Các dang h®i tn cơ ban
Trước khi bắt đầu luận văn này, tác giả muốn trình bày những kiến thức cơ bản về khái niệm và định lý liên quan đến các dạng hội tụ có liên kết chặt chẽ đến các kiến thức ở các chương sau, cụ thể là hội tụ hậu chắc chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình cấp p, hội tụ theo phân phối và hội tụ yếu Định nghĩa 1.1.1 (Hội tụ hậu chắc chắn): Cho dãy (X_n) các biến ngẫu nhiên i) Nếu P {ω : ∃lim n X_n (ω)} = 1 thì ta nói dãy (X_n) hội tụ hậu chắc chắn ii) Nếu X là một biến ngẫu nhiên và P {ω : lim n X_n (ω) = X (ω)} = 1 thì ta nói dãy (X_n) hội tụ hậu chắc chắn tái X Định lý 1.1.2: Điều kiện cần và đủ để dãy (X_n) hội tụ hậu chắc chắn là với mọi ε > 0, lim P (sup n m,k≥n).
|X m − X k | > r ) = 0. Đieu kiắn ó trờn tương đương vỏi
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện cần thiết để một dãy biến ngẫu nhiên (X_n) hội tụ chắc chắn đến một giá trị X Cụ thể, nếu tồn tại một số thực dương r > 0 sao cho giới hạn lim P(sup |X_m - X| > r) = 0 khi m ≥ n, thì dãy (X_n) hội tụ chắc chắn đến X Định nghĩa theo xác suất cho rằng, nếu với mọi ε > 0, lim P(|X_n - X| > ε) = 0, thì (X_n) hội tụ đến X theo xác suất, ký hiệu là p-lim X_n = X Hơn nữa, nếu dãy (X_n) hội tụ chắc chắn đến X, thì dãy này cũng hội tụ theo xác suất đến X, nhưng điều ngược lại không nhất thiết đúng.
2.Neu dãy (X n ) h®i tn theo xác suat tái X thì có the trích ra dãy con (X nk ) h®i tn hau chac chan tái X
3 Đe cho dóy (X n ) hđi tn theo xỏc suat đieu kiắn can và đu là vỏi MQI so dương r > 0 m li n sup m,k≥ n
Xác suất P (|X m − X k | > r ) = 0 tương đương với giới hạn trên P (|X m − X n | > r ) = 0 khi n, m ≥ n Định nghĩa 1.1.5 (Hội tụ theo trung bình cấp p) cho biết rằng với số dương p > 0, không gian L p (Ω) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X sao cho E |X |^p < ∞.
Dãy bien ngau nhiên (X n ) ⊂ L p (Ω) đưac GQI là h®i tn trung bình cap p tái bien ngau nhiên
Khi đó ta cũng nói
Trong không gian L^p(Ω), một dãy biến ngẫu nhiên (X_n) thuộc L^p hội tụ trung bình cấp p khi và chỉ khi giới hạn lim E |X_m - X_k|^p = 0 khi m, k → ∞ Định lý 1.1.6 khẳng định rằng nếu dãy (X_n) hội tụ trung bình cấp p, thì dãy (X_n) cũng hội tụ theo xác suất Định lý 1.1.7 chỉ ra rằng sự hội tụ trung bình cấp p không nhất thiết kéo theo sự hội tụ hậu chắc chắn, và ngược lại, sự hội tụ hậu chắc chắn cũng không nhất thiết kéo theo sự hội tụ trung bình cấp p Định nghĩa 1.1.8 đề cập đến khái niệm hội tụ theo phân bố cho dãy X_n các biến ngẫu nhiên.
(x) tương Úng là hàm phõn bo xỏc suat cua X n và cua X G QI C (F ) là tắp cỏc điem liên tnc cua hàm F Ta nói rang
) hđi tn theo phõn bo tỏi X và kớ hiắu là X n d lim F n (x) F (x). n
X , neu vái MQI Đ%nh lý 1.1.9 (i) Neu dãy (X n ) h®i tn tái X theo xác suat thì dãy (X n ) se h®i tn tái X theo phân bo.
Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng nếu dãy (X_n) hội tụ theo phân bố thì dãy (X_n) sẽ hội tụ theo xác suất Định lý 1.1.10 cho biết rằng cho dãy X_n các biến ngẫu nhiên, để dãy (X_n) hội tụ theo phân bố tái X, cần phải có điều kiện: với mọi hàm liên tục bền vững f(x), ta có lim E[f(X_n)] = E[f(X)].
Ký hiắu M là tắp hep tat ca cỏc hàm F khụng giam, liờn tnc bờn trỏi và thoa món đieu kiắn x→− lim
Ta thay rang M cũng chớnh là tắp hep tat ca cỏc hàm phõn bo xỏc suat.
Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuan tac và dãy α - on đ%nh chuan tac
10 Đ%nh nghĩa 1.1.11 (H®i tn yeu) Dãy (F n ) ⊂ M đưac GQI là h®i tn yeu tái F ∈ M neu vái MQI x ∈ C (F ) ta có lim F n (x) F (x) n
Dãy biến ngẫu nhiên \(X_n\) hội tụ theo phân bố tĩnh nếu và chỉ nếu dãy \(F_n\) hội tụ về \(F\), trong đó \(F_n\) và \(F\) là hàm phân bố xác suất tương ứng.
1.2 Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuan tac và dãy α - on đ%nh chuan tac
• Bat kỳ dóy cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp cựng phõn bo ε 1 , ε 2 , sao cho P (ε 1 = ±1)
= 1 đưec GQI là m®t dãy Bernoulli Ta xét dãy Bernoulli hEu han ε 1 , , ε n
•Mđt dóy Gauss chuan tac đưec kớ hiắu là γ 1 , γ 2 , là mđt dóy cua cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp cú cựng phõn phoi N (0, 1), tẫc là:
Ta xét các dãy Gauss hEu han chuan tac γ 1 , γ 2 , , γ n
• Cho 0 < α < 2 M®t dãy α - on đ%nh chuan tac là m®t dãy các bien ngau nhiên đđc lắp cú cựng phõn bo sao cho, vội mői t ∈ R
Các tính chat cua phân phoi on đ%nh:
Cho ξ là m®t bien ngau nhiên đoi xÉng α - on đ%nh trên R Khi đó, véi t ∈ R ,ta có:
Nếu \( A(t) \) và \( B(t) \) là các hàm không âm với \( t \in T \), thì ta nói rằng \( A(t) \sim B(t) \) với \( t \in I \subset T \) nếu tồn tại hai hằng số \( c, C > 0 \) sao cho \( c A(t) \leq B(t) \leq C A(t) \) cho mọi \( t \in I \).
Neu α < 2, thì ton tai t 0 > 0 sao cho véi bat kỳ t ≥ t 0 ta có:
P (|ξ| > t ) ∼ t −α , (1.3) véi t , s ≥ t 0, ta có: và véi bat kỳ p > α và t ≥ t 0, ta có:
E |ξ| p I {|ξ|≤t} ≤ E |ξ| p < ∞ (1.6) Neu α = 2 thì ∀t 0 > 0 và r > 0, ton tai m®t hang so C sao cho véi t ≥ t 0, ta có
P (|ξ| > t ) ≤ Ct −r , (1.7) và và, cuoi cùng ∀t >
Modun trên các không gian tuyen tính
1.3 Modun trên các không gian tuyen tính
Những kiến thức và định nghĩa liên quan đến các mô-đun được thiết kế cho nhu cầu của luận văn này không chỉ đơn thuần là việc áp dụng ngữ pháp chính thống, mà còn phải đảm bảo văn phong chuẩn của bài viết.
Cho E là m®t không gian tuyen tính M®t phiem hàm Φ : E → [0, ∞] đưec GQI là m®t modun neu:
Hàm g(t) = Φ(tx) là một hàm liên tục và là hàm chẵn trên R, không giới hạn trên R+ Φ được gọi là một tăng trưởng trung bình nếu nó thỏa mãn điều kiện: với C > 0 và bất kỳ x, y ∈ E, có Φ(x + y) ≤ C (Φ(x) + Φ(y)) Ngoài ra, Φ cũng được gọi là một tăng trưởng mũ nếu nó thỏa mãn điều kiện: với C > 0 và bất kỳ x, y ∈ E, có Φ(x + y) ≤ C (Φ(x) ∨ 1)(Φ(y) ∨ 1).
Ta cũng se can các tính chat dưéi đây cua modun.
5 [5 0 ] Ton tai m®t hàm liên tnc [liên tnc tai điem (0; 0)] ψ : R + × R + → R + sao cho ψ(s, 0) = ψ(0, s) = s véi mői s ∈ R + thì ta có Φ(x, y ) ≤ ψ(Φ(x), Φ(y )) véi mői x, y ∈ E Vớ dn, bat kỡ modun thoa món đieu kiắn
6 Cho α > 0 và MQI x, y ∈ E Φ α (x + y ) ≤ Φ α (x) + Φ α (y ) có tính chat 5 Hơn nEa, neu m®t modun Φ là m®t tăng trưeng trung bình thì nó có tính chat [5 0 ].
Neu Φ là mđt modun thoa món đieu kiắn [5 0 ] thỡ Φ đ%nh nghĩa mđt topo trờn
Trong không gian E, phép cộng và phép nhân vô hạn tạo thành một topo liên tục, tức là topo này có tính tuyến tính Tuy nhiên, topo này không nhất thiết phải là Hausdorff Topo được xác định bởi điều kiện: dãy (x_n) thuộc E hội tụ tới 0 trên topo này nếu và chỉ nếu Φ(x_n) hội tụ.
) → 0 (và có the đưec cho bei m®t gia metric không phai kha ly các điem) M®t cách tong quát, ta viet: x n
Véi m®t modun Φ trên E và δ > 0, ta đ%nh nghĩa : δ Φ,δ (x) = δ(x) := inf s
Khi δ là một môđun méo trên không gian E, với δ thuận nhạt và tính chất δ(tx) = |t|δ(x) cho mọi t ∈ R và x ∈ E Nếu Φ thỏa mãn điều kiện 5, thì lim inf δ(x_n) / δ(x_0) khi n → ∞, với x_0 là giới hạn của x_n.
−→ Φ 0 thì lim δ Φ n→∞ (x n ) = 0 Đoi véi modun tong quát, đieu ngưec lai là không đỳng Tuy nhiờn nú đỳng vội cỏc modun Φ thoa món đieu kiắn sau:
7.Ton tai hang so dương C ,C 1và C 2sao cho véi mői x ∈ E , ta có:
Thắt vắy, ta cú the de dàng thay rang neu đieu kiắn trờn thoa món thỡ vội mői x ∈
14 véi A = Cδ logC /C 1 , r = logC /C 1, B = Cδ logC /C 2 và s = logC /C 2 Bên canh tính chat 5, modun Φ thoa mãn tính chat sau:
8.Véi bat kỳ x ∈ E , x /= 0, hàm Φ(t x ) là hàm tăng trên t ∈ R + thì x n −→ Φ δ Φ (x 0 ). x 0 suy ra δ Φ (x n ) →
1.4 L QC và thài điem dÈng
Cho (Ω, F, P ) là mđt khụng gian xỏc suat và cho I là mđt trong nhEng tắp sau: R + , N ,
M®t HQ F t , t ∈ I cua σ - trưèng con cua F đưec GQI là LQC neu véi mői t , s ∈ I sao cho t < s , ta có F t ⊂ F s
M®t ánh xa τ : Ω → I +∞ được GQI xác định là một thời điểm dừng nếu với mọi t ∈ I, ta có {τ > t} ∈ F t và {τ ≥ t} ∈ F t cũng đúng Nếu I = N, thì τ là một thời điểm dừng khi và chỉ khi với mọi n ∈ N, ta có {τ = n} ∈ F n Hơn nữa, trong trường hợp này, {τ ≥ n} ∈ F n−1.
□ Khỏi niắm tương thớch và dE bỏo đưac
Các σ - trưàng liên quan tái dãy ngau nhiên Gia sE (Ω, A, P ) là không gian xác suat,
F ⊂ A là σ - trưèng con cua A và X là bien ngau nhiên nào đó Ta nói rang X tương thích véi F neu X là F- đo đưec Trong trưèng hep đó, ta viet
Kớ hiắu σ(X ) = X −1 (B), trong đú B là σ - trưống Borel cua R Rừ ràng, X ∈ F khi và chi khi σ(X ) ⊂ F.S
Cho trưộc dóy ngau nhiờn X = {X n , n ∈ N} Kớ hiắu σ({X n , n ∈ N}) là σ - trưống con bé nhat cua A chÉa tat ca các σ - trưèng σ(X n ), n ∈ N Ta GQI σ({X n , n ∈ N}) là σ - trưèng sinh ra tÈ
Cho dãy σ - trưèng con {F n , n ∈ N} cua A Dãy này đưec GQI là không giam, neu
Trong bài viết này, chúng ta xem xét không gian xác suất Chang han, với điều kiện σ ≤ n và m thuộc N, là HQ không giam Cần lưu ý rằng σ ≤ n bao gồm các biến có thể quan sát được tại điểm n Theo định nghĩa 1.5.1, với các ký hiệu đã nêu, ta có quá trình ngẫu nhiên X = {Xn, Fn, n ∈ N}.
N} là dãy tương thích, neu X n ∈ F n vái mői n ∈ N
Ta nói rang V = {V n , F n−1 , n ∈ N, F−1 = F0 } là dãy dU báo đưac, neu V n ∈ F n−1 vái mői n ∈ N
□Thài điem Markov và thài điem dÈng
TÈ nay ve sau ta luôn giE các gia thiet sau:
•( Ω, A, P ) là khụng gian xỏc suat vội A chẫa tat ca cỏc tắp cú xỏc suat 0 (tắp
O đưec GQI là xác suat 0, neu ton tai A ∈ A sao cho P (A) = 0 và O ⊂ A ).
Trong trưèng hep này, ta nói (Ω, A, P ) là không gian xác suat đay đu.
• { F n , n ∈ N} là dóy cỏc σ - trưống khụng giam Kớ hiắu
> n là σ - trưèng bé nhat chÉa tat ca F n , n ∈ N Đ%nh nghĩa 1.5.2 Giã sU τ : Ω → N ∪ {∞} là bien ngau nhiên (có the lay giá tr% ∞ )
Ta nói rang τ là thài điem Markov đoi vái {F n , n ∈ N} , neu
Neu thêm vào đó P (τ < ∞) = 1 , thì τ đưac GQI là thài điem dÙng.
Các định nghĩa dưới đây sẽ giúp hiểu rõ khi thay tập số nguyên không âm N = {0, 1, } bằng tập hữu hạn {0, 1, , N}, với N thuộc N Định nghĩa 1.5.3 Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất Dãy X = {X n , F n , n ∈ N} được đưa ra.
• martingale trên (đoi vái {F n , n ∈ N} ), neu:
• martingale dưỏi (đoi vỏi {F n , n ∈ N} ), neu cỏc đieu kiắn (i), (ii) đưac thUc hiắn, và (iii’) Vỏi m ≤ n và m, n ∈ N
• martingale (đoi vỏi {F n , n ∈ N} ), neu cỏc đieu kiắn (i), (ii) đưac thUc hiắn, và (iii”) Vỏi m ≤ n và m, n ∈ N
1.6 CÁC BAT ĐANG THÚC CƠ
• martingale ngưac (đoi vỏi {F n , n ∈ N} ), neu cỏc đieu kiắn (i), (ii) đưac thUc hiắn, và (iii”’) Vỏi m ≥ n và m, n ∈ N
TÙ đó suy ra {X n , F n , 0 ≤ n ≤ N } là martingale ngưac khi và chi khi {X N −n , F N−n , 0 ≤ n ≤ N } là martingale.
1.6 Các bat đang thÉc cơ ban Đ%nh lý 1.6.1 Neu {X n , F n , n = 0, 1, , N } là martingale dưái, thì vái MQI λ ∈ R (vái λ > 0 ), λP ( max
I( 0 min X n ≤ −λ)]. Đ%nh lý 1.6.2 ( Bat đang thÉc Kolmogorov ) Neu {X n , F n , n = 0, 1, , N } là martingale vái
0≤n≤N |X n | > λ) ≤ E |X N | Đ%nh lý 1.6.3 ( Bat đang thÉc Doob ) Neu {X n , F n , n = 0, 1, , N } là martingale dưái không âm vái E |X n | p < ∞, n = 0, , N , 1 < p < ∞ , thì trong đó
1.6 CÁC BAT ĐANG THÚC CƠ
18 Đ%nh lý 1.6.4 ( Bat đang thÉc cat ngang ) Neu {X n , F n , n = 0, 1, , N } là martingale dưái,
1.7 M®T SO KET QUÁ CUA MARTINGALE THUC
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức (b − a)Eν ≤ E (X n − a) + − E (X 0 − a) và giới thiệu hai bất đẳng thức quan trọng sẽ được thảo luận trong các chương tiếp theo: bất đẳng thức đuôi và bất đẳng thức Paley-Zygmund.
Mắnh đe 1.6.1 ( Bat đang thẫc đuụi ) Cho ξ i , i = 0, 1, 2, là mđt dóy cỏc bien ngau nhiên không âm và α i , i = 0, 1, 2, là m®t dãy các so không âm Neu vái mői t ∈
∞ α i P (ξ i > t ) ≤ α 0 P (ξ 0 > t ) (1.10) i =1 thì vái bat kỳ hàm không giãm ϕ : R + → R + vái ϕ(0) =
Bo đe 1.6.5 ( Bat đang thÉc Paley-Zygmund ) Neu ξ là m®t bien ngau nhiên không âm vái Eξ 2 < ∞ thì vái bat kỳ 0 < λ < 1, ta có:
1.7 M®t so ket qua cua martingale thEc
Trong bài viết này, chúng ta sẽ trình bày một số định lý về sự hội tụ của martingale thực và một số kết quả khác Định lý 1.7.1 (Định lý Doob) cho biết rằng nếu {X_n, F_n, n ∈ N} là một martingale dưới và L1-bảo đảm, tức là sup E |X_n| < ∞, thì dãy (X_n) hội tụ hầu chắc về một biến ngẫu nhiên X ∞ nào đó.
Hắ qua 1.7.2 Neu {X n , F n , n ∈ N} là martingale dưỏi khụng dương (hoắc martingale trên không âm), thì dãy (X n ) h®i tn hau chac chan tái bien ngau nhiên X ∞
Hắ qua 1.7.3 Gió sU {X n , F n , n ∈ N} là martingale dưỏi khụng dương (hoắc martingale trên không âm) Khi đó, dãy X = {X n , F n , n ∈ N} , vái
0 lắp thành martingale dưỏi khụng dương (martingale trờn khụng õm).
Hắ qua 1.7.4 Gió sU (X n ) là dóy cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp và (S n ) là dóy cỏc tong riêng cua nó:
Khi đó, các đieu khang đ%nh sau là tương đương:
(ii) (S n ) h®i tn theo xác suat;
Định lý 1.7.5 trình bày về sự hội tụ trong L^p của dãy martingale {X_n, F_n, n ∈ N} khi 1 < p < ∞ Nếu dãy này là L^p-bị chặn, tức là sup E |X_n|^p < ∞, thì dãy (X_n) hội tụ trong L^p và có thể tái biến ngẫu nhiên thành X_∞.
E |X ∞ | p < ∞. Đ%nh lý 1.7.6 ( Đ%nh lý h®i tn trong L 1 ) Neu {X n , F n , n ∈ N} là martingale và dãy
Nếu dãy (X_n) hội tụ trong L^1, thì dãy (X_n) sẽ hội tụ chắc chắn về biến ngẫu nhiên X_∞ với E|X_∞| < ∞ Định lý 1.7.7 cho biết rằng nếu {X_n, F_n, n ∈ N} là martingale nghịch, thì dãy (X_n) hội tụ chắc chắn về một biến ngẫu nhiên X_∞ nào đó Định lý 1.7.8 (Định lý Levy) khẳng định rằng nếu X ∈ L^1 và (F_n) là dãy các σ-trường con không giảm của A, thì hội tụ chắc chắn lim E(X | F_n) = E(X | F_∞), trong đó F_∞ là σ-trường nhỏ nhất chứa tất cả các σ-trường F_n.
Giã sU X ∈ L 1 và (F n ) là dãy các σ - trưàng con không tăng cua A Khi đó, hau chac chan lim E (X |F n ) = E (X |
F n ), n trong đó , n F n là σ - trưàng giao cua tat cã các σ - trưàng F n , tÚc là
M®t so bat đang thÉc cơ ban cho to hap tuyen tính ngau nhiên cua các bien ngau nhiờn đđc lẳp
Chương này trình bày các bất đẳng thức cơ bản liên quan đến tổng của các biến ngẫu nhiên được lắp ghép trong không gian Banach khô (F, ||.||) Những bất đẳng thức này sẽ được sử dụng rõ ràng trong phần còn lại của luận văn.
Ta quy ưéc rang, neu X 1 , X 2 , là m®t dãy các bien ngau nhiên véi các giá tr% nam trên F thỡ ta kớ hiắu:
2.1 Bat đang thÉc Levy - Octaviani
Mắnh đe 2.1.1 Neu X 1 , X 2 , , X n là cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp cú giỏ tr% trờn F thì vái mői t ≥ 0
) n và ngoài ra neu X 1 , X 2 , , X n đoi xÚng thì
2.1 BAT ĐANG THÚC LEVY - OCTAVIANI
ChÚng minh Vội t , s ≥ 0 co đ%nh và i = 1, 2, , n , ta kớ hiắu:
Khi đó, véi i /= j ta có
Hơn nEa, vội mői i = 1, n , bien co A i đđc lắp vội X i +1 , , X n và
Do đó ta thu đưec BĐT Levy- Octaviani:
1 −max 1≤i ≤n P (||S n − S i || > s) Đắc biắt, neu max 1≤i ≤n P (||S i || > t ) < 1 thỡ
3 ), đưec chÉng minh tÈ phan đau cua đ%nh lý.
Trong trưèng hep khi max 1≤i ≤n P (||S i || > t ) ≥ 1 thì công thÉc trên hien nhiên đúng. Đe chẫng minh ý thẫ 2 cua đ%nh lý, ta kớ hiắu: i
Vỡ X 1 , , X n e đõy đưec gia sE là đoi xẫng và đđc lắp, hai xỏc suat cuoi e trờn là bang nhau Do đó P (A i ) ≤ 2P (A i ∩ {||S n || > t }) và m®t tong véi i = 1, n cho ta:
Chú ý.Ưéc lưeng (2.1) cũng cho rang véi mői s, t > 0 ta có
Ngoài việc xem xét các thông tin về xác suất phần dư của các tổng cEc đai, chúng ta cũng cần đánh giá lượng xác suất phần dư của các dãy ||X i ||, với i = 1, , n.
Mắnh đe 2.1.2 Neu X 1 , , X n là cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp cú cỏc giỏ tr% trờn F thỡ vỏi mői s, t ≥ 0 , ta có:
P (X ∗ > s + t ) ≤ n , n và ngoài ra neu X 1 , , X n đoi xÚng thì
ChÚng minh Phương phỏp cua chẫng minh này tương tE vội mắnh đe2.1.1 Vội t , s ≥ 0 co đ%nh và i = 1, n , ta kớ hiắu
Khi đú, vội i /= j , B i ∩ B j = ∅, ∪ n B i = {X n ∗ > t + s} và B i đđc lắp vội X 1 , , X i −1 Vỡ vội mői i = 1, n
CEc tieu e trờn là lộn hơn hoắc bang P (S n ∗ ≤ s), do đú phan đau tiờn cua mắnh đe thoa món Trong trưống hep đoi xẫng, ta kớ hiắu
Khi đó, véi mői i = 1, n , ta có:
Hơn nEa, vỡ trong trưống hep này X 1 , , X n đưec gia sE là đđc lắp và đoi xẫng nờn
2 xác suat cuoi e trên là bang nhau Do đó P (B i ) ≤ 2P (B i ∩{||S n || > t }), sau khi lay tong vội i = 1, n , ta thu đưec bat đang thẫc thẫ hai cua mắnh đe.
Ket qua dưéi đây so sánh các momen cua tong S n véi các momen cua cEc đai S n ∗ và
X n ∗ là mđt hắ qua trEc tiep cua hai mắnh đe trờn và mắnh đe1.6.1
Hắ qua 2.1.1 Neu X 1 , , X n là bien ngau nhiờn đđc lắp và đoi xÚng cú giỏ tr% trờn F và ϕ : R + → R + là m®t hàm không giãm thì
Bat đang thẫc co thEc hiắn cỏc so sỏnh giEa cỏc đuụi (và cỏc momen) cua cỏc tong n i
X và các đuôi (các momen) cua các phép bien đoi n i =1 ξ i X i , trong các trưèng hep dóy hắ so ξ 1 , , ξ n phai ch%u mđt ràng buđc b% chắn nhat đ%nh.
Mắnh đe 2.2.1 Cho X 1 , , X n là cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp và đoi xÚng cú cỏc giỏ tr% trên F Khi đó, vái mői dãy α 1 , , α n ∈ R và bat kỳ t > 0 , ta có
ChÚng minh Khụng mat tớnh tong quỏt, ta gia sE rang 1 = α 1 ≥ α 2 ≥ ã ã ã ≥ α n ≥ 0 Khi đó, ta có the viet n n n
Do đú, theo mắnh đe2.1.1ta thu đưec bat đang thẫc thoa món.
Cho X1, , Xn là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F, và ξ1, , ξn là một dãy các biến ngẫu nhiên thực với điều kiện |ξi| ≤ 1 cho i = 1, n Khi đó, tổ hợp ξ1X1, , ξnXn cũng là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có giá trị trên F.
2.Vái bat kỳ hàm không giãm ϕ : R + → R + , ta có
3.Vái bat kỳ hàm không giãm và loi ϕ : R + → R + , ta có
Chúng tôi chứng minh rằng dãy (ε i) là một mối quan hệ do Bernoulli tạo ra giữa (ξ i X i) và (X i) Theo giả thuyết, dãy (ξ i X i) và dãy (ξ i X i ε i) có cùng phân phối Điều này cũng áp dụng cho dãy (X i) và dãy (ε i X i), cho thấy chúng đều có cùng phân phối.
Do đó, ta có the viet
Tiep theo, ỏp dnng đieu kiắn cua mắnh đe2.2.1 , cho α i := ξ i (ω), X i := ε i X i (ω) và sau đó ket hep véi P (sω) ta có:
2 Chẫng minh 2) là mđt hắ qua trEc tiep cua 1) và mắnh đe1.6.1.
3 Đưa dãy Beroulli (ε i )vào và tien hành m®t cách chính xác như trong chÉng minh
1), ta chi ra rang (ε i ) thoa mãn 3) chi trong trưèng hep (ξ i ) là các đai lưeng vô hưéng không ngau nhiên.
Trong trưèng hep cn the này, chÉng minh này đưec hoàn thành bang cách quy nap trên n và áp dnng cua bat đang thÉc dưéi đây.
Neu X và Y là cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp và đoi xẫng cú giỏ tr% trờn F và α ∈ R ,
Bat đang thẫc sau là mđt hắ qua trEc tiep, theo tớnh loi cua chuan và cua ϕ và cua
27 tính đoi xÉng cua X và Y , ta có