Ứng dụng phương pháp lọc bayes và mô hình markov ẩn trong bài toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu

MáT Să KI N THÙC CHU N BÀ 7

ThŁng kả Bayes

Trong những năm gần đây, sự phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính và khoa học toán học đã dẫn đến việc ứng dụng thống kê ngày càng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như y học, kinh tế, giáo dục và môi trường Tuy nhiên, sự phát triển này cũng bộc lộ một số khuyết điểm, đặc biệt là trong các phương thức tính toán phức tạp và việc xử lý thông tin Điều này đã khiến cho nhiều học giả, đặc biệt là các chuyên gia, chuyển hướng sang thống kê Bayes Trong thống kê Bayes, tham số được coi là một biến ngẫu nhiên, với phân phối của biến ngẫu nhiên này được gán cho một phân phối tiên nghiệm, giúp biểu diễn thông tin và giá trị chân thực của tham số Qua đó, chúng ta có thể gán cho tham số một phân phối xác suất nhất định, bằng cách kết hợp giữa các thông tin trước và trong khi quan sát, từ đó thu thập được thông tin mà chúng ta mong muốn.

Thống kê Bayes sử dụng hai nguồn thông tin: thông tin tiềm nghiệm và thông tin chứa trong dữ liệu Phương pháp này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến số và cải thiện khả năng dự đoán dựa trên các quan sát trong quá khứ Việc kết hợp hai loại thông tin này cho phép phân tích sâu hơn và đưa ra quyết định chính xác hơn trong nhiều lĩnh vực.

1.1.1.Cổng thức xĂc suĐt ƒy ı - Bayes

Cì sð cıa suy lu“n Bayes, hay còn gọi là định lý Bayes, là một phương pháp cho phép dự đoán xác suất xảy ra của một sự kiện ngẫu nhiên dựa trên các thông tin liên quan đã biết.

- Cổng thức xĂc suĐt ƒy ı:

Cho fB1; :::; Bkg l mºt hồ ƒy ı, A l mºt bi‚n cŁ ngÔu nhiản, khi õ ta cõ cổng thức xĂc suĐt ƒy ı: k

Các biến B1, B2, , Bk được gọi là các giá trị thiết Các xác suất P(B1), P(B2), , P(Bk) được xác định trước khi phép thử được tiến hành, do đó được gọi là xác suất biến duyên hay xác suất tiềm năng (prior).

P (AjBi) l xĂc suĐt cõ i•u kiằn cıa A n‚u bi‚t Bi xÊy ra, cặn ữổc gồi l h m khÊ nông hay h m hổp lỵ (likelihood).

CĂc xĂc suĐt P (B 1 jA); :::; P (B k jA) ữổc xĂc ành sau khi cĂc ph†p thò Â ữổc ti‚n h nh v bi‚n cŁ A Â xÊy ra, do õ gồi l xĂc suĐt h“u nghiằm (posterior).

Suy luận Bayes là quá trình suy luận ra xác suất của tập chính (chưa biết) dựa vào thông tin thu thập được từ tập dữ liệu mà ta quan sát Phương pháp này kết hợp với những thông tin có sẵn trước đó để đưa ra những kết luận chính xác hơn.

Giá trị của tập chính ước kỷ hàu l tham số 2 được coi như một biến ngẫu nhiên, phần bù tiềm năng của nó là cặn dœ liệu ước kỷ hàu l y 2 Y Trong thống kê Bayes, chúng ta quan tâm tới ba hàm phân phối sau:

1 PhƠn phŁi tiản nghiằm ( ) l thổng tin ban ƒu cıa ta v• tham sŁ

2 PhƠn phŁi cıa dœ liằu l f(yj ).

3 Tł hai phƠn phŁi trản v lu“t Bayes, ta t‰nh ữổc phƠn phŁi h“u nghiằm ( jy)cıa tham sŁ

Vợi f(y) l phƠn phŁi thỹc nghiằm cıa dœ liằu ữổc xĂc ành bði cổng thức:

Suy lu“n Bayes trong trữớng hổp tham sŁ rới r⁄c

Biến ngẫu nhiên X được quan sát thông qua biến ngẫu nhiên Y, với các giá trị tham số y1, y2, , yJ Chúng ta có thể suy luận rằng biến ngẫu nhiên XjY = yn dựa vào quy tắc Bayes Gọi f là phân phối xác suất (có điều kiện hoặc không có điều kiện) của biến ngẫu nhiên Y, và g là phân phối chứa tham số biến ngẫu nhiên X.

N‚u X nh“n cĂc giĂ trà x1; x2; :::; xI , phƠn phŁi ỗng thới l f(xi; yj) = g(xi)f(yjjxi): trong â: g(x i ) = P [X = x i ] vợi i = 1; :::; I l xĂc suĐt tiản nghiằm cıa tham sŁ

X , f(yjjxi) = P [Y = yjjX = xi] vợi i = 1; :::; I l h m hổp l‰ Ơy ch‰nh l xĂc suĐt cõ i•u kiằn cıa Y vợi i•u kiằn X = xi

10 Khi õ phƠn phŁi h“u nghiằm cıa XjY = y j l g(x i jy j ) = g(x i ) f(y j jx i ) : (1.3)

Phân tích xác suất tiềm năng của biến ngẫu nhiên rời rạc X là một yếu tố quan trọng trong việc hiểu rõ mối quan hệ giữa các biến Để đánh giá xác suất của mỗi giá trị x trước khi quan sát dữ liệu, ta cần nhận thức rằng nó xuất phát từ kinh nghiệm chứ không chỉ từ dữ liệu Khi quan sát biến Y = y_j, ta có thể xác định hợp lý f(y_j | x_i).

Mºt sŁ vĐn • v• lồc Bayes

Nguồn gốc của lộc Bayes nằm trong lĩnh vực thống kê Nó được xây dựng dựa trên quy tắc ước lượng tối ưu cho hàm phân phối theo nghĩa sai số bình phương tối thiểu.

Lọc Wiener, được phát triển bởi Norbert Wiener vào năm 1950, là một giải pháp quan trọng trong lĩnh vực lọc tín hiệu, đặc biệt là trong việc xử lý các tín hiệu nhiễu theo phân phối Gauss Hiện nay, lọc Wiener vẫn giữ vai trò quan trọng trong các ứng dụng truyền thống, giúp cải thiện độ chính xác và độ tin cậy của các hệ thống truyền thông.

Sỹ th nh cổng cıa lồc tŁi ữu tuy‚n t‰nh chı y‚u l do b i bĂo cıa Kalman (1960), mºt lỵ do cho sỹ th nh cổng cıa bº lồc Kalman l khŁi lữổng t‰nh toĂn nhà hỡn lồc Wiener Mặc dù t‰nh toĂn ỡn giÊn hỡn, những lồc Kalman (hoặc lồc Kalman-Bucy) l⁄i chứa lồc Wiener trong những trữớng hổp riảng cıa nõ Bº lồc Kalman  sợm ữổc phĂt hiằn l thuºc lợp cĂc bº lồc Bayes Việc l m màn Bayes cũng ữổc phĂt tri”n ngay sau khi t… m ra bº lồc Kalman.

Mô hình Kalman là một phương pháp tiếp cận dựa trên lý thuyết Bayes, giúp cải thiện độ chính xác trong việc ước lượng trạng thái của hệ thống Các tính toán trong mô hình Kalman được thực hiện dựa trên các nguyên tắc thống kê, cho phép xử lý thông tin từ nhiều nguồn khác nhau một cách hiệu quả.

[7] v [37] Lồc Kalman sò dửng phữỡng phĂp b…nh phữỡng tŁi thi”u  cõ nhi•u õng gõp trong i•u khi”n tŁi ữu ngÔu nhiản [40],[50],[66].

Hiện nay, lôgic Bayes đang được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phân tích thời gian, phân tích không gian, giám sát từ xa, viễn thông, vật lý, xử lý tín hiệu âm thanh, kỹ thuật điều khiển và nhiều lĩnh vực khác.

Hệ thống định vị toàn cầu (GPS) là một hệ thống định vị và thời gian cực kỳ chính xác Máy thu GPS thường sử dụng bộ lọc Kalman mở rộng (EKF) hoặc một số thuật toán tối ưu khác để tính toán và trả về vị trí hiện tại.

Theo dõi mục tiêu bằng các loại cảm biến như radar, cảm biến tần số vô tuyến, cảm biến âm thanh và cảm biến hồng ngoại là rất quan trọng để xác định và theo dõi vận tốc của một mục tiêu ở xa Việc giám sát mục tiêu di chuyển trong cùng một khu vực là cần thiết, đặc biệt trong các tình huống có nhiều mục tiêu cùng lúc Nhiều hệ thống theo dõi mục tiêu được sử dụng trong giám sát từ xa cho các mục đích quân sự, như theo dõi hướng di chuyển của xe hơi, bảo vệ an ninh và theo dõi con người trong các khu vực nhạy cảm.

I Hướng dẫn quản trị số lượng các cảm biến quản trị như gia tốc kế và máy con quay, tính toán và trả về vận tốc của một thiết bị như xe hơi, máy bay hay tản lòa.

- ành hữợng quĂn t‰nh k‚t hổp cĂc m°t tŁt cıa cĂc cÊm bi‚n vợi nhau.

Sỹ k‚t hổp cĂc nguỗn thổng tin khĂc nhau ữổc thỹc hiằn b‹ng viằc sò dửng bº lồc tŁi ữu chflng h⁄n nhữ bº lồc Kalman mð rºng, xem [7],[28].

- ành và GPS/INS l mºt h…nh thức i•u hữợng quĂn t‰nh t‰ch hổp,nỡi hằ thŁng dÔn ữớng quĂn t‰nh (INS) ữổc k‚t hổp vợi mºt mĂy thu GPS.

Trong lĩnh vực GPS/INS, các ảnh hưởng của GPS được bù đắp bởi các cảm biến quán tính và các cảm biến quán tính được bù đắp bởi bộ thu GPS Điều này giúp tăng cường độ chính xác trong việc truyền thông khi không có tín hiệu trực tiếp giữa máy thu GPS và vệ tinh.

Các phương pháp hình ảnh não như điện não đồ (EEG), chụp từ trường não (MEG), hình ảnh cộng hưởng từ (fMRI) và quang phổ khuếch tán (DOT) được sử dụng để xây dựng dữ liệu cảm biến với nhiều cách sử dụng mức tối thiểu, trong đó mức tối thiểu cụ thể thể hiện theo nghĩa của Bayes như là một ước lượng các quan sát Gaussian.

Sỹ lớy lan của các bệnh truyền nhiễm có thể được mổ phỏng theo phương trình vi phân cho sức khỏe người dân, đặc biệt là bà bầu hoặc bà mẹ đang nuôi con nhỏ Lượng sỹ lớy lan truyền của bệnh có thể được xem như là một vấn đề của lộc tài hữu.

Các quá trình sinh học như sự gia tăng đơn bào, các mô hình thú - mỗi một sự sống đều phản ánh lực khác nhau trong sinh học, cũng như sự tương tác giữa các phương trình vi phân ngẫu nhiên Được lượng hóa trạng thái của các quá trình này, thông qua các phép toán chính xác, có thể xây dựng những mô hình và màn hình thú vị.

Vin thống cụng là một lĩnh vực mà các bộ lọc tĩnh được sử dụng rộng rãi Ví dụ, các máy thu, máy phát tín hiệu có thể hiểu là chứa các bộ lọc tĩnh Ngoài ra, thuật toán Viterbi nổi tiếng có thể được xem như một phương pháp sử dụng để tính toán giải pháp tối ưu cho mô hình Markov ẩn (HMM).

Các ứng dụng xò lỵ tân hiếu âm thanh như phục hồi âm thanh và tông cường tân hiếu âm thanh thường sử dụng mô hình TVAR (thay đổi theo thời gian) dưới dạng các mô hình tân hiếu âm thanh cỡ bên Các loại mô hình này có thể được sử dụng để cải thiện hiệu quả trong việc xử lý các bậc lồc và màn tỉ đu.

Các hệ thống học máy và các hệ thống thích nghi thường được xây dựng dựa trên các cổng thức tối ưu Chúng có quan hệ mật thiết với mô hình Bayes phi tham số Các phương pháp tương tự như các phương pháp liên kết dữ liệu trong việc theo dõi nhiều mục tiêu cũng áp dụng hiệu quả với phân loại trực tuyến Sự kết hợp giữa hồi quy tuyến tính Gaussian và lộc tối ưu cụng được nhấn mạnh trong nghiên cứu.

1.2.3.Ti‚p c“n Bayes vợi b i toĂn lồc ngÔu nhiản v l m màn

Lồc Kalman v lồc Kalman mð rºng

Lọc Kalman là một phương pháp ước lượng trạng thái của hệ thống động, cho phép xác định trạng thái x(t) dựa trên các quan sát z(t) và mô hình động lực học của hệ thống Phương pháp này sử dụng các thông tin từ các quan sát trước đó để cải thiện độ chính xác của ước lượng, giúp theo dõi sự phát triển của x(t) theo thời gian Kết quả của quá trình lọc Kalman cung cấp ước lượng tối ưu x^(j) bằng cách tối thiểu hóa sai số giữa giá trị ước lượng và giá trị thực tế, từ đó nâng cao độ tin cậy của các dự đoán trong các ứng dụng thực tiễn.

= arg x^(ijj)2RnE ( ( ) x^)( ( ) x^) jz(1) z( ) ; min x i x i ;:::; t trong õ: z(j), j = 1; t, l cĂc quan sĂt ữổc thỹc hiằn ð thới i”m thứ j,

Lồc Kalman ch‰nh l ký vồng cõ i•u kiằn cıa x(t) dỹa trản dÂy cĂc quan sĂt, õ l giĂ trà trung b…nh chứ khổng phÊi l mºt giĂ trà hổp lỵ nhĐt.

Ta xét mô hình trạng thái được biểu diễn trong không gian trạng thái chuẩn với phương trình x(t) = F(t)x(t) + B(t)u(t) + G(t)v(t) Ở đây, x(t) thuộc R^n là vectơ trạng thái quan tâm, u(t) thuộc R^s là biến điều khiển đầu vào, và v(t) thuộc R^q là nhiều nguồn nhiễu ngẫu nhiên.

F(t) l ma tr“n (mổ h…nh) tr⁄ng thĂi n n,

1.3.1.1.Quan sĂt vợi thới gian liản tửc

Mổ h…nh quan sĂt ( ƒu ra) trong d⁄ng khổng gian tr⁄ng thĂi chu'n: z(t) = H(t)x(t) + D(t)w(t); (1.18) trong â: z(t) 2 R m l vectì quan s¡t, w(t) 2 R r l nhi„u tr›ng,

H(t) l ma tr“n (mổ h…nh) quan sĂt m n,

Nhœng phữỡng tr…nh n y t‰nh toĂn cĂc quan sĂt theo thới gian liản tửc, tuy nhiản lồc Kalman hƒu nhữ luổn thỹc hiằn trong thới gian rới r⁄c.

1.3.1.2 Quan sĂt vợi thới gian rới r⁄c

Phương trình (1.18) có thể được viết trong thời gian rời rạc như sau: z(tk) = H(tk)x(tk) + D(tk)w(tk); ∀tk ∈ T; (1.19) Trong đó, z(tk) là vectơ quan sát tại thời gian rời rạc, x(tk) là trạng thái tại thời gian rời rạc, và w(tk) là vectơ nhiễu tại thời gian rời rạc.

H(tk) v D(tk) l mổ h…nh quan sĂt v nhi„u ữổc ữợc lữổng t⁄i thới gian rới r⁄c tức thới t k ,

D⁄ng thới gian rới r⁄c cıa phữỡng tr…nh tr⁄ng thĂi ặi họi t‰ch phƠn cıa phữỡng tr…nh (1.17) trản khoÊng (t k ; t k 1 ) l : x(tk) = (tk; tk 1)x(tk 1)

+ (tk; )B( )u( )d + (tk; )G( )d ; (1.20) t k 1 t k 1 trong õ, (:; :) l ma tr“n chuy”n tr⁄ng thĂi thọa mÂn phữỡng tr…nh vi phƠn ma tr“n

(tk; tk 1) = F(tk) (tk; tk 1); (tk; tk 1) = 1:

Khi F(t) = F l ma tr“n khổng Œi, ma tr“n chuy”n tr⁄ng thĂi ữổc cho bði:

(tk; tk 1) = (tk tk 1) = exp F(tk tk 1) (1.22)

N‚u u(t) = u(t k ) v v(t) = v(t k ) giœ nguyản gƒn nhữ khổng Œi trản khoÊng (t k 1 ; t k ) th… cĂc mổ h…nh thới gian rới r⁄c cõ th” ữổc xĂc ành;

Phữỡng tr…nh (1.20) cõ th” ữổc vi‚t l⁄i trong mºt d⁄ng thới gian rới r⁄c tữỡng ữỡng vợi phữỡng tr…nh (1.17): x(tk) = F(tk)x(tk 1) + B(tk)u(tk) + G(tk)v(tk): (1.24)

Sỹ ch‰nh xĂc cıa mổ h…nh n y cõ th” ữổc ho n thiằn b‹ng cĂch lĐy gi¡ trà trung b…nh cho cÊ u(t) v v(t) trản mÔu.

Trong hƒu h‚t cĂc trữớng hổp, khoÊng thới gian T k := t k tk 1 giœa cĂc mÔu liản ti‚p cıa tr⁄ng thĂi giœ nguyản khổng Œi.

Phữỡng tr…nh (1.24) ữổc vi‚t l : x(k) = F(k)x(k 1) + B(k)u(k) + G(k)v(k); (1.25) v ph÷ìng tr…nh (1.19): z(k) = H(k)x(k) + D(k)w(k): (1.26)

GiÊ thi‚t r‹ng dÂy ngÔu nhiản v(k) v w(k) nhi„u quan sĂt •u l Gauss, khổng tữỡng quan v mổ tÊ quĂ tr…nh xò lỵ v cõ ký vồng khổng

Efv(k)g = Efw(k)g = 0; 8k; (1.27) vợi hiằp phữỡng sai (covariance) Â bi‚t

Efv(i)v T (j)g = ijQ(i); Efw(i)w T (j)g = ijR(i); (1.28) vợi 8 ij = >1 n‚u i = j :

GiÊ thi‚t mºt cĂch tŒng quĂt l cĂc nhi„u quĂ tr…nh xò lỵ v quan sĂt khổng tữỡng quan

Nếu các dãy v(k) và w(k) tương quan theo thời gian, việc sử dụng lọc Kalman là hợp lý Nếu dãy có nhiều quan sát khổng lồ phân bố Gauss, những ước lượng sẽ chính xác hơn Tuy nhiên, nếu dãy có một phần bị lệch, không phân bố đúng, kết quả ước lượng từ lọc Kalman sẽ sai lệch và không còn hiệu quả Trong trường hợp này, phương pháp Bayes có thể phức tạp hơn nhưng lại phù hợp hơn.

Thuật toán Kalman được sử dụng để ước lượng các biến trạng thái trong hệ thống, giúp cải thiện độ chính xác của các dự đoán Đặc biệt, nó tối ưu hóa việc ước lượng bằng cách tối thiểu hóa sai số trung bình phương, dựa trên thông tin từ các quan sát hiện có Công thức ước lượng x^(ijj) = arg min Ef(x(i) x^)(x(i) x^) T jz(1); : : : ; z(j)g cho thấy sự liên kết giữa các biến và các quan sát trong quá trình ước lượng.

Nhữ Â nõi ð trản (phữỡng tr…nh (1.16)) được lữổng thu ữổc ỡn giÊn l giĂ trà ký vồng cıa tr⁄ng thĂi t⁄i thới i”m i bà r ng buºc bði cĂc quan sĂt tợi thới i”m j Do õ, ữợc lữổng ữổc ành nghắa l ký vồng cõ i•u kiằn x^(ijj) := Ef(x(i)jz(1); : : : ; z(j))g := Ef(x(i)jZ j )g; (1.31) trong õ, Z j = fz(1); : : : ; z(j)g l dÂy cĂc quan sĂt tợi thới i”m j.

Phữỡng sai ữợc lữổng ữổc ành nghắa lsai sŁ trung b…nh b…nh phữỡng trong ữợc lữổng n y

- ìợc lữổng tr⁄ng thĂi t⁄i thới i”m k, tĐt cÊ thổng tin ữổc cho tợi t“n thíi i”m k l x^(kjk).

- ìợc lữổng tr⁄ng thĂi t⁄i thới i”m k m thổng tin ch¿ ữổc cho tợi thới i”m k 1 ữổc gồi l dỹ bĂo trữợc mºt bữợc (a one-step-ahead prediction)

(ho°c nõi ng›n gồn ch¿ l mºt dỹ bĂo) v ữổc vi‚t l x^(kjk 1).

Phữỡng sai P(k 1jk 1) trong ữợc lữổng n y l  bi‚t Khi õ, cĂc bữợc ằ quy cıa lồc Kalman gỗm:

Bữợc dỹ bĂo: x^(kjk 1) = F(k)x^(k 1jk 1) + B(k)u(k); (1.33)

Bữợc hiằu ch¿nh: x^(kjk) = x^(kjk 1) + W(k)(z(k) H(k)x^(kjk 1)); (1.35)

(1.36) trong õ, ma tr“n thu ho⁄ch (the gain matrix) W(k)ữổc cho bði:

Lồc Kalman mð rºng (the extended Kalman filter: EKF) l lồc Kalman trong trữớng hổp mổ h…nh tr⁄ng thĂi ho°c mổ h…nh quan sĂt khổng tuy‚n t‰nh.

Trong nghiên cứu về mổ hình trạng thái, các mô hình trạng thái phi tuyến được thể hiện qua phương trình x(t) = f[x(t); u(t); v(t); t], trong đó x(t) là trạng thái quan tâm thuộc R^n, u(t) là biến điều khiển đầu vào, f là hàm mô tả mối quan hệ giữa trạng thái và biến điều khiển, và v(t) là vectơ nguồn nhiễu có ảnh hưởng đến trạng thái Các yếu tố này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và điều khiển hệ thống phi tuyến trong không gian trạng thái.

1.3.2.1.Quan sĂt vợi thới gian liản tửc

Xét mô hình quan sát với biến động ngẫu nhiên trong không gian trạng thái, ta có một hàm vectơ khổng tuyến tính z(t) = h[x(t); u(t); w(t); t] Trong đó, z(t) ∈ R^m là quan sát thực hiện tại thời điểm t, h[:; :; :] là hàm trạng thái điều khiển đầu vào và các quan sát, w(t) là vectơ nhiễu ngẫu nhiên mô tả sự sai lệch trong các trạng thái khổng lồ Nhiễu w(t) thường được giả thiết có tính chất Gaussian.

1.3.2.2 Quan sĂt vợi thới gian rới r⁄c

Cụng giŁng nhữ lồc Kalman, EKF hƒu h‚t thỹc hiằn trong thới gian rới r⁄c.X†t d⁄ng rới r⁄c cıa phữỡng tr…nh (1.38), (1.39) Ta cõ mổ h…nh quan

Trong nghiên cứu về thời gian rời rạc, công thức z(tk) = h[x(tk); u(tk); w(tk); tk] được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các vectơ quan sát x(tk), u(tk), và w(tk) tại các thời điểm tk Các vectơ này đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá trạng thái của hệ thống trong khoảng thời gian rời rạc t, được xác định bởi tập hợp các thời điểm t = {t0; t1; ; tk; }.

D⁄ng thíi gian ríi r⁄c cıa ph÷ìng tr…nh tr⁄ng th¡i l t‰ch ph¥n cıa ph÷ìng tr…nh (1.38) trản khoÊng (t k ; t k 1 )

Trong thỹc h nh, t‰ch phƠn ữổc t‰nh b…nh thữớng b‹ng cĂc sò dửng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Euler ìn (sai ph¥n lòi). x(tk) = x(tk 1) + T k f[x(t k 1); u(t k 1); v(t k 1); t k 1]; (1.42) trong â, Tk = tk tk 1.

Cụng nhữ lồc Kalman, khi cĂc khoÊng mÔu khổng Œi, thới gian ữổc l“p mŁi liản hằ vợi k, ta vi‚t cĂc phữỡng tr…nh (1.42) v (1.40) ữổc vi‚t nhữ sau: x(k) = x(k 1) + T f[x(k 1); u(k 1); v(k 1); k 1]; (1.43) v z(k) = h[x(k); u(k); w(k); k]: (1.44)

1.3.2.3 Thu“t toĂn lồc Kalman mð rºng vợi thới gian rới r⁄c

XĐp x¿ cĂc tr⁄ng thĂi và các quan sát thời gian rời rạc, mô hình trạng thái được viết như sau: x(k) = f(x(k-1); u(k); v(k); k) và quan sát z(k) = h(x(k); w(k)) Trong đó, x(k) là trạng thái tại thời điểm k, z(k) là quan sát tại thời điểm k Giống như lọc Kalman, giả sử các nhiễu v(k) và w(k) là nhiễu trắng, phân phối Gauss, không tương quan và có kỳ vọng bằng 0 trong các phương trình Mục đích của lọc Kalman là ước lượng sai số trung bình bình phương và tối ưu hóa trạng thái.

Để tính toán một cách chính xác cho ký vồng có điều kiện, cần xác định giá trị tồn tại của một lượng lũy thừa trong trạng thái tĩnh tại thời điểm k1 Giá trị này được xác định bằng ký vồng có điều kiện x^(k1jk1) Efx(k1)jZ k1, theo công thức (1.47).

Nguyển lý của EKF bắt nguồn từ những nguyên lý của lọc Kalman tuyến tính, với các quan sát được tuyến tính hóa nhờ một chuỗi Taylor tương ứng với được lượng vớt dự báo Thuật toán gồm có hai bước chính.

Bữợc dỹ bĂo: mºt dỹ bĂo x^(kjk 1) cho tr⁄ng thĂi t⁄i thới i”m k v hiằp phữỡng sai cıa nõ P(kjk 1) ữổc t‰nh thổng qua x^(kjk 1) = f(x^(k 1jk 1); u(k)) (1.48)

Bước hiểu chính: Tại thời điểm hiện tại, một quan sát z(k) được thực hiện và được liên kết với điều chỉnh x^(kjk) của trạng thái x(k), đồng thời cũng phản ánh phương sai của điều chỉnh P(kjk) được tính toán dựa trên bảo trắc trạng thái và quan sát theo công thức x^(kjk) = x^(kjk-1) + W(k)[z(k) - h(x^(kjk-1))].

S(k) = rhx(k)P(kjk 1)r T hx(k) + rhw(k)R(k)r T hw(k); (1.53) vợi ma tr“n Jacobian rf(k) ữổc t‰nh t⁄i x(k 1) = x^(k 1jk 1) v rh(k) ữổc t‰nh t⁄i x(k) = x^(kjk 1).

Mºt sŁ vĐn • v• quĂ tr…nh ngÔu nhiản

1.4.1.1.Ph¥n phŁi Poisson ành nghắa 1.4.1 Ta nõi r‹ng bi‚n ngÔu nhiản X cõ phƠn phŁi Poisson vợi tham sŁ , > 0 n‚u:

N‚u X v Y l hai bi‚n ngÔu nhiản cõ phƠn phŁi Poisson ºc l“p vợi tham sŁ 1, 2 tữỡng ứng ( 1 > 0, 2 > 0) th… X + Y cõ phƠn phŁi

GiÊ sò N l bi‚n ngÔu nhiản cõ phƠn phŁi Poisson vợi tham sŁ , > 0, v

X l bi‚n ngÔu nhiản sao cho:

Khi õ, X cõ phƠn phŁi Poisson vợi tham sŁ :p

1.4.1.2.Qu¡ tr…nh Poisson ành nghắa 1.4.2 GiÊ sò A l bi‚n cŁ n o õ, kỵ hiằu N(t), t 0, l sŁ lƒn bi‚n cŁ A xuĐt hiằn trong khoÊng thới gian tł 0 ‚n t (k” cÊ thới i”m t) Khi õ, fN(t); t 0g ữổc gồi l quĂ tr…nh ‚m Kỵ hiằu N (s; t] = N(t) N(s), 0 s < t l sŁ lƒn bi‚n cŁ A x£y ra trong kho£ng thíi gian (s; t] Khi â, fN (s; t] ; 0 s < tg ữổc gồi l quĂ tr…nh i”m ứng vợi quĂ tr…nh ‚m fN(t); t 0g.

Quá trình Poisson là một mô hình thống kê quan trọng trong lý thuyết xác suất, mô tả các sự kiện ngẫu nhiên xảy ra theo thời gian Trong quá trình này, nếu thời gian giữa các sự kiện được coi là biến ngẫu nhiên độc lập, thì chúng ta có thể xác định các đặc tính của quá trình này Cụ thể, nếu m = 2, 3, và t0 < t1 < < tm, thì các biến ngẫu nhiên Z(t0; t1], Z(t1; t2], , Z(tm-1; tm] sẽ là các biến ngẫu nhiên độc lập, phản ánh tính chất của quá trình Poisson.

Quá trình Z(t) có tính chất cứng nếu Z(tk+1) = Z(tk) với k = 0, 1, , m-1 Tính chất cứng gia tăng khi tồn tại một hằng số s > 0, với 0 < t1 < t2, các giá trị Z(t1 + s, t2 + s] và Z(t1, t2] là các biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất Ngoài ra, quá trình Z(t) còn có tính chất c nếu tồn tại một hằng số s > 0 sao cho với h > 0, các giá trị trong quá trình này vẫn giữ nguyên tính chất cứng.

P [Z(h) = 1] = h + o(h); ð Ơy, o(h) l kỵ hiằu vổ cũng b† b“c cao hỡn cıa h (khi h ! 0). d T‰nh chĐt d: Ta nõi quĂ tr…nh fZ(t); t 0g cõ t‰nh chĐt d n‚u vợi h > 0 ı nhọ th…:

27 ành nghắa 1.4.3 ( ành nghắa quĂ tr…nh Poisson)

Quá trình Poisson \(fX(t); t \geq 0\) với cường độ \(\lambda\) (hoặc tham số \(\lambda > 0\)) có các đặc điểm sau: (i) \(X(t)\) nhận các giá trị 0, 1, 2, , với \(t > 0\); (ii) \(fX(t); t \geq 0\) là quá trình có gia trị độc lập; (iii) Mỗi giá trị \(X(t+s) - X(s)\), với \(s \geq 0\) và \(t > 0\), là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số \(t\); (iv) \(X(0) = 0\).

C¡c t‰nh ch§t trüc ti‚p (cƒn cho lu“n ¡n):

N‚u fX(t); t 0g l quĂ tr…nh Poisson th… X(t) l bi‚n ngÔu nhiản cõ phƠn phŁi Poisson vợi tham sŁ t

QuĂ tr…nh Poisson l quĂ tr…nh ‚m cõ cĂc t‰nh chĐt a, b, c v d; Ngữổc l⁄i, qu¡ tr…nh ‚m câ c¡c t‰nh ch§t a, b, c, d l qu¡ tr…nh Poisson.

Trong quá trình phân tích Poisson thuần nhất theo thời gian, cường độ của quá trình được xác định là hàm số không phụ thuộc vào thời gian Điều này có nghĩa là các sự kiện xảy ra một cách ngẫu nhiên và độc lập, tạo ra một đặc tính quan trọng của quá trình Poisson thuần nhất mà chúng ta cần hiểu rõ.

Trong trường hợp khổng thuƒn nhĐt, nghĩa là trường hợp cường độ phụ thuộc vào thời gian, tức là λ = λ(t), chúng ta có quá trình Poisson khổng thuƒn nhĐt theo thời gian Khi đó, giá trị X(t) và X(s) là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ.

1.4.1.3.Qu¡ tr…nh i”m Poisson tŒng qu¡t

Giả sử S là một tập hợp rỗng trong không gian tổng quát n chiều (chẳng hạn trong không gian R^d); kỷ hàu A là các tập con của S Kỷ hàu (:) là một xác suất trần A; khi đó, (S; A) là một không gian có độ đo tổng quát Xét (S; A) là không gian có độ đo nào đó Ta gọi quá trình ngẫu nhiên Poisson thuần nhất trong S là các biến ngẫu nhiên N(A); A là tập con sao cho: i Với mỗi A thuộc A, (A) < 1 thì N(A) là biến ngẫu nhiên Poisson với tham số (A) = const nào đó ii Nếu A1, A2, , An là các tập con rời nhau thuộc A thì N(A1), N(A2), là độc lập.

N (An) l cĂc bi‚n ngÔu nhiản ºc l“p v n ! n

Khi S là tập con trong không gian đa chiều (R^d) với độ đo Lebesgue, ta thường sử dụng N(A); A là tập con của không gian đa chiều Để hiểu rõ về kích thước của A, chúng ta có thể xem xét kích thước trong các không gian hai chiều (d = 2), ba chiều (d = 3), và các không gian khác Chúng ta cũng có thể sử dụng một thuật ngữ chung để mô tả kích thước của A.

Để nghiên cứu và hiểu rõ hơn về quá trình ước lượng Poisson, cần xem xét các định nghĩa liên quan và cách tiếp cận hiệu quả Các định nghĩa này không chỉ giúp làm rõ khái niệm mà còn hỗ trợ trong việc áp dụng các phương pháp ước lượng một cách chính xác Việc áp dụng đúng các kỹ thuật này là rất quan trọng để đạt được kết quả nghiên cứu đáng tin cậy và có giá trị.

Ta cõ t‰nh chĐt quan trồng sau Ơy: ành lþ 1.4.5 (xem [2])

GiÊ sò fN (A); A 2 Ag l mºt quĂ tr…nh i”m Poisson tŒng quĂt n o õ, ]jAj[>

0 v A 1 , A 2 , , A m l mºt ph¥n ho⁄ch cıa A Khi â,

Y j j trong â, n 1 v m cĂc k1, k2, ,km l cĂc sŁ nguyản dữỡng sao cho X k i n: i=1

Tł ành lỵ n y, chúng ta thĐy n‚u A chứa n i”m th… n i”m n y ºc l“p v ph¥n phŁi •u trong A.

1.4.1.4.QuĂ tr…nh Poisson phức hổp ành nghắa 1.4.6 GiÊ sò fX(t); t 0g l quĂ tr…nh Poisson vợi cữớng º , >

0; fY k ; k = 1; 2; : : : g l dÂy cĂc bi‚n ngÔu nhiản ºc l“p, cũng phƠn phŁi v d Ây n y ºc l“p vợi fX(t); t 0g Khi õ, chúng ta gồi:

=1 l quĂ tr…nh Poisson phức hổp.

CĂc khĂi niằm, cĂc t‰nh chĐt v cĂc k‚t quÊ tr‰ch lồc giợi thiằu trong ti”u mửc (1.4.1) n y cõ th” tham khÊo ð cĂc t i liằu [1],[2],[23],

1.4.2.1.CĂc ành nghắa v cĂc khĂi niằm cỡ bÊn

T‰nh Markov cıa quĂ tr…nh ngÔu nhiản v cĂcành nghắa liản quan:

Quá trình ngẫu nhiên \( fX(t); t \geq 0 \) là một mô hình thể hiện sự biến đổi ngẫu nhiên theo thời gian Ký hiệu \( F_s = (fX(l); l \leq s) \) đại diện cho quá trình sinh ra từ các biến ngẫu nhiên \( fX(l); l \leq s \), trong khi \( F_s = (X(s)); l \leq s \) phản ánh quá trình sinh ra từ biến ngẫu nhiên \( X(s) \) Điều này cho thấy quá trình ngẫu nhiên \( fX(t); t \geq 0 \) có tính chất nhất quán và có thể được phân tích thông qua các biến ngẫu nhiên liên quan.

E fX(t)jF sg = E fX(t)jFsg ; 8 t > s 0: ành nghắa 1.4.8 Ta nõi quĂ tr…nh ngÔu nhiản fX(t); t 0g cõ t‰nh Markov n‚u:

P [X(tn+1)jX(t0); X(t1); : : : ; X(tn)] = P [X(tn+1)jX(tn)] vợi bĐt ký 0 t 0 < t 1 < < t n < t n+1

Hai ành nghắa trản l tữỡng ữỡng Viằc phĂt bi”u cÊ hai d⁄ng ành nghắa ð Ơy nh‹m mửc ‰ch” tiằn sò dửng trong cĂc nºi dung sau n y.

Quá trình ngẫu nhiên fX(t); t ≥ 0 được định nghĩa là không gian trạng thái của quá trình này Quá trình ngẫu nhiên fX(t); t ≥ 0 có tính Markov, nghĩa là giá trị tương lai của quá trình chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại và không phụ thuộc vào quá khứ Do đó, fX(t); t ≥ 0 được gọi là quá trình Markov.

N‚u fX(t); t 0g l qu¡ tr…nh Markov th… th¡i cıa qu¡ tr…nh Markov fX(t); t 0g.

E ữổc gồi l khổng gian tr⁄ng

N‚u quĂ tr…nh Markov fX(t); t 0g cõ khổng gian tr⁄ng thĂi E cõ lỹc lữổng khổng quĂ ‚m ữổc th… fX(t); t 0g ữổc gồi l x‰ch Markov.

N‚u x‰ch Markov fX(t); t 0g cõ khổng gian tr⁄ng thĂi cõ lỹc lữổng hœu h⁄n (Card(E) < +1) th… fX(t); t 0g ữổc gồi l x‰ch Markov hœu h⁄n tr⁄ng th¡i.

Chuỗi Markov là một loại quá trình ngẫu nhiên, trong đó giá trị tại thời điểm t phụ thuộc vào giá trị tại thời điểm trước đó Các chuỗi này được mô tả bằng các biến ngẫu nhiên fX(t); t ≥ 0g, và thường được gọi là chuỗi Markov với thời gian rời rạc Trong bối cảnh này, các giá trị fXn; n = 0; 1; 2; g được sử dụng để thể hiện sự phát triển của chuỗi qua các bước thời gian.

31 thữớng quan tƠm tợi: pij = P [Xn+1 = jjXn = i] ; i; j 2 E:

Khi õ, p ij ữổc gồi l xĂc suĐt chuy”n sau mºt bữợc.

N‚u p ij khổng phử thuºc v o n th… x‰ch Markov fX n ; n = 0; 1; 2; : : : g ữổc gồi l x‰ch Markov thuƒn nhĐt; trong trữớng hổp ngữổc l⁄i gồi l x‰ch Markov khổng thuƒn nhĐt.

1.4.2.2.Mºt sŁ k‚t quÊ, t‰nh chĐt Łi vợi x‰ch Markov rới r⁄c v thuƒn nhĐt

GiÊ sò fXn; n = 0; 1; 2; : : : g l x‰ch Markov rới r⁄c v thuƒn nhĐt, nhữ trữợc Ơy chúng ta kỵ hiằu: pij = P [Xn+1 = jjXn = i] ; i; j 2 E l xĂc suĐt chuy”n sau mºt bữợc (khổng phử thuºc v o n);

Kỵ hiằu: p ( ij k) = P [Xk+m = jjXm = i] ; i; j 2 E; k 1; m 0 v gồi p ( ij k) l xĂc suĐt chuy”n sau k bữợc: Do t‰nh thuƒn nh§t, chóng ta công câ: p ( ij k) = P [X k+m = jjX m = i] = P [Xk = jjX0 = i]

Ma tr“n P = [p ij ] i;j2E ữổc gồi l ma tr“n xĂc suĐt chuy”n sau mºt bữợc.

Ma tr“n P câ t‰nh ch§t: >X pij = 1

Ma tr“n P = [pij ]i;j2E ữổc gồi l ma tr“n xĂc suĐt chuy”n sau k bữợc.

X p ij (n+m) = pil (n) plj (m); i; j 2 E; n; m 1 l2E phŁi hœu h⁄n chi•u ữổc t‰nh b‹ng cổng thức: ữổc gồi l phữỡng tr…nh Chapman-Kolmogorov PhƠn

P [X0 = i0; X1 = i1; : : : ; Xn 1 = in 1; Xn = in] = pi 0 pi 0 i 1 p i n 1 i n ; trong â, p i0 = P [X 0 = i 0 ]

PhƠn phŁi cıa x‰ch Markov t⁄i thới i”m n ữổc t‰nh theo cổng thức: p ( j n) = P [Xn = j]; n = 0; 1; 2; : : : ; j 2 E:

(n)= p ( j n); j 2 E v gồi = (0) l phƠn phŁi ban ƒu cıa x‰ch Markov Ta cõ c¡c k‚t qu£ (t‰nh ch§t) sau:

(tł â d„ th§y P (k) = P k ) v ta công câ:

PhƠn phŁi ban ƒu ữổc gồi l dłng n‚u (n) khổng phử thuºc v o n, nghắa l = (n) , hay tữỡng ữỡng = P.

Các kết quả nghiên cứu sâu hơn của xác suất Markov cho thấy những nghiên cứu về phân phối dừng, phân phối giới hạn, tính ergodic, và phân lớp trạng thái Những yếu tố này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các đặc điểm của hệ thống và không thể bỏ qua trong việc phân tích.

K‚t lu“n Ch÷ìng 1

Trong Chương 1, bài viết cung cấp các kiến thức cơ bản liên quan đến lý thuyết xác suất, bao gồm các khái niệm như định lý Bayes và suy luận Bayes cho biến ngẫu nhiên rời rạc Ngoài ra, bài viết cũng đề cập đến các lọc Kalman, lọc Kalman mở rộng, cũng như các quá trình ngẫu nhiên như quá trình Poisson và quá trình Markov, cùng với những tính chất liên quan đến chuỗi Markov rời rạc và liên tục.

Kiến thức trình bày trong nội dung này là các kết quả trách nhiệm, luôn được minh chứng rõ ràng Các tài liệu trách nhiệm được thể hiện trong quá trình trình bày.

B I TO N QUAN S T QUò O A MệC TI U T˚NG QU T C´ TH C´ MệC TI U BÀ CHE KHU T 34

Giợi thiằu mð ƒu

Mổ h…nh quan sát a mức tiểu MTT được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn hoạt động xã hội, đặc biệt trong nhiều lĩnh vực cần sự đơn giản và hiệu quả, đặc biệt là trong quân sự.

Trong đơn sỹ, các mổ hình ứng dụng như: Hệ thống điều khiển và giám sát khổng lồ; Hệ thống điều khiển giao thông; Hệ thống giám sát dữ liệu; Hệ thống bảo vệ và giám sát người qua lại trong một vùng nước bảo vệ.

Trong quán sỹ, các mô hình hằng số được áp dụng như: Hằng số radar phân tán lòa, các hằng số phân khổng, các hằng số giám sát vũng mực tiêu bêu và nô, cùng với các hằng số giám sát theo dõi trên ảnh phân khổng.

Cổng cử v“t lỵ ữổc sò dửng trong cĂc hằ thŁng quan sĂt cõ th” l video, radar, cĂc cổng cử cÊm ứng sensor n o õ,

Cổng cử toĂn hồc (phƒn hỗn cıa hằ thŁng) ữổc sò dửng cho ‚n thới i”m hiằn t⁄i l cĂc k‚t quÊ, cĂc thu“t toĂn nghiản cứu v• mổ h…nh quan sĂt a mửc tiảu MTT.

Phữỡng phĂp toĂn hồc phŒ bi‚n ” giÊi b i toĂn MTT l phữỡng phĂp ữợc lữổng tuƒn tü Bayes (Bayesian Sequential Estimation) Ph÷ìng ph¡p n y v•

35 bên chất lượng cập nhật một cách hợp lý nhằm các trạng thái của mục tiêu Tất cả các thuật toán xây dựng trận nguy hiểm này cho đến thời điểm hiện tại đều là các thuật toán khổng lồ thường gặp và nó được gắn với các mô hình xác suất rất phức tạp.

Có thể sử dụng các thuật toán ước lượng ngược cổng như: Thuật toán gần nhất toàn cục GNN; Thuật toán kết hợp dữ liệu xác suất đồng thời JPDA; Thuật toán kết hợp dữ liệu ước lượng MHT; Thuật toán gần nhất toàn cục NNJPDA Đây là các thuật toán rất hiệu quả và đang được sử dụng trong thực tiễn như: Hệ thống giám sát điều khiển không lưu (Hệ radar ASDE-X) sử dụng thuật toán JPDA, Hệ radar mạng pha Cobra Dane nhằm phát hiện và giám sát tầm xa các tản lò xo dưới lực sử dụng thuật toán NNJPDA kết hợp với bộ lọc Kalman mở rộng, Hệ thống radar trần biến X-band (SBX) của Hải quân Mỹ cũng sử dụng thuật toán NNJPDA kết hợp với bộ lọc Kalman mở rộng, Hệ thống radar mạng pha cảnh báo sớm (UEWR) nằm trong hệ thống phòng thủ tản lò quốc gia Mỹ sử dụng thuật toán MHT kết hợp với bộ lọc Kalman mở rộng, Hệ thống radar THAAD sử dụng thuật toán JPDA kết hợp với bộ lọc Kalman mở rộng, và Hệ thống video giám sát hoạt động con người trong một vùng bão vây cũng sử dụng thuật toán MHT.

Thuật toán MHT do Reid phát triển là một trong những phương pháp quan trọng trong lĩnh vực xử lý dữ liệu Nghiên cứu của Yaakov Bar-Shalom về JPDA cũng đã đóng góp đáng kể vào sự phát triển của các ứng dụng hiện nay Các nghiên cứu này không chỉ bổ sung kiến thức mà còn thúc đẩy sự phát triển của các thuật toán, đặc biệt là trong việc tối ưu hóa các cổng dữ liệu và tăng cường khả năng nhận diện trong các ứng dụng thực tiễn.

Với sự phát triển mạnh mẽ của các công nghệ như video, radar và cảm biến, cùng với những kết quả nghiên cứu và thuật toán hiện đại, chúng tôi nhận thấy nhiều vấn đề cần giải quyết Một trong những thách thức lớn là cải thiện hiệu quả trong việc xử lý thông tin, nhằm đạt được mục tiêu tối ưu và bảo mật thông tin.

Khi các mức tiểu di chuyển gần nhau do phân giới của các sensor, việc phân biệt các mức tiểu trở nên khó khăn Điều này cũng có thể xảy ra do kỹ thuật quan sát, gây ra khê nông và che khuất các mức tiểu khác Các khê nông này thường hiển thị tổng khổng phát hiện được mức tiểu, với một số kỹ thuật toàn băm mức tiểu Hiện tượng tổng trản cũng xảy ra trong trường hợp sử dụng lưỡng mức tiểu lớn và một số nhiều lợn.

Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu về mối quan hệ giữa các mục tiêu trong điều kiện tăng trưởng, đặc biệt là hiện tượng mục tiêu và che khuất có thể xảy ra Hiện tượng này liên quan đến việc có sự liên quan giữa nhiều mục tiêu khác nhau Với hiện tượng này, các thuật toán thường được áp dụng trong tình trạng: một mục tiêu, một quỹ đạo bám Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề xuất các phương pháp liên kết dữ liệu thông qua hệ thống ảnh xác định và quy trình bù đắp Hệ thống ảnh này không chỉ quan tâm đến các dữ liệu quan sát mà còn tính đến lịch sử có thể có của dữ liệu đó Vì vậy, phương pháp liên kết dữ liệu này khác biệt với hiện tượng mục tiêu và che khuất (nếu xảy ra) và không chỉ là một mục tiêu, một quỹ đạo bám Dựa vào lý thuyết thống kê Bayes, chúng tôi đưa ra khái niệm: chiến lược tối ưu hóa theo nghĩa là mức độ chính xác dự đoán tại mỗi bước và chúng tôi chứng minh được kết quả về sự tồn tại của chiến lược tối ưu hóa này với phương pháp liên kết dữ liệu.

Chiến lược tối ưu hóa chất lượng tổng quát là một phần quan trọng trong việc phát triển chiến lược hiệu quả cho tương lai Dựa vào phương pháp Kalman, chúng tôi đã xây dựng một mô hình chiến lược nhằm cải thiện quá trình xử lý dữ liệu quan sát Chiến lược này tập trung vào việc tối ưu hóa dữ liệu đầu vào để đạt được kết quả chính xác hơn, đồng thời giảm thiểu sai số trong quá trình phân tích.

” ữợc lữổng quÿ ⁄o cıa mửc tiảu th… phữỡng sai P (tjt) khổng vữổt quĂ

Bài viết này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xây dựng chiến lược trong lĩnh vực MTT, đặc biệt là trong việc xử lý và quản lý dữ liệu Chúng tôi đã đưa ra những phương pháp cụ thể để đảm bảo hiệu quả trong việc phát triển hệ thống, đồng thời cải thiện khả năng xử lý thông tin và tối ưu hóa quy trình làm việc.

Cấu trúc của chương gồm 6 mức, trong đó mức "Giới thiệu đề tài" (mức 2.1) nêu ra nội dung của các mức như sau: Mức 2.2 trình bày về mối quan hệ giữa toán học và bài toán MTT Mức 2.3 đề cập đến phương pháp liên kết dữ liệu thống qua hệ thống ảnh hưởng đến việc xây dựng chiến lược tối ưu từng bước và chứng minh sự tồn tại của chiến lược tối ưu này Mức 2.4 giới thiệu khái niệm T - chiến lược liên kết dữ liệu và thu thập toán t…m T - chiến lược liên kết dữ liệu (với T là một tiêu chuẩn yêu cầu nào đó cho trước) Mức 2.5 sẽ khái niệm "K".

- tŁi ữu", ỗng thới cụng trong mửc 2.5 n y tr…nh b y thu“t toĂn t…m "K(")

- tŁi ữu" chi‚n lữổc Mửc 2.6 l mửc k‚t lu“n cıa chữỡng.

B i toĂn quan sĂt a mửc tiảu: Mổ h…nh toĂn hồc

GiÊ sò ta cƒn quan tƠm ‚n mºt sŁ Łi tữổng (hay cặn gồi l mửc tiảu) di ºng n o õ trong mºt mi•n khổng gian v trong mºt khoÊng thới gian n o õ.

Kỵ hiằu R l mi•n khổng gian m ta cƒn quan tƠm, ð Ơy R R n x , vợi

R n x l khổng gian tr⁄ng thĂi cıa mửc tiảu, nx l sŁ chi•u cıa v†c tỡ tr⁄ng thĂi cıa mửc tiảu R ữổc gồi l mi•n quan sĂt.

Kỳ hiếu [0; T], T thuộc R+, là khoảng thời gian mà chúng ta cần quan tâm [0; T] được gọi là khoảng thời gian của quá trình quan sát Các thời điểm quan sát được ký hiệu là t_i, với i = 0, 1, , t_i thuộc [0; T] Các thời điểm quan sát: t_0, t_1, t_2, , t_n; với 0 = t_0 < t_1 < < t_n = T, là rời rạc và không mang tính liên tục Khi nói đến thời điểm thứ i (t_i), chúng ta có thể quy ước T thuộc Z+ và t_i thuộc Z+, với điều kiện t_i = i, i = 0, 1, , T; trong đó, t_0 = 0 là lần quan sát đầu tiên và t_n = T là lần quan sát cuối cùng của quá trình quan sát.

Mục tiêu cỡ trong miền R tại thời điểm t, t ∈ [0; T], là ngẫu nhiên và ký hiệu là Mt = Mt(ω) Giả thiết rằng mục tiêu loại thứ k (gồm hơn ta gọi là mục tiêu thứ k), k ∈ Z+, xuất hiện và trạng thái ngẫu nhiên có phân phối đều trong R tại thời điểm tk, tk ∈ [0; T], và di chuyển (chuyển động ngẫu nhiên) một cách độc lập với các mục tiêu khác trong R tại thời điểm tkf, tkf ∈ [0; T] Cụ thể, mục tiêu thứ k xuất hiện với xác suất pk, 0 < pk < 1, và biến động với xác suất 1 - pk Các mục tiêu xuất hiện, chuyển động ngẫu nhiên và biến động một cách độc lập với nhau.

Trong quá trình quan sát, các mục tiêu có thể bị ảnh hưởng bởi sự lộn xộn hoặc các thiết bị kỹ thuật không phù hợp Các mục tiêu này xuất hiện và biến mất một cách độc lập với nhau, đồng thời cũng tương tác với các mục tiêu khác Đặc biệt, các mục tiêu này có thể xuất hiện và phân phối ngẫu nhiên trong không gian.

Trong thực tế, các mức tiêu cực có ảnh hưởng lẫn nhau, vì vậy không nên phân loại các mức tiêu cực một cách tách biệt Một tình huống cụ thể, chúng ta có thể coi các mức tiêu cực do sự lộn xộn gây ra hoặc do kỹ thuật quan trắc dẫn đến một loại báo động sai (False Alarm - FA) FA được xem như một loại mức tiêu cực đặc biệt, xuất hiện với xác suất q, trong đó 0 < q < 1, và biến mất với xác suất 1 - q Các mức tiêu cực này chỉ xuất hiện trong khoảng thời gian nhất định.

39 gian rĐt ng›n (th“m ch‰ ch¿ xuĐt hiằn t⁄i mºt thớii”m) v khổng cõ quÿ ⁄o chuy”n ºng, SŁ mửc tiảu giÊ cõ trong mi•n R t⁄i thới i”m t, t 2 R + l ngÔu nhiản v kỵ hiằu l Gt = Gt(!).

Mổ h…nh chuy”n tr⁄ng thĂi v mổ h…nh quan sĂt ữổc mổ tÊ v• m°t toĂn hồc nhữ sau:

Kỵ hiằu Xt k, t 2 t k i; t k f, k = 1; 2; : : :, l tr⁄ng thĂi cıa mửc tiảu thứ k t⁄i thới i”m t, Xt k 2 R n x, nx l sŁ chi•u cıa v†c tỡ tr⁄ng thĂi Mổ h…nh chuy”n ºng (mổ h…nh chuy”n tr⁄ng thĂi) cıa mửc tiảu thứ k ữổc mổ tÊ bði hằ ºng lỹc tŒng quĂt trong khổng gian tr⁄ng thĂi R n x.

Xt k +1 = Fk Xt k + Vt k; (2.1) vợi Fk : R n x ! R n x lĂnh x⁄ o ữổc tł R n x v o R n x ; Vt k 2 R n x l nhi„u tr›ng vợi ma tr“n hiằp phữỡng sai l Q k , cĂc V t k , k = 1; 2; : : : l khổng tữỡng quan.

Mổ h…nh quan sĂt ữổc mổ tÊ bði:

Yt = G (Xt) + Wt; (2.2) vợi G : R n x ! R n y , n y l sŁ chi•u cıa v†c tỡ quan sĂt; G l Ănh x⁄ o ữổc tł R n x v o R n y , Wt 2 R n y l nhi„u tr›ng vợi ma tr“n hiằp phữỡng sai l R v W t khổng tữỡng quan vợi cĂc V t k , k = 1; 2; : : :

Nõi riảng Łi vợi mửc tiảu k, tł (2.2), ta cõ:

Trong mổ h…nh (2.1)-(2.2) ð trản, V t k ữổc gồi l nhi„u hằ thŁng, W t ữổc gồi l nhi„u quan sĂt (hay cặn gồi l sai sŁ o ⁄c).

Chúng ta phĂt bi”u mºt sŁ giÊ thi‚t cho mổ h…nh MTT vła mổ tÊ ð trản nh÷ sau:

Kỵ hiằu d(x; y), l khoÊng cĂch Euclid trong R n , nghắa l vợi x = (x1; : : : ; xn) 2

GiÊ thi‚t 2.2.1 Mi•n quan sĂt R l mi•n õng v giợi nºi trong R n x (theo Metric d( ; )).

H…nh 2.1 Hiằn tữổng mửc tiảu thứ k v mửc tiảu thứ l che khuĐt lÔn nhau t⁄i thíi i”m t Y t k Y t l Y t X

Trong thực tế, do sự phân giới của các thiết bị quan sát và giới hạn, xảy ra tình trạng nếu hai mức tiêu X và X0 gần nhau thì sẽ có liên quan đến nhau Hiện tượng này cho thấy rằng chúng ta đang đối diện với hiện tượng mức tiêu và che khuất, có nghĩa là mức tiêu X0 và che khuất bởi mức tiêu X hoặc ngược lại, mức tiêu X và che khuất bởi mức tiêu X0.

H…nh 2.1 mổ tÊ h…nh Ênh mửc tiảu thứ k v mửc tiảu thứ l che khuĐt l¤n nhau t⁄i thíi i”m t.

M°t khĂc, mửc tiảu l mºt v“t th” cõ khŁi lữổng dữỡng Và tr‰ cıa mửc

41 tiảu khổng th” l mºt i”m (theo nghắa toĂn hồc), m phÊi l mºt mi•n trong khổng gian tr⁄ng thĂi.

Ta câ gi£ thi‚t sau:

Kỵ hiằu O (O;r) , r > 0, l h…nh cƒu mð tƠm O bĂn k‰nh r:

O(O;r) = fx 2 R n : d(O; x) < rg v O(O;r), r > 0, l h…nh cƒu õng tữỡng ứng:

GiÊ thi‚t 2.2.2 Vợi mỉi i”m x trong mi•n quan sĂt R, x 2 R, tỗn t⁄i sŁ rx > 0 sao cho vợi b i toĂn (2.1)-(2.2) n‚u X v X 0 cũng thuºc h…nh cƒu

O(x;r x ), O(x;r x ) R, th… dœ liằu quan sĂt ữổc cıa chúng l nhữ nhau.

Mửc ‰ch cıa b i toĂn MTT:

Với mô hình và các điều kiện thông qua các giá trị thiết lập từ trán, dựa trên các giá trà (dữ liệu) quan sát được, chúng tôi đã xác định được các mức tiêu hàm có trong R tại mỗi thời điểm t, từ 2 [0; T] và được lường quỹ đạo của từng mức tiêu trong R và trong khoảng thời gian [0; T].

2.3.Phữỡng phĂp liản k‚t dœ liằu, chi‚n lữổc tŁi ữu v sỹ tỗn t⁄i cıa chi‚n lữổc tŁi ữu

2.3.1.Phữỡng phĂp liản k‚t dœ liằu ằ quy

Kỵ hiằu: Y (t) = fYt jjj = 1; 2; : : : ; ntg l t“p cĂc giĂ trà quan sĂt ữổc t⁄i thới i”m t, nt l sŁ lữổng cĂc k‚t quÊ quan sĂt ữổc t⁄i thới i”m t.

Y (0 : t) =0 l t“p cĂc giĂ trà quan sĂt ữổc cho tợi thới i”m t.

Yêu cầu của bài toán MTT là tổng hợp các kết quả quan sát được, xác định sự mức tiêu và các quy luật của chúng Lưu ý rằng tập hợp các giá trị quan sát được tại thời điểm t, tập Y(t), chứa các giá trị quan sát hoặc của mức tiêu này, hoặc của mức tiêu khác, hoặc của mức tiêu giả FA chữa phân ánh được và mỗi giá trị quan sát đều chỉ ra bao nhiêu mức tiêu bà che khuất cụng chữa rê.

Phương pháp liên kết dữ liệu trong quy trình bảo dưỡng y dược ra đời nhằm khắc phục các khó khăn do mức tiểu và che khuất gây ra Phương pháp này cho phép tối ưu hóa quy trình, nâng cao hiệu quả và giảm thiểu nản lòng trong công việc.

Chúng ta ữa ra mºt sŁ ành nghắa sau: ành nghắa 2.3.1 Mºt quÿ ⁄o cıa mửc tiảu thứ k xuĐt hiằn (b›t ƒu) t⁄i thới i”m t k i , t k i 2 [0; T ], v bi‚n m§t (k‚t thóc) t⁄i thíi i”m t k f , t k f 2 [0; T ] l :

Vợi As l cĂc t“p hổp, ta sò dửng kỵ hiằu t‰ch trỹc ti‚p: n

As = f(a1; a2; ; an) với as thuộc As; s = 1, , n Trong đó, s = 1 thể hiện quy tắc gối ak với k = 1, 2, , n là thành phần thứ k của phần tử (a1; a2; ; an) Một dãy chuyển liên kết dữ liệu với thời điểm bắt đầu ti và thời điểm cuối tf được gọi là L[ti; tf], là đoạn góp khúc nối các thành phần liên tiếp Yt j với Yt j.

+1 s+1 , t = ti; ti+1; : : : ; tf 1 ; s = 1; 2; : : : cıa mºt phƒn tò

O Y(t); t=t i v kỵ hiằu L j [ t i ;t f ] = Y t j i 1 ; Yt j i +1 2 ; : : : ; Yt j s ; : : : ; Yt f f i vợi Yt j 2 Y (t), ti 6 j t t +1 t 6 tf , v Yt ữổc gồi l ¿nh t⁄i thíi i”m t cıa d¥y chuy•n L[ t i ;t f ]

Chúng ta kỵ hiằu t“p ¿nh cıa L[ t i ;t f ] l DL[ t i ;t f ], nghắa l : j 1 j 2 j t f t i +1 g:

DL [ t i ;t f ] = fY t i ; Y t i +1 ; : : : ; Y t f ành nghắa 2.3.3 DƠy chuy•n L[ t i ;t f ] ữổc gồi l Ênh cıa quÿ ⁄o X k

[ t i k ;t f k ] cıa mửc tiảu thứ k n‚u: ti = ti k, tf = tf k v giĂ trà ¿nh Yt j l giĂ trà quan sĂt cıa X t k t⁄i thới i”m t qua mổ h…nh quan sĂt (2.2) (ho°c cử th” hỡn l

Nh“n x†t 2.3.1 a) N‚u xĂc ành ữổc dƠy chuy•n Ênh L[ t i ;t f ] th… viằc ữợc lữổng quÿ ⁄o X k l viằc l m  cõ nhi•u cổng tr…nh giÊi quy‚t  ữổc

Cổng bŁ là một công cụ mạnh mẽ trong việc xử lý tín hiệu, cho phép người dùng áp dụng bộ lọc Kalman để cải thiện độ chính xác trong các dự đoán Nếu tại thời điểm t, trong khoảng thời gian [0; T], chúng ta có chuỗi dữ liệu Y_t, thì giá trị Y_t sẽ được xác định dựa trên mục tiêu đã đề ra Điều này đặc biệt hữu ích trong trường hợp có nhiều mục tiêu ẩn trong dữ liệu tại thời điểm t, với m là số lượng mục tiêu Nếu giá trị Y_t là duy nhất cho mỗi chuỗi dữ liệu, thì giá trị Y_t sẽ là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (FA) tại thời điểm t.

” thu“n tiằn cho tr…nh b y, chúng ta dũng kỵ hiằu quy ữợc sau:

GiÊ sò a l mºt phƒn tò n o õ, ta kỵ hiằu: fag k = fa; a; : : : ; ag; k 2 N:

Card(A) = lỹc lữổng (sŁ phƒn tò) cıa t“p A:

Vợi t“p Y (t), t > 0, chúng ta xƠy dỹng hai t“p hổp: n t

Trong các phần 2.3.4 và 2.3.5, bài viết đề cập đến việc xây dựng các quy tắc liên quan đến việc tạo ra hình ảnh Định nghĩa 2.3.4 mô tả một liên kết giữa tập dữ liệu quan sát tại thời điểm t1, t2, , tn với một hình ảnh cụ thể M[Y(t1)] ! Y(t) Định nghĩa 2.3.5 trình bày một chiến lược liên kết dữ liệu với bối cảnh toàn quan sát nhằm đạt được mục tiêu cụ thể cho các hình ảnh: fft j t = t1, t2, , tng.

Tại thời điểm t = t0, chúng ta có M[Y(t0)] = Y(t0) Trong trường hợp này, chúng ta chỉ có thể cung cấp thông tin về giá trị tại thời điểm t0 mà không có thông tin về mục tiêu và che khuất Bằng cách sử dụng toán tổng quát, chúng ta có thể xác định phân phối tiềm năng và mục tiêu che khuất tại thời điểm t0.

2 ; : : : ; n t0 vợi cĂc k, k = 1; 2; : : : ; nt 0 , l cĂc phƠn phŁi xĂc suĐt tiản nghiằm. ii) Gi¡ trà Y t i l ¿nh cuŁi cıa d¥y chuy•n n‚u f t+1 (Y t i ) = ; iii) Gi¡ trà Yt j l ¿nh ƒu ( ¿nh khði t⁄o) n‚u Card ft

45 iv) GiĂ trà Yt l bĂo ºng giÊ (sŁ liằu o cıa FA) n‚u nõ vła l ¿nh ƒu vła l ¿nh cuŁi cıa mồi dƠy chuy•n nh“n nõ l ¿nh.

(1) (2) (3) (4) t (1) (4) (2) (3) t ti ti ti ti tf tf tf tf

Dữ liệu chuyển động của quỹ đạo được phân loại theo các mức tiêu chuẩn khác nhau Mỗi mức tiêu chuẩn l, với l = 1, 2, 3, sẽ có một dãy chuyển động dữ liệu riêng Thời gian t(i l) tương ứng với quỹ đạo của mức tiêu chuẩn thứ l, trong khi t(f l) chỉ ra thời gian cuối cùng của quỹ đạo đó.

, l = 1; 2; 3; : : : : l thới i”m k‚t thúc cıa quÿ ⁄o mửc tiảu thứ l.

2.3.2.KhĂi niằm chi‚n lữổc tŁi ữu tłng bữợc v sỹ tỗn t⁄i chi‚n lữổc tŁi ữu tłng bữợc

Dựa theo ý tưởng của suy luận Bayes, chúng ta phát triển khái niệm chiến lược tối ưu dựa trên xác suất hữu nghị tại mỗi bước cập nhật trạng thái Chiến lược này được định nghĩa là tập hợp các quyết định t1, t2, , tn, trong đó mỗi quyết định được xem như là chiến lược tối ưu tại từng bước hoặc tối ưu nếu.

P [f j Y t max P [f t j Y t ; 8 t; t (0 : )] = 8 f t (0: )] ð Ơy P [f t j Y (0 : t)] l xĂc suĐt h“u nghiằm cıa ph†p gĂn (Ănh x⁄) f t ành lỵ 2.3.7 Vợi cĂc GiÊ thi‚t 2.2.1 v 2.2.2 b i toĂn quan sĂt a mửc tiảu ang x†t luổn tỗn t⁄i chi‚n lữổc tŁi ữu.

Chứng minh ” chứng minh ành lỵ n y, chúng ta cƒn bŒ • sau:

BŒ • 2.3.8 Vợi cĂc GiÊ thi‚t 2.2.1 v 2.2.2, t“p n t , t 2 [0; T ] bà ch°n •u, nghắa l : 9N max ; N max < +1 sao cho : n t 6 N max ; 8 t 2 [0;T]:

T -chi‚n lữổc v thu“t toĂn xƠy dỹng T -chi‚n lữổc

Chi‚n lữổc tŁi ữu tłng bữợc luổn tỗn t⁄i ( ành lỵ 2.3.7), song viằc t…m chi‚n lữổc õ l khổng ỡn giÊn Chúng ta cõ th” xĂc ành ữổc bi”u thức giÊi t

‰ch cıa xĂc suĐt h“u nghiằm P [ft j Y (0 : t)], những viằc tł õ ” t…m ft l rĐt phức t⁄p v khõ khôn Th“m ch‰, ch¿ riảng viằc t‰nh xĂc suĐt h“u nghiằm P

[f t j Y (0 : t)] Â cõ khĂ nhi•u tĂc giÊ nghiản cứu v ữa ra nhi•u phữỡng phĂp, thu“t toĂn khổng ỡn giÊn; chflng h⁄n phữỡng phĂp MCMC (Markov Chain Monter Carlo); phữỡng phĂp chồn mÔu; [9],[31],[38],[45].

Mục tiêu của bài viết là đề xuất một hướng tiếp cận mới trong việc xây dựng chiến lược cho bài toán MTT, sử dụng phương pháp liên kết dữ liệu dựa trên hình ảnh Điều này sẽ giúp nâng cao hiệu quả của việc phát triển và kiểm định các giải pháp, đồng thời đảm bảo tính linh hoạt trong việc thích ứng với các biến động của bài toán.

Trong mức n y, T l kỵ hiằu của một tiêu chuẩn cho trước n o õ Ở mức tiếp theo (mức 2.5), chúng tôi sẽ trình bày bày cho một trường hợp cụ thể (khả phê dừng trong thực tiễn) với T l tiêu chuẩn K(")-tŁi ữu ảnh nghĩa 2.4.1 Giới thiệu T l một tiêu chuẩn mong muốn n o õ Một chiến lược liên kết dữ liệu với bài toán MTT được gọi là T -chiến lược nếu như mồi dơ chuyển dữ liệu Ênh của nó trong Y (O : T) thỏa mãn tiêu chuẩn.

T T -chi‚n lữổc ữổc kỵ hiằu l : fft T j t = t1; t2; :::; tng:

Viằc t…m T -chi‚n lữổc cõ nghắa l chúng ta phÊi xƠy dỹng ữổc hồ Ănh x⁄ fft T j t = t1; t2; :::; tng thọa mÂn ành nghắa 2.4.1 ð trản.

Kỵ hiằu Ll [t ; Yt i], 0 6 l 6 Card (ft T ) 1 (Yt i) , Yt i 2 Y (t), l dƠy chuy•n thứ l cõ ¿nh cuŁi t⁄i thới i”m t l Yt i Trong trữớng hổp,

Card (f t T) 1 (Y t i) = 0 () l = 0 () Y t i l sŁ o mợi xuĐt hiằn chữa ữổc g›n vợi dƠy chuy•n n o trữợc õ Nõ cõ th” l i”m khði ƒu (¿nh ƒu) cho mºt dƠy chuy•n mổi l Ênh cıa quÿ ⁄o cıa mửc tiảu mợi xuĐt hiằn n o õ.

Nõ cụng cõ th” l i”m cổ l“p (hay sŁ o cıa FA) m s‡ ữổc k‚t lu“n khi thỹc hiằn thu“t toĂn sau mŁc thới gian t + 1.

Kỵ hiằu DL l [t ; Y t i ] l t“p ¿nh cıa dƠy chuy•n L l [t ; Y t i ] (k” cÊ ¿nh cuŁi t‰nh ‚n thíi i”m t l Y t i ), 0 6 l 6 Card (f t T ) 1 (Y t i )

1] j 1 6 h 6 ns; s 6 t 1g [ fYt jg; vợi 1 6 j 6 nt. Thu“t toĂn ữổc ti‚n h nh ằ quy lƒn lữổt tł t = t1; t2; :::; tn Khi thỹc hiằn t⁄i thới i”m hiằn t⁄i t, t = t 1 ; t 2 ; :::; t n , th… cĂc f s T , s t 1 Â ữổc xĂc ành Chú ỵ r‹ng t⁄i t = t1 th…:

1 Y 0 i = 0; nghắa l Y0 i l i”m khði t⁄o cıa dƠy chuy•n dœ liằu Ênh ho°c l FA (tũy k‚t quÊ cıa Ănh x⁄ bữợc k‚ ti‚p s‡ xĂc ành rê).

Nhữ v“y, t⁄i thới i”m hiằn t⁄i t, t = t1; t2; :::; tn, ta  xĂc ành ữổc:

+ T“p dœ liằu quan sĂt cıa thới i”m trữợc (li•n k•) l Y (t 1). + nh x⁄ ft T

Chóng ta x¥y düng ¡nh x⁄: ft T : M [Y (t 1)] ! Y (t) theo quy t›c sau

() khi â, ft T (y) i i Card(f T ) 1 (Y i ) y = Yt 1 2 fYt 1g t 1 t 1

L÷u þ r‹ng n‚u Card (f t T 1 ) 1 (Y t i 1 ) = 0 () l = 0, khi â y = Y t i 1 l i”m ho°c l khði ƒu cıa mºt d“y chuy•n mợi, ho°c l FA.

Nh“n x†t 2.4.1. a/ D„ d ng th§y r‹ng còng mºt gi¡ trà o y = Y t i 1 nh÷ng f t T (y) = f t T (Y t i 1 ) cõ th” nh“n m + 1, vợi m = Card (ft T

Việc áp dụng lý thuyết ảnh hưởng trong ngành mổ tê đã gặp nhiều khó khăn, đặc biệt trong các cổng thông tin khác của Luân Ăn Do đó, trong Luân Ăn hiện nay, chúng tôi không thể bỏ qua lý thuyết ảnh hưởng Hằng tháng, ảnh hưởng này được thể hiện rõ trong các số liệu và ý nghĩa, cho thấy rằng chúng tôi không chỉ quan tâm đến giá trị của Y mà còn đến các yếu tố khác liên quan.

‰nh ‚n làch sò quÿ ⁄o quĂ khứ m Yt i

1) 1 (Y t i 1 ) ch‰nh l sŁ mửc tiảu tŁi thi”u bà che khuĐt lÔn nhau t⁄i thới i”m (t 1) v cõ cũng giĂ trà quan s¡t l Y i t 1

Khi thỹc hiằn lƒn lữổt t = t1; t2; :::; tn, chúng ta s‡ thu ữổc T -chi‚n lữổc: fft T j t = t1; t2; :::; tng:

Thu“t toĂn t…m T -chi‚n lữổc thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau:

X†t thới i”m hiằn t⁄i t, t1 t tn = T (thỹc hiằn tuƒn tỹ t t1; t2; :::; tn) n‚u t = tk th… t 1 = tk 1

T⁄o t“p dœ liằu quan sĂt t⁄i thới i”m t:

(thỹc hiằn tuƒn tỹ l = 0; 1; :::; Card (f t T 1 )

Vợi mỉi j, 1 j nt, (thỹc hiằn tuƒn tỹ j = 1; 2; :::; nt). h i

] [ Yt j. X¡c ành Ll t ; Yt j = Ll [(t 1) ; Yt i 1

Ki”m tra tiảu chu'n T Łi vợi L l h t ; Y t j i.

+ N‚u L l t ; Y t j thọa mÂn tiảu chu'n T th… xĂc ành ft T (Yt i

+ N‚u Ll t ; Yt j khổng thọa mÂn tiảu chu'n T th… sau õ x†t ti‚p vợi viằc thay j bði j + 1 (n‚u j + 1 nt). h i

N‚u , 8 j = 1; 2; :::; nt m Ll t ; Yt j •u khổng thọa mÂn tiảu chu'n

1 ) 1 (Y t i 1 ) th… quay l⁄i Bữợc 2 vợi l ữổc thay bði l + 1.

- N‚u i < nt 1th… quay l⁄i Bữợc 2 vợi viằc thay Œi i bði i + 1.

+ N‚u t < t n = T th… quay l⁄i Bữợc 1 vợi t ữổc thay bði t + 1.

Chi ti‚t Thu“t toĂn t…m T -chi‚n lữổc ữổc th” hiằn trong sỡ ỗ khŁi H…nh 2.3 v trong thu“t to¡n 2.1 sau ¥y.

B›t ƒu t := 0; i := 0; l :1; j := 0; Nh“p T t := t+1; Nh“p Y (t); nt := Card(Y (t)) i := i + 1 l := l + 1 j := j + 1

Ll h t ; Yt j i thọa mÂn T S j < nt

K‚t thóc H…nh 2.3 Sỡỗ logic c i °t thu“t toĂn t…m T -chi‚n lữổc.

(Trong h…nh kỵ hiằu: úng: ; Sai: S)

Thu“t toĂn 2.1 Thu“t toĂn t…m T -chi‚n lữổc

Output: T -chi‚n lữổc fft T jt = t1; t2; : : : ; tng

Chi‚n lữổc " K(") -tŁi ữu" v thu“t toĂn t…m chi‚n lữổc " K(") -tŁi ÷u"

Trong lĩnh vực tối ưu hóa, thuật toán Kalman đóng vai trò quan trọng trong việc xác định và đánh giá chiến lược Theo đó, chiến lược "K-tối ưu" được định nghĩa là phương pháp tối ưu hóa các biến quan sát trong một khoảng thời gian nhất định Sử dụng mô hình Kalman, chúng ta có thể đánh giá độ chính xác của các dự đoán dựa trên thông tin thu thập được Một chiến lược hiệu quả sẽ đảm bảo rằng các dữ liệu quan sát được cập nhật liên tục, giúp tối ưu hóa kết quả cuối cùng Điều này cho thấy rằng, nếu các biến quan sát được cập nhật chính xác, khả năng đạt được mục tiêu tối ưu sẽ cao hơn.

Khi sò dừng dœ liằu của dây chuyền, được lượng giá theo mục tiêu tương ứng theo lọc Kalman, phương sai được lượng giá P(tjt) là một tiêu chí phản ánh mức độ tồn tại của dây chuyền trong thời gian.

A2 GiĂ trà phữỡng sai ữợc lữổng P (tjt) vła nảu trong (A1 ) khổng vữổt quĂ ", " > 0, vợi mồi t thuºc mi•n thới gian tỗn t⁄i cıa dƠy chuy•n.

— Ơy, " > 0, " cho trữợc b† tũy ỵ, ữổc gồi l ngữùng chĐp nh“n cıa chi‚n lữổc.

Chi‚n lữổc ữổc ành nghắa trong ành nghắa 2.5.1 ữổc gồi l "K(") -tŁi ữu" p dửng k‚t quÊ cıa mửc 2.3.4 chúng tổi ữa ra thu“t toĂn t…m chi‚n lữổc "K(") -tŁi ữu" nhữ sau:

GiÊ sò cho " l mºt sŁ cho trữợc b† tũy ỵ GiĂ trà " s‡ ữổc gồi l ngữùng sai lằch.

Theo ành nghắa 2.3.4, 2.3.5, 2.3.6 v 2.5.1 chúng ta xƠy dỹng chi‚n lữổc K(") -tŁi ữu i•u õ cõ nghắa l chúng ta i xƠy dỹng hồ fft K(") j t = t1; t2; : :

Phương pháp MHT kết hợp với lọc Kalman mở rộng là một giải pháp hiệu quả để đáp ứng các yêu cầu trong lĩnh vực phân tích dữ liệu Việc áp dụng phương pháp này giúp cải thiện độ chính xác và tính linh hoạt trong quá trình xử lý thông tin Để đạt được kết quả tối ưu, chúng ta cần nắm rõ các khái niệm cơ bản và hiểu rõ cách thức hoạt động của từng phương pháp.

Trong bài toán MTT, các hàm F(k) trong mô hình biến đổi trạng thái là rất quan trọng Thực tế, người ta có thể cung cấp một số thông tin tiềm năng nhằm dự báo những biến động, loại hoặc tính chất của các hàm này Những thông tin tiềm năng và dự báo về các hàm lực trong mô hình biến đổi trạng thái (quá trình chuyển động) của mức tiêu thụ X được biểu diễn bằng hồ sơ fF(k,j) Thực tế không cần phân tích một quy luật cụ thể nào, mà là quy luật của mức tiêu thụ thứ m, nhằm nắm bắt một tình trạng tổng quát.

Kỵ hiằu F = fF j 2 g v gồi l t“p thổng tin tiản nghiằm v dỹ bĂo v• hằ ºng lỹc cõ th” cõ cıa cĂc mửc tiảu cƒn quan sĂt Cƒn lữu ỵ r‹ng n‚u khổng cõ thổng tin tiản nghiằm hay dỹ bĂo n o th… khi giÊi quy‚t b i toĂn phÊi x†t vợi mồi h m l Ănh x⁄ o ữổc: F : R n x ! R n x Chúng ta nghiản cứu ch¿ vợi giÊ thi‚t Thổng tin tiản nghiằm v dỹ bĂo c ng tŁt th… c ng nhọ v sŁ lữổng t‰nh toĂn trong thu“t toĂn c ng gi£m i.

Khi áp dụng bộ lọc Kalman trong tính toán liên quan đến mô hình biến động trạng thái F, mô hình quan sát G và tập dữ liệu quan sát Z, chúng ta cần lưu ý rằng mô hình quan sát G có thể thay đổi theo thời gian Điều này khiến cho việc dự đoán không còn phụ thuộc hoàn toàn vào G Khi thực hiện các phép toán (2.1) - (2.3) với F = F và tập dữ liệu quan sát Zl t(j), ta có thể tính toán được phương sai sai số dự đoán và hiểu rõ hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả.

” ỡn giÊn trong tr…nh b y cụng nhữ ” thu“n tiằn trong c i °t, ta tr…nh b y thu“t toĂn t…m chi‚n lữổc K(") -tŁi ữu theo cĂc bữợc nhữ sau:

(thỹc hiằn tuƒn tỹ t = t1; t2; : : : ; tn, n‚u t = tk th… tk 1 = tk 1 ).

T⁄o t“p dœ liằu quan sĂt ð thới i”m t (n‚u t 6 T ):

(N‚u khổng cõ sŁ liằu thỹc t‚ tł b i toĂn MTT cử th” th… t“p Y (t) ữổc t⁄o b‹ng mổ phọng theo phƠn phŁi Poisson).

Vợi mỉi l, 0 6 l 6 Card (f 1 (Y i )), ữổc x†t tuƒn tỹ vợi: t 1 t 1 sò dửng lồc Kalman t‰nh P lij F (t j t) ứng vợi mồi j; 1 6 j 6 n t , nghắa l ứng vợi mồi:

N‚u li > " (ngữùng cho trữợc), ta k‚t lu“n dƠy chuy•n L l [(t 1) ; Y t i

2 lij g khi â d¥y chuy•n Ll [(t 1) ; Yt i

1] ữổc nŁi ti‚p tł ¿nh Yt i

Y j theo quÿ ⁄o chuy”n tr⁄ng thĂi F v ” rê hỡn ta kỵ hiằu thảm ch¿ sŁ t

F (t) Nghắa l vợi Y t i 1 l ¿nh cıa dƠy chuy•n L l [(t 1) ; Y t i 1] ta cõ ft K(")(Yt i

(cƒn lữu ỵ r‹ng ft : M[Y (t 1)] ! Y t) v chuy”n sang bữợc 3.

1)) th… quay l⁄i l m ti‚p vợi l := l + 1; N‚u l = Card (ft 1

+ N‚u i < nt 1 th… quay l⁄i bữợc 2 vợi viằc thay i := i + 1,

+ N‚u i = nt 1 th… chuy”n sang bữợc 4.

N‚u t < T = tn, quay l⁄i bữợc 1 vợi viằc thay t := t + 1, N‚u t

Chú ỵ: Trong bữợc 2, chúng ta cƒn nhĐn m⁄nh v nõi rê hỡn vĐn • sau Khi x†t tợi dƠy chuy•n Ll [t ; Yt i], ta giÊ sò dƠy chuy•n n y xuĐt phĂt tł ¿nh ƒu

Y s m t⁄i thíi i”m s, s 2 [0; T ] n o â, khi â ta ho n to n x¡c ành:

[s; t] = [ts; ts+1] [ (ts+1; ts+2] [ : : : [ (tk; t]:

Việc thu thập dữ liệu là quy trình tỉ mỉ, đòi hỏi sự kiên nhẫn khi xác định thời điểm thích hợp để thực hiện Để đạt được hiệu quả cao, cần phải cân nhắc kỹ lưỡng giữa các bước trong quy trình, từ việc thu thập thông tin đến việc phân tích và đánh giá Chúng ta cần xây dựng hướng dẫn chi tiết để đảm bảo rằng mọi khía cạnh đều được thực hiện một cách chính xác và hiệu quả.

H m F LS ( ) mổ tÊ hằ ºng lỹc cıa mửc tiảu cõ Ênh quÿ ⁄o l dƠy chuy•n L l [(t 1) ; Yt i

1] Khi thỹc hiằn b i toĂn lồc (2.1) - (2.3) trong bữợc 2, hằ ºng lỹc F ữổc thỹc hiằn l :

V… l‡ F LS ( ) Â ữổc xĂc ành nản trong kỵ hiằu ta ch¿ kỵ hiằu phử thuºc

Nh“n x†t v l m rê thảm v• thu“t toĂn:

Các thuật toán bám mục tiêu và bám quỹ đạo trong bài toán MTT (Multi-Target Tracking) đóng vai trò quan trọng trong việc theo dõi và quản lý các đối tượng trong môi trường phức tạp Những thuật toán này thường sử dụng ma trận xác định dữ liệu và các mô hình covarian để xử lý thông tin hiệu quả Trong trường hợp mục tiêu bị che khuất, các thuật toán thường phải xây dựng một mục tiêu và một quỹ đạo bám sát, đồng thời cập nhật phần tử theo thời gian thực để đảm bảo tính chính xác trong việc theo dõi.

Thực hiện thu thập thông tin trong lĩnh vực ăn uống đang trở thành một nhiệm vụ quan trọng để nâng cao chất lượng dịch vụ Việc bám sát các quy định và thông tin liên quan đến an toàn thực phẩm không chỉ giúp bảo vệ sức khỏe người tiêu dùng mà còn nâng cao uy tín của cơ sở kinh doanh Đặc biệt, việc áp dụng các tiêu chuẩn an toàn thực phẩm sẽ góp phần cải thiện hiệu quả hoạt động và giảm thiểu rủi ro trong quá trình sản xuất và cung cấp thực phẩm.

⁄o bĂm, , trong mổi trữớng mửc tiảu d y °c v cõ th” bà che khuĐt.

Chi ti‚t Thu“t toĂn t…m "K(") - tŁi ữu" ữổc th” hiằn trong sỡ ỗ khŁi H…nh2.4 v trong thu“t to¡n 2.2 sau ¥y.

= min min P F q (t t) S li 1 j n t lij j li > " S ft (Yt i

S K‚t thóc H…nh 2.4 Sỡỗ logic c i °t thu“t toĂn t…m "K( ) - tŁi ữu"

(Trong h…nh kỵ hiằu: úng: ; Sai: S)

Thu“t toĂn 2.2 Thu“t toĂn t…m chi‚n lữổc K( ) -tŁi ữu

Output: Chi‚n lữổc K( ) tŁi ÷u: n ft K( )

4 Get Input(Y (t)); nt = Card(Y (t)); o jt = t1; t2; : : : ; tn

8 T‰nh P lij F q (tjt); li = min min P F q (t t);

K‚t lu“n Ch÷ìng 2

Chữỡng 2 cıa lu“n Ăn t“p trung nghiản cứu lợp b i toĂn MTT tŒng quĂt cõ th” cõ mửc tiảu bà che khuĐt Vợi lợp b i toĂn n y, cĂc nghiản cứu  ữổc

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá 62 cổng bŁ trong v ngo i nữợc, tập trung vào việc chữa kh›c phửc ữổc t… nh tr⁄ng "mĐt mửc tiảu" và "mĐt quÿ ⁄o bĂm" Chúng tôi cũng sẽ phân tích các kết quả chính từ nghiên cứu và thu ữổc cĂc k‚t qu£ ch‰nh.

Chiến lược liên kết dữ liệu mới được xây dựng dựa trên mô hình M[Y(t1)] nhằm cải thiện hiệu quả của việc phân tích dữ liệu Cấu trúc khoa học hợp lý của tập nguồn M[Y(t1)] cho phép xác định các biến số quan trọng, từ đó tạo ra các mục tiêu rõ ràng và đạt được kết quả tối ưu trong quá trình phân tích.

2/ Chứng minh sỹ tỗn t⁄i chi‚n lữổc liản k‚t dœ liằu tŁi ữu theo nghắa l m cỹc ⁄i xĂc suĐt h“u nghiằm t⁄i mỉi bữợc lồc.

3/ XƠy dỹng chi‚n lữổc liản k‚t dœ liằu thọa mÂn t‰nh chĐt cho trữợc T n o â.

4/ XƠy dỹng chi‚n lữổc liản k‚t dœ liằu thọa mÂn t‰nh chĐt K(") -tŁi ữu

- l t‰nh chĐt thữớng ứng dửng trong thỹc t‚.

CĂc k‚t quÊ ch‰nh cıa chữỡng n y  ữổc cổng bŁ ð cĂc b i bĂo khoa hồc [CT1]; [CT2].

CHìèNG 3 M˘ H NH MARKOVN TRONG B I TO N QUANS TQUò O

Chữỡng n y lu“n Ăn nghiên cứu lợp mổ h…nh MTT m trong các mức tiểu ữổc quan tâm l lợp mửc tiảu n o õ trong sŁ các mửc tiảu cõ th” cõ cıa mổ h…nh MTT Trường hợp lợp mửc tiảu ữổc quan tâm l lợp con thỹc sỹ cıa lợp tĐt cÊ các mửc tiảu cõ th” cõ cıa mổ h…nh, thì các thu“t toán v• MTT ữổc cổng bŁ cho ‚n thới i”m hiằn tại khổng th” Ăp dửng ữổc v hiằn chữa cõ phữỡng phĂp giÊi n o ữổc cổng bŁ Lu“n Ăn  ữa ra phữỡng phĂp ti‚p c“n õ l sò dửng mổ h…nh Markov 'n ” giÊi quy‚t.

Giợi thiằu mð ƒu

Trong thực tiễn, có nhiều lớp mổ hình MTT với nhiều ứng dụng và thường gặp Điều này đặc biệt đúng với các phương pháp truyền thống và thống dụng trong các mổ hình MTT hiện nay Chúng ta sẽ nêu một số ví dụ điển hình trong thực tiễn.

Trong chiến dịch "Điện Biên Phủ trên không" tại Hà Nội tháng 12 năm 1972, lực lượng phòng không đã sử dụng tên lửa SAM-2 để đáp ứng yêu cầu chiến đấu Bộ Tư lệnh tham mưu và Quân chủng Phòng không quyết định tập trung lực lượng SAM-2 để tiêu diệt máy bay B-52, cùng với các mục tiêu khác như máy bay của Mỹ Hệ thống phòng không đã được triển khai để bảo vệ các mục tiêu quan trọng, đặc biệt là trong bối cảnh chiến dịch này Mục tiêu chính là tiêu diệt máy bay B-52, với sự phối hợp chặt chẽ giữa các lực lượng phòng không.

V‰ dử 3.2 Vợi hằ thŁng phặng thı trong chi‚n tranh h⁄t nhƠn cõ mºt hằ

64 thùng chức năng trong ô mổ hành MTT có nhiệm vụ vững chắc nhằm xác định các mục tiêu có thể mang đầu đạn hạt nhân, bao gồm cả các mục tiêu phân tán và máy bay chiến lược mang bom hạt nhân, trong suốt quá trình xác định các mục tiêu có trong không gian phận thể.

Chúng ta sẽ xem xét một lợp mổ hình MTT trong tổng quan tóm tắt theo đề tài và xác định không phải là tất cả các mục tiêu mà chỉ là một lợp con trong số đó Trong trường hợp lợp mục tiêu được quan tâm là lợp con thực sự của lợp tất cả các mục tiêu cụ thể, thì các phương pháp, các thuật toán sẽ không còn phù hợp nữa Luôn áp dụng phương pháp tiếp cận bằng cách sử dụng mô hình Markov để giải quyết lợp mổ hình MTT này Các kết quả theo hướng nghiên cứu sẽ được trình bày trong chương 3 này.

Cấu trúc của chương gồm có 6 mức Mức 3.1 là mức "Giới thiệu đề tài"; mức 3.2 là mức phát biểu và xây dựng mô hình toán học cho bài toán MTT được nghiên cứu trong chương này; mức 3.3 là mức giới thiệu HMM; mức 3.4 là mức trình bày các kết quả nghiên cứu, mở rộng các kết quả trong HMM cho mục tiêu nghiên cứu MTT của luận án; mức 3.5 là ứng dụng các kết quả nghiên cứu vào việc giải bài toán MTT; và cuối cùng, mức 3.6 là một số bàn luận, nhận xét về kết luận chương trình.

Mổ h…nh toĂn hồc b i toĂn MTT

3.2.1.Mổ h…nh toĂn hồc b i toĂn MTT

Giới thiệu về các lĩnh vực quan sát (hay còn gọi là cặn gồi l mửc tiểu) diễn ra trong một miền không gian và trong một khoảng thời gian nhất định Miền không gian mà chúng ta cần quan tâm là miền R, nơi mà R n x là không gian trạng thái của mục tiêu, và n x là chiều kích của vật thể trong trạng thái của mục tiêu R ữổc gồi là miền quan sát.

Kỵ hiằu [1; T ], T > 1, T 2 R + , l khoÊng thới gian m ta cƒn quan tƠm.

[1; T ] ữổc gồi l khoÊng thới gian cıa quĂ tr…nh quan sĂt Do cĂc thới i”m quan sĂt: t 1 , t 2 , : : :, t n ; 1 = t 1 < t 2 < : : : < t n = T , l rới r⁄c, nản khổng mĐt t

‰nh tŒng quĂt, khi nõi ‚n thới i”m thứ i (ti), chúng ta cõ th” quy ữợc:

T 2 Z + , ti 2 Z + v ỗng nhĐt ti = i, i = 1; 2; : : : ; T ; trong õ, t1 = 1 l lƒn quan sĂt ƒu tiản v tn = T l lƒn quan sĂt cuŁi cũng cıa quĂ tr…nh quan sĂt.

Các mức tiêu xuất hiện, biến mất một cách ngẫu nhiên Các mức tiêu xuất hiện và biến mất có phần lớn trong R Các mức tiêu xuất hiện chuyển động và biến mất một cách độc lập với nhau Các mức tiêu giá FA được xem như là một loại mức tiêu và cùng tồn tại theo các giới thiết (và mức tiêu) như các mức tiêu khác.

Kỵ hiằu Xt k, t 2 t k i; t k f , k = 1; 2; : : : l tr⁄ng cıa mửc tiảu thứ k t⁄i thới i”m t (t k i v t k f l thới i”m xuĐt hiằn v bi‚n mĐt tữỡng ứng).

Kỵ hiằu M l lợp mửc tiảu m mổ h…nh MTT quan tƠm.

SŁ mửc tiảu cƒn quan tƠm cõ trong R t⁄i thới i”m t kỵ hiằu l M t , khi õ ta câ:

Mt = Mt(!) = CardfXt kjk 2 Mg:

SŁ mửc tiảu khổng thuºc lợp mửc tiảu quan tƠm cõ trong R t⁄i thới i”m t kỵ hiằu l G t , khi õ:

Gt = Gt(!) = CardfXt sjs 2= Mg:

Mºt cĂch hổp lỵ v tỹ nhiản, chúng ta giÊ thi‚t:

+ Mt = Mt(!) l bi‚n ngÔu nhiản Poisson vợi tham sŁ m, m > 0.

+ CĂc X t k , k 2 M, xuĐt hiằn vợi xĂc suĐt p m , 0 < p m < 1.

+ Gt = Gt(!), l bi‚n ngÔu nhiản Poisson vợi tham sŁ g, g > 0.

+ CĂc Xt s, s 2= M, xuĐt hiằn vợi xĂc suĐt pg, 0 < pg < 1 (trong cĂc mổ h…nh thüc t‚ th÷íng p g 6= p m v th“m ch‰ p g p m ).

Lữu ỵ: GiĂ trà pm v m (tữỡng ứng pg v g) cõ mŁi liản hằ toĂn hồc do ành lỵ giợi h⁄n àa phữỡng (phƠn bŁ B [n; p] dƒn tợi phƠn bŁ P ( ) khi n ! 1).

Y(t) = Yt, với j = 1, 2, , nt, là một biến ngẫu nhiên thể hiện các kết quả quan sát được tại thời điểm t, t = t1, t2, , tn Biến nt đại diện cho số lượng các kết quả quan sát được tại thời điểm t, và có thể được biểu diễn thông qua một toán học chính xác Cụ thể, nt = Card Y(t) và nt = nt(ω) = Mt(ω) + Gt(ω), trong đó Mt(ω) và Gt(ω) là các thành phần độc lập, với Mt(ω) tương ứng với phân phối m và Gt(ω) tương ứng với phân phối g Do đó, số lượng kết quả nt có thể được tính toán bằng nt = nt(ω) = P(m + g).

Mỉi giĂ trà quan sĂt cõ th” l giĂ trà quan sĂt thu ữổc tł mửc tiảu n o õ ho°c cõ th” l giĂ trà quan sĂt do mửc tiảu giÊ gƠy ra.

Yảu cƒu cıa b i toĂn MTT l : HÂy xĂc ành sŁ lữổng mửc tiảu cõ trong lợp

M t⁄i mỉi thới i”m t trong mi•n thới gian quan sĂt trong R, nghắa l x¡c ành Mt(!).

Trong mổ h…nh toĂn hồc cıa b i toĂn MTT, v• m°t toĂn hồc bi‚n ngÔu nhiản nt cõ phƠn phŁi Poisson vợi tham sŁ ( m + g) Do õ, t“p giĂ trà cıa nt l N = f0; 1; 2; : : : g.

Khi â ta câ: lim P [n = k] = lim ( m + g) k e ( m + g ) = 0: k! k!+1 t k!+1

Do v“y, vợi " > 0 tũy ỵ b†, tỗn t⁄i N = N(") 2 N + sao cho

Ho n to n tữỡng tỹ, v… Mt cõ phƠn phŁi Poisson vợi tham sŁ m, m > 0 nản: lim P [M = k] = lim ( m) k e m = 0 k k! k + t +

Nản vợi " > 0 tũy ỵ b†, tỗn t⁄i M = M(") 2 N + sao cho:

Ta ÷a ra gi£ thi‚t sau ¥y:

Lữu ỵ: Tũy theo º ch‰nh xĂc yảu cƒu m M v N ữổc chồn tữỡng ứng. Song M v N c ng chồn vợi giĂ trà lợn th… º phức t⁄p t‰nh toĂn trong lới giÊi c ng cao.

Bài viết này sẽ tập trung vào mổ h…nh xĐp x¿ và mổ h…nh gƒn úng theo GiÊ thi‚t 3.2.1, đồng thời trình bày những điều kiện tuân thủ cần thiết Nội dung sẽ cung cấp cái nhìn tổng quan về nghiên cứu trong chương 3, giúp độc giả hiểu rõ hơn về các khía cạnh quan trọng của vấn đề này.

Mổ h…nh Markov 'n (HMM-Hidden Markov Model)

Quy luật ngẫu nhiên trong tự nhiên thay đổi theo thời gian, và trạng thái của quy luật này có thể được mô tả bằng các đặc điểm khác nhau Những biến đổi trong trạng thái này liên quan mật thiết đến sự tồn tại của các hiện tượng ngẫu nhiên khác Bằng cách áp dụng toán học, chúng ta có thể mô hình hóa các hiện tượng này một cách chính xác.

X†t mºt quĂ tr…nh ngÔu nhiản S-giĂ trà X t ; S ð Ơy ữổc giÊ thi‚t l Card(S) = M < +1 Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, chúng ta kỵ hiằu:

Quá trình Xt là một quá trình ngẫu nhiên liên quan đến giá trị trạng thái S; sau đó, chúng ta sẽ xem xét Xt như một quá trình Markov.

Kỳ hiệu quả là trạng thái của quá trình xác định tại thời điểm t, t thuộc khoảng [1; T] Khi đó, quá trình nhận giá trị trong S Các trạng thái quá trình được ký hiệu là Sj, với 1 ≤ j ≤ M, Sj thuộc S, là khổng quan sát được những yếu tố có liên kết mật thiết với thiết bị (phép tương ứng).

1-1 hay cõ th” gồi l ph†p nhúng) vợi mºt bi‚n ngÔu nhiản quan sĂt ữổc V -giĂ trà vợi Card(V ) = N < +1 Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, chúng ta giÊ sò r‹ng:

Các phần tử v k, v k 2 V, 1 k N là quan sát được trong không gian các giá trị quan sát Kỳ hiệu Ot là giá trị quan sát được của hệ thống trong trạng thái Sj tại thời điểm t, t 2 [1; T], thể hiện phân phối của biến ngẫu nhiên quan sát được V - giá trị tương ứng với trạng thái qt = Sj cho bội phân phối.

B = fbj(k)g vợi bj(k) = P [Ot = vkjqt = Sj] ; 1 k N; 1 j M; trong â, bj(k) 0; 1 k N; 1 j M;

CĂc nghiản cứu v• Mổ h…nh Markov 'n (HMM) [16],[25], cho ‚n thới i”m hiằn t⁄i, ữổc cổng bŁ •u giÊ thi‚t r‹ng HMM phÊi thọa mÂn ba giÊ thuy‚t sau ¥y: a/ Gi£ thuy‚t v• t‰nh Markov

QuĂ tr…nh 'n X t cõ t‰nh Markov, cõ nghắa l :

P qt+1 = Sjjq1 = Si 1 ; q2 = Si 2 ; : : : ; qt 1 = Si t 1 ; qt = Si

= =P [qt+1 = Sjjqt = Si] = aij (t) v aij (t) ữổc gồi l xĂc suĐt chuy”n tł tr⁄ng thĂi Si sang tr⁄ng thĂi

Sj ð thới i”m (bữợc thứ) t. b/ Gi£ thuy‚t v• t‰nh dłng (thuƒn nh§t)

P [qt+1 = Sjjqt = Si] = P [ql+1 = Sjjql = Si] = aij; 8t; l:

Hay nâi một cách khác ai (t) ai; 8t: ai được gọi là xác suất chuyển trạng thái sau một bước, A := được gọi là ma trận chuyển trạng thái sau một bước.

X aij = 1; 1 i M j=1 c/ Gi£ thuy‚t v• t‰nh ºc l“p quan s¡t

Giá trị yêu cầu và một thống kê quan sát tại độc lập với các quan sát trước đó Một toán học điều này có nghĩa là giá trị vợi HMM có dãy quan sát O = O1 O2 OT (ứng với dãy trạng thái).

P [OjQ; HM M] = P [Otjqt; HM M] t =1 [a ij ]

Để xác định phân bố trạng thái ban đầu của mô hình HMM, cần phải hiểu rõ các tham số như f_i, 1_i, Mg, và P[q_1 = S_i] Việc này giúp xác định phân phối trạng thái ban đầu một cách chính xác và hiệu quả.

Vợi nhœng i•u bŒ trổ  ữa v o nhữ trản, bƠy giớ chúng ta mổ tÊ th nh phƒn c§u tróc, qu¡ tr…nh ho⁄t ºng v nhœng v§n • (b i to¡n) cì b£n cıa HMM.

C¡c th nh phƒn cıa HMM

1/ Tham sŁ ch¿ sŁ lữổng tr⁄ng thĂi cıa mổ h…nh

Mô hình Markov là một công cụ quan trọng trong việc phân tích các trạng thái trong hệ thống Nó cho phép mô tả sự chuyển đổi giữa các trạng thái theo thời gian dựa trên quy luật xác suất Mỗi trạng thái có thể chuyển sang trạng thái khác theo một quy tắc nhất định, và nếu một trạng thái bắt buộc có thể đạt được từ bất kỳ trạng thái nào khác, mô hình được gọi là ergodic Việc hiểu rõ các trạng thái riêng biệt trong mô hình Markov giúp nâng cao khả năng phân tích và dự đoán trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

S = fS1; S2; :::; SM g v q t l tr⁄ng thĂi cıa mổ h…nh ð thới i”m t, t 2 [1; T ] Khi õ, q t nh“n giĂ trà trong S, v S ữổc gồi l khổng gian tr⁄ng thĂi.

2/ Tham sŁ ch¿ sŁ lữổng cĂc giĂ trà quan sĂt

Kỵ hiằu N l sŁ cĂc bi”u tữổng (giĂ trà) quan sĂt cõ th” cõ liản quan ‚n cĂc tr⁄ng thĂi cıa mổ h…nh Chúng ta kỵ hiằu t“p cĂc giĂ trà quan sĂt riảng biằt l.

Quan sĂt thu ữổc t⁄i thới i”m t kỵ hiằu l Ot Nhữ v“y, Ot nh“n giĂ trà trong V v t“p V ữổc gồi l khổng gian cĂc giĂ trà quan sĂt.

3/ Ph¥n phŁi x¡c su§t chuy”n tr⁄ng th¡i

1 i;j M trong â, aij = P [qt+1 = Sjjqt = Si] ; 1 i; j M:

Vợi HMM m mºt tr⁄ng thĂi bĐt ký có thể chuyển đổi tới một trạng thái bĐt ký khác sau một bước, với xác suất aij > 0; 8i; j Trong trường hợp ngược lại, chúng ta có aij = 0 với một hay nhiều cặp (i; j) Để đảm bảo yêu cầu A, ma trận phải là ma trận ngẫu nhiên, nghĩa là:

Trong luận ăn, ta thấy rõ mối liên quan giữa trạng thái và xác suất chuyển tiếp Cụ thể, xác suất P[q_{t+1} = S_j | q_t = S_i] thể hiện khả năng chuyển từ trạng thái S_i sang S_j trong quá trình Điều này có nghĩa là, nếu biết trạng thái hiện tại, ta có thể dự đoán xác suất của trạng thái tiếp theo Các biểu thức này giúp làm rõ các mối quan hệ trong mô hình xác suất.

4/ PhƠn phŁi xĂc suĐt cıa cĂc quan sĂt khi hằ thŁng ð tr⁄ng thĂi: Sj,

5/ Ph¥n phŁi cıa tr⁄ng th¡i ban ƒu = f i; 1 i Mg trong â, i= P [q1 = Si] ; 1 i M:

” tiằn trong tr…nh b y, kỵ hiằu bº ba phƠn phŁi A, B, l :

Nhữ v“y, khi xĂc ành ữổc M, N v cõ nghắa l ta  xĂc ành ữổc mºt mổ h…nh Markov 'n v HMM n y cụng dũng kỵ hiằu l

V“n h nh cıa HMM theo thíi gian

GiÊ sò quan tƠm trong mi•n thới gian [1; T ], T > 1, T 2 N +

GiÊ sò Â cho mºt mổ h…nh Markov 'n (HMM) Khi õ,

1/ x¡c ành tr⁄ng th¡i ban ƒu q 1 = S i theo ph¥n phŁi

3/ xĂc ành quan sĂt O t = v k theo phƠn phŁi B (cử th” l dặng thứ i: fbi(k); 1 k Ng)

4/ Chuy”n tr⁄ng th¡i tł qt sang qt+1 = Sj theo ph¥n phŁi x¡c su§t A.

Qu¡ tr…nh s‡ dłng l⁄i khi t = T

Nhữ v“y, HMM cho ra mºt dÂy quan sĂt: O = O 1 O 2 O T vợi T l sŁ quan s¡t.

CĂc vĐn • cỡ bÊn khi nghiản cứu HMM

Mô hình HMM (Hidden Markov Model) là một công cụ mạnh mẽ trong việc phân tích chuỗi thời gian và các trạng thái ẩn Với khả năng xử lý dữ liệu không hoàn chỉnh và biến động, HMM cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về các quá trình ngẫu nhiên trong không gian quan sát Thời gian rời rạc và các trạng thái ẩn là những yếu tố quan trọng giúp mô hình này trở nên hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

CĂc cổng tr…nh nghiản cứu v• HMM ữổc cổng bŁ cho ‚n thới i”m hiằn t⁄i cõ th” chia th nh 3 hữợng sau:

+ Hữợng mð rºng sang nhœng lợp mổ h…nh Markov 'n mợi nhữ: HMM ergodic, HMM d⁄ng Bakis; HMM trĂi-phÊi; HMM cõ m“t º quan sĂt liản tửc, HMM tỹ hỗi quy, [8],[60].

Hướng nghiên cứu một video biến thể nhằm trình bày cấu trúc HMM Hướng này chủ yếu tập trung vào mục tiêu áp dụng cho những mô hình toán học cần giải quyết cụ thể.

+ Hữợng nghiản cứu giÊi quy‚t ba b i toĂn cỡ bÊn Łi vợi HMM [22],[25],[55]. Lu“n Ăn xin tr…nh b y cử th” hỡn v• hữợng thứ ba n y.

Khi cho mºt mổ h…nh HMM l v cho mºt dÂy quan sĂt sinh ra bði HMM â l : O = O 1 O 2 O T

Cõ ba b i toĂn cỡ bÊn ữổc °t ra l :

+ B i toĂn 1: Cho dÂy quan sĂt O = O 1 O 2 O T v mổ h…nh Markov 'n H¢y t‰nh P (Oj ).

Bài toán 2 yêu cầu xác định dãy trạng thái ứng với chuỗi quan sát O = O1 O2 OT trong mô hình Markov Bài toán 3 tập trung vào việc điều chỉnh các tham số của mô hình = (A; B; π) để đảm bảo rằng xác suất P(Oj | θ) đạt giá trị tối ưu.

Trong ph⁄m vi nghiản cứu cıa lu“n Ăn, chúng ta quan tƠm ‚n B i toĂn 1 v

B i toĂn 1 l b i toĂn Ănh giĂ, t‰nh xĂc suĐt Vợi cĂc cổng tr…nh  ữổc cổng bŁ ” giÊi b i toĂn n y th… ngữới ta thữớng dũng thu“t toĂn ti‚n-lũi

B i toĂn 2 l b i toĂn m trong õ ta t…m ra phƒn 'n cıa mổ h…nh Vợi cĂc cổng tr…nh  ữổc cổng bŁ ” giÊi b i toĂn n y th… ngữới ta sò dửng thu“t to¡n Viterbi (Viterbi Algorithm).

Vợi mửc ‰ch l xƠy dỹng cổng cử ” giÊi b i toĂn MTT ữổc phĂt bi”u ð mửc 3.2.2 th… cĂc thu“t toĂn ti‚n-lũi (Forward-Backward Algorithm) v thu“t

Thuật toán Viterbi là một công cụ mạnh mẽ trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và học máy, giúp xác định chuỗi trạng thái ẩn tối ưu trong các mô hình xác suất Nó hoạt động dựa trên dữ liệu quan sát hiện tại và chuỗi dữ liệu quá khứ, nhưng không thể sử dụng thông tin từ tương lai Điều này khiến thuật toán Viterbi trở nên hiệu quả trong việc phân tích và dự đoán các chuỗi thời gian, đặc biệt trong các ứng dụng như nhận diện giọng nói và dịch máy.

Thu“t to¡n ti‚n v thu“t to¡n Viterbi c£i ti‚n

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về thuật toán Forward và thuật toán Viterbi cải tiến Thuật toán Viterbi cải tiến thực chất là một phiên bản mở rộng của thuật toán Viterbi, áp dụng cho các chuỗi số liệu biến động theo thời gian Cả hai thuật toán này đều được sử dụng để xây dựng mô hình HMM (Hidden Markov Model) không thuần nhất Mô hình HMM không thuần nhất là trường hợp riêng của HMM không thuần nhất, giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong lĩnh vực thống kê và học máy.

X†t HMM vợi cĂc th nh phƒn cĐu trúc nhữ Â nảu trong mửc 3.3, những phƠn phŁi xĂc suĐt chuy”n tr⁄ng thĂi phử thuºc v o thới gian Điều này cho thấy sự phụ thuộc của các yếu tố vào thời gian, không chỉ đơn thuần là sự thay đổi mà còn là quá trình chuyển biến liên tục trong các trạng thái khác nhau.

HMM rời rạc là một mô hình được sử dụng để phân tích chuỗi thời gian, trong đó các trạng thái được xác định tại các thời điểm t1, t2, t3, , tn Thời gian rời rạc có nghĩa là các thời điểm này được sắp xếp theo thứ tự từ 1 đến T Trong mô hình này, ta có thể sử dụng các xác suất chuyển trạng thái aij(tk) để mô tả khả năng chuyển đổi giữa các trạng thái khác nhau.

Trong mửc ti‚p sau (mửc 3.5) giĂ trà aij(k) s‡ ữổc ch¿ ra cổng thức giÊi t‰ch cử th” Łi vợi HMM dũng cho b i toĂn MTT.

Mổ h…nh Markov 'n = (A; B; ) ữổc gồi l thuƒn nh§t.

Vợi HMM khổng thuƒn nhĐt chúng ta cõ cĂc k‚t quÊ sau Ơy:

3.4.1.B i toĂn cỡ bÊn thứ nhĐt v thu“t toĂn ti‚n

X†t mổ h…nh Markov 'n khổng thuƒn nhĐt= (A; B; ).

Với mổ hình HMM rời rạc, các thời điểm t trong khoảng [1; T] được xác định là các thời điểm rời rạc 1 = t1 < t2 < < tk < < tn = T Bởi vậy, với t = tk, chúng ta cũng quan sát O tk, trong đó O k là quan sát tại thời điểm k Đồng thời, trong trạng thái qt k, chúng ta kỵ hiểu rằng qk là trạng thái tại thời điểm k.

T⁄i thới i”m t = tk bĐt ký, tk 2 [1; T ], vợi ta cõ dÂy quan sĂt

B i toĂn cỡ bÊn thứ nhĐt l i t‰nh xĂc suĐt cıa dÂy quan sĂt O khi HMM khổng thuƒn nhĐt  cho Nghắa l t‰nh P (Oj ).

Cổng thức giÊi v thu“t toĂn giÊi b i toĂn 1 ữổc cho thổng qua bŒ • v thu“t to¡n sau ¥y:

8(q 1 q 2 :::q k ) s=1 trong õ kỵ hiằu h…nh thức: a q 0 q 1 (0) = q 1 :

Chứng minh X†t mºt dÂy tr⁄ng thĂi bĐt ký cŁ ành n o õ:

(3.3) ð ¥y, q 1 l tr⁄ng th¡i ban ƒu.

Khi â, x¡c su§t cıa d¢y quan s¡t (3.1) khi cho d¢y tr⁄ng th¡i (3.3) s‡ l : k

Trong (3.4) Â sò dửng giÊ thi‚t ºc l“p thŁng kả cıa dÂy quan sĂt (3.1), tł õ ta câ: k k

M°t khĂc: P (Qj ) = q 1 aq 1 q 2 (1) aq 2 q 3 (2):::aq k 1 q k (k 1), vợi kỵ hiằu: aq 0 q 1 (0) := q 1 , ta câ: k

Tł cổng thức (3.5) v (3.6) ta cõ:

Cổng thức (3.2) diễn giải như sau: Tại thời điểm ban đầu \(t_1(s = 1)\), mô hình thể hiện trạng thái \(q_1 = q_{t_1}\) với xác suất \(q_1 (0)\) Tại thời điểm này, giá trị quan sát được là \(O_1 = O_{t_1}\) với xác suất \(b_{q_1}(O_1)\) Khi thời gian tiến triển đến \(t_{s+1}\) (với \(s = 2\)), mô hình chuyển trạng thái từ \(q_1 = q_{t_1}\) sang trạng thái \(q_2 = q_{t_2}\) với xác suất \(a_{q_1q_2}(1)\), và tại trạng thái \(q_2\), giá trị quan sát được là \(O_2 = O_{t_2}\) với xác suất \(b_{q_2}(O_2)\) Quá trình này tiếp tục cho đến khi chuyển sang thời điểm \(t_k = t\) (với \(s = k-1\)), mô hình chuyển trạng thái từ \(q_{k-1} = q_{t_{k-1}}\) sang trạng thái \(q_k = q_{t_k}\) với xác suất \(a_{q_{k-1}q_k}(k-1)\), và tại trạng thái \(q_k\), giá trị quan sát được là \(O_k = O_{t_k}\) với xác suất \(b_{q_k}(O_k)\).

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét công thức (3.2) để hiểu rõ hơn về tính toán trực tiếp trong mô hình Markov ẩn (HMM) và sự phức tạp của thuật toán Cụ thể, thuật toán tiến-lùi (Forward-Backward Algorithm) được áp dụng để tính toán với t = T, nhằm tối ưu hóa mục tiêu trong HMM Bên cạnh đó, thuật toán tiến (Forward Algorithm) cũng được nhắc đến để làm rõ hơn về các phương pháp tính toán trong HMM.

Kỵ hiằu (i) = P (O1O2 O ; q = Sij ); nghắa l (i) l xĂc suĐt cıa phƒn ƒu cıa d¢y quan s¡t cho ‚n thíi i”m t v t⁄i thíi i”m t â, tr⁄ng th¡i q q t = S i , S i 2 S Khi õ (i) ữổc gồi l bi‚n ti‚n.

XĂc suĐt P (Oj ) ữổc t‰nh theo bi‚n ti‚n (i) theo thı tửc quy n⁄p nhữ sau:

CŁt lêi v trung tƠm cıa thu“t toĂn l bữợc quy n⁄p Sỹ t‰nh toĂn ð bữợc quy n⁄p ữổc t‰nh toĂn mổ tÊ qua H…nh v‡ 3.1:

Hình 3.1 trình bày cách mà trạng thái S_j được dự đoán tại thời điểm t + 1 dựa vào trạng thái S_i và một số quan sát O Đầu tiên, xác suất của biến trạng thái S_j tại thời điểm t + 1 được tính toán dựa trên xác suất của biến trạng thái S_i và các quan sát O Tích hợp tất cả các xác suất này cho tất cả các trạng thái S_i, chúng ta có thể thu được xác suất chính xác cho trạng thái S_j tại thời điểm t + 1 dựa vào các quan sát trước đó Qua đó, chúng ta có thể tính toán xác suất S_j tại thời điểm t + 1 bằng cách sử dụng các thông tin từ trạng thái hiện tại.

Tł sỹ phƠn t‰ch v minh hồa trản, chúng ta  ch¿ ra t‰nh úng

3.4.2.B i toĂn cỡ bÊn thứ hai v thu“t toĂn Viterbi cÊi ti‚n

Bài toán cỡ bên thứ 2 liên quan đến HMM nhằm phát hiện ra phần 'n' của mô hình nghĩa là tìm dây trạng thái hợp lý nhất, dây trạng thái tối ưu tương ứng với dây quan sát đã cho.

VĐn • quan trồng ƒu tiản l tiảu chu'n th‚ n o l hổp lỵ nhĐt? Th‚ n o l tŁi ÷u?

Cõ hai d⁄ng yảu cƒu nhữ sau:

Cho dÂy quan sĂt: O = O 1 O 2 Ot sinh ra bði HMM khổng thuƒn nhĐt

D⁄ng 2: HÂy t…m tr⁄ng thĂi q t = q t tŁi ữu theo nghắa cỹc ⁄i xĂc suĐt

Cho dÂy quan sĂt: O = O 1 O 2 O t sinh ra bði HMM khổng thuƒn nhĐt

Hãy tìm hiểu trạng thái Q = q1, q2, qt của tài liệu theo nghĩa cụ thể để xác định sự chính xác Phương pháp tìm lý giải cho dòng 1 là sử dụng toán toàn trạng thái tài liệu riêng biệt qt = qt tại thời điểm hiện tại.

80 Chóng ta x¥y düng bi‚n: t(i) = P (qt = SijO; ): (3.7)

D„ d ng bi”u di„n t(i) qua bi‚n ti‚n t(i) theo cổng thức sau: t(i) = t(i) (3.8)

P (Oj ) v t(i) l mºt ph¥n phŁi x¡c su§t

Tł cổng thức (3.7) chúng ta thu ữổc lới giÊi: q t = arg max t (i): (3.9)

Theo thu“t toĂn ti‚n cıa mửc 3.4.1 chúng ta d„ d ng dũng thu“t toĂn ti‚n

” thu ữổc t(i) thổng qua cổng thức (3.8) v tł õ thu ữổc qt qua cổng thức (3.9). b/ Ph÷ìng ph¡p t…m líi gi£i cho d⁄ng 2.

Kỹ thuật Viterbi là một phương pháp tối ưu hóa cho mô hình Markov ẩn (HMM), cho phép xác định chuỗi trạng thái với xác suất cao nhất Nó sử dụng thuật toán động để tìm kiếm chuỗi trạng thái tối ưu từ một tập hợp các quan sát Kỹ thuật này đặc biệt hiệu quả trong các ứng dụng như nhận diện giọng nói và xử lý ngôn ngữ tự nhiên, nơi mà việc phân tích chuỗi dữ liệu là cần thiết Công thức xác suất tối đa cho chuỗi trạng thái được biểu diễn như sau: i max P(q1, q2, , qt | q = S_i; O1, O2, , Oj).

Nghĩa là xác suất lợn nhật độc theo dây truyền thái ẩn cho ăn thời im và kết thúc thức quy nạp cho tại trạng thái Si Theo công thức (3.13), chúng ta có cổng theo cổng thức sau:

” t‰nh ra ữổc dÂy tr⁄ng thĂi cƒn t…m trong quĂ tr…nh quy n⁄p theo cổng thức (3.11) ta phÊi giœ l⁄i Łi sŁ (tr⁄ng thĂi) ⁄t cỹc ⁄i trong

(3.11) Łi vợi mỉi v j Bði v“y cũng vợi (i), thỹc hiằn quy n⁄p cũng vợi ⁄i lữổng t (j) nhữ sau:

K‚t thúc thu“t toĂn chúng ta xĂc ành ữổc dÂy tr⁄ng thĂi tŁi ữu

p dửng HMM giÊi b i toĂn MTT

3.5.1.BŒ trổ phữỡng phĂp t‰nh cĂc xĂc suĐt cỡ bÊn trong xƠy dỹng

HMM tữỡng ứng vợi mổ h…nh MTT

GiÊ sò ( ; F; P ( )) l khổng gian xĂc suĐt; B 2 F; P (B) > 0.

Kỵ hiằu F B = fA \ B : A 2 Fg, khi õ F B l -trữớng v F B F X†t

Vợi P ( n B) > 0, th… P ( \ B); 2 F khổng phÊi l º o xĂc suĐt N‚u ữổc chu'n hõa bði hằ sŁ chu'n hõa D = P (B), theo cổng thức (3.12), th… P

B( ) s‡ trð th nh º o xĂc suĐt trản khổng gian xĂc suĐt (B; F B ; P B ( )).

Chúng ta quan tƠm hằ sŁ chu'n hõa D trong trữớng hổp rới r⁄c.

R a/ Trữớng hổp tŒng quĂt: D = P (B) = dP

B b/ Trữớng hổp rới r⁄c ành nghắa 3.5.1 Bi‚n cŁ ngÔu nhiản C; C 2 F; P (C) > 0 ữổc gồi l bi‚n cŁ nguyản tò, n‚u:

GiÊ sò B cõ phƠn ho⁄ch khổng quĂ ‚m ữổc cĂc bi‚n cŁ nguyản tò, nghắa l :

B = Bi; Bi \ Bj = ?; 8i 6= j; i=1 trong õ Bi; i = 1; 2; :::; M; l cĂc bi‚n cŁ nguyản tò, M +1.

Khi õ hằ sŁ chu'n hõa D s‡ ữổc t‰nh theo cổng thức:

V‰ dử 3.3 X†t Z l bi‚n ngÔu nhiản nh“n giĂ trà trản N.

Vợi B = [Z M]; B i = [Z = i] ; i = 1; 2; :::; M, l cĂc bi‚n cŁ nguyản tò Khi õ ta cõ hằ sŁ chu'n hõa:

CĂch t‰nh xĂc suĐt cõ i•u kiằn theo cổng thức (3.13) s‡ ữổc Ăp dửng ” t‰nh c¡c x¡c su§t cì b£n khi x¥y düng HMM trong phƒn ti‚p theo.

3.5.2.Ùng dửng HMM giÊi b i toĂn MTT

Trong mửc n y chúng ta x†t b i toĂn MTT Â ữổc phĂt bi”u trong mửc 3.2.2 Chóng ta x¥y düng HMM nh÷ sau:

1/ Tham sŁ M v khổng gian tr⁄ng thĂi.

Khổng gian tr⁄ng thĂi:

S = fS0; S1; :::; SM g ; trong õ, Si l bi‚n cŁ: Cõ úng i mửc tiảu thuºc lợp M trong mi•n R t⁄i thới i”m quan tƠm tữỡng ứng , i = 0; 1; :::; M

2/ Tham sŁ N v khổng gian cĂc giĂ trà quan sĂt.

Khổng gian cĂc giĂ trà quan sĂt:

V = fv0; v1; :::; vN g ; trong â, vk l bi‚n cŁ: Câ óng k gi¡ trà quan s¡t t⁄i thíi i”m quan t¥m t÷ìng ứng , k = 0; 1; :::; N

3/ Ph¥n phŁi x¡c su§t chuy”n tr⁄ng th¡i

A = [aij]; 0 i; j M ; trong â, a ij = P [q t k = S j jq t k 1 = S i ] i ( m) i l=max X f j+l i g e m CM +l i Ci l (1 pm) l pm j+l i i!

0;(i j) ð Ơy cĂc h‹ng sŁ chu'n hõa D0 v D1 ữổc t‰nh theo cổng thức:

: ; m l kỵ hiằu tŒ hổp ch“p m cıa n: ð ¥y chóng ta dòng Cn

4/ PhƠn phŁi xĂc suĐt cıa dÂy quan sĂt khi hằ thŁng ð tr⁄ng thĂi S j t⁄i thới i”m t.

B = fbj(vk)g; 0 k N ; 0 j M trong â, bj(vk) = P [Ot = vkjqt = Sj ]

: ð Ơy D 2 l h‹ng sŁ chu'n hõa ữổc t‰nh theo cổng thức

5/ Ph¥n phŁi tr⁄ng th¡i ban ƒu

Chúng ta sẽ xây dựng một mô hình HMM cho bài toán MTT được phát biểu trong mục 3.2.2 Mô hình HMM này là một phần quan trọng trong việc áp dụng thuật toán Viterbi, được cải tiến trong mục 3.4 Mục tiêu là tối ưu hóa quá trình giải quyết bài toán MTT, với sự chú ý đến việc mô hình hóa trạng thái hợp lý trong trường hợp không gian trạng thái lớn.

Khi â, khi bi‚t c¡c gi¡ trà nt 1 , nt 2 , , nt k (nt k = nt), theo thu“t to¡n chóng ta xĂc ành ữổc sŁ mửc tiảu tữỡng ứng l m , m , , m (m = m ), vợi t 1 t 2 t k t k t tk = t l kỵ hiằu thới i”m hiằn t⁄i.

Thuật toán Viterbi là một phương pháp quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và nhận dạng mẫu, thường được áp dụng trong các hệ thống vi xử lý và thiết bị nhúng Nó cho phép xác định xác suất của một chuỗi trạng thái ẩn trong mô hình Markov, giúp cải thiện độ chính xác trong việc dự đoán và phân tích dữ liệu Khi áp dụng thuật toán này, chúng ta cần xác định các trạng thái ẩn và xác suất chuyển tiếp giữa chúng để có thể tính toán kết quả cuối cùng một cách hiệu quả.

K‚t lu“n Ch÷ìng 3

Bài toán MTT trong mục 3.2.2 đề cập đến việc tối ưu hóa lưỡng lượng mục tiêu tại các thời điểm quan trọng Nghiên cứu này tập trung vào các mục tiêu được nêu trong bài toán MTT tổng quát, liên quan đến việc sử dụng mô hình HMM Tác giả đã áp dụng HMM để phân tích các trạng thái của mô hình trong khoảng thời gian từ t_k1 đến t_k, với mục tiêu làm rõ các quy luật liên quan Việc tính toán xác suất chuyển trạng thái aij(k) là phức tạp và liên quan đến việc ước lượng xác suất hữu nghiêm Hiện tại, kết quả từ mô hình này đã cho thấy những thành công nhất định trong việc tối ưu hóa bài toán.

Mô tả vấn đề liên quan đến lới giải thích liệu có thể sử dụng lới giải thích theo dạng 1 trong dây chuyền của lới giải thích theo dạng 2 hay không (xem mục 3.4.2 của Chương 3) Đây là một vấn đề rất quan trọng, song tiếng Anh lại không có các cổng truyền thống như cổng bù cho đến thời điểm hiện tại, tại ngay các lối vợi HMM thường được sử dụng trong chữa cõ lới giải thích bị lẫn lới giải thích chữa chức năng duy nhất Đây cũng là hướng nghiên cứu tiếp theo của luận án.

Nhữ v“y, Chữướng 3 của luận án tập trung nghiên cứu lợp b i toán MTT với yêu cầu được lượng hóa lưỡng mục tiêu của lợp mục tiêu trong thời gian Với lợp b i toán này, luận án dũng phương pháp tiếp cận theo hướng sử dụng HMM Các kết quả thu được của chương này là:

1/ • xuĐt "thu“t toĂn ti‚n" v "thu“t toĂn Viterbi cÊi ti‚n" Łi vợi HMM khổng thuƒn nh§t.

2/ XƠy dỹng HMM tữỡng th‰ch vợi b i toĂn MTTữổc nghiản cứu trong ch÷ìng 3.

3/ Sò dửng cĂc thu“t toĂnữổc • xuĐt v HMM tữỡng th‰ch ” giÊi b i toĂn MTT Â nảu.

Luận án cấp một chỉ ra tầm quan trọng của nghiên cứu trong khoa học và kỹ thuật, đặc biệt là trong lĩnh vực toán học Bài toán này có nhiều ứng dụng trong đời sống, từ việc hỗ trợ cho các quân sĩ đến việc giải quyết các vấn đề phức tạp trong nhiều lĩnh vực khác nhau Hiện nay, toán học đang thu hút sự quan tâm của nhiều quốc gia và các nhà khoa học nghiên cứu sâu hơn về các ứng dụng của nó.

K‚t quÊ nghiản cứu cıa lu“n Ăn:

Lu“n Ăn tr…nh b y cĂc k‚t quÊ nghiản cứu Łi vợi hai lợp mổ h…nh MTT.

1 Vợi lợp mổ h…nh MTT tŒng quĂt cõ th” cõ hiằn tữổng mửc tiảu bà che khuĐt, lu“n Ăn • xuĐt phữỡng phĂp liản k‚t dœ liằu mợi l chi‚n lữổc liản k‚t dœ liằu dỹa trản hằ thŁng Ănh x⁄ ữổc xĂc ành ằ quy Chi‚n lữổc liản k‚t n y kh›c phửc ữổc t…nh tr⁄ng mĐt mửc tiảu , mĐt quÿ ⁄o bĂm khi cõ mửc tiảu bà che khuĐt ỗng thới lu“n Ăn cụng chứng minh ữổc sỹ tỗn t⁄i chi‚n lữổc liản k‚t dœ liằu tŁi ữu theo nghắa Bayes, ch¿ ra cĂch xƠy dỹng tữớng minh chi‚n lữổc thọa mÂn t‰nh chĐt T tŒng quĂt cho trữợc v t‰nh chĐt K(")-tŁi ữu cử th” thữớng dũng trong thüc ti„n.

2 Vợi lợp mổ h…nh MTT ch¿ quan tƠm tợi mºt lợp con cĂc mửc tiảu, lu“n Ăn  ti‚p c“n b‹ng mổ h…nh HMM v  thu ữổc cĂc k‚t quÊ mợi sau: • xuĐt thu“t toĂn ti‚n , thu“t toĂn Viterbi cÊi ti‚n Łi vợi HMM khổng thuƒn nh§t; X¥y düng HMM t÷ìng th‰ch v gi£i quy‚t b i to¡n x¡c ành sŁ lữổng mửc tiảu trong lợp mửc tiảu cƒn quan tƠm cıa mổ h…nh MTT nảu trản.

Nhœng õng gõp mợi cıa lu“n Ăn:

1 XƠy dỹng mổ h…nh quÿ ⁄o cıa nhi•u mửc tiảu b‹ng phữỡng phĂp liản k‚t dœ liằu ằ quy cõ t‰nh ‚n to n bº làch sò quÿ ⁄o ữa ra phữỡng phĂp liản k‚t dœ liằu mợi v xƠy dỹng phữỡng phĂp ki‚n thi‚t ằ quy dỹa trản tữ tữðng cıa suy lu“n Bayes ” t…m liản k‚t dœ liằu thoÊ mÂn mºt t‰nh chĐt cho trữợc.

2 GiÊi b i toĂn ữợc lữổng sŁ mửc tiảu dỹa trản mổ h…nh Markov 'n vợi hai thu“t toĂn mợi l thu“t toĂn ti‚n (Forwark Algorithm) v thu“t toĂn Viterbi c£i ti‚n.

Hữợng nghiản cứu ti‚p cıa lu“n Ăn:

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận án, có một số vấn đề cần lưu ý để đảm bảo nghiên cứu diễn ra hiệu quả hơn Những yếu tố này không chỉ giúp cải thiện chất lượng nghiên cứu mà còn dẫn đến kết quả tốt hơn.

1 X†t mổ h…nh MTT tŒng quĂt vợi phƠn phŁi tiản nghiằm cıa sŁ mụ bºi cıa cĂc phƒn tò trong t“p ban ƒu M[Y (t 0 )].

2 Dỹa v o thu“t toĂn t…m T - chi‚n lữổc, t…m cĂc lới giÊi tŁi ữu theo cĂc nghắa khĂc nhau cho b i toĂn MTT.

3 Nghiản cứu mổ h…nh HMM Łi vợi lợp mổ h…nh MTT tŒng quĂt.

4 Nghiản cứu t‰nh duy nhĐt cıa tr⁄ng thĂi tŁi ữu cıa qt v Q v t…m mŁi quan hằ qt cõ thuºc Q hay khổng.

DANH MệC C˘NG TR NH KHOA H¯C C˘NG Bă

Nguyễn Thà Hùng và Nguyễn Hữu Nam đã thực hiện một nghiên cứu quan sát nhằm mục tiêu khảo sát sự tồn tại lý thuyết trong lĩnh vực kỹ thuật sử dụng thuật toán Kalman Nghiên cứu này được công bố trong Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ quân sự, ISSN 1859-1043, số 46 (12-2016), trang 149-157, năm 2016.

Nguyễn Thà Hùng, trong bài viết của mình, đã trình bày về mối quan hệ giữa mục tiêu của bài toán quan sát và mục tiêu trong trường hợp có mục tiêu bị che khuất Nghiên cứu này được đăng tải trong Tạp chí Nghiên cứu phát triển Công nghệ Thông tin và Truyền thông, ISSN 1859-3526, Số 1, tháng 9, trang 47-55, năm 2019.

Nguyễn Thái Hồng đã nghiên cứu về mô hình Markov nhằm xác định mức tiêu thụ trong bài toán quan sát quy trình sản xuất Nghiên cứu này được công bố trong Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ Quân sự, ISSN 1859-1043, Số 68 (8-2020), trang 178.

[CT4] Nguy„n Thà H‹ng, Lả B‰ch Phữổng, Ph⁄m Ngồc Anh Thu“t toĂn

Viterbi cÊi ti‚n v b i toĂn xĂc ành mửc tiảu trong mổ h…nh quan sĂt a mửc tiảu , T⁄p ch‰ Nghiản cứu Khoa hồc v Cổng nghằ quƠn sỹ,ISSN 1859-1043, SŁ 73 (06-2021),tr 145 152, 2021.

[1] °ng Hũng Th›ng (2006), QuĂ Tr…nh NgÔu Nhiản V T‰nh ToĂn NgÔu Nhiản, NXB ⁄i Hồc QuŁc Gia H Nºi.

[2] Nguy„n Duy Ti‚n (2000), CĂc mổ h…nh xĂc suĐt v ứng dửng (Phƒn I: X‰ch Markov v ứng dửng), NXB ⁄i Hồc QuŁc Gia H Nºi.

[3] Nguy„n QuŁc Trung (2001), Xò lỵ sŁ liằu sŁ v lồc sŁ, NXB Khoa hồc v kÿ thu“t.

[4] Y Bar-Shalom and K.C Chang (1984), Joint probabilistic data as-sociation for multitarget tracking with possibly unresolved measure-ments and maneuvers , IEEE Trans Automatic Control,

[5] Y Bar-Shalom and T E Fortmann (1988), Tracking and Data As- sociation, Academic Press.

[6] Y Bar-Shalom and X R Li (1995), Multitarget-Multisensor Track- ing: Principles and Techniques, YBS Publishing.

[7] Y Bar-Shalom, X R Li, and T Kirubarajan (2001), Estimation with Applications to Tracking and Navigation, Wiley.

[8] C Barber, J Bockhorst, and P Roebber (2010), Auto-Regressive HMM Inference with Incomplete Data for Short-Horizon Wind Fore-casting , Proceedings of the 23rd International Conference on Neural Information Processing Systems, 1, 136 144.

[9] N Bergman and A Doucet (2000), Markov chain Monte Carlo data association for target tracking , IEEE Transactions on Automatic Control, 54 (2), pp 705 708.

[10] C M Bishop (2006), Pattern Recognition and Machine Learning, Springer.

[11] S S Blackman (1986), Multiple Target Tracking with Radar Appli- cations, Artech House.

[12] S S Blackman (2003), Multiple hypothesis tracking for multiple target tracking , IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 19 (1), pp 5 18.

[13] S S Blackman and R Popoli (1999), Design and Analysis of Modern Tracking Systems, Artech House Radar Library.

[14] W D Blair and M Brandt-Pearce (1999), NNJPDA for Tracking Closely-Spaced Rayleigh Targets with Possibly Merged Measurements, Proc SPIE Conf On Signal and Data Processing of Small Targets, Denver, CO.

[15] W M Bolstad (2016), Introduction to Bayesian Statistic, John Wiley and Sons, Inc All rights reserved,Third Edition.

[16] O Cappe, E Moulines, and T Ryden (2005), Inference in hidden Markov models, Springer Series in Statistics Springer, New York.

[17] S Challa et al (2011), Fundamentals of Object Tracking,

[18] J L Crassidis and J L Junkins (2004), Optimal Estimation of Dy-namic Systems, Chapman and Hall/CRC.

[19] C Deng and P Zheng (2006), A New Hidden Markov Model withApplication to Classification , Intelligent Control and Automation 2006.WCICA 2006 The Sixth World Congress on, 2, pp 5882 5886.

[20] H Durrant-Whyte (2001), Introduction to Estimation and the Kalman Filter.

[21] G A Einicke and L B White (1999), Robust Extended Kalman Filtering , IEEE Trans Signal Process, 47 (9), pp 2596 2599.

[22] Y Ephraim and N Merhav (2002), Hidden Markov processes , IEEE Transactions on Information Theory, 48 (6), 1518 1569.

[23] W Feller (1970), An Introduction to Probability Theory and Its Ap- plications, Volume 1, 3rd Edition, Wiley Series in Probability and Statistics.

[24] G D Forney (1973), The Viterbi algorithm , International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 61 (3), pp 268 278.

[25] Z Ghahramani (2001), An Introduction to Hidden Markov Models and Bayesian Networks , International Journal of Pattern Recogni-tion and Artificial Intelligence, 15 (1), pp 9 42.

[26] S J Godsill and P J.Rayner (1998), Digital Audio Restoration: a Statistical Model Based Approach, Springer-Verlag.

[27] R C Gonzalez and R E Woods (2008), Digital Image

Processing, Third Edition, Prentice Hall.

[28] M S Grewal, L R Weill, and A P Andrews (2001), Global Posi- tioning Systems, Inertial Navigation and Integration, Wiley.

[29] F Gustafsson and G Hendeby (2012), Some Relations BetweenEx-tended and Unscented Kalman Filters , Signal Processing,IEEE Transactions on, 60 (2), pp 545 555.

[30] J Hartikainen and S Sarkk (2010), Kalman filtering and smooth- ing solutions to temporal Gaussian process regression models , Pro-ceedings of IEEE International Workshop on Machine Learning for Signal Processing (MLSP), pp 379 384.

[31] M Hasting (1970), Molte Carlo sampling methods using Markov chain and their application , Biometrika, 89 (4), pp 731 743.

[32] O Hauk (2004), Keep it simple: a case for using classical minimum norm estimation in the analysis of EEG and MEG data , NeuroIm-age, 21 (4), pp 1612 1621.

[33] M H Hayes (1996), Statistical Digital Signal Processing and Model-ing, John Wiley and Sons.

[34] S Haykin (2001), Kalman Filtering and Neural Networks, Wiley.

[35] Y C Ho and R C K Lee (1964), A Bayesian approach to prob- lems in stochastic estimation and control , IEEE Transactions on Automatic Control, 9 (4), pp 333 339.

[36] P D Hoff (2009), A first Course in Bayesian Statistical Methods, Springer Texts in Statistics.

[37] A H Jazwinski (1970), Stochastic Processes and Filtering

[38] A Joseph (2019), Markov Chain Monte Carlo Methods in Quantum Field Theories: A Modern Primer, Preprint typeset in JHEP style.

[39] J Kaipio and E Somersalo (2005), Statistical and Computational Inverse Problems, Applied Mathematical Sciences, no 160 Springer.

[40] R E Kalman (1960), Contributions to the theory of optimal control ,

Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana, 6 (1), pp 102 119.

[41] R E Kalman (1960), A new approach to linear filtering and pre- diction problems , Transactions of the ASME, Journal of Basic En-gineering, 82 (1), pp 35 45.

[42] R E Kalman (1961), New results in linear filtering and prediction theory , Transactions of the ASME, Journal of Basic Engineering,

[43] E D Kaplan (1996), Understanding GPS, Principles and Applica- tions, Artech House.

[44] M Keeling and P Rohani (2007), Modeling Infectious Diseases in Humans and Animals, Princeton University Press.

[45] J Lambert and B Jackson (2018), Markov Chain Monte Carlo Multi-target Tracking, State Estimation and Filtering.

[46] T Laursen and N B Pedersen (2012), Hidden Markov Model based mobility learning fo improving indoor tracking of mobile users , Po- sitioning Navigation and Communication (WPNC), 100 104.

[47] C T Leondes, J B Peller, and F Stear (1970), Nonlinear smooth-ing theory , IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics, 6 (1), pp 63 71.

[48] F H Lin et al (2006), Dynamic magnetic resonance inverse imaging of human brain function , Magnetic Resonance in Medicine, 56 (4), pp 787 802.

[49] M Mallick, V Krishnamurthy, and Ba-Ngu Vo (2014), Chapter 5. Multitarget tracking using multiple hypotheses tracking, pp.165

[50] P Maybeck (1982), Stochastic Models, Estimation and Control, Vol 3 Academic Press.

[52] W Norbert (1950), Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications, John Wiley and Sons.

[53] J G Proakis (2001), Digital Communications, Fourth edition McGraw-Hill.

[54] J G Proakis (2001), Digital Communications, Fourth edn

[55] L Rabiner and B Juang (1986), An introduction to hidden

Markov models , IEEE ASSP Magazine, 3 (1), pp 4 16.

[56] H E Rauch (1963), Solutions to the linear smoothing problem , IEEE Transactions on Automatic Control, 8 (4), pp 371 372.

[57] H E Rauch, F Tung, and C T Striebel (1965), Maximum like- lihood estimates of linear dynamic systems , AIAA Journal, 3 (8), pp 1445 1450.

[58] D B Reid (1979), An algorithm for tracking multiple targets , IEEE Trans, 24 (6), pp 483 854.

[59] C P Robert (2001), The Bayesian Choice: A Decision-Theoretic Motivation, New York: Springer.

[60] A Schonhuth and H Jaeger (2009), Characterization of ergodic hidden Markov sources , IEEE Transactions on Information Theory, 55 (5), 2107 2118.

[61] G Slade (2013), The Viterbi algorithm demysti, www.researchgate.net.

[62] S Sarkk (2007), On unscented Kalman filtering for state estima- tion of continuous-time nonlinear systems , IEEE Transactions on Automatic Control, 52 (9), pp 1631 1641.

[63] S Sarkk (2008), Unscented Rauch-Tung-Striebel smoother , IEEE Transactions on Automatic Control, 53 (3), pp 845 849.