Toán tử tuyến tính liên tục
Giả sử H1 và H2 là hai không gian vector trên trường K, toán tử tuyến tính T từ H1 vào H2 là ánh xạ tuyến tính từ miền xác định D(T) vào H2, với D(T) là không gian con của H1 Miền xác định D(T) của T được xác định là tập hợp R(T) = {Tx : x ∈ D(T)}, gọi là miền giá trị của T Trong phần này, chúng tôi sẽ sử dụng thuật ngữ "toán tử" để chỉ các toán tử tuyến tính.
Nếu H 1 = H 2 = H, thì T được gọi là toán tử trên H Toán tử từ H vào K được gọi là phiếm hàm tuyến tính, với miền giá trị của T là không gian con của H 2 Một toán tử được xem là đơn ánh nếu điều kiện Tx = 0 dẫn đến x = 0 Trong trường hợp này, toán tử ngược T −1 của T được xác định.
Ta có T −1 là toán tử từ H 2 vào H 1 Với toán tử T từ H 1 vào H 2 và a ∈ K, toán tử aT được xác định như sau
D(aT ) = aD(T ), (aT )x = a(Tx) với x ∈ D(aT ).
Xét hai toán tử S, T từ H 1 vào H 2 , toán tử tổng S + T được xác định như sau
Nếu S là toán tử từ H 1 vào H 2 và T là toán tử từ H 2 vào H 3 thì toán tử tích TS được định nghĩa như sau
D(TS) = {x ∈ D(S) : Sx ∈ D(T )}, (TS)x = T (Sx) với x ∈
Giả sử S và T là hai toán tử từ H 1 vào H 2 Toán tử T được gọi là một mở rộng (hay thác triển) của S nếu ta có
Giả sử H1 và H2 là hai không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng là ||·||1 và ||·||2 Toán tử T từ H1 vào H2 được gọi là liên tục tại x ∈ D(T) nếu với mọi dãy (xn) ⊂ D(T) thỏa mãn lim n xn = x, thì lim n Txn = Tx Toán tử T được gọi là liên tục nếu nó liên tục với mọi x ∈ D(T) T được coi là bị chặn nếu tồn tại C > 0 sao cho ||Tx||2 ≤ C||x||1 với mọi x ∈ D(T) Định lý 1.1.1 cho biết rằng nếu T là một toán tử từ H1 vào H2, thì các khẳng định liên quan đến tính chất liên tục và bị chặn của T là tương đương.
T là toán tử bị chặn từ H 1 vào H 2, chuẩn ǁTǁ được xác định như sau ǁTǁ = inf{C “ 0 : ǁTxǁ 2 ™ Cǁxǁ 1 với mọi x ∈ D(T )}.
Ký hiệu L(H1, H2) đại diện cho tập hợp các toán tử bị chặn từ không gian H1 vào H2 với miền xác định là H1 Không gian L(H1, H2) cùng với chuẩn ǁ.ǁΣ là không gian định chuẩn Nếu H2 là không gian Banach, thì L(H1, H2) với chuẩn ǁ.ǁΣ cũng sẽ là không gian Banach Hơn nữa, nếu S thuộc L(H1, H2) và T thuộc L(H2, H3), thì tích TS sẽ thuộc L(H1, H3).
D(TS) = {x ∈ H 1 : Sx ∈ D(T ) = H 2 } = H 1 và ǁTSxǁ 3 ™ ǁSǁ.ǁTǁ 23 ǁxǁ 1 với mọi x ∈ H 1
Ta sẽ ký hiệu L(H) thay cho L(H, H) Với S, U, T ∈ L(H) thì ta có
Toán tử I với miền xác định D(I) = H và Ix = x với mọi x ∈
H Dễ thấy rằng ǁIǁ = 1 và IT = TI = T với mọi T ∈ L(H) Ta gọi I là toán tử đồng nhất trên H.
Toán tử T : D(T ) ⊂ H 1 → H 2 được xem là xác định trù mật nếu D(T ) là tập trù mật trong H 1 Theo Định lý 1.1.2, nếu T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn H 1 vào không gian Banach H 2, thì tồn tại duy nhất một toán tử mở rộng bị chặn S của T với D(S) = D(T ) và ǁSǁ = ǁTǁ.
Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết không gian Hilbert Định lý biểu diễn Riesz, một định lý cơ bản trong lĩnh vực này, khẳng định rằng với mỗi điểm a thuộc H, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục T_a với miền xác định D(T_a) bằng H.
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục T a trên không gian Hilbert H đều có thể được biểu diễn một cách duy nhất theo công thức (1.1), với điều kiện a ∈ H thỏa mãn (1.2).
Trong bài viết này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm quan trọng về giá trị riêng, vector riêng, tập phổ và tập giải của toán tử tuyến tính tất định Một số z được gọi là giá trị riêng của toán tử T nếu tồn tại x ∈ D(T) \ {0} sao cho Tx = zx, tức là toán tử z−T = zI−T không phải là đơn ánh (Ker(z − T) ≠ {0}) Phần tử x được gọi là vector riêng của toán tử T ứng với giá trị riêng z, và không gian con Ker(z − T) được gọi là không gian giá trị riêng của z Nếu z không phải là giá trị riêng của T, ta định nghĩa R(z, T) = (z − T) −1 Tập hợp ρ(T) = {z ∈ K : z − T đơn ánh, và R(z, T) ∈ L(H)} được gọi là tập giải của toán tử T, với K là trường số thực hoặc phức Nếu toán tử T không đóng, thì z − T và R(z, T) cũng không đóng, dẫn đến ρ(T) = ∅ Ngược lại, nếu toán tử T đóng, theo định lý đồ thị đóng, ta có ρ(T) = {z ∈ K : z − T là song ánh}.
R(., T ) : ρ(T ) → L(H) , z ›→ R(z, T ) được gọi là giải của toán tử T Với mỗi z ∈ ρ(T ) toán tử R(z,
T ) được gọi là giải của toán tử T tại điểm z Tập hợp σ(T ) K\ρ(T ) được gọi là tập phổ của toán tử T
Toán tử liên hợp
Định nghĩa 1.1.4 Giả sử H 1 , H 2 là các không gian Hilbert và toán tử T : D(T ) ⊂ H 1 → H 2 với miền xác định D(T ) trù mật. Toán tử T ∗ : D(T ∗ ) ⊂ H 2 → H 1 với miền xác định D(T ∗ ) như sau
D(T ∗ ) = {y ∈ H 2 : phiếm hàm x ›→ (Tx, y) liên tục trên
Toán tử liên hợp của T được định nghĩa là (T x, y) = (x, T ∗ y) với mọi x ∈ D(T) và y ∈ D(T ∗) Ký hiệu T ∗∗ là toán tử liên hợp của T ∗ Theo Định lý 1.1.5, nếu T là toán tử xác định trù mật từ H1 vào H2, thì các tính chất liên quan sẽ được xác lập.
(a) T bị chặn khi và chỉ khi T ∗ ∈ L(H 2 , H 1).
(b) Nếu T bị chặn thì ǁT ǁ = ǁT ∗ ǁ.
(c) Nếu T bị chặn thì T ∗∗ là thác triển liên tục của toán tử T lên toàn bộ không gian H 1 Với T ∈ L(H 1 , H 2) ta có T ∗∗ = T.
Nếu S và T xác định trù mật từ H 1 vào H 2 và S ⊂ T thì T ∗ ⊂
S ∗ Ta có kết quả sau. Định lý 1.1.6 ([50], Định lý 4.19, 4.20) Giả sử T 1 , T 2 tương ứng là toán tử xác định trù mật từ H 1 vào H 2 và từ H 2 vào H 3 Khi đó
(a) Nếu T 2 T 1 xác định trù mật, thì ta có T 1 ∗ T 2 ∗ ⊂ (T 2 T 1) ∗
Giả sử S, T là các toán tử từ H 1 vào H 2 , khi đó
(a) Nếu T xác định trù mật, thì ta có (aT ) ∗ = aT ∗ , ∀a ƒ= 0.
(b) Nếu T 1 + T 2 xác định trù mật, thì ta có T 1 ∗ + T 2 ∗ ⊂ (T 1 + T 2) ∗
(c) Nếu S ∈ L(H 1 , H 2) và T xác định trù mật, thì ta có (T 1 + T 2) ∗ T 1 ∗ + T 2 ∗
Toán tử tự liên hợp, Hermit, và chuẩn tắc
Định nghĩa 1.1.7 1 Toán tử T trên không gian Hilbert H được gọi là đối xứng nếu
2 Toán tử T xác định trù mật trên không gian Hilbert H được gọi là toán tử chuẩn tắc nếu nó bị chặn và T T ∗ = T ∗ T.
3 Toán tử T trên không gian Hilbert H được gọi là tự liên hợp nếu
4 Toán tử T trên không gian Hilbert H được gọi là Hermit nếu nó bị chặn, D(T ) = H và đối xứng.
Toán tử tự liên hợp là một loại toán tử chuẩn tắc, trong đó nếu T là toán tử chuẩn tắc, thì z + T cũng sẽ là toán tử chuẩn tắc với mọi z thuộc K Đặc biệt, nếu T là toán tử đối xứng và miền xác định D(T) bằng H, thì T sẽ được coi là tự liên hợp.
(a) Toán tử đối xứng T trên không gian Hilbert phức H là tự liên hợp nếu và chỉ nếu σ(T ) ⊂ R.
(b) Nếu toán tử T tự liên hợp thì các khẳng định sau là tương đương
(ii) tồn tại c > 0 sao cho ǁ(z − T )xǁ “ cǁxǁ với mọi z ∈
D(T ), nghĩa là (z − T ) là đơn ánh và ǁR(z, T )ǁ < c −1 (iii) R(z − T ) = H.
Kết quả dưới đây chứng minh sự tồn tại của toán tử tự liên hợp mở rộng cho lớp toán tử đối xứng Một toán tử đối xứng S trên không gian Hilbert H được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại γ ∈ R sao cho (x, Sx) ≥ γǁxǁ² với mọi x ∈ D(S) Định lý 1.1.9 chỉ ra rằng nếu S là toán tử đối xứng thỏa mãn điều kiện trên, thì với mỗi θ < γ, tồn tại toán tử mở rộng tự liên hợp Tθ của S sao cho (x, Tθ x) ≥ θǁxǁ² cho mọi x ∈ D(Tθ) Định lý 1.1.10 mở rộng cho toán tử Hermit bị chặn, cho biết nếu S là toán tử Hermit bị chặn trên không gian Hilbert H, thì tồn tại toán tử mở rộng tự liên hợp T ∈ L(H) của S với ǁTǁ = ǁSǁ Nếu R(S) trù mật, mọi toán tử thác triển tự liên hợp của S là đơn ánh.
Định lý biểu diễn phổ cho toán tử chuẩn tắc, toán tử Hermit
Trong phần này, chúng tôi sẽ thảo luận về độ đo phổ và định lý phổ liên quan đến toán tử chuẩn tắc và toán tử Hermit Kết quả ngẫu nhiên hóa cho vấn đề này trong trường hợp ngẫu nhiên sẽ được trình bày chi tiết trong chương 2.
Xét H là không gian Hilbert, M là không gian con đóng của H Khi đó với x ∈ H có biểu diễn duy nhất dạng x = u + v với u ∈ M và v ∈ M ⊥ Xét ánh xạ P với D(P ) = H và Px
= u thì P là một toán tử tuyến tính trên H, và được gọi là toán tử chiếu trực giao trên M Nếu M = {0} thì P = 0, còn nếu M ƒ= {0} thì ǁPǁ = 1 Vì Px = x ∀x ∈ M nên ta có P 2
Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết không gian Hilbert, ta định nghĩa toán tử chiếu trực giao là toán tử có R(P) = M và Ker(P) = M⊥ Để đơn giản hóa, chúng ta gọi toán tử này là toán tử chiếu Độ đo phổ được định nghĩa như sau: Cho tập hợp S và A là σ−đại số các tập con của S, cùng với H là không gian Hilbert, độ đo phổ trên (S, A, H) là ánh xạ E: A → L(H) thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(a) với mỗi M ∈ A, ánh xạ E(M ) là toán tử chiếu;
(d) nếu {M n } ∞ n=1 là dãy các tập đôi một rời nhau trong A thì
Nếu E là độ đo phổ trên (S, A, H) và x, y ∈ H thì
Đo lường σ-cộng tính E x,y (M ) = (E(M )x, y) Σ được xác định trên A với biến phân toàn phần không vượt quá ǁxǁǁyǁ Đối với ánh xạ f : S → K đo được bị chặn, chúng ta có định nghĩa tích phân của hàm đo được bị chặn liên quan đến độ đo phổ E, được ký hiệu là S f E(ds) (tham khảo [11], trang).
Định lý hội tụ bị chặn trong lý thuyết độ đo là một kết quả kinh điển, đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng các kết quả sau này Tương tự, đối với độ đo phổ cũng có những kết quả tương tự Định lý 1.1.12 chỉ ra rằng nếu E là độ đo phổ trên (S, A, H) và (f n ) là dãy các hàm trong B(S) với điều kiện tồn tại M > 0 để ǁf n ǁ ™ M cho mọi n, thì nếu lim n→∞ f n = f, thì với mỗi x ∈ H, ta có n→ lim.
Kết quả sau thể hiện mối liên hệ giữa độ đo phổ với toán tử chuẩn tắc và toán tử Hermit. Định lý 1.1.13 (xem [15, 18, 50, 51]).
1 Nếu E là độ đo phổ trên (S, A, H) và f : S → C là một hàm đo được bị chặn, thì T = S f E(dz) là một toán tử chuẩn tắc, nghĩa là T T ∗ = T ∗ T.
2 Giả sử T là một toán tử chuẩn tắc và tập phổ σ(T ) ⊂ C.
Khi đó σ(T ) là tập compact và tồn tại độ đo phổ E xác định trên các tập Borel của σ(T ) thỏa mãn
Giả sử T là một toán tử Hermit với tập phổ σ(T ) nằm trong R, thì σ(T ) sẽ là một tập compact Điều này cho thấy rằng tồn tại một độ đo phổ E được xác định trên các tập Borel của σ(T ), đáp ứng các yêu cầu cần thiết trong lý thuyết toán học.
Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
Định nghĩa, các ví dụ
Giả sử X và Y là các không gian Banach khả ly, và (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ Tập hợp L X (Ω) bao gồm các biến ngẫu nhiên trên Ω với giá trị thuộc X.
1 Một ánh xạ A từ X vào L Y (Ω) được gọi là một ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y hay còn gọi là ánh xạ ngẫu nhiên Y −giá trị với miền xác định là X.
2 Ánh xạ ngẫu nhiên A từ X vào Y được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính nếu với mỗi x 1 , x 2 ∈ X và λ 1 , λ 2 ∈ R ta có
Chú ý rằng, tập bỏ qua được nói chung phụ thuộc vào λ 1 , λ 2 và x 1 , x 2
3 Ánh xạ ngẫu nhiên A từ X vào Y được gọi là liên tục ngẫu nhiên tại x 0 ∈ X nếu p − x lim x Ax = Ax 0 (1.5)
0 tức là lim P (ǁAx − Ax 0 ǁ > t) = 0 ∀t > 0.
4 Ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y (hay còn gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Y − giá trị với miền xác định là X) nếu nó tuyến tính và liên tục ngẫu nhiên.
5 Họ (u i , i ∈ I) các biến ngẫu nhiên Y
−giá trị được gọi là bị chặn ngẫu nhiên (hay bị chặn theo xác suất) nếu lim sup P (ǁu i ǁ > t)
(1.6) t→∞ i∈I và được gọi là bị chặn (hay bị chặn hầu chắc chắn) nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên thực k(ω) sao cho với mọi i ∈ I ǁu i (ω)ǁ ™ k(ω) h.c.c.,
(1.7) với tập ω thỏa mãn bất đẳng thức (1.7) phụ thuộc vào i ∈ I.
Dưới đây là ví dụ về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Các ví dụ này đã được trình bày trong các tài liệu [3, 7],[38]- [45].
Giả sử X là không gian Fréchet và Y là không gian Banach, với B : Ω → L(X, Y ) là một biến ngẫu nhiên Ánh xạ A : X → Y được xác định cho mỗi x ∈ X.
)x là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính.
(f n ) n“1 là một dãy các ánh xạ tuyến tính tất định đo được từ X vào Y
Bana ch kh ả ly) , và (α n ) n“
=1 α n f n ( x) hội tụ theo xác suất Khi đó phép tương ứng x −→ ∞ n
= 1 α n f n (x) Σ Σ xác định một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y
Ví dụ 1.2.4 (Tích phân ngẫu nhiên) Cho (W t , t ∈ [0, 1]) là chuyển động Brown trên [0, 1] Với mỗi hàm x = x(t) ∈ L 2([0, 1]) đặt
Ax là một hàm ngẫu nhiên liên tục trên khoảng [0, 1], do đó Ax(t) có thể được coi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian C[0, 1] Từ đó, phép tương ứng x → Ax tạo ra một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ không gian L²([0, 1]) vào không gian C[0, 1].
Một số tính chất cơ bản
Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ không gian X vào không gian Y được định nghĩa là ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính liên tục từ X vào L Y (Ω) Theo Định lý 1.2.5, một ánh xạ A : X → L Y (Ω) là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính nếu và chỉ nếu lim sup P ǁAxǁ > t Σ = 0 khi t tiến tới vô cùng Định lý 1.2.6 khẳng định rằng A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khi và chỉ khi với mọi dãy (x n ) thuộc X, nếu lim n x n = x và p-lim n Ax n = ϕ, thì điều này cũng được thỏa mãn.
Ax = ϕ h.c.c Định lý 1.2.7 nêu rõ rằng nếu A i : X → Y, với i ∈ I là một tập hợp các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, thì các toán tử này phải đáp ứng các điều kiện nhất định liên quan đến nguyên lý bị chặn đều.
Với mỗi x ∈ X ta có lim sup P ǁA i xǁ > t Σ = 0. t→∞ i∈I
Theo định lý Banach-Steinhaus cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, giả sử A_n: X → Y là một dãy các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, với mỗi x ∈ X, thì (A_n x) hội tụ trong không gian L_Y(Ω) Khi đó, ánh xạ A: X → L_Y(Ω) được xác định bởi giới hạn lim sup P ǁA_i xǁ > t Σ = 0 khi t tiến tới vô cùng.
A n x, là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính.
Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày lại hai khái niệm liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính và một số kết quả có liên quan Định nghĩa 1.2.9 xác định rằng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y được gọi là bị chặn ngẫu nhiên nếu nó ảnh hưởng đến họ biến ngẫu nhiên Y.
∈ B} bị chặn ngẫu nhiên, tức là lim
2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
Chú ý rằng, tập bỏ qua được trong bất đẳng thức (1.9) có thể phụ thuộc vào x.
Ví dụ 1.2.10 Cho T 1 , T 2 , , T n ∈ L(X, Y ) và α 1 , , α n là các biến ngẫu nhiên thực Khi đó ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính A xác định bởi
Ax n α i T i x i=1 là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn từ X vào Y.
Ví dụ 1.2.11 Cho K(s, t, ω) là hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo mẫu xác định và liên tục trên [0, 1] × [0, 1] Với mỗi x(t) ∈
Khi đó A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ C[0, 1] vào chính nó Ta lại có
|Ax(t, ω)| ™ ǁx ∫ 1 K(s, t, ω)|ds ™ ǁK(ω)ǁǁxǁ, vậy A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Trong toán học, đối với toán tử tuyến tính xác định, tính liên tục và tính bị chặn là tương đương Kết quả này cũng áp dụng trong môi trường ngẫu nhiên Định lý 1.2.12 chỉ ra rằng nếu A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, thì tính liên tục ngẫu nhiên của A cũng tương đương với tính bị chặn ngẫu nhiên.
Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính có thể không bị chặn, và dưới đây là một ví dụ minh họa cho loại toán tử này.
Ví dụ 1.2.13 (xem [43], Ví dụ 2) Xét ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính A từ L 2[0, 1] vào C[0, 1] xác định như sau
Chúng tôi sẽ trình bày toán tử ngẫu nhiên tuyến tính không bị chặn Rõ ràng rằng A là một toán tử tuyến tính Đầu tiên, chúng tôi sẽ chứng minh rằng A là liên tục ngẫu nhiên Theo bất đẳng thức martingale, chúng ta có thể xác nhận tính chất này.
Như vậy lim sup P (ǁAxǁ > t) ™ lim 1
Theo Định lý 1.2.12 thì A là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L 2[0, 1] vào C[0, 1].
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng A không bị chặn Thật vậy, với mỗi h ∈
(0, 1/e) ta đặt x h (t) là một hàm thực trên [0, 1] xác định như sau
− h) ln ln(1/h) ǁAx h (ω)ǁ = sup ǁAx h
Theo luật loga lặp đối với quá trình Wiener ta có lim sup Ax h (ω) “ 1 h.c.c. h→0
Vì (W t ) là một quá trình liên tục, ta có giới hạn sup Ax (ω) khi h tiến tới 0, với h thuộc tập số hữu tỉ Q Nếu A bị chặn, thì tồn tại một biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho ||Ax h (ω)|| nhỏ hơn hoặc bằng k(ω)||x h ||.
Vì vậy tồn tại tập D có xác suất một sao cho với mỗi ω ∈ D và h ∈ Q ta có ǁAx h (ω)ǁ ™ k(ω)ǁx h ǁ → 0 khi h → 0.
(1.12) Do (1.10), (1.11) và (1.12) mâu thuẫn nhau nên A không bị chặn.
Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn có thể dẫn đến kết quả ngẫu nhiên bị chặn, nhưng cũng có những trường hợp không bị chặn Bài viết này sẽ trình bày ví dụ cụ thể về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn ngẫu nhiên, đồng thời làm rõ sự khác biệt với các toán tử không bị chặn.
Ví dụ 1.2.14 (xem [43], Ví dụ 3) Ta xác định toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ L 2[0, 1] vào L 2[0, 1] xác định như sau:
Trước hết, ta chứng minh rằng A bị chặn theo xác suất Thật vậy, ta có
0 0 nên ta có lim sup P (ǁAxǁ > r) ™ lim
Theo Định lý 1.2.12 thì A là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L 2[0, 1] vào L 2[0, 1].
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng A không bị chặn Thật vậy, với mỗi 0 < h < 1/e ta đặt x h (t) là một hàm thực trên [0, 1] xác định bởi
2h ln ln(1/h) Theo luật loga lặp đối với quá trình Wiener lim sup Ax h (ω) “ 1 h.c.c (1.14) h→0
Nếu Φ bị chặn thì theo định nghĩa tồn tại một biến ngẫu nhiên k(ω) sao cho x h (t)
(1.15) Do (1.13), (1.14) và (1.15) mâu thuẫn nhau nên A không bị chặn.
Kết quả dưới đây trình bày các điều kiện cần và đủ để một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A được coi là bị chặn Định lý 1.2.15 nêu rõ các tiêu chí này, theo tài liệu [43], Định lý 3.1.
X vào Y bị chặn khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ T A : Ω → L(X, Y ) thỏa mãn
Theo Định lý 1.2.15, mỗi toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn A từ không gian X vào không gian Y có thể được coi là một tập hợp các toán tử bị chặn từ X vào Y, được tham số hóa bởi một tập hợp nhất định.
Ω, ta ký hiệu là A = {A(ω) : ω ∈ Ω} trong đó, mỗi ω ∈ Ω thì A(ω) ∈ L(X, Y ). Định lý 1.2.17 Xét A : X → Y là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Xác định ánh xạ A˜ trên L X (Ω) như sau
Khi đó A˜ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục từ L X (Ω) vào
Kết quả cho thấy rằng mỗi toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn A : X → L Y (Ω) có thể được mở rộng thành toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục A˜ : L X (Ω) → L Y (Ω) bằng cách sử dụng quy tắc đặt 0.
Như vậy, nếu A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn thì ta sẽ coi A chính là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn A˜ từ L X (Ω) vào
Tiếp theo chúng tôi đưa ra khái niệm hợp thành của hai toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
0 0 Định nghĩa 1.2.18 Giả sử A, B là các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn từ X vào X, khi đó hợp thành AB : X → L X (Ω) được xác định như sa u (AB)(x) = A˜(Bx).
Từ phần sau của luận án, để rút gọn thì A˜ của A cũng sẽ được ký hiệu là A Khi đó ta viết (AB)(x) = A(Bx)
Bổ đề 1.2.19 khẳng định rằng nếu A và B là các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn từ không gian X vào chính nó, thì tích AB cũng sẽ là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn, đồng thời thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp
Giả sử H là không gian Hilbert khả ly, với tích trong là (., ).
Từ phần này trở đi, ta sẽ gọi toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ
H vào H là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên H. Định nghĩa 1.2.20 Cho A, B là các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên
H Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính B được gọi là liên hợp của A nếu với mọi x, y ∈ H ta có
(Ax, y) = (x, By) h.c.c Đặt A ∗ = B, trong phần sau của luận án, ta sẽ sử dụng ký hiệu
A ∗ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên hợp của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A nếu tồn tại.
Trong toán học, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính không luôn có liên hợp Tuy nhiên, nếu liên hợp của một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính tồn tại, thì nó là duy nhất.
Kết quả trình bày cho thấy điều kiện cần và đủ để toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A có liên hợp Theo Định lý 1.2.21, toán tử A có liên hợp nếu và chỉ nếu với mỗi cơ sở (e n) trong không gian xác suất.
Ví dụ 1.2.22 Xét (ξ n ) là dãy các biến ngẫu nhiên phức độc lập cùng phân bố thỏa mãn Eξ n = 0, E|ξ n | 2 = 1 Với mỗi x ∈ H ta có
Vì vậy chuỗi Σ ∞ k=1 (x, e k )ξ k hội tụ hầu chắc chắn Lấy a ∈ H sao cho a ƒ= 0 Xét ánh xạ A : H → L H (Ω) xác định như sau
Khi đó A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Ta có
Theo Định lý 1.2.21, thì toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A không có liên hợp.
Xét dãy (T n ) gồm các toán tử tuyến tính liên tục tất định trên không gian H, cùng với dãy các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập (ξ n ) có kỳ vọng 0 và phương sai 1 Giả sử rằng với mỗi x ∈
Khi đó với mỗi x ∈ H thì chuỗi ǁT n xǁ < ∞.
Theo Định lý Banach-Steinhaus, thì ánh xạ A : H → L H (Ω) xác định như sau Ax = Σ ∞ n=1 ξ n T n x tuyến tính và liên tục, vì vậy nó xác định một
0 toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A có liên hợp khi và chỉ khi với mỗi x ∈ H thì chuỗi
Bổ đề 1.2.24 Giả sử toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A bị chặn.
Khi đó A có liên hợp A ∗ Hơn nữa A ∗ bị chặn và thỏa mãn
(Au(ω), v(ω)) = (u(ω), A ∗ v(ω)) h.c.c. Định nghĩa 1.2.25 Giả sử A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không gian Hilbert khả ly H.
• A được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit nếu nó bị chặn và
• A được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc nếu nó bị chặn và AA ∗ = A ∗ A.
Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính
Khái niệm toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính được GS Đặng Hùng Thắng và TS Nguyễn Thịnh giới thiệu trong bài báo [47] Họ đã chứng minh định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính chuẩn tắc và toán tử ngẫu nhiên tuyến suy rộng tuyến tính tự liên hợp Định nghĩa này được nêu rõ trong Định nghĩa 1.2.26 của bài báo.
1 Tập con M của L H (Ω) được gọi là không gian tuyến tính ngẫu nhiên nếu u 1 , u 2 ∈ M, ξ 1 , ξ 2 ∈ L 0(Ω) thì ξ 1 u 1 + ξ 2 u 2 ∈ M. Σ
2 Giả sử M là không gian tuyến tính ngẫu nhiên Ánh xạ Φ : M
→ L H (Ω) được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính nếu với mỗi u 1 , u 2 ∈ M, ξ 1 , ξ 2 ∈ L 0(Ω) ta có Φ(ξ 1 u 1 + ξ 2 u 2) = ξ 1Φ(u 1) + ξ 2Φ(u 2) h.c.c.
3 Ánh xạ ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ : M → L H (Ω) với miền xác định trù mật được gọi là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Miền xác định M của Φ sẽ được ký hiệu là D(Φ).
Giả sử A là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, nó có thể được phát triển thành một toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Cụ thể, xét [H] là tập hợp các biến ngẫu nhiên u nhận giá trị trong H với dạng u = ∑(ξ_i * x_i), trong đó i=1, ξ_i thuộc L^0 và x_i thuộc H Rõ ràng, [H] là một không gian ngẫu nhiên tuyến tính.
Xác định toán tử Φ A : [H] → L H (Ω) như sau n
Ta có Φ A là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính và Φ A là một thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A.
Giả sử Φ : D(Φ) → L H (Ω) là một toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính với miền xác định trù mật D(Φ) Xét M ∗ là tập hợp các phần tử v ∈ L H (Ω) tồn tại g ∈ L H (Ω) sao cho với mọi u ∈ D(Φ) đều có điều kiện tương ứng.
Ta có biến ngẫu nhiên g xác định duy nhất với mỗi v Đặt g Φ ∗ v Ta thu được ánh xạ Φ ∗ : M ∗ → L H (Ω), với miền xác định
M ∗ , ký hiệu là D(Φ ∗ ) Ta có D(Φ ∗ ) là không gian tuyến tính ngẫu nhiên và Φ ∗ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng.
0 Định nghĩa 1.2.28 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ ∗ : D(Φ ∗ ) −→ L H (Ω) được gọi là liên hợp của Φ nếu thỏa mãn quan hệ sau
Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ được định nghĩa là liên tục nếu nó duy trì tính liên tục ngẫu nhiên Cụ thể, với mỗi dãy (u n ) thuộc D(Φ) mà lim n u n = u trong D(Φ), thì lim n Φu n sẽ bằng Φu.
2.Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ được gọi là bị chặn nếu tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mỗi u ∈ D(Φ) ta có ǁΦu(ω)ǁ ™ k(ω)ǁu(ω)ǁ h.c.c.
3 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ với miền xác định trù mật
D(Φ) được gọi là đối xứng nếu Φ ⊂ Φ ∗ , nghĩa là
4 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ được gọi là chuẩn tắc nếu nó bị chặn và ΦΦ ∗ = Φ ∗ Φ.
5 Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ với miền xác định trù mật
D(Φ) được gọi là tự liên hợp nếu Φ = Φ ∗
Ví dụ 1.2.30 Giả sử toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A đối xứng
Khi đó toán tử mở rộng Φ A : [H] → L H (Ω) của A cũng đối xứng.
Đối với toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính, các kết quả tương tự như toán tử ngẫu nhiên tuyến tính cũng được áp dụng Những kết quả này được trích dẫn trong bài báo [47] Định lý 1.2.31 nêu rõ những điểm quan trọng liên quan đến vấn đề này.
1 Giả sử Φ : D(Φ) → L H (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn Khi đó Φ có thể thác triển duy nhất thành một toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính liên tục bị chặn Φˆ : L H (Ω) → L H (Ω) Vì vậy không giảm tính tổng quát, giả sử miền xác định của toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn là toàn bộ không gian L H (Ω).
2 Nếu Φ : L H (Ω) → L H (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn thì tồn tại duy nhất (h.c.c.) ánh xạ T : Ω → L(H) thỏa mãn Φu(ω) = T (ω)u(ω) h.c.c (1.20)
3 Ngược lại, giả sử T : Ω → L(H) là ánh xạ thỏa mãn với mỗi x ∈ H thì T (ω)x là biến ngẫu nhiên H−giá trị Khi đó, ánh xạ Φ : L H (Ω) → L H (Ω) xác định bởi (1.20) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn.
4 Nếu Φ : L H (Ω) → L H (Ω) là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn thì Φ ∗ : L H (Ω) → L H (Ω) cũng là toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính bị chặn và thỏa mãn đẳng thức sau Φ ∗ u(ω) = T ∗ (ω)u(ω) h.c.c.
Chương 2 Độ đo phổ ngẫu nhiên và định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày phiên bản ngẫu nhiên của định lý biểu diễn phổ, bắt đầu với độ đo phổ ngẫu nhiên trong Mục 2.1 Định lý biểu diễn phổ áp dụng cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc và toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit Định lý 2.1.2 chứng minh rằng giới hạn của tích phân hàm đo được bị chặn tương ứng với độ đo phổ ngẫu nhiên là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Chúng tôi cũng giới thiệu khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng, với Định lý 2.2.8 là phiên bản ngẫu nhiên hóa của định lý hội tụ bị chặn đối với độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng.
Trong Mục 2.2, Định lý 2.2.9 chỉ ra mọi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên C, B(C)Σ có bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên.
Nội dung chương này được trình bày dựa trên các bài báo đã công bố, bao gồm "Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên" (tạp chí "Southeast Asia Bulletin for Mathematics", 2014) và "Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng" (tạp chí "Journal of Theoretical Probability", 2014) Các kết quả quan trọng trong chương này chủ yếu được tập trung từ bài báo thứ hai.
2.1 Định lý phổ cho toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc và toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit Định nghĩa 2.1.1 Cho H là không gian Hilbert, (S, A) là không gian đo được và (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ Một họ U = {U (ω), ω ∈ Ω} các độ đo phổ tất định với tập chỉ số là Ω thỏa mãn với mỗi x ∈ H, M ∈ A ánh xạ ω ›→ U (ω)(M )x là biến ngẫu nhiên H−giá trị được gọi là độ đo phổ ngẫu nhiên U trên (S, A, H).
Chúng tôi đã chứng minh được kết quả tương ứng với định lý phổ cho toán tử tuyến tính chuẩn tắc và toán tử Hermit trong trường hợp ngẫu nhiên Cụ thể, giả sử A = {A(ω), ω ∈ Ω} là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc, thì tồn tại độ đo phổ ngẫu nhiên U = {U(ω), ω ∈ Ω} được xác định trên (C, B(C), H), sao cho với mỗi x ∈ H, kết quả đều được đảm bảo.
2 Giả sử A = {A(ω), ω ∈ Ω} là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Hermit Khi đó, tồn tại độ đo phổ ngẫu nhiên U = {U (ω), ω
∈ Ω} xác định trên (R, B(R), H) sao cho với mỗi x ∈ H ta có
Chứng minh 1 Với mỗi ω, theo Định lý 1.1.13 thì tồn tại độ đo phổ U (ω) xác định trên các tập con Borel của tập phổ σ(A(ω)) của toán tử A(ω) sao cho
Trước tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.3 Với mỗi M ∈ B(C), x ∈ H, ánh xạ ω ›→ U (ω)(M
Chứng minh Bổ đề 2.1.3 cho thấy rằng với mỗi n, ta định nghĩa D_n = {ω : ǁA(ω)ǁ < n} và B_n = {z ∈ C : |z| < n} Dựa vào bất đẳng thức r(A(ω)) ≤ ǁA(ω)ǁ, trong đó r(A(ω)) là bán kính phổ của toán tử A(ω), ta có σ(A(ω)) ⊂ B_n với mọi ω ∈ D_n.
B zU (ω)(dz)x Bước 1 Giả sử P (z) = Σ k a k z k là đa thức Đặt
P (A(ω)) = ∫ σ(A(ω)) P (z)U (ω)(dz), khi đó ánh xạ ω ›→ P (A(ω))x từ D n vào H đo được Thật vậy,
Với mỗi biến ngẫu nhiên u giá trị trong H, thì ánh xạ ω ›→
A(ω)u(ω) đo được Bằng cách quy nạp với mỗi k thì ω ›→ A(ω) k x đo được Vì vậy ánh xạ ω ›→ P (A(ω))x từ D n vào H đo được.
Bước 2 Nếu f (z) là hàm liên tục xác định trên B n thì ánh xạ ω
›→ f (A(ω))x từ D n vào H là đo được.
Thật vậy, theo định lý Weierstrass, tồn tại dãy đa thức P k (z)Σ hội tụ đều tới f (z) trên B n Do đó |P k (z)| bị chặn đều.
Vì σ(A(ω)) ⊂ B n với ω ∈ D n theo Hệ quả 8 trong tài liệu ([18], trang 899), ta có k→ lim
P k (A(ω))x = f (A(ω))x với mọi ω ∈ D n Vì vậy, từ Bước 1 ta có điều phải chứng minh.
Bước 3 Với mỗi tập đóng M của C và x ∈ H, ánh xạ ω ›→ E(ω)(M )x từ Ω vào H đo được.
Thực vậy, với mỗi số tự nhiên n đặt M n = {s : d(s, M ) ≥
1/n} khi đó M n là tập đóng và M ∩ M n = ∅ Theo bổ đề Urysohn tồn tại hàm liên tục f n thỏa mãn f n (z) = 1 với z ∈
Nếu z ∈/ M thì tồn tại n 0 sao cho d(z, M ) “ 1/n 0 “ 1/n với n ≥ n 0
Vì vậy f n (z) = 0 với n “ n 0 Do đó lim n→∞ f n (z) = 1 M (z).
Vì ánh xạ M → E(ω)(M )x là biến ngẫu nhiên H−giá trị, theo Định lý 1 trong tài tiệu ([16], trang 56) ta có, với mọi ω ∈ D n thì n→ lim
∫ σ(A(ω)) f n (z)U (ω)(dz)x = ∫ σ(A(ω)) 1 M (s)U (ω)(dz)x nghĩa là lim n→∞ f n (A(ω))x = U (ω)(M )x ∀ω ∈ D n Từ Bước 2 suy ra ánh xạ ω ›→ U (ω)(M )x từ D n vào H là đo được. Nhưng D n đo được và Ω = ∪ n D n vì vậy ánh xạ ω ›→ E(ω)(M )x từ Ω vào H là đo được.
Bước cuối Giả sử M là lớp các tập Borel M sao cho ánh xạ ω ›→
U (ω)(M )x từ Ω vào H là đo được Khi đó M là một σ-đại số.
Thực vậy, theo định nghĩa độ đo phổ, với mỗi ω ta có
Từ điều kiện trên, thì M đóng với phép toán giao, hợp và nó là một lớp đơn điệu Vì vậy M là một σ-đại số.
Từ Bước 3, thì M chứa các tập đóng Vậy M đồng nhất với lớp tất cả các tập Borel Do đó, với mọi x ∈ H, M ∈ B, ánh xạ ω ›→ U (ω)(M )x là đo được.
Sử dụng Bổ đề 2.1.3, chúng ta sẽ chứng minh khẳng định đầu tiên trong đẳng thức (2.1) của định lý Cố định ω thuộc tập Ω, do D n tăng dần đến Ω, nên tồn tại n 0(ω) sao cho ω.
∈ D n với mọi số tự nhiên n > n 0(ω) Do đó, nếu n > n 0(ω) thì σ(A(ω)) ⊂ B n điều này suy ra
B zU (ω)(dz)x, nghĩa là A(ω)x lim n→∞ ∫ B n zU (ω)(dz)x
Toán tử ngẫu nhiên chiếu
Để hiểu khái niệm độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng, trước tiên cần định nghĩa toán tử ngẫu nhiên chiếu Theo Định nghĩa 1.2.18 và Bổ đề 1.2.19, một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính P trên không gian H được gọi là toán tử ngẫu nhiên chiếu nếu nó thỏa mãn các điều kiện: bị chặn, tự liên hợp và có tính chất PP = P.
Vì toán tử ngẫu nhiên chiếu P là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn, nên theo Định lý 1.2.15 trình bày trong chương
1, tồn tại ánh xạ T P : Ω → L(H) thỏa mãn Px(ω) = T P (ω)x h.c.c Ta có khẳng định sau. Định lý 2.2.2 Giả sử P là toán tử ngẫu nhiên chiếu trên H.
Khi đó ta có các khẳng định sau
1 T P (ω) là toán tử tuyến tính chiếu trên H với hầu hết ω.
2 với mỗi u ∈ L H (Ω) ta có ǁPu(ω)ǁ ™ ǁu(ω)ǁ h.c.c.
3 với mỗi cặp (u, v) các biến ngẫu nhiên H-giá trị ta có khẳng định sau
Chứng minh 1 Theo (1.17) và (1.18) suy ra P là toán tử ngẫu nhiên chiếu trên H khi và chỉ khi với hầu hết ω toán tử T P (ω) là toán tử chiếu.
2 Theo khẳng định 1 của Định lý ta suy ra ǁPu(ω)ǁ = ǁT P (ω)(u(ω))ǁ ™ ǁu(ω)ǁ h.c.c.
3 Từ Bổ đề 1.2.24 ta thu được
Độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng 35 Chương 3 Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng trên không
Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm về độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng và xây dựng tích phân của hàm đo được bị chặn đối với độ đo này Định nghĩa 2.2.3: Giả sử (S, A) là không gian đo được và H là không gian Hilbert, độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng E trên (S, A, H) là ánh xạ E từ A vào tập các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên H, đáp ứng các điều kiện nhất định.
(1.) E(M ) là toán tử ngẫu nhiên chiếu trên H với mọi
(4.) Nếu (M i ) là dãy các tập đôi một rời nhau trong A khi đó với mỗi x ∈ H ta có
Chú ý tập bỏ qua được trong điều kiện (4.) có thể phụ thuộc vào (M i ) và x.
Ví dụ 2.2.4 Giả sử {U (ω), ω ∈ Ω} là họ các độ đo phổ trên (S, A, H) với tập chỉ số Ω sao cho với mọi x ∈ H, M ∈
A, ánh xạ ω ›→ U (ω)(M )x là đo được Giả sử rằng E là ánh xạ từ A vào tập các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên H sao cho với mỗi M ∈ A, và x ∈ H ta có
Từ đó ta có T E(M)(ω) = U (ω)(M ) Từ Bổ đề 1.2.24, dễ dàng chỉ ra rằng
E là độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng.
Bổ đề 2.2.5 Giả sử E là độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên (S, A, H) Khi đó ta có các khẳng định sau:
(E(M )x(ω), E(N )y(ω)) = (x, E(M ∩ N )y(ω)) h.c.c. Đặc biệt, nếu M ∩ N = ∅ thì E(M )x(ω) và E(N )y(ω) trực giao trong
2 Nếu (M i ) là dãy các tập đôi một rời nhau trong A thì với mỗi x ∈ H ta có
Khi đó theo Bổ đề 1.2.24 ta có
2 Từ điều kiện (4.) trong Định nghĩa 2.2.3 ta có
Vì (E(M i )x(ω)) ∞ i=1 đôi một trực giao trong H, nên ta thu được đẳng thức (2.3).
Giả sử B(S) là không gian Banach của các ánh xạ nhận giá trị phức bị chặn trên tập S, với chuẩn sup được định nghĩa là ǁfǁ = sup s∈S |f(s)| Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm tích phân.
S f (s)E(ds) của hàm f ∈ B(S) đối với độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng E trên (S, A, H).
Bổ đề 2.2.6 Với mỗi hàm đơn giản f (s) i Σ
Khi đó ánh xạ I(f ) : x ›→ I(f )x xác định một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn trên H và thỏa mãn bất đẳng thức sau ǁI(f )x(ω)ǁ ™ ǁfǁǁxǁ h.c.c (2.4)
Chứng minh Dễ dàng chỉ ra tính tuyến tính của I(f ) Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (2.4) Từ Bổ đề 2.2.5 với hầu hết ω ta có ǁI(f )x(ω)ǁ 2 = I(f )x(ω), I(f )x(ω)Σ
Vậy bất đẳng thức 2.4 được chứng minh.
Giả sử f ∈ B(S) Cố định x ∈ H Vì tập các hàm đơn giản trù mật trong
B(S), do đó tồn tại dãy các hàm đơn giản (f n ) sao cho lim n→∞ ǁf n − fǁ = 0.
Từ bất đẳng thức (2.4) ta có ǁI(f n )x(ω) − I(f m )x(ω)ǁ = ǁI(f n − f m )x(ω)ǁ ™ ǁf n − f m ǁǁxǁ
Vì vậy dãy {I(f n )x(ω)} hội tụ hầu chắc chắn trong H Đặt
Giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn dãy (f n ) và ký hiệu là
Theo Bổ đề 2.2.6 bằng cách lấy qua giới hạn ta thu được ánh xạ I(f ) : x → I(f )x từ H vào L H (Ω) là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên H và ta có ǁI(f )x(ω)ǁ ™ ǁfǁǁxǁ h.c.c.
Vì vậy I(f ) là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn trên H I(f ) được ký hiệu bởi
S f (s)E(ds) và được gọi là tích phân của hàm f đối với độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng
E. Định lý 2.2.7 Giả sử f, g ∈ B(S), c ∈ C Khi đó ta có các khẳng định sau
Chứng minh.1 Dễ dàng có.
2 Chúng ra sẽ chứng minh rằng với mọi x, y ∈ H ta có
Trước tiên ta giả sử rằng f (s) i=1 c i 1 M i (s) là hàm đơn giản.
Với mỗi i thì E(M i ) là toán tử ngẫu nhiên chiếu nên ta có
Do đó với hầu hết ω ta có n n
Giả sử hàm f bị chặn, ta có thể tìm thấy một dãy hàm đơn giản (f_n) hội tụ đều tới f Điều này dẫn đến việc f_n hội tụ đều tới f, từ đó ta có thể rút ra một đẳng thức quan trọng.
3 Trước tiên ta chỉ ra rằng, nếu f, g ∈ B(S) thì với hầu hết ω ta có
Thực vậy, giả sử rằng f
(s) = hàm đơn giản Khi đó i Σ
Tiếp theo, để đơn giản, ta đặt A I(f ), A n I(f n ), B I(g), B n I(g n ) với (f n ), (g n ) ∈ B(S) và lim n→∞ f n
Cho n → ∞ ta thu được với hầu hết ω ta có
Tiếp theo từ Bổ đề 1.2.24 ta có
Trong trường hợp xác định, định lý hội tụ bị chặn áp dụng, và tương tự, trong trường hợp ngẫu nhiên, tồn tại một phiên bản tương ứng cho độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng Đây chính là phiên bản ngẫu nhiên của định lý này.
1.1.12 phát biểu trong chương1. Định lý 2.2.8 Xét E là độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên (S, A, H) Giả sử rằng (f n ) là dãy các hàm trong B(S) thỏa mãn, tồn tại K > 0 để ǁf n ǁ ™ K với mọi n Nếu lim n→∞ f n = f, khi đó với mỗi x ∈ H ta có lim
Chứng minh Giả sử L H (Ω) là tập biến ngẫu nhiên u nhận giá trị trong H thỏa mãn Eǁuǁ 2 = ∫
L H (Ω) là không gian Hilbert với tích trong xác định bởi
(ω) Với mỗi x ∈ H ta sẽ chứng minh hai khẳng định sau
1 Ánh xạ G x : M ›→ E(M )x xác định độ đo vector σ− cộng tính
G x nhận giá trị trong không gian Hilbert L H (Ω).
2 Với mỗi f ∈ B(S) tích phân S f (s)G x (ds) ∈ L H (Ω) và
1 Theo Bổ đề 2.2.2 ta có ǁE(M )x(ω)ǁ 2 ™ ǁxǁ h.c.c Vì vậy
∫ ǁE(M )x(ω)ǁ 2 dP ™ ∫ ǁxǁ 2 dP = ǁxǁ 2 suy ra G x (M ) ∈ L H (Ω) Tiếp theo ta chứng minh G x là σ− cộng tính Đặt S n (ω) = Σ n E(M i )x(ω) = Σ ∞ i=1 G x (M i ) Theo điều kiện
(4.) trong Định nghĩa 2.2.3 thì dãy S n hội tụ hầu chắc chắn tới S(ω) n
Theo định lý hội tụ bị chặn thì dãy S n hội tụ tới S trong L H
i=1 i=1 sự hội tụ của chuỗi là hội tụ trong L H (Ω).
2 Rõ ràng đẳng thức (2.9) thỏa mãn với mỗi hàm đơn giản f Giả sử rằng f ∈ B(S) và (g n ) là dãy hàm đơn giản hội tụ tới f Do đó, từ n→ lim
S f (s)G x (ds)(ω) trong L H (Ω) và S g n (s)E(ds)x(ω) = S g n (s)G x (ds)(ω) ta suy ra (2.9) thỏa mãn với f ∈ B(S).
Vận dụng định lý hội tụ bị chặn Bartle ([16], Định lý 1, trang
Định lý 2.2.9 chỉ ra rằng, với mỗi độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng trên không gian (C, B(C), H), có tồn tại bản sao là độ đo phổ ngẫu nhiên Điều này có nghĩa là S f (s)E(ds)x(ω) trong L H (Ω) dẫn đến kết quả được nêu trong (2.8).
(C, B(C), H) Khi đó tồn tại độ đo phổ ngẫu nhiên {U (ω), ω ∈ Ω} trên (C, B(C), H) sao cho với mỗi x ∈ H, và M ∈ B(C) ta có
Chứng minh Để chứng minh định lý, trước tiên ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.10 Cho số tự nhiên n Xét E là độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng tập trung trên B n = {z ∈ C : |z| ™ n}, nghĩa là E(M ) = 0 nếu
M ∩ B n = ∅ Khi đó tồn tại họ U (ω)Σ các độ đo phổ với tập tham số Ω sao cho với mỗi M ∈ B(B n ) và x ∈ H ta có
Chứng minh Bổ đề 2.2.10 Đặt
Khi đó theo Định lý 2.2.7 thì AA ∗ = A ∗ A và bất đẳng thức 2.5 ta có ǁAx(ω)ǁ ™ nǁxǁ h.c.c.
Theo Bổ đề 1.2.19 và Bổ đề 1.2.24, tồn tại họ {T (ω)} các toán tử tuyến tính chuẩn tắc với tập chỉ sổ Ω sao cho với mỗi x ∈ H ta có
Vì vậy ǁT (ω)xǁ ™ nǁxǁ =⇒ ǁT (ω)ǁ ™ n.
Theo Định lý 1.14 ( xem [15], trang 259), với mỗi ω tồn tại độ đo phổ U (ω) đối với T (ω) sao cho
Từ khẳng định r(T ) ™ ǁTǁ, với r(T ) là bán kính phổ của toán tử
T , ta suy ra σ(T (ω)) ⊂ B n vì vậy
Từ (2.10) và (2.11) ta thu được
Tiếp theo để hoàn thành chứng minh bổ đề ta thực hiện theo ba bước sau:
Bước 1 Xét đa thức P (z) = Σ k a k z k Ta có
∫ Bn z 2 E(dz)x(ω) B n z 2 U (ω)(dz)x B n zE(dz)(ω)Σ
Do (2.12) ta thu được z 2 E(dz)x(ω) = z 2 U (ω)(dz)x.
Bằng quy nạp ta có z k E(dz)x(ω) = z k U (ω)(dz)x.
Nếu f(z) là một hàm liên tục trên Bn, theo Định lý Weierstrass, tồn tại một dãy đa thức Pk(z) hội tụ đều tới f(z) trên Bn Do đó, theo Định lý 2.2.8, với mỗi ω, ta có giới hạn k→ lim.
Lại theo Định lý 2.2.8 ta có k→ lim
∫ B n P k (z)E(dz)x(ω) ∫ B f (z)E(dz)x(ω) theo xác suất.
Do đó, với mỗi hàm liên tục f trên B n ta có
Bước 2 Giả sử M là tập con đóng của C Với mỗi k xét tập hợp sau
M k = {z : d(z, M ) “ 1/k}, khi đó M k là tập đóng và M ∩ M k = ∅ Theo định lý Urysohn tồn tại hàm liên tục f k thỏa mãn f k (z) = 1 với z ∈ M và f k (z) = 0 với z ∈ M k và
0 ™ f k (z) ™ 1 Nếu z ∈/ M thì tồn tại n 0 sao cho d(z, M ) “
1/n 0 “ 1/n với n “ n 0 Vì vậy f k (z) = 0 với n “ n 0 Do đó lim f k (z) 1 M (z) và sup k→∞ k ǁf k ǁ ™ 1 Theo Định lý 2.2.8 ta thu được với mỗi ω k→ lim
(2.13) Cũng theo Định lý 2.2.8 ta có k→ lim
Vì vậy, với mỗi tập đóng M ta có
Bước 3 Xét M ⊂ B(C) là lớp các tập con M ∈ B(C) thỏa mãn
Theo định nghĩa độ đo phổ và độ đo phổ ngẫu nhiên suy rộng và Định lý 2.2.8, với mỗi ω ta có
Từ đó, M đóng với các phép toán giao, hợp và nó là lớp đơn điệu Vì vậy
Theo Bước 2, M chứa các tập đóng Do đó M trùng với lớp
B(C) tập tất cả các tập Borel của C Bổ đề được chứng minh.
Xét E n = E| B n (hạn chế của E trên B n ) Theo Bổ đề 2.2.2, tồn tại họ
U n (ω)Σ các độ đo phổ với tập tham số Ω sao cho với mỗi M ∈
Cố định m > n Ta sẽ chỉ ra rằng
(2.14) Đặt U n J (ω) U m (ω)| B n Với mỗi x ∈ H ta có
Vì H khả ly, nên tồn tại tập D với xác suất một, ta có
B zU n (ω)(dz) với mỗi ω ∈ D. Theo tính duy nhất của định lý biểu diễn phổ suy ra
U m J (ω) = U n (ω) với mỗi ω ∈ D, n nghĩa là đẳng thức (2.14) thỏa mãn Từ đó, tồn tại tập Ω1 có xác suất một, để nếu ω ∈ Ω1 thì
Cố định ω ∈ Ω1, toán tử chiếu U(ω)(M) được xác định với M ∈ B(C) như sau: Đặt M n = M ∩ B n và P n = U n (ω)(M n) Khi đó, P n là toán tử chiếu trên H n = P n (H), với H n là không gian con đóng của H và H n ⊂ H n+1 Đối với x ∈ H, ta có ǁP n+1 xǁ ≤ ǁP n xǁ nếu và chỉ nếu (P n+1 x, P n+1 x) ≤ (P n x, P n x).
Nghĩa là, dãy (P n x, x) Σ n không giảm và bị chặn bởi ǁxǁ Vì vậy,
∞ |((P n − P m )x, x)| = 0. Đặt h(x, y) = ((P n − P m )x, y), n > m Sử dụng bất đẳng thức Schwarz cho dạng song tuyến tính không âm h(x, y) ta thu được ǁ(P n −
Như vậy với mỗi x H, thì tồn tại giới hạn lim →∞
Do đó, P là toán tử chiếu Đặt U (ω)(M ) = P ta thu được n→ lim
Tiếp theo, ta chỉ ra U (ω) là độ đo phổ Thật vậy, ta có
U n (ω)(M ∩ N ∩ B n )x = U n (ω)(M ∩ B n )[U n (ω)(N ∩ B n )x] = P n y n với y n = U n (ω)(N ∩ B n )x Ta có lim n→ ∞ y n = U (ω)(N )x = y Vì ǁP n ǁ ™ 1 nên ta có lim n→∞
P n y n = Py với lim n→∞ y n = y xét n → ∞ ta thu được
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra nếu (A i ) là các tập con đôi một rời nhau của B(C) và x ∈ H thì
V j ) với 1 ™ j ™ n, khi đó ta có
Do đó ta phải chứng minh rằng lim ∞ n→∞ a i j Σ ∞ n→∞ lim a ij
(2.18) Để chứng minh đẳng thức (2.18) ta cần chứng minh bổ đề sau. Σ Σ n i=1 j=1 n j=
Bổ đề 2.2.11 Giả sử a ij Σ (i,j)∈N 2 ∈ H thỏa mãn điều kiện (a ij , a kh )
= 0, ∀(i, j) ƒ= (k, h) Nếu chuỗi Σ ∞ Σ ∞ a ij hội tụ thì chuỗi Σ ∞ Σ ∞ i=1 j=1 a ij hội tụ và Σ ∞ Σ ∞ a ij Σ ∞ Σ∞ a ij
Chứng minh Bổ đề 2.2.11 Từ điều kiện Σ∞ Σ∞ a ij tồn tại và (a ij , a kh ) i=1 j=1
0, ∀(i, j) ƒ= (k, h) thì Σ∞ Σ∞ ǁa ij ǁ 2 < ∞ Dễ dàng có Σ ∞ Σ ∞ ǁa ij ǁ 2 Σ ∞ Σ∞ ǁa ij ǁ < ∞.
Từ điều kiện ǁa ij ǁ 2
∞ a ij = Σ ǁa ij ǁ ™ Σ∞ Σ∞ ǁa ij ǁ < ∞, j=1 và tương tự ta có j=
Theo bất đẳng thức tam giác và (a ij , a kh ) = 0, ∀(i, j) ƒ= (k, h) ta có Σ Σ ∞ j=1 i=1 Σ ∞ Σ ∞ i=1 j=1 Σ Σ ∞ Σ Σ
Từ đó suy ra Σ ∞ Σ ∞ a ij Σ ∞ Σ∞ a ij , như vậy Bổ đề 2.2.11 được chứng minh.
Ta quay lại chứng minh đẳng thức (2.18) Áp dụng Bổ đề 2.2.11 và (2.17), ta có lim ∞ n→∞ a i j
Tiếp theo, với mỗi M ∈ B(C) và x ∈ H theo Định lý 2.2.8 ta có n→ lim
∞ E(M ∩ B n )x(ω) = E(M )x(ω) theo xác suất và với mỗi ω ta có
Vậy, ta thu được n→ lim
Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng trên không gian unitary xác suất
Khái niệm không gian metric xác suất được K Menger giới thiệu vào năm 1942 và sau đó được phát triển bởi B Schweizer và A Sklar Tích trong ngẫu nhiên đã được T Guo trình bày trong một số nghiên cứu Nhiều bài toán tổng quát hóa liên quan đến tích trong ngẫu nhiên đã được chứng minh bởi các tác giả như T Guo, G Shi, Y Yang và Mingzhu Wu.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính cùng với các kết quả liên quan Ở mục 3.1, chúng tôi trình bày các khái niệm và ví dụ về không gian định chuẩn xác suất, không gian Banach xác suất và không gian Hilbert xác suất Mục 3.2 sẽ đề cập đến khái niệm toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính Cuối cùng, trong mục 3.3, chúng tôi thảo luận về liên hợp của toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính và một số kết quả liên quan.
Kết quả chính của mục 3.2 là Định lý 3.2.6, khẳng định rằng toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính trên không gian Hilbert xác suất H là bị chặn nếu và chỉ nếu nó có thể được biểu diễn như tích ngẫu nhiên trên H, tương tự như phiên bản ngẫu nhiên của biểu diễn Riesz Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu khái niệm về toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc, đối xứng và tự liên hợp trong không gian Hilbert xác suất.
H Định lý 3.3.6 chỉ ra điều kiện đủ để toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính đối xứng có thể thác triển thành toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp (có thể xem đây là một kết quả ngẫu nhiên hóa định lý Friedrichs - Stone -Wintner) Định lý 3.3.7 chỉ ra được rằng nếu Φ : D(Φ) → H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính tự liên hợp và α là số phức với phần ảo khác không thì Φ α = αI − Φ : D(Φ) → H là song ánh và (Φ α ) −1 : H → H là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính chuẩn tắc.
Toán tử ngẫu nhiên suy rộng tuyến tính Φ : D(Φ) → L H (Ω) trên không gian Hilbert H là một trường hợp đặc biệt của toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính với V = D(Φ) và Y = L H (Ω) Các kết quả trong chương này đã được công bố trong bài báo "Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính trên không gian unitary xác suất," đã được nhận đăng tại tạp chí "Journal of the.
Không gian Banach xác suất
Định nghĩa 3.1.1 (xem [21, 32]) Tập V được gọi là không gian tuyến tính xác suất trên trường C nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1 Phép toán cộng đã được định nghĩa trên V và V là nhóm giao hoán với phép toán cộng Phần tử trung hòa của V được ký hiệu là θ.
2 Phép toán nhân một phần tử của V với một biến ngẫu nhiên phức được xác định như sau: với u, v ∈ V, ξ, η ∈ L 0(Ω) thì ξu, uξ ∈ V, ξu = uξ và thỏa mãn các điều kiện sau ξ(u + v) = ξu + ξv, ξ(ηu) = (ξη)u và (ξ + η)u = ξu + ηu.
Chú ý 3.1.2 Từ các điều kiện trên ta suy ra nếu ξ = 0 thì ξu θ với mỗi u ∈ V và nếu u = θ thì ξu = θ với mỗi ξ ∈ L 0(Ω) Tuy nhiên, đẳng thức ξu = θ không nhất thiết dẫn tới hoặc ξ = 0 hoặc u = θ.
Ví dụ 3.1.3 Giả sử X là không gian Banach phức khả ly và
V là tập con của L X (Ω) Ký hiệu V là tập các biến ngẫu nhiên
Với mỗi ξ ∈ L 0(Ω), u, v ∈ V định nghĩa u+ v xác định như sau (u+ v)(ω) = u(ω) + v(ω) và ξu xác định như sau (ξu)(ω) ξ(ω)u(ω) Dễ dàng chỉ ra V là không gian tuyến tính xác suất.
Giả sử X, Y là các không gian Banach phức khả ly và V(X, Y, Ω) là tập hợp tất cả các toán tử ngẫu nhiên Φ : X → L Y (Ω) Đối với mỗi toán tử Φ, Ψ ∈ V(X, Y, Ω) và ξ ∈ L 0(Ω), phép toán Φ + Ψ được định nghĩa bởi (Φ + Ψ)x = Φx + Ψx, trong khi ξΦ được xác định bởi (ξΦ)x = ξΦx Dễ dàng nhận thấy rằng V(X, Y, Ω) là một không gian tuyến tính xác suất Định nghĩa 3.1.5 cho rằng nếu V là không gian tuyến tính xác suất, thì với mọi phần tử u ∈ V, tồn tại một biến ngẫu nhiên không âm p(u) ∈ L + (Ω) thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Ánh xạ p: V → L + (Ω) được gọi là chuẩn ngẫu nhiên trên V nếu nó thỏa mãn các điều kiện p(ξu) = |ξ|p(u) với mỗi ξ ∈ L 0(Ω) Không gian V được xem là không gian định chuẩn xác suất với chuẩn ngẫu nhiên p(.).
Giả sử X là không gian Banach phức khả ly với chuẩn ǁ.ǁ, và V ⊂ L X (Ω) là không gian tuyến tính xác suất Trong trường hợp này, V được xem là không gian định chuẩn xác suất với chuẩn ngẫu nhiên được xác định bởi p(u)(ω) = ǁu(ω)ǁ.
Từ phần sau, chuẩn ngẫu nhiên p(u) của u ∈ V sẽ được ký hiệu là ǁuǁ.
Mệnh đề 3.1.7 Với u, v ∈ V, A, B ∈ F, A ∩ B = ∅ ta có ǁ1 A u + 1 B vǁ = 1 A ǁuǁ + 1 B ǁvǁ.
Chứng minh Đặt w = 1 A u + 1 B v Khi đó 1 A w = 1 A u Từ ǁ1 A wǁ
= 1 A ǁwǁ; ǁ1 A uǁ = 1 A ǁuǁ suy ra 1 A ǁwǁ = 1 A ǁuǁ Tương tự ta có
Do đó ǁ1 A u + 1 B vǁ = ǁ1 A w + 1 B wǁ = ǁ(1 A + 1 B )wǁ
0 Định nghĩa 3.1.8 Xét V là không gian định chuẩn xác suất.
1 Dãy (u n ) ⊂ V được gọi là hội tụ tới u ∈ V nếu với mọi ε > 0 ta có n→ lim
2 Dãy (u n ) ⊂ V được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi ε > 0 ta có n,m→ lim
3.V được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy (u n ) ⊂ V đều hội tụ.
4 Không gian định chuẩn xác suất đầy đủ được gọi là không gian Banach xác suất.
Chú ý 3.1.9 Xét hàm d trên V × V xác định bởi d(u, v) = E ǁu − vǁ
Dễ dàng chứng minh được d là một metric trên V lim n→∞ u n u nếu và chỉ nếu lim n→∞ d(u n , u) = 0 và (u n ) ⊂ V là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu lim n,m→∞ d(u n , u m ) = 0.
Trong không gian Banach phức khả ly X và Y, tập hợp các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn được ký hiệu là L b (X, Y, Ω), với A : X → L Y (Ω) L b (X, Y, Ω) được coi là không gian tuyến tính xác suất Ánh xạ p : L b (X, Y, Ω) → L + (Ω) được định nghĩa bởi p(A) = sup ǁAx k ǁ, trong đó (x k ) là dãy trù mật trong hình cầu đơn vị B = {x ∈ X : ǁxǁ}.
= 1} Ta có p là chuẩn ngẫu nhiên trên L b (X, Y, Ω) Áp dụng Định lý 3.1 trong [43] và L(X, Y ) là không gian Banach, dễ
Không gian L b (X, Y, Ω) được chứng minh là không gian Banach xác suất Theo định nghĩa 3.1.11 (xem [21, 32]), nếu V là không gian tuyến tính xác suất, thì với mỗi cặp u, v ∈ V, tồn tại biến ngẫu nhiên phức h(u, v) ∈ L 0(Ω) liên hệ giữa u và v, đảm bảo rằng với mỗi ξ ∈.
L 0(Ω) thỏa mãn các điều kiện sau
(6.) h(u, u) = 0 ⇔ u = θ. h(u, v) được gọi là tích trong ngẫu nhiên trên V, ký hiệu (u, v)
V được gọi là không gian unitary xác suất với tích trong ngẫu nhiên (., ).
Ví dụ 3.1.12 cho thấy H là không gian Hilbert phức khả ly với tích trong (., ), và V ⊂ L H (Ω) là không gian tuyến tính xác suất Trong trường hợp này, V được xem là không gian unitary xác suất với h(u, v)(ω) tương ứng với (u(ω), v(ω)) Định lý 3.1.13 khẳng định rằng nếu V là không gian unitary xác suất thì u, v ∈.
V Đặt ǁuǁ = (u, u) Khi đó ta có các khẳng định sau
1 ǁuǁ = 0 khi và chỉ khi u θ 2 ǁξuǁ = |ξ|ǁuǁ.
Từ các khẳng định 1., 2 và 4 suy ra ǁuǁ là chuẩn ngẫu nhiên trên V.
5 ǁu + vǁ 2 + ǁu − vǁ 2 = 2(ǁuǁ 2 + ǁvǁ 2 ) (3.4)
2 ǁξuǁ 2 = (ξu, ξu) = |ξ| 2 ǁuǁ 2 suy ra ǁξuǁ = |ξ|ǁuǁ.
3 Giả sử ξ ∈ L 0(Ω) xác định như sau
Khi đó tồn tại tập D có P (D) = 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ta có
Giả sử ω ∈ D Nếu (u, v)(ω) = 0 thì |(u, v)(ω)| ™ ǁuǁ(ω)ǁvǁ(ω) Nếu
−ǁuǁ ω |(u, v)(ω)| 2 ǁvǁ ω vì vậy |(u, v)(ω)| ™ ǁuǁ(ω)ǁvǁ(ω) Do đó,
|(u, v)(ω)| ™ ǁuǁ(ω)ǁvǁ(ω) ∀ω ∈ D, nghĩa là (3.2) thỏa mãn.
4 Sử dụng (3.2) ta thu được ǁu + vǁ = (u + v, u + v) ǁuǁ 2
Vì vậy ǁu + vǁ ™ ǁuǁ + ǁvǁ.
Bổ đề 3.1.14 Giả sử V là không unitary xác suất với tích trong ngẫu nhiên (., ) Khi đó
(1.) Nếu (u n ) và (v n ) là hai dãy
Cauchy trong V thì ((u n , v n )) là dãy Cauchy trong L 0(Ω).
(2.) Nếu lim n→∞ u n = u, lim n→∞ v n = v trong V thì lim n→∞ (u n , v n ) = (u, v) trong L 0(Ω).
Chứng minh (1.) Cho ε > 0 Từ lim n,m→∞ P (ǁu n − u m ǁ > ε) = 0 suy ra (ǁu n ǁ) là dãy Cauchy trong
L 0(Ω) Do đó tồn tại lim n ǁu n ǁ trong L 0(Ω) Vì vậy tồn tại c > 0 thỏa mãn P (ǁu n ǁ > c) < ε ∀n.
™ P (ǁv n − v m ǁ > t/c) + ε, vì vậy lim sup n,m P (|(u n , v n − v m )| > t) ™
2 ε Cho ε → 0, ta thu được lim sup
Trong bài viết này, chúng ta xem xét xác suất P (|(u n − u m , v m )| > t/2) và chứng minh rằng lim n,m P (|(u n , v n ) − (u m , v m )| > t) = 0 Điều này dẫn đến kết quả (2.) tương tự Theo định nghĩa, một tập V được gọi là không gian Hilbert xác suất nếu V là không gian unitary xác suất đầy đủ.
2 Không gian con tuyến tính xác suất M ⊂ H được gọi là không gian con tuyến tính xác suất đóng nếu M là tập đóng.
3 Tập C ⊂ H được gọi là tập con lồi xác suất, nếu thỏa mãn điều kiện sau ξ 1 , ξ 2 ∈ L + (Ω) sao cho ξ 1 + ξ 2 = 1, u 1 , u 2 ∈ C ta có ξ 1 u 1 + ξ 2 u 2 ∈ C.
Từ phần sau, nếu không nói thêm gì thì H được xem không gian Hilbert xác suất.
Chú ý 3.1.16 Nếu V là không gian unitary xác suất thì làm đủ
V với metric (3.1) ta thu được không gian Hilbert xác suất V˜ Tích trong ngẫu nhiên của hai phần tử trong V xác định bởi u¯, v¯
∈ V˜ vớ i u¯ = (u n ), v¯ = (v n ) là các dãy Cauchy
Trong không gian Hilbert xác suất H, định lý 3.1.17 chỉ ra rằng nếu M là không gian con tuyến tính xác suất đóng, thì mỗi phần tử u ∈ H có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng u = v₀ + u₀, trong đó v₀ thuộc M và u₀ thuộc M⊥.
Chứng minh Để chứng minh định lý, trước tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau
Bổ đề 3.1.18 khẳng định rằng trong không gian Hilbert xác suất H, nếu C là tập con lồi và đóng của H, thì tồn tại một phần tử u₀ thuộc C sao cho mọi phần tử u trong C đều thỏa mãn điều kiện ǁuǁ ≤ ǁu₀ǁ.
Chứng minh Bổ đề 3.1.18 Trước tiên cố định v ∈ C và đặt G = {ω
: ǁvǁ(ω) ƒ= 0} ta xác định biến ngẫu nhiên ξ ∈ L + (Ω) như sau
Xét D = {ξu, u ∈ C} Vì C là tập con xác suất lồi đóng, D cũng là tập con lồi đóng xác suất. Đặt a = inf{Eǁgǁ 2 , g ∈ D} Vì ξv ∈ D và ǁξvǁ ™ 1 dẫn tới a ™ 1.
Nên tồn tại dãy (g n ) ∈ D thỏa mãn lim n Eǁg n ǁ 2 = a Từ điều kiện g n +g m ∈
D ta thu được Eǁ g n + g m ǁ 2 “ a Do đó, từ đẳng thức hình bình hành (3.4) trong Định lý 3.1.13, ta có ǁg n − g m ǁ + ǁg n + g m ǁ = 2ǁg n ǁ + 2ǁg m ǁ suy ra 0 ™
Vì vậy, 0 ™ Eǁg n − g m ǁ 2 = 2Eǁg n ǁ 2 + 2Eǁg m ǁ 2 − 4a.
Cho m, n → ∞ ta thu được lim m,n→∞ Eǁg n − g m ǁ 2 = 0 điều này suy ra m,n→ lim
Dãy Cauchy (g n) trong không gian H dẫn đến sự tồn tại của một phần tử g 0 ∈ H, sao cho giới hạn lim n g n = g 0 Vì D là tập đóng, nên g 0 thuộc D Kết quả là, dãy ||g n|| hội tụ tới ||g 0|| trong L 0(Ω) Áp dụng Định lý hội tụ bị chặn, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh, với mỗi g ∈ D ta có ǁg 0 ǁ ™ ǁgǁ.
Thực vậy, xét tập D = {ω : ǁgǁ(ω) < ǁg 0 ǁ(ω)} Ta có g1 D + g 01 D c ∈ C(v) suy ra
Eǁg1 D + g 01 D c ǁ = Eǁg1 D ǁ + Eǁg 01 D c ǁ “ a = Eǁg 0 ǁ , vì vậy Eǁg1 D ǁ “ Eǁg 0 ǁ − Eǁg 01 D c ǁ nghĩa là
Ω ǁg 0 ǁ 2 dP − ∫ ǁg 0 ǁ 2 dP = ∫ ǁg 0 ǁ 2 dP.
Chú ý rằng ǁgǁ(ω) < ǁg 0 ǁ(ω) ∀ω ∈ D suy ra P (D) = 0.
Tiếp theo, đặt u 0 = ǁvǁg 0 Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng u 0
Thật vậy, ta có g 0 ∈ D suy ra g 0 = ξu 1 , u 1 ∈ C và u 0 = g 0 ǁvǁ = ξǁvǁu 1 = u 11 G (vì ξǁvǁ = 1 G ).
Ta có mối quan hệ giữa các đại lượng với (v1 G c , v1 G c ) = ǁvǁ 12 G c = 0, từ đó suy ra v1 G c = 0 Do đó, u 0 = u 11 G + v1 G c và từ điều kiện u 1, v ∈ C, ta có u 0 ∈ C Tiếp theo, xét u ∈ C, chúng ta sẽ chứng minh rằng ǁu 0 ǁ ™ ǁuǁ Đặt g = ξu ∈ D và E = D c Với mỗi ω ∈ E, ta có ǁgǁ(ω) “ ǁg 0 ǁ(ω), suy ra |ξ(ω)|ǁuǁ(ω) “ ǁg 0 ǁ(ω).
Nếu ω ∈ E ∩ G thì |ξ(ω)|ǁuǁ(ω) = ǁuǁ(ω)/ǁvǁ(ω) vì vậy ǁuǁ(ω) “ ǁvǁ(ω)ǁg 0 ǁ(ω) = ǁu 0 ǁ(ω).
Vì vậy ǁuǁ(ω) “ ǁu 0 ǁ(ω) ∀ω ∈ E Vì P (E) = 1 nên ǁuǁ “ ǁu 0 ǁ h.c.c.
Như vậy Bổ đề 3.1.18 được chứng minh.
Vì M là không gian tuyến tính xác suất đóng nên u− M là tập lồi xác suất đóng Từ Bổ đề 3.1.18, tồn tại u 0 ∈ u − M sao cho với mỗi phần tử
D w ∈ u − M ta có ǁwǁ “ ǁu 0 ǁ Từ điều kiện u 0 ∈ u − M ta có u = v 0
+ u 0 với v 0 ∈ M Ta sẽ chứng minh rằng u 0 ⊥ M.
Xét v ∈ M Ta phải chứng minh (u 0 , v) = 0 Đặt
G = {ω : ǁvǁ(ω) ƒ 0} Xét biến ngẫu nhiên λ ∈ L 0(Ω) xác định như sau u 0 ,v ( ω ) λ(ω) ǁvǁ 2 (ω) nếu ω ∈ G
Từ điều kiện u 0 ∈ u − M suy ra u 0 − λv ∈ u − M ⇒ ǁu 0 ǁ 2 ™ ǁu 0 − λvǁ 2 Hơn nữa còn có |(u, v)| ™ ǁuǁǁvǁ Vì vậy, tồn tại tập E có P
(E) = 1 sao cho với mỗi ω ∈ E ta có ǁu 0 ǁ (ω) ™ ǁu 0 − λvǁ (ω) và |(u, v)(ω)| ™ ǁuǁ(ω)ǁvǁ(ω).
Do đó, nếu ω ∈ E ∩ G thì ta có ǁu 0 ǁ (ω) ™ ǁu 0 − λvǁ 2 (ω) = (u 0 − λv, u 0 − λv)(ω)
Nếu ω ∈ E∩G c ta cũng có (u 0 , v)(ω) = 0 vì |(u, v)(ω)| ™ ǁuǁ(ω)ǁvǁ(ω).
Do vậy (u 0 , v)(ω) = 0 ∀ω ∈ E, nghĩa là (u 0 , v) = 0 Cuối cùng, ta sẽ chỉ biểu diễn này là duy nhất.
Giả sử rằng u = v 1 + u 1 , v 1 ∈ M, u 1 ⊥ M Khi đó ta có v 0 + u 0 = v 1
+ u 1 hay u 0 − u 1 = v 1 − v 0 ∈ M ta có (u 0 , u 0 − u 1 ) = (u 1 , u 0 − u 1 ) = 0 và (u 0 − u 1 , u 0 − u 1 ) = 0 nghĩa là ǁu 1 − u 0 ǁ 2 = 0, vì u 1 − u 0 = 0 suy ra v 1 = v 0.
Nhận xét 3.1.19 Trong trường hợp H = L H (Ω), thì Định lý3.1.17 có trường hợp riêng là Định lý 4.3 của GS Đặng HùngThắng và TS Nguyễn Thịnh trong bài báo [47].
Toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính
Trong không gian định chuẩn xác suất V và không gian Banach xác suất Y, ánh xạ Φ : V → Y được xác định là một toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính Điều này có nghĩa là với mọi u1, u2 thuộc V, ánh xạ này phải thỏa mãn các tính chất của tính tuyến tính trong bối cảnh xác suất.
Ta sẽ ký hiệu miền xác định V của ánh xạ Φ là D(Φ).
Giả sử A : X → L Y (Ω) là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, trong đó X và Y là các không gian Banach khả ly Do đó, A có khả năng được mở rộng thành một toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính.
Tập V là một không gian con tuyến tính xác suất của X = L X (Ω), trong đó V chứa các biến ngẫu nhiên X-giá trị có dạng tổng hợp u n ξ i x i với x i ∈ X và ξ i ∈ L 0(Ω) Theo Ví dụ 3.1.6, V được xác định là không gian định chuẩn xác suất Ánh xạ Φ : V → L Y (Ω) được xác định bởi u n ξ i Ax i, với u có dạng (3.6), và định nghĩa này hoàn toàn chính xác Hơn nữa, ánh xạ Φ : V → L Y (Ω) được xem như là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính mở rộng từ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A.
Ví dụ 3.2.3 Giả sử A : H → L H (Ω) là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính và
H là không gian Hilbert với cơ sở là (e n ) n Xét tập hợp V như sau
Dễ thầy V là không gian unitary xác suất và Φ là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính từ V vào L H (Ω) Hơn nữa A liên tục và mỗi x ∈ H có dạn g x = ∞ x, e n e n và
∞ x, e n Ae n , n=1 nên H ⊂ V và Φ là một toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyễn tính mở rộng của A.
Chúng tôi giới thiệu khái niệm tính bị chặn, tính liên tục và tính đóng của toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính, tương tự như các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính và suy rộng tuyến tính Định nghĩa 3.2.4 nêu rõ rằng Φ : V → Y là một toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính.
(1.) Toán tử Φ được gọi là bị chặn nếu tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k ∈ L + (Ω) sao cho với mỗi u ∈ V ta có ǁΦuǁ ™ kǁuǁ h.c.c (3.7)
(2.) Φ được gọi là liên tục nếu với mỗi dãy (u n ) ⊂ V sao cho lim n u n = u ∈ V
(3.) Φ được gọi là đóng nếu với mỗi dãy (u n ) ⊂ V sao cho lim n u n u, lim n Φu n = g thì ta có u ∈ V và g = Φu.
Kết quả dưới đây chứng minh rằng toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính bị chặn là liên tục Theo Định lý 3.2.5, nếu Φ : V → Y là các toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính bị chặn, thì các khẳng định sau đây được đưa ra.
2 Nếu (u n ) ⊂ V là dãy Cauchy thì dãy (Φu n ) n có giới hạn trong Y.
Chứng minh 1 Giả sử u n ∈ V sao cho lim n u n = u ∈ V Với mỗi ε, r > 0 ta có
Cho n → ∞ và r → 0 ta thu được lim n P (ǁΦu n − Φuǁ > ε) 0.
2 Giả sử (u n ) ⊂ V là dãy Cauchy trong V Với mỗi ε, r > 0 ta có
Cho r → 0 ta thu được lim sup n,m P (ǁΦu n − Φu m ǁ > ε) 0, nghĩa là (Φu n ) là dãy Cauchy trong Y Do đó, tồn tại giới hạn lim n Φu n trong Y.
Chúng tôi sẽ chứng minh một kết quả quan trọng liên quan đến phiên bản ngẫu nhiên của Định lý biểu diễn Riesz cho toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính Cụ thể, nếu H là không gian Hilbert xác suất và ánh xạ Γ : H → L 0(Ω) là toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính, thì toán tử Γ sẽ bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử w 0 ∈ H sao cho Γu = (u, w 0 ) với mọi u ∈ H.
Để chứng minh rằng toán tử Γu = (u, w 0) với mọi u ∈ H là bị chặn, ta sử dụng bất đẳng thức trong Định lý 3.1.13 Cụ thể, từ bất đẳng thức (3.2), ta có |Γu| = |(u, w 0)| ≤ ǁw 0ǁǁuǁ, điều này cho thấy toán tử Γ là bị chặn Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh điều ngược lại.
Nếu có Γu = 0 với mọi u ∈ H thì w 0 = 0 Ngược lại, xét tập
Tập N được định nghĩa là N = {u : Γu = 0} Theo Mệnh đề 3.2.5, ánh xạ Γ là liên tục, dẫn đến việc tập N trở thành không gian tuyến tính xác suất đóng Bổ đề tiếp theo là yếu tố quan trọng để chứng minh Định lý 3.2.6.
Bổ đề 3.2.7 Tồn tại v 0 ∈ N ⊥ sao cho N ⊥ = {u ∈ H : u = ξv 0 , ξ
Với u ∈ H, ta ký hiệu Z u = {ω ∈ Ω : ǁuǁ(ω) = 0} Nếu A, B
∈ F, ta sẽ ký hiệu A ⊂ B hầu chắc chắn nếu 1 A ™ 1 B và kỳ hiệu A = B h.c.c nếu 1 A = 1 B Dễ dàng chỉ ra được rằng, nếu A ⊂ B h.c.c thì ta có
P (B \ A) = P (B) − P (A) Trên tập N ⊥ chúng ta xác định mối quan hệ như sau: u, v ∈ N ⊥ u v nếu Z v ⊂ Z u h.c.c và 1 Z c u = 1 Z c v.
Dễ dàng chứng minh được rằng mối quan hệ có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu, vì vậy (N ⊥ , ) là tập có thứ tự bộ phận.
Bước 1 Nếu u v khi đó với mỗi ε > 0 ta có
Thực vậy, đặt A = Z v , B = Z u Khi đó A ⊂ B h.c.c và 1 B c u
= 1 B c v Vì vậy 1 B c ǁu − vǁ = 0, 1 A∩B ǁu − vǁ ™ 1 A ǁuǁ + 1 B ǁvǁ 0 điều này suy ra ǁu − vǁ = 1 B c ǁu − vǁ + 1 A∩B ǁu − vǁ + 1 B\A ǁu − vǁ
Bước 2 Tồn tại phần tử lớn nhất v 0 của N ⊥ , nghĩa là, nếu u ∈
Theo Bổ đề Zorn, mọi tập con được sắp toàn phần của (N ⊥ , ) đều có cận trên Giả sử M là tập con có thứ tự toàn phần của (N ⊥ , ), ta đặt a = inf{P (Z u ), u ∈ M} Do đó, tồn tại một dãy u n.
∈ M sao cho u n u n+1 và lim n P (Z u n ) = a Đặt A n = Z u n Nếu n
> m thì u m u n Vì vậy, theo (3.8) ta có
P (ǁu m − u n ǁ > ε) ™ P (A m ) − P (A n ), từ đó suy ra (u n ) là dãy Cauchy trong H Vì N ⊥ là tập đóng, khi đó tồn tại u 0 ∈ N ⊥ sao cho lim n u n = u 0 Đặt A 0
= Z u 0 Nếu tồn tại m sao cho u 0 u m khi đó u 0 u n ∀n “ m.
Khi P(ǁu₀ − uₙǁ > ε) ™ P(A₀) − P(Aₙ) ™ 0, suy ra P(ǁu₀ − uₙǁ > ε) = 0, điều này có nghĩa là u₀ = uₙ ∀n Do đó, uₙ hội tụ về u₀ với mọi n Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng u₀ là một cận trên của M, tức là u₀ ≥ u ∀u ∈ M Cụ thể, nếu uₙ hội tụ về u với mọi số tự nhiên n thì
Vì vậy lim sup n P (ǁu − u n ǁ > ε) ™ a − P (Z(u)) ™ 0 suy ra li n m P (ǁu − u n ǁ > ε) = 0 vì vậy u = u 0 Ngược lại, tồn tại u n sao cho u u n u 0, ta có điều phải chứng minh.
Bước 3 Với mỗi u ∈ N ⊥ ta có
Thực vậy, xét u ∈ N ⊥ Đặt w = 1 Z c v 0 + 1 Z v 0 \Z u u Ta có ǁwǁ = 1 Z c ǁvǁ + 1 Z(v 0 )\Z(u) ǁuǁ suy ra Z w = Z u ∩ Z v 0 ⊂ Z v 0 h.c.c.
Ngoài ra 1 Z c v = 1 Z c w Từ đó ta suy ra v 0 w Vì v 0 là phần tử cực đại, vì vậy v 0 = w điều này suy ra Z v 0 = Z w h.c.c Từ điều kiện
Bước 4 Trước tiên ta chứng minh rằng, với mỗi u ∈ N ⊥ ta có
Thực vậy, đặt A = Z Γu , B = Z u ta có 1 A ǁΓuǁ = 0, điều này suy ra 1 A Γu = 0 do đó Γ(1 A u) = 0 Từ điều kiện 1 A u ∈ N ⊥ ta có
Tương tự, từ điều kiện 1 B ǁuǁ = 0 suy ra 1 B u = 0, từ điều này ta có Γ(1 B u) = 0 vì vậy 1 B Γu = 0, dẫn tới 1 B |Γu| = 0 hay B
Tiếp theo, ta đặt Γ u ( ω ) ξ(ω) Γv 0 (ω) nếu Γv 0(ω) ƒ= 0
Từ điều kiện (3.9) và (3.10) ta thu được Z Γv 0 = Z v 0 ⊂ Z u = Z Γu h.c.c Và từ điều kiện (3.11) suy ra Γu = ξΓv 0 = Γ(ξv 0) Từ u, ξv 0 ∈ N ⊥ ta có u = ξv 0 Bổ đề 3.2.7 được chứng minh. v
Chứng minh Định lý 3.2.6 Ta đặt A = {ω : ǁv 0 ǁ(ω) ƒ= 0} = Z c
Xét biến ngẫu nhiêu nhiên λ ∈ L 0(Ω) xác định bởi Γ v 0 ( ω ) λ(ω) ǁv 0 ǁ 2 (ω) nếu ǁv 0 ǁ(ω) ƒ 0
0 nếu ǁv 0 ǁ(ω) = 0, ta có λǁv 0 ǁ 2 = 1 A Γv 0 Đặt w 0 = λv 0 ∈ N ⊥ Ta sẽ chứng minh rằng với mỗi u ∈ H. Γu = (u, w 0 ) (3.13)
Thực vậy, xét u ∈ H Theo Định lý 3.1.17 ta có u = u 1 + u 2 với u 1 ∈ N, u 2 ∈ N ⊥ Khi đó Γu = Γu 2 , (u, w 0 ) = (u 2 , w 0 ) (3.14)
Theo Bổ đề 3.2.7 tồn tại ξ ∈ L 0(Ω) sao cho u 2 = ξv 0.
Từ điều kiện (u 2 , w 0 ) = ξ(v 0 , w 0 ) ta thu được ǁv 0 ǁ
Do đó, kết hợp với điều kiện (3.14), tồn tại tập D với P (D) = 1 sao cho nếu ω ∈ D khi đó ω ∈ Z v 0 suy ra ω ∈ Z u và
• Nếu ω ∈ Z v 0 ∩ D ta có ω ∈ Z u ⇒ ǁuǁ(ω) = 0 Vì vậy, ta có Γu(ω) = (u, w 0 )(ω) = 0.
Do đó, ta có Γu(ω) = (u, w 0 )(ω) ∀ω ∈ D, vậy đẳng thức (3.13) được chứng minh.