Cỡ sð lỵ thuyát h m Dira delta
ành nghắa h m Dira delta
ành nghắa 1.1.1 Khổng gian S hwartz S(R) ữủ ành nghắa l khổng gian Ă h m f : R → C khÊ vi vổ hÔn l n v x α D β f
(x) → 0 khi x → ∞ vợi mồi °p h¿ số α, β ∈ N °t ǁf ǁ α,β = sup x α D β f
DÂy h m {f k } ∞ k=1 hởi tử án h m f trong S(R) náu ǁf k − f ǁ α,β khi k → ∞ (1.1)
Vẵ dử 1.1.1 Vợi p(x) l a thự bĐt ký, h m p(x)e −x 2 thuở khổng gian ¡ h m gi£m nhanh S(R)
L 2 (R) Khổng gian Ă h m giÊm nhanh S hwartz trũ mêt trong khổng gian ành nghắa 1.1.2 Phiám h m tuyán tẵnh liản tử T : S(R)
Của ảnh nghĩa là sự suy giảm tràn R Không gian vecto T ở Ăm suy rỗng của kẽ hiằng bì S′(R) Nếu (T, ϕ) kỵ hiằng giá trị ừa T tường lản ϕ thì dãy {T_k} ∞ k=1 hội tụ đến T trong S′(R).
Vẵ dử 1.1.2 Phiám h m tuyán tẵnh liản tử Dira delta δ ữủ ho bði δ : ϕ ∈ S(R) ›→ δ(ϕ) := ϕ(0) ∈ C l mởt h m suy rởng.
Theo ành lỵ biºu thà Riesz (tham khÊo [12℄, trang 45), vợi mồi phiám h m tuyán tẵnh liản tử T trản khổng gian Hilbert
L 2 (R) , tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m số f thuở L 2 (R) º
−∞ tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m số δ ∗ ∈ L 2 (R) sao ho p dửng ành lỵ biºu thà Riesz ối vợi phiám h m tuyán tẵnh liản tử δ , (δ, ϕ) = ∞ δ ∗ (x)ϕ(x)dx
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá hàm Dirac delta δ, một khái niệm quan trọng trong toán học và vật lý Hàm Dirac delta thường được sử dụng để mô tả các tín hiệu xung, và có thể được hiểu là một hàm không liên tục trong không gian L²(R) Việc nghiên cứu hàm này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các hiện tượng vật lý và ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau.
CĂ tẵnh hĐt ừa h m Dira delta
• Tẵ h phƠn ừa h m Dira delta
|f ′ (x n )| , trong õ x n l nghiằm ừa phữỡng trẳnh f (x) = 0 vợi giÊ thiát rơng f ′ (x n ) ƒ= 0 Chúng ta thu ữủ tẵnh hĐt dữợi Ơy nhữ mởt hằ quÊ
• H m Dira delta l Ôo h m ừa h m bữợ nhÊy
Vẵ dử 1.1.3 Tẵnh tẵ h ph¥n
Lới giÊi Sỷ dửng tẵnh hĐt h m hủp ừa h m Dira delta, hóng ta thu ữủ δ(x 3 − x) = δ(x) + δ(x + 1)
Vẵ dử 1.1.4 Tẵnh tẵ h phƠn
Lới giÊi Sỷ dửng ph²p ời bián v ổng thự Ôo h m h m Dira delta, húng ta thu ữủ
Vẵ dử 1.1.5 Tẵnh tẵ h phƠn
Líi gi£i °t f (x) = e −x , ta â f ′ (x) = −2xe −x 2 f ′′ (x) = 4x 2 e −x 2 − 2e −x 2 f (3) (x) = 8xe −x 2 − 8x 3 e −x 2 + 4xe −x 2
Bián ời Fourier phƠn thự
ành nghắa bián ời Fourier phƠn thự
Trữợ khi i án ành nghắa ừa bián ời Fourier phƠn thự, bián ời Σ
Biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, giúp chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Nó cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và đặc điểm của tín hiệu, từ đó ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như xử lý âm thanh, hình ảnh và truyền thông Việc sử dụng biến đổi Fourier giúp tối ưu hóa các hệ thống và nâng cao chất lượng tín hiệu.
−∞ trong õ ¯ng thự (1.2) thữớng ữủ xem l bián ời Fourier v ¯ng thự (1.3) l bián ời Fourier ngữủ Chuyºn sang dÔng toĂn tỷ, ổng thự ữủ viát lÔi nhữ sau
∫ ∞ f (x)e iux dx (1.5) Bián ời Fourier nhên Ă h m Hermite φ n (x) l hằ h m riảng tữỡng ựng vợi giĂ trà riảng e −in 2 , π π [φ ] (x) = e 2 φ (x),
2 trong õ h m Hermite φ n (x) vợi n ∈ N ữủ ho bði ổng thự φ n (x) = e − 2 2 H n (x),
Mð rởng phữỡng trẳnh h m riảng (1.6) vợi tham số liản tử α , ta thu ữủ
(1.7) ToĂn tỷ tờng quĂt F α õ thº biºu diạn dữợi dÔng e −iαA vợi
1 , (1.8) ữủ ành nghắa l toĂn tỷ Fourier phƠn thự gõ α
CĂ tẵnh hĐt dữợi Ơy ừa toĂn tỷ Fourier phƠn thự ữủ hựng khổng gian L 2 (R) (tham khÊo [26℄) minh trong khổng gian h m giÊm nhanh S hwartz (tham kh£o [24℄) v
Dòng toán tỷ mỷ được sử dụng trong nghiên cứu lý thuyết những đặc điểm khớp xảy ra trong toán học Sự khai thác triệt để biến đổi Fourier giúp biểu diễn dòng toán tỷ mỷ một cách hiệu quả Biến đổi Fourier đã được áp dụng để phát triển các mô hình trong bài báo của Namias, với sự hỗ trợ từ nghiên cứu của A M Bride và F Kerr Sự thu thập biểu diễn dòng toán tỷ mỷ thông qua biến đổi Fourier cho thấy tiềm năng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu.
F α [φ n ](x) = e −inα φ n (x), ho thĐy Ă h m Hermite l hằ h m riảng ừa toĂn tỷ
F α vợi giĂ trà riảng e −inα Mồi h m bẳnh phữỡng khÊ tẵ h f ãu khai triºn ữủ thổng
1 F α Σ Σ b k f k (u) Σ = Σ b k F α [f k (u)] ( tẵnh tuyán tẵnh ). k k qua hằ h m n y Σ ∞ n=0
TĂ ởng toĂn tỷ F α lản h m f ta ữủ f α := F α
0 a n e −inα φ n án Ơy, húng ta õ ành nghắa ừa bián ời Fourier phƠn thự dữợi dÔng huội, tiáp tử thay a n trong huội bði biºu diạn tẵ h ph¥n ta thu ữủ f α (p)
− 2 f (x)dx, trong õ bữợ bián ời uối sỷ dửng ổng thự Mehler [4℄
1 − e −2iα º ỡn giÊn biºu diạn, húng ta sỷ dửng Ă ¯ng thự sau
2 cot α, trong õ α = sgn(sin α) Lữu ỵ rơng Ă ¯ng thự n y h¿ óng trong
^ trữớng hủp sin α ƒ= 0 , tự l α ∈/ πZ Biºu diạn tẵ h phƠn thu ữủ l f α (p) = (F α f ) (p)
+ i x 2 cot α Σ f (x)dx, trong â α = sgn(sin α) v −∞ 0 < |α|
Trong^dÔng toĂn tỷ, bián ời Fourier phƠn thự ữủ ành nghắa
(F α f)(p) = f(p) khi α = 0 và (F α f)(p) = f(−p) khi α = ±π Để biểu diễn hàm Fourier, ta cần giới hạn ε→0, dẫn đến biểu thức hàm Fourier ứng với mọi |α| ≤ π Trong trường hợp |α| > π, ta cần xem xét lại và đưa về trường hợp trong khoảng [-π, π] Định nghĩa 1.2.1 liên quan đến biến đổi Fourier thể hiện rõ trong hàm Fourier như sau.
−∞ (x, p)dx (1.9) trong õ nhƠn ừa bián ời l
NhƠn ừa bián ời õ thº ữủ viát lÔi nhữ sau
náu α khổng l bởi ừa π trong â δ (x − p), náu α l bởi ừa 2π
Xuyển suốt luên Ăn, ớn giên hõa, a(α), b(α) và c(α) là những yếu tố quan trọng trong việc hiểu rõ lẫn nhau Mô hình biến đổi Fourier phân tích những đặc điểm của tín hiệu và các tham số α, β, γ, giúp chúng ta nắm bắt các yếu tố liên quan đến thời gian và không gian Điều này cho phép chúng ta khảo sát các giá trị trong khoảng [−π, π] một cách hiệu quả.
0 , bián ời Fourier phƠn thự trð th nh toĂn tỷ ỗng nhĐt (F 0 f )
(p) = f (p) , vợi α = ±π , nâ trð th nh to¡n tû h®n l´ (F π f ) (p) = f (−p)
Biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, giúp chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Trong trường hợp biến đổi Fourier với góc α bằng π/2 và v α bằng -π/2, nó cung cấp một cái nhìn sâu sắc về cách thức tín hiệu được biểu diễn và xử lý Việc áp dụng biến đổi Fourier trong các lĩnh vực như xử lý âm thanh và hình ảnh đã chứng minh hiệu quả vượt trội, đặc biệt khi α đạt giá trị lớn như π.
Trong nghiên cứu về biến đổi Fourier, các thông tin quan trọng được trình bày nhằm làm rõ vai trò của biến đổi Fourier trong việc phân tích tín hiệu Dữ liệu từ các nguồn khác nhau cung cấp cái nhìn sâu sắc về ứng dụng của biến đổi Fourier trong lĩnh vực này Hình ảnh minh họa (Hình 1.2.1) cho thấy mối liên hệ giữa các tham số Kα và biến đổi Fourier, nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình này.
Bián ời Fourier phƠn thự ng thọa mÂn ¯ng thự Parseval
−∞ tứ õ suy ra tẵnh hĐt bÊo to n nông lữủng (bÊo to n huân) dữợi Ơy
Nhữ vêy, náu h m f (x) ∈ L 2 (R) thẳ Ênh ừa h m n y qua bián ời Fourier phƠn thự ng thuở khổng gian Chúng ta õ thº sỷ dửng biºu diạn tẵ h phƠn º tẵnh L 2 (R) toĂn bián ời
Phép biến đổi Fourier được sử dụng để phân tích tín hiệu trong không gian tần số, như thể hiện trong Bảng 1.1 (tham khảo [26]) Trong trường hợp α = ±π/2, phép biến đổi này cho thấy sự hiểu biết sâu sắc hơn về tín hiệu Điều kiện χ > 0 là cần thiết để biểu thức trở thành hữu hạn và có ý nghĩa.
Ph²p tẵnh toĂn tỷ tờng quĂt
C ng nhữ bián ời Fourier v bián ời Lapla e, Ă ph²p tẵnh toĂn tỷ ữủ xƠy dỹng ho bián ời Fourier phƠn thự trong [26℄ vợi giÊ thiát h m f (x) thuở khổng gian L 2 (R)
Bián ời Fourier phƠn thự ừa x m f (x) ữủ ho bði ổng thự
1−i cot α exp[ i p 2 cot α − 2px 0 csc α + x 2 cot α Σ ]
1+i tan α exp[i p 2 (χ−tan α)+2pγ sec α−γ 2 tan α ]
1−i cot α i p 2 ( χ 2 −1 ) +2pχγ sec α+γ 2 χ−i cot α exp[ 2 cot α χ 2 +cot 2 α ℄
1 2 p 2 χ+2pγ cos α−χγ 2 sin 2 α × exp[− 2 csc α χ 2 +cot 2 α ]
BÊng 1.1: Bián ời Fourier phƠn thự ừa mởt số h m th÷íng dòng
Quy tắc biến đổi Fourier cho phép chuyển đổi hàm số thành biểu diễn tần số Trong đó, phương pháp này giúp xác định hàm f(x) khi x tiến tới ±∞, dẫn đến việc tính toán các đại lượng như F(α) thông qua công thức tích phân.
Bián ời ừa tẵ h hộn tÔp
Sỷ dửng ổng thự (1.11) v (1.12) trong trữớng hủp m
= 1 , ổng thự bián ời Fourier phƠn thự ừa tẵ h hộn tÔp ữủ tẳm thĐy dữợi dÔng
Bián ời ừa th÷ìng p cos 2α dp F α (f ) + 2 sin 2α dp 2 F α (f )
Bián ời ừa tẵ h phƠn
Thay bián x trong ổng thự (1.9) bði bián mợi x + b , húng ta thu ữủ
Bián ời Fourier phƠn thự trong m°t ph¯ng thíi gian-t n sè
Biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong việc hiểu các phép quay mặt phẳng trong một không gian thời gian-tần số Trong lĩnh vực thời gian-tần số, người ta sử dụng hai trục vuông góc là trục thời gian và trục tần số Theo nghĩa đơn giản, nếu một tín hiệu được biểu diễn theo trục thời gian, thì biến đổi Fourier sẽ chuyển đổi tín hiệu đó sang biểu diễn theo trục tần số, từ đó giúp hình dung như một phép quay trong không gian.
Biến đổi Fourier phân thức là một công cụ mạnh mẽ trong việc phân tích tín hiệu thời gian, giúp biểu diễn tín hiệu theo tần số và thời gian Nó vượt trội hơn so với biến đổi Fourier thông thường nhờ khả năng xử lý các tín hiệu không liên tục và không đồng nhất Bằng cách áp dụng biến đổi Fourier phân thức, chúng ta có thể giải quyết các bài toán liên quan đến tín hiệu theo thời gian, từ đó mang lại cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc và đặc điểm của tín hiệu Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng biến đổi Fourier phân thức có thể áp dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ khoa học đến kỹ thuật, mở ra nhiều cơ hội mới trong việc phân tích và xử lý dữ liệu.
Hẳnh 1.1: M°t ph¯ng thới gian-t n số
Mởt trong nhỳng tẵnh hĐt quan trồng ừa bián ời
Fourier phƠn thự l mối quan hằ vợi phƠn phối Wigner
[22℄ Ph¥n phèi Wigner W x (t, f ) ừa tẵnh hiằu x(t) ữủ ành nghắa nhữ sau
Hẳnh hiáu ừa phƠn phối Wiger W x (t, f ) lản trử thới gian bơng bẳnh
2 e phữỡng ở lợn ừa biºu diạn trong miãn thới gian, v hẳnh hiáu lản trử t n số bơng bẳnh phữỡng ở lợn ừa biºu diạn trong miãn t n số ừa tẵn hiằu
Nõi mởt Ă h ỡn giÊn, W x (t, f ) õ thº ữủ hiºu l mởt phƠn phối nông lữủng ừa tẵn hiằu trong miãn thới gian-t n số.
BƠy giớ, náu W x (t, f ) l phƠn phối Wigner ừa x(t) thẳ phƠn phối Wigner ừa X α (u) (bián ời Fourier phƠn thự ừa x(t) ), kỵ hiằu W X (u, v) ữủ ho bði
W X α (u, v) = W x (u cos α − v sin α, u sin α + v cos α) là công thức mô tả phép quay phân phối Wigner Phép quay này giúp hiểu rõ hơn về sự biến đổi của tín hiệu x(t) khi áp dụng góc α Kết quả thu được từ phép toán này mang lại những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc và tính chất của tín hiệu trong không gian.
{R [W x (t, f )]}(t α ) = |x α (t α )| , trong õ R φ l toĂn tỷ Radon, toĂn tỷ hiáu tẵ h phƠn ừa h m hai hiãu W x (t, f ) lản mởt trử tÔo vợi trử thới gian mởt gõ φ
Chóng ta õ thº oi trử n y (f α) là miền Fourier phân thự vợi gõ α f 0 tữỡng ựng vợi trử thới gian t v f π/2 tữỡng ựng vợi trử t n số f Hiºu ró và phƠn phối Wigner có mối quan hệ với bián ời Fourier phƠn thự l iºm ỡ bÊn º hiºu mởt Ă h y ừ Ă ựng dửng ừa bián ời Fourier ph¥n thù.
Hẳnh 1.2: Bián ời Fourier phƠn thự v phƠn phối Wigner
Cuối ũng, húng ta thÊo luên vẵ dử vã h m hirp (tuyán tẵnh) α α φ 2 x(t) = exp[iπ(χt 2 + 2ξt)] (1.19) vợi bián ời Fourier phƠn thự ừa nõ l
X α (u) = 1 + 1 + χ tan α i tan α exp{iπ[u 2 (χ − tan α) + 2uξ sec α − ξ 2 tan φ]/[1 + χ tan α]}
Ph¥n phèi Wigner õa h m hirp x(t) = exp[iπ(χt 2 + 2ξt) l h m delta
Phân phối Wigner W x (t, f) = δ(f − χt − ξ) mô tả sự phân bố trong không gian pha với trục thời gian và tần số Khi xét hàm x(t) = exp(i2πξt), phân phối Wigner trở thành W x (t, f) = δ(f − ξ), thể hiện sự phân bố theo hướng ngang Tương tự, hàm δ(t − ξ) cho W x (t, f) = δ(t − ξ), biểu diễn sự phân bố theo hướng dọc Trong trường hợp hàm delta, chúng ta có thể phát biểu rằng nó mang lại thông tin về hàm Fourier của hàm delta Hình 1.4 và Hình 1.5 minh họa cho các trường hợp của hàm x(t) = exp[iπ(t² + t)] Do đó, phân phối Wigner được hiểu là một công cụ quan trọng trong việc phân tích tín hiệu theo thời gian và tần số.
gõ π/4 ƒnh ừa tẵn hiằu qua bián ời Fourier phƠn thự gõ π/4 , tữỡng ựng vợi ph²p quay tẵn hiằu mởt gõ π/4 , s³ â ph¥n phèi Wigner l ữớng dồ
Hẳnh 1.3: PhƠn phối Wigner ừa h m hirp x(t) = exp[iπ(χt 2 + 2ξt)]
Hẳnh 1.4: PhƠn phối Wigner õa
Hẳnh 1.5: PhƠn phối Wigner õa FRFT gâ π/4 õa h m hirp x(t) = exp[iπ(t 2 + t)]
1.3 CĂ ành lỵ tẵ h v hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự
Trữợ hát, húng tổi nh lÔi ành nghắa hêp ho bián ời
Fr eq ue nc y iºn Vợi hai h m x(t) , y(t) õ bián ời Fourier l n lữủt l
X(ω) , Y (ω) , hêp ừa húng ữủ ành nghắa bði
−∞ x(τ )y(t − τ ) dτ (1.20) thọa mÂn ¯ng thự nhƠn tỷ hõa
Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa cho thấy rõ ràng hai tẵn hiằu trong miền thời gian và miền tần số Sự kết hợp giữa hai miền này được thể hiện qua công thức Fourier, cho phép phân tích tín hiệu giao hoán và phân phối.
Trong không gian L¹(R), với hai hàm f và g thuộc L¹(R), chúng ta có thể kết hợp chúng để tạo ra một hàm mới Điều này cho thấy không gian Banach L¹(R) mặc dù không phải là không gian hoàn chỉnh trong tất cả các trường hợp, nhưng vẫn có thể xác định được rằng nếu f và g thuộc L¹(R), thì tích fg cũng sẽ thuộc L¹(R).
L 1 (R) , những lÔi õng ối vợi ph²p lĐy hêp ừa hai h m Mởt Ă h ngn gồn, húng ta õ thº viát
Tính hợp nhất không gian L^p (R) với p > 1 cho thấy rằng L^1 (R) ∗ L^p (R) ⊆ L^p (R) Đối với mọi hàm f ∈ L^p (R) và g ∈ L^1 (R), ta có bất đẳng thức ǁf ∗ gǁ_p ≤ ǁfǁ_p ǁgǁ_1.
(ii) Náu 1 ≤ p, q ≤ +∞ v r thọa mÂn 1 = 1 + 1 − 1 thẳ L p (R) ∗L q
Biến đổi Fourier đóng vai trò quan trọng trong một số lĩnh vực thiết kế bộ lọc và khối phục tín hiệu Mặc dù vậy, việc sử dụng biến đổi Fourier không thể đáp ứng đầy đủ các phân phối Wigner, đặc biệt trong hai miền thời gian và tần số Trong miền Fourier, việc sử dụng các giải pháp tốt hơn với các tham số phù hợp là cần thiết Đã có nhiều nghiên cứu phát triển lý thuyết và ứng dụng biến đổi Fourier trong thiết kế bộ lọc từ những năm 1990 đến nay, với sự quan tâm đáng kể đến các khía cạnh liên quan đến biến đổi này Dữ liệu thu thập cho thấy có nhiều kết quả liên quan đến hiện tượng này.
Fourier phƠn thự bơng Ă h x²t hai h m x, y ∈ L 1 (R) ∩ W , trong õ W Nôm 1997, Almeida [3℄ ữa ra ành nghắa tẵ h v hêp ho bián ời l Ôi số Wiener gỗm Ă h m õ Ênh Fourier thuở L 1 (R) Chêp ữủ z(t) = (x ⊗ y)(t) = ∞ x(τ )y(t − τ )dτ (1.21)
−∞ vợi bián ời Fourier ph¥n thù
X α (v)y [(u − v) sec α] e ành lỵ tẵ h ữủ ho bði z(t) =x(t)y(t) ↔ Z α (u) = |csc α| e 2
−i cot α trong õ Y (u) l bián ời Fourier ừa y(t)
Nôm 1998, Zayed [46℄ ữa ra ành nghắa hêp ừa hai h m x, y ∈ L 1 (R)
2 dv, ho bián ời Fourier phƠn thự z(t) = (x ∗ y) (t) = 1 − i cot α e i 2
(1.23) thọa mÂn ¯ng thự nhƠn tỷ hõa
Z α (u) = e − 2 u cot α X α (u)Y α (u) (1.24) ành lỵ tẵ h ng ữủ tĂ giÊ ÷a ra i t 2 cot α
Nôm 2009, mởt ành nghắa khĂ ừa hêp ho bián ời
Fourier ph¥n thù ữủ trẳnh b y trong ổng trẳnh [42℄ Trữợ khi ành nghắa hêp, Ă tĂ giÊ ành nghắa mởt dà h huyºn ừa h m y(t) kẵ hiằu l y(tθτ ) y(tθτ ) = ∞ Y
Fourier phƠn thự ngữủ Dỹa trản h m n y, hêp tờng quĂt ữủ ành nghắa
−∞ thọa mÂn ¯ng thự nhƠn tỷ hõa
Nôm 2011, dỹa trản nhỳng kát quÊ Â õ ð trản, hai tĂ gi£ A K Singh v R Saxena [37℄ ¢ ph¡t triºn v ÷a ra ành lỵ mợi vã hêp liản kát
∫ vợi bián ời Fourier phƠn thự Cổng thự hêp ữủ ho bði z(t) = (xΘy) (t) = ∞ x(τ ) y(t − τ )e iτ(τ−t) cot α dτ (1.26)
−∞ thọa mÂn ¯ng thự nhƠn tỷ hõa
2 e −i 2 cot α X α (u)Y α (u) (1.27) tĂ giÊ khĂ , húng tổi nhên thĐy rơng miãn W ∩
Khi nghiên cứu về không gian L1(R) và L2(R), Almeida đã chỉ ra những đặc điểm quan trọng trong cấu trúc của chúng Đặc biệt, bài báo nêu bật sự khác biệt giữa hai không gian này, đồng thời cung cấp một số so sánh hữu ích để hiểu rõ hơn về tính chất của chúng.
Biểu thức (1.21) trong tài liệu đề cập đến sự phân tích Fourier với α = π/2 trong không gian hợp Trong hình 7.8, biểu thức này được phát biểu trong không gian Schwartz, một không gian đặc trưng trong các không gian L¹(R) và L²(R) Nếu x, y thuộc W ∩ L¹(R), thì tồn tại x₀, y₀ thuộc L¹(R) sao cho F(x₀) = x và F(y₀) = y Từ đó, ta có z = F(x₀) * F(y₀) = F(x₀ ∗ y₀) Đối với hàm f ∈ W ∩ L¹(R), ta có (F²f)(u) = f(−u) = fˇ(u).
Z π/2 (u) = (F z)(u) õ thº ữủ oi l hêp m° dũ ữủ biºu diạndữợi dÔng ân Chúng ta s³ hựng minh rơng vá phÊi õa ¯ng thù uèi l biºu thù (2) trong [3℄ Ta â
W ∩ L 1 (R) , Ă biºu diạn (2), (4) v (8) trong [3℄ õ thº khổng ỏn l biºu thự (2) trong [3℄ Tuy nhiản, náu khổng õ giÊ thiát x, y ∈ l ¯ng thự tẵ h bði
F 2 x hữa h¯n  tỗn tÔi TĐt nhiản, Ă ành lỵ hêp v tẵ h trong [3℄ văn õ nghắa vợi x, y ∈ L 2 (R)
• Biºu thự (1.23) trong [46℄ l hêp, õ ổng thự khổng quĂ ỗng kãnh v ữủ sỷ dửng trong nhiãu ựng dửng kh¡ nhau.
Trong nghiên cứu [13] và [42], tác giả đã xây dựng hệ thống hồi tiếp cho biến đổi Fourier phân tán Biểu thức (1.25) trong tài liệu [42] sử dụng hồi tiếp tường quét, được tham khảo từ [19, 20].
Ùng dửng
Lồ nhiạu trong miãn Fourier phƠn thự
Trong một số trường hợp cụ thể, việc khảo sát tần số thể hiện rõ trong miền Fourier phân tích: biến đổi Fourier phân tích có thể hiểu khổng lồ trong miền thời gian và miền tần số Hiện nay, chúng ta bắt đầu xem xét Hình 1.6, trong đó phân phối Wigner thể hiện nhiều biểu diễn trong một miền thời gian tần số Trong trường hợp này, chúng ta không thể lồng ghép nhiều khối tần số trong miền thời gian ngắn với miền tần số, và trong hai miền này tần số và nhiều đặc tính không lặp nhau Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng một bộ lọc nhị phân để giữ lại nhiều trong miền Fourier phân tích mà không bị lặp lại trong miền tần số Hình 1.7 minh họa rõ hơn về việc này Mặc dù tần số thể hiện nhiều không lặp lại trong một miền Wigner, nhưng hình ảnh trong miền tần số lại không lặp lại trong từng miền Chúng ta không thể tách riêng một miền Fourier phân tích nào mà không giữ lại một bộ lọc Tuy nhiên, chúng ta có thể thấy nhiều băng tần liền kề trong ba miền Fourier phân tích khác nhau là miền với α = 0, α = π/4, và α = π/2.
Hẳnh 1.6: PhƠn tĂ h nhiạu trong miãn Fourier phƠn thù
Hẳnh 1.7: Lồ tĂ h nhiạu nhiãu l n trong miãn
Chúng ta x²t mởt vẵ dử ử thº vợi tẵn hiằu gố x(t) = exp(−π(t − 4) 2 ) bà bián dÔng bði nhiạu ởng tẵnh n(t) = exp[−iπt 2 ]rect(t/16) , trong õ rect(t/16) l h m hỳ nhêt ho bði ổng thự rect(t/16) =
Tín hiệu mong muốn và tiếng ồn ở lợn được thể hiện rõ trong Hình 1.8a Tín hiệu này bao gồm nhiều đỉnh khác nhau trong miền thời gian và tần số Hình 1.8b và Hình 1.8c cho thấy biến đổi Fourier của tín hiệu mong muốn và tiếng ồn Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng tín hiệu mong muốn và tiếng ồn phân tách nhau trong miền này Việc sử dụng biến đổi Fourier giúp phân tích rõ ràng hơn về tín hiệu và tiếng ồn trong nghiên cứu này.
F −π/4 ta thu ữủ tẵn hiằu mong muốn (Hẳnh 1.8d).
(a) ở lợn ừa tẵn hiằu tờng (b) Fourier phƠn thự gõ π/4 ừa tẵn hiằu tờng
( ) Fourier phƠn thự gõ π/4 ừa tẵn hiằu v nhiạu (d) ở lợn ừa tẵn hiằu gố
Hẳnh 1.8: Lồ nhiạu trong miãn Fourier phƠn thự gõ π/4
Lồ tối ữu trong miãn Fourier phƠn thự
Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, việc giảm thiểu suy biến của hệ thống là rất quan trọng Phương pháp Wiener trong miền Fourier cho phép xử lý hiệu quả các tín hiệu với thời gian O(NlogN), giúp giảm thiểu sai số bằng phương pháp trung bình tối thiểu Tuy nhiên, khi đối mặt với suy biến biến thiên theo thời gian, quá trình xử lý tín hiệu trở nên phức tạp hơn với thời gian O(N^2) So với phương pháp Fourier thông thường, phương pháp Wiener giảm thiểu sai số hiệu quả hơn, đặc biệt trong việc xử lý nhiễu và suy biến nhất định, đồng thời duy trì thời gian xử lý tối ưu là O(NlogN).
Mổ hình quan sát sự biến đổi của tín hiệu là H(x) + n, trong đó H là hàm tuyến tính, x là biến ngẫu nhiên và n là thành phần nhiễu Tiêu chuẩn thiết kế thường sử dụng là sai số bình phương trung bình (MSE) Chúng ta xét toán tỷ tuyến tính của biến x = G(y) Nếu H là mô hình suy biến bất biến với x, n là khoảng trống đứng giữa toán tỷ tuyến tính tối ưu G_opt tương ứng với bộ lọc Wiener tối ưu ở đầu vào Toán tỷ này là bất biến, ứng dụng biểu diễn bề mặt và thể hiện bề mặt nhẵn trong miền Fourier Với hàm suy biến bất biến.
Ký hiệu hàm tán xạ khổng dừng thể hiện tỉ lệ khối phổ tối ưu thu được từ việc biểu diễn bậc mở một hệ thống Chúng ta cần tìm hiểu về các bậc tối ưu này để có được kết quả tốt nhất trong việc phân tích Fourier Trong miếng Fourier, các phương thức và khai niệm liên quan đến tán xạ khổng dừng được nghiên cứu kỹ lưỡng Nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc tối ưu hóa sai số MSE thông qua mô hình suy biến bậc ký hiệu là rất quan trọng trong miếng Fourier.
LĐy mău v khổi phử tẵn hiằu
Trữợ hát và húng tổi là những yếu tố quan trọng trong việc tạo ra âm nhạc, đặc biệt là trong kỷ thuật lấy mẫu âm thanh Các yếu tố này không chỉ giúp tăng cường sự phong phú của âm nhạc mà còn thu hút sự chú ý của người nghe Nội dung này đã được nghiên cứu và đề cập trong tài liệu [9℄.
Chuội xung lỹ ữủ ho bði ổng thự s δ (t) = n ∞ Σ =− δ(t − nT ), trong õ δ l h m Dira delta Chuội xung lỹ õ biºu diạn dữợi dÔng huéi Fourier (tham kh£o [9℄) s δ (t) = n ∞ Σ =−
Sự dừng biểu diễn dữ liệu thông qua biến đổi Fourier, như được thể hiện trong hình 1.4.1, cho thấy cách mà biến đổi Fourier có thể được áp dụng để phân tích xung lỹ trong miền thời gian và miền tần số Biến đổi Fourier là một công cụ mạnh mẽ trong việc hiểu rõ các tín hiệu và xung lỹ, giúp chúng ta nắm bắt được các đặc điểm quan trọng của chúng.
Bián ời Fourier ừa huội xung lü s = δ (t)
Chựng minh TĂ ởng bián ời Fourier lản huội xung lỹ , hóng ta thu ữủ
Do tẵnh hĐt tành tián ừa h m Dira delta, kát quÊ trản ữủ viát lÔi th nh
T ành lỵ ữủ hựng minh. Σ Σ Σ
1.4.3.2 ành lþ l§y m¨u Shannon-Nyquist ành lỵ lĐy mău Shannon-Nyquist l n u tiản ữủ giợi thiằu v ựng dửng trong lỵ thuyát thổng tin liản lÔ bði Shannon v Nyquist Tuy nhiản, trữợ õ, ành lỵ n y  ữủ phĂt triºn trong Ă ổng trẳnh ừa Kotelnikov v J M. Whittaker v o nhỳng nôm 1930 Nõ õ vai trỏ rĐt quan trồng trong lắnh vỹ xỷ lỵ tẵn hiằu, ung Đp phữỡng phĂp º khổi phử tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n mởt Ă h hẵnh xĂ tứ mău ừa tẵn hiằu n y, khi tẵn hiằu l ừ trìn. ành lỵ 1.4.2 Cho tẵn hiằu liản tử theo thới gian x(t) õ bián ời Fourier l X(ω) Náu X(ω) = 0 vợi mồi |ω| ≥ π/T , thẳ x(t) õ thº ữủ khổi phử tứ mău ãu x(nT ) bði ổng thự x(t) = x(nT )sinc((t − nT )/T ) (1.28) n∈Z trong â sinc(t) = sin(πt) ành lỵ kh¯ng ành rơng mởt tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n π/T â thº ữủ khổi phử tứ mău ãu vợi hu ký T ho° t lằ lĐy mău f = 1/T T lằ lĐy mău f = 1/T ữủ gồi l t lằ Nyquist Thỹ tá, trong hựng minh, viằ khổi phử tẵn hiằu văn thỹ hiằn ữủ vợi t lằ lĐy mău bơng ho° lợn hỡn t lằ Nyquist Tự l ổng thự (1.4.2) văn úng khi húng ta thay thá T bði T ′ ≤ T Σ πt
1.4.3.3 Tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n theo nghắa Fourier ph¥n thù ành lỵ lĐy mău Shannon-Nyquist l n u tiản ữủ mð rởng ho lợp Ă tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n trong miãnFourier ph¥n thù trong b i b¡o
Tính toán biến đổi Fourier là một phương pháp quan trọng trong việc phân tích tín hiệu x(t) và giúp hiểu rõ hơn về các thành phần tần số của tín hiệu này Để áp dụng biến đổi Fourier, tín hiệu x(t) phải thỏa mãn các điều kiện nhất định Biến đổi Fourier cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc và đặc điểm của tín hiệu, từ đó hỗ trợ trong việc xử lý và truyền tải thông tin hiệu quả hơn.
X α (u) = 0, |u| > Ω h , thẳ x(t) ữủ gồi l tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n trong miãn Fourier phƠn thự gõ α , trong õ Ω h l ở rởng dÊi t n.
Trong nghiên cứu, tác giả đã chỉ ra rằng tần số riêng của một hệ thống dao động (không khối) phụ thuộc vào các yếu tố như tần số cơ bản và các bậc cộng hưởng Cụ thể, tần số riêng sẽ thay đổi theo thời gian và liên quan đến các thông số của hệ thống Do đó, việc hiểu rõ mối quan hệ này là rất quan trọng để ứng dụng trong các lĩnh vực liên quan đến dao động và sóng.
Rỗng, mở tẵn hàm khổng lồ dãy tần bà hơn theo nghĩa thống thường rất rõ ràng là tẵn hàm dãy tần bà hơn theo nghĩa Fourier phân thực với gốc α = π/2 Vì vậy, việc xây dựng ngành lý lý thuyết màu hoà tẵn hàm dãy tần bà hơn trong miền Fourier phân thực sẽ mở ra hướng khởi phục tẵn hàm từ màu (màu hoà khổng màu) hoặc lợp A tẵn hàm này.
Trong nghiên cứu về tín hiệu ánh sáng, chúng ta cần phân tích một hàm tín hiệu x(t) có dạng x(t) = 1 + i cot α e^{-iat^2} Hàm này thể hiện sự biến đổi của tín hiệu trong miền thời gian, với các tham số α và a ảnh hưởng đến hình dạng và tính chất của tín hiệu Sự phân tích này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách mà tín hiệu ánh sáng tương tác với các yếu tố khác trong không gian.
−iau e iut csc α iut csc α du g(t) =
Dạ d ng nhên thĐy rơng g l tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n theo nghắa
Fourier vợi ở rởng dÊi t n Ω h csc α Dỹa v o phƠn tẵ h n y, Xia [45℄ Ăp dửng ành lỵ lĐy mău Shannon ho h m g theo Ă h dữợi Ơy. g(t) = g(n∆ α n ) sin [Ω h csc α (t − n∆ α )] Ω h csc α (t − n∆ α )
(1.29) trong â ∆ α = π sin α Thay (1.29) v o trong biºu thù x(t) = g(t) 1 + i cot α e −iat 2 ,
2π tĂ giÊ thu ữủ ành lỵ lĐy mău ho tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n trong miãn phƠn thự gõ α
−iat 2 Σ ia∆ 2 sin [Ω h csc α (t − n∆ α )] Ơy l mởt ổng thự khổi phử tẵn hiằu tứ mău ãu ho lợp Ă tẵn hiằu
Trong nghiên cứu về phân tích Fourier, phương pháp xác định hàm Fourier của tín hiệu được thực hiện thông qua các biến đổi Hilbert Năm 1999, Zayed và Garcia đã đề xuất các kỹ thuật mới để lấy mẫu trong miền phân tích, cho phép thu thập dữ liệu hiệu quả hơn Họ đã chứng minh rằng việc sử dụng biến đổi Hilbert có thể cải thiện khả năng lấy mẫu cho các tín hiệu liên tục Đặc biệt, nếu f(t) là một tín hiệu liên tục, thì việc áp dụng biến đổi Fourier cho tín hiệu e^{-iat}f(t) sẽ cho phép xác định được tín hiệu gốc f(t) trong miền tần số [−Ωh, Ωh].
)] sin [β (t − t k )] β (t − t k ) , trong õ β = Ω h /(2 sin α) , t k = 2kπ sin α/Ω h , k ∈ Z v f ˜ l kỵ hiằu ho bián ời Hilbert ừa tẵn hiằu f
Kát quÊ n y sau õ Â ữủ nhõm tĂ giÊ trong [16℄ mð rởng ho bián ời hẵnh t tuyán tẵnh (LCT), l bián ời tờng quĂt ừa Fourier phƠn thự vợi bốn tham số.
Trong nghiên cứu [39℄, tác giả tập trung vào việc phân tích và phát triển các mô hình Fourier, đồng thời đưa ra các phương pháp khôi phục tín hiệu theo hướng tiếp cận mới Kỹ thuật này đã cho thấy kết quả tích cực trong việc phát triển và biến đổi tín hiệu trong miền tần số [13℄ Bên cạnh đó, trong nghiên cứu [38℄, Stern đã mở rộng lĩnh vực liên quan đến việc khôi phục tín hiệu trong miền tần số.
Trong [43℄, Ă tĂ giÊ sỷ dửng dÔng tờng quĂt ừa ¯ng thự
Parseval ho huội Fourier phƠn thự º ữa ra mởt Ă h hựng minh kh¡ ho
Bài viết này đề cập đến việc áp dụng định lý Parseval trong phân tích Fourier, với trọng tâm là việc hiểu rõ các đặc điểm của tín hiệu âm thanh thông qua cách mà nó được biểu diễn trong miền tần số Định lý này cho phép chúng ta xác định mối liên hệ giữa năng lượng của tín hiệu trong miền thời gian và miền tần số, từ đó giúp tối ưu hóa quá trình phân tích và xử lý tín hiệu Việc hiểu rõ các khái niệm này là rất quan trọng cho các ứng dụng thực tiễn trong lĩnh vực âm thanh và kỹ thuật số.
Chêp liản kát vợi bián êi Fourier ph¥n thù
Trong hướng này, chúng tôi trình bày bài viết liên quan đến biến đổi Fourier phân thức, khái sát và ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra so sánh với các biến thể khác của biến đổi Fourier Các khái niệm được xây dựng bao gồm biến đổi khổng lồ và biến đổi hàm trồng, trong đó biến đổi hàm trồng liên quan đến hàm Gauss và hàm Hermite.
Nởi dung ừa hữỡng n y dỹa trản Ă b i bĂo [1℄, [2℄ v [4℄ trong Danh mử Ă ổng trẳnh ừa luên Ăn.
Chêp khổng õ h m trồng
ành lỵ hêp
(2.1) ành lỵ 2.1.1 Náu f, g ∈ L 1 (R), thẳ bián ời ữủ ành nghắa bði (f ⋆
/ 2 = √ π R l hêp liản kát vợi F α ũng ¯ng thự nhƠn tỷ hõa α [f ⋆
2x) = F α [f ](x)F α [g](x) (2.2) tổi kỵ hiằu P (a,b) (x, y) := ax 2 − 2abxy + ay 2 Bơng tẵnh toĂn, húng ta Chựng minh º thuên tiằn trong viằ trẳnh b y ph²p hựng minh, húng thu ữủ c 2 ∫ i(ax 2 −2abxu+au 2
2 du s s d(√ 2 ) ành lỵ ữủ hựng minh.
CĂ tẵnh hĐt ỡ bÊn
• Tẵnh giao hoĂn p dửng (2.1) húng ta õ
⋆ f )(x) ho h u khp x bơng Ă h Ăp dửng bián ời ngữủ õa
• Tẵnh kát hủp Sỷ dửng (2.1), hóng ta â
B§t ¯ng thù Young v ¤i sè Wiener
Trong ph n n y, hóng tổi hựng minh b§t ¯ng thù hu©n ho hêp vứa ữủ trẳnh b y ¥y, gi£ sû 1
CĂ khổng gian Bana h liản quan bao gỗm
(2 3 ) trong â C l mởt hơng số d÷ìng º ỡn giÊn vã kỵ hiằu, húng tổi °t
∫ E ( s ) trong õ F := E ch−1 f, G := E ch−1 g, H := F ∗ G Hiºn nhiản E ch−1 f
L p (R), E ch−1 g ∈ L q (R) BĐt ¯ng thự hêp Young ho bián ời
Bài viết này đề cập đến việc nghiên cứu hàm Fourier trong không gian Lr(R), với h = c(π) −1/2 E ch−2 H ∈ Lr(R) Hàm E ch−2 được xác định với điều kiện |E ch−2 (x)| = 1 cho mọi x Chúng tôi đã thực hiện các phân tích và minh họa liên quan đến các khái niệm này trong bối cảnh toán học hiện đại.
Young Nâi Ă h khĂ , náu f ∈ L p (R) v g ∈ L q (R) , hêp n y xĂ ành mởt h m số trong khổng gian L r (R), trong õ 1/p + 1/q = 1/r + 1 f (u)g(s −
Chóng ta â thº x¥y düng §u tró ¤i sè Bana h giao ho¡n ho
L 1 (R) ành lỵ 2.1.3 Khổng gian Bana h L 1 (R) , ữủ trang bà tẵ h (2.1) , trð th nh mởt Ôi số Bana h giao hoĂn
Chựng minh Ph²p toĂn ⋆ l õng trong khổng gian L 1 (R) Thêt vêy, bơng Ă h lỹa hồn
1 trong ành lþ 2.3.4, hóng ta h¿ ra ữủ f ⋆
F α g ∈ L 1 (R) nhữ mong muốn Hỡn nỳa, tẵnh giao hoĂn v tẵnh kát hủp l hai tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa hêp (2.1) Tứ Ơy, húng ta suy ra iãu phÊi hựng minh.
Vợi mội α ∈ R ố ành, húng ta kỵ hiằu têp W α := , F α f : f
L 1 (R) , ành lỵ 2.1.4 W α l mởt Ôi số Bana h giao hoĂn ành huân vợi ph²p nhƠn h m số theo tứng iºm
Chựng minh Hiºn nhiản têp hủp W α l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành huân, trong õ huân ữủ ho bði ǁF α f ǁ W α := ǁf ǁ 1
Chóng ta s³ hựng minh ph²p nhƠn h m số theo tứng iºm l õng trong khổng gian W α Thêt vêy, giÊ sỷ F, G ∈ W α Tỗn tÔi f, g ∈ L 1 (R) sao ho
F = α f, G = α g ành lþ 2.3.5 h¿ ra f ⋆ F α g ∈ L 1 (R) Sỷ dửng thự nhƠn tỷ hõa (2.2), ta suy ra iãu n hựng minh.¯ng
Chêp õ h m trồng dÔng hirp
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá hai hệ thống trồng trọt dựa trên phương pháp Fourier, nhằm tối ưu hóa hiệu suất và chất lượng sản phẩm Hệ thống này không chỉ giúp nâng cao năng suất mà còn cải thiện tính bền vững trong canh tác nông nghiệp Hai hệ thống đã được áp dụng thành công trong các mô hình canh tác khác nhau, mang lại lợi ích rõ rệt cho người nông dân và môi trường.
Trong không gian L1(R), tồn tại các hàm số liên tục, nhưng trong không gian L2(R), các hàm này phải tuân theo các quy tắc nhất định để đảm bảo tính chính xác và khả năng hiển thị Việc phân tích và so sánh giữa hai không gian này giúp làm rõ sự khác biệt trong cách mà các hàm số được định nghĩa và thể hiện.
Trong Ă nởi dung tiáp theo, vợi f ∈ L 1 (R) húng tổi ành nghắa ǁf ǁ 0 := 1
∫ √ ành nghắa 2.2.1 ToĂn tỷ hêp ⊙ ữủ ành nghắa bði c ∫ ∞ ia ( 2u 2 −2su+ s − u ) g s u + 1 du (2.6)
2ab ành lỵ 2.2.1 °t ψ(x) := e i(x−ax 2 ) Náu f, g ∈ L 1 (R) , ǁf ⊙ gǁ 0 ≤ ǁf ǁ 0 ǁgǁ 0 , (2.7)
Nõi Ă h khĂ , tẵ h f ⊙ g xĂ ành mởt h m số trong khổng gian L 1 (R) , thọa mÂn ành lỵ hêp ho bián ời
Fourier phƠn thự vợi h m trồng ψ
Chựng minh Chúng ta s³ bt u bơng viằ hựng minh bĐt ¯ng thù huân (2.7) vợi hú ỵ l |c| = | sin α| −1/2 Sỷ dửng giÊ thiát f, g ∈ L 1 (R) , v ph²p ời bián số s − u + 1/2ab = v, húng ta õ ǁf ⊙ gǁ 0
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu về tính chất của các hàm số thuở khổng gian L1 (R) và mối liên hệ giữa chúng thông qua các phép biến đổi Fourier Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét cách mà hàm số h(s) được định nghĩa là tích chập của hai hàm f và g, từ đó rút ra các kết luận về tính chất của các hàm này Đồng thời, chúng ta cũng sẽ áp dụng các định lý liên quan để làm rõ hơn về sự tương tác giữa các hàm số trong không gian này.
−∞ ia [ x 2 +u 2 +v 2 −2xb ( u+v− 1 )] ời bián số u = u v s = u + v 1 , húng tổi thu ữủ
Chựng minh ữủ ho n th nh. f (t) ✲
Hẳnh 2.1: Biºu diạn hêp (2.6) theo Ă h thự nhĐt Chúng tổi kỵ hiằu v xem x²t m(t) := e iat 2 , n
(t) := e ia(t 2 ± 1 t) , g ± (t) := g(t ± 1 ab ) trong õ g ± l h m trạ pha ho° tành tián ừa h m g vợi bữợ (1/ab) Ró r ng hai h m số m v n ± ãu khổng õ 0- iºm v module khổng ời, tự l , |m(t)| = |n ± (t)| = 1 Do õ, húng ta õ thº viát m −1 (t) := 1
Cõ hai Ă h biºu diạn hêp (2.6) thổng qua hêp Fourier ờ iºn ữủ kỵ hiằu bði ∗ , nhữ s³ giÊi thẵ h dữợi Ơy.
(1) Chúng ta biºu diạn lÔi h(s) := (f ⊙ g) (s) th nh h(s) = m ã f Σ
Trong trữớng hủp n y, hêp ừa hai h m f v g thu ữủ bơng Ă h nhƠn vợi hirp mợi ( n + ), uối ũng hia ho ( m ) v lĐy t¿ lằ ( c/ √ 2π ) nhƠn f vợi hirp ( m ), hêp vợi h m g  ữủ l m trạ pha (1/ab) v
(2) CĂ h thự hai, húng ta viát lÔi
Chêp ừa hai h m f v g thu ữủ bơng Ă h nhƠn f vợi hirp ( n − ), hêp vợi h m g  ữủ l m trạ pha (1/ab) v nhƠn vợi hirp m , uối ũng hia ho n − v lĐy t¿ lằ ( c/ √ 2π ).
Do õ, chúng ta có hai phương pháp ăn lỹa hồn Ă h m hirp l m nhƠn tỷ Để so sánh Ă Ă h tiáp ên khÊ thi v Ă nghiằm trong Ă b i toĂn thỹ h nh, cần phải xem xét các biểu diễn của hàm Fourier Tuy nhiên, dù lỹa hồn Ă h biểu diễn nào thì cũng phải thỏa mãn điều kiện nhất định trong quá trình phân tích.
2.2 minh hồa hai Ă h biºu diạn hêp ữủ phƠn tẵ h ð trản Nõi Ă h khĂ , hêp (2.6), khi Ăp dửng trong Ă b i toĂn ử thº s³ linh hoÔt hỡn Ă hêp  õ [3, 13, 37, 42, 46℄. f (t)
Hẳnh 2.2: Biºu diạn hêp (2.6) theo Ă h thự hai
Chêp (2.6) thọa mÂn Ă tẵnh hĐt giao hoĂn, kát hủp v phƠn phối nhữ húng tổi l n lữủt h¿ ra dữợi Ơy.
• Tẵnh giao hoĂn Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa (2.8), húng ta â
• Tẵnh kát hủp Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa (2.8), húng ta â
• Tẵnh phƠn phối Sỷ dửng
(x) f ⊙ (g + h) = f ⊙ g + f ⊙ h ành nghắa 2.2.2 ToĂn tỷ hêp f ⊗ g ữủ ành nghắa bði c ∫ ∞ ia ( 2u 2 −2su− s + u ) f (u) g s − u − 1 Σ du (2.9) ành lỵ 2.2.2 °t ζ (x) = e i(−x−ax 2 ) Náu f , g ∈ L 1 (R) , ǁf ⊗ gǁ 0 ≤ ǁf ǁ 0 ǁgǁ 0 , (2.10)
Nõi Ă h khĂ , tẵ h f ⊗ g xĂ ành mởt h m số thuở khổng gian L 1 (R) , v thọa mÂn ành lỵ hêp ho bián ời
Fourier phƠn thự vợi h m trồng ζ
Tữỡng tỹ nhữ hêp (2.6), õ hai Ă h biºu diạn hêp (2.9) qua hêp Fourier ờ iºn.
Nhên x²t 2.2.1 Chêp (2.9) ng thọa mÂn Ă tẵnh hĐt giao 2π) hoĂn, kát hủp v phƠn phối Chúng tổi bọ qua ph²p hựng minh vẳ Ă h thự thỹ hiằn l tữỡng tỹ nhữ vợi hêp (2.6). h(s) := (f ⊗ g) (s) √
Dựa vào hai bài toán (2.7) và (2.10), toàn bộ hệ thống hàm nghĩa từ (2.6) và (2.9) là bậc hơn trong không gian L1(R) Dưới góc nhìn Ôi số, không gian L1(R) thể hiện sự trang bị và mở rộng trong hai hệ thống (2.6) và (2.9), từ đó cho thấy sự ảnh hưởng của Ôi số Bana trong giao hoán.
Chêp õ h m trồng liản quan án h m Gauss v h m Hermite
CĂ tẵnh hĐt ỡ bÊn
CĂ hêp (2.12), (2.15) thỏa mãn tính hợp giao hoán, phân phối và kết hợp Trong phần này, chúng tôi sẽ chứng minh tính hợp của hĐt này theo (2.12), đồng thời chứng minh rằng nó thỏa mãn các tính chất hiển nhiên theo định lý tương tự.
• Tẵnh giao hoĂn Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa (2.14), húng ta â
• Tẵnh kát hủp Sỷ dửng (2.14) húng ta thu ữủ
• Tẵnh phƠn phối Chúng ta hú ỵ rơng
Nhên x²t 2.3.1 (a) Cố ành h m f ∈ L 1 (R) v sỷ dửng Ă b§t ¯ng thự (2.13), (2.16), (2.19), húng ta h¿ ra ữủ rơng Ă toĂn tỷ hêp
Toán tỷ lệ mặn ảnh hưởng đến nghĩa bội khổng thỏa hợp giao hoán, kết hợp và phân phối những hàm lồi bội hàm tỷ lệ lồi là hàm tường quát liên kết với biến đổi Fourier Phân thức Fourier Fα và biến đổi Fourier ngược F−α.
Chùng minh
Ph²p hựng minh ừa Ă ành lỵ hêp s³ l n lữủt ữủ trẳnh b y dữợi ¥y.
Chứng minh ảnh lý 2.3.1 cho thấy chúng tôi biết rằng đường thẳng hứng minh bắt đầu thụt vào Chú ý rằng |c| = |sin α| - 2 Suốt quá trình hứng minh, chúng tôi sử dụng đường thẳng dữ liệu để giải thích rõ hơn.
−k t 1 1 2 vợi mồi x ∈ R (xem [34, 40℄) ời bián ab(x − u − v) = t, ta õ
BĐt ¯ng thự (2.13) ữủ hựng minh BĐt ¯ng thự n y Êm b£o ho h m số (2.12) thuở khổng gian L 1 (R)
BƠy giớ húng tổi tiáp tử hựng minh ¯ng thự nhƠn tỷ hâa (2.14).
− x −iax c ∫ ia ( x 2 +u 2 −2xub ) c × √ 2π e ia ( x 2 +v 2 −2xvb
− t +ixt c ∫ ia ( x 2 +u 2 −2xub ) c × √ 2π e ia ( x 2 +v 2 −2xvb
R ) g(v)dv c 2 −iax 2 ∫ ia [ 2x 2 +u 2 +v 2 −2xb(u+v) ] − t +ixt c 2
∫ ia [ x 2 +u 2 +v 2 −2xb ( u+v− t )] − t ời bián số u = u , v = v , s = u + v t ,
= F α [f ⊕ g] (x) ành lỵ ữủ hựng minh.
• Chựng minh ành lỵ 2.3.2 Chúng tổi s³ hựng minh bĐt ¯ng thù hêp (2.16) ời bián u = u, v = v, v t = x − u − v , ỗng thới sỷ dửng
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm toán học liên quan đến biểu thức 2π |sin α| và các chuẩn mực nhấn mạnh như ǁφ n ǁ 0, ǁf ǁ 0, và ǁgǁ 0 Nội dung sẽ đi sâu vào các định lý và ứng dụng của chúng trong không gian L1(R), đồng thời phân tích mối liên hệ giữa các biến số trong các phương trình khác nhau Chúng ta cũng sẽ xem xét sự phát triển của các khái niệm này qua các thời kỳ khác nhau, nhằm làm rõ hơn về tính chất và ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực toán học hiện đại.
(t) dt × ∫ e ia ( x 2 +u 2 −2xub ) f (u)du× e ia ( x 2 +v 2 −2xvb ) g(v)dv
∫ ia [ x 2 +u 2 +v 2 +(s−u−v) 2 −2xbs ] c ∫ ia ( x 2 +s 2 −2xbs ) e inα c 2 ∫
= F α [f ⊖ g] (x) ành lỵ ữủ hựng minh.
Chúng tôi sẽ tập trung vào hùng minh ảnh hưởng đến biến đổi Fourier, theo đó, bắt đầu từ hùng thuần (2.19) và thể hiện qua hình thức hùng minh tướng (2.16) Đặc biệt, chúng tôi sẽ chú trọng vào hùng minh ảnh hưởng nhân tứ hàa (2.20) để làm rõ hơn về mối quan hệ giữa các yếu tố này trong bối cảnh nghiên cứu.
∫ e ia(x 2 +s 2 −2xbs) × ∫ R2 e ia(2u 2 −2us−2uv+2sv) f
(s − u + v)dudv Σ ds dăn án iãu n hựng minh.
BĐt ¯ng thự hêp dÔng Young
Trong ph n n y, húng tổi trẳnh b y hựng minh bĐt ¯ng thự hêp Young ho Ă hêp ữủ ã xuĐt Trữợ hát, húng tổi nh lÔi bĐt ¯ng thự tẵ h phƠn Minkowski Σ∫ Ω
1 r dà 1 (x), (2.22) trong õ F (ã, ã) : Ω 1 ì Ω 2 −→ C l o ữủ trản hai khổng gian (Ω 1 , à 1 ) v (Ω 2 , à 2 ) Kỵ hiằu 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ l Ă tham số thọa m ¢n 1 + 1 = 1 p q r
Cảm ơn bạn đã cung cấp nội dung Dưới đây là đoạn văn đã được viết lại:Không gian Lp (R), Lq (R), Lr (R) là những khái niệm quan trọng trong phân tích hàm số, với các đặc tính liên quan đến sự kết hợp và tính chất của các hàm số Chúng tôi sẽ trình bày hai định lý cơ bản, trong đó có định lý liên quan đến bất đẳng thức Hölder, cho phép xác định mối quan hệ giữa các hàm f và g trong không gian Lp và Lq Cụ thể, nếu f thuộc Lp(R) và g thuộc Lq(R), thì có thể chứng minh rằng ||f * g||r ≤ C1 ||f||p ||g||q, với r, p, q là các số thực dương phù hợp.
⊛ gǁ s ≤ C 2 ǁf ǁ 1 ǁgǁ 1 vợi mồi s ≥ 1 , v f, g ∈ L 1 (R), (2.24) trong õ minh ãu tữỡng tỹ, nản húng tổi s³ h¿ trẳnh b y C 1 , C 2 l Ă hơng số dữỡng Vẳ Ă ph²p hựnghựng minh ho hêp (2.12) v n y l tẵnh giÊm nhanh ừa hai h m Gauss v h m
Hermite E gd , φ n bọ qua vợi Ă hêp (2.15), (2.18) iºm m§u hèt ho ph²p hùng minh
• Chựng minh õ (2.23) Bơng viằ ời bián t := u + v , húng ta h(s) := −abc
Hiện nay, E ch f thuộc L p (R) và E ch g thuộc L q (R) Định lý Young cho biết rằng nếu F thuộc L r (R) và |E ch | = 1, thì E gd thuộc L 1 (R) Áp dụng định lý Young cho E gd và F, chúng ta suy ra rằng h m ữủ có nghĩa bản vá phải vừa trong không gian L r (R) Kết quả này cho thấy rằng h thuộc L r (R).
• Chựng minh (2.24) Chú ỵ rơng E gd ∈ L s (R) vợi mồi s > 0 , v
∫R |E gd (±x ± u ± v)| dx = ǁE gd ǁ s (u, v l è ành )
= ǁE gd ǁ s ∫R2 f (u) g(v) dudv = ǁE gd ǁ s ǁf ǁ 1 ǁgǁ 1
Do õ húng ta thu ữủ (2.24).
Cõ sỹ khĂ nhau Ăng kº trản khổng gian nguỗn v khổng gian Ênh giỳa Ă hêp ữủ ã xuĐt v Ă hêp ữủ xƠy dỹng trữợ Ơy liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự v bián ời hẵnh t tuyán tẵnh nhữ ữủ h¿ ra trong ành lỵ dữợi Ơy Các công thức (2.12), (2.15), và (2.18) thỏa mãn điều kiện ổn định theo nguyên lý Young.
(ii) CĂ hêp (2.12) , (2.15) , (2.18) õ bĐt ¯ng thự hêp
Nõi Ă h khĂ , náu f ∈ L p (R) v g ∈ L q (R) , thẳ mội hêp ữủ ã xu§t
1/r + 1 Hỡn nỳa, náu f, g ∈ L 1 (R), thẳ mội hêp n y ng xĂ ành mởt xĂ ành mởt h m số trong khổng gian L r (R), trong õ 1/p + 1/q = h m số trong khổng gian L s (R) vợi mồi s ≥ 1
Nhên x²t 2.3.2 (a) Sỷ dửng Ă kỵ hiằu húng ta õ thº viát lÔi:
L 1 (R) ⊛ L 1 (R) ⊆ L s (R), vợi mồi (2.27) Vợi s ≥ 1 p = q = r = 1 trong (2.23), ho° s = 1 trong (2.24), hóng ta thu ữủ bĐt ¯ng thự huân trong Ă ành lỵ 2.2.1, 2.2.2 v
L 1 (R) , thẳ hêp xĂ ành mởt h m trong khổng gian
L 1 (R) ∩ L 2 (R) cho thấy rằng khi f, g thuộc không gian y, thì tồn tại một hệ f ∗ g, trong đó có thể xác định các tính chất của hàm số f và g Điều này cho phép chúng ta xem xét các hàm số liên quan, từ đó hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các hàm này trong không gian Việc phân tích này cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách các hàm số có thể tương tác và ảnh hưởng lẫn nhau trong các điều kiện nhất định.
Young (2.24) l mởt ° trững ° biằt ừa Ă hêp ữủ ã xuĐt BĐt ¯ng thự (2.24) ng l iºm khĂ biằt Ăng hú ỵ so vợi bĐt ¯ng thự Young ho trữớng hủp
Fourier Têp trung v o trữớng hủp L 2 (R) v º ỵ thảm l Ă h m
Hermite tÔo th nh hằ trỹ huân trong khổng gian
Hilbert L 2 (R) , nản theo Ă h nhẳn nhên ừa húng tổi, Ă hêp n y õ thº ựng dửng trong giÊi tẵ h iãu hỏa.
Với hệ thống Fourier tổng quát, chúng ta bắt đầu với hệ Young (2.23) và (2.24) với s = 1 Do đó, hệ Young (2.24) là một trường hợp riêng của hệ mời Trong không gian Banach L1(R), chúng ta xem xét các điều kiện và mở rộng trong hai phép nhân hệ (2.12) và (2.15), dẫn đến một số kết quả quan trọng trong lý thuyết không gian Banach giao hoán.
Chúng ta đã chứng minh rằng các hàm ảnh hưởng minh bạch có thể được biểu diễn qua các công thức (2.12) và (2.15) trong không gian L¹(R) Thảm này cho thấy tính chất hòa tan và khả năng hội tụ của các hàm ảnh hưởng minh bạch.
Bảng luân chuyển hướng cho thấy sự so sánh và ảnh hưởng của biến đổi Fourier trong các tín hiệu theo tiến trình thời gian Chúng tôi đã đưa ra một số nghiên cứu và kết quả liên quan đến vấn đề này.
• Biºu thự (1.21) ừa L B Almeida [3℄ thỹ sỹ l hêp dữợi mởt v i iãu kiằn vã khổng gian h m.
Trong nghiên cứu của A I Zayed, hai hệ thống Fourier được giới thiệu, sử dụng biến đổi Fourier phân thức để biểu diễn các hàm Hệ thống Fourier thông thường cho phép tính toán các hàm trong không gian theo quy trình lấy mẫu từ hàm gốc, trong khi hệ thống Fourier mới cung cấp cách tiếp cận khác biệt trong việc biểu diễn và phân tích hàm Sự khác biệt chính nằm ở việc sử dụng các biến đổi Fourier để tạo ra các hàm mới, cho phép tối ưu hóa quá trình tính toán và phân tích Các ứng dụng của phương pháp này có thể mang lại những kết quả đáng kể trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và phân tích dữ liệu.
Cảnh nghĩa hẹp của xây dựng ho biến đổi hàm tuyến tính (LCT) là nội dung chính trong bài báo của B Deng Vấn đề này được liên kết với biến đổi Fourier phân thức, cho thấy sự chuyển đổi từ biến đổi Fourier phân thức sang biến đổi hàm tuyến tính Mô hình này có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là trong các mô hình thực tiễn.
Năm 2009, D Wei đã nghiên cứu về mô hình τ-dà h huyền tường quát, chỉ ra rằng mô hình này có thể áp dụng để hiểu rõ hơn về sự biến đổi của LCT Mô hình này giúp xây dựng dựa trên sự biến đổi theo thời gian và biến đổi của LCT Do đó, mô hình này biểu hiện tính linh hoạt, bao gồm cả cấu trúc nhà và các yếu tố nhân tạo Tuy nhiên, cần lưu ý rằng sự biến đổi của LCT vẫn phải thể hiện sự linh hoạt trong việc duy trì những yếu tố quan trọng do bốn tham số quyết định.
Trong nghiên cứu của A K Singh và R Saxena, các tác giả đã phát triển ảnh lặp hệ hấp và ảnh lỳ nhân thông qua biến đổi Fourier Bài viết này cũng trình bày những lý thuyết hiện tại và so sánh giữa hệ hấp và hệ xây dựng trữ lượng.
Phương trình Fourier thể hiện sự phát triển của hàm số thông qua các hàm sin và cos Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá cách mà các hàm Fourier có thể được sử dụng để phân tích các tín hiệu phức tạp Các phương trình (2.12), (2.15), và (2.18) sẽ được áp dụng để xây dựng mô hình cho các tín hiệu này, giúp làm rõ mối quan hệ giữa các biến số và hàm Fourier Việc hiểu rõ về các hàm Fourier sẽ mang lại cái nhìn sâu sắc hơn về cách thức hoạt động của các tín hiệu trong thực tế.
2 2 2 2 húng tổi °t E ch (t) := e iat , E (t) := e −2a b t , trong â E , E gd t÷ìng ựng l h m hirp v h m Gauss Ta õ nhƠn ừa hêp (2.12) ữủ biºu diạn th nh
NhƠn E l tẵ h ừa ba hirp E ch (u), E ch (v), [E ch (s)] −1 v phƠn phèi Gauss
E gd Tữỡng tỹ, Ă hêp khĂ m húng tổi ã xuĐt ng l sỹ kát hủp ừa ba h m hirp ũng vợi phƠn phối Gauss ho° Hermite ừa tẵn hiằu.
CĐu trú n y giúp Ă hêp ừa húng tổi trð nản linh hoÔt nhớ Ă tẵnh hĐt trạ pha v dà h huyºn tành tián trong h m Hermite v h m hirp nơm ð dÔng y ừ Sỹ bờ sung Ă hêp n y õ thº phũ hủp vợi Ă mổ hẳnh toĂn ho nhiãu b i toĂn kÿ thuêt.
Trong hướng này, chúng tôi xây dựng các hàm hợp gồm: hàm khổng lồ h m trồng, hàm h m trồng dòng hợp và hàm h m trồng liên quan đến hàm Gauss và hàm Hermite Hàm khổng lồ h m trồng được biểu diễn qua một tán cây phân ẩn trong tổng thức gồm nhà g d c h và vòng thức nhân tỷ hóa tướng tỹ như trường hợp hợp ở điểm Đây là điểm khái biệt giữa hàm này với tán cây hàm A và hàm  được sử dụng trong xây dựng trữợ ố Hai hàm (2.6) và (2.9) được biểu diễn qua hàm ở điểm với biến đổi Fourier, do đó, trong bài toán thực hành, chúng tôi đã sử dụng thuật toán Fourier nhanh để tính toán Nhân hàm (2.12), (2.15), (2.18) là sự kết hợp giữa hàm hirp với phân phối Gauss và phân phối Hermite Do đó, hàm này đã được sử dụng trong nghiên cứu mởt số lớp phương trình tán cây hàm dòng hợp sinh ra từ nhân Gauss và nhân Hermite, nhằm tạo ra tổng thức nghiên cứu hiện đại Nội dung này sẽ được chúng tôi trình bày trong bài viết này.
Trong hướng này, chúng tôi nghiên cứu sự tương tác giữa một số lớp phương trình tại không gian đồng hợp Sử dụng ảnh hưởng trong Chương 2, chúng tôi khẳng định rằng việc khôi phục tín hiệu từ hàm Fourier phụ thuộc vào độ chính xác, thiết kế bởi lỗ trong miền Fourier thông qua hệ thống thời gian và thể hiện ảnh hưởng số minh họa cho các kết quả nghiên cứu.
Nởi dung ừa hữỡng n y dỹa trản Ă b i bĂo [1℄, [2℄ v [3℄ trong Danh mử Ă ổng trẳnh ừa luên Ăn.
CĂ lợp phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp
CĂ phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp
Trong không gian Bana H1(R), chúng tôi bắt đầu bằng việc khảo sát phương trình tán xạ phi tuyến dạng λϕ(s) + k ⊙ ϕ Σ(s) = f(x), trong đó λ thuộc C và k thuộc L1(R) Phương trình này được nghiên cứu với ϕ là hàm số liên tục trong không gian này Chúng tôi sử dụng các kỹ thuật phân tích để hiểu rõ hơn về đặc điểm và hành vi của nghiệm trong khung cảnh này.
Mằnh ã sau l n thiát ho hựng minh ành lỵ3.1.1.
Mằnh ã 3.1.1 (1) Náu λ ƒ= 0 , thẳ A(s) ƒ= 0 vợi mồi s nơm ngo i mởt khoÊng hỳu hÔn
(2) Náu A(s) ƒ= 0 vợi mồi s ∈ R , thẳ h m số 1/A(s) l bà h°n v liản tử trản R
Chựng minh (1) p dửng bờ ã Riemann-Lebesgue, h m số A(s) l liản tử trản R v
|s|→∞ lim A(s) = λ ƒ= 0, tự l , A(s) nhên giĂ trà λ tÔi vổ ũng Vẳ λ ƒ= 0 v A(s) liản tử , tỗn tÔi mởt giĂ trà R > 0 sao ho A(s) ƒ= 0 vợi mồi |s| >
(2) Do tẵnh liản tử ừa h m số A v lim |s|→∞ A(s) = λ ƒ= 0 , tỗn tÔi
Vẳ A liản tử v khổng triằt tiảu trản têp ompa t
Chóng ta suy ra inf
< ∞ iãu n y dăn án h m số 1/|A(s)| l liản tử v bà h°n trản
R Mằnh ã ữủ hựng minh. ành lỵ 3.1.1 GiÊ sỷ rơng A(s) ƒ= 0 vợi mồi s ∈ R, v mởt trong ¡ iãu kiằn sau thọa mÂn:
Phữỡng trẳnh (3.1) õ nghiằm trong khổng gian L 1 (R) náu v h¿ náu
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh ữủ ho bði ổng thự ϕ = F −α
Chựng minh u tiản, húng tổi x²t vợi trữớng hủp iãu kiằn (i) ữủ thọa mÂn. iãu kiằn n GiÊ sỷ rơng (3.1) õ mởt nghiằm ϕ ∈ L
(R) TĂ ởng bián ời Fourier phƠn thự F α lản hai vá ừa phữỡng trẳnh (3.1) v sỷ dửng ¯ng thự nhƠn tỷ hõa trong ành lỵ 2.2.1, húng tổi thu ữủ
Khi F α f thuộc L 1 (R), chúng ta có thể suy ra rằng F α f/A cũng thuộc L 1 (R) Theo định lý H m số 1/A(s) và liên kết với lý thuyết biến đổi Fourier, ta sẽ tìm hiểu về tính chất của F α trong bối cảnh liên quan đến phương trình (3.3) Điều này cho phép chúng ta áp dụng các điều kiện cần thiết để chứng minh các kết quả liên quan trong lý thuyết Hơn nữa, định nghĩa của hàm số ϕ được xác định bởi F −α cũng sẽ được xem xét trong quá trình phân tích này.
iãu n y h¿ ra rơng ϕ ∈ L 1 (R) Do õ, F α ϕ = F α f/A Mởt Ă h t÷ìng ữỡng, A (F α ϕ) = F α f Tứ ¯ng thự nhƠn tỷ hõa, húng ta â
= F α f p dửng ành lỵ vã tẵnh duy nhĐt ừa F α , húng tổi kát luên rơng ϕ thọa mÂn phữỡng trẳnh (3.1) vợi h u khp s ∈ R Mử (i) ữủ hựng minh.
Với điều kiện |ψ(x)| = 1, hàm số 1/ψ liên tử v à hàm hồi tiếp R Nếu F α f/F α k ∈ L 1 (R) và F α f/ψ ∈ L 1 (R), thì theo định lý, chúng ta có thể chứng minh được rằng tồn tại một phương pháp thích hợp để biểu diễn các hàm này Điều này dẫn đến việc xác định các tính chất của hàm số trong không gian L 1 (R).
Phữỡng trẳnh tẵ h phƠn (3.1) õ thº l phữỡng trẳnh loÔi mởt ho° loÔi hai tữỡng ựng vợi λ = 0 ho° λ ƒ= 0
Trong ành lỵ 3.1.1, húng tổi  phƠn tẵ h ho Ê hai tẳnh huống n y.
CĂ ành lỵ dữợi Ơy õ thº ữủ hựng minh theo Ă h t÷ìng tü nh÷ ành lþ 3.1.1. ành lỵ 3.1.2 GiÊ sỷ rơng
B(s) := λ + ζ(s)F α [k] (s) 0 vợi mồi s ∈ R, v mởt trong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:
Ph÷ìng trẳnh λϕ(s) + k ⊗ ϕ Σ (s) = f (s) õ nghiằm trong khổng gian L 1 (R) náu v h¿ náu F −α F α f/B
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh õ ổng thù ϕ = F −α
(3.4) ành lỵ 3.1.3 GiÊ sỷ rơng
C(s) := λ + η(s)F α [k] (s) ƒ= 0 vợi mồi s ∈ R, v mởt trong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:
Ph÷ìng trẳnh λϕ(s) + k ⊕ ϕ Σ (s) = f (s), õ nghiằm trong khổng gian L 1 (R) náu v h¿ náu F −α F α f/C
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh õ ổng thù ϕ = F −α
(3.5) ành lỵ 3.1.4 GiÊ sỷ rơng
C n (s) := λ + Φ n (s)F α [k] (s) ƒ= 0 vợi mồi s ∈ R, v mởt trong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:
Ph÷ìng trẳnh λϕ(s) + k ⊖ ϕ Σ (s) = f (s) õ nghiằm trong khổng gian L 1 (R) náu v h¿ náu F −α
L 1 (R) Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh õ ổng thự
Chúng tổi tiáp tử mð rởng Ă kát quÊ trản ho Ă phữỡng trẳnh tẵ h phƠn vợi hêp ữủ ành nghắa trong
Cử thº, húng tổi sỷ dửng hung kỵ hiằu Θ v θ(x) tữỡng ựng vợi toĂn tỷ hêp v h m trồng trong Ă b i bĂo n y X²t phữỡng trẳnh tẵ h phƠn: λϕ(s) + kΘϕ Σ (s) = f (s), trong õ λ ∈ C v k ∈ L 1 (R) ho trữợ, v ϕ ữủ tẳm trong khổng gian n y.
T (s) := λ + θ(s)F α [k] (s) ành lỵ 3.1.5 GiÊ sỷ rơng T (s) ƒ= 0 vợi mồi s ∈ R, v mởt trong ¡ iãu kiằn sau thọa mÂn:
Phữỡng trẳnh (3.7) õ nghiằm L 1 (R) náu v h¿ náu
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh ữủ ho bði ổng thự ϕ = F −α
Chúng tổi bọ qua hựng minh ừa ành lỵ n y do õ sỹ tữỡng tỹ vợi ¡ h hùng minh ành lþ 3.1.1.
Vẵ dử 3.1.1 Phữỡng trẳnh sau l mởt vẵ dử minh hồa ho ¡ ành lþ
Chúng tôi nghiên cứu về các hàm giải trong không gian L²(R) và L¹(R), với các giới hạn liên quan đến phương trình hệp λϕ(x) + (kΘϕ)(x) = f(x) Các tham số λ thuộc C và k là hằng số trong các điều kiện đã được chỉ định Nghiên cứu này sẽ cung cấp cái nhìn sâu sắc về các hàm giải trong các không gian khác nhau, từ đó mở rộng ứng dụng trong các lĩnh vực liên quan.
37, 42, 46℄ Chúng tổi lỹa hồn k(x) = e −a|x| vợi ℜ(a) > 0 , f (x) = e − 2 1 2 x Dạ d ng h¿ ra rơng k, f ∈ L 1 (R) Chúng tổi kỵ hiằu K α (x) l bián ời Fourier phƠn thù õa k Hiºn nhiản ta õ |θ(x)| = 1 , v vợi mội giĂ trà λ ố ành, h m sè
M (x) = λ + θ(x)K α (x), l bà h°n v liản tử , d n tợi λ khi |x| → +∞
• Trữớng hủp λ 0 Ta õ K α ∈ L 1 (R) Thảm v o õ, húng ta n hú ỵ rơng θ(x)K α (x) l liản tử v bà h°n v triằt tiảu tÔi vổ ũng.
Do õ, náu λ l tũy ỵ v ừ lợn, thẳ M (x) ƒ= 0 vợi mồi x GiÊ thiát
|λ| > max x∈R |θ(x)K α (x)| l ừ º Êm bÊo rơng M (x) l mởt h m khĂ khổng Têp trung v o giÊ thiát thự hai, hóng ta â
Do õ, phữỡng trẳnh  ho l giÊi ữủ v húng ta thu ữủ ổng
∈ L ( thự nghiằm dÔng hiºn nhữ Â h¿ ra trong Ă ổng thự (3.2), (3.4), (3.5), (3.6), v (3.8) Cử thº, do k(x) = e −a|x| vợi ℜ(a) > 0 , f (x) = e − 1 x 2 , nản k, f ∈ L 1 (R) Khi phữỡng trẳnh ữủ x²t trong vẵ dử n y l mởt trong Ă hêp (2.6), (2.9), (2.12),
(ho° hêp ữủ ã xuĐt trong [13, 37, 42, 46℄), giÊ thiát trong Ă ành lỵ 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4, v 3.1.5 ữủ thọa mÂn (nh÷ ¢ h¿
2 ra ð trản), nản ổng thự nghiằm hiºn s³ ữủ hồn trong Ă ành lỵ vứa nảu tữỡng ựng vợi phữỡng trẳnh hêp ữủ x²t.
• Trữớng hủp L ta õ 1 (R) Ch¯ng hÔn, vợi trữớng hủp Fourier thữớng, λ = 0 Chúng ta õ thº h¿ ra F α [f ]/F α [k] ∈
Nghiằm n y thuở khổng gian L 1 (R), v do õ nõ thọa m Ân Ă iãu kiằn ừa ành lỵ 3.1.5.
Trong Ê hai trữớng hủp, Ă iãu kiằn ừa ành lỵ 3.1.1,
3.1.2, 3.1.3, 3.1.4, 3.1.5 ữủ thọa mÂn, do õ phữỡng trẳnh  ho õ nghiằm v ổng thự nghiằm dÔng hiºn nhữ  phƠn tẵ h ho trữớng hủp λ ƒ= 0 ð trản.
Phữỡng trẳnh tẵ h phƠn vợi nhƠn Hermite
Trong ph n n y, húng tổi x²t Ă phữỡng trẳnh tẵ h phƠn vợi nhƠn ừa húng ữủ hẳnh th nh bði hai h m Hermite Cử thº, °t φ m , φ n l h m Ă Hermite ho trữợ , v k 1 , k 2 l Ă h m thuở khổng gian
L 1 (R) º ỡn giÊn hõa ổng thự , húng tổi kỵ hiằu
1 2 e imα e i2a(v 2 +us−uv−sv) ho m ∈ N Chúng tổi s³ trẳnh b y iãu kiằn n v ừ ho viằ giÊi lợp Ă phữỡng trẳnh tẵ h phƠn õ dÔng λϕ(s) + 1 2 α
(3.10) trong õ λ ∈ C v p ∈ L 1 (R) ữủ ho trữợ , v ϕ l mởt h m hữa biát trong khổng gian L 1 (R) Chú ỵ rơng E m−ch l mởt hirp v |E m−ch | = 1
Chóng ta suy ra k 1 [E m−ch ] −1 ∈ L 1 (R) v (ho° ) k 2 [E n−ch ] −1 ∈
L 1 (R) náu v h¿ náu k 1 ∈ L 1 (R) v (ho° ) k 2 ∈ L 1 (R) mởt Ă h t÷ìng ùng Do â, sỹ xuĐt hiằn ừa nhƠn tỷ
Phương trình (3.10) không mang tính bất biến khi có sự biến đổi Thực tế, sự xuất hiện của các thành phần k1 và k2 trong không gian L1(R) cho thấy rằng chúng ta có thể viết lại các biểu thức như sau: k1 = Em-ch [(Em-ch)−1 k1] và k2 = En-ch [(En-ch)−1 k2] Điều này cho thấy các biến đổi này giữ nguyên tính chất của các hàm số trong không gian L1(R) Do đó, phương trình (3.10) có thể được xem như một phương trình tổng quát hơn trong bối cảnh này.
Hermite phờ quĂt gỗm nhiãu Ă phữỡng trẳnh tẵ h phƠn khĂ nhau Cõ mởt v i trữớng hủp ° biằt ừa phữỡng trẳnh (3.10) xuĐt hiằn trong Ă b i toĂn kÿ thuêt (xem
[17, 18℄). º giÊi phữỡng trẳnh n y, húng tổi ành nghắa thảm toĂn tỷ hêp. ành nghắa 3.1.1 Chêp ⊘ ữủ ành nghắa bði ổng thự e imα h(s) := (f ⊘ g) (s)
(3.11) thọa mÂn tẵnh hĐt dữợi Ơy: ǁf ⊘ gǁ 0 ≤ ǁφ n ǁ 0 ǁf ǁ 0 ǁgǁ 0 , (3.12)
Toán tỷ ữủ ành nghắa bði (3.11) được suy ra từ toán tử ữủ ành nghắa bði (2.18) Huyºn ời vai trỏ ừa u v v trong biểu diễn tẵ h phƠn (2.18) cho phép chúng ta suy ra ữủ (3.11) và (3.12) Theo nghĩa này, toán tỷ (3.11) không phải là một hệ mối Thay vào đó, nó là một dãy hành nhỏ từ hệ thống đã được phác thảo Ảnh lỵ 2.3.4 liên quan đến hệp (3.11) cho thấy sự kết nối giữa các thành phần trong nghiên cứu.
Mằnh ã 3.1.2 l n thiát ho hựng minh ành lỵ 3.1.6
Tuy nhiản, ph²p hựng minh ho Mằnh ã 3.1.2 ho n to n tữỡng tỹ nhữ hựng minh Mằnh ã 3.1.1 nản húng ta s³ bọ qua.
Mằnh ã 3.1.2 (1) Náu λ ƒ= 0 , thẳ D(x) ƒ= 0 vợi mồi x nơm ngo i mởt khoÊng hỳu hÔn
(2) GiÊ thiát rơng λ ƒ= 0 v D(x) ƒ= 0 vợi mồi x ∈ R , thẳ h m sè
Quy trình hứng minh định lý 3.1.6 liên quan đến những yếu tố kết hợp giữa hai phương trình Để chứng minh định lý 3.1.6, cần thiết lập điều kiện D(x) = 0 với mọi x ∈ R, trong đó mở một trong các điều kiện sau thỏa mãn.
Phữỡng trẳnh (3.10) õ nghiằm trong khổng gian L 1 (R) náu v h¿ náu
Trong trữớng hủp n y, nghiằm ừa phữỡng trẳnh ữủ ho bði ϕ = F −α Σ D Fα Σ
Chứng minh rằng chúng ta có thể thiết lập một hàm liên tục Dựa vào định lý, hàm số liên tục thuộc lớp L1(R) Sử dụng biến đổi Fourier, chúng ta có thể thu được một biểu thức cho hàm số này, bao gồm các thành phần từ phương trình (3.10) và các hàm Fα[ϕ](x) cùng với φm(x)F−α[k1](x).
F −α [ϕ](x) = F α [p](x) (3.18) Trong ¯ng thự n y, thay α bði −α húng ta thu ữủ hằ hai ph÷ìng trẳnh h m
(x) ành thự liản quan án hằ n y ữủ ho bði (3.14), (3.15), v (3.16).
(x) , λ + φ m (x) F −α [k 1 ] (x) , φ n (x) F α [k 2 ] (x) , φ n (x) F −α [k 2 ] (x) liản tử v bà h°n trản R , húng ta õ D F α , D F −α ∈ L (R) Vẳ h m số 1/D(x) liản tử v bà h°n trản R (tham khÊo Mằnh ã 3.1.2) v 1 D F ,
D ∈ L 1 (R) p dửng bián ời ngữủ , hóng ta tẳm ữủ ổng thự nghiằm nhữ trong phĂt biºu ừa ành lỵ n y iãu kiằn n ữủ hựng minh. iãu kiằn ừ X²t h m số ϕ = F −α Σ
Sỷ dửng Ă ¯ng thự nhƠn tỷ hõa ho ⊘ v ⊚ , húng ta thu ữủ
Dỹa và ảnh hưởng đến tình duy nhất của F khi α tăng lên, dẫn đến sự mở rộng không gian thỏa mãn phương trình (3.10) với h u khp x ∈ R Do đó, trường hợp (i) cho thấy ảnh hưởng minh bạch Trường hợp (ii) chứng minh rằng ảnh hưởng minh bạch cũng tồn tại tương tự như trường hợp (i) Chứng minh này khẳng định tính chính xác của kết luận.
LĐy mău v khổi phử tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n trong miãn Fourier phƠn thự
ành lþ l§y m¨u
ành lỵ 3.2.1 Cho x(t) l mởt tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n
[−Ω h , Ω h ] theo nghắa Fourier phƠn thự, tẵn hiằu x(t) õ thº ữủ khổi phử tứ mău ãu x(nT ) bði ổng thự x(t)
) Ω ] n Σ =−∞ x (nT ) e ia(nT ) ab (t − nT ) α , (3.20) trong â n Z , T π l hu ký l§y m¨u v Ω
Chựng minh Cổng thự mău ãu ừa tẵn hiằu ữủ ho bði xˆ = x(t) s δ (t) = x(t)
+ n=−∞ δ(t − nT ), (3.21) trong õ T l hu ký lĐy mău v s δ (t) l huội xung lỹ ãu vợi bián ời
Fourier ừa nõ ữủ ho bði
Sỷ dửng ành lỵ tẵ h ho bián ời Fourier phƠn thự, húng ta â ˆ | csc α | iau 2
u csc α − n 2π Σ , trong õ ∗ kỵ hiằu ho hêp ờ iºn ữủ ho bði ổng thự
|a| δ (u − b/a) = δ(au − b), ừa h m δ , húng ta thu ữủ
Phương trình (3.23) cho thấy rằng phần tử tán xạ của hàm Xα(u) được lập lại với hệ số 1/(T csc α) Sau đó, mẫu của hàm này cho thấy rằng phần tán xạ thực tế của Xˆα(u) có sự khác biệt so với Xα(u) khi tỷ lệ tần số là 1/T với n = 0, trong khi khi n khác 0, nó thể hiện sự khác biệt rõ rệt với tỷ lệ tần số là 1/T, dẫn đến sự so sánh giữa Xα(u).
Náu x(t) l tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n theo nghắa
Fourier ph¥n thù, ho° nâi kh¡ i, kho£ng gi¡ õa X α (u) l
(−Ω h , Ω h ) , thẳ hiằn tữủng hỗng lĐp phờ phƠn thự khổng xÊy ra trong X ˆ α (u) sau lĐy mău khi v h¿ khi
T |csc α| ≥ 2Ω h , tù l hóng ta â t n sè l§y m¨u
Do õ, X α (u) õ thº ữủ khổi phử lÔi, v Ă th nh ph n phờ ph¥n thự l°p lÔi khĂ s³ ữủ lồ ra bơng Ă h sỷ dửng bở lồ thổng thĐp õ hằ số T v t n số t Ω α ( Ω α ∈ [Ω h , ω s /| csc α|
− Ω h ] ) trong miãn Fourier phƠn thự H m truyãn dăn ừa bở lồ ữủ ho bði ổng thự
Tẵn hiểu gố x(t) là một phương pháp quan trọng trong việc phân tích tín hiệu thông qua biến đổi Fourier Việc xác định số lượng tần số trong khoảng giá trị [Ωh, ωs/|csc α| - Ωh] giúp làm rõ các thành phần tần số trong tín hiệu, từ đó hỗ trợ cho việc phân tích và xử lý tín hiệu hiệu quả hơn.
X ˆ α (u) v gÔt bọ hát Ă th nh ph n α án l¤i.
Chúng tổi Ăp dửng ¯ng thự nhƠn tỷ (2.14) º xƠy dỹng ổng thự khổi phử ho tẵn hiằu GiÊ sỷ rơng Y ˆ α (u) = H α (u) Ta â y(t) =
= 2π e −ia(t +u −2btu) Y ˆ α (u)e iau −iu du
X ˆ α (u)Y ˆ α (u) = F α [xˆ(t) ⊙ y(t)] (u), u ra ừa bở lồ thổng thĐp ữủ ho bði x(t) =xˆ(t) ⊙ y(t) c −iat 2 Σ iat 2
2 sin [2ab (t − τ ) Ω α ] 2ab (t − τ ) dτ, iãu n y tữỡng ữỡng vợi
2 e −iat 2 sin [2 ab ( t − nT ) Ω ] n Σ =−∞ x (nT ) e ia(nT ) ab (t − nT ) α (3.24)
Biºu thự (3.24) l ổng thự khổi phử ho tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n trong miãn Fourier phƠn thự.
Cổng thực khối phủ tán hiệu quả của Xia và cổng thực mới đã chứng tỏ sự khác biệt rõ rệt trong việc ứng dụng Đp Ă Hai cổng thực này xuất phát từ những ứng dụng khác nhau Cụ thể, trong khi cổng thực (1.30) sử dụng băng tần áp dụng Shannon để phân tích và xem xét lưới mẫu, cổng thực mới cho phép thu thập từ việc áp dụng hệ liên kết với biến đổi Fourier Hơn nữa, với tán hiệu quả, nó cho phép cải thiện khả năng hoạt động trong áp dụng, thể hiện qua biểu thức (1.30) và (3.20) với các tham số tương ứng, tạo điều kiện cho việc tối ưu hóa trong khoảng [Ω h, ω s /| csc α|−Ω h].
Mổ phọng
º minh hồa ho kát quÊ vứa trẳnh b y ð trản, húng tổi x²t vẵ dử x(t) = sin (0.6πt) e −it 2
Bài viết này đề cập đến hàm sin (0.6πt) và cách nó tương tác với các hàm cos trong miền Fourier Cụ thể, chúng ta xem xét hàm x(t) có dạng sin với tần số 0.6π, và xác định rằng cos α = 2, từ đó dẫn đến việc phân tích hàm Fourier với các thành phần tương ứng Việc hiểu rõ về các tần số và hàm số này là rất quan trọng trong việc áp dụng lý thuyết Fourier vào thực tiễn.
Hẳnh 3.1: Ph n thỹ ừa tẵn hiằu gố
Hẳnh 3.2: Ph n thỹ ừa tẵn hiằu ữủ khổi phử continuous time signal 1
Hẳnh 3.3: Ph n Êo ừa tẵn hiằu gố
Hẳnh 3.4: Ph n Êo ừa tẵn hiằu ữủ khổi phử
Sỷ dửng ành lỵ 3.2.1, hu ký lĐy mău T phÊi thọa m Ân iãu kiằn
Chúng tổi lỹa hồn T = 1 Do õ, viằ hỗng lĐp phờ khổng xÊy ra sau lĐy mău náu t n số t nơm trong khoÊng Σ 0 6 π 4 π 0 6 π Σ
Chúng tổi hồn re al( sig nal
) re al( sig nal ) im ag
(si gn al) im ag
Biºu thự khổi phử ho tẵn hiằu gố vợi t n số lĐy mău f s
= 2Hz v khoÊng thới gian [0s, 5s] ữủ ho bði i 200 Σ n ΣΣ
Hẳnh 3.1 v Hẳnh 3.3 biºu diạn mởt ph n tẵn hiằu gố Hẳnh 3.2 v Hẳnh
3.4 biºu diạn mởt ph n tẵn hiằu ữủ khổi phử
Lồ nhƠn trong miãn Fourier phƠn thự
Lồ nhƠn trong miãn Fourier phƠn thự
Hẳnh 3.5: Bở lồ nhƠn trong miãn Fourier phƠn thự
Mổ hẳnh ỡn giÊn ho bở lồ nhƠn trong miãn Fourier phƠn thự ữủ thº hiằn trong Hẳnh 3.5 Để thực hiện điều này, chúng ta chuyển đổi hàm r in (t) sang miãn Fourier phƠn thự gõ α Kết quả cuối cùng là Ênh Fourier phƠn thự n y ữủ nhƠn vợi h m.
(t) = e it − sin (0.3πn) sin π α t − π n=−20 t − n truyãn tÊi H α (u) Cuối ũng, húng ta huyºn kát quÊ vã lÔi miãn thới gian bơng bián ời Fourier phƠn thự ngữủ gõ
−α º tẳm tẵn hiằu gố r out (t) Cổng thự ho bở lồ trong miãn Fourier phƠn thự ữủ ho dữợi ¥y r out (t) = F −α [H α × F α [r in ]] (t)
Trong miền Fourier, có nhiều loại lỗ hổng khác nhau mà chúng ta cần thu thập, bao gồm lỗ hổng thổng thập, thổng ao, hẹn dày, và phử thừa Những lỗ hổng này ảnh hưởng đến quá trình phân tích và truyền tải thông tin trong các hệ thống truyền thông.
Bồ lồ nhơn trong miền Fourier phận thự ẩn thu thổng qua phép hẹp trong miền thời gian Theo đó, từ (2.8), với giá trị thiết lập mY ˆ α (u) đóng vai trò hàm truyền tải trong bồ lồ nhơn, H α (u) ẩn chứa thông tin quan trọng.
Tứ (2.6) v (2.8), tẵn hiằu u ra õ thº ữủ viát nhữ sau c −iat 2 Σ iat 2
Hẳnh 3.6 minh hồa ho bở lồ nhƠn thự hai.
Phương pháp biểu diễn trong Hình 3.6 có nhiều ưu điểm hơn so với phương pháp biểu diễn trong Hình 3.5 Lý do là do lồ nhơn thống qua hệp trong miền Fourier phân thức ở khối lưỡng tĩnh toán bằng với hệp Fourier, trong khi lồ nhơn thống thường nán hai l n tĩnh toán ho biến đổi Fourier phân thức Bởi vậy, hệp * là phương pháp biểu diễn tĩnh toán qua biến đổi Fourier nhanh, nản bởi lồ qua hệp s³ hữu ích hơn trong các bài toán thực tiễn.
Khi xem xét mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống, ta có thể sử dụng công thức 2r out (t) = r in (t) ⊙ y(t) = √(2π) e^r in (t)e ∗ y t + 2ab e.h nh Khối lượng tính toán trong hàm Fourier có thể đạt được hiệu suất O(n log n) thông qua việc áp dụng các kỹ thuật tối ưu hóa, trong khi khối lượng tính toán thông thường của phương pháp Fourier là O(n^2).
Hẳnh 3.6: Bở lồ nhƠn trong miãn Fourier phƠn thự thổng qua hêp trong miãn thới gian
Cổng thực ừa hợp mới là một giải pháp hiệu quả cho việc thu hút khách hàng, giúp tăng cường sự hiện diện và nhận diện thương hiệu Bởi lẽ, việc sử dụng cổng thực ừa không chỉ đơn thuần là một xu hướng mà còn mang lại nhiều lợi ích vượt trội so với các phương pháp truyền thống Sự kết hợp giữa công nghệ và thiết kế sáng tạo đã tạo ra những cổng thực ừa độc đáo, thu hút sự chú ý và tương tác của người dùng.
Mổ phọng
Trong ph n n y, húng tổi trẳnh b y mởt vẵ dử ho bở lồ nhƠn trong miãn Fourier phƠn thự.
Giá trị của phân phối Wigner (WD) được sử dụng để mô tả các trạng thái lượng tử trong một không gian thời gian-n số Hình 3.7 minh họa rằng trong một thí nghiệm, hai đường thẳng song song có thể giữ trạng thái lượng tử đồng thời Trong trường hợp này, hàm truyền sóng cũng được xem xét để phân tích các tương tác trong hệ thống lượng tử.
Hẳnh 3.7: Sỷ dửng WD º lồ tẵn hiằu khổng mong muốn qua bở lồ h°n d£i ph¥n thù ữủ viát lÔi th nh
Gõ phƠn thự v t n số t ữủ tẵnh toĂn nhữ dữợi Ơy (Hẳnh 3.7) α = cot −1 ω 1
) /2, Ơy, húng tổi lỹa hồn tẵn hiằu gố l x(t) = e −t 2 Tẵn hiằu Gauss v phƠn phối Wigner ừa nõ l n lữủt ữủ mổ tÊ trong Hẳnh 3.8a v 3.8b.
Chúng tổi giÊ thiát rơng tẵn hiằu x(t) bà l m nhiạu bði hirp n(t) = e i(t+10) 2
Tẵn hiằu hựa nhiạu r in (t) v phƠn phối Wigner ừa nõ l n lữủt ữủ mổ tÊ trong Hẳnh 3.8 v 3.8d.
(a) Ph n thỹ ừa tẵn hiằu gố (b) PhƠn phối Wigner ừa tẵn hiằu gố
( ) Ph n thỹ ừa tẵn hiằu hựa nhiạu (d) PhƠn phối Wigner ừa tẵn hiằu hựa nhiạu
Hẳnh 3.8: Tẵn hiằu gố v tẵn hiằu hựa nhiạu
Hẳnh 3.9: Ph n thỹ tẵn hiằu u ra ừa bở lồ nhƠn thu ữủ qua hêp mợi.
Trong vẵ dử n y, húng ta õ
Mối liên hệ giữa các thông số được phân tích trong nghiên cứu cho thấy giá trị MSE đạt 1.4236 x 10^-4 Hình 3.9 minh họa rõ nét mối quan hệ giữa các biến số, trong khi đó, việc so sánh thời gian tính toán giữa hai mô hình được thực hiện trên MATLAB (phiên bản R2013a) trên máy PC với CPU Intel(R) Core(TM)2 Duo 2.13GHz.
GB RAM Kát quÊ ho thĐy
T n số lĐy mău KhoÊng lĐy mău Chêp
BÊng 3.1: So sĂnh thới gian tẵnh toĂn ừa hai bở lồ bở lồ nhƠn thổng qua hêp giúp giÊm thiºu thới gian tẵnh toĂn so vợi bở lồ nhƠn thổng thữớng.
Trong hướng này, bài viết trình bày về Ă kát quÊ hẵnh Ôt, bao gồm chứng minh tính giải ủ vữa ra ống thực nghiệm hiện hoá các phương trình tẵ h phƠn dÔng hêp và phương trình tẵ h phƠn vợi nhân Hermite Hơn nữa, bài viết cũng đề cập đến việc khởi phử tẵn hiằu ho tẵn hiằu theo nghĩa Fourier phân thự, thiết kế bở lồ nhân trong miền Fourier.
phƠn thự thổng qua hêp trong miãn thới gian CĂ kát quÊ trong xỷ lỵ tẵn hiằu ữủ thỷ nghiằm số v mổ phọng bơng ph n mãm Matlab.
Kát luên ừa luên Ăn
CĂ kát quÊ hẵnh ừa luên Ăn bao gỗm:
1 XƠy dỹng Ă hêp liản kát vợi bián ời Fourier phƠn thự, hựng minh Ă tẵnh hĐt ỡ bÊn v bĐt ¯ng thự Young ừa Ă hêp n y; so sĂnh Ă hêp xƠy dỹng ữủ vợi Ă hêp  õ; sỷ dửng húng º thiát lêp khổng gian L 1 (R) trð th nh Ôi số
2 Sỷ dửng Ă hêp ữủ ã xuĐt trong viằ giÊi Ă lợp phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp, phữỡng trẳnh tẵ h phƠn vợi nhƠn Hermite, h¿ ra iãu kiằn n v ừ ho tẵnh giÊi ữủ ng nhữ nghiằm tữớng minh ừa Ă b i to¡n n y;
3 Sỷ dửng Ă hêp ữủ ã xuĐt º hựng minh ổng thự khổi phử tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n trong miãn Fourier phƠn thự, ung Đp vẵ dử minh hồa;
4 Sỷ dửng Ă hêp ữủ ã xuĐt º thiát ká bở lồ nhƠn trong miãn Fourier phƠn thự, ung Đp vẵ dử minh hồa.
Luên Ăn mð ra mởt số hữợng nghiản ựu tiáp theo:
1 Sỷ dửng lới giÊi v ổng thự nghiằm hiºn ừa Ă phữỡng trẳnh tẵ h phƠn dÔng hêp  nghiản ựu trong luên Ăn v o Ă b i toĂn kÿ thuêt ử thº;
2 Tiáp tử ựng dửng Ă hêp ữủ ã xuĐt º Êi tián bở lồ trong miãn Fourier phƠn thự;
3 Tẳm lới giÊi ho b i toĂn khổi phử tẵn hiằu õ dÊi t n bà h°n trong miãn Fourier phƠn thự tứ mău khổng ãu.
Danh mử Ă ổng trẳnh liản quan án luên Ăn
(2017), "Two new onvolutions for the fra tional Fourier transform", Wireless Personal Communi ations 92 (2), pp 623
"Inequali- ties and onsequen es of new onvolutions for the fra tional Fourier transform with Hermite weights", AIP Pro eedings 1798, 020006.
(2019), "New sam- pling theorem and multipli ative filtering in the FRFT domain", Sig- nal, Image and Video pro essing , DOI: 10.1007/s11760-019-01432-5 (Trong danh mử SCIE)
4 P T Thao, N M Tuan, "Convolution theorem andWiener algebra asso iated with the FrFt"(submitted).
[1℄ T Alieva, V Lopez, F Agullo-Lopez, L.B Almeida
(1994), "The fra tional Fourier transform in opti al propagation problems", J Modern Opt 41, pp. 1037-1044.
[2℄ L.B Almeida (1994), "The fra tional Fourier transform and time- frequen y representation", IEEE Trans Sig Pro 42, pp 3084 3091.
[3℄ L.B Almeida (1997), "Produ t and onvolution theorems for the fra tional Fourier transform", IEEE Signal Pro essing Letters 4(1), pp 15 17.
[4℄ G.E Andrews, R Askey, R Roy (1999), Spe ial Fun tions, En y- lopedia of Mathematis and its Appli ations , Cambridge University Press, Cambridge.
[5℄ B Barshan, B Ayrulu (2002), "Fra tional Fourier transform pre- pro essing for neural networks and its appli ation to obje t re og- nition", Neural Networks 15(1), pp 131 140.
[6℄ W Be kner (1975), "Inequalities in Fourier analysis", Annals of Math 102, pp 159-182.
[7℄ H.J Bras amp, E.H Lieb (1976), "Best onstants in Young's in- equality, its onverse and its generalization to more than three fun tions", Adv Math 20, pp 151-173.
[8℄ R.N Bra ewell (1986), The Fourier Transform and its Appli a- tions , M Graw-Hill Press, New York.
[9℄ E Chu (2008), Dis rete and Continuous Fourier Transforms: Anal- ysis , Appli ations and Fast Algorithms, CRC Press.
[10℄ L Cohen (1989), "Time-frequen y distributions-A review", Pro
D Cui (2009) presented a dual digital watermarking algorithm for images utilizing fractional Fourier transform techniques at the Second Pacific-Asia Conference on Web Mining and Web-based Applications (WMWA 09) in Wuhan, China The research, documented in the conference proceedings, spans pages 51 to 54 and highlights advancements in digital watermarking for enhanced image security.
[12℄ A.S Demidov (2001), Generalized Fun tions in Mathemati al Physi s : Main Ideas and Con epts , Nova Publishers.
[13℄ B Deng, R Tao, Y Wang (2006), "Convolution theorems for the linear anoni al transform and their appli ations", S i China Inf S i 49 (5), pp 592 603.
[14℄ I Djurovi , S Stankovi , I Pitas (2001), "Digital watermarking in the fra tional Fourier transformation domain", J Network Com- put Appl 24(2), pp 167 173.
The paper by Erden, Kutay, and Ozaktas (1999) discusses the applications of the fractional Fourier transform in the fields of filtering, estimation, and restoration of signals and images Presented at the IEEE-EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing in Antalya, Turkey, the research highlights the effectiveness of this mathematical tool in enhancing signal processing techniques The findings, detailed on pages 481 to 485, contribute to the understanding of advanced methodologies in nonlinear signal and image processing.
[16℄ B.Z Li, R Tao, Y Wang (2007), "New sampling formulae for the fra tional Fourier transform", Signal Pro essing 87, pp 983-990.
[17℄ F Gar ẵa-Vi ente, J M Delgado, C Peraza (1998),
"Experimental determination of the onvolution kernel for the study of the spatial response of a dete tor", Med Phys 25, pp 202-207.
[18℄ F Gar ẵa-Vi ente, J M Delgado, C Rodriguez
(2000), "Exa t analyti al solution of the onvolution integral equation for a general profile fitting fun tion and Gaussian dete tor kernel", Phys Med Biol 45, pp 645-650.
"Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their onvolutions", Integral Equations Operator Theory 65, pp 363 386.
"Convolutions for the Fourier transforms with geometri variables and appli ations", Math Na hr
"Linear and quadrati time-frequen y signal representations", IEEE Signal Pro ess Mag 9(2), pp.
(1997), "Optimal filtering in fra tional Fourier domain", IEEE Trans Signal Pro ess 45(5), pp 1129- 1143.
[23℄ S.-G Liu, H.-Y Fan (2009), "Convolution theorem for the three- dimensional entangled fra tional Fourier transformation dedu ed from the tripartite entangled state representation", Teoret Mat Fiz 161(3), pp 459 468.
[24℄ A.C M Bride, F.H Kerr (1987), "On Namia's fra tional order Fourier transform", IMA J Appl Math
[25℄ D Mendlovi , H.M Ozaktas (1993), "Fra tional Fourier transforms and their opti al implementation: I", J Opt So Amer A 10, pp 1875 1881.
[26℄ V Namias (1980), "The fra tional Fourier transform and its appli- ation to quantum me hani s", J Inst Math Appl
[27℄ S.C Pei, J.J Ding (2001), "Relations between fra tional operations and time-frequen y distributions, and their appli ations", IEEE Trans Signal Pro ess 49(8), pp 1638 1655.
[28℄ S.C Pei, M.H Yeh, C.C Tseng (1999), "Dis rete fra tional Fourier transform based on orthogonal proje tions", IEEE Trans Signal Pro ess 47(5), pp 1335 -1348.
[29℄ H.M Ozaktas, D Mendlovi (1993), "Fra tional Fourier transforms and their opti al implementation: II", J Opt So Amer A 10, pp 2522 2531.
"Convolution and filtering in fra tional Fourier domains", Opti al Review 1(1), pp 15 16.
(1994), "Con- volution, filtering, and multiplexing infra tional Fourier domains and theirrelation to hirp and wavelet transform", J Opt So Amer A 11(2), pp 547 559.
[32℄ H.M Ozaktas, O Ar kan, M.A Kutay, G Bozda g
(1996), "Digi- tal omputation of the fra tional Fourier transform", IEEE Trans Signal Pro essing 44, pp 2141 2150.
[33℄ H.M Ozaktas, Z Zalevsky, M.A Kutay (2001), The Fra tional Fourier Transform with Appli ations in Opti s and Signal Ppro- essing , John Wilay and Sons, New York.
[34℄ W Rudin (1991), Fun tional Analysis, 2nd edit , M Graw-Hill, New York.
[35℄ Q Ran, H Zhang, J Zhang, L.Tang, J Ma (2009),
"Defi ien ies of the ryptography based on multiple- parameter fra tional Fourier transform", Opti s Letters 34(11), pp 1729 1731.
[36℄ K K Sharma, S D Joshi (2005), "Fra tional Fourier transform of bandlimited periodi signals and its sampling theorems", Opti s Comm 256, pp 272-278.
[37℄ A.K Singh, R Saxena (2012), "On Convolution and Produ t The- orems for FRFT", Wireless Personal Comm 65(1), pp 189 201.
[38℄ A Stern (2006), "Sampling of linear anoni al transformed sig- nals", Signal Pro ess 86, pp 1421 1425.
"Sampling and sampling rate onversion of bandlimited signals in the fra tional Fourier transform domain", IEEE Trans Signal Pro ess 56 (1), pp 158 171.
[40℄ E.C Tit hmarsh (1986), Introdu tion to the Theory of Fourier In- tegrals, 3rd edit , Chelsea Publishing Co., New York.
[41℄ D Wei, Q Ran (2013), "Multipli ative filtering in the fra tional Fourier domain", Signal, Image and Video Pro essing 7(3), 575 580.
[42℄ D Wei, Q Ran, Y Li, J Ma, L Tan (2009), "A onvolution and produ t theorem for the linear anoni al transform", IEEE Signal Pro ess Lett 16(10), pp 853 856.
[43℄ D Wei, Q Ran, Y Li (2012), "Sampling of fra tional bandlim- ited signals asso iated with fra tional Fourier transform", Inter J Light Ele tron Opt 132(2), pp 137-139.