Sóng Rayleigh không tn do úng suat
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hoi ch%u đieu kiắn biờn tro kháng 7
ch%u đieu kiắn biờn tra khỏng
Trong các nghiên cứu trước đây về sóng Rayleigh, hầu hết đều giả thiết bán không gian là điều kiện biên với áp suất Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế như trong lĩnh vực sóng âm hoặc động tự học, bán không gian thường chứa một điều kiện biên đặc biệt được gọi là "điều kiện biên trống" Điều kiện này là một liên hệ tuyến tính giữa các hàm cần tìm và các đạo hàm của chúng trên biên của bán không gian Chúng ta có thể tham khảo các tài liệu như [5, 13, 40, 50, 95, 96] đối với các bài toán sóng âm hay [6, 31, 55, 61] đối với các bài toán động tự.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các điều kiện biên trong trường hợp sóng truyền, được mô tả bởi hệ phương trình σ 12 + ωZ 1 u 1 = 0 và σ 22 + ωZ 2 u 2 = 0 tại x 2 = 0 Ở đây, σ ij đại diện cho các thành phần ứng suất, u j là các thành phần chuyển dịch, ω là tần số góc của sóng, và Z k là tham số trở kháng Những điều kiện này là rất quan trọng trong việc phân tích sự truyền sóng trong môi trường vật chất.
Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đang hướng nén được điều kiện biên (1.1) được Malischewsky nghiên cứu năm 1987 Tác giả đã thu được phương trình tán sắc của sóng dưới dạng tượng minh Tuy nhiên, sự tồn tại và duy nhất của sóng chưa được khảo sát Gần đây, vào năm 2012, Godoy và các cộng sự đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của sóng này cho một trường hợp đặc biệt của điều kiện biên (1.1) khi ứng suất pháp σ22 bằng không.
Các vấn đề chưa được giải quyết bao gồm: i) Sự tồn tại và tính duy nhất của sóng trong bán không gian đàn hồi khi biên điều kiện là không kháng (1.1) ii) Phương trình tán xạ sóng trong bán không gian đàn hồi với hướng (trục hướng, monoclinic) có thể có và không có biên điều kiện kháng (1.1) iii) Phương trình tán xạ sóng trong bán không gian đàn hồi nén có thể có và không có cấu trúc biên điều kiện là không kháng (1.1).
Sóng Rayleigh trong bán không gian quay ch%u đieu kiắn biờn tro kháng 8
%u đieu kiắn biờn tra khỏng
Sóng Rayleigh trong các bồn không gian đàn hồi quay vui mừng tốc độ không đòi hỏi nhiều ứng dụng thực tế, theo nghiên cứu của Lao, Kawasaki, Jahangir, Pohl, và Jose Nghiên cứu đầu tiên về sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đã được thực hiện bởi Schoenberg và Censor.
Các tác giả đã chỉ ra rằng trong các bán không gian quay, sóng Rayleigh có hiện tượng tán sắc khác với trường hợp không quay Clarke và Burdess đã nghiên cứu các trường hợp quay với tốc độ nhỏ và mở rộng kết quả cho các tốc độ quay bất kỳ Nhiều nghiên cứu khác như của Lao, Wauer, và Grigorevskii cũng đã xem xét các bài toán tương tự nhưng bỏ qua lực ly tâm Fang và Zhou đã nghiên cứu sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay, trong khi Destrade đã thu được phương trình tán sắc cho sóng Rayleigh trong các bán không gian monoclinic Nghiên cứu của Ting về sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay cũng đã được thực hiện, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết, đặc biệt là về sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi quay chịu điều kiện biên kháng.
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hoi phn lóp mong
Cấu trúc "một lớp mỏng gắn với một lớp dày" đang được sử dụng rộng rãi trong công nghệ mạ mỏng Việc đánh giá không phá hủy các tính chất cơ học của cấu trúc này là rất quan trọng và cần thiết Tạp chí "Thin Solid Films" và "International Journal of Thin Films Science and Technology" chuyên công bố các kết quả nghiên cứu liên quan đến cấu trúc mỏng Để đánh giá không phá hủy, súng mắt Rayleigh là công cụ tiên tiến, và phương trình tán xạ được sử dụng làm cơ sở lý thuyết để xác định các tính chất cơ học từ dữ liệu đo được.
Su dung gia thiet lóp mong, các phương trình tán sac xap xi đưoc tìm ra bang cách thay the toàn b® anh hưong cna lóp mong bang m®t
Điều kiện biên hiếu dụng có thể được khảo sát bằng cách sử dụng phương pháp lúp, như đã đề cập trong tài liệu [2,64] Ngoài ra, khai triển Taylor cũng là một phương pháp hữu ích để phân tích tính chất của lớp trên cùng, với độ dày lớp được xác định là nhỏ (xem Bovik [9], Niklasson và các cộng sự [45]).
Tiersten (1969), Bovik (1996) và Tuan (2008) đã phát hiện ra các phương trình toán sắc xấp xỉ bậc hai không trùng nhau Achenbach và Keshava (1967) cũng tìm ra phương trình toán sắc xấp xỉ bậc bốn, nhưng phương trình này chưa xác định được hệ số nên không chính xác khi sử dụng Steigmann (2007) đã giả thuyết lớp mỏng có ứng suất dư và bán không gian đang hướng, từ đó tìm ra phương trình toán sắc xấp xỉ bậc hai bằng cách khai triển Taylor theo độ dày của lớp mỏng Đối với các môi trường phức tạp hơn, chẳng hạn như bán không gian đang hướng phân lớp dày, các phương trình xấp xỉ thu được chỉ được xây dựng lại ở bậc nhất.
Trong các nghiên cứu gần đây, bán không gian được gia thiết là đàn hồi đang được chú trọng, và trục xấp xỉ bậc bốn của Achenbach-Kesheva (còn phụ thuộc vào một số hệ số chưa xác định, không tiện lợi khi sử dụng) cho thấy các xấp xỉ thu được có bậc cao nhất là bậc hai Để tăng độ chính xác, cần thiết lắp đặt các xấp xỉ bậc cao hơn, và để mở rộng phạm vi ứng dụng, cần xem xét các bán không gian với độ hướng khác nhau.
Gần đây, các phương trình tán sắc sóng Rayleigh (không tính đến ứng suất) đã được thiết lập bởi Vinh và Linh cho bán không gian đàn hồi trong hướng nén và không nén Nghiên cứu này tập trung vào phân lớp mong trong hướng nén và không nén, nhằm xác định bán không gian đàn hồi chịu biến dạng trước phân lớp mong có ứng suất trước Biến dạng trước được giả thiết là thuận nhất và kéo-nén thuần túy.
Các vấn đề chưa được giải quyết liên quan đến sóng Rayleigh trong các bán không gian monoclinic bao gồm: i) Phân lớp mong đợi của sóng Rayleigh trong các bán không gian nén được và không nén được; ii) Sự khác biệt trong tính toán giữa bán không gian nén được và lớp không nén được; iii) Hành vi biến dạng của sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi, bao gồm cả kéo-nén và trượt, trong bối cảnh phân lớp mong đợi.
Phương pháp vectơ phân cnc
Phương pháp vectơ phân CNC là một kỹ thuật được sử dụng để xác định phương trình tần số riêng trong các không gian đàn hồi, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến vectơ biên và chuyển dịch tại biên của không gian Phương pháp này lần đầu tiên được Currie áp dụng vào năm 1970, mang lại những kết quả đáng chú ý trong việc phân tích và giải quyết các vấn đề liên quan đến sóng Rayleigh trong vật liệu đàn hồi.
Năm 1979, một phương trình tán sắc cho sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi đã được phát hiện Tuy nhiên, tác giả nhanh chóng nhận ra rằng phương trình tán sắc này là một đồng nhất thức Việc sửa chữa đã được thực hiện bởi Taylor và Currie vào năm 1981, dẫn đến việc tìm ra phương trình tán sắc đúng đắn, được nêu trong tài liệu tham khảo [62] Phương trình này chứa các vectơ trục cần thiết trong ma trận phản hồi sóng.
Vỡ vectơ trục chính ma trận phân đôi là một vấn đề phức tạp, liên quan đến việc xác định đúng đắn các yếu tố trong phương trình này Đây vẫn là một câu hỏi chưa có lời giải thỏa đáng trong nghiên cứu hiện tại.
Năm 1989, phương pháp vectơ phân CNC đã được áp dụng thành công để xác định phương trình tán sắc dạng ẩn của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi Phương pháp này sau đó tiếp tục được phát triển bởi Ting, Collet và Destrade, dựa trên các nghiên cứu trước đó của Stroh.
Phương pháp vectơ phân CNC được xây dựng và phát triển bởi các tác giả dựa trên ma trận Stroh cho sóng Rayleigh Tuy nhiên, trong nhiều bài toán sóng phức tạp, ma trận Stroh cho sóng Rayleigh trở thành thách thức, đặc biệt trong các trường hợp như truyền sóng trong không gian phân lớp mỏng và trong môi trường đàn hồi Do đó, việc phát triển phương pháp vectơ phân CNC cho các biểu thức Stroh với ma trận phức là một nhiệm vụ quan trọng và có ý nghĩa trong nghiên cứu.
GQI là phương pháp phân tích vectơ CNC phúc, đóng vai trò quan trọng trong việc đạt được các mục tiêu cụ thể Phương pháp này được trình bày chi tiết trong mục 2.1 của chương 2.
Ket luắn
Sóng Rayleigh là một hiện tượng quan trọng trong nghiên cứu vật lý, đặc biệt liên quan đến sự truyền sóng trong môi trường đàn hồi Đặc điểm của sóng này bao gồm sự lan truyền trong bán không gian và khả năng tương tác với các yếu tố như áp suất và biến dạng Việc hiểu rõ về sóng Rayleigh giúp chúng ta nắm bắt được cơ chế hoạt động của nó trong các tình huống cụ thể, từ đó ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau trong khoa học và công nghệ.
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước, ảnh hưởng đến sự lan truyền của sóng Các điều kiện biên và kháng tác động đến sự phát triển của sóng, với phương trình phang đối xứng mô tả sự quay và ứng suất trong môi trường đàn hồi.
- Súng Rayleigh trong bỏn khụng gian đàn hoi monoclinic vúi mắt
Rayleigh trong bán không gian đàn hoi không nén đưoc quay có gia co cot soi ch%u đieu kiắn biờn tro khỏng.
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hoi d% hưóng (nén đưoc và không nén đưoc) đưoc phn lóp mong đàn hoi d% hưóng (nén đưoc và không nén đưoc).
Cu the, luắn ỏn se tắp trung giai quyet cỏc van đe sau:
- Phát trien phương pháp vectơ phân cnc phúc
- Xõy dnng cỏc phương trỡnh tỏn sac dang hiắn (dang tưũng minh) cna sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hoi đưoc ke o trên.
SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HOI CH±U ĐIEU KIfiN BIÊN TRe KHÁNG
Nội dung chương này tập trung vào nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh trong các bồn không gian đàn hồi chịu điều kiện biên phản kháng Các phần chính của chương bao gồm phân tích lý thuyết, ứng dụng thực tiễn và các phương pháp giải quyết bài toán.
- Hắ thỳc cơ ban monoclinic vúi mắt phang đoi xỳng x 3 = 0), nộn đưoc và khụng nộn
- Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hoi d% hưóng (trnc hưóng, đưoc, ch%u đieu kiên tro kháng.
Trong chương 1, việc nghiên cứu bài toán sóng Rayleigh tập trung vào việc tìm phương trình tán sắc dạng hình học là mục tiêu quan trọng Đối với các môi trường đàn hồi, phương trình đặc trưng có thể được biểu diễn dễ dàng bằng phương trình trục phương Tuy nhiên, với các môi trường đàn hồi có tính đối xứng cao hơn, như môi trường đàn hồi monoclinic, phương trình đặc trưng trở nên phức tạp hơn, đòi hỏi phải áp dụng các phương pháp khác như "phương pháp sử dụng định lý Viet" và "phương pháp tích phân đau" để tìm ra các phương trình tán sắc dạng hình học.
"phương pháp vectơ phân cnc" Tuy nhiên, các phương pháp này chi ỏp dung đưoc khi ma trắn
Stroh cna súng Rayleigh là ma trắn thnc.
Trong toán học, ma trận Stroh có liên quan đến phương pháp Rayleigh và thường được xem là ma trận phức tạp Do đó, việc phát triển phương pháp vector phân tích chính xác là rất quan trọng để áp dụng trong việc tìm kiếm các phương trình toán học liên quan đến loại ma trận này Các bài toán liên quan đến ma trận Stroh mở ra nhiều cơ hội nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực toán học.
GQI, hay còn gọi là "phương pháp vectơ phân CNC phúc", là một phương pháp toán học quan trọng Cơ sở của phương pháp này được trình bày dưới dạng mạnh mẽ, giúp người đọc dễ dàng hiểu và áp dụng trong thực tiễn.
Mắnh đe 2.1: Neu vộctơ 2m chieu Y(y) là nghiắm cna bài toỏn:
Y J = i PY , 0 ≤ y < +∞, Y(+∞) = 0 (2.1) trong đú dau phay là kớ hiắu cna đao hàm theo bien y và:
(2.2) vúi cỏc ma trắn P k cap m m là cỏc ma trắn hang so (khụng phu thuđc vào bien y) và chỳng thừa món cỏc hắ thỳc sau:
Khi đó, ta có 2 3 1 trong đó Y¯ T (0)ˆIP n Y(0) = 0 ∀ n ∈ Z (2.4) ˆI = 0 I (2.5)
vúi I là ma trắn đơn v% cap m ì m.
Ta GQI phương trỡnh (2.4) là hắ thỳc cơ ban.
Bo đe 2.1: Gia su rang ma trắn P đưoc bieu dien o phương trỡnh (2.2) là ma trắn kha ngh%ch:
(2.6) cũng đỳng vúi cỏc ma trắn con P (−1) và hắ thỳc (2.3) đỳng cho cỏc ma trắn con P k Khi đú, cỏc hắ thỳc này
Chỳng minh: Tự hắ thỳc PP −1 = I ta cú:
Lay chuyen v% và liờn hop phỳc hai ve cna cỏc phương trỡnh trong hắ phương trỡnh (2.7) và su dung cỏc hắ thỳc (2.3) ta cú:
P 3 = I hay tương đương vói phương trình sau:
Tự cỏc phương trỡnh (2.6), (2.10) và tớnh duy nhat cna ma trắn P −1 ta suy ra: (−1) (−1) T (−1) (−1) T (−1) (−1) T
Vắy bő đe 2.1 đó đưoc chỳng minh.
Bo đe 2.2: Gia su ma trắn P đưoc bieu dien boi phương trỡnh (2.2) là kha ngh%ch và hắ thỳc (2.3) đỳng vúi cỏc ma trắn con P k Khi đú, vúi
MQI n ∈ Z ma trắn P n đưoc bieu dien dưúi dang:
= I (2.12) trong đú cỏc hắ thỳc (2.3) van đỳng cho cỏc ma trắn con P (n)
Chỳng minh: + Rừ ràng, cỏc hắ thỳc (2.3) luụn đỳng cho cỏc ma trắn con P (0) và P (1)
Các hằng thức (2.3) đúng cho các ma trận con P(n) với n > 1 Điều này cho thấy rằng các hằng thức này cũng thỏa mãn cho các ma trận con P(n+1) Tức là, các hằng thức (2.3) luôn đúng cho các ma trận con P(n) với mọi n ∈ Z, n ≥ 0.
+ Tự bő đe 2.1, cỏc hắ thỳc (2.3) cũng đỳng cho cỏc ma trắn con
) k vúi MQI n ∈ Z , n ≤ 0 Vắy bő đe 2.2 đó đưoc chỳng minh.
Bộ đề 2.3 trình bày rằng gia số rang ma trận P được biểu diễn bởi hằng thức (2.2) là khả nghịch và các ma trận con P không thỏa mãn các hằng thức (2.3) Do đó, ta có ˆIP n T = ˆIP n, ∀ n ∈ Z (2.13).
Chỳng minh: Tự bő đe 2.2, cỏc ma trắn con P (n) phai thoa món hắ thúc (2.3) vói MQI n ∈ Z Tù đieu này có the thay rang: ˆIP n (n) 3
Nhân phía trưóc hai ve cna phương trình (2.68)1 vói đưoc:
Y¯ T ˆI P n Y J = i Y¯ T ˆI P n+1 Y (2.14) Lay chuyen v% và liên hop phúc hai ve cna phương trình (2.14) và su dung phương trình (2.13) ta suy ra:
Tù phương trình (2.14) và (2.15) ta thu đưoc phương trình sau: d Σ Y¯ T ˆI P n Y Σ = 0
→ Y¯ T ˆI P n Y = C ∀ y ∈ [0 + ∞] trong đó C là m®t hang so Do Y(+ ) = 0 (xem phương trình (2.1)) nên hang so C phai bang không. k k k k k
Cho y = 0, phương trỡnh (2.16) dan ve hắ thỳc cơ sơ (2.4) Vắy hắ thúc cơ so (2.4) đã đưoc chúng minh.
Hắ thỳc cơ bản (2.4) trong bài báo [17] là một mô hình trưỡng hợp đặc biệt khi P là mô hình ma trận Từ hắ thỳc (2.4), ta thu được nhiều nhất (2m - 1) phương trình được lập tuyến tính theo định lý Cayley-Hamilton Hắ thỳc (2.4) được sử dụng để tìm phương trình toán sắc dạng hiển hình, liên quan đến nhiều bài toán về súng mắt Để chứng minh cần mẫn cho 2.1, ta chỉ ra rằng hắ thỳc cơ bản (2.4) không chỉ đúng tại y = 0 mà còn tại mọi y ∈ [0, +∞).
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hoi trnc hưóng, nén đưoc ch%u đieu kiắn biờn tro kháng
Các phương trình cơ ban
Xột vắt the chiem bỏn khụng gian x 2 0 Xột bài toỏn bien dang phang vói các thành phan chuyen d%ch u i , (i = 1, 2, 3) có dang
Hình 2.1: Bán không gian đàn hoi trnc hưóng, nén đưoc x 2 ≥ 0 u i = u i (x 1 , x 2 , t), i = 1, 2, u 3 ≡ 0 (2.17)
≥ trong đú t là thũi gian Chỳ ý rang, đoi vúi vắt liắu trnc hưúng cỏc truc
TQA đđ đưoc cHQN trựng vúi cỏc truc chớnh cna vắt liắu.
Gia thiet rang vắt the là đàn đoi trnc hưúng nộn đưoc Khi đú, liờn hắ giua ỳng suat và chuyen v% cú dang [65]
Các thành phần ứng suất σij và c ij tương ứng với các hằng số vật liệu trong không gian, trong đó dấu phẩy đại diện cho đạo hàm theo biến không gian xk Các hằng số đàn hồi c11, c22, c12 và c66 phải thỏa mãn điều kiện cii > 0, với i = 1, 2, 6, và c11 c22.
Bo qua lnc khoi, phương trình chuyen đ®ng có dang
(2.20) o đõy ρ là mắt đđ khoi lưong cna bỏn khụng gian, dau cham chi đao hàm theo thòi gian t.
The phương trình (2.18) vào (2.20), ta có phương trình chuyen đ®ng dưói dang chuyen d%ch có dang c 11 u 1,11 + c 66 u 1,22 + (c 12 + c 66 )u 2,12
Gia su rang trờn mắt biờn x 2 = 0 thoa món đieu kiắn biờn tro khỏng
[29,38]: σ 12 + ωZ1 u 1 = 0, σ 22 + ωZ2 u 2 = 0 tai x 2 = 0 (2.22) vúi ω = kc là tan so gúc cna súng, k là so súng, c là vắn toc súng,
Z_j (∈ R), với j = 1, 2, là các tham số tro kháng có đơn vị phần trăm (%), được xác định bằng lnc/vắn tốc (xem [38]) Đồng thời, không gian thoa món điều kiện tác động ở vụ cường cna sóng cũng được xem xét.
Phương trình tán sac
Bài toán truyền sóng Rayleigh được nghiên cứu với tốc độ c (> 0) và hướng truyền sóng theo x1 và x2 Các tác giả Vinh Ta đã so sánh các phương trình mô tả sóng Rayleigh với các phương trình của Ogden [74] Phương trình mô tả chuyển động của sóng Rayleigh thỏa mãn phương trình (2.21) và điều kiện biên tại vụ cựng (2.23) có dạng: u1 = (B1 e^(-kb1 x2) + B2 e^(-kb2 x2)) e^(ik(x1 - ct)) và u2 = (α1 B1 e^(-kb1 x2) + α2 B2 e^(-kb2 x2)) e^(ik(x1 - ct)).
(2.24) o đõy B 1, B 2 là cỏc hang so đưoc xỏc đ%nh tự đieu kiắn biờn tro khỏng
(2.22) cũn b 1 , b 2 là nghiắm cna phương trỡnh : c 22 c 66 b 4 + {(c 12 + c 66) 2 + c 22(X − c 11) + c 66(X − c 66)}b 2
(2.25) vúi X = ρc 2 Chỳ ý rang, đe súng Rayleigh thoa món đieu kiắn tat dan o vô cùng bTù phương trình (2.25) ta có:1 , b 2 phai có phan thnc dương.
De dàng chúng minh đưoc rang đe sóng Rayleigh ton tai (b 1 , b 2 có phan thnc dương) thỡ X phai thoa món đieu kiắn:
0 < X < min{c 66 , c 11 } (2.27) và tù phương trình (2.26) ta suy ra: b 1 b 2 = √
Mắt khỏc, thay dang nghiắm cna chuyen d%ch u 1 , u 2 o phương trỡnh
(2.24) vào phương trình (2.21)1 ket hop đong nhat hai ve ta suy ra đưoc α k = iβ k , k = 1, 2, i = √
Sử dụng phương trình (2.18) và biểu thức cna u 1, u 2 từ phương trình (2.24), ta có các biểu thức xác định σ 12 và σ 22 như sau: σ 12 = −kc 66 {(b 1 + β 1)B 1 e −kb 1 x 2 + (b 2 + β 2)B 2 e −kb 2 x 2 }e ik(x 1 −ct) và σ 22 = ik{(c 12 − c 22 b 1 β 1)B 1 e −kb 1 x 2 +(c 12 − c 22 b 2 β 2)B 2 e −kb 2 x 2 } e ik(x 1 −ct) (2.30).
Ta thay the bieu thúc xác đ%nh σ 12, σ 22 o phương trình (2.30) và u 1 , u 2 o phương trỡnh (2.24) vào đieu kiắn biờn tro khỏng (2.22), khi đú phương trình (2.22) đưoc đưa ve dang sau
(2.31) trong đú x = c 2 /c 2 2 2 , c 2 = c 66 /ρ, là vắn toc khụng thỳ nguyờn cna súng
Rayleigh và δ n = Z n / ρc 66 (∈ R), n = 1, 2, là các tham so tro kháng và là các đai lưong không thú nguyên.
Do B 2 + B 2 ƒ= 0, nờn đ%nh thỳc cna ma trắn cỏc hắ so cna hắ phương trình (2.31) phai bang không Túc là
Các tham số e1, e2 và e1e2 đều phải lớn hơn 0 trong phương trình (2.33) Đây là các tham số liên quan đến nguyên lý trong bài toán Cần lưu ý rằng các tham số này trong phương trình (2.29) không quá khó để chứng minh Kết quả của phép chứng minh cho thấy rằng β2 - β1 = (e1 - x + b1b2).
− cho nhân tu (b 2 − b 1) ta đưoc phương trình sau:
The phương trình (2.34) vào phương trình (2.32) và chia ca hai ve x(e 1 − x)(1 − δ 1 δ 2) + [e 2 − e 2(e 1 − x) − δ 1 δ 2 x]√
P = 0 (2.35) trong đó S and P đưoc xác đ%nh như sau:
Phương trình (2.35) mô tả hiện tượng tán sắc không thú nguyên trong sóng Rayleigh, diễn ra trong không gian đàn hồi Điều kiện biên được thiết lập theo phương trình (2.22) nhằm xác định các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình này.
Hỡnh 2.2: Sn phu thuđc cna vắn toc súng khụng thỳ nguyờn x = ρc 2 /c 66 vào tham so tro kháng không thú nguyên δ 1 trong bán không gian đàn hoi trnc hưóng, nén đưoc
2.2.3 Mđt so trưàng hap đắc biắt
- Trưàng hap sóng Rayleigh truyen trong bán không gian đàn hoi trnc hưáng tn do đoi vái úng suat
Hình 2.3 mô tả sự phụ thuộc của tốc độ sóng khối trong môi trường đàn hồi, với công thức x = ρc²/c₆₆ liên quan đến tham số kháng không thú nguyên δ₂ trong bán không gian đàn hồi Khi δ₁ = δ₂ = 0, phương trình xét sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi dẫn đến phương trình sau:
Phương trình (1 − x)(e 1 − x)/e 2 + (e 1 − x)x = 0 (2.37) là phương trình tán sắc (không có nguyên) dạng hiển hình cho sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi theo hướng tự do với ứng suất Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với phương trình tán sắc được tác giả Chadwick tìm ra vào năm 1976.
- Trưàng hap sóng Rayleigh truyen trong bán không gian đàn hoi đang hưỏng ch%u đieu kiắn biờn trỏ khỏng (2.22)
Xột bỏn không gian đàn hồi đang chúng ta có: c₁₁ = c₂₂ = λ + 2μ, c₆₆ = μ, c₁₂ = λ, với λ và μ là các hằng số Lame Từ đó, dễ dàng suy ra được hai nghiệm của phương trình (2.25) có phần thân dương như sau: b₁ = 1 − γx, b₂ và từ (2.29) suy ra.
√ √ ý e 1 = e 2=1/γ, e 3 = 1/γ − 2, chúng ta đưa phương trình (2.32) ve dang Thay hai phương trình (2.39) và (2.40) vào phương trình (2.32) và chú (x − 2) 2 − 4√
√1 − γx) Phương trình (2.41) trùng vói ket qua tìm đưoc cna Godoy và các c®ng sn (phương trỡnh (16) trong tài liắu [29]) và cna Malischewsky (phương trỡnh 2.7 trong tài liắu [38]).
Mắt khỏc, su dung hắ thỳc S + 2√P =√1 x + √
Phương trình (2.42) đại diện cho một dạng mới của phương trình tán sắc (không tuyến tính) liên quan đến sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi với điều kiện biên cố định, như đã được trình bày trong phương trình (2.22).
Neu cho δ 2 = 0 thì phương trình (2.41) đưoc rút GQN ve dang:
De dàng thay đưoc rang phương trình (2.43) trùng vói phương trình (15) trong tài liắu tham khao [29].
2.3 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hoi đưac tao bai vắt liắu mono- clinic vỏi mắt phang đoi xẫng x 3 = 0, nộn đưac ch%u đieu kiắn biờn tra kháng
2.3.1 Phương trỡnh cơ ban dưỏi dang ma trắn
Xét m®t bán không gian đàn hoi tuyen tính x 2 0, đưoc tao boi vắt liắu monoclinic vúi mắt phang đoi xỳng xbài 3 = 0 (xem [65]) Xột
Hình 2.4 mô tả không gian đàn hồi của vật liệu monoclinic với các điều kiện biên là x3 = 0 và x2 ≥ 0 Các biến chuyển động được định nghĩa là u1 = u1(x1, x2, t), u2 = u2(x1, x2, t), và u3 ≡ 0, trong đó t là thời gian Với cấu trúc monoclinic, có mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển dịch được trình bày trong tài liệu [65].
Bo qua lnc khoi, phương trình chuyen đ®ng có dang
(2.46) Giai hắ phương trỡnh gom phương trỡnh (2.45)2 và (2.45)3 đoi vúi bien u 1,2 và u 2,2 ta đưoc
Su dung phương trỡnh đau tiờn cna hắ phương trỡnh (2.46) và tớnh đen phương trình (2.47) ta thu đưoc σ 12,2 = ρu¨1 − ηu 1,11 − r 6 σ 12,1 − r 2 σ 22,1 (2.49) vói η = c 11 − r 6 c 16 − r 2 c 12 (2.50)
Tự phương trỡnh thỳ hai cna hắ phương trỡnh (2.46) ta cú σ 22,2 = ρu¨2 − σ 12,1 (2.51) Các phương trình (2.47), (2.49) và (2.51) đưoc viet dưói dang ma trắn như sau ζ J = M ζ (2.52) trong đó u 1 u 2 ζ = , M M 1 M 2 (2.53) σ 12 σ 22
M3 M4 o đõy ma trắn M k đưoc xỏc đ%nh như sau
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét hàm theo biến x^2, sử dụng các ký hiệu ∂1 = ∂/∂x1 và ∂2 = ∂2/∂x2, cũng như ∂2 = ∂2/∂t2 Điều này dẫn đến việc phân tích phương trình (2.52), một phương trình quan trọng trong lĩnh vực này Hãy chú ý rằng các ký hiệu này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự chuyển động của ma trận trong không gian.
1 1 t mắt phang đoi xỳng x 3 = 0 dang ma trắn cna bài toỏn ỳng suat phang cho vắt liắu monoclinic vúi
2.3.2 Sóng Rayleigh Phát bieu Stroh hưóng x 1 và tat dan theo hưóng x 2 Khi đó, các thành phan chuyen dich Xột súng Rayleigh truyen vúi vắn toc c (> 0) so súng k (> 0) theo và úng suat cna sóng Rayleigh đưoc tìm dưói dang: u n = U n (y)e ik(x 1 −ct) , σ n2 = ikt n (y)e ik(x 1 −ct) , n = 1, 2, y = kx 2
(2.55) The dang nghiắm o phương trỡnh (2.55) vào phương trỡnh
(2.52) ta đưoc phương trình mói có dang: ξ J = i N ξ, 0 ≤ y < +∞ (2.56) o đõy dau phay kớ hiắu đao hàm theo bien y (y = kx 2) và: ξ = u
t2 N3 N4 trong đú ma trắn N k đưoc xỏc đ%nh như sau:
Liên kết vui phương trình (2.56) là điều kiện tất đặn ở vụ cứng và điều kiện biên cho sóng Rayleigh Điều kiện tất đặn ở vụ cứng cho sóng Rayleigh có dạng
1 ξ(+∞) = 0 (2.59) Đieu kiắn biờn tro khỏng (2.22) đưoc bieu dien qua U k và t k như sau t 1 = iδ 1 c 66 XU 1 , t 2 = iδ 2 c 66 XU 2 tai y = 0 (2.60) hoắc dưúi dang ma trắn t = Au tai y = 0, A = iδ 1
Chú ý rang, chúng ta de dàng chúng minh đưoc A¯ T = A.
Ta đưa vào bien mói σ = t − Au (2.62)
Khi đú, phương trỡnh (2.56), đieu kiắn tat dan o vụ cựng (2.59) và đieu kiắn biờn tro khỏng (2.61) tro thành w J = i Qw , 0 ≤ y < +∞ (2.63) và: trong đó w(+∞) = 0, σ(0) = 0 (2.64) w = u
σ Q3 Q4 vúi ma trắn Q k xỏc đ%nh qua ma trắn N k và ma trắn A như sau
Tù bieu thúc xác đ%nh N 2 và N 3 trong phương trình (2.58) và bieu thúc cna A o phương trình (2.61), ta de dàng suy ra đưoc:
Khi đó, su dung phương trình (2.66) và (2.67) ta de dàng chúng minh đưoc cỏc hắ thỳc sau: ¯ T = Q 2 , ¯ T = Q 3 , Q 4 Q¯ T
Các phương trình (2.56) và (2.63) đưoc GQI là phát bieu Stroh [59].
Ta có P = Q, với Q được xác định từ phương trình (2.65) và (2.66), và Y = w trong phương trình (2.4) Với điều kiện σ(0) = 0 (xem phương trình (2.64)), phương trình (2.4) được rút gọn thành u¯ T (0)Q (n) u(0) = 0 cho mọi n ∈ Z (2.69) Để đơn giản hóa trong việc trình bày, ta xem xét các thành phần của ma trận Q (n) là Q (n) (i, j = 1, 2) Do Q là ma trận cấp 4 x 4, theo chú ý 2.1, ii), từ (2.4) ta thu được ba phương trình được lập cho HQN n = 1, 1, 2 là một lna HQN tốt nhất Giả sử U 1(0) khác 0, véctơ u(0) có thể được viết lại dưới dạng: u(0) = U 1(0)[1 α] T, với tính tuyến tính với ba giá trị khác nhau của n Để dễ dàng thay thế, ta có thể viết α = U 2(0)/U 1(0) là một số phức, tức là α có dạng: α = a + ib, với b là các số thực Do Q (n) là ma trận hermitian (xem (2.68)), ta có:
Q (2) + Q (2) α + Q (2) α¯ + Q (2) αα¯ = 0 trong đú cỏc thành phan Q (n) cỏc ma trắn Q (n) (n = −1, 1, 2) đưoc xỏc
− i[δ 1(r 6 + n 26 X) + δ 2(ηn 26 − r 2 r 6 − n 26 X)]√ c 66 X và Q (−1) = Qˆ (−1) /q trong đú q ∈ R là đ%nh thỳc cna ma trắn Q (1) và
Do ma trắn Q (n) là ma trắn hermitian, nờn Q (n) , Q (n) (n = 1, 2),
3 là các so thnc và Q (n) (n = 1, 2), ˆ11 ( 1 ) 12 là các so phúc22 mà phan thnc và phan ao đưoc bieu dien tương úng như sau: Q (n,r) và Q (n,i) (n = 1,
1 2 và Qˆ (−1,i) The các bieu thúc α = a + ib,
12 12 12 12 12 12 trỡnh (2.71) chỳng ta thu đưoc hắ ba phương trỡnh tuyen tớnh cú dang như sau::
Hắ phương trỡnh (2.75) cú nghiắm là
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các công thức liên quan đến định thức của ma trận, cụ thể là: \(2a = \frac{D_1}{D}\), \(-2b = \frac{D_2}{D}\), và \(a^2 + b^2 = \frac{D_3}{D}\) (2.76) Ở đây, \(D\) là định thức của ma trận liên quan đến phương trình (2.75), trong khi \(D_k\) là định thức của các ma trận nhỏ hơn được tạo ra từ ma trận \(D\) bằng cách thay thế các cột tương ứng.
Tù phương trình (2.76) ta suy ra
Phương trình D² + D² - 4DD³ = 0 (2.77) là một phương trình toán học dạng hiển thị, thể hiện sự phụ thuộc của x vào các điều kiện biên không khả biến Biểu thức này liên quan đến các sóng Rayleigh trong không gian monoclinic với mặt phẳng đối xứng.
Sóng Rayleigh Phát bieu Stroh
Khi hưỡng x 1 và tắt dần theo hưỡng x 2, các thành phần chuyển dịch của sóng Rayleigh sẽ truyền với vận tốc c (> 0) và so với vận tốc k (> 0) Đối với sóng Rayleigh, các thông số được mô tả như sau: u n = U n (y)e ik(x 1 −ct) và σ n2 = ikt n (y)e ik(x 1 −ct), với n = 1, 2 và y = kx 2.
(2.55) The dang nghiắm o phương trỡnh (2.55) vào phương trỡnh
(2.52) ta đưoc phương trình mói có dang: ξ J = i N ξ, 0 ≤ y < +∞ (2.56) o đõy dau phay kớ hiắu đao hàm theo bien y (y = kx 2) và: ξ = u
t2 N3 N4 trong đú ma trắn N k đưoc xỏc đ%nh như sau:
Liên kết vui phương trình (2.56) là điều kiện tất đặn ở vụ cứng và điều kiện biên cho sóng Rayleigh Điều kiện tất đặn ở vụ cứng cho sóng Rayleigh có dạng nhất định.
1 ξ(+∞) = 0 (2.59) Đieu kiắn biờn tro khỏng (2.22) đưoc bieu dien qua U k và t k như sau t 1 = iδ 1 c 66 XU 1 , t 2 = iδ 2 c 66 XU 2 tai y = 0 (2.60) hoắc dưúi dang ma trắn t = Au tai y = 0, A = iδ 1
Chú ý rang, chúng ta de dàng chúng minh đưoc A¯ T = A.
Ta đưa vào bien mói σ = t − Au (2.62)
Khi đú, phương trỡnh (2.56), đieu kiắn tat dan o vụ cựng (2.59) và đieu kiắn biờn tro khỏng (2.61) tro thành w J = i Qw , 0 ≤ y < +∞ (2.63) và: trong đó w(+∞) = 0, σ(0) = 0 (2.64) w = u
σ Q3 Q4 vúi ma trắn Q k xỏc đ%nh qua ma trắn N k và ma trắn A như sau
Tù bieu thúc xác đ%nh N 2 và N 3 trong phương trình (2.58) và bieu thúc cna A o phương trình (2.61), ta de dàng suy ra đưoc:
Khi đó, su dung phương trình (2.66) và (2.67) ta de dàng chúng minh đưoc cỏc hắ thỳc sau: ¯ T = Q 2 , ¯ T = Q 3 , Q 4 Q¯ T
Các phương trình (2.56) và (2.63) đưoc GQI là phát bieu Stroh [59].
Phương trình tán sac
Ta có P = Q với Q được xác định từ phương trình (2.65) và (2.66), cùng với Y = w từ phương trình (2.4) Với điều kiện σ(0) = 0 theo phương trình (2.64), phương trình (2.4) được rút gọn thành u¯ T (0)Q(n)u(0) = 0 ∀ n ∈ Z (2.69) Để đơn giản hóa, ta xem xét các thành phần của ma trận Q(n) với i, j = 1, 2 Vì Q là ma trận cấp 4x4, theo chú ý 2.1, từ (2.4) ta thu được ba phương trình được lắp cHQN với n = 1, 1, 2, là một lệnh cHQN tốt nhất Giả sử U1(0) ≠ 0, véctơ u(0) có thể được viết lại dưới dạng: u(0) = U1(0)[1 α]T, với α = U2(0)/U1(0) là một số phức Do đó, α có dạng: α = a + ib, với b là các số thực Với Q(n) là ma trận hermitian, ta có thể áp dụng vào phương trình (2.69).
Q (2) + Q (2) α + Q (2) α¯ + Q (2) αα¯ = 0 trong đú cỏc thành phan Q (n) cỏc ma trắn Q (n) (n = −1, 1, 2) đưoc xỏc
− i[δ 1(r 6 + n 26 X) + δ 2(ηn 26 − r 2 r 6 − n 26 X)]√ c 66 X và Q (−1) = Qˆ (−1) /q trong đú q ∈ R là đ%nh thỳc cna ma trắn Q (1) và
Do ma trắn Q (n) là ma trắn hermitian, nờn Q (n) , Q (n) (n = 1, 2),
3 là các so thnc và Q (n) (n = 1, 2), ˆ11 ( 1 ) 12 là các so phúc22 mà phan thnc và phan ao đưoc bieu dien tương úng như sau: Q (n,r) và Q (n,i) (n = 1,
1 2 và Qˆ (−1,i) The các bieu thúc α = a + ib,
12 12 12 12 12 12 trỡnh (2.71) chỳng ta thu đưoc hắ ba phương trỡnh tuyen tớnh cú dang như sau::
Hắ phương trỡnh (2.75) cú nghiắm là
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phương trình liên quan đến định thức của ma trận, với các công thức: \(2a = \frac{D_1}{D}\), \(-2b = \frac{D_2}{D}\), và \(a^2 + b^2 = \frac{D_3}{D}\) (2.76) Ở đây, \(D\) là định thức của ma trận 3x3, trong khi \(D_k\) đại diện cho định thức của các ma trận nhỏ hơn, được tính toán thông qua việc thay thế các cột bằng vector cột bên phải của ma trận.
Tù phương trình (2.76) ta suy ra
Phương trình D² + D² - 4DD³ = 0 (2.77) là một phương trình toán học có dạng hiển thị, tương ứng với x³ = 0 dưới điều kiện biên không khả thi Biểu thức này liên quan đến các sóng Rayleigh trong không gian monoclinic với mặt phẳng đối xứng.
Phương trình tán sắc (2.77) là một phương trình đại số bậc 8, được suy ra từ các biểu thức (2.72), (2.73), và (2.74) Việc tính toán mđt có thể thực hiện dễ dàng bằng cách sử dụng các biểu thức này.
Nhắn xột 2.2: Đe thu đưoc phương trỡnh tỏn sac cna súng ta cú the ỏp dung hắ thỳc (2.4) vúi đieu kiắn biờn tro khỏng (2.60) trong đú
P = N Tuy nhiờn, quỏ trỡnh thnc hiắn phỳc tap hơn nhieu do ma trắn
Hỡnh 2.5: Sn phu thuđc cna vắn toc súng khụng thỳ nguyờn x ρc 2 /c 66 vào tham so tro kháng không thú nguyên δ 1 trong bán không gian đàn hoi monoclinic x 3 = 0, nén đưoc
2.3.4 Cỏc trưàng hap đắc biắt
- Trưàng hap bán không gian tn do đoi vái úng suat
Hỡnh 2.6: Sn phu thuđc cna vắn toc súng khụng thỳ nguyờn x ρc 2 /c 66 vào tham so tro kháng không thú nguyên δ 2 trong bán không gian đàn hoi monoclinic x 3 = 0, nén đưoc
Khi bán không gian tn do đoi vói úng suat thì δ 1 = δ 2 = 0 Khi đó, tù các phương trình (2.72), (2.73) và (2.74) ta có:
Từ việc phân tích Tù ba đang thúc đau tiên cna (2.78), chúng ta có thể kết luận rằng D ≡ D2 ≡ D3 ≡ 0, dẫn đến phương trình tác động (2.77) trở thành D1 = 0 Khi áp dụng hai đang thúc cuối cna (2.78), ta có D1 = 0 tương đương với phương trình ˆ(−1)(1)ˆ(1,r)12ˆ(−1).
1 Đong thòi, khi đó các phương trình (2.72), (2.73) và (2.74) có dang sau:
The (2.81) vào phương trình (2.80) ta dan ve phương trình sau:
Phương trình X 2 [(η − X)n 22 +r 2 ]}+2r 6 X 2 (η − X)[(η − X)n 26 +r 2 r 6] = 0 mô tả sự truyền trong không gian monoclinic với điều kiện x 3 = 0 Phương trình (2.82) thể hiện tính chất tán sắc của sóng Rayleigh trong bán không gian, liên quan đến ứng suất Được Destrade phát hiện vào năm 2001 (phương trình (28)) thông qua phương pháp tích phân, và Ting vào năm 2002 (Eq (4.12b)) sử dụng phương pháp ma trận phân phụ đại số (the cofactor-matrix approach).
Khi vắt the là trnc hưúng thỡ c 16 = c 26 = 0 (xem tài liắu tham khao [65]) Do đó tù phương trình (2.48) ta có r 6 = n 26 = 0, r 2 c 1
= c 11 − ccc 22 22 2 (2.83) đú khụng khú đe suy ra trong trưũng hop đắc biắt này ta cú D 1 0 Su dung các phương trình (2.72), (2.73), (2.74), (2.77) và (2.83), khi
Vắy ta cú phương trỡnh tỏn sac dang khụng thỳ nguyờn như sau:
2 trong đó D¯ , D¯ 2 và D¯ 3 đưoc xác đ%nh như sau
Phương trình (2.85) cho thấy rằng δ1 và δ2 là các tham số liên quan đến kháng, trong khi các tham số vắt liếu kháng không thể xác định được cho nguyên e k (k = 1, 2, 3) Biến x được xác định là c2/c22 (với c22 = c66/ρ), đại diện cho vận tốc không thể xác định của sóng Rayleigh Từ phương trình (2.85), ta có thể nhận thấy rằng phương trình (2.84) là một phương trình đại số bậc 6 đối với biến x.
Nhắn xột 2.3: i) Bang phộp bỡnh phương (hai lan) hai ve phương trình (2.35) và chia ca hai ve cna ket qua vùa thu đưoc cho nhân tu
Phương trình (2.35) được coi là phương trình gốc cho phương trình (2.84), cho thấy rằng phương trình (2.35) đơn giản hơn nhiều so với (2.84) Điều này chỉ ra rằng việc xem xét riêng trường hợp vật lý là hợp lý Hơn nữa, phương trình (2.35) sẽ hữu ích trong việc khảo sát tính duy nhất của sóng Rayleigh trong không gian trống khi điều kiện biên được giữ cố định bằng phương pháp hàm biến phức.
Cỏc trưũng hop đắc biắt
hoi trEc hưáng, không nén đưac ch%u đieu kiắn biờn tra khỏng
2.4.1 Các phương trình cơ ban
Xột vắt the chiem bỏn khụng gian x 2 0 Xột bài toỏn bien dang phang vói các thành phan chuyen d%ch u i , (i = 1, 2, 3) có dang:
Hình 2.7: Bán không gian đàn hoi trnc hưóng, không nén đưoc x 2 ≥ 0 u i = u i (x 1 , x 2 , t), i = 1, 2, u 3 ≡ 0 (2.86) vói t là thòi gian.
Gia thiet rang vắt the là đàn hoi trnc hưúng khụng nộn đưoc Khi đú, liờn hắ giua ỳng suat và chuyen v% cú dang (xem [65]):
Áp lực tĩnh được biểu diễn bởi công thức p = p(x1, x2, t), trong đó đầu phay là dao hàm theo biến không gian xk Các hệ số đàn hồi c11, c22, c12 và c66 phải thỏa mãn các điều kiện nhất định, trong đó σij và cij tương ứng là các thành phần và hệ số liên quan Cụ thể, các hệ số cii phải lớn hơn 0 với i = 1, 2, 6, và điều kiện c11 + c22 - 2c12 phải lớn hơn 0.
Sóng Rayleigh trong bán không đàn hoi trnc hưóng, không nén đưoc ch%u đieu kiắn biờn tro khỏng 34
Các phương trình cơ ban
Xột vắt the chiem bỏn khụng gian x 2 0 Xột bài toỏn bien dang phang vói các thành phan chuyen d%ch u i , (i = 1, 2, 3) có dang:
Hình 2.7: Bán không gian đàn hoi trnc hưóng, không nén đưoc x 2 ≥ 0 u i = u i (x 1 , x 2 , t), i = 1, 2, u 3 ≡ 0 (2.86) vói t là thòi gian.
Gia thiet rang vắt the là đàn hoi trnc hưúng khụng nộn đưoc Khi đú, liờn hắ giua ỳng suat và chuyen v% cú dang (xem [65]):
Áp lực tĩnh được ký hiệu là p = p(x₁, x₂, t), trong đó đầu phay là dao hàm theo biến không gian xₖ Các hệ số đàn hồi c₁₁, c₂₂, c₁₂ và c₆₆ phải thỏa mãn các điều kiện: σᵢⱼ và cᵢⱼ tương ứng là các thành phần và hệ số liên quan, với cᵢ > 0 (i = 1, 2, 6) và điều kiện c₁₁ + c₂₂ − 2c₁₂ > 0.
Do vắt liắu khụng nộn đưoc, chỳng ta cú u 1,1 + u 2,2 = 0 (2.89)
Khi đó, chúng ta có hàm vô hưóng ψ(x 1 , x 2 , t), thoa mãn u 1 = ψ ,2 , u 2 = −ψ ,1 (2.90) Phương trình chuyen đ®ng bo qua lnc khoi có dang
(2.91) o đõy ρ là mắt đđ khoi lưong cna bỏn khụng gian và dau cham chi đao hàm theo thòi gian t.
The phương trình (2.87) và (2.90) vào phương trình (2.91) (chú ý rang ta loai bo p) ta dan ve phương trình đoi vói ψ c 66 ψ ,1111 + (c 11 − 2c 12 + c 22 − 2c 66 )ψ ,1122 + c 66 ψ ,2222 = ρ(ψ¨ ,11 + ψ¨ ,22 ) (2.92)
Gia su rang trờn mắt biờn x 2 = 0 thoa món đieu kiắn biờn tro khỏng
[29,38] σ 12 + ωZ1 u 1 = 0, σ 22 + ωZ2 u 2 = 0 tai x 2 = 0 (2.93) vúi ω = kc là tan so gúc cna súng, k là so súng, c là vắn toc súng,
Z k ( R) là cỏc tham so tro khỏng cú thỳ nguyờn là lnc/vắn toc (xem
[29,38]) Đong thũi, bỏn khụng gian thoa món đieu kiắn tat dan o vụ cùng: u i = 0 (i = 1, 2) khi x 2 → +∞ (2.94)
Su dung phương trỡnh (2.87), (2.90) và (2.91)1, đieu kiắn biờn tro kháng (2.93) đưoc đưa ve phương trình đoi vói ψ, cu the c 66(ψ ,22 − ψ ,11) + ωZ1 ψ ,2 = 0 tai x 2 = 0 c 66(ψ ,222 − ψ ,112) + (c 11 − 2c 12 + c 22)ψ ,112 + ωZ2 ψ ,11 − ρψ¨ ,2 = 0 tai x 2 = 0
Phương trình tán sac
Chúng ta nghiên cứu sóng điều hòa truyền theo hướng Ox 1, với biểu thức ψ được viết dưới dạng ψ(x1, x2, t) = φ(y)e^(ik(x1 - ct)), trong đó k là số sóng, c là vận tốc sóng, y = kx2, và φ là hàm biên độ.
The phương trình (2.97) vào phương trình (2.92) ta đưoc phương trình sau φ jjjj − (δ − 2 − x)φ jj + (1 − x)φ = 0 (2.98) trong đú, dau J là kớ hiắu đao hàm cna hàm φ theo bien y, δ = (c 11
2c 12 + c 22)/c 66, x = c 2 /c 2 , c 2 = c 66 /ρ Chú ý rang, tù phương trình (2.88) suy ra δ > 0 2 2
The dang nghiắm cna φ vào đieu kiắn biờn (2.95) Khi đú, ta cú φ jj (0) + δ 1
(2.99) vói δ n = (Z n )/(√ ρc 66) (∈ R), n = 1, 2, là các tham so tro kháng không thú nguyên.Tù phương trình (2.96) và (2.97), ta có: φ(x 2) → 0 tai x 2 → +∞ (2.100)
Bài toán tìm nghiệm phương trình (2.98) cần thỏa mãn điều kiện biên (2.99) và (2.100) Để tìm nghiệm tổng quát của hàm φ(y), cần thỏa mãn điều kiện biên (2.100), từ đó có thể tìm được nghiệm dưới dạng φ(y) = Ae^{-s_1 y} + Be^{-s_2 y} (2.101), trong đó A và B là các hằng số, còn s_1 và s_2 là nghiệm có phần thực dương của phương trình bậc hai s^2 - (δ - 2 - x)s + (1 - x) = 0 (2.102) Phương trình (2.102) là phương trình trùng phương, do đó ta suy ra s_1 + s_2 = δ - 2 - x := S.
De dàng thay rang neu sóng Rayleigh ton tai (s 1 , s 2 có phan thnc dương) thì ta có 0 < x < 1 (2.104) và s 1 s 2 = √
The dang nghiắm cna φ (xem phương trỡnh (2.101)) vào đieu kiắn biờn (2.99), chỳng ta thu đưoc hắ phương trỡnh đoi vúi A và B như sau (s 2 − δ 1 s 1
B = 0 là hai phương trình tuyến tính thuần nhất Để xác định các hệ số của hai phương trình (2.106), cần phải thỏa mãn điều kiện nhất định Sau khi chia cả hai vế cho nhân tử khác không (s2 - s1), ta thu được phương trình: s2 + s2 + s2 s2 + (δ - x)s1 s2 - (δ1 s1 s2 + δ2)(s1 + s2)√x + δ1 δ2 x - (δ - 1 - x) = 0.
Su dung phương trình (2.103) và (2.105), phương trình (2.107) dan ve phương trình
Phương trình (2.108) mô tả hiện tượng tán sắc của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi, với điều kiện biên được thiết lập theo phương trình (2.93).
2.4.3 Mđt so trưàng hap đắc biắt
Trong nghiên cứu về sóng Rayleigh, việc truyền sóng trong bán không gian đàn hồi không nén được xác định bởi sự cân bằng áp suất Khi áp suất ở hai điểm δ1 và δ2 bằng 0, từ phương trình (2.108) có thể suy ra rằng bán không gian đàn hồi trong hướng không nén được xác định bởi sự thay đổi áp suất.
Hình 2.8: Sản phẩm phụ thuộc vào vận tốc súng không thể nguyên x = ρc² / c66, trong tham số trở kháng không thu nguyên δ1 trong bán không gian đàn hồi theo hướng không nén được.
Hình 2.9 trình bày phương trình tán sắc cho sóng đàn hồi trong bán không gian, không nén, với tham số kháng không thú nguyên δ² Phương trình này được xác định bởi công thức x = ρc²/c₆₆, liên quan đến tốc độ sóng Kết quả thu được hoàn toàn tương đồng với phương trình tán sắc mà các tác giả Ogden và Phạm Chi Vinh đã nghiên cứu vào năm 48.
Mđt so trưũng hop đắc biắt
Trường hợp sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi với hướng ngang và điều kiện biên cố định được mô tả bởi các hệ số c 11 = c 22 và c 11 c 12 = 2c 66, dẫn đến kết quả δ = 4 Khi xem xét bán không gian đàn hồi với hướng ngang và trục theo phương trình (2.108), chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về đặc tính của sóng trong môi trường này.
Phương trình (2.110) mô tả hiện tượng tán sắc không thú nguyên dạng, liên quan đến sóng Rayleigh truyền trong không gian đàn hồi Phương trình này áp dụng cho trường hợp không có điều kiện biên, như đã nêu trong (2.93) Trong đó, x được xác định là ρc²/à, với à là mô đun đàn hồi.
Chỳ ý rang, đoi vúi vắt the đang hưúng, phương trỡnh tỏn sac cũng
Sóng Rayleigh truyen trong bán không gian đàn hoi không nén đưoc đưoc tao boi vắt liắu monoclinic vói mắt phang đoi xúng x 3 = 0 , khụng nộn đưoc ch%u đieu kiắn biờn tro kháng
Sóng Rayleigh Phát bieu Stroh
hưóng x 1 và tat dan theo hưóng x 2 Khi đó, các thành phan chuyen d
Xột súng Rayleigh truyền với tốc độ c (> 0) và so súng k (> 0) theo ứng suất của sóng Rayleigh được biểu diễn dưới dạng u n = U n (y)e ik(x 1 −ct) và σ n2 = ikt n (y)e ik(x 1 −ct), với n = 1, 2 Khi thay thế vào phương trình (2.120), ta nhận được phương trình ξ J = i N ξ, với 0 ≤ y < +∞ Trong đó, J là hàm theo biến y (y = kx 2) và ξ = u.
t2 N3 N4 trong đú, cỏc ma trắn con N k đưoc xỏc đ%nh như sau
Kết hợp vũi phương trình (2.124) yêu cầu điều kiện tất cả tại vô cùng ξ(+∞) = 0 (2.127) và điều kiện biên tròn không (2.93) được biểu diễn qua U_k và t_k với t_1 = iδ_1 c 66 XU_1, t_2 = iδ_2 c 66 XU_2 tại y = 0 (2.128) Điều kiện biên tròn không cũng được viết dưới dạng ma trận như sau: t = Au tại y = 0, với A = iδ_1.
Chú ý rang, de dàng chúng minh đưoc A¯ T = A.
Ta đưa vào bien mói σ = t − Au (2.130)
Khi đú, phương trỡnh (2.124), đieu kiắn tat dan o vụ cựng (2.127) và đieu kiắn biờn tro khỏng (2.129) tro thành w J = i Qw , 0 ≤ y < +∞ (2.131) và trong đó, w(+∞) = 0, σ(0) = 0 (2.132) w = u
σ Q3 Q4 vúi cỏc ma trắn con Q k đưoc xỏc đ%nh qua ma trắn N k và ma trắn A
Tự phương trỡnh (2.133) và cú tớnh đen cỏc hắ thỳc sau
2 3 1 ta de dàng chúng minh đưoc ¯ T = Q 2 , ¯ T = Q 3 , Q 4 Q¯ T
Các phương trình (2.124) và (2.131) đưoc GQI là phát bieu Stroh [59].
Phương trình tán sac
Ta thay P = Q (vói Q đưoc xác đ%nh tù phương trình (2.133), (2.134)), và Y = w vào phương trỡnh (2.4) Tự đieu kiắn σ(0)
= 0 (xem phương trình (2.132)), phương trình (2.4) đưoc rút GQN ve dang sau u¯ T (0)Q (n) u(0) = 0 ∀ n ∈ Z (2.137)
Trong quá trình trình bày ma trận Q(n) với các thành phần Q(i,j) (i,j = 1,2), ta nhận thấy rằng Q là một ma trận cấp 4x4 Theo chú ý 2.1, ii), từ phương trình (2.4), chúng ta có thể thu được ba phương trình để lập cấu trúc Q(n) với n = 1, 1, 2, tạo thành một lằn Q(n) tối ưu Giả sử U1(0) = 0, véctơ u(0) có thể được viết lại dưới dạng u(0) = U1(0)[1 α]T, với α = U2(0)/U1(0) là một số phức Ta có thể biểu diễn α dưới dạng α = a + ib, trong đó b là các số thực Ma trận Q(n) được xác định là ma trận Hermitian, theo phương trình (2.136).
Q (2) + Q (2) α + Q (2) α¯ + Q (2) αα¯ = 0 trong đú cỏc thành phan Q (n) cna cỏc ma trắn Q (n) (n = −1, 1, 2) đưoc i j 3
Q (−1) = Qˆ (−1) /q vúi q ∈ R là đ%nh thỳc cna ma trắn Q (1) và
Do ma trắn Q (n) là ma trắn hermitian, nờn Q (n) , Q (n) (n = 1, 2),
3 là các so thnc và Q (n) , (n = 1, 2), ˆ11 ( 1 ) 12 là các so phúc22 mà phan thnc và phan ao đưoc bieu dien tương úng như sau: Q (n,r) và
Qˆ (−1,r) và Qˆ (−1,i) The các bieu thúc α = a + ib, Q (n) 12
(2.139) chỳng ta thu đưoc hắ ba phương trỡnh tuyen tớnh sau
Hắ phương trỡnh (2.143) cú nghiắm
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phương trình liên quan đến định thức của ma trận, cụ thể là D = D1/D, -2b = D2/D, và a^2 + b^2 = D3/D (2.144) Định thức D được xác định từ ma trận cấp 3x3 và không chỉ phụ thuộc vào các ma trận nhỏ hơn mà còn có thể được tính toán thông qua việc thay thế các yếu tố trong ma trận D bằng các vectơ cột tương ứng từ phương trình (2.143) Từ phương trình (2.144), chúng ta có thể rút ra nhiều hệ quả quan trọng.
Phương trình (2.145) mô tả hiện tượng tán sắc trong không gian đàn hồi monoclinic, trong điều kiện biên không thay đổi Các biểu thức liên quan đến D và D k không được nêu rõ ở đây, nhưng có thể được tính toán dễ dàng thông qua các phương trình (2.140), (2.141) và (2.142) Hơn nữa, từ các biểu thức trong các phương trình này, chúng ta có thể suy ra rằng phương trình tán sắc (2.145) là một phương trình đại số bậc 8 với biến số X.
Nhắn xột 2.4: Đe thu đưoc phương trỡnh tỏn sac cna súng ta cú the ỏp dung hắ thỳc (2.4) vúi đieu kiắn biờn tro khỏng (2.128) trnc tiep vúi
P = N Tuy nhiờn, quỏ trỡnh thnc hiắn phỳc tap hơn rat nhieu vỡ ma trắn N cú cap lún hơn 4.
2.5.4 Cỏc trưàng hap đắc biắt
- Trưàng hap bán không gian tn do đoi vái úng suat
Hỡnh 2.11: Sn phu thuđc cna vắn toc súng khụng thỳ nguyờn x = ρc 2 /c 66 vào tham so tro kháng không thú nguyên δ 1 trong bán không gian đàn hoi monoclinic x 3 = 0, không nén đưoc
Hình 2.12 mô tả sự phụ thuộc của cường độ sóng khối không thuần khiết vào tham số trơ kháng không thuần δ2 trong bán không gian đàn hồi monoclinic Giả sử bán không gian đàn hồi là tuyến tính với ứng suất, tức là σ3 = 0 và không nén được, với δ1 = δ2 = 0 Từ các phương trình (2.140), (2.141) và (2.142), ta có thể suy ra những kết luận quan trọng về đặc tính của hệ thống này.
Từ đẳng thức D ≡ D2 ≡ D3 ≡ 0 trong phương trình tác dụng (2.145), ta có thể suy ra rằng D1 = 0 Sử dụng hai đẳng thức cuối cùng, ta nhận được D1 = 0 tương đương với phương trình ˆ(−1)(1)ˆ(1,r)12ˆ(−1).
= 0(2.148) Đong thòi, khi đó các phương trình (2.140), (2.141) và (2.142) đưoc xác đ%nh như sau
The (2.149) vào phương trình (2.148) ta dan ve phương trình mói sau
(2.150) bỏn khụng gian monoclinic vúi mắt phang đoi xỳng x 3 = 0 tn do đoi vúi Đõy là phương trỡnh tỏn sac dang hiắn cna súng Rayleigh truyen trong úng suat.
- Trưàng hap bán không gian trnc hưáng
Khi bán không gian là trnc hưóng, ta suy ra c 16 = c 26 = 0 (xem trong tài liắu tham khao [65]) Do đú, tự phương trỡnh (2.116) ta cú b 1 = 0, a 1 = c 11 − 2c 12 + c 22 (2.151)
Cỏc trưũng hop đắc biắt
Trong trường hợp đặc biệt khi D = 0, ta có thể thiết lập phương trình toán học liên quan đến dạng khung Phương trình này sẽ cho phép chúng ta suy ra các đặc tính của không gian, từ đó giúp giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.
D¯ 2 − 4D¯ D¯ 3 = 0 (2.152) trong đó, D¯ , D¯ 2 và D¯ 3 đưoc xác đ%nh như sau
(2.153) o đõy, cỏc tham so vắt liắu khụng thỳ nguyờn δ = (c 11 + c 22 2c 12)/c 66, δ 1 và δ 2 là các tham so tro kháng không thú nguyên, còn x = c 2 /c 2
(c 2 = c 66 /ρ) là vắn toc khụng thỳ nguyờn cna súng Rayleigh Tự phương trình (2.153) ta có the thay rang phương trình (2.152) là m®t phương trỡnh đai so bắc 6 đoi vúi x.
Nhắn xột 2.5: Bằng cách bình phương hai lần hai về phương trình (2.108), chúng ta đưa về phương trình (2.152), cho thấy phương trình (2.108) là phương trình gốc của phương trình (2.152) Phương trình (2.108) đơn giản hơn rất nhiều so với phương trình (2.152), điều này chứng tỏ việc xột trường hợp vật liệu tròn hướng là hợp lý và cần thiết Phương trình (2.108) sẽ hữu ích trong việc khảo sát tính duy nhất nghiêm ngặt của súng Rayleigh trong bốn không gian tròn hướng không cần điều kiện biên thông qua phương pháp hàm biến phức.
Ket luắn
Trong chương này, tác giả trình bày cơ sở lý thuyết cho việc phát biểu Stroh khi ma trận Stroh là ma trận phức Đây chính là nền tảng toán học cho phương pháp vectơ phân tích phức Bằng cách kết hợp phương pháp vectơ phân tích phức với phương pháp truyền thống, tác giả đã tìm ra các phương trình tán sắc dạng hình Rayleigh truyền trong các bán không gian không tán do ứng suất.
Các phương trình tán sắc được trình bày trong bài viết này hoàn toàn mới và có ý nghĩa quan trọng trong ứng dụng thực tế Nghiên cứu này tập trung vào các không gian đàn hồi, bao gồm các loại hình như trục hướng, monoclinic và các biên tro kháng Các kết quả chính của chương đã được công bố trên tạp chí quốc tế SCI, góp phần nâng cao hiểu biết về các điều kiện cần và đủ trong lĩnh vực này.
Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), Rayleigh waves with impedance boundary conditions in anisotropic solids, Wave Motion
Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), Rayleigh waves with impedance boundary conditions in incompressible anisotropic half-space,International Journal of Engineering Science (85), pp 175-185.
SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HOI CÓ ÚNG SUAT TRƯéC CH±U ĐIEU KIfiN BIÊN TRe KHÁNG
Nội dung chương này tập trung vào việc xác định phương trình tán sắc chính xác cho sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi nén và không nén, có ứng suất cấu trúc với các điều kiện biên khác nhau Cụ thể, chương sẽ phân tích sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi không nén với ứng suất cấu trúc, đồng thời xem xét các điều kiện biên kháng và không kháng.
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hoi, nén đưoc có úng suat trưóc ch%u đieu kiắn biên tro kháng
Các phương trình cơ ban
Bài viết này đề cập đến việc chiếm miền X 2 0 và phân tích sự biến đổi của giá trị X Công thức mô tả mối quan hệ giữa các biến X và λ, với λ là hằng số và k đại diện cho các chỉ số khác nhau Các biến này được thể hiện qua các phương trình x 1 = λ 1 X 1, x 2 = λ 2 X 2, x 3 = λ 3 X 3, nhằm làm rõ sự tương tác và ảnh hưởng lẫn nhau trong hệ thống.
≥ đau (trang thỏi bien dang ban đau) vắt the chiem mien x 2 ≥ 0 e trang trong đó, λ k > 0 là các đ® giãn chính cna bien dang e trang thái ban
Hình 3.1 mô tả trang thỏi vắt của đàn hồi, trong đó các vùng gúc Ox 1, 2, 3 được xác định để đảm bảo các đẳng nhịp trong mắt phẳng (Ox 1 x 2) bổ sung vào biến trục TQA, phù hợp với các trục chính của biến dạng Xét một chuyển động trước thuận nhất với các thành phần chuyển dịch phụ thuộc vào thời gian, được biểu diễn bằng công thức u_j = u_j(x_1, x_2, t), với j = 1, 2 và u_3 ≡ 0 Phương trình chuyển động của khối có dạng như sau: s_{11,1} + s_{21,2} = ρu¨_1 s_{12,1} + s_{22,2} = ρu¨_2, trong đó ρ là mật độ khối lượng ở trang thỏi ban đầu, và các thành phần của tensor ứng suất được xác định bởi công thức s_{ij} = A_{ijkl} u_{k,l}, với A_{ijkl} là các thành phần của tensor đàn hồi được xác định theo quy tắc.
JA ijji = JA jiij = JA ijij − λ i
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm năng lượng biến dạng W = W(λ₁, λ₂, λ₃) với λₖ > 0, trong đó i, j = 1, 2, 3 Khi không có ứng suất cấu trúc, hàm (3.5) có dạng đơn trên một đơn vị thể tích ở trạng thái tự nhiên (không biến dạng) J đại diện cho khoảng gian giữa các yếu tố này.
A iiii = λ + 2à, A iijj λ(i j), A ijij = A ijji = à(i j) (3.6) vúi λ, à là cỏc hang so Lame Đe đơn gian trong cỏch trỡnh bày, ta su dung cỏc kớ hiắu α 11 = A 1111 , α 22 = A 2222 , α 12 = α 21 = A 1122 γ 1 = A 1212 , γ 2 = A 2121 , γ ∗ = A 2112
Su dung cỏc kớ hiắu (3.7), phương trỡnh (3.4) tro thành s 11 = α 11 u 1,1 + α 12 u 2,2 s 22 α 12 u 1,1 + α 22 u 2,2 s 12 = γ 1 u 2,1 + γ ∗ u 1,2 s 21 γ ∗ u 2,1 + γ 2 u 1,2
(3.8) Chỳ ý rang, tự đieu kiắn elliptớc manh, α ik và γ k phai thoa món đieu kiắn [47] α 11 > 0, α 22 > 0, γ 1 > 0, γ 2 > 0 (3.9)
Su dung (3.8), hắ phương trỡnh (3.3) đưoc viet lai như sau α 11 u 1,11 + γ 2 u 1,22 + (α 12 + γ ∗ )u 2,12
Gia su trờn mắt biờn x 2 = 0 thoa món đieu kiắn biờn tro khỏng
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phương trình liên quan đến sóng, cụ thể là s21 + ωZ1u1 = 0 và s22 + ωZ2u2 = 0, với ω = kc là tần số góc của sóng Các tham số Zk (R) cho k = 1, 2 là các tham số trở kháng, được biểu thị bằng đơn vị phần trăm Hơn nữa, điều kiện biên cho không gian truyền sóng được thiết lập, trong đó uj = s2j = 0 (j = 1, 2) khi x2 tiến tới +∞.
Phương trình tán sac
hưóng x 1 và tat dan theo hưóng x 2 Theo các tác gia Vinh và Ogden Xột súng Rayleigh cú vắn toc c(> 0) và so súng k(> 0) truyen theo
[74], thành phan chuyen d%ch cna sóng thoa mãn phương trình (3.10) và đieu kiắn tat dan o vụ cựng (3.12) cú dang u 1 = (B 1 e −kb 1 x 2 + B 2 e −kb 2 x 2 )e ik(x 1 −ct) u 2 = (α 1 B 1 e −kb 1 x 2 + α 2 B 2 e −kb 2 x 2 ) e ik(x 1 −ct)
(3.13) trong đú, B 1 , B 2 là cỏc hang so đưoc xỏc đ%nh tự đieu kiắn biờn tro khỏng (3.11) cũn b 1 , b 2 là nghiắm cna phương trỡnh đắc trưng α 22 γ 2 b 4 + [α 22(X − α 11) + γ 2(X − γ 1) + (α 12 + γ ∗ ) 2 ]b 2 vói X = ρc 2 và: + (X − α 11)(X − γ 1) 0
(3.15) cùng nên b 1 , b 2 phai có phan thnc dương Tù phương trình (3.14) ta suy Chỳ ý rang, do súng Rayleigh phai thoa món đieu kiắn tat dan o vụ ra 2 2 α 22(α 11 − X) + γ 2(γ 1 − X) − (α 12 + γ ∗ ) 2 b 1 + b 2 α 22 γ
De dàng chúng minh đưoc rang đe sóng Rayleigh ton tai (b 1 , b 2 có phan thnc dương) thỡ X phai thoa món đieu kiắn
Tù phương trình (3.16) ta có b 1 b 2 = √
Sử dụng phương trình (3.8)2,4 với biểu thức cna u 1, u 2 được lấy ở phương trình (3.13), ta có biểu thức xác định dạng nghiắm cna s 21 và s 22 như sau: s 21 = −k[(γ ∗ β 1 + γ 2 b 1)B 1 e −kb 1 x 2 + (γ ∗ β 2 + γ 2 b 2)B 2 e −kb 2 x 2 ]e ik(x 1 −ct) và s 22 = ik[(α 12 − α 22 b 1 β 1)B 1 e −kb 1 x 2 + (α 12 − α 22 b 2 β 2)B 2 e −kb 2 x 2 ] e ik(x 1 −ct) (3.19).
Khi đó, ta thay bieu thúc xác đ%nh s 21 , s 22 o phương trình (3.19) và u 1 , u 2 o phương trỡnh (3.13) vào đieu kiắn biờn tro khỏng (3.11) ta cú
(3.20) trong đú, x = ρc 2 /γ 1 = X/γ 1 là vắn toc khụng thỳ nguyờn cna súng
Rayleigh, δ n = Z n /√ ργ 1(∈ R), n = 1, 2 là các tham so tro kháng và nguyên e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 đưoc xác đ%nh như sau là cỏc đai lưong khụng thỳ nguyờn cũn cỏc tham so vắt liắu khụng thú e = α 11
Chỳ ý rang, cỏc tham so này phai thoa món hắ thỳc (3.9): e 1 > 0, e 2 > 0 và e 5 > 0.
Do B 2 + B 2 ƒ= 0 nờn đ%nh thỳc cna ma trắn cỏc hắ so cna hắ phương trình (3.20) phai bang không Túc là
Tù phương trình (3.15), de dàng chúng minh đưoc các đang thúc sau β 2 − β 1
− b 1) cho nhân tu (b 2 − b 1) ta đưoc phương trình như sau
The phương trình (3.23) vào phương trình (3.22) và chia ca hai ve(e 1 − x)[e 2 − e 5(1 − x) − δ 1 δ 2 x] + e 5[e 2 − e 2(e 1 − x) − δ 1 δ 2 x]√
(3.24) trong đó, S và P đưoc xác đ%nh như sau e 2(e 1 − x) + e 5(1 − x) − (e 3 + e 4) 2 e 2 e 5
Phương trình (3.24) mô tả tán sắc không thú nguyên trong súng Rayleigh truyền trong không gian đàn hồi, có ứng suất cấu trúc chịu biến đổi theo điều kiện biên được nêu trong phương trình (3.11).
3.1.3 Mđt so trưàng hap đắc biắt
Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi nén có ứng suất trước là δ1 = δ2 = 0 Từ đó, chúng ta có thể suy ra phương trình liên quan đến sóng Rayleigh trong bối cảnh này.
√(e 1 − x)(1 − x) 0 Đõy là phương trỡnh tỏn sac (khụng thỳ nguyờn) dang hiắn cna súng
Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đang hướng, bị nén với áp suất trước Kết quả này hoàn toàn phù hợp với phương trình tán sắc (5.11) trong tài liệu [24] và phương trình tán sắc (25) trong tài liệu [84].
Trong trường hợp sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi với điều kiện biên cố định, chúng ta có γ1 = γ2 = γ* = à, α11 = α22 = λ + 2à, và α12 = λ, trong đó λ và à là các hằng số Lame Từ đó, dễ dàng suy ra hai nghiệm của phương trình (3.14) có phần thỏa mãn dương như sau: b1 = 1 - γx, b2 = √.
1 − x, γ = à/(λ + 2à) (3.28) và tù (3.15) suy ra β 1 = b 1 , β 2 = 1/b 2 (3.29) có tính đen e 1 = e 2 = 1/γ, e 3 = 1/γ 2, e 4 = e 5 = 1 Khi đó, chúng ta Ta thay hai phương trình (3.28) và (3.29) vào phương trình
(3.22) và đưa phương trình (3.22) ve dang
Phương trình (3.30) trùng vói ket qua tìm đưoc cna Godoy và các c®ng sn (phương trỡnh (16) trong tài liắu [29]) và cna Malischewsky (phương trỡnh 2.7 trong tài liắu [38]).
Mắt khỏc, su dung hắ thỳc S + 2√
Phương trình (3.31) đại diện cho một dạng mới của phương trình tán sắc không tuyến tính cho sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi, đang chịu điều kiện biên không khả biến như mô tả trong phương trình (3.11).
Mđt so trưũng hop đắc biắt
đàn hoi, không nén đưac có Éng suat trưỏc ch%u đieu kiắn biờn tra khỏng
3.2.1 Các phương trình cơ ban
Chiều biến dạng trong vật liệu được mô tả bằng công thức X = λ X, trong đó λ là các hệ số dương đại diện cho độ giãn nở chính của vật liệu Các yếu tố λ1, λ2, λ3 tương ứng với các chiều biến dạng khác nhau, cho phép phân tích sâu hơn về tính chất cơ học của vật liệu trong các điều kiện khác nhau Việc hiểu rõ các chiều biến dạng này là rất quan trọng trong lĩnh vực kỹ thuật và xây dựng.
Hỡnh 3.2: Trang thỏi vắt the đàn hoi, khụng nộn đưoc cú ỳng suat trưúc ch
Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét sự chuyển động của nhiều vật thể trong không gian (x1, x2), với sự tác động không phụ thuộc vào x3 Các biến thể được bổ sung vào các dạng trước đó (hữu hạn) với các thành phần u_j = u_j(x1, x2, t) cho j = 1, 2, và u3 được xác định là 0 Thời gian t được xem như một yếu tố quan trọng trong mô hình này.
Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hoi, không nén đưoc có úng suat trưóc ch%u đieu kiắn biờn tro kháng 57
Các phương trình cơ ban
Chiều biến dạng trong vật liệu được mô tả bằng các phương trình như sau: x₁ = λ₁X₁, x₂ = λ₂X₂, x₃ = λ₃X₃ Trong đó, λ₁, λ₂, λ₃ là các đại lượng chính mô tả biến dạng và là các hằng số dương Việc hiểu rõ chiều biến dạng giúp xác định các tính chất cơ học của vật liệu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật.
Hỡnh 3.2: Trang thỏi vắt the đàn hoi, khụng nộn đưoc cú ỳng suat trưúc ch
Trong bài viết này, chúng ta xem xét sự chuyển động của nhiều vụ cựng bộ mà không phụ thuộc vào các biến x 3 Các thành phần được bổ sung vào các biến dạng trước (hữu hạn) với u j = u j (x 1 , x 2 , t), trong đó j = 1, 2 và u 3 ≡ 0, với t là thời gian.
Phương trình chuyển động của một khối chất lỏng có dạng như sau: \( s_{11,1} + s_{21,2} \rho u_{1} s_{12,1} + s_{22,2} = \rho u_{2} \) Trong đó, \( \rho \) là mật độ khối lượng, \( J \) chỉ đạo hàm theo biến không gian \( x_{k} \), và dấu "." chỉ đạo hàm theo biến thời gian \( t \) Các thành phần của tensor ứng suất được xác định bởi công thức \( s_{ij} = B_{ijkl} u_{k,l} + p_{j,i} - p^{*} \delta_{ji} \), trong đó \( B_{ijkl} \) là các thành phần của tensor đàn hồi.
(i ƒ= j) o đây, i, j 1, 2, 3 và W = W (λ 1 , λ 2 , λ 3) là hàm năng lưong bien dang ý rang, λ 1 λ 2 λ 3 = 1 và λ k > 0 Khi khụng cú ỳng suat trưúc, hắ
(3.36) có trên m®t đơn v% the tích o trang thái tn nhiên (không bien dang) Chú dang đơn gian sau
Vúi à là các hang so Lame, trong đó p được xác định là áp lực tĩnh trong trạng thái ban đầu, và p được xác định theo liên hệ sau: σ i = λ i ∂W.
∂λ − p (3.38) vói σ i là thành phan úng suat Cauchy theo hưóng chính Và p ∗ p ∗ (x 1 , x 2 , t) là nhieu cna p và p ∗ p.
Tù phương trình (3.38) và (3.36), phương trình (3.35) đưoc viet lai thành s 11 = −p ∗ + (B 1111 + B 2121 − B 2112 − σ 2 )u 1,1 + B 1122 u 2,2 s 22 = −p ∗ + B 1122 u 1,1 + (B 2222 + B 2121 − B 2112
Ta cú đieu kiắn khụng nộn đưoc như sau
Tự hắ phương trỡnh (3.39) và cú ke đen phương trỡnh (3.40), hắ phương trình (3.34) đưoc viet lai như sau
(3.41) Gia su trờn mắt biờn x 2 = 0 thoa món đieu kiắn biờn tro khỏng
[29,38] s 21 + ωZ 1 u 1 = 0, s 22 + ωZ 2 u 2 = 0 tai x 2 = 0 (3.42) vói ω = kc là tan so góc cna sóng, Z k ( R), k = 1, 2 là các tham so tro khỏng cú thỳ nguyờn (đơn v%) là lnc/vắn toc (xem [38]).
Mắt khỏc, bỏn khụng gian thoa món đieu kiắn tat dan o vụ cựng cna sóng Túc là u j = s 2j = 0(j = 1, 2) khi x 2 → +∞ (3.43)
Phương trình tán sac
hưóng x 1 và tat dan theo hưóng x 2 Theo các tác gia Ogden và Vinh Xột súng Rayleigh cú vắn toc c(> 0) và so súng k(> 0) truyen theo
[48], thành phan chuyen d%ch cna sóng thoa mãn phương trình (3.41), (3.40) và đieu kiắn tat dan o vụ cựng (3.43) cú dang u 1 = −k(bu 2 = −ik(B 1 B 1 e 1 e −kb −kb 1 x 1 2 x + b 2 + B 2 B 2 e 2 e −kb −kb 2 x 2 2 x ) 2 )e ik(x 1 −ct) e ik(x 1 −ct)
∈ trong đú, B 1 , B 2 là cỏc hang so đưoc xỏc đ%nh tự đieu kiắn biờn tro khỏng (3.42), b 1 , b 2 là nghiắm cna phương trỡnh đắc trưng γb 4 − (2β − X)b 2 + (α − X) = 0 (3.45) vói α = B 1212 , γ = B 2121 , 2β = B 1111 + B 2222 2B 1122 2B 1221 , X ρc 2 (3.46)
Chỳ ý rang, tự đieu kiắn elliptớc manh, α, β và γ phai thoa món đieu kiắn α > 0, γ > 0, β > −√ αγ (3.47) cựng nờn b 1 , b 2 là cỏc nghiắm cú phan thnc dương Tự phương trỡnh
Mắt khỏc, do súng Rayleigh phai thoa món đieu kiắn tat dan o vụ
De dàng chúng minh đưoc rang đe sóng Rayleigh ton tai (b 1 , b 2 có phan thnc dương) thỡ X phai thoa món đieu kiắn
Tù phương trình (3.48) ta có b 1 b 2 = √
Ket hop phương trình (3.39)2 và phương trình (3.41)1 ta suy ra s 22,1 = (B 1122 B 1111 )u 1,11 γu 1,22 +ρu¨ 1 +(B 2222 B 1122 2B 2112 +γ σ 2)u 2,12
Su dung phương trỡnh (3.39)4 và (3.51) vúi bieu thỳc dang nghiắm cna u 1 , u 2 đưoc lay o phương trình (3.44), ta có s 21 = k 2 [(γ − σ 2 + γb 2 )B 1 e −kb 1 x 2 + (γ − σ 2 + γb 2 )B 2 e −kb 2 x 2 ]e ik(x 1 −ct) s 22,1 = k 3 {[−(2β + γ − σ 2 − X)b 1 + γb 3 ]B 1 e −kb 1 x 2
Từ điều kiện biên tĩnh (3.42), chúng ta suy ra rằng s21 + ωZ1u1 = 0 và s22,1 + ωZ2u2,1 = 0 tại x2 = 0 (3.53) Khi thay thế biểu thức xác định s21, s22 vào phương trình (3.52) và u1, u2 vào phương trình (3.44), ta có thể áp dụng điều kiện biên tĩnh (3.53).
(3.54) trong đó, δ n = Z n /√ ρα(∈ R), n = 1, 2 là các tham so tro kháng và là các đai lưong không thú nguyên.
Do B 2 + B 2 ƒ= 0 nờn đ%nh thỳc cna ma trắn cỏc hắ so cna hắ phương trình (3.54) phai bang không Túc là
+ γ 2 b 2 b 2 + γ(γ − σ 2)(b 2 + b 2 ) − γ√ γX(δ 1 b 1 b 2 + δ 2)(b 1 + b 2) = 0 Chú ý rang, phương trình (3.55) đã đưoc bo đi nhân tu chung (bThay (3.48) và (3.50) vào phương trình (3.55) ta đưoc 2 b 1).
P = 0 (3.56) trong đó, γ ∗ = γ σ 2 và S, P đưoc xác đ%nh o (3.48) Phương trình
Phương trình (3.56) mô tả sự tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong không gian ba chiều, trong điều kiện không nén, và không bị ảnh hưởng bởi các yếu tố bên ngoài như biên trở kháng, được thể hiện qua phương trình (3.42).
Chia ca hai ve cna phương trình (3.56) cho α 2 ta có
Phương trình (3.57) mô tả sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi không nén, với điều kiện biên được xác định rõ ràng Phương trình này là dạng toán sắc, không thụ nguyên, và có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý liên quan đến sóng.
3.2.3 Cỏc trưàng hap đắc biắt
- Trưòng hop bán không gian đàn hoi không nén đưoc có úng suat trưóc tn do đoi vói úng suat
Xét sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi không nén với điều kiện biên không thay đổi, tức là δ1 = δ2 = 0 Khi đó, phương trình (3.56) trở thành γ(α − X) + (2β + 2γ − 2σ² − X)√γ(α − X) = γ² (3.59) Đây là phương trình tán sắc dạng hình học của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đang hướng, không nén với ứng suất trước tại biên do điều kiện biên không thay đổi Kết quả này hoàn toàn tương đồng với phương trình tán sắc (5.17) trong tài liệu [24] và phương trình tán sắc (21) trong tài liệu [84].
Thay δ 1 = δ 2 = 0 vào phương trình (3.57) ta có e 1(1 − x) + √ e − 1(2e 2 + 2e 3 − x)√
Phương trình (3.60) mô tả hiện tượng tán sắc trong không gian đàn hồi, liên quan đến sóng Rayleigh Phương trình này không cho phép tồn tại cấu trúc mà trên bề mặt biên lại phụ thuộc vào ứng suất Kết quả này tương đồng với phương trình tán sắc (26) trong tài liệu [84].
- Trưòng hop sóng Rayleigh truyen trong bán không gian đàn hoi đang hưóng, không nén đưoc, không ch%u úng suat trưóc, ch%u đieu kiắn biờn tro khỏng
Khi đó ta có α = γ = β = à, σ 2 = 0 (3.61) vúi à là cỏc hang so Lame Khi đú, de dàng suy ra đưoc e 1 = e 2 = e 3 = 1, S = 2 − x, P = 1 − x (3.62)
Cỏc trưũng hop đắc biắt
1 − x) = 0 (3.63) Ket qua o phương trình (3.63) trùng vói ket qua tìm đưoc trong bài báo