Định lý bezout và chiều ngược lại

Đưàng cong đai so

Đưàng cong phÉc trong C 2

Gia số f(x, y) là một đa thức hai biến, không chứa hằng số, với các hệ số phức Chúng ta nói rằng f(x, y) không có thành phần bậc nếu không tồn tại khai triển: f(x, y) = g²(x, y)h(x, y), trong đó g(x, y) và h(x, y) là các đa thức và g(x, y) khác hằng số Định nghĩa 1.1.1 cho rằng gia số f(x, y) là một đa thức hai biến, không chứa hằng số, với các hệ số phức và không có thành phần bậc Khi đó, đường cong đai so phức C trong C² (hay còn gọi là đường cong affine) được định nghĩa bởi f(x, y).

Nhắn xột 1.1.1 Trong Đ%nh nghĩa cú gia thiet f (x, y) khụng cú thành phan b®i vì theo đ%nh lý Hilbert ve không điem:

Neu f (x, y) và g(x, y) là cỏc đa thỳc vúi hắ so phỳc thỡ

{(x, y) ∈ C 2 |f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ C 2 |g(x, y) = 0} neu và chi neu ton tai các so nguyên dương n và m sao cho f chia het g n và g chia het f m

Mđt cỏch tőng quỏt để định nghĩa mđt đưỡng cong đai so phỳc trong C 2 là xác định các đa thức hai biến tương đương, trong đó hai đa thức được coi là tương đương nếu và chỉ nếu mỗi đa thức bằng tích của đa thức kia với một vô hưóng Một đa thức có thành phần b®i thì đưòng cong được hiểu gần thêm b®.

Ví dn 1.1.1 Xét hai đa thúc f (x, y) = x 4 + 4x 3 y 2 + 4x 2 y 4 = x 2 (x + 2y 2 ) 2 , g(x, y) = x 4 + 2x 3 y 2 = x 3 (x +

Ta thay f 2 chia het cho g và g 2 chia het cho f do đó f và g đ%nh nghĩa cùng m®t đưòng cong đai so phúc theo nghĩa

{(x, y) ∈ C 2 |f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ C 2 |g(x, y) = 0}. Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho f (x, y) là đa thúc hai bien f (x, y) = c i,j x i y j i,j

Bắc d cua đưàng cong C = {(x, y) ∈ C 2 |f (x, y) = 0} chớnh là bắc cua đa thỳc f (x, y) Túc là: d = max{i + j|c i,j ƒ= 0}. Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho f (x, y) là đa thúc hai bien C = {(x, y) ∈ C 2 |f (x, y) 0} M®t điem (a, b) ∈ Cđưac GQI là m®t điem kì d% cua C neu

Tắp hap cỏc điem kỡ d% cua C đưac kớ hiắu bỏi Sing(C) C đưac GQI là khụng cú kỡ d

Ví dn 1.1.2 Đưòng cong C đ%nh nghĩa boi f (x, y) = y 3 − x 2 + 1 không có kì d% vì

y = 0 , nhưng điem (0, 0) không thu®c đưòng cong C.

Đường cong được định nghĩa bởi phương trình y = x³ - x² có một điểm kỳ dị tại (0, 0) Định nghĩa 1.1.4 cho biết một đường thẳng được xác định bởi phương trình tuyến tính ax + by + c = 0, trong đó a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng không.

∂ y Đ%nh nghĩa 1.1.5 M®t đa thúc n bien, khác không f (x 1 , x 2 , , x n ) đưac GQI là đa thỳc thuan nhat bắc d neu vỏi MQI λ ∈ C thỡ f (λx 1 , λx 2 , , λx n ) = λ n f (x 1 , x 2 , , x n ).

M®t cách tương đương, f có dang f (x 1 , x 2 , , x n ) = Σ c r ,r , ,r ãx x x , vái c r 1 ,r 2 , ,r n là các so phúc.

Mắnh đe sau đõy khỏ đơn gian nhưng lai rat quan TRQNG, đưoc dựng đen khỏ nhieu trong chương 2.

Mắnh đe 1.1.1 ([3], Bő đe 2.8, trang 31) đề cập đến gia su f(x, y) là một đa thức hai biến, không đồng nhất, và thuận nhạt bắc d với hệ số phức Đa thức này có thể phân tích thành tích của các đa thức tuyến tính f(x, y) = (α_i x - β_i y), với i = 1 và α, β thuộc tập hợp số phức C.

Chỳng minh Do f (x, y) là đa thỳc thuan nhat bắc d nờn: f (x, y) = Σ =0 i a i x i y d−i = y d Σ i

Cho đa thức \( P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n \), trong đó \( a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{C} \) không đồng thời bằng không Giả sử \( e \) là số lớn nhất trong tập hợp \( \{0, 1, \ldots, d\} \) sao cho \( a_e \neq 0 \) Khi đó, \( x^i a_i \) với \( i=0 \) là một đa thức một biến bậc \( e \), và nó có thể phân tích thành tích của các yếu tố dạng \( (x - \lambda_i) \) với \( \lambda_i \in \mathbb{C} \).

Do đó ta có đieu phai chúng minh. r 1 r 2 r n

Do f (x, y) là m®t đa thúc nên nó có khai trien Taylor huu han f (x, y) tai điem (a,b) bat kỳ. i≥ Σ 0,j

∂x i ∂y j (a, b)(x − a) i (y − b) j i!j! Đ%nh nghĩa 1.1.6 Cho đưàng cong C đ%nh nghĩa bái f (x, y) = 0 Khi đó so b®i tai

(a, b) ∈ C là so nguyên dương m bé nhat sao cho:

∂x i ∂y j (a, b) ƒ= 0, vái i ≥ 0, j ≥ 0 và i + j = m (a, b) đưac GQI là điem b®i m Khi đó đa thúc : h(x, y) = i+ m Σ j= ∂ m f

(1.1.1) i!j! là đa thúc thuan nhat bâc m.

Theo mắnh đe 1.1.1 h(x, y) cú phõn tớch thành tớch cua m đa thỳc tuyen tớnh cú dang t(x, y) = α(x − a) + β(y − b), vái (α, β) ∈ C 2 \{(0, 0)} Các đưàng thang t(x, y) = 0 này đưac GQI là các tiep tuyen cua C tai (a, b).

Nhắn xột 1.1.3 Điem (a, b) khụng phai điem kỡ d% neu và chs neu nú là điem bđi m®t, tai điem (a, b) đó C chs có m®t tiep tuyen đưac đ%nh nghĩa bái :

M®t điem kì d% (a, b) đưac GQ i là tam thưàng neu đa thúc (1.1.1) không có thành phan bđi, tỳc là C cú m tiep tuyen phõn biắt tai (a, b).

Ví dn 1.1.3 Cho hai đưòng cong f (x, y) = 0 và g(x, y) = 0 vói: f (x, y) = x 3 + y 3 − 3xy, g(x, y) = y 2 − x 3

Hai đưòng cong này đeu có m®t điem kì d% (0, 0) Hơn nua

− nên điem kì d% đó đeu là điem b®i hai

Vói đưòng f (x, y) = 0, xét đa thúc

Vì h 1(x, y) không có thành phan b®i nên điem kì d% (0, 0) cna f = 0 là tam thưòng Hai tiep tuyen là x = 0 và y = 0.

Hình 1.1: đưòng cong f(x,y)=0 Hình 1.2: đưòng cong g(x,y)=0.

∂ 2 f y 2 2 h 2(x, y) ∂y 2 (0, 0) 2! = y h 2 có thành phan b®i nên điem kì d% (0, 0) cna g

= 0 là không tam thưòng. Đ%nh nghĩa 1.1.7 M®t đưàng cong C đ%nh nghĩa bái đa thúc f (x, y) đưac

GQI là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt khi f là một hàm bậc cao Nếu f(x, y) có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các hàm f1(x, y), f2(x, y), , fk(x, y), thì các đường cong định nghĩa bởi các hàm này được gọi là các thành phần bất khả quy của C Điều này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của hàm f trong không gian hai chiều.

Ví dn 1.1.4. a Đa thúc f (x, y) = (x − 2y) 3 là m®t đa thúc kha qui nhưng đưòng cong đ

%nh nghĩa boi nó là đưòng cong bat kha qui, vì

C 2 |x − 2y = 0} nên nó là đưòng cong bat kha qui. b Đưòng cong đ%nh nghĩa boi g(x, y) = (x − 2y)(x + 3y) là đưòng cong kha qui.

Đưàng cong xa anh phÉc trong P 2

Đường cong C trong C² không bao giờ compact, nhưng chúng ta có thể compact hóa nó bằng cách thêm vào các điểm tại vô cùng để thu được một số kết quả mong muốn.

Chang han như viắc xột giao điem cna hai đưũng cong y 2 − x 2 = −1, y = cx vói c là so phúc.

Khi c ƒ ±1 hai đưòng cong này cat nhau tai hai điem.

Ta thêm các điem tai vô cùng cna C 2 đe y 2 − x 2 = −1 và y = ±x cat nhau tai vô cùng. Đe thnc hiắn đieu này ta can đen khỏi niắm không gian xa anh.

1.2.1 Không gian xa anh phÉc Đ%nh nghĩa 1.2.1 Mđt khụng gian xa anh phỳc n chieu P n là tắp hap cỏc khụng gian con phúc môt chieu cua không gian vector C n+1

Khi n = 1 thỡ ta cú đưàng thang xa anh phỳc và khi n = 2 ta cú mắt phang xa anh phúc.

Chú ý 1.2.1 Neu V là không gian vector trên trưàng K bat kì thì không gian xa anh tương ỳng P(V ) là tắp hap cỏc khụng gian con mđt chieu cua V.

Trong đ%nh nghĩa trên thì K = C, V = C n+1 và cho đơn gian ta thưàng viet P n thay cho P(C n+1 ).

Không gian con một chiều U trong C n+1 được sinh bởi một vector khác không thuộc U Do đó, ta có thể đồng nhất P n với tất cả các lớp tương đương trong C n+1 \{0}, trong đó hai phần tử a và b được coi là tương đương nếu tồn tại một giá trị λ khác không sao cho a = λb Định nghĩa 1.2.2: Một vector bất kỳ (x0, , xn) thuộc C n+1 biểu thị cho một phần tử x của P n, và GQI (x0, , xn) là tọa độ chuẩn nhất cho x, với x được viết dưới dạng x = [x0, , xn].

P n = {[x 0 , , x n ] |(x 0 , , x n ) ∈ C n+1 \{0}} và [x 0 , , x n ] = [y 0 , , y n ] khi và chs khi ton tai λ ∈ C sao cho x i = λy i vái MQI i.

Bây giò chúng ta se trang b% đe P n tro thành m®t không gian tôpô Xét ánh xa Π : C n+1 \{0} −→ P n xác đ%nh boi: Π(x 0 , , x n ) = [x 0 , , x n ].

Trang b% cho P n m®t tôpô thương cam sinh tù tôpô thông thưòng trên C n+1 \{0}, đú là mđt tắp con A cna P n A là tắp mo khi và chi khi Π −1 (A) là tắp con mo cna

1 Mđt tắp con B cua P n là tắp đúng khi và chs khi Π −1 (B) là tắp con đúng cua

2 Π : C n+1 \{0} −→ P n là ánh xa liên tnc.

3 Neu X là m®t không gian tôpô bat kỳ thì ánh xa f : P n −→ X liên tnc khi và chs khi f ◦ Π : C n+1 \{0} −→ X liên tnc.

Tőng quỏt hơn neu A là mđt tắp con bat kỳ cua P n thỡ ỏnh xa f : A −→ X liờn tnc khi và chs khi f ◦ Π : Π −1 (A) −→ X liên tnc.

Ta đ%nh nghĩa cỏc tắp con U 0 , , U n cna P n như sau:

U i = {[x 0 , , x n ] ∈ P n |x i ƒ= 0}. Đieu kiắn x i ƒ= 0 đđc lắp vúi viắc c HQN cỏc TQA đđ thuan nhat và Π −1 (U i ) = {(x 0 , , x n ) ∈ C n+1 |x i ƒ= 0} là mđt tắp con mo cna C n+1 \{0}, do đú U i là mđt tắp con mo cna

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá ánh xạ và các đặc tính của nó Ánh xạ \( (y_1, \ldots, y_n) \) được định nghĩa là ánh xạ ngược, dẫn đến một ánh xạ liên tục \( \phi_0 \) Ánh xạ này là một phần của tập hợp \( U_0 \) và được xác định bởi sự kết hợp của các ánh xạ liên tục từ \( C_n \) đến \( C_{n+1} \setminus \{0\} \) Sự liên tục và tính chất ngược của ánh xạ này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu các cấu trúc toán học phức tạp.

Do đó φ 0 là m®t đong phôi Tương tn ta có các đong phôi khác φ i : U i −→ C n xác đ%nh boi: φ [x , , x ] = x 0

Chú ý 1.2.3 Phan bù cua U n trong P n :

Rõ ràng có the đong nhat nó vái P n−1

Như vắy ta cú the xõy dnng khụng gian xa anh P n bang qui nap:

P 1 = C ∪ {∞} {∞} là m®t điem o vô cùng hay m®t ban sao cna P 0

P 2 = C 2 ∪ P 1 ,túc là C 2 vói môt "đưòng thang o vô cùng"(m®t ban sao cna P 1 ). Tőng quát hơn:

P_n là không gian projective tương ứng với một bản sao của C_n tại vô cùng Định nghĩa 1.2.3 cho phép biến đổi xa ánh của P_n là một song ánh f: P_n → P_n, sao cho với bất kỳ hàm tuyến tính α: C_{n+1} → C_{n+1} nào, ta có f[x_0, , x_n] = [y_0, , y_n], trong đó (y_0, , y_n) = α(x_0, , x_n) Điều này dẫn đến việc f ◦ Π = Π ◦ α, với Π: C_{n+1} \ {0} → P_n được định nghĩa bởi Π(x_0, , x_n) = [x_0, , x_n].

Chú ý 1.2.4 m®t phép bien đői xa anh f : P n −→ P n là m®t ánh xa liên tnc

Do f ◦ Π = Π ◦ α mà Π, α đeu liên tnc nên f liên tnc.

1.2.2 Đưàng cong xa anh phÉc trong P 2

Mắt phang xa anh P 2 là khụng gian con mđt chieu phỳc cna C 3

Tập hợp P 2 được định nghĩa là {[x, y, z]|(x, y, z) ∈ C 3 \{0}}, trong đó [x, y, z] = [u, v, w] khi và chỉ khi tồn tại một λ thuộc C\{0} sao cho x = λu, y = λv, z = λw Định nghĩa 1.2.4 cho rằng f(x, y, z) là đa thức bậc nhất ba biến x, y, z, không chứa hằng số, với các hệ số phức Nếu f(x, y, z) không có thức số bậc, thì hàm f(x, y, z) được coi là một đường cong xa x, y, z trong không gian C.

Chú ý 1.2.5 Vì f là m®t đa thúc thuan nhat nên vái MQI λ ∈ C\{0} thì f (λx, λy, λz) = 0 ↔ f (x, y, z) = 0, Nờn đieu kiắn f (x, y, z) = 0 khụng phn thuđc vào viắc CHQN TQ a đđ thuan nhat (x, y, z).

Chú ý 1.2.6 Như vái các đưàng cong trong C 2 , hai đa thúc thuan nhat không có thùa so b®i f (x, y, z) và g(x, y, z) đ%nh nghĩa cùng m®t đưàng cong xa anh trong

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm liên quan đến đa thức và đường cong Đầu tiên, một đa thức thuần nhất có thể được xem như một đường cong với các thành phần bậc Định nghĩa 1.2.5 nêu rõ rằng bắc cua của một đường cong xa ảnh C trong P 2 được định nghĩa bởi đa thức thuần nhất f(x, y, z) Hơn nữa, theo định nghĩa 1.2.6, một đường cong C được gọi là bất khả quy nếu f(x, y, z) bất khả quy, tức là f(x, y, z) chỉ có các nhân tử là hằng số và bậc vô hạn của chính nó Cuối cùng, một đường cong xa ảnh D được định nghĩa bởi một đa thức thuần nhất g(x, y, z).

GQI là một thành phần quan trọng của C, trong đó f(x, y, z) = g(x, y, z)h(x, y, z) và h là đa thức thuận nhất không phải hằng số Định nghĩa 1.2.7 nêu rõ rằng cho đường cong xa ảnh C trong P2, định nghĩa về một đa thức thuận nhất f(x, y, z) được áp dụng Điểm [a, b, c] của C được gọi là GQI nếu nó thỏa mãn điều kiện kì diệu.

Tắp hap cỏc điem kỡ d% cua C đưac kớ hiắu bỏi Sing(C) Đưàng cong C đưac

GQI là không có kì d%(trơn) neu Sing(C) = ∅.

Ví dn 1.2.1 Đưòng cong xa anh trong P 2 cho boi x 2 + y 2 = z 2 là đưòng cong trơn (không có điem kì d%).

Đường cong định nghĩa bởi phương trình y = x³ có một điểm kỳ dị tại [0, 0, 1] Theo định nghĩa 1.2.8, một đường cong xa ánh được xác định bởi phương trình tuyến tính αx + βy + γz = 0, trong đó α, β, γ ∈ C\{0} Đường tiếp tuyến tại một điểm không kỳ dị [a, b, c] của đường cong C = {[x, y, z] ∈

Đ%nh lý Bézout

Ket thÉc

Đ%nh nghĩa 2.1.1 Cho K là m®t trưàng đóng đai so (C) Hai đa thúc f, g ∈ C[X]: f (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + ã ã ã + a n vỏi a 0 ƒ 0, g(x) = b 0 x m + b 1 x m−1 + ã ã ã + b m vái b 0 ƒ 0.

Mđt ma trắn Sylvester(Syl) cua f và g theo bien x là ma trắn có (m + n) ì (m + n) đưac cho bái:

  b 0 b 1 b m n vỏi cỏc v% trớ trong trong ma trắn cú giỏ tr% bang 0.

Khi đú ket thỳc cua f và g chớnh là đ%nh thỳc cua ma trắn Sylvester

Để xác định kết thúc Res(f, g, z) của hai đa thức ba biến f và g, ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng: f(z, y, z) = a_0(x, y)z^n + a_1(x, y)z^{n-1} + + a_n(x, y) và g(z, y, z) = b_0(x, y)z^m + b_1(x, y)z^{m-1} + + b_m(x, y) Kết thúc này được định nghĩa một cách tương ứng bằng cách thay thế các hệ số a_i(x, y) và b_j(x, y) cho các chỉ số 1 ≤ i ≤ n và 1 ≤ j ≤ m.

Ví dn 2.1.1. a Cho f(x)=ax 2 + bx + c và g(x)=2ax + b.

0 2a b. b Cho f và g là đa thúc hai bien f (x, y) y 2 + yx − 3x 2 , g(x, y) = y 2 + 2xy.

Mắnh đe 2.1.1 ([3], Bő đe 3.3, trang 53) Gia su f (x) và g(x) là các đa thúc theo bien x Khi đó f (x) và g(x) có nhân tu chung khác hang so khi và chs khi

+ b m vói b là các đa thú c bắ c n và m the o bie n x

Khi hai đa thức f(x) và g(x) có một nhân tử chung h(x), tồn tại các đa thức φ(x) và ψ(x) sao cho f(x) = h(x)φ(x) và g(x) = h(x)ψ(x) Trong đó, φ(x) và ψ(x) là các đa thức khác không, với bậc tương ứng nhỏ hơn n và nhỏ hơn m Cụ thể, φ(x) có dạng α₀x^(n−1) + α₁x^(n−2) + + αₙ và ψ(x) có dạng β₀x^(m−1) + β₁x^(m−2) + + βₘ Điều này xảy ra khi và chỉ khi f(x)ψ(x) = g(x)φ(x), tương đương với (a₀xⁿ + a₁x^(n−1) + + aₙ)(β₀x^(m−1) + β₁x^(m−2) + + βₘ).

Cõn bang cỏc hắ so cna x i vúi 0 ≤ i ≤ nm − 1 trong phương trỡnh trờn ta thu đưoc: a 0 β 0 = b 0 α 0 , a 1 β 0 + a 0 β 1 = b 1 α 0 + b 0 α 1 , a 2 β 0 + a 1 β 1 + a 0 β 2 = b 2 α 0 + b 1 α 1 + b 0 α 2 ,

Xột hắ phương trỡnh tuyen tớnh

Syl t (f, g, x) ã η = 0, trong đú Syl t (f, g, x) là ma trắn chuyen v% cna Syl(f, g, x), η = (η 1 , η 2 , , η n+m ) t

Hắ phương trỡnh đưoc viet lai như sau: a 0 b 0 a 1 a 0 b 1 b 0

Nhắn thay hắ (2.1.1) tương đương vúi viắc hắ phương trỡnh tuyen tớnh thuan nhat 2.1.2 cú mđt nghiắm khỏc khụng là η = (β 0 , β 1 , , β m−1 , −α 0 , −α 1 , , −α n−1). a n

. Đieu đó xay ra khi và chi khi det(Syl t (f, g, x)) = 0.

Vắy Res(f, g, x) = det(Syl(f, g, x)) = det(Syl t (f, g, x)) = 0.

Ví dn 2.1.2. a Cho hai đa thúc m®t bien f (x) = (x + 1)(x + 2) = x 2 + 3x + 2, g(x) = x + 1.

Hai đa thúc này có m®t nhân tu chung là x + 1 khi đó

.0 1 1 b Xét xem hai đa thúc sau có nhân tu chung hay không f (x) = x 3 − 2x 2 + x −

Mắnh đe 2.1.2 ([3], Bő đe 3.4, trang 53) Gia su f (x, y, z) và g(x, y, z) là cỏc đa thúc thuan nhat khác hang so vái bien x, y, z,ngoài ra f (1, 0, 0) ƒ= 0 ƒ= g(1, 0, 0).

Khi đó f (x, y, z) và g(x, y, z) có nhân tu chung là đa thúc thuan nhat khác hang so khi và chs khi

Chúng minh Gia su f (x, y, z) và g(x, y, z) là các đa thúc thuan nhat khác hang so theo x, y, z cú bắc bang n và m sao cho f (1, 0, 0) ƒ= 0 ƒ= g(1, 0, 0).

Ta có thể xác định f(1, 0, 0) = 1 = g(1, 0, 0) Do đó, f và g được xem như các đa thức bậc n và m theo biến x, với các hệ số nằm trong vành C[y, z] (vành các đa thức biến y, z với hệ số phức) Vành C[y, z] này nằm trong trường C(y, z), chứa các hàm hữu tỉ theo y và z, tức là các hàm có dạng h₁(y, z) và h₂(y, z), trong đó h₂(y, z) không đồng nhất bằng không.

Khi xem xét các đa thức f và g như là các đa thức theo biến x với các hằng số trong vành C(y, z), điều kiện để Res(f, g, x) bằng không là f(x, y, z) và g(x, y, z) có một nhân tử chung khác hằng số Điều này chỉ xảy ra khi f và g có một nhân tử chung khi coi chúng là các đa thức theo biến x với các hằng số trong vành C[x, y] Hơn nữa, bất kỳ một đa thức thực nào cũng có một đa thức thuần nhất tương ứng Do đó, điều này cần được chứng minh.

Lớ do cú thờm đieu kiắn f (1, 0, 0) với ƒ= 0 và ƒ= g(1, 0, 0) trong mắnh đe là đe đam bao f và g giữ nguyên bắc đoi với biến x và các hắ số trong vành Đa thức f(x) = a0 x^n + a1 x^(n−1) + + a_n được gọi là đa thức đơn nếu a0 = 1 Hắ qua của bő đe Gauss được phát biểu như sau:

Cho R là một vành nhân tu hóa và K là trường thương của R Hai đa thức f(x) và g(x) trong R[x] sẽ có nhân tử chung khác hằng trong R[x] nếu và chỉ nếu chúng có nhân tử chung khác hằng trong K[x].

Bo đe 2.1.1 Gia su h(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ K[x 1 , x 2 , , x n ] là m®t đa thúc n bien

Neu h = 0 khi thay x 1 cho x 2 và giu nguyên tat ca các x i khác (i ƒ= 2) Khi đó h(x 1 , x 2 , , x n ) chia het cho x 1 − x 2

Chúng tôi chứng minh rằng hàm h(x₁, x₂, , xₙ) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các đa thức: h(x₁, x₂, , xₙ) = f₁(x₁) + f₂(x₂) + f(x₁, x₂) Trong đó, f₁(x₁) là đa thức n biến chỉ chứa biến x₁ và không chứa biến x₂, f₂(x₂) là đa thức n biến chỉ chứa biến x₂, với f₂(x₂) được xác định bởi công thức xᵐg₁ + xᵐ⁻¹g₂ + + x²gₘ, trong đó gᵢ = gᵢ(x₁, x₃, x₄, , xₙ) Cuối cùng, f(x₁, x₂) là đa thức n biến không chứa cả hai biến x₁ và x₂.

Do đó h(x 1 , x 2 , , x n ) chia het cho x 1 − x 2.

Mắnh đe 2.1.3 Gia sú f(x, y, z) và g(x, y, z) là các đa thức thuần nhất bậc n và m với biến x, y, z Kết thúc Res(f, g, z) là một đa thức thuần nhất, bậc n+m, hai biến x và y.

Kết thúc Res(f, g, z) là một đa thức thuần nhất f(x, y, z) và g(x, y, z), với n và m là bậc của các đa thức này Định thức của ma trận (n + m) x (n + m) được xác định bởi các phần tử hàng i cột j là những đa thức thuần nhất r_i,j(x, y) theo x và y, và bậc d_i,j được xác định một cách cụ thể.

Khi đó Res(f, g, z) là m®t tőng:

Res(f, g, z) Σ n Y +m sgn(σ)r iσ(i)(x, y) Σ , σ i=1 trong đó σ là m®t hoán v% cna {1, ,n+m} Moi m®t so hang như the là m®t đa thỳc thuan nhat cú bắc bang Σ n+m d iσ(i) Σ m (σ(i) − i) + Σ n+m (m + σ(i) − i) i=1 i=

Do đú Res(f, g, z) là mđt đa thỳc thuan nhat bắc nm theo x và y.

Mắnh đe 2.1.4 ([3], Bő đe 3.6, trang 53) Gia su : f (x) = (x − α 1)(x − α 2) (x − α n ), g(x) = (x − β 1)(x − β 2) (x − β m ), trong đó α 1 , α 2 , , α n , β 1 , β 2 , , β m là các so phúc thì:

Hơn nua, neu f, g 1 , g 2 là các đa thúc ba bien x, y, z thì

Chúng minh Coi f (x), g(x) là các đa thúc thuan nhat theo x, α 1 , α 2 , , α n , và x, β 1 , β 2 , , β m Khi đú theo mắnh đe (2.1.3) thỡ Res(f, g, x) là mđt đa thỳc thuan nhat theo các bien α 1 , α 2 , , α n , β 1 , β 2 , , β m

Hơn nua theo bő đe (2.1.1 ) đa thúc này bang 0 neu α i = β j vói MQI i, j (1 ≤ i ≤ nv1 ≤ j ≤ m) Vỡ vắy nú chia het cho

Do đõy cũng là mđt đa thỳc thuan nhat bắc nm theo α 1 , α 2 , , α n , β 1 , β 2 , , β m

(β j − α i ), vói c là m®t vô hưóng nào đó.

Neu β 1 = β 2 = ã ã ã = β m = 0 hay g(x) = x m , f (x) = (x − α 1)(x − α 2) (x − α n ) = x n + ã ã ã + (−1) n α 1 α 2 α n thỡ ket thỳc cna f và g là đ%nh thỳc cna ma trắn tam giỏc, vúi đưũng chộo chớnh là

Do đó vô hưóng c = 1 nên

Ta cũng suy ra ngay Res(f, g 1 g 2 , x) = Res(f, g 1 , x)Res(f, g 2 , x) vói f, g 1 , g 2 ∈ C[x]. Vói f, g 1 , g 2 là hàm ba bien thì

Res(f, g 1 g 2 , x)(b, c) = Res(f, g 1 , x)(b, c) ã Res(f, g 2 , x)(b, c) vúi MQI b, c ∈ C Vỡ vắy :

B®i giao

Chúng ta sẽ định nghĩa bài toán giao của hai đường cong C và D tại điểm p = [a, b, c] trong không gian P2 Việc này được thực hiện thông qua việc xác định hai đa thức để tìm ra giao điểm của hai đường cong trong mặt phẳng TQA thích hợp.

Hắ TQA đđ xa anh đú đưoc cHQN sao cho cỏc đieu kiắn:

2 [1, 0, 0] khụng nam trờn đưũng thang nào noi hai điem phõn biắt, bat kỳ cna

3 [1, 0, 0] không nam trên đưòng tiep tuyen cna C hay D tai bat kỳ điem nào cna

C ∩ D, đưoc thoa mãn. Đ%nh nghĩa 2.2.1 Cho C và D là hai đưàng cong trong P 2 , p = [a, b, c] Khi đó:

• Neu p nam trên m®t thành phan chung cua C và D thì I p (C ∩ D) = ∞.

• Neu p không nam trên C ∩ D thì I p (C, D) = 0.

• Neu p nam trên C ∩ D nhưng không nam trên thành phan chung nào cua C và

D f (x, y, z) và g(x, y, z) là hai đa thúc xác đ%nh hai đưàng cong C và D khi đó bú đi cỏc thành phan chung (neu cú) C HQN hắ TQ a đđ sao cho cỏc đieu kiắn 1 đen 3 đưac thúa món Neu p = [a, b, c] trong hắ TQ a đđ này thỡ I p (C,

D) là so nguyên lán nhat k sao cho (bz − cy) k chia het Res(f, g, x).

Mắnh đe 2.2.1 ([3], Đ%nh lý 3.18, trang 59) Cho hai đưàng cong xa anh C và D trong P 2 , Khi đó:

(ii) I p (C, D) = ∞ neu p nam trên m®t thành phan chung cua C và D, còn ngưac lai thì nó là m®t so nguyên không âm.

(iii) I p (C, D) = 0 khi và chs khi p ∈/ C ∩ D.

(iv) Hai đưàng thang phõn biắt cat nhau tai mđt điem duy nhat, tai đú so giao bang m®t.

(v) Neu C 1 và C 2 đ%nh nghĩa bái các đa thúc thuan nhat f 1(x, y, z) và f 2(x, y, z) và

(vi) Neu C và D đ%nh nghĩa bỏi cỏc đa thỳc thuan nhat f (x, y, z) và g(x, y, z) bắc n và m, và E đ%nh nghĩa bái f (x, y, z)r(x, y, z) + g(x, y, z) trong đó r(x, y, z) là đa thúc thuan nhat bac m − n thì

Chỳng minh (i) Đõy là mđt hắ qua trnc tiep cna tớnh chat đ%nh thỳc cna mđt ma trắn đői dau khi chuyen cho hai hàng cho nhau

(ii) và (iii) Đưoc suy ra trnc tiep tù đ%nh nghĩa.

(iv) Gia su hai đưũng thang phõn biắt đú là f = a 1 x+b 1 y +c 1 z và g = a 2 x+b 2 y +c 2 z.

Theo đ%nh nghĩa thì b®i giao tai điem giao cna hai đưòng thang này bang m®t.

(v) Theo mắnh đe (2.1.4) thỡ Res(f 1 f 2 , g, x) = Res(f 1 , g, x)Res(f 2 , g, x) tự đú suy ra luôn

là các đa thúc thuan nhat Ta có f.r = a 0(y, z)x n + ã ã ã + a n (y, z) c 0(y, z)x m−n + ã ã ã + c m−n (y, z)

Do đú f ã r + g là mđt đa thỳc bắc m.

Định thức Res(f, f.r + g, x) được xác định từ định thức Res(f, g, x) thông qua quy trình sau: giữ nguyên m hàng đầu, và đối với m hàng sau, thực hiện phép biến đổi hàng(m+i) → hàng(m+i) + hàng(i) với các điều kiện hàng(i) = 0 và hàng(i+1) = 1, đồng thời hàng(i+m−n) = m−n với 1 ≤ i ≤ n.

Vỡ đ%nh thỳc cna mđt ma trắn khụng thay đői neu ta cđng vào mđt hàng boi tích cna m®t vô hưóng vói m®t hàng khác nên

1 Ton tai duy nhat b®i giao I p (C, D) đ%nh nghĩa cho tat ca đưàng cong xa anh C và D thúa món mắnh đe trờn (chỳng minh xem tai tài liắu tham khao [3] chương

2 Thắt ra tat ca khang đ%nh trong chương này đeu cú the phỏt bieu van đỳng vỏi nhung đưàng cong có thành phan b®i.

Ví dn 2.2.1 Tính b®i giao tai điem (0, 0) cna hai đưòng cong C và D đ%nh nghĩa boi hai đa thúc f (x, y) = (x 2 + y 2 ) 3 − 4x 2 y 2 , g(x, y) = (x 2 + y 2 ) 3 − x 2 y 2

Ta thnc hiắn theo hai cỏch sau:

Cách 1: su dung đ%nh nghĩa.

Ta thuan nhat hóa hai đa thúc f và g f (x, y, z) = (x 2 + y 2 ) 3 − 4x 2 y 2 z 2 ,

CHQN hắ TQA đđ thoa món cỏc đieu kiắn tự 1 đen 3 Ta cú

Cỏch 2: su dung mắnh đe 2.2.1.

Hình 2.1: Đo th% cna hai đưòng cong C và D.

Đ%nh lý Bézout

Đ%nh lý 2.3.1 ([3], Đ%nh lý 3.8, trang 54) Hai đưàng cong xa anh C và D bat kỳ trong P 2 giao nhau ít nhat tai m®t điem.

Chúng minh Gia su C và D đưoc đ%nh nghĩa boi các đa thúc thuan nhat f (x, y, z) và Q(x, y, z) bắc n và m.

Theo mệnh đề (2.1.3), kết thúc của Res(f, g, x) là một đa thức thuần nhất bậc m với các biến y và z Do đó, theo mệnh đề (1.1.1), Res(f, g, x) có thể bằng không hoặc là tích của một đa thức phụ thuộc vào tuyến tính (bz - cy) với b, c là các số phức, không đồng thời bằng không.

Vói ca hai trưòng hop thì đeu ton tai (y, z) = (b, c) ∈ C 2 \{(0, 0)} đe Res(f, g, x) bang không Tù đó

Theo mắnh đe (2.1.1 ) thỡ hai đa thỳc f (x, b, c) và g(x, b, c) cú mđt ngiắm chung a ∈

Với các điểm [a, b, c] thuộc giao của hai đường cong C và D, chúng ta cần chứng minh điều này Theo Định lý 2.3.2 (tham khảo Định lý 3.9, trang 54, Định lý Bézout), nếu hai đường cong C và D trong P2 có bậc tương ứng là n và m và không có thành phần chung, thì chúng sẽ giao nhau tại nhiều nhất mn điểm.

Chứng minh rằng hai đường thẳng C và D giao nhau tại ít nhất một điểm Gọi T là tập hợp các điểm phân biệt trong C ∩ D Khi đó, ta có thể chọn được một điểm trong P2 không nằm trên C ∪ D hoặc bất kỳ trong số hữu hạn các đường thẳng trong.

P 2 đi qua hai điem phõn biắt cna T Dựng mđt phộp bien đői xa anh chỳng ta cú the gia thiet điem này là [1, 0, 0].

Do đó các đưòng cong C và D đ%nh nghĩa boi các đa thúc thuan nhat f (x, y, z) và g(x, y, z) bắc n và m sao cho f (1, 0, 0) ƒ= 0 ƒ= g(1, 0, 0).

Theo mắnh đe (2.1.3), Res(f, g, x) là một đa thức thỏa mãn điều kiện nhất bắc mn, biến y và z Theo mắnh đe (1.1.1), Res(f, g, x) không bằng không nếu và chỉ nếu nó bằng tích cna mn nhân với tuyến tính dạng bz − cy, với (b, c) thuộc C² \{(0, 0)}.

Gia su Res(f, g, x) bang tích cna mn nhân tu tuyen tính dang bz − cy (∗)

Neu (b, c) ∈ C 2 \{(0, 0)} thì bz − cy là m®t nhân tu cna Res(f,g,x) khi và chi khi ket thúc

Theo mắnh đe (2.1.1) thỡ đieu này tương đương vúi viắc ton tai a ∈ C sao cho f (a, b, c) = g(a, b, c) = 0.

Nếu [α 1, β 1, γ 1] thuộc T, thì f(α 1, β 1, γ 1) = g(α 1, β 1, γ 1) = 0, với β 1 và γ 1 không đồng thời bằng không (do [1, 0, 0] không thuộc T) Do đó, β 1z - γ 1y là một nhân tử của Res(f, g, x) Hơn nữa, nếu [α 2, β 2, γ 2] thuộc T và khác [α 1, β 1, γ 1], thì β 1z - γ 1y không thể viết dưới dạng k(β 2z - γ 2y) với k là một hằng số nào đó, vì nếu không thì [α 1, β 1, γ 1] và [α 2, β 2, γ 2] sẽ có mối quan hệ khác.

Trên mặt đường thang trong P 2, định nghĩa boi bz = cy và mâu thuẫn với giả thiết điểm [1, 0, 0] cho thấy rằng Res(f, g, x) có mn + 1 nhân tử tuyến tính phân biệt Điều này chứng tỏ rằng Res(f, g, x) phải đồng nhất bằng không Theo mệnh đề (2.1.2), C và D có thành phần chung, điều này là vô lý, do đó chúng ta cần phải chứng minh điều này.

Hắ qua 2.3.1 ([3], Hắ qua 3.10, trang 55).

(a) Mői đưàng cong xa anh trơn C trong P 2 luôn bat kha qui.

(b) Mői đưàng cong xa anh C bat kha qui trong P 2 đeu có huu han điem kì d%

C = {(x, y, z) ∈ P 2 |f (x, y, z)g(x, y, z) = 0} là m®t đưòng cong trơn, kha qui trong P 2 Theo đ%nh lý (2.3.1) thì ton tai ít nhat m®t điem [a, b, c] ∈ P 2 sao cho f (a, b, c) = 0 = g(a, b, c).

Tương tn ta cũng có ∂(fg)

Do đú [a, b, c] là điem kỡ d% cna C mõu thuan vúi gia thiet C trơn Vắy ta cú đieu phai chúng minh.

Gia sư C được định nghĩa bởi đa thức thuận nhất f(x, y, z) bậc n Không tồn tại gia sư [1, 0, 0] thuộc C vì điều này dẫn đến hệ số cận x trong f(x, y, z) khác không Điều này đảm bảo rằng g(x, y, z) = ∂f.

Đạo hàm ∂x là một đa thức thuận nhất bậc n-1 và không đồng nhất bằng không, do đó nó xác định một đường cong D trong không gian P2 Vì C là bất khả quy và bậc của D lớn hơn bậc của C, nên C và D không có thành phần chung Theo định lý Bézout, điều này cho thấy mối quan hệ giữa các đa thức trong không gian hình học.

C và D giao nhau nhieu nhat tai n(n − 1) điem Vì MQI điem kì d% cna C đeu nam trong C ∩ D nên ta có đieu phai chúng minh.

Mắnh đe 2.3.1 ([3], Mắnh đe 3.14, trang 56) Gia su hai đưàng cong xa anh C và

Trong không gian P 2, khi hai đường thẳng D bắc n và E giao nhau tại hai điểm, và có một điểm nằm trên mặt đường cong bất kỳ, nếu m nhỏ hơn n, thì sẽ có n(n−m) điểm còn lại nằm trên mặt đường cong bắc ít nhất bằng n − m.

Chúng minh Gia su C, D và E là các đưòng cong đ%nh nghĩa boi các đa thúc thuan nhat tương úng là f (x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z) CHQN m®t điem [a, b, c] trên

Khi đó đưòng cong F đ%nh nghĩa boi g(a, b, c)f (x, y, z) − f (a, b, c)g(x, y, z) cat E tai nm + 1 điem, đó là [a, b, c] và nm điem cna C ∩D nam trên E Theo đ

Theo định lý Bézout, hai đường cong F và E phải có thành phần chung Do E là đường cong bậc không quy, thành phần chung giữa E và F phải là E Từ đó, ta có biểu thức g(a, b, c)f(x, y, z) − f(a, b, c)g(x, y, z) = h(x, y, z)t(x, y, z), trong đó t(x, y, z) là đa thức thuần nhất bậc n − m Nếu [u, v, w] thuộc C ∩ D, thì hoặc h(u, v, w) = 0 hoặc t(u, v, w) = 0 Vì có đúng n điểm của C ∩ D nằm trên E, nên n(n − m) điểm còn lại nằm trên đường cong được định nghĩa bởi t(x, y, z), bậc n − m.

Hắ qua 2.3.2 ([3], Mắnh đe 3.15, trang 57) Cỏc cắp canh đoi cua mđt hỡnh lnc giác n®i tiep trong m®t conic trong P 2 cat nhau tai ba điem c®ng tuyen.

Hình lục giác được GQI là nơi tiếp xúc trong một conic nếu tất cả các đỉnh của nó đều nằm trên conic Ba điểm trong P2 được GQI là cùng tuyến nếu chúng nằm trên một đường thẳng nào đó trong P2.

Gia sư các canh của hình lục giác là những đường thẳng liên tục được định nghĩa bởi các đa thức tuyến tính l1, l2, , l6 với các biến x, y, z Hai đường cong xa ảnh bắc ba đ.

%nh nghĩa boi l 1 l 3 l 5 và l 2 l 4 l 6 giao nhau tai sỏu đinh cna hỡnh luc giỏc và ba điem giao cna cỏc cắp canh đoi

Theo mắnh đe (2.3.1) thỡ ba điem giao này nam trờn mđt đưũng thang.

Chỳ ý 2.2.2 Khi chỳng ta xột hắ qua trờn trong khụng gian R 2 thỡ ta thu đưoc mđt đ%nh lý ve hình HQc Euclid thnc (xem hình 2.2).

Hình 2.2 minh họa định lý Bézout, trong đó giả sử C và D là hai đường cong xa ảnh trong P² với bậc n và m Nếu C và D không có thành phần chung, chúng sẽ có chính xác n*m giao điểm, tức là p thuộc tập hợp giao điểm Σ C∩D.

Chứng minh rằng trong không gian CHQN hằng TQA, các điều kiện tự 1 đến 3 được áp dụng cho các đa thức f(x, y, z) và g(x, y, z) Theo các mệnh đề đã nêu, kết thúc Res(f, g, x) là một đa thức thuận nhất bậc n với hai biến y và z, không đồng nhất bằng không Do đó, theo mệnh đề đã đưa ra, nó có thể phân tích thành tích của các đa thức tuyến tính.

Res(f, g, x) = (b i z − c i y) s i i=1 trong đú s i là mđt so nguyờn s 1 + s 2 + ã ã ã + s k = nm và vúi i ƒ= j thỡ (b i , c i ) =ƒ (b j , c j ).

Res(f (x, b i , c i ), g(x, b i , c i ), x) = 0 do đó ton tai a i đe f (a i , b i , c i ) = g(a i , b i , c i ) hay ton tai duy nhat các so phúc a i sao cho

C ∩ D = {p i |1 ≤ i ≤ k} vói p i = [a i , b i , c i ] Theo đ%nh nghĩa ve b®i giao thì

Do đó ta có đieu phai chúng minh.

Chieu ngưac lai cua đ%nh lý Bézout

B®i giao cua hai đưàng cong tai m®t điem

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về sự giao nhau của hai đường cong bắc m và bắc n tại một điểm cụ thể Bài viết sẽ cung cấp cho bạn một phương pháp tính toán sự giao nhau một cách hiệu quả trong trường hợp đường cong có thể tham số hóa bằng đa thức.

Bo đe 3.1.1 Cho hai đưàng cong C và D đ%nh nghĩa bái f (x, y) = 0 và g(x, y) = 0. f (x, y) có phương trình tham so là

I (0,0)(C, D) = ldeg t g φ(t), ψ(t) , trong đú ldeg t g φ(t), ψ(t) là kớ hiắu bắc nhú nhat cua đơn thỳc trong g φ(t), ψ(t) theo t.

Chỳng minh Giao điem cna C và D chớnh là nghiắm cna hắ phương trỡnh

f (x, y) = 0 và so bđi giao là so bđi cna nghiắm cna hắ phương trình đó Vì f (x, y) có phương trình tham so

x = φ(t) nên g φ(t), ψ(t) = 0 chính là phương trình giao điem cna C và D theo bien t.

Ta có the bieu dien g φ(t), ψ(t) = t k h(t), trong đó 0 ≤ k ≤ deg(f )deg(g), h(t) là đa thúc thoa mãn h(0) ƒ= 0.

Khi đú g φ(t), ψ(t) = 0 cú nghiắm t = 0 bđi k Mắt khỏc k cũng chớnh là bắc cna đơn thỳc cú bắc nho nhat trong đa thỳc g φ(t), ψ(t) Vắy ta cú đieu phai chỳng minh.

Tù bő đe trên ta có ket qua sau.

Mắnh đe 3.1.1 1 Cho 0 ≤ p ≤ m ã n Luụn ton tai hai đưàng cong bắc m và n sao chúng giao nhau tai O(0, 0) vái b®i giao là p.

Chúng tôi chứng minh rằng đường cong C được định nghĩa bởi f(x, y) = y^k - x^m với k ≤ m Bài toán đặt ra là tìm đường cong D sao cho giao điểm tại O của hai đường cong bằng p Đường cong D được định nghĩa bởi g(x, y) với i + j ≤ n Đường cong C có phương trình tham số là a_j x^i y^j.

1 Mắnh đe này đưoc giúi thiắu boi ngưũi hưúng dan

Xột phộp chia p cho m, p = q ã m + k Ta c HQN j = q, i = 1 và cỏc hắ so a ij = 0 vúi ik + jm < p Khi đó

Vớ dn 3.1.1 Tỡm hai đưũng cong bắc 4 sao cho chỳng giao nhau tai O vúi bđi giao bang 11.

Xột phộp chia 11 cho 4: 11 = 2 ã 4 + 3 Ta cHQN k = 3, i = 1, j = 2 Khi đú cHQN C và

D lan lưot là hai đưòng cong xác đ%nh boi f (x, y) = y 3 − x 4 và g(x, y) = xy 2 + y 4

Xét Res(f, g, x) = y 11 (1 −y 5 ) và Res(f, g, y) = x 11 (1 + x 5 ) Tù đó ta có I O (f, g) 11.

M®t so trưàng hap riêng cua bài toán ngưac lai

Mắnh đe 3.2.1 Cho mđt bđ k so nguyờn dương [s 1 , s 2 , , s k ] bat kỡ, cú tőng s 1 + s 2 + ã ã ã + s k = m ã n(n ≤ m) và m ã n < (m + 1)(m +

Khi đú luụn ton tai hai đưàng cong bắc n và m sao cho chỳng giao nhau tai k điem vái so b®i giao tương úng là s 1 , s 2 , , s k

Chứng minh rằng đường cong C là đường cong bậc n được định nghĩa bởi f(x, y) = y - x^n Bài toán đặt ra yêu cầu tìm tồn tại một đường cong D bậc m sao cho D giao C tại k điểm, và tại mỗi điểm giao nhau tương ứng là s1, s2, , sk.

D là đưũng cong bắc m đ%nh nghĩa boi g(x, y) i+j≤ m a ij x i y j , ∃a ij (i + j = m).

Xột điem M = (b, b n ) ∈ C tựy ý Chuyen hắ TQA đđ trong phộp t%nh tien theo OM

Trong hắ TQA đđ múi f 1 cú phương trỡnh tham so

Khi đó g 1 φ(t), ψ(t)) = a ij (t + b) i (t + b) nj i+j≤m i+j≤m a ij (t + b) i+nj trong đó i+j≤ m

1 ij i+j≤m C nm a ij t nm , i+ Σ j≤m C k a ij là m®t tő hop tuyen tính nào đó cna a ij Theo bő đe (3.1.1) đe C ∩ D tai M (b, b n ) vói so b®i giao là s b (s 1 ≤ s b ≤ s k ) thì

Khi đó i+ Σ j≤ m C e a ij = 0 vói MQI e, 0 ≤ e ≤ s b − 1.

Khi e chay tự 0 đen s b − 1 thỡ ta nhắn đưoc mđt hắ s b phương trỡnh tuyen tớnh thuan nhat vúi bien a ij Do đú tai k điem cna C ∩D ta nhắn đưoc mđt hắ s 1 + s 2

+ ã ã ã + s k = m ã n phương trỡnh tuyen tớnh thuan nhat vúi bien a ij

Tắp hop H = {a ij |i + j ≤ m} gom (m+1)(m+2) phan tu Vỡ m ã n < (m + 1)(m +

Phương trình thu được là một hàm tuyến tính thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn Chúng ta có thể chọn một nghiệm sao cho a_ij = 0, với i + j = m Như vậy, tồn tại đúng công D Bắc m sao cho D giao C tại k điểm, và tại mỗi điểm có bội giao tương ứng là s_1, s_2, , s_k Từ đó, chúng ta có điều phải chứng minh.

Mắnh đe 3.2.2 Luụn ton tai hai đưàng cong vỏi bắc tương ỳng là n và m sao cho:

• Chỳng giao nhau tai m ã n điem vỏi bđi giao đeu bang mđt.

• Chỳng giao nhau tai mđt điem vỏi bđi giao là m ã n.

Chỳng minh Thắt vắy, gia su n ≤ m, cHQN C là đưũng cong đ%nh nghĩa boi f (x, y) x n + y n − 1.

• D là đưòng cong đ%nh nghĩa boi g(x, y) = (x + 1

Khi đó C và D giao nhau tai nm điem vói b®i giao đeu bang m®t.

• E là đưòng cong đ%nh nghĩa boi h(x, y) = (x − 1) m + x n + y n − 1

Khi đó C và E giao nhau tai m®t điem (1,0) vói

Mắnh đe 3.2.3 Luụn ton tai hai đưàng cong bắc n và m (n ≤ m) sao cho chỳng giao nhau tai hai điem vái b®i giao là [1, mn − 1], [2, mn − 2], , [n − 1, mn

Chúng minh Cho a ∈ N sao cho 1 ≤ a ≤ n − 1

= y m + x m−n+a (y − x n−a ) + x m−n+a−1 (y − x n−a ) Khi đó C 1 và C 2 giao nhau tai (1, 0) và (0, 0) vói

Mắnh đe 3.2.4 Luụn ton tai hai đưàng cong bắc n và m (n ≤ m) sao cho chỳng giao nhau tai k điem vỏi bđi giao tương ỳng là m.i 1 , m.i 2 , , m.i k vỏi i 1 + i 2 + ã ã ã + i k = n.

Chúng minh Lay C 1 đ%nh nghĩa boi g(x, y) = y − (x − x 1) i 1 (x − x 2) i 2 (x − x k ) i k Lay C 2 đ%nh nghĩa boi h(x, y) = y m − g(x, y)

Khi đó C 1 , C 2 giao nhau tai k điem (x 1 , 0), (x 2 , 0) , (x k , 0) vói b®i giao tương úng là i 1 , i 2 , , i k vói

Chieu ngưac lai cho m®t so trưàng hap cn the

Ta kớ hiắu [s 1 , s 2 , , s k ] là bđ so bđi giao cna hai đưũng cong tai k điem.

3.3.1 Hai đưàng cong bắc hai

Hai đưũng cong bắc hai C và D giao nhau tai bon điem tớnh ca bđi vúi cỏc trưòng hop là [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 3], [2, 2], [4]

CHQN C là đưòng cong đ%nh nghĩa boi f (x, y) = y − x 2 Ta phai tìm đưòng cong D đưoc đ%nh nghĩa boi g(x, y) = a 20 x 2 + a 02 y 2 + a 11 xy + a 10 x + a 01 y + a 00

CHQN bon điem (0, 0), (1, 1), (−1, 1), (2, 4) thu®c C Đe D giao C tai bon điem đó vói b®i [1,1,1,1] thì a 00 = 0 a 20 + a 02 + a 11 + a 10 + a 01 + a 00 = 0 a 20 + a 02 − a 11 − a 10 + a 01 + a 00 = 0

CHQN mđt nghiắm cna hắ trờn là (a 20 , a 02 , a 11 , a 10 , a 01 , a 00) = (1, −1, 2, −2, 0, 0). Khi đó D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = x 2 − y 2 + 2xy − 2x. t t t t t

CHQN ba điem (1, 1), (−1, 1), (0, 0) thu®c C Vói f (x, y) có phương trình tham so là

Do đó đe D giao C tai ba điem (1,1), (-1,1), (0,0) vói so b®i là [1,1,2] thì a 20 + a 02 − a 11 − a 10 + a 01 + a 00 = 0

CHQN mđt nghiắm cna hắ trờn là (a 20 , a 02 , a 11 , a 10 , a 01 , a 00) = (1, 1, 0, 0, −2, 0). Khi đó D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = x 2 + y 2 − 2y.

CHQN hai điem (1, 1), (0, 0) thu®c C Vói f (x, y) có phương trình tham so là

Do đó đe D giao C tai hai điem (1,1), (0,0) vói so b®i là [1,3] thì a 00 = 0 a 10 = 0

CHQN mđt nghiắm cna hắ này là (a 20 , a 02 , a 11 , a 10 , a 01 , a 00) = (1, 1, −1, 0, −1, 0). Khi đó D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = x 2 + y 2 − xy − y.

Tai điem (0,0), do f (x, y) có phương trình tham so là

Do đó đe D giao C tai điem (0,0) vói so b®i là 2 thì

Tai điem (1,1), ta chuyen hắ TQA đđ đe (1, 1) −→ (0, 0)

Do f 1 = 0 có phương trình tham so

Do đó đe D giao C tai điem (1,1) vói so b®i là 2 thì

Do đó đe D giao C tai hai điem (1,1), (0,0) vói so b®i là [2,2] thì a 10 = 0 a 20 + a 01 + a 02 + a 00 + a 11 + a 10 = 0

CHQN mđt nghiắm cna hắ này là (a 20 , a 02 , a 11 , a 10 , a 01 , a 00) = (2, 1, −2, 0,

Khi đó D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = 2x 2 + y 2 − 2xy − y.

CHQN điem (0, 0) thu®c C Vói f (x, y) có phương trình tham so là

Do đó đe D giao C tai điem (0, 0) vói so b®i là [4] thì a 10 = 0 a 20 + a 01 = 0

CHQN mđt nghiắm cna hắ này là (a 20 , a 02 , a 11 , a 10 , a 01 , a 00) = (1, 1, 0, −1, 0, 0). Khi đó D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = x 2 + y 2 − y.

3.3.2 Mđt đưàng cong bắc hai và mđt đưàng cong bắc ba

Tương tn như hai đưũng cong bắc hai Vúi f (x, y) = y − x 2 , ta cú 11 trưũng hop sau

[1,1,1,3] Vói g = y 3 − xy − x 3 Khi đó Res(f, g, x) = −y 3 (−4 + y 3 ),

3.3.3 Hai đưàng cong bắc bon

Hai đưũng cong này khụng thoa món mắnh đe 3.2.1 Nhưng ta van cú the tỡm đưoc hai đưũng cong bắc bon thoa món mđt so trưũng hop sau:

• [1, 1, , 1] và [16] đó núi trong mắnh đe 3.2.2

• [1, 15] như đó núi o mắnh đe 3.2.3, vúi C đ%nh nghĩa boi g(x, y) = y(y

• [4, 4, 4, 4] Ta cú the cHQN hai đưũng cong như đó núi o mắnh đe 3.2.4 hoắc cHQN khỏc đi.

C đ%nh nghĩa boi f (x, y) = x 4 + y 4 − 1 D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1)(y − 1) + x 4 + y 4 − 1.

Tương tn ta có các trưòng hop

• [4, 4, 8] vói C đ%nh nghĩa boi f (x, y) = x 4 + y 4 − 1 và D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1) 2 + x 4 + y 4 − 1.

• [8, 8] vói C đ%nh nghĩa boi f (x, y) = x 4 + y 4 − 1 và D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = (x + 1) 2 (y + 1) 2 + x 4 + y 4 − 1.

• [4, 12] vói C đ%nh nghĩa boi h = y − (x − 1)(x + 1) 3 và D đ%nh nghĩa boi g(x, y) = y 4 − h(x, y).

Trong trường hợp hai đường cong bắc bốn, chúng ta có thể đưa ra tất cả các trường hợp tự nhiên để đưa vào luận văn, tuy nhiên không thể trình bày hết tất cả Từ những ví dụ trên, ta có thể khẳng định tồn tại toàn bộ các trường hợp của bài toán ngược định lý Bézout.

KET LUắN Đúng gúp chớnh cna luắn văn bao gom:

1ĐQc hieu và trình bày lai các ket qua ve ket thúc, đ%nh lý Bézout.

2Chúng minh chieu ngưoc lai cna đ%nh lý Bézout cho m®t so trưòng hop riêng. Ngoài ra, luắn văn cũn cho nhieu vớ du minh HQA cho chieu ngưoc lai.

Tuy nhiên, do thời gian hạn chế, văn bản không nhiều nhưng vẫn có những sai sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và ban Đoàn.