qua đưoc suy ra tự Mắnh đe 2.3.5.
Hắ qua 2.3.2 Vỏi cỏc so thnc a i , b i , c i , d i , i = 1, 2, 3 ta luụn cú
(bi − ai)(di − ci) + (ci − ai)(bi − di) “
Chúng minh Vói A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3), D(d 1 , d 2 , d 3) ta có
Vớ dn 2.3.8 Neu tỳ diắn ABCD cú hai cắp canh đoi diắn vuụng gúc thỡ cắp canh thỳ ba cũn lai cũng vuụng gúc.
Bài giai Gia su tỳ diắn ABCD cú −
Vớ dn 2.3.9 Gia su hai tỳ diắn ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 thoa món AB ⊥
C 1 D 1 , BC ⊥ D 1 A 1 , CA ⊥ D 1 B 1 , AD ⊥ B 1 C 1 , DB ⊥ A 1 C 1 Khi đó DC ⊥ A Bài giai Gia suA(a 1 B 1 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3),
(bi − ai)(di − ci) + (ci − ai)(bi − di) “
2.4 Bài toỏn vộctơ cho tẫ diắn
Bài toỏn ve vộctơ liờn quan đen tỳ diắn thưũng đưoc su dung trong hình HQc đưoc phát bieu như sau:
Mắnh đe 2.4.1 Vỏi điem O trong tỳ diắn ABCD và điem O J nam ngoài tỳ diắn ABCD, nhưng trong gúc tam diắn đsnh A ta luụn cú
D.s d = ˙0 khi I là tõm mắt cau ngoai tiep trong tỳ diắn.
D Theo Mắnh đe 2.3.3, vúi (˙y˙z˙t) = V OBCD , (˙x˙z˙t) = −V OCDA , (˙t˙x˙y) = V ODAB và (˙z˙x˙y) −V OABC ta luôn có đong nhat thúc
(2) đưoc chúng minh tương tn.
A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3), D(d 1 , d 2 , d 3) Theo quy tac bàn tay Cỏch chỳng minh qua đ%nh thỳc: Dnng hắ Gia su O(0, 0, 0), TQA đđ Oxyz.Σ phai, quy ưóc
a 3 b 3 c 3 Tương tn, ta cũng có u 2 = u 3
Ví dn 2.4.1 Cho hình chóp S.ABC vói SA, SB, SC đôi m®t vuông góc Gia su H, O là trnc tâm và tâm đưòng tròn ngoai tiep tam giác
ABC Chúng minh rang vói A, B, C là ba góc cna tam giác ABC se có đong nhat thúc sau
Chúng minh Dnng đưòng cao AA J cna OABC vói A J ∈ BC Khi đó
SH ⊥ AA J và như vắy
2SH 2 = 2HA.HA J = 8R 2 cos A cos B cos C = R 2 − OH 2
Mắnh đe 2.4.2 Cho hỡnh chúp tựy ý SABCD vỏi đỏy ABCD là mđt tỳ giác không lõm Khi đó
SA 2 dt(BCD) −SB 2 dt(CDA) +SC 2 dt(DAB)
= AC 2 dt(DAB) −AB 2 dt(CDA) −AD 2 dt(ABC).
Bài giai Dnng hắ TQA đđ (Oxyz) sao cho A(0, 0, 0), B(v, 0, 0),
D(t, y 2 , 0), và S(x, y, z), I(x, y, 0) Khi đó SI ⊥ (Oxy) và ta có tőng
T = SA 2 dt(BCD) − SB 2 dt(CDA) + SC 2 dt(DAB) −
= IA 2 dt(BCD) − IB 2 dt(CDA) + IC 2 dt(DAB) − ID 2 dt(ABC)
T = [2ux − u 2 ].dt(CDA) + [−2vx + v 2 − 2yy 1 y 2 ].dt(DAB) +
T = x[2u.dt(CDA) − 2v.dt(DAB) + 2t.dt(ABC)]
−[u dt(CDA) − (v + y ).dt(DAB) + (t + y).dt(ABC)]
= [−AB 2 dt(CDA) + AC 2 dt(DAB) − AD 2 dt(ABC)].
Tóm lai T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
Trong tứ giác ABCD, với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c, DA = x, DB = y, DC = z và I là tâm mắt cầu, ta có công thức tính diện tích tứ giác là T = s a IA² + s b IB² + s c IC² + s d ID² Từ đó, ta có mối quan hệ giữa các cạnh và diện tích: a² s b s c + b² s c s a + c² s a s b + x² s a s d + y² s b s d + z² s c s d.
D.s d = ˙0 theo Mắnh đe 2.4.1 suy ra
= s 2 IA 2 + s b IB 2 + s c IC 2 + s d ID 2 + s a s b (IA 2 + IB 2 − c 2 )
+s a s c (IA 2 + IC 2 − b 2 ) + s a s d (IA 2 + ID 2 − x 2 ) + s b s c (IB 2 +
Ta suy ra T = s a IA 2 + s b IB 2 + s c IC 2 + s d ID 2 và như vắy a 2 s b s c + b 2 s c s a + c 2 s a s b + x 2 s a s d + y 2 s b s d
Trong hình chóp SABCD với đáy ABCD là một tứ giác không lừm, các cạnh được xác định bởi AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Công thức liên quan đến diện tích các mặt của hình chóp được thể hiện qua biểu thức: abcd2 sin(A + C) = SA^2 dt(BCD) − SB^2 dt(CDA) + SC^2 dt(DAB) − SD^2 dt(ABC).
Bài giai Theo Mắnh đe 2.4.2 cú
T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
AD 2 dt(ABC) TCB 2 dt(CDA) − CD= CA 2 dt(ABC) 2 dt(BCD) −
2T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
+ CA 2 dt(BCD) − CB 2 dt(CDA) − CD 2 dt(ABC)
= (AC 2 − AB 2 − CB 2 ).dt(CDA) + (AC 2 − AD 2 −
= −2ab cos B.dt(CDA) − 2cd cos D.dt(CBA) = −abcd sin(B + D).
Túm lai, ta nhắn đưoc đong nhat thỳc T =abcdsin(A^ + C^).
M®t so bài toán liên quan đen the tớch và bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep
Chương này đề cập đến các bài toán liên quan đến diện tích và bán kính của hình cầu ngoại tiếp, cùng với những vấn đề tổng hợp về tam giác vuông và các phương pháp nghiên cứu hình không gian Nội dung chính của chương này được hình thành từ tài liệu [4].
3.1 The tớch, bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep qua đ
Mắnh đe 3.1.1 Cho cỏc vộctơ ˙x, ˙y, ˙z trong khụng gian vỏi hắ TQ a đđ trnc chuan Ta có đong nhat thúc
[˙x, ˙y].˙z =.ac J J b J a J b J c J b b J b JJ a JJ b JJ c JJ a JJ b JJ c JJ c c J c JJ
Chúng minh Gia su ˙x = (a, b, c), ˙y = (a J , b J , c J ) và ˙z 2 J
Mắnh đe 3.1.2 đề cập đến các gia số a1, a2, a3 và b1, b2, b3 là các cụ số của các góc do hai đường thẳng (l1) và (l2) tạo ra với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, tương ứng với các trục của hệ tọa độ chuẩn (Oxyz) Ký hiệu α là góc giữa hai tia (l1) và (l2).
Tù đó suy ra rang, hai đưàng thang (l 1) và (l 2) vuông góc vái nhau khi và chs khi (a 1 b 2 − a 2 b 1) 2 + (a 2 b 3 − a 3 b 2) 2 +
Trong bài viết này, chúng ta xem xét biểu thức toán học (a 3 b 1 − a 1 b 3) 2 = 1, trong đó các vectơ đơn ˙u = a 1 ˙i + a 2 ˙j + a 3 ˙k và ˙v = b 1 ˙i + b 2 ˙j + b 3 ˙k được biểu diễn bằng các thành phần trên các trục Ox, Oy, Oz Khi phương trình (l 1) và (l 2) tương ứng, theo Mệnh đề 2.3.2, ta suy ra rằng sin 2 α = 1, với sin 2 α = [˙u, ˙v] 2 = (a 1 b 2 − a 2 b 1) 2.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các góc độ α 1, β 1, γ 1; α 2, β 2, γ 2 và α 3, β 3, γ 3 được tạo ra bởi ba đường thẳng (l 1), (l 2) và (l 3) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, tương ứng với hệ tọa độ Oxyz Các ký hiệu ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 đại diện cho các góc giữa các đường thẳng: ϕ 1 giữa (l 2) và (l 3), ϕ 2 giữa (l 3) và (l 1), và ϕ 3 giữa (l 1) và (l 2) Từ đó, chúng ta có thể tính toán cos α 1, cos β 1, cos γ 1.
= 1 − cos 2 ϕ 1 − cos 2 ϕ 2 − cos 2 ϕ 3 + 2 cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3
Chúng minh GQI ˙i,˙j, ˙k là ba vectơ đơn v% trên các trucOx, Oy, Oz Khi đó có ˙x = −
C = cos α 3 ˙i + cos β 3 ˙j + cos γ 3 ˙k là nhung véctơ đơn v% chi phương cna (l 1), (l 2) và (l 3) tương úng. cos α 1cos β 1 cos γ 1 2
Tự D = cos αcos γ cos β = |[IA, IB].IC| 2 và theo Mắnh đe
1 cos ϕ 3 cos ϕ 2 ta đưoc |[IA,
Như vắy D = 1 − cos 2 ϕ 1 − cos 2 ϕ 2 − cos 2 ϕ 3 + 2 cos ϕ 1
SC = c và góc giua SB, SC; giua SC, SA; giua SA, SB bang ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3, Ví dn 3.1.2 Tính the tích hình chóp SABC vói SA a, SB = b, tương úng.
1 − cos 2 ϕ − cos 2 ϕ − cos 2 ϕ + 2 cos ϕ cos ϕ cos ϕ
Mắnh đe 3.1.3 Gia su hỡnh chúp SABC cú đđ dài canh SA = a, SB b, SC = c, BC = x, CA = y, AB = z Ta có công thúc tính the tích tỳ diắn
Chúng minh Như trên, có 36V 2 = |[−
. theo Mắnh đe 3.1.1 Tự đõy ta suy ra ngay cụng thỳc sau
. theo Mắnh đe 3.1.1 Tự đõy suy ra ngay
Mắnh đe 3.1.4 Gia su tỳ diắn ABCD cú TQ a đđ 4 đsnh là A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), C(x 3 , y 3 , z 3), D(x 4 , y 4 , z 4) Khi đó ta có cụng thỳc tớnh the tớch tỳ diắn qua TQ a đđ bon đsnh là x 1 y 1 z 1 1
Tớnh the tớch tỳ diắn qua TQA đđ bon đinh V x 1 y 1 z 1 1
Mắnh đe 3.1.5 Tỳ diắn A 1 A 2 A 3 A 4 cú TQ a đđ 4 dsnh là A 1(x 1 , y 1 , z 1),
A 2(x 2 , y 2 , z 2), A 3(x 3 , y 3 , z 3), A 4(x 4 , y 4 , z 4) Kớ hiắu R là bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep tỳ diắn Khi đú ta cú cụng thỳc tớnh bỏn kớnh
− l 4 l 4 vỏi V là the tớch tỳ diắn và l ij = l ji là đđ dài canh A i A j = A j A i , i =ƒ j.
Chúng tôi biết rằng thể tích tỷ diện không thay đổi qua một phép tính tiền Do đó, không hạn chế cấu trúc tóm mắt các yếu tố A1, A2, A3, A4 chính là góc TQA Khi đó, ta có thể
Tính đ%nh thúc cuoi cựng và lay căn ta nhắn đưoc cụng
Chỳng minh (1) Theo mắnh đe ve bat đang thỳc Ptolemy, ta luụn cú ax + by “ cz, by + cz “ ax và cz + ax “ by De dàng kiem tra hắ thỳc
Do vắy ta cú R = S(S − ax)(S − by)(S − cz) 6V
Mắnh đe 3.1.6 Cho gúc tam diắn Iabc vỏi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa = β, ∠aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic tương úng là x, y, z Khi đó có các đong nhat thúc sau đây y
(2) Giao Id cua mắt phang phõn giỏc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic lắp vỏi nh% diắn gúc t thúa món cot 2 y
+ 2 cot 2 sin 2 y2 cot 2 x cos β cot 2 x 2
Chúng minh (1) Trên giao Id cna cỏc mắt phang phõn giỏc nh% diắn canh
Ia, Ib, Ic lay điem E Ha
EH⊥(Ibc) và HM⊥Ib, HN⊥Ic vói H ∈ (Ibc),
M ∈ Ib, N ∈ Ic Vói EH = r có EM⊥Ib, EN⊥Ic, HM = r cot 2 ,
2HM.HN cos α suy ra 2
2 Tương tn, MI r co t cot γ +
. T ư ơ ng tn có cá c đo n ng h c o t
=T ươ ngtn ta có các đong nhat thúc còn lai.
Vớ dn 3.1.3 Cho gúc tam diắn Iabc vúi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa (bIc), (cIa), (aIb), tương ỳng là α 1, β 1, γ 1; kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh β, ∠aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc giua cỏc canh Ia, Ib,
Ic vúi cỏc mắt Ia, Ib, Ic là x, y, z Khi đú cú cỏc ket qua sau đây sin α 1 sin α = sin β 1 sin β = sin γ 1 sin γ sin α 1 sin x = sin β 1 sin y = sin γ 1 sin z.
sin x √1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ
1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ sin γ sin α
1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ sin α sin β
√1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ ≤ sin α
Bài giai (1) Lay A ∈ Ia , B ∈ Ib , C ∈ Ic vói IA = IB = IC = 1.
Khi đó 6V IABC = 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ Ha
Để giải bài toán, ta có AH⊥(bIc) và từ đó suy ra AH = sin α Tiếp theo, từ mối quan hệ AH.S BIC = 3V IABC, ta có sin α = 6V IABC Tương tự, ta cũng có sin β = 6V IABC và sin γ = 6V IABC Do đó, ta có công thức sin α/sin α = sin β/sin β = sin γ/sin γ Cuối cùng, từ định lý 1.2.1, ta có thể rút ra các mối quan hệ còn lại.
%nh lý Cosin cho gúc tam diắn và Đ%nh lý 1.4.1, Đ%nh lý Sin cho gúc tam diắn.
(2) De dàng chi ra sin x sin β sin γ = sin y sin γ sin α = sin z sin α sin β = 6V IABC
Vắ y sin x √1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ
1 − cos 2 α − cosγ 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ si n γ si n α
+ sin β + sin γ “ sin α 1 sin α + sin β 1 sin β + sin γ 1 sin γ nên có bat ta đang thúc s i n α + sin β + sin γ
Bát đang thúc cần chứng minh một mối quan hệ trong ba bát đang thúc, không chỉ đơn thuần là bát đang thúc đau Do đó, bát đang thúc cần chứng minh tương đương với sin α + sin β − sin γ “ 6V IABC hay sin α + sin β − sin γ “ √.
Vì (1 + sin α sin β)² = [cos² α cos² β + (sin α sin β)²][cos² γ + sin² γ], nên biến đổi tương đương 1 + sin α sin β = cos α cos β cos γ + (sin α sin β) sin γ Dễ dàng suy ra 1 + sin α sin β = cos α cos β cos γ + (sin α + sin β) sin γ.
Bài toỏn vộctơ cho tỳ diắn
Bài toỏn ve vộctơ liờn quan đen tỳ diắn thưũng đưoc su dung trong hình HQc đưoc phát bieu như sau:
Mắnh đe 2.4.1 Vỏi điem O trong tỳ diắn ABCD và điem O J nam ngoài tỳ diắn ABCD, nhưng trong gúc tam diắn đsnh A ta luụn cú
D.s d = ˙0 khi I là tõm mắt cau ngoai tiep trong tỳ diắn.
D Theo Mắnh đe 2.3.3, vúi (˙y˙z˙t) = V OBCD , (˙x˙z˙t) = −V OCDA , (˙t˙x˙y) = V ODAB và (˙z˙x˙y) −V OABC ta luôn có đong nhat thúc
(2) đưoc chúng minh tương tn.
A(a 1 , a 2 , a 3), B(b 1 , b 2 , b 3), C(c 1 , c 2 , c 3), D(d 1 , d 2 , d 3) Theo quy tac bàn tay Cỏch chỳng minh qua đ%nh thỳc: Dnng hắ Gia su O(0, 0, 0), TQA đđ Oxyz.Σ phai, quy ưóc
a 3 b 3 c 3 Tương tn, ta cũng có u 2 = u 3
Ví dn 2.4.1 Cho hình chóp S.ABC vói SA, SB, SC đôi m®t vuông góc Gia su H, O là trnc tâm và tâm đưòng tròn ngoai tiep tam giác
ABC Chúng minh rang vói A, B, C là ba góc cna tam giác ABC se có đong nhat thúc sau
Chúng minh Dnng đưòng cao AA J cna OABC vói A J ∈ BC Khi đó
SH ⊥ AA J và như vắy
2SH 2 = 2HA.HA J = 8R 2 cos A cos B cos C = R 2 − OH 2
Mắnh đe 2.4.2 Cho hỡnh chúp tựy ý SABCD vỏi đỏy ABCD là mđt tỳ giác không lõm Khi đó
SA 2 dt(BCD) −SB 2 dt(CDA) +SC 2 dt(DAB)
= AC 2 dt(DAB) −AB 2 dt(CDA) −AD 2 dt(ABC).
Bài giai Dnng hắ TQA đđ (Oxyz) sao cho A(0, 0, 0), B(v, 0, 0),
D(t, y 2 , 0), và S(x, y, z), I(x, y, 0) Khi đó SI ⊥ (Oxy) và ta có tőng
T = SA 2 dt(BCD) − SB 2 dt(CDA) + SC 2 dt(DAB) −
= IA 2 dt(BCD) − IB 2 dt(CDA) + IC 2 dt(DAB) − ID 2 dt(ABC)
T = [2ux − u 2 ].dt(CDA) + [−2vx + v 2 − 2yy 1 y 2 ].dt(DAB) +
T = x[2u.dt(CDA) − 2v.dt(DAB) + 2t.dt(ABC)]
−[u dt(CDA) − (v + y ).dt(DAB) + (t + y).dt(ABC)]
= [−AB 2 dt(CDA) + AC 2 dt(DAB) − AD 2 dt(ABC)].
Tóm lai T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
Trong tứ diện ABCD, với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c, DA = x, DB = y, và DC = z, điểm I là trọng tâm của tứ diện Công thức tính trọng tâm T được xác định bởi T = s a IA² + s b IB² + s c IC² + s d ID² Từ đó, ta có mối quan hệ a² s b s c + b² s c s a + c² s a s b + x² s a s d + y² s b s d + z² s c s d.
D.s d = ˙0 theo Mắnh đe 2.4.1 suy ra
= s 2 IA 2 + s b IB 2 + s c IC 2 + s d ID 2 + s a s b (IA 2 + IB 2 − c 2 )
+s a s c (IA 2 + IC 2 − b 2 ) + s a s d (IA 2 + ID 2 − x 2 ) + s b s c (IB 2 +
Ta suy ra T = s a IA 2 + s b IB 2 + s c IC 2 + s d ID 2 và như vắy a 2 s b s c + b 2 s c s a + c 2 s a s b + x 2 s a s d + y 2 s b s d
Trong bài toán hình học, cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là một tứ giác không lừng, trong đó các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt có độ dài a, b, c, d Công thức liên quan được đưa ra là abcd2 sin(A + C) = SA².dt(BCD) − SB².dt(CDA) + SC².dt(DAB) − SD².dt(ABC).
Bài giai Theo Mắnh đe 2.4.2 cú
T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
AD 2 dt(ABC) TCB 2 dt(CDA) − CD= CA 2 dt(ABC) 2 dt(BCD) −
2T = AC 2 dt(DAB) − AB 2 dt(CDA) −
+ CA 2 dt(BCD) − CB 2 dt(CDA) − CD 2 dt(ABC)
= (AC 2 − AB 2 − CB 2 ).dt(CDA) + (AC 2 − AD 2 −
= −2ab cos B.dt(CDA) − 2cd cos D.dt(CBA) = −abcd sin(B + D).
Túm lai, ta nhắn đưoc đong nhat thỳc T =abcdsin(A^ + C^).
M®t so bài toán liên quan đen the tớch và bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep
Chương này đề cập đến các bài toán liên quan đến hình tròn, bán kính và các vấn đề liên quan đến tam giác vuông, cùng với các phương pháp nghiên cứu hình không gian Nội dung chính của chương này được hình thành từ tài liệu [4].
The tớch, bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep qua đ%nh thỳc
Mắnh đe 3.1.1 Cho cỏc vộctơ ˙x, ˙y, ˙z trong khụng gian vỏi hắ TQ a đđ trnc chuan Ta có đong nhat thúc
[˙x, ˙y].˙z =.ac J J b J a J b J c J b b J b JJ a JJ b JJ c JJ a JJ b JJ c JJ c c J c JJ
Chúng minh Gia su ˙x = (a, b, c), ˙y = (a J , b J , c J ) và ˙z 2 J
Mắnh đe 3.1.2 đề cập đến các gia số a1, a2, a3 và b1, b2, b3 là các cụ số của các góc do hai đường thẳng (l1) và (l2) tạo thành trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, tương ứng với các trục tọa độ chuẩn (Oxyz) Ký hiệu α là góc giữa hai tia (l1) và (l2).
Tù đó suy ra rang, hai đưàng thang (l 1) và (l 2) vuông góc vái nhau khi và chs khi (a 1 b 2 − a 2 b 1) 2 + (a 2 b 3 − a 3 b 2) 2 +
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (a 3 b 1 − a 1 b 3) 2 = 1, trong đó các véctơ đơn ˙u = a 1 ˙i + a 2 ˙j + a 3 ˙k và ˙v = b 1 ˙i + b 2 ˙j + b 3 ˙k được định nghĩa Các vectơ đơn ˙i, ˙j, ˙k tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz Khi hai phương trình (l 1) và (l 2) tương ứng, theo Mắnh đề 2.3.2, ta suy ra rằng sin 2 α = 1.1, và sin 2 α được tính bằng công thức [˙u, ˙v] 2 = (a 1 b 2 − a 2 b 1) 2 +
Gia su α 1, β 1, γ 1; α 2, β 2, γ 2 và α 3, β 3, γ 3 là các góc giữa ba đường thẳng (l 1), (l 2) và (l 3) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tương ứng với hệ tọa độ Oxyz Các ký hiệu ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 đại diện cho góc giữa các đường thẳng: ϕ 1 là góc giữa (l 2) và (l 3), ϕ 2 là góc giữa (l 3) và (l 1), và ϕ 3 là góc giữa (l 1) và (l 2) Công thức liên quan cho biết rằng cos α 1 cos β 1 cos γ 1 = 2.
= 1 − cos 2 ϕ 1 − cos 2 ϕ 2 − cos 2 ϕ 3 + 2 cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 3
Chúng minh GQI ˙i,˙j, ˙k là ba vectơ đơn v% trên các trucOx, Oy, Oz Khi đó có ˙x = −
C = cos α 3 ˙i + cos β 3 ˙j + cos γ 3 ˙k là nhung véctơ đơn v% chi phương cna (l 1), (l 2) và (l 3) tương úng. cos α 1cos β 1 cos γ 1 2
Tự D = cos αcos γ cos β = |[IA, IB].IC| 2 và theo Mắnh đe
1 cos ϕ 3 cos ϕ 2 ta đưoc |[IA,
Như vắy D = 1 − cos 2 ϕ 1 − cos 2 ϕ 2 − cos 2 ϕ 3 + 2 cos ϕ 1
SC = c và góc giua SB, SC; giua SC, SA; giua SA, SB bang ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3, Ví dn 3.1.2 Tính the tích hình chóp SABC vói SA a, SB = b, tương úng.
1 − cos 2 ϕ − cos 2 ϕ − cos 2 ϕ + 2 cos ϕ cos ϕ cos ϕ
Mắnh đe 3.1.3 Gia su hỡnh chúp SABC cú đđ dài canh SA = a, SB b, SC = c, BC = x, CA = y, AB = z Ta có công thúc tính the tích tỳ diắn
Chúng minh Như trên, có 36V 2 = |[−
. theo Mắnh đe 3.1.1 Tự đõy ta suy ra ngay cụng thỳc sau
. theo Mắnh đe 3.1.1 Tự đõy suy ra ngay
Mắnh đe 3.1.4 Gia su tỳ diắn ABCD cú TQ a đđ 4 đsnh là A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), C(x 3 , y 3 , z 3), D(x 4 , y 4 , z 4) Khi đó ta có cụng thỳc tớnh the tớch tỳ diắn qua TQ a đđ bon đsnh là x 1 y 1 z 1 1
Tớnh the tớch tỳ diắn qua TQA đđ bon đinh V x 1 y 1 z 1 1
Mắnh đe 3.1.5 Tỳ diắn A 1 A 2 A 3 A 4 cú TQ a đđ 4 dsnh là A 1(x 1 , y 1 , z 1),
A 2(x 2 , y 2 , z 2), A 3(x 3 , y 3 , z 3), A 4(x 4 , y 4 , z 4) Kớ hiắu R là bỏn kớnh mắt cau ngoai tiep tỳ diắn Khi đú ta cú cụng thỳc tớnh bỏn kớnh
− l 4 l 4 vỏi V là the tớch tỳ diắn và l ij = l ji là đđ dài canh A i A j = A j A i , i =ƒ j.
Chứng minh rằng việc tích tụ tài sản không thay đổi qua một phép tính tiền tệ Do đó, không hạn chế có thể gia tăng thông qua các yếu tố A1, A2, A3, A4, chính là góc nhìn tổng quát Khi đó, ta có thể
Tính đ%nh thúc cuoi cựng và lay căn ta nhắn đưoc cụng
Chỳng minh (1) Theo mắnh đe ve bat đang thỳc Ptolemy, ta luụn cú ax + by “ cz, by + cz “ ax và cz + ax “ by De dàng kiem tra hắ thỳc
Do vắy ta cú R = S(S − ax)(S − by)(S − cz) 6V
Mắnh đe 3.1.6 Cho gúc tam diắn Iabc vỏi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa = β, ∠aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic tương úng là x, y, z Khi đó có các đong nhat thúc sau đây y
(2) Giao Id cua mắt phang phõn giỏc nh% diắn canh Ia, Ib, Ic lắp vỏi nh% diắn gúc t thúa món cot 2 y
+ 2 cot 2 sin 2 y2 cot 2 x cos β cot 2 x 2
Chúng minh (1) Trên giao Id cna cỏc mắt phang phõn giỏc nh% diắn canh
Ia, Ib, Ic lay điem E Ha
EH⊥(Ibc) và HM⊥Ib, HN⊥Ic vói H ∈ (Ibc),
M ∈ Ib, N ∈ Ic Vói EH = r có EM⊥Ib, EN⊥Ic, HM = r cot 2 ,
2HM.HN cos α suy ra 2
2 Tương tn, MI r co t cot γ +
. T ư ơ ng tn có cá c đo n ng h c o t
=T ươ ngtn ta có các đong nhat thúc còn lai.
Vớ dn 3.1.3 Cho gúc tam diắn Iabc vúi cỏc gúc phang ∠bIc = α,
∠cIa (bIc), (cIa), (aIb), tương ỳng là α 1, β 1, γ 1; kớ hiắu so đo gúc nh% diắn canh β, ∠aIb = γ Kớ hiắu so đo gúc giua cỏc canh Ia, Ib,
Ic vúi cỏc mắt Ia, Ib, Ic là x, y, z Khi đú cú cỏc ket qua sau đây sin α 1 sin α = sin β 1 sin β = sin γ 1 sin γ sin α 1 sin x = sin β 1 sin y = sin γ 1 sin z.
sin x √1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ
1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ sin γ sin α
1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ sin α sin β
√1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ ≤ sin α
Bài giai (1) Lay A ∈ Ia , B ∈ Ib , C ∈ Ic vói IA = IB = IC = 1.
Khi đó 6V IABC = 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ Ha
AH⊥(bIc) cho thấy AH = sin α 1 Từ AH.S BIC = 3V IABC, suy ra sin α 1 sin α = 6V IABC Tương tự, chúng ta cũng có sin β 1 sin β = 6V IABC và sin γ 1 sin γ Do đó, ta có mối quan hệ giữa các sin: sin α 1 sin α = sin β 1 sin β = sin γ 1 sin γ Cuối cùng, mối quan hệ này được suy ra từ Định lý 1.2.1.
%nh lý Cosin cho gúc tam diắn và Đ%nh lý 1.4.1, Đ%nh lý Sin cho gúc tam diắn.
(2) De dàng chi ra sin x sin β sin γ = sin y sin γ sin α = sin z sin α sin β = 6V IABC
Vắ y sin x √1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ
1 − cos 2 α − cosγ 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ si n γ si n α
+ sin β + sin γ “ sin α 1 sin α + sin β 1 sin β + sin γ 1 sin γ nên có bat ta đang thúc s i n α + sin β + sin γ
Bát đang thúc cần chứng minh một mối quan hệ trong ba bát đang thúc, không chỉ đơn thuần là bát đang thúc đau Do đó, bát đang thúc cần chứng minh tương đương với công thức sin α + sin β − sin γ “ 6V IABC hay sin α + sin β − sin γ “ √.
Công thức (1 + sin α sin β)² = [cos² α cos² β + (sin α sin β)²][cos² γ + sin² γ] cho thấy sự biến đổi tương đương 1 + sin α sin β = cos α cos β cos γ + (sin α + sin β) sin γ Điều này giúp đơn giản hóa các biểu thức liên quan đến sin và cos trong toán học.
Phương pháp the tích
Để nghiên cứu cấu hình hình học, chúng ta cần áp dụng phương pháp đơn giản sau: Phương pháp thể tích, sử dụng để giải bài toán hình trong không gian thông qua thể tích của một khối nào đó Ý tưởng chính của phương pháp này là xác định một khối đa diện (K) với thể tích V Sau đó, chia nhỏ khối này thành các khối nhỏ hơn với thể tích V1, , Vr Từ V = V1 + + Vr, chúng ta có thể suy ra lời giải, chia khối (K) thành nhiều khối nhỏ một cách hợp lý và giải quyết bài toán.
Mắnh đe 3.2.1 đề cập đến việc tính thể tích V của tỳ diắn ABCD với các diện tích bốn mặt s_a, s_b, s_c, s_d và chiều cao h_a, h_b, h_c, h_d Ngoài ra, các bán kính mắt cầu ngoài, bên trong và bán kính tiếp xúc được ký hiệu là R, r, r_a, r_b, r_c, r_d Việc xác định thể tích này là rất quan trọng trong các ứng dụng hình học và kiến trúc.
6 x 4 y 4 z 4 1 hắ TQ a đđ trnc chuan Oxyz.
Chỳng minh (2) GQI I là tõm mắt cau nđi tiep trong tỳ diắn Ta cú
V ABCD = V IABC + V IABD + V IACD + V IBCD s a r s b r s c r s d r
(3) GQI J là tõm mắt cau bàng tiep tỳ diắn nam trong gúc tam diắn đinh
V ABCD = V JABD + V IABC + V JACD − V JBCD
Chúng minh tương tn cho các đong nhat thúc còn lai.
Mắnh đe 3.2.2 Cho tỳ diắn SABC Vỏi A J ∈ SA, B J ∈ SB, C J ∈ SC ta có ty so the tích
Chỳng minh Đắt a = SA, b = SB, c = SC, a J = SA J , b J = SB J , c J = SC J Đắt V J = V SA J B J C J , V = V SABC Theo Vớ du 3.1.2 ta cú ty so the tích
Do vắy V S.A J B J C J SA J SB J SC J
Vớ dn 3.2.1 Vúi tỳ diắn ABCD luụn cú hai đong nhat thỳc sau đõy
3 3 h a sr tn ta cũng có 1 = s b
C®ng ve theo ve ta đưoc h b sr h c sr h d sr
. h a h b h c h d sr sr sr sr sr r
Ta chúng minh đong nhat thúc thú hai Dna vào công thúc the tích, ta có V = (s −
C®ng ve theo ve, ta đưoc r c sr r d sr
r a r b r c r d sr sr sr sr sr r
Bây giò ta đi chúng minh bat đang thúc h a + h b + h c + h d “ 16r.
1 1 1 1 Áp dung bat đang thúc Cauchy cho b® s a , s b , s c , s d và b®, a
Vớ dn 3.2.2 Cho tỳ diắn A 1 A 2 A 3 A 4 Chỳng minh rang, vói bat kỳ điem
O ta luôn có bat đang thúc
Bài giai Dnng hắ TQA đđ Oxyz Vúi A i (x i , y i , z i ), i = 1, 2, 3, 4 ta có y z 4
1 i=1 theo bat đang thúc Hadamard
Gia su đie m No tron g góc tamdiắn và mắt phang
Bài giai GQI khoang cách tù N đen (SBC), (SCA), (SAB) là a, b, c, tương ỳng và đắt SA x, SB = y, SC = z Khi đó a, b, c là hang so và ta có
Mắt khỏc, ta lai cú
6 V theo Ví du 3.1.2, trong đó α = ∠BSC, β = ∠CSA, γ = ∠ASB Khi đó ty so the tích can tính đưoc bieu dien
6(1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ) là m®t hang so. abc
Vớ dn 3.2.4 Cho điem O o trong tỳ diắn ABCD Mđt mắt phang (P
) qua O cat AB, AC, AD Kớ hiắu khoang cỏch tự A, B, C, D đen (P ) là t a , t b , t c , t d , tương úng Chúng minh rang t a V OBCD = t b V OCDA + t c V ODAB + t d V OABC
Bài giai Dnng hắ TQA đđ Oxyz đe O(0, 0, 0), P : z = 0 và
A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), C(x 3 , y 3 , z 3), D(x 4 , y 4 , z 4) vói t a = z 1 > 0, t b = −z 2 > 0, t c = −z 3 > 0, t d = −z 4 > 0 Quy ưúc the tớch tỳ diắn đưoc tớnh qua đ%nh thỳc theo quy tac bàn tay phai
Như vắy, hiắu T = t a V OBCD − t b V OCDA − t c V ODAB − t d V OABC đỳng bang x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1
x 4 y 4 z 4 z 4 Tóm lai t a V OBCD = t b V OCDA + t c V ODAB + t d V OABC
Vớ dn 3.2.5 Cho tỳ diắn ABCD GQI A 1 , B 1 , C 1 , D 1 là TRQNG tõm cỏc mắt
BCD, CDA, DAB, ABC, tương úng Chúng minh rang vói bat kỳ điem
O o bờn ngoài tỳ diắn ABCD cú mđt cỏch cHQN thớch hop u, v, t ∈ {1,
|V OB 1 C 1 D 1 + uV OC 1 D 1 A 1 + vV OD 1 A 1 B 1 + tV OA 1 B 1 C 1 |
Bài giai Dnng hắ TQA đđ Oxyz đe O(0, 0, 0), A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), C(x 3 , y 3 , z 3) và D(x 4 , y 4 , z 4) TQA đđ TRQNG tõm cỏc mắt cna tỳ diắn ABCD
X Y Z 1 1 x 1 y 1 z 1 1 1 vúi viắc cHQN dau ± mđt cỏch thớch hop Tự ra x2 y2z2 1 1 = 0 suy x 3 y 3 z 3 1 1 x 4 y 4 z 4 1 1 x 1 y 1 z 1
Do vắy ±V ABCD ±27V OB 1 C 1 D 1 ±27V OC 1 D 1 A 1 ±27V OD 1 A 1 B 1 ±27V OA 1 B 1 C 1 = 0.
Tù đó suy ra ket qua: Ton tai m®t cách thích hop u, v, t ∈ {1, −1} đe
|V OB 1 C 1 D 1 + uV OC 1 D 1 A 1 + vV OD 1 A 1 B 1 + tV OA 1 B 1 C 1 | 27V ABCD
Ví dn 3.2.6 Cho hình chóp tú giác SABCD vói ABCD là m®t hình bỡnh hành Mắt phang (P ) cat bon canh bờn SA, SB, SC và SD tai
A J , B J , C J , tương úng Khi đó ta có đong nhat thúc
Bài giai Đắt V = V SABCD Theo Mắnh đe 3.2.2 ta cú ty so the tớch
= Tự hai hắ thỳc này ta suy ra hắ
V SA SD SC thúc 2V SA J B J C J D J
+ 2V SA J C J D J SA J SB J SC J SA J SD J SC J
SA SB SC SA SD SC hay 2V SA J B J C J D J SA J SB J SC J SD J
Tù nhung hắ thỳc này suy ra
Ví dn 3.2.7 Cho hình chóp tú giác SABCD vói đáy
ABCD là một hình bình hành với GQI N là trung điểm của cạnh SC Giả sử mặt phẳng (P) đi qua AN và cắt các đoạn SB, SD tại M và K tương ứng Khi đó, ta có một tỷ lệ liên quan đến thể tích.
Su dung phươn g pháp the tích đưoc
Ví dn 3.2.8 Cho tỳ diắn S.ABC và M là m®t điem bat kỳ nam trong tỳ diắn
Mắt phang (P ) tùy ý qua M cat các canh SA,
SB, SC lan lưot tai A 1 , B 1 , C 1 Đắt V,
V a , V b , V c lan lưot là the tớch cỏc tỳ diắn
SABC, SMBC, SMCA và SMAB Chúng minh rang, ta luôn có
Bài giai GQI S 1 = SM ∩ (ABC) Theo công thúc tính ty so the tích
Tù đó suy ra V SA 1 B 1 C 1 = V SA 1 B 1 M + V SB 1 C 1 M + V SA 1 C 1 M hay
Tự cỏc hắ thỳc đó đat đưoc suy ra
SC SA SB c SA SC b SB SC a hay V =SA
3.3 Mđt so bat đang thẫc trong tẫ diắn
Vớ dn 3.3.1 Cho tỳ diắn ABCD nđi tiep trong hỡnh cau tõm O vúi bỏn kớnh R Kớ hiắu DA = a, DB = b, DC = c và cỏc gúc phang ∠BDC
∠CDA = β và ∠ADB = γ GQI G là TRQNG tâm O ABC và DG m d cat mắt cau ngoai tiep tỳ diắn tai I Khi đú cú cỏc ket qua sau đõy
(1) Đong nhat thúc a 2 + b 2 + c 2 = 3DG.DI và suy ra a 2 + b 2 + c 2 ™
(2) Kớ hiắu ba canh cũn lai cna tỳ diắn là x, y, z GQi m a , m b , m c , m d là nhung khoang cỏch tự đinh đen TRQNG tõm mắt đoi diắn Khi đú
Khoảng cách giữa các trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, AC, BD, AD và BC được ký hiệu lần lượt là d1, d2, d3 Khi đó, tổng các khoảng cách d1, d2 và d3 sẽ bằng R nhân với tổng các khoảng cách từ điểm J đến các điểm A, B, C và D.
Từ đây, ta có thể suy ra rằng a² + b² + c² = 3m² + GA² + GB² + GC² GQI M là trung điểm của cạnh BC và E là giao điểm của AM với đường vuông góc tại A Do đó, ta có công thức a² + b² + c² = 3m² + GA² + 2GM² + 2AM.ME, hoặc có thể viết lại dưới dạng a² + b² + c² = 3m² + 3GA.GE.
Vì GA.GE = GD.GI nên a 2 + b 2 + c 2 = 3m 2 + 3GD.GI 3DG.ID.
Tương tn se cú cỏc hắ thỳc khỏc Tự đú suy ra a 2 + b 2 + c 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 9
(m 2 + m 2 + m 2 + m 2 ) và tù (1) suy ra bat đang thúc 4 a b c d a 2 + b 2 + c 2 + x 2 + y 2 + z 2 ™ 3R(m a + m b + m c + m d ).
4(d 2 + d 2 + d 2 ) ™ 4R(JA + JB + JC + JD) hay 1 2 3 d 2 + d 2 + d 2 ™ R(JA + JB + JC + JD).
Vớ dn 3.3.2 Cho tỳ diắn ABCD nđi tiep trong hỡnh cau tõm O bỏn kớnh
(DO) cat cỏc mắt tỳ diắn o A 1 , B 1 , C 1 , D 1 Chỳng minh bat đang thỳc
R Gia su O o trong tỳ diắn và cỏc đưũng thang (AO), (BO), (CO) và sau 16
Bài giai De dàng suy ra OA 1
O ABC trong mắt phang (P ) vói BC = a, CA
= b,AB = c Gia su hình chóp SABC có đ® dài đưòng cao SH = h không đői.
Tỡm giỏ tr% nho nhat cna diắn tớch xung quanh P cna hình chóp SABC.
Bài giải cho kỷ hà học liên quan đến đường cao SH trong tam giác ABC được trình bày như sau: Công thức 2P = a√(x² + h²) + b√(y² + h²) + c√(z² + h²) cho thấy mối quan hệ giữa các cạnh x, y, z và độ dài đường cao h Theo đó, ax + by + cz = 2s = 2rp, trong đó s là diện tích của tam giác và P là bán kính đường tròn ngoại tiếp Từ đó, ta có thể suy ra công thức 2P = √(a²x² + a²h²) + √(b²y² + b²h²) + √(c²z² + c²h²), giúp tính toán các yếu tố hình học trong tam giác.
"=" xay ra khi và chi khi x = y = z = r Tóm lai
P min = p√ r 2 + 4h 2 khi H là tâm dưòng tròn n®i tiep trong O ABC.
Vớ dn 3.3.4 Cho tỳ diắn ABCD vúi DA = a > 0 và tat ca các canh còn a 3 lai đeu không lón hơn a Khi đó V ABCD ™
Bài giai Đắt b = BC Khi đú b ™ a Ha DH ⊥
Ha AN ⊥ BC Ta cũng có AN ™ a 2
BC = 6DH.AN.BC suy ra
Vớ dn 3.3.5 Cho tỳ diắn ABCD Gia su B 1 ∈ AB, C 1 ∈ AC, D 1 ∈ AD và A 1 là điem thu®c mien tam giác B 1 C 1 D 1 Ta có bat đang thúc
Bài giai Tù tích ty so the tích
V BC 1 D 1 B 1 V BC 1 D 1 A V ABCD S C 1 D 1 B 1 AB AC AD và các ty so the tích khác, suy ra
Cđng ba bat đang thỳc, ve theo ve, ta nhắn đưoc bat đang thỳc ngay sau đây
Vúi tỳ diắn ABCD ta cú bat đang thỳc và đong nhat thỳc sau
Vớ dn 3.3.6 Vúi điem M nam ngoài tỳ diắn ABCD, nhưng trong gúc tam diắn đinh A ta luụn luụn cú
MB.V MCDA + MC.V MDAB + MD.V MBCA “ MA.V MBCD
Bài giai Tù đong nhat thúc
A.V M BCD theo Mắnh đe 3.2.2 ta suy ra ngay bat đang thỳc sau đõy
MB.V MCDA + MC.V MDAB + MD.V MBCA “ MA.V MBCD
3.4 M®t vài van đe tong hap
3.4.1 Tam diắn vuụng và tam giỏc NHQN
Mắnh đe 3.4.1 Gia su tỳ diắn OABC vỏi OA = a, OB = b, OC = c và
OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA Khi đó ta có
(1) O ABC là m®t tam giác NHQN
Mắnh đe 3.4.2 Tỳ diắn OABC cú OA = a, OB = b, OC = c và
OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA Khi đó ta có
Hắ qua 3.4.1 Vỏi tam giỏc NHQN ABC ta luụn luụn cú ba so thnc x, y, z
Chỳng minh Đắt u = BC, v = CA, t = AB Xột hắ b 2 + c 2 = u 2 c 2 + a 2 = v 2 a 2 + b 2 = t 2
Vì tam giác ABC NHQN nên u 2 + v 2 > t 2 , v 2 + t 2 > u 2 , t 2 + u 2
Do vắy hắ luụn cú nghiắm a, b, c Tỳ diắn OABC vúi OA = a, OB b,
OC = c thoa món OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA Đắt x b
Vúi bat kỳ tỳ diắn ABCD có hình dạng AA 1 BB 1 Để tạo một đường chéo từ AB đến CD, hãy nhấn AB để làm một đường thẳng trên AA 1 BB 1 và nhấn CD để tạo một đường chéo tại đáy dưới CC 1 DD 1.
(1) Góc giua AB và CD đúng bang góc giua AB và A 1 B 1 và A 1 B 1 //CD,
(2) Khoang cách giua AB và CD đúng bang đ® dài đưòng cao hình h®p.
Hình 14. Đú là khoang cỏch giua hai mắt phang AA 1 BB 1 và CC 1 DD 1.
Vớ dn 3.4.1 Cho tỳ diắn ABCD vúi đđ dài canh a = AB, b = CD và gúc α = ∠(AB, CD) Chỳng minh rang, the tớch tỳ diắn ABCD bang
1abd sin α khi khoang cách giua AB và CD bang d.
Hình hộp AA 1 BB 1 C 1 CD 1 D có hai đường chéo ở đáy là CD = b và C 1 D 1 = AB = a, với góc ∠(CD, C 1 D 1) = α Chiều dài của một đường cao hình hộp là d Do đó, công thức tính thể tích hình hộp là.
V Tự đú suy ra cụng thỳc tớnh the tớch tỳ diắn
Vớ dn 3.4.2 Cho tỳ diắn ABCD vúi đđ dài canh AB = CD = a,
BC = DA = b và CA = BD = c Hóy tớnh the tớch tỳ diắn ABCD và tích T = cos ∠(AB, CD) cos ∠(BC, DA) cos ∠(CA, BD).
Bài giải cho hình hộp chữ nhật AA 1 BB 1 C 1 CD 1 D cho thấy rằng hình hộp này có 6 mặt, tất cả đều là những hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật được định nghĩa bởi các kích thước x = AC 1, y = C 1 C và z = AB 1 Theo định lý Pythagore, ta có các mối quan hệ: y^2 + z^2 = a^2, z^2 + x^2 = b^2, và x^2 + y^2 + c^2 = c^2 Từ đó, ta có thể suy ra giá trị của a^2.
Vắy the tớch V ABCD = xyz hay cụng thỳc tớnh the tớch tỳ diắn
Ta lai cú cỏc hắ thỳc cos ∠(AB, CD)
= a 2 , cos ∠(BC, DA) 2 2 b 2 và cos ∠(CA, BD)
Vớ dn 3.4.3 [Pompiu] Cho tỳ diắn gan đeu ABCD Chỳng minh rang vói bat kỳ điem P ta luôn có
Để tạo hình ảnh hấp dẫn, các cặp cạnh đối diện của hình hộp phải không song song với các mặt đối diện của hình hộp Điều này giúp đảm bảo sự cân đối và hài hòa trong thiết kế.
Vỡ tỳ diắn gan đeu nờn hỡnh hđp vựa dnng là mđt hỡnh hđp chu nhắt Do vắy cú the dnng hắ TQA đđ Oxyz sao cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0),
D(a; b; c) Gia su P (x; y; z) Khi đó PD 2 ™ PA 2 + PB 2 + PC 2 tương đương vói bat đang thúc luôn đúng 0 ™ 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 Các bat đang thúc còn lai đưoc chúng minh tương tn.
Khi giải quyết bài toán về tỷ diện, các dự kiến cần liên quan đến tổng các góc phẳng hoặc tổng các cạnh Việc phân tích tỷ diện là rất quan trọng trong việc hiểu rõ cấu trúc hình học và các mối quan hệ giữa các yếu tố trong không gian.
2 là trai phang tỳ diắn đú lờn mđt mắt phang) sao cho phự hop se cho ta m®t lòi giai GQN gàng và de hieu.
Cho tỳ diắn gan đeu ABCD với AB = CD = b, AC = BD = c và AD = BC = d Cần xác định vị trí điểm M thuộc AB để chu vi tam giác MCD đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giai Trai mắt DAB xuong mắt phang (ABC) đe đưoc hỡnh bỡnh hành ACBE, trong đú O ABE =O ABD (Hỡnh 15) Vắy MC + MD
2c 2 + 2d 2 − b 2 Vắy chu vi tam giỏc MCD nho nhat đỳng bang b + √
2c 2 + 2d 2 − b 2 khi M là trung điem AB.
Vớ dn 3.4.5 Cho tỳ diắn ABCD vúi AC = AD = BC = BD = 1 và
Để xác định vị trí điểm P thuộc cạnh AD sao cho chu vi tam giác PMN là nhỏ nhất, ta cần tìm trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD, với GQI M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD Việc tối ưu hóa chu vi tam giác PMN sẽ giúp chúng ta xác định được vị trí lý tưởng của điểm P.
Bài giai Trai mắt ACD xuong mắt phang (ABD) đe đưoc tỳ giỏc loi
ABDF , trong đó O ACD =O AFD.
GQI L là trung điem canh F D Vắy P M + P N = P M + P L “
ML Vắy, chu vi tam giỏc MNP nho nhat khi P ∈ ML Vỡ tỳ giỏc
Hình 16. tiep trong đưòng tròn nên ML.AD = AM.DL + MD.AL hay
Chu vi tam giác PMN nho nhat bang ab + √
(4 − a 2 )(4 − b 2 ) và ∠ASB + ∠BSC + ∠CSA = 180 0 Chúng minh rang hình chóp là m®t Ví dn 3.4.6 Hình chóp tam giác SABC thoa mãn S SAB
= S SBC = S SCA tỳ diắn gan đeu.
Bài giải: Đặt A = SA, B = SB, C = SC Vẽ các đường thẳng theo các cạnh SA, AB, AC và kéo dài ra ngoài để tạo thành đa giác A1SA2CB Do đó, ta có ∠A1SB + ∠BSC + ∠CSA2 = ∠ASB + ∠BSC.
∠CSA 180 0 nên A 1 , S, A 2 thang hàng Vì S SAB = S SCA nên S SA 1 B = S SCA 2
Vì SA 1 = SA = SA 2, nên khoảng cách từ B đến C qua A 1 và A 2 là bằng nhau Do đó, BC // A 1 A 2 và suy ra BC = a = SA Tương tự, có CA = SB và AB = SC Vậy hình chóp SABC là tứ diện đều.
Luắn văn đó trỡnh bày và nhắn đưoc nhung ket qua sau đõy
M®t vài van đe tőng hop
3.4.1 Tam diắn vuụng và tam giỏc NHQN
Mắnh đe 3.4.1 Gia su tỳ diắn OABC vỏi OA = a, OB = b, OC = c và
OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA Khi đó ta có
(1) O ABC là m®t tam giác NHQN
Mắnh đe 3.4.2 Tỳ diắn OABC cú OA = a, OB = b, OC = c và
OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA Khi đó ta có
Hắ qua 3.4.1 Vỏi tam giỏc NHQN ABC ta luụn luụn cú ba so thnc x, y, z
Chỳng minh Đắt u = BC, v = CA, t = AB Xột hắ b 2 + c 2 = u 2 c 2 + a 2 = v 2 a 2 + b 2 = t 2
Vì tam giác ABC NHQN nên u 2 + v 2 > t 2 , v 2 + t 2 > u 2 , t 2 + u 2
Do vắy hắ luụn cú nghiắm a, b, c Tỳ diắn OABC vúi OA = a, OB b,
OC = c thoa món OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA Đắt x b
Vúi bất kỳ tỳ diắn ABCD, chúng ta có hình hình hộp AA 1 BB 1, C 1 CD 1 D Nhấn AB để tạo một đường chéo trên AA 1 BB 1 và nhấn CD để tạo một đường chéo dưới CC 1 DD 1.
(1) Góc giua AB và CD đúng bang góc giua AB và A 1 B 1 và A 1 B 1 //CD,
(2) Khoang cách giua AB và CD đúng bang đ® dài đưòng cao hình h®p.
Hình 14. Đú là khoang cỏch giua hai mắt phang AA 1 BB 1 và CC 1 DD 1.
Vớ dn 3.4.1 Cho tỳ diắn ABCD vúi đđ dài canh a = AB, b = CD và gúc α = ∠(AB, CD) Chỳng minh rang, the tớch tỳ diắn ABCD bang
1abd sin α khi khoang cách giua AB và CD bang d.
Hình hộp AA 1 BB 1 C 1 CD 1 D có hai đường chéo đáy CD = b và C 1 D 1 = AB = a, với góc ∠(CD, C 1 D 1) = α Độ dài của một đường cao hình hộp bằng d Do đó, thể tích hình hộp được tính bằng công thức phù hợp.
V Tự đú suy ra cụng thỳc tớnh the tớch tỳ diắn
Vớ dn 3.4.2 Cho tỳ diắn ABCD vúi đđ dài canh AB = CD = a,
BC = DA = b và CA = BD = c Hóy tớnh the tớch tỳ diắn ABCD và tích T = cos ∠(AB, CD) cos ∠(BC, DA) cos ∠(CA, BD).
Bài giải cho hình hộp chữ nhật AA 1 BB 1 C 1 CD 1 D cho thấy rằng hình hộp này có 6 mặt, tất cả đều là hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật được định nghĩa là một khối có các mặt là hình chữ nhật Đặt x = AC 1, y = C 1 C và z = AB 1, ta có các công thức tự nhiên: y^2 + z^2 = a^2, z^2 + x^2 = b^2, và x^2 + y^2 + c^2 = c^2 Từ đó, ta suy ra a^2.
Vắy the tớch V ABCD = xyz hay cụng thỳc tớnh the tớch tỳ diắn
Ta lai cú cỏc hắ thỳc cos ∠(AB, CD)
= a 2 , cos ∠(BC, DA) 2 2 b 2 và cos ∠(CA, BD)
Vớ dn 3.4.3 [Pompiu] Cho tỳ diắn gan đeu ABCD Chỳng minh rang vói bat kỳ điem P ta luôn có
Bài giải: Để tạo hình hợp lệ, các cặp cạnh đối diện phải là những đường thẳng không song song với các mặt đối diện trong hình hợp.
Vỡ tỳ diắn gan đeu nờn hỡnh hđp vựa dnng là mđt hỡnh hđp chu nhắt Do vắy cú the dnng hắ TQA đđ Oxyz sao cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0),
D(a; b; c) Gia su P (x; y; z) Khi đó PD 2 ™ PA 2 + PB 2 + PC 2 tương đương vói bat đang thúc luôn đúng 0 ™ 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 Các bat đang thúc còn lai đưoc chúng minh tương tn.
Khi giải bài toán về tỳ diện, các dự kiến cần liên quan đến tổng các góc phẳng hoặc tổng các cạnh Việc tính toán các yếu tố này là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của tỳ diện.
2 là trai phang tỳ diắn đú lờn mđt mắt phang) sao cho phự hop se cho ta m®t lòi giai GQN gàng và de hieu.
Với đoạn thẳng AB = CD = b, AC = BD = c và AD = BC = d, hãy xác định vị trí điểm M thuộc AB để chu vi của tam giác MCD đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giai Trai mắt DAB xuong mắt phang (ABC) đe đưoc hỡnh bỡnh hành ACBE, trong đú O ABE =O ABD (Hỡnh 15) Vắy MC + MD
2c 2 + 2d 2 − b 2 Vắy chu vi tam giỏc MCD nho nhat đỳng bang b + √
2c 2 + 2d 2 − b 2 khi M là trung điem AB.
Vớ dn 3.4.5 Cho tỳ diắn ABCD vúi AC = AD = BC = BD = 1 và
Để xác định vị trí điểm P thuộc cạnh AD sao cho chu vi tam giác PMN là nhỏ nhất, trước tiên ta cần xác định trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD, lần lượt là GQI M và N Việc tìm ra vị trí tối ưu cho điểm P sẽ giúp tối thiểu hóa chu vi của tam giác PMN.
Bài giai Trai mắt ACD xuong mắt phang (ABD) đe đưoc tỳ giỏc loi
ABDF , trong đó O ACD =O AFD.
GQI L là trung điem canh F D Vắy P M + P N = P M + P L “
ML Vắy, chu vi tam giỏc MNP nho nhat khi P ∈ ML Vỡ tỳ giỏc
Hình 16. tiep trong đưòng tròn nên ML.AD = AM.DL + MD.AL hay
Chu vi tam giác PMN nho nhat bang ab + √
(4 − a 2 )(4 − b 2 ) và ∠ASB + ∠BSC + ∠CSA = 180 0 Chúng minh rang hình chóp là m®t Ví dn 3.4.6 Hình chóp tam giác SABC thoa mãn S SAB
= S SBC = S SCA tỳ diắn gan đeu.
Bài toán yêu cầu tìm hiểu mối quan hệ giữa các góc trong tam giác với các điểm A, B, C và S Đặt A = SA, B = SB, C = SC, ta có thể xác định các góc ∠A1SB, ∠BSC và ∠CSA2 Đặc biệt, tổng các góc này sẽ bằng tổng ∠ASB và ∠BSC, từ đó giúp xây dựng mối liên hệ chặt chẽ giữa các điểm và góc trong hình học.
∠CSA 180 0 nên A 1 , S, A 2 thang hàng Vì S SAB = S SCA nên S SA 1 B = S SCA 2
Vì SA 1 = SA = SA 2 nên khoảng cách từ B đến C bằng A 1 A 2 Do đó, BC // A 1 A 2 và suy ra BC = a = SA Tương tự, có CA = SB và AB = SC Vậy hình chóp SABC là tứ diện đều.
Luắn văn đó trỡnh bày và nhắn đưoc nhung ket qua sau đõy
1 Trỡnh bày mđt so khỏi niắm ve gúc nh% diắn - tam diắn, cỏc khoi hỡnh đa diắn, khoi đa diắn đeu Đắc biắt là mđt so đ%nh lý hay liờn quan đen gúc nh% diắn - tam diắn như đ%nh lý Sin, Cosin, Euler, Cauchy, tuy nhiên chúng minh cna các đ%nh lý này lai không đưoc giói thiắu trong cỏc sỏch giỏo khoa bang Tieng Viắt nờn rat nhieu ngưũi giang day và nghiên cúu toán HQc đã không biet đen các chúng minh cna các đ%nh lý này.
2 Dùng phương pháp TQA đ® ket hop vói công cu toán cao cap đe xây dnng cỏc đong nhat thỳc và bat đang thỳc cho nhung khoi đa diắn tőng quỏt mà thnc hiắn bang viắc ve hỡnh và dnng hỡnh thuan tỳy không the giai quyet đưoc.
3 Đưa ra các phương pháp giai bài toán hình trong không gian như phương pháp the tích, phương pháp hình h®p, trai hình khá mói me và lý thú.
4 Tuyen cHQN và giúi thiắu bài toỏn tự cơ ban đen nõng cao và khú ve hình không gian áp dung phương pháp TQA đ® đe giai quyet Nhieu bài toỏn trong luắn văn này đưoc lay ra tự cỏc đe thi HQc sinh gioi hay vô đ%ch cna các nưóc, khu vnc và quoc te.