Dãy số
1.1 Một số khái niệm về dãy số Định nghĩa 1: Dãy u n (hoặc u n ) là dãy các số u 1 , u 2 , , u n một quy luật nào đó được gọi là dãy số. tuân theo
có vô hạn phần tử ta nói dãy un
là dãy số vô hạn.
có hữu hạn phần tử ta nói dãy un
là dãy số hữu hạn.
+ Số u 1 được gọi là số hạng đầu của dãy, u i
1.2 Cách xác định một dãy số a Dãy số cho bởi công thức tổng quát được gọi là số hạng thứ i của dãy
; n ; n 2 2 1 b Dãy số cho bởi công thức truy hồi Ví dụ 2 : Dãy Phibonacci
u n u n1 u n2 Khi đó un :1;1; 2 ; 3 ; 5 ; c Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Lập dãy un là giá trị gần đúng của , lấy từ số thập phân thứ nhất đến thứ n Như thế ta có dãy u 1 3,1; u 2 3,14 ; u 3 3,141;
1.3 Một số dãy số đặc biệt a Cấp số cộng Định nghĩa 2 : Dãy số u 1 , u 2 , , u n , được gọi là cấp số cộng với công sai d nếu u n 1 u n d
.n n.2u1 (n 1)d n 1 2 b Cấp số nhân n 2 2 Định nghĩa 3 : Dãy số u 1 , u 2 , , u n , được gọi là cấp số nhân với công bội q nếu u n 1 u n q
Một số tính chất số học
2.1 Một số tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên Định nghĩa 4 : Cho a , b
Z ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a b ) hay a là bội của b hoặc b là ước của a nếu k
Trường hợp ngược lại ta nói a không chia hết cho b (kí hiệu a b ). Định nghĩa 5 : Cho số p Z ; p 2 , ta nói p là số nguyên tố nếu p chỉ có 2 ước nguyên dương 1 và p.
1 n n 1 Định nghĩa 6 : Ta nói số a đồng dư b modul m nếu a và b cùng có số dư khi chia cho m.
2.2 Hàm phần nguyên và số chính phương a Hàm phần nguyên Định nghĩa 7: Phần nguyên của một số là số nguyên lớn nhất không vượt quá số đó.
Tính chất : ta kí hiệu
x là phần nguyên của số x
(a Z :; x 0) b Số chính phương Định nghĩa 8 : Số n
N n k 2 được gọi là số chính phương nếu k
Tính chất : Điều kiện cần để một số là số chính phương là số đó phải có chữ số tận cùng là 0,1, 4, 5, 6, 9
Phương pháp đổi biến đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa
Bằng cách thực hiện một hoặc vài phép đổi biến thông minh, bất kỳ dãy số nào cũng có thể được chuyển đổi thành cấp số cộng, cấp số nhân hoặc dãy lũy thừa Qua đó, ta có thể xác định công thức tổng quát cho dãy số mới cũng như dãy số ban đầu.
Cấp số nhân: thì công thức tổng quát u n u 1 (n
Nếu u u q; n thì công thức tổng quát u u q n1 (n 2). n 1 n n 1
n thì công thức tổng quát u n
Chúng ta sẽ xét một số bài toán cụ thể sau để làm rõ hơn phương pháp này.
Bài toán 1 Cho dãy số
Xác định công thức tổng quát của dãy số.
Do v n là một cấp số nhân với v
Vậy u 2 n 3 là công thức tổng quát của dãy đã cho.
Bài toán 2 Cho dãy số :
Xác định công thức tổng quát của dãy số.
Ta có thể biến đổi :
Vì v n là dãy số hằng nên v n 0.
Nên u n là cấp số nhân với u 1 1; q 2
Bài toán 3 Cho dãy số
u n u n 1 2n 1 Tìm công thức tổng quát của u n
Bài giải : Đặt u v n 2 2n ta có dãy n n
Do đó v n là cấp số nhân với v 1 1, q 1
Bài toán 4 Cho dãy số n
u n 3u n 1 2 Xác định công thức tổng quát của dãy số.
Bài giải : Đặt u v 2 n1 ta có dãy n n
Có v n là cấp số nhân với v 1 5 , q 3 Nên v n
u n 4u n 1 3u n 2 5.2 Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Bài giải : Đặt v u 4.5.2 n ta có dãy n n
Vì z là dãy hằng nên Khi đó v 1 43 n
z Đặt y v 7 , có dãy: y 1 43 n n là cấp số nhân có
Trong bài toán này, chúng ta có dãy số được định nghĩa bởi công thức truy hồi u = 4.3n + 1 - 5.2n + 2 + 7 Đôi khi, dãy số không ở dạng tuyến tính mà ở dạng phân thức, do đó cần thực hiện các biến đổi khéo léo để chuyển đổi về dạng tuyến tính, từ đó giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn.
Bài toán 6 Tìm công thức tổng quát dãy u n :
Bài giải : Đặt v n u n 2 , ta có dãy :
Do y n là cấp số nhân có y 11
Bài toán 7 Cho dãy số
u n 1 8u n Xác định công thức tổng quát của dãy.
Bài giải: Đặt v 2u , ta được n 1 4
Như vậy ta có dãy lũy thừa v n , do đó v v 4 n1 4 4 n1 y n v v
Bài toán 8 Cho dãy số
u n 1 2u n 4u n 1. Xác định công thức tổng quát của dãy số.
Như vậy ta thu được dãy lũy thừa v n và tính được v v 2 n1 6 2 n1 Vậy công thức tổng quát u n
Bài toán 9 Cho dãy số
u n 1 8u n 16u n 12u n 4u n Xác định công thức tổng quát của dãy số.
Ta thu được dãy lũy thừa v n và tính được v
Vậy công thức tổng quát của dãy u n
2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất có dạng
L n (x n , x n 1 , ) x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 a i x n i Phương trình (1) có phương trình đặc trưng :
TH1 : Phương trình (2) có đủ
Khi đó phương trình (1) có nghiệm là : x A n A n A n n 1 1 2 2 i i
Với Q s 1 (n) là đa thức bậc s 1 ẩn n.
TH3 : Có nghiệm phức j r(cos isin) thì x A n A n r n (cosn isin n) A n n 1 1 2 2 i i
2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát
Ta đi tìm nghiệm tổng quát x x x *
Trong đó : n n n x n là nghiệm phương trình sai phân tổng quát (3), x n là nghiệm phương trình sai phân thuần nhất (1),
(n) là đa thức bậc m ẩn n.
+ Nếu nghiệm i 1bội s nào đó. x * n s Q (n)
Việc thay thế trực tiếp vào phương trình giúp xác định các hệ số của sai phân tổng quát, từ đó tìm ra các hệ số của x Để hiểu rõ hơn về phương pháp này, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán cụ thể sau đây.
Bài toán 1 Cho dãy số
u n 1 u n 2u n 1 0 Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Phương trình đặc trưng tương ứng :
Bài toán 2 Cho dãy số
u n 1 6u n 9u n 1 0 Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Phương trình đặc trưng tương ứng:
Do đó nghiệm : u (an b).3 n Mà u u 1 ta có hệ n
Bài toán 3 Cho dãy số x x 1
x n 2 x n 1 x n 0 Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Phương trình đặc trưng tương ứng :
Bài toán 4 Cho dãy số x n 3 x n 2 x n 1 x n 0.
Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Phương trình đặc trưng tương ứng :
Bài toán 5 Cho dãy số
n2 n1 n Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Phương trình đặc trưng tương ứng :
Do đó nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng
Có các nghiệm 1 nên nghiệm riêng
Thay vào phương trình (*) : x * an b.
3. n n Đồng nhất hệ số ta có :
n 2 n 1 n Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Phương trình đặc trưng tương ứng :
Do đó nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng
Có các nghiệm 3 nên nghiệm riêng
Thay vào phương trình (*) : x n * (an b).3 n
Một số phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên có lời giải phức tạp, yêu cầu việc đổi biến khéo léo để chuyển đổi thành phương trình sai phân với hệ số hằng Để tạo ra các bài toán dạng này, ta có thể bắt đầu từ một phương trình sai phân với hệ số hằng ẩn v_n, sau đó đặt v_n = f(n) ± u_n hoặc v_n = f(n) * u_n, từ đó thu được những bài toán phức tạp.
Việc giải các bài toán này thường gặp khó khăn trong việc tìm ra phương pháp tổng quát Chúng ta cần áp dụng các kỹ thuật như truy hồi và đổi biến để đơn giản hóa bài toán Dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán cụ thể để làm rõ hơn về quá trình này.
Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Từ (*) ta có : n.u n 2 2nu n 1 nu n 1 u n 1 2u n 2nu n 3
Nghiệm riêng : u * an b , thay vào phương trình (**) :
Bài toán 8 Cho dãy số xác định bởi :
Tìm công thức tổng quát của x n
Bài giải : Từ giả thiết ta có
(n 1)x n 1 nx n n Đặt u n nx n ta có u n 1 u n n
Cộng vế ta thu được : u n 1
Tìm công thức tổng quát của x n
Từ giả thiết ta có : n(n 1) 2 (n 2) x n1 (n 1)(n 2) 2 (n 3) (x n 1)
n(n 1) 2 (n 2). Đặt u n(n 1) 2 (n 2)x , ta có phương trình u u n(n 1) 2 (n 2). n n n 1 n
Dễ dàng truy hồi ta có công thức tổng quát của u n và tìm được x (n 1)(2n 1)
Việc tuyến tính hóa một phương trình sai phân là cần thiết do phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng đã được giải quyết Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ cụ thể để minh họa rõ ràng phương pháp tuyến tính hóa này.
Bài toán 10 Cho dãy số
Hãy tuyến tính hóa phương trình.
Giả sử dạng tuyến tính của x n là :
Ta tính được x n A.x n 1 Bx n 2 C x 3 3 ; x 4 11; x 5 41 ta có hệ
Vậy ta thu được phương trình x n 4x n 1 x n 2
Bài toán 11 Cho dãy số
Hãy tuyến tính hóa phương trình.
Giả sử dạng tuyến tính của x n là : x n A.x n 1 Bx n 2 C
Vậy ta thu được phương trình x n 6x n1 x n2
Phương pháp tìm công thức tổng quát dãy số bằng định hướng bởi công thức lượng giác
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá một số bài toán nhằm tìm ra công thức tổng quát cho dãy số, dựa trên các đặc trưng của một đa thức đại số sinh ra từ hàm số lượng giác Để hiểu rõ hơn, hãy cùng xem xét một số bài toán cụ thể.
Bài toán 1 Cho dãy số xác định bởi u 1 R ; u n 1 2u 2 1 (n 1) Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Ta xét các trường hợp sau :
TH1 : Nếu u 1 1. Đặt u 1 cos ta có : u 2u 2 1 2cos 2 1 cos2
Dễ dàng quy nạp ta có u cos(2 n1 )
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được : u
Bài toán 2 Cho dãy số y 1 R ; y n 1 4y 3
(n 1) Tìm công thức tổng quát của dãy.
Ta xét các trường hợp sau :
TH1 : Nếu y 1 1. Đặt y 1 cos ta có : y 4 y 3 3y
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được : y cos3 n1
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được : y
Một số bài toán lượng giác không được trình bày trực tiếp dưới dạng công thức x2, x3, mà yêu cầu chúng ta thực hiện đổi biến để áp dụng các công thức đã biết Thỉnh thoảng, chúng ta cũng gặp phải những công thức lượng giác ít phổ biến hơn như x4, x5 Để làm sáng tỏ vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể.
Bài toán 3 Cho dãy số x R ; x 4x 2
Tìm công thức tổng quát của dãy 2
Bài toán 4 Cho dãy số x R ; x 9x 3 3x
Tìm công thức tổng quát của dãy.
Bài toán 5 (Đề nghị thi OLYMPIC 30/4/1999)
u n 1 9u n 3u n Xác định công thức tổng quát của dãy số.
Dễ dàng quy nạp ta có : x
Bài toán 6 Cho dãy số
n1 n n Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Bài Giải : Đặt x n 2 y n Ta có :
Bài Toán 7 (Đề thi HSG TP HCM 2011-2012)
u 4 8u 2 8 Tìm công thức tổng quát của dãy.
Nhận xét : Từ giả thiết (*) ta có :
Bài toán 8 Cho dãy số
n1 n n n Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Nhận xét : cos5 16.cos 5 20cos 3 5cos
Dễ dàng quy nạp ta chứng minh được x n cos 3
Bài toán 9 (Đề thi OLYMPIC 30/4/2003).
Dẽ dàng quy nạp ta có u
Tìm công thức tổng quát của dãy.
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u sin
Bài toán 11 Cho dãy số
n 1 Tìm công thức tổng quát của dãy.
6 6 cos 6 Bằng quy nạp ta chỉ ra được u n tan
Tính tổng của một dãy số
Chúng ta cần tính tổng s n của n số hạng đầu trong một dãy số bất kỳ, không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân Để giải quyết những bài toán như vậy, ta có thể áp dụng các phương pháp phù hợp.
(*) Như vậy để tìm s n ta đi giải phương trình sai phân
(*) mà việc giải phương trình sai phân này ta đã xét ở chương 2
Ta sẽ đi xét một số bài toán cụ thể sau.
Phương trình đặc trưng tương ứng có nghiệm 1.
Nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng s A.1 n A
Nghiệm riêng s * n(An 3 Bn 2 Cn D) Thay vào phương trình ta xác định được A, B, C, D từ đó tìm được
Nghiệm phương trình thuần nhất : s n A
Nghiệm riêng s * n(an 2 bn c) Thay vào phương trình ta có n(an2 bn c) n 1 a n 1 2 b n 1 c n2
Bài toán 3 Tính tổng sn 1.2 2.3 3.4 n n 1 n n n
Nghiệm phương trình thuần nhất : s n A
Nghiệm riêng s * n n(an 2 bn c) Thay vào phương trình ta có n(an2 bn c) n 1 a n 1 2 b n 1 c n2 n
Nghiệm phương trình thuần nhất : s n A
Nghiệm riêng trình sai phân. s *
Nhận xét bài toán có thể giải bằng phương pháp đặc biệt là sử dụng tính chất cấp số nhân Ta được s 3
Tuy nhiên ta sẽ giải bài toán theo phương pháp tổng quát :
Phương trình đặc trưng tương ứng có nghiệm 1.
Nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng s A.1 n A
Nghiệm riêng s * B.3 n Thay vào phương trình ta có
TH2 : Khi n n n x 1, ta có phương trình sai phân s n1 s n
Phương trình đặc trưng tương ứng có nghiệm 1.
Nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng s A.1 n A Nghiệm riêng s* an b xn 1 Thay vào phương trình ta có n n
Dãy số và tính chất số học của dãy số
2.1 Tính chính phương của dãy số
Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét tính chính phương của các phần tử trong một dãy số Bài toán đặt ra là, với một dãy số có thể ở dạng truy hồi hoặc chưa ở dạng tổng quát, nhiệm vụ của chúng ta là xác định ít nhất một phần tử trong dãy đó là chính phương Việc giải quyết bài toán này sẽ được thực hiện theo hai xu hướng khác nhau.
+Ta tìm trực tiếp công thức tổng quát của dãy từ đó tìm được phần tử đang xét và chỉ ra nó là chính phương.
+Việc tìm công thức tổng quát khó khăn ta phải mò mẫm biến đổi hoặc dự đoán sự biến đổi để được điều mong muốn.
Chúng ta sẽ xét một số bài toán sau:
Bài toán 2 Cho dãy số
Xét tính chính phương của dãy không chỉ đơn thuần là sử dụng khai triển Newton, mà còn cho phép chúng ta tìm ra công thức tổng quát của dãy, từ đó giúp việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn.
Bài toán 3 Cho dãy số
Nghiệm a an 2 bn c mà a 0 ; a 1; a 3 nên
Bài toán 4 Cho dãy số
n1 u n u n 1 2. Đặt s u 2 1 u 2 1 u 2 1 1 Chứng minh rằng mọi phần tử của dãy s n là số chính phương.
(1) bằng phương pháp quy nạp.
+Giả sử (1) đúng với n k tức là s (u 1) 2 (2)
Ta cần chứng minh (1) đúng với k k 1 n k 1 nghĩa là s k
Để xác định xem n có phải là số chính phương hay không, ta cần xem xét các trường hợp khác nhau, đặc biệt khi đối mặt với bài toán liên quan đến u n Việc phân tích tính chính phương của dãy số có thể trở nên phức tạp và đòi hỏi sự biện luận kỹ lưỡng.
Bài toán 5 Cho dãy số
n2 n1 n Tìm n để a n 1 là số chính phương.
+Khi n 0 a 0 1 0 là số chính phương. n 1 a 1 1 2 1 1 là số chính phương.
không là số chính phương.
Truy hồi ta chỉ ra C k .
Bài toán 6 Cho dãy số
Từ giả thiết ta có u n (n 1)u n 1 nu n 2
u n u n 1 n u n 1 u n 2 Đặt v n u n u n 1 ta có phương trình v n nv n 1 khi đó dễ dàng quy nạp ta có v n n! Như vậy u n u n 1 n!
+ n 2 ; u 2 1! 2! 3 không là số chính phương.
+ n 4 ; u 4 1! 2! 3! 4! 33 không là số chính phương.+ n 5 :
Nên u n 3(mod10) chính phương. nghĩa là u n có số tận cùng là 3 Do đó u n không là số
Kết luận : với n 1; 3 ta có u 1 ; u 3 là số chính phương.
2.2 Toán chia hết và phần nguyên
Trong bài toán này, chúng ta sẽ xác định xem dãy số u_n có thỏa mãn tính chất chia hết hay không, hoặc tìm phần nguyên của nó Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ áp dụng một số tính chất liên quan đến phép chia, tính chất đồng dư và phần nguyên của số.
Bài toán 1 (Chọn đội tuyển Moldova năm 2011).
Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số tự nhiên, tìm công thức tổng quát của dãy.
Mà x n 2 3x n nên từ (1) ta có x n 3 3x n 1 8x n 3(x n 2 3x n ) x n 3 3x n 2 3x n 1 x n (2)
Do x 0 1; x 1 41; x 2 119 ta dễ dàng truy hồi và có x n N n
Phương trình đặc trưng của (2) là
Khi đó s n thỏa mãn phương trình s n 2 10s n 1 s n 0
Nên : sn2 10sn1 sn(mod5) sn mod 5
Do đó sn sn2 mod5 sn4 mod5
+Xét n lẻ : sn 1 2 s1(mod5) 1.10(mod5) 0(mod5).
Bài toán 3 Chứng minh : s 9 4 5 n 9 4 5 n nhận giá trị nguyên và s n 17
Do đó , là nghiệm phương trình đặc trưng : 2 18 1 0
sn3 sn 17 sn2 sn1 0. sn3 sn 0 mod 17
s 1 (mod 17) 18(mod 17) 1(mod 17) 0(mod 17). +Khi n=3k+2 có : sn s3k2 s3k1 mod 17
Vậy s n không chia hết cho 17 n
2 2 2009 1 Chứng minh: s chia hết cho 2009.
Dễ dàng chỉ ra được
Ta có điều phải chứng minh.
Các bài toán liên quan đến phép chia hết và phần nguyên có thể rất đa dạng Một ví dụ điển hình là bài toán tính số ước số của một dãy Mặc dù bài toán này có vẻ phức tạp, nhưng việc tìm ra lời giải lại khá đơn giản Chúng ta sẽ xem xét một bài toán cụ thể để làm rõ điều này.
Bài toán 5 Cho dãy số
Tính số các ước nguyên dương của 2 n 1
Vì 7 là số nguyên tố nên : x
Trong các bài toán liên quan đến tính chất chia hết hoặc phần nguyên của dãy số, thường xuất hiện 2 hoặc 3 dãy số cùng lúc Để giải quyết hiệu quả, cần tách biệt từng dãy số và xử lý chúng một cách riêng lẻ.
Ta có một số ví dụ sau.
Bài toán 6 Cho dãy số
2007 200 7 không chia hết cho 5 nhưng
9xn2 3xn1 23xn1 xn 7xn
Ta có điều phải chứng minh.
Mà truy hồi ta luôn có a n k a n Z và 25;6 1
Bài toán 8 Cho dãy số :
y n 1 4y n 5y n 1 Giải phương trình ta có
5 1996 2 1996 (mod3) 4 998 (mod3) 1(mod3) ; 25 1(mod3). Nên 25.5 1996 1(mod3) Như vậy 8 25.5 1996 0(mod3)
Bài toán 9 (Đề OLYMPIC 30/4/2000 khối 11)
Tìm phần nguyên của A với
Từ giả thiết ta có :
Giải phương trình ta có y 1
