Không gian Sobolev
Không gian Sobolev trên xuyen
Đ%nh nghĩa 1.5 Cho s > 0, không gian Sobolev trên xuyen đưac đ%nh nghĩa như sau:
.1 + |k|2Σ s.f^(k).2 < +∞ Σ Chuan cua H s (T n ) xác đ%nh bái ǁfǁ
Mắnh đe 1.3 Vỏi 0 < s < 1 Khi đú, vỏi f ∈ H s (T n ), ta cú ǁfǁ H s (T n ) ∼ ∫ dx ∫
(0,2π) n Áp dung đang thúc Parseval cho hàm g (x) = f (z + x) − f (x) có
(0,2π) Đắt w = |k| z, suy ra dw = |k| n dz.
Tích phân A k không phu thu®c vào hưóng cnaC 1 , C 2 sao cho
|k| Ta thay rang có các hang so dương
H (T ) k∈Z n k Zn ∈ Đ%nh nghĩa 1.6 Cho f ∈ L 2 (T n ) và α ∈ Z n Ta nói g ∈ L 2 (T n ) là đao hàm riêng yeu cap α cua f, viet D α f = g neu
(i) Gia su f ∈ L 2 (T n ) có các đao hàm riêng yeu D α f ∈ L 2 (T n ), ∀|α| ≤ s Khi đó f ∈ H s (T n ).
(ii) Gia su f ∈ H s (T n ) Khi đó f ∈ L 2 (T n ) và có các đao hàm riêng yeu
Ví dn 1.1 Vói s ∈ Z+ , ta có C s Σ
Chúng minh (i)Gia su rang f ∈ L 2 (T n ), D α f ∈ L 2 (T n ) vói MQI |α| ≤ s Theo đ%nh nghĩa đao hàm riờng yeu, hắ so Fourier cna D α f xỏc đ%nh như sau
= (ik) α f (k). Áp dung đang thúc Parseval ta đưoc α 2
Ta thay rang có các hang so dương C 1 , C 2 sao cho
(ii)Neu f H s (T n ), suy ra (1 + k 2 ) s f (k) 2 < + Ta se chúng minh rang, vói k∈Z n
MQI α, |α| ≤ s , ton tai g α ∈ L 2 (T n ) sao cho
Thắt vắy, lay g α (k) = (ik) α f^(k), ta cú Σ |g^ (k)|2 = Σ
.f^(k).2 , ∀|α| ≤ s. k∈Z n k∈Z n k∈Z n Áp dung Đ%nh lý 1.2 ta có Σ k∈Z n
Ta suy ra g α = D α f, ∀|α| ≤ s Hơn nua Σ ǁD α fǁ 2 T n ) ≤ C ǁfǁ H s (T n )
|α|≤s Đ%nh nghĩa 1.7 Vái s > 0, ta đ%nh nghĩa H −s (T n ) = (H s (T n )) J là không gian đoi ngau cua không gian H s (T n ).
Theo đ%nh nghĩa chuan cua phiem hàm tuyen tính liên tnc f ∈ H −s (T n ) đưac xác đ%nh như sau: ǁfǁ H −s (T n ) = sup
Mắnh đe 1.5 Vỏi f ∈ H −s (T n ) , ta cú
2 Σ Σ −s 2 trong đú f^(k) = (f, e k ) là hắ so Fourier thỳ k cua f.
Áp dung bat đang thúc Cauch y - Schw arz, ta đưoc
Mắt khỏc, ta xột g N ∈ H s (T n ), xỏc đ%nh boi g k∈Z n ,|k j |≤N
Tù đó suy ra hay ǁg N ǁ H s (T n ) ≤ ǁfǁ H −s (T n ) ǁg N ǁ H s (T n )
Vắy tự (1.7) và (1.8), ta đưoc (1.6).
Chúng minh (i)Vói s ≥ t > 0 và f ∈ H s (T n ), ǁfǁ H s (T n )
Suy ra f ∈ H t (T n ) và ǁfǁ H t (T n ) ≤ ǁfǁ H s (T n ) , ∀f ∈
(ii)Do f ∈ H s (T n ) nờn theo ý (i) f ∈ H [s] (T n ) Tự Mắnh đe 1.4 ta có
Khi đó D α f ∈ H s−|α| (T n ). Đ%nh lý 1.5 (i)Vái s > n , ta có
H s (T n ) , f (x) k f (k)e ikx Ta se chi ra k f^(k)e ik x h®i
Thắt vắy áp dung bat đang thúc
> n , su dung dau hiắu so sánh, ta có Σ
, f H s (T n ) Theo Mắnh đe 1.6 ta có 2
Bang phương pháp quy nap, ta se chúng minh rang vói MQI α ∈ Z n , α = (α 1 , α 2 , , α n ),
|α| ≤ m, đao hàm riêng yeu D α f chính là đao hàm thông thưòng
Vói m = 1, ta se chúng minh H s (T n ) ‹→ C 1 (T n ) , ∀s > 1 + n
Do f ∈ H s (T n ), nên f có đao hàm riêng yeu D α f, vói |α| = 1.
Theo Mắnh đe 1.6, ta cú H s (T n ) ‹→ H 1 (T n ) và D α f ∈ H s−1 (T n ).
(ik) α f (k)e ikx h®i tu đeu đen D α f trên T n
Khi đó f có đao hàm riêng thông thưòng D α f trong C(T n ) vói |α| = 1.
Gia su đieu ta can chúng minh đúng vói m, túc là
Do f ∈ H s (T n ), nên f có đao hàm riêng yeu D α f, vói |α| = m + 1.
Theo Mắnh đe 1.6 ta cú H s (T n ) ‹→ H m+1 (T n ) và D α f ∈ H s−(m+1) (T n ).
Không mat tính tőng quát, gia su α 1 > 0, ta xét β = (α 1 − 1, α 2 , , α n ) ∈ Z n , |β| = m.
Do tù gia thiet quy nap D β f là đao hàm riêng thông thưòng cna f trong
(ik) β f (k)e ikx h®i tu đen D β f trong C(T n ).
(ik) α f (k)e ikx h®i tu đeu đen D α f trên T n
Khi đó f có đao hàm riêng cap α theo nghĩa thông thưòng D α f, vói |α| = m
Không gian Sobolev trên B
Sau đây ta đ%nh nghĩa không gian Sobolev trên hình tròn B khi 0 < s < 1. Đ%nh nghĩa 1.8 Cho 0 < s < 1, không gian Sobolev H s (B) bao gom các hàm u ∈ L 2 (B) giá tr% thnc thóa mãn
Chuan cna u ∈ H s (B) đưoc xác đ%nh như sau :
(1.9) Đ%nh nghĩa 1.9 Cho u ∈ L 2 (B) và α = (α 1 , α 2) ∈ Z 2 Ta nói v ∈ L 2 (B) là đao hàm riêng yeu cap α cua u, viet D α u = v neu
Mắnh đe 1.7 ([2]) Cho u ∈ L 2 (B), α, β ∈ Z 2 Gia su u cú đao hàm riờng yeu
D α u ∈ L 2 (B) và D α u có đao hàm riêng yeu D β (D α u) ∈ L 2 (B) thì u có đao hàm riêng yeu D α+β u và D α+β u = D β (D α u).
Không gian Sobolev H m (B) với m ∈ Z+ bao gồm các hàm u ∈ L 2 (B) có giá trị thỏa mãn rằng tất cả các đạo hàm riêng yêu cầu α của u với |α| ≤ m đều tồn tại.
H m (B) là không gian Hilbert thnc vói tích vô hưóng đưoc xác đ%nh như sau
Chuan cna u ∈ H m (B) đưoc xác đ%nh như sau
2 |D u| dxx 2 1 d Đ%nh lý 1.6 C m (B) trự mắt trong H m (B).
Chúng minh Vói u ∈ H m (B), ta đ%nh nghĩa u τ (x) = u(τx), 0 < τ < 1.
Do ϕ ∈ C 0 ∞ (τ −1 B) nên ϕ(τ −1 B) ∈ C 0 ∞ (B) Ta có τ −1 B u(τx)D α ϕ(x)dx 1 dx 2 = ∫∫ u(y)(D α ϕ)(τ −1 y)τ −2 dy 1 dy 2
Tù đó suy ra τ −1 − 1 u τ ∈ H m (τ −1 B) và u τ τ − → → 1 − u trong H m (B).
Lay 0 < ε < , ta thác trien u τ = 0 ngoài τ 1 B.
Vói x ∈ B, theo đ%nh nghĩa cna hàm ρ ta có ρ ε (x − y) ƒ= 0 ⇔ |x − y| ≤ ε ⇔ y ∈ x + εB. τ −1 − 1 −
Khi đó vói x ∈ B, x co đ%nh, 0 < ε k + 1, m ∈ N, ta có
Chúng minh Tù đ%nh lý nhúng 1.5 vói m > k + 1, k ∈ Z+ , m ∈ N, ta có
(1.12) Đe chúng minh đ%nh lý ta se thác trien hàm u ∈ H m (B) thành hàm thu®c H m (T 2 ), sau đó áp dung (1.12) Vói u ∈ H m (B), theo đ%nh lý thác trien 1.7 ta có Pu ∈
H m (T 2 ) Khi đú Pu ∈ C k (T 2 ) Mắt khỏc ǁuǁ H m (B) < ǁPuǁ H m (T 2 ) < ǁPuǁ C k (T 2 ) < ǁuǁ C k (B)
0 Đ%nh nghĩa 1.11 Cho h > 0, u ∈ L 2 (B), ta đ%nh nghĩa đắc trưng cua đao hàm riờng yeu theo các sai phân ∆ h u(x), ∆ h u(x) như sau: x 1 x 2
x 2 h Đ%nh lý 1.9 ([2])(Đắ c trưng cua khụng gian H 1 (B))
(a)Gia su u ∈ H 1 (B) Khi đó, vái MQI 0 < h < ε ta có
(b) Neu u ∈ L 2 (B) và ton tai hang so c > 0 sao cho vái MQI n ∈ N, ton tai h n đe
Chúng minh Xem chúng minh chi tiet trong [2], Đ%nh lý 2.2 Đ%nh lý 1.10 ([7])(Bat đang thúc Poincare)
(1) Cho u ∈ C 1 (B) ⊂ C 1 (R 2 ) Khi đó ton tai hang so C thóa mãn
Khi đó ton tai hang so C thóa mãn ǁu − u B ǁ L p (B) ≤ Cǁ∇uǁ L p (B) , ∀1 < p < +∞. trong đó trung bình cua u là u = 1 u (x) dx.
Chúng minh (1)Vói x ∈ B, ta có:
Khi đó u (x) = − ∂ r [u (x 1 + rcosθ, x 2 + rsinθ)] dr.
Khi đó , vì suppu ⊂ B nên
∂ r Σu x + r y − x |y − x| dr dy 1 dy 2 , trong đó B 2 = {(x 1 , x 2) : x 2 + x 2 ≤ 4}
Xột trong hắ TQA đđ cnc y 1 = x 1 + ρ.cosθ
∫ ∫ ∫ Đői thú tn lay tích phân ta đưoc
Ta can chúng minh χ B (y)χ [0,ρ](r) ≤ χ B (x 1 + rcosθ, x 2 + rsinθ) (1.14)
Vói χ B (x 1 + rcosθ, x 2 + rsinθ) = 1, ta có (1.14) hien nhiên đúng.
Vói χ B (x 1 + rcosθ, x 2 + rsinθ) = 0, suy ra (x 1 + rcosθ, x 2 + rsinθ) ∈/ B.
Trưàng hap 1: Neu y ∈/ B thì χ B (y) = 0 Khi đó (1.14 ) đúng
Trưàng hap 2: Neu y ∈ B, r > ρ thì χ [0,ρ](r) = 0 Khi đó (1.14) đúng Khi đó
(1.15) Đắt z 1 = x 1 + rcosθ, z 2 = x 2 + rsinθ Ta cú χ B (x 1 + rcosθ, x 2 + rsinθ) χ B (z).
Do |∂ r [u (x 1 + rcosθ, x 2 + rsinθ)] | = |cosθ.u x 1 (z) + sinθ.u x 2 (θ)| ≤ |∇u(z)|
Làm tương tn như chúng minh phan (1) ta suy ra đưoc ǁu − u B ǁ L p (B) ≤ Cǁ∇uǁ L p (B)
∫∫ Đưòng tròn đơn v% S 1 cũng đưoc hieu là T 1 Nói cách khác H s (S 1 ) = H s (T 1 ) Đ%nh lý 1.11 ([2])(Đ%nh lý vet) Ánh xa τ là mđt toỏn tu b% chắn τ :
Khi đú ta cú the thỏc trien τ thành mđt toỏn tu tuyen tớnh b% chắn tự H 1 (B) lờn H 1 (S 1 ).
Hơn nua, ton tai mđt ỏnh xa tuyen tớnh b% chắn
Chúng minh Xem chúng minh chi tiet trong [2], Đ%nh lý 2.6. Đ%nh nghĩa 1.12 H 1 (B) là bao đóng cua C 1 (B) trong H 1 (B).
Chuan cna u ∈ H 1 (B) đưoc xác đ%nh boi công thúc
Nhắn xột 1.4 Nhũ bat đang thỳc Poincare (1) ta cú
Chỳng minh Su dung tớnh trự mắt o Đ%nh lý 1.6 đe chỳng minh. Đ%nh lý 1.12 ([2]) Cho u ∈ H 1 (B) Khi đó, u ∈ H 1 (B) khi và chs khi τu = 0
Chúng minh Xem chúng minh chi tiet trong [2], Đ%nh lý 2.7. Đ%nh nghĩa 1.13 H −1 (B) = u : H 1 (B) → R tuyen tính liên tnc Σ
Mắnh đe 1.9 ([2]) Cho f ∈ L 2 (B) Khi đú ta cú cỏc mắnh đe sau: (a)Ánh xa f x 1 : H 1 (B) → R ϕ ›→ − ∫∫ f D x 1 ϕdx 1 dx 2 là m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc trên H 1 (B), nghĩa là f x ∈ H −1 (B) Hơn nua,
(b)Ngoài ra, vái mői 0 < h < ε, ánh xa
(∆ h f )ϕdx 1 dx 2 là m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc trên H 1 (B ε ), nghĩa là ∆ h f ∈ H −1 (B ε ) Hơn
Chỳng minh Xem chỳng minh chi tiet trong [2], Mắnh đe 2.3.
Chú ý 1.2 M®t cách tương tn f x 2 : H 1 (B) → R ϕ ›→ − ∫∫ f D x 2 ϕdx 1 dx 2 là m®t phiem hàm tuyen tính liên tuc trên H 1 (B), nghĩa là f x ∈ H −1 (B) và ||f x || H −1 (B) ≤ ||f|| 2
B ε là m®t phiem hàm tuyen tính liên tuc trên H 1 (B ε ), nghĩa là ∆ h f ∈ H −1 (B ε ) Hơn nua,
Phương trình elliptic
Ta quan tâm đen phương trình dang DIVERGENCE div(γ∇u) = 0 trong B, (2.1) trong đú γ là ma trắn xỏc đ%nh dương γ(x , x ) = γ 11(x 1 , x 2) γ 12(x 1 , x 2)
∈ L ∞ (B). γ xác đ%nh dương có nghĩa là (γ(x 1 , x 2)ξ).ξ
(x 1 , x 2) ∈ B và vói MQI ξ = (ξ 1 , ξ 2) ∈ R 2 , trong đó c > 0. Đ%nh nghĩa 2.1 Nghiắm yeu cua phương trỡnh (2.1) là u ∈ H 1 (B) thúa món
∫∫ (γ∇u) ã ∇ψdx 1 dx 2 = 0, ∀ψ ∈ H 1 (B) (2.2) Đ%nh lý 2.1 (Bat đang thÚc Cacciopolli) Neu u là nghiắm yeu cua (2.1) trong B thì luôn ton tai C > 0 sao cho
Chỳng minh Su dung Mắnh đe 1 1 ta xõy dnng η ∈ C 0 ∞ (B) thoa món
2 Đắt ϕ := η 2 (u − λ) Do η ∈ C 0 ∞ (B) nờn theo Mắnh đe 1 8 ta cú ϕ ∈ H 1 (B) và
Do tính xác đ%nh dương cna γ nên c2 ∫∫ η 2 |∇u| 2 dx 1 dx 2 ≤
Tù (2.5)-(2.6) ta có c2 ∫∫ |η∇u| 2 dx 1 dx 2 ≤
Su dung bat đang thúc epsilon-Cauchy ta có đánh giá sau
Thay (2.8) vào (2.7) và lay c 3 đn bé, ta có
∫∫ |∇u| dx dx ≤ ∫∫ η 2 |∇u| 2 dx dx ≤ c ǁu − λǁ
Tù (2.9) ta có đieu phai chúng minh, trong đó các c k không phu thu®c vào u.
Nhắn xột 2.1 Trong [2], vúi f ∈ H −1 (B), chỳng minh đưoc đỏnh giỏ cho nghiắm u ∈ H 1 (B) thoa mãn:
Cu the như sau Đ%nh lý 2.2 ([2]) Neu u là nghiắm yeu cua phương trỡnh (2.10) thỡ vỏi bat kỡ 0 < R < 1 luôn ton tai C R > 0 sao cho
Sau đõy ta chỳng minh tớnh trơn cna nghiắm vúi gia thiet γ jk ∈ C 0,1 (B). Đ%nh lý 2.3 Gia su u ∈ H 1 (B) là nghiắm yeu cua phương trỡnh (2.1) Khi đú, vỏi mői
0 < R < 1 thì u ∈ H (B 2 R ) và ||u|| H 2 (B R ) ≤ c||u|| L 2 (B) , trong đó c là hang so chs phn thu®c vào R.
Chúng minh Đe chúng minh Đ%nh lý 2.3, theo Đ%nh lý 1.9 ta se chúng minh: ∃c > 0,
Bưác 1: Ta xây dnng F ∈ H −1 (B R ) thoa mãn div(γ∇∆ h n u) = F trong B R
Theo Lagrange ta có đánh giá
Ta có ket luắn F ∈ H −1 (B R ) và ||F || H −1 (B
Theo Đ%nh lý 2.1 ta có
Tù đó ta suy ra
Tù toàn b® tính toán trên, vói h n = min{ 1 , R } và F ∈ H −1 (B R ) xác đ%nh boi (2.11) ta
Tù Đ%nh lý 2.2 ta có div(γ∇∆ h n u) = F trong B R
Bưác 2: Vói 0 < h < R, ta chúng minh ∆ h D x u = D x (∆ h u) trong B R , nghĩa là x 1 1 1 x 1
Tù đ%nh nghĩa cna đao hàm yeu ta có
Tù Bưóc 1 ta đã có đánh giá h n x 1 x 1 L2(B 1 ) R L2(B) n
Tù Bưóc 2 ta có ∆ h D x u = D x (∆ h u) trong B R Tù hai bưóc trên ta có x 1 1 1 x 1
Theo Mắnh đe 1.7 ta cú D (2,0) u = D x (D x u) ∈ L 2 (B R ) và
Chỳng minh hoàn toàn tương tn cho D (1,1) u và D (0,2) u ta cú ket luắn hoàn toàn tương tn Ta cú ket luắn u ∈ H (B R ) và ||u|| H 2 (B R ) ≤ c R ||u|| L 2 (B)
Tiep theo, khi γ ∈ C ∞ (B) thỡ ta cú cỏc ket qua sau ve tớnh trơn cna nghiắm. Đ%nh lý 2.4 ([2]) Neu u ∈ H 1 (B) là nghiắm cua phương trỡnh (2.1) Khi đú, vỏi mői
Chúng minh Xem chúng minh chi tiet trong [2], Đ%nh lý 3.5.
Ánh xa Dirichlet - Neumann
Gia su γ(x) L ∞ (B) và ton tai hang so M > 0 sao cho 1
≤ γ(x) ≤ M vói hau het x ∈ B Ta xét bài toán biên Dirichlet trong B như sau:
u = f trên S 1 toán biên Dirichlet (2.12) neu
∈ Đ%nh nghĩa 2.2 Gia su f ∈ H 2 1 (S 1 ), ta núi rang u ∈ H 1 (B) là mđt nghiắm yeu cua bài
0 và τu = f, trong đó τ là ánh xa vet đưac xác đ%nh trong Đ%nh lý 1.11
B Đ%nh lý 2.5 ([7]) Vái f ∈ H 1 (S 1 ), bài toán biên Dirichlet (2.12) có duy nhat nghiắm yeu u ∈ H 1 (B) Hơn nua, ton tai hang so C > 0 sao cho ǁuǁ H 1 (B) ≤ Cǁfǁ 1 1
Khi đó ánh xa Dirichlet-Neumann (DN)
1 2 2 trong đú v ∈ H 1 (B) thúa món τv = g là ỏnh xa tuyen tớnh b% chắn, tỳc ton tai c > 0 sao cho ǁΛ γ fǁ H − 1
H 2 (S ) Đ%nh lý 2.6 ([3]) Gia su γ (x), γ (x) ∈ L ∞ (B) thóa mãn 1
≤ C J ǁγ 1 − γ 2 ǁ L ∞ (B) , là chuan cua ánh xa Dirichlet- Neumann.
Chúng minh Vói γ (x), γ (x) ∈ L ∞ (B) thoa mãn 1
2 trong đú u j ∈ H 1 (B), j = 1, 2 là nghiắm yeu duy nhat cna ∇ ã (γ j ∇u j ) = 0 trong B vói τu j = f j Khi đú theo bat đang thỳc Cauchy - Schwarz và Đ%nh lý 2.5 ta nhắn đưoc
Sau đõy, ta xột lúp cỏc hắ so γ đắc biắt như sau:
(c) γ(x) chi phu thuđc vào r, kớ hiắu γ(r) = γ(x), r = |x|.
Lay f ∈ H 1 (S 1 ) có khai trien Fourier f (θ) Σ n∈Z f ˆ
Tù Đ%nh lý 2.5, bài toán biên Dirichlet (2.12) cú duy nhat nghiắm u ∈
H 1 (B) Do γ ∈ C 0,1 (B) và u ∈ H 1 (B) nên theo Đ%nh lý 2.3 ta có u ∈
H 2 (B R ), 0 < R < 1 Lai theo Đ%nh lý 1.8 ta suy ra u ∈ C(B) Khai trien u r, θ Σ n
Dưói đây ta se chi ra các tính chat quan
([3]) u n (r) thóa mãn các tính chat sau:
∈ Z và thóa mãn phư ơng trình
( ru0, trong (0, a) ∪ (a, 1).(2.17) 2 n (b) G ia su th êm to nt ai lim r
Chúng minh Xem chúng minh chi tiet trong [3], Đ%nh lý 2.2 và Đ%nh lý 2.3.
Mắnh đe 2.1 ([3])(Hắ so Fourier cua Λ γ f) Gia su rang lim r→1 − γ(r) ton tai Khi đó Λ( (Λ( lim r→1 − γ(r)u J n (r)
Chúng minh Xem chúng minh chi tiet trong [3], Mắnh đe 2.1 ˆ
Trong bài báo [6], Alessandrini xét tính dan γ(r) có dang γ(r) = 1 + ε neu 0 ≤ r < a, (3.1)
Mắnh đe 3.1 [6] Vỏi mői f ∈ H 1 (S 1 ), ỏnh xa DN
Z inθ là ỏnh xa tuyen tớnh b% chắn tỳc là ∃C, C > 0 sao cho ǁΛ γ fǁ H − 1
Để xét tính ổn định của bài toán Calderón, chúng ta cần chỉ ra rằng nếu ǁΛγ − Λγ₀ǁ_Y nhỏ thì ǁγ − γ₀ǁ_L∞(B) cũng nhỏ Dựa vào Mệnh đề 3.1, với γ₀(r), ánh xa DN được xác định bởi Λγf(θ) = Σ.
Ta ưóc tính sai khác ǁ(Λ γ − Λ γ )fǁ 1 n∈Z Σ n 2 n∈
From this, it can be inferred that the norm of the difference between γ and γ₀ is bounded by 2εa, where the transition to the limit as a approaches 0 is considered Additionally, the maximum norm of the difference between γ and γ₀ in the space B equals ε, which is a positive constant as a approaches 0 Alessandrini concludes that the Calderón problem is not well-posed under these conditions.
3.2 Ma r®ng ví dn Alessandrini
Xét bài toán Dirichlet trong hình tròn đơn v% B = B(0, 1)
Lay f ∈ H 1 (S 1 ) có khai trien Fourier vúi hắ so
Theo Đ%nh lý 2.5, bài toỏn biờn Dirichlet (3.2) cú duy nhat nghiắm u ∈ H 1 (B).
Trong hắ TQA đđ cnc trong đó u(r, θ) = u n (r)e inθ ∈ H 1 (B), n∈Z
Do γ α ∈ C 0,1 (B) nên tù (2.17) ta có
(+)Vói 0 < r < a, u n (r) thoa mãn phương trình sau
Ngoài ra tù (2.18) và tính liên tuc cna u n (r) ta có
Giai phương trình vi phân trên ta đưoc u = D + C ln Σ r Σ vói 0 ≤ r < a.
Do u ∈ C ∞ (B a ) nờn u n (r) b% chắn khi r → 0 nờn C = 0, khi đú u 0(r) = D Tự (3.6) ta có b 0 = 0 Do đó u 0(r) = c 0 vói a ≤ r < 1 Tù (3.4) ta có u 0(r) = c 0 = D = fˆ(0), vói 0 ≤ r < 1.
Tự hắ trờn ta tớnh toỏn đưoc
−) Vói 0 ≤ r < a, ta tìm u (r) có dang
Tù phương trình (3.5), ta thnc hiắn đong nhat hắ so k∈Z
Khi đó ta tính đưoc au n J (a)
Khi đó ánh xa Dirichlet-Neumann
(DN) Λ α : H 2 (S 1 ) → H − 2 (S 1 ) đưoc xác đ%nh boi Λ α f (θ) = Λ α f (n) e inθ , n∈Z t r o n g đ ó Λ ˆ f
Chúng minh B n (b) có dang như sau: b
Ta se chúng minh rang
(d)Ta can chúng minh rang lim B n (b) − 1
(e)Ta đắt tu so và mau so cna B j (b) lan lưot là M n (b) và N n (b) Bang tớnh toỏn ta tớnh đưoc ∞ 2 ∞ 2
Hắ so cna b m trong I n (b) là: Σ l 2 | n| k+l−1= m l | n | k Σ Σ l | n | ( l − k )
Tù đó ta thay rang
Mắt khỏc ta lai có
Bây giò chúng ta khôi phuc lai tính dan Lay f = e inθ ta đưoc n n 2 |n| +
Chỳng minh (1)Tự (b) trong mắnh đe 3.2, ta cú lim B n (b) = 1 Khi đú n→∞ lim C n = α 0 n→∞
Tự (b) và (d) cna mắnh đe 3.2 ta có lim
Tiep theo ta xét tính őn đ%nh cna bài toán Calderón.
Mắnh đe 3.4 Co đ%nh a ∈ (0, 1), ε 0 , M > 0, N ≥ 0 Khi đú ton tai
Chỳng minh Vúi MQI γ α , γ β ∈ à(a, ε 0 , M, N ) ta cú
Ta đắt tu so và mau so lan lưot là K n , H n thỡ H n ≤ (2 + d 0) 2 Ta cú ǁΛ α − Λ β ǁ Y = sup
Khi α 0 =ƒ β 0, Vói MQI n đn lón, ta có
Tiep theo, ta thay rang
Tù (3.14) ta có ǁΛ α − Λ β ǁ ≥ C 14ε 0 a 2|n| |B n (b) − B n (c)| , (3.15) trong đó C 1 = C 1(a, ε 0 , M ) là hang so.
CHQN n = 1, ket hop vói (3.14 ) ta có ǁΛ α − Λ β ǁ Y ≥ C 2 |α 1 − β 1 |
(3.16) Tù (3.14 ) và (3.16) , cHQN C 3 = min {(2 + d 0) −2 , C 2 } , ta suy ra đieu phai chúng minh.
3.3 M®t so ví dn khác Đ%nh lý 3.1 ([11])Cho Ω là tắp mỏ liờn thụng, cú biờn Lipschitz trong R 2 , vái γ j ∈ C α (Ω) 0 < α < 1, thóa mãn k ≤ γ j ≤ K trên Ω và ǁγ j ǁ C α (Ω) ≤
C 0 , trong đó k, K, C 0 là hang so Khi đó ta có đánh giá sau: ǁγ 1 − γ 2 ǁ L ∞ (Ω) ≤ V (ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ ), trong đó V : [0, +∞) −→ [0, +∞) liên tnc, không giam thóa mãn V (0) = 0.
%nh lý trên cho ta ket qua ve tính őn đ%nh cna bài toán
Vắy ta đó chi ra rang β 1− β ǁγ ≤ ǁγ
Áp dung Đ%nh lý 3.1 , ta thay rang khi ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ nho, vì hàm V không giam nên ta suy ra ǁγ 1 − γ 2 ǁ L ∞ (Ω) nho Vắy ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ nho thì ǁγ 1 − γ 2 ǁ C β (Ω) nho.
Ví du dưói đây đe chi ra rang neu β = α thì tính őn đ%nh cna bài toán
Ví dn 3.1 Ta xét tính dan γ a (r) , γ ∈ C α
< r < 1, γ 0(r) = 1 vói hàm ρ xác đ%nh boi
Ta th ay ra ng
(3.19) ta thay rang ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ nho nhưng ǁγ 1 − γ 2 ǁ C α (B) không nho Như vắy, bài toán Calderón không őn đ%nh khi β = α. Đ%nh lý 3.2.
([5]) Cho Ω là tắp mỏ liờn thụng, có biên Lipschitz trong R 2 , vái γ j ∈
1, thóa mãn k ≤ γ j ≤ K trên Ω và ǁγ j ǁ H α (Ω) ≤ C 0 , trong đó k, K, C 0 là hang so Khi đó ta có đánh giá sau: ǁγ 1 − γ 2 ǁ L 2 (Ω) ≤ V (ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ ), trong đó V : [0, +∞) −→ [0, +∞) liên tnc, không giam thóa mãn V (0)
Nhắn xột 3.2 Đ%nh lý trờn cho ta ket qua ve tớnh őn đ%nh cna bài toỏn Calderún như sau: neu ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ nho thì ǁγ 1 − γ 2 ǁ H β (Ω) nho , 0 < β < α.
Vắy ta đó chi ra rang
1+α ǁγ 1 − γ 2 ǁ H β ≤ ǁγ 1 − γ 2 ǁ L 2 (Ω) + 4C 0 ǁγ 1 − γ 2 ǁ L 2 (Ω) Áp dung đ%nh lý 3.2 , ta thay rang khi ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ nho, vì hàm V không giam nên ta suy ra ǁγ 1 − γ 2 ǁ L 2 (Ω) nho Vắy ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ nho thỡ ǁγ 1 − γ 2 ǁ H β (Ω) nho.
Ví du dưói đây đe chi ra rang neu β = α thì tính őn đ%nh cna bài toán Calderón không còn nua.
Ví dn 3.2 Ta xét tính dan γ N (x) , có dang
, N = 1, 2, , trong đó bán kính a N = 2 −(N+2) , x (j,k) = ( j , k ), và giá tr% γ 0 = 1, hàm ρ đưoc xác đ
%nh như ví du trên.
Ta ký hiắu cỏc hỡnh trũn B j,k,N B a N
Muc tiêu ta tính ǁγ N ǁ H α (B) < C α , ǁγ N − γ 0 ǁ H α (B) ≥ ε 0 , trong đó C α , ε 0 là hang so
Theo đ%nh nghĩa chuan cna hàm γ N trong H α (B), 0 < α < 1 ta có ǁγ N ǁ H α (
= t Ta suy ra dx = a 2 dt Khi đó N
Ta suy ra dx = a 2 dz, dy = a 2 dt.
Tính toán tương tn như J j,k ta suy ra
B ây gi ò đe đá nh gi á
) ta ca n bő đe sa u:
Bo đe 3.1 (1)Vái 0 < α < 1, ta có l 1+2α h®i tn. l= 1
Chúng minh (1)Vói 0 < α < 1, xét hàm f (t) t 1+2α , vói t ≥ 1.
Khi đú theo dau hiắu tớch phõn Cauchy chuoi đó cho h®i tu.
(2)Vói 0 < α < 1, cho l = 1, 2 co đ%nh Ta có
Dna vào bő đe 3 1 ta có đánh giá M j,k,j J ,k J như sau: Σ
Do f (t) 0, đơn điắu giam trờn [0; + ) và lim
Theo chúng minh phan trên chuoi l 1+2α hđi tu, nờn theo dau hiắu so sỏnh chuoi l= 1 Σ
Như vắy tự (3.23), ta có
Mắt khỏc, tự đ%nh nghĩa chuan cna toỏn tu trong H α (B), 0 < α < 1, ta thay rang
Tù (3.22) ta suy ra dy 1 dy 2
= (2 N + 1) 2 C 1 2 −2(N +2−2α) ≥ C 1 = s 0 , trong đó ε 0 là hang so.
Mắt khỏc theo đ%nh lý 2.6 ta cú ǁΛ γ N − Λ γ 0 ǁ Y ≤ C J ǁγ N − γ 0 ǁ L ∞ (B)
Ta thay rang ǁΛ γ 1 − Λ γ 2 ǁ ∗ nho nhưng ǁγ 1 − γ 2 ǁ H α (B) khụng nho Như vắy, bài toỏn Calderón không őn đ%nh khi β = α. Σ a 2 α α γ N γ 0
Trong bài viết này, tác giả chứng minh thông qua ví dụ nổi bật về bài toán Calderón, đồng thời trình bày một số ví dụ khác Những minh chứng này làm rõ sự quan trọng của bài toán trong lĩnh vực nghiên cứu hiện tại.
Chương 1 trình bày về không gian Sobolev, bắt đầu với Định lý 1.5 liên quan đến việc nhúng không gian này Tiếp theo, Định lý 1.6 được giới thiệu qua hình tròn, sau đó là Định lý 1.7 với nội dung về thỏa thuận, Định lý 1.8 đề cập đến những khía cạnh đặc trưng và Định lý 1.9 làm rõ đặc trưng của không gian H¹ Cuối cùng, chương này kết thúc với Định lý 1.10 về bất đẳng thức Poincaré và Định lý 1.11 liên quan đến các đặc điểm khác.
• Chương 2: Trình bày cu the chúng minh Đ%nh lý 2.1 (Cacciopolli); trình bày các ket qua ve tớnh trơn cna nghiắm cna phương trỡnh elliptic khi tớnh dan thuđc
C 0,1 bao gom Đ%nh lý 2.3 Khi tính dan thu®c C ∞ ta thu đưoc ket qua cu the Đ
Định lý 2.5 trình bày về sự tồn tại duy nhất của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic Tác giả định nghĩa ánh xạ Dirichlet-Neumann và một số tính chất của ánh xạ này, được thể hiện qua Định lý 2.6 Nội dung này nhấn mạnh tầm quan trọng của các định lý trong việc giải quyết bài toán biên Dirichlet.
Hệ số Fourier \( u_n(r) \) và \( v_n(r) \) được xác định qua công thức:\[2\pi 0 u(r, \theta) e^{-in\theta} d\theta,\]cùng với Mệnh đề 2.1 về hệ số Fourier của hàm \( \Lambda \gamma f \) Dựa vào các định lý và mệnh đề này, chúng ta có thể viết ánh xạ Dirichlet - Neumann một cách rõ ràng.
Chương 3 trình bày các kết quả của Alessandrini liên quan đến tính ổn định Lipschitz và khả năng khôi phục tính đàn hồi trong bài toán Dirichlet-Neumann Cụ thể, các định lý như Mệnh đề 3.4 về tính ổn định và Mệnh đề 3.3 đã được chứng minh, góp phần làm rõ hơn những khía cạnh quan trọng trong nghiên cứu này.
(khôi phuc) Ngoài ra, ngưòi viet trình bày hai ket qua Ket qua thú nhat cna
T.Barcelo đã nghiên cứu và chỉ ra rằng các tính chất của các tính toán trong C α được thể hiện rõ trong Định lý 3.1 Theo đó, tác giả nhấn mạnh rằng C β tồn tại với điều kiện 0 < β < α.
Nhưng khi β bang α, ngưòi viet đã chúng minh đưoc tính őn đ%nh cna bài toán Calderón không còn nua (Ví du 3.1).
Kết quả thứ hai của A Clop và đồng nghiệp về tính ổn định của các toán tử trong H α, cụ thể là Định lý 3.2, cho thấy rằng H β ổn định với 0 < β < α Tuy nhiên, khi β bằng α, bài toán Calderón không ổn định, như được minh chứng trong Ví dụ 3.2.
[1]Đắng Anh Tuan (2016), Lý thuyet hàm suy rđng và khụng gian Sobolev, Đai HQc Quoc gia Hà N®i.
Đinh Thị Huyền (2018) đã nghiên cứu bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic trong hình tròn đơn, với mục tiêu bảo toàn trong không gian Nghiên cứu này được trình bày trong hội thảo khoa học tại Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3]Mai Th% Kim Dung(2018), Ví dn cua Alessandrini ve bài toán Calderón và m®t so van đe liờn quan, Khúa luắn tot nghiắp, Đai HQc Khoa HQc Tn nhiờn, ĐHQGHN.
[4]A Benyi and T Oh (2013), The Sobolev inequality on the torus revisited,
Publ.Math.Debrecen,Vol 83 No 3, 359-379.
[5]A Clop, D Faraco and A Ruiz (2010), Stability of Calderón’s inverse conductivity problem in the plane for discontinuous conductivities Inverse Problems and Imaging,
[6]G Alessandrini (1988), Stable Determination of Conductivity by Boundary Measure- ments, Applicable Analysis, Vol 27, pp 153-172.
[7]J Feldman, M Salo and G Uhlmann, The Calderón Problem- An Introduction to
[8]L Grafakos (2014), Classical Fourier Analysis, third edition, Springer, New York.
[9]Mai Th% Kim Dung and Đắng Anh Tuan (2019), Calderún’s problem for some classes of conductivities in circularly symmetric domains , Acta Mathematica Vietnamica,
[10]R A Adams and J J F Fournier(2003), Sobolev Spaces, 2nd edition , Pure and Applied Mathematics, Academic Press,Vol 140.
[11]T Barcelo, D Faraco, A Ruiz (2007), Stability of Calderon inverse conductivity problem in the plane, J de Mathematiques Pures et Appliquees, Vol 8, No 6 , 552-